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第 5 讲 有理数的混合运算
知识点1 常规计算
有理数混合运算的运算顺序：
1、 先乘方，再乘除，最后加减；
2、 同级运算，从左到右进行；
3、 如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号的顺序依次进行.
【典例】
1
1.计算：（1）（﹣1）3﹣ ×[2﹣（﹣3）2]；
4
1
（2）﹣22+|5﹣8|+24÷（﹣3）× ；
3
1 3
（3） - ×（﹣2）3÷（﹣2）2﹣2×|（﹣1）× +1|.
8 4
1 1 7 3
【解析】解：（1）原式=﹣1﹣ ×（2﹣9）=﹣1- ×（-7）=-1+ = ；
4 4 4 4
1 1 8 11
（2）原式=﹣4+|﹣3|﹣24× × =﹣4+3﹣ =﹣ ．
3 3 3 3
1 3 1 1 1 1 1
（3）原式=﹣ ×（﹣8）÷4﹣2×|（﹣1）× +1|=1× ﹣2× = ﹣ =﹣ ．
8 4 4 4 4 2 4
【方法总结】
根据有理数的混合运算顺序和运算法则计算即可．本题主要考查有理数的混合运算，熟练
掌握有理数的混合运算的顺序和法则是解题的关键．
注意：绝对值符号有括号的作用.
【随堂练习】
1．（罗平县期末）计算
（1）[1 ﹣（ ﹣ + ）×24]÷（﹣5）；
（2）﹣1+|2﹣11|×（﹣ ）2﹣（﹣2）÷【解答】解：（1）[1 ﹣（ ﹣ + ）×24]÷（﹣5）
=[1 ﹣ ×24+ ×24﹣ ×24]÷（﹣5）
=[1 ﹣15+4﹣14]÷（﹣5）
=﹣23 ÷（﹣5）
= ；
（2）﹣1+|2﹣11|×（﹣ ）2﹣（﹣2）÷
=﹣1+9× +6
=﹣1+1+6
=6．
2．（江阴市期末）计算：
（1）（+ ）+（﹣ ）﹣|﹣3|
（2）﹣22+3×（﹣1）﹣9÷（﹣3）
【解答】解：（1）原式= ﹣ ﹣3=﹣3 ；
（2）原式=﹣4﹣3+3=﹣4．
3．（滨海新区期末）计算：
（Ⅰ）4×（ ）×5；
（Ⅱ）2﹣23÷|﹣2|×（﹣7+5）
【解答】解：（Ⅰ）原式=20×（ ）=10﹣6+8=12；
（Ⅱ）原式=2﹣8÷2×（﹣2）=2+8=10．4．（鄂城区期末）计算：
（1） ×（﹣9）﹣36×（ ）
（2）（ ）×（﹣6）+（﹣ ）2÷（﹣ ）3
【解答】解：（1） ×（﹣9）﹣36×（ ）
=﹣6﹣36× +36× ﹣36×
=﹣6﹣20+27﹣3
=﹣2；
（2）（ ）×（﹣6）+（﹣ ）2÷（﹣ ）3
=﹣ ×（﹣6）+ ÷（﹣ ）
=1﹣2
=﹣1．
知识点2 运算律、规律计算
有理数的混合运算中，常用的运算律有：加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结
合律、乘法对加法的分配律、加法对乘法的分配律.
【典例】
1.计算：
2 3 1
（1）﹣14﹣（ ﹣ + ）×24；
3 4 6
7 7 7
（2） ×（﹣5）+（﹣ ）×9﹣ ×8；
22 22 22
1 1 2 1 1
（3）|4﹣4 |+（ - + - ）÷ -22 ﹣（+5）．
2 2 3 6 12
2 3 1
【解析】解：（1）原式=﹣1﹣（ ×24﹣ ×24+ ×24）=﹣1﹣（16-18+4）=﹣1﹣2
3 4 6
=﹣3．
7 7 7 7 7
（2）原式=（- ）×5+（﹣ ）×9+（﹣ ）×8=﹣ ×（5+9+8）=﹣ ×22=﹣7；
22 22 22 22 221 1 2 1 1 1 2 1
（3）原式=|﹣ |+（﹣ + ﹣ ）×12﹣4﹣5= +（﹣ ）×12+ ×12+（﹣ ）×12﹣4﹣5
2 2 3 6 2 2 3 6
1 1
= ﹣6+8﹣2﹣4﹣5=﹣8 ．
2 2
【方法总结】
本题主要考察了有理数混合运算的运算顺序和分配律的使用，（1）和（3）是乘法分配律
的正用，（2）是乘法分配律的逆用，熟练掌握运算律的使用是解本题的关键．
2.探索规律：观察下面由※组成的图案和算式，并解答问题．
1+3=4=22;
1+3+5=9=32;
1+3+5+7=16=42;
1+3+5+7+9=25=52;
（1）试猜想1+3+5+7+9+…+19=_________;
（2）试猜想1+3+5+7+9+…+（2n﹣1）+（2n+1）+（2n+3）=_________；
（3）请用上述规律计算：1001+1003+1005+…++.
1+19
【解析】解：（1）1+3+5+7+9+…+19=（ ）2=100；
2
故答案为100.
（2）1+3+5+7+9+…+（2n﹣1）+（2n+1）+（2n+3）
1+2n+3
=（ ）2，
2
=（n+2）2；
故答案为：（n+2）2；
（3）1001+1003+1005+…+2009+，
1+ 1+999
=（ ）2﹣（ ）2，
2 2
=10092﹣5002，
=1018081﹣250000，
=768081．
【方法总结】通过观察不难发现，从1开始的连续奇数的和等于首尾两个奇数的和的一半的平方，根据
此规律可解答（1）（2）两题；用从1开始到的和减去从1开始到999的和，然后列式进
行计算即可得第（3）题的答案．
本题是对数字变化规律的考查，观察出平方的底数与等式左边首尾两个奇数的关系是解题
的关键，也是本题的难点．
【随堂练习】
1．（合肥模拟）阅读材料：求31+32+33+34+35+36的值
解：设S=31+32+33+34+35+36①
则3S=32+33+34+35+36+37②
用②﹣①得，3S﹣S=（32+33+34+35+36+37）﹣（31+32+33+34+35+36）=37﹣3
∴2S=37﹣3，即S= ∴31+32+33+34+35+36=
以上方法我们成为“错位相减法”，请利用上述材料，解决下列问题：
（一）棋盘摆米
这是一个很著名的故事：阿基米德与国王下棋，国王输了，国王问阿基米德要
什么奖赏？阿基米德对国王说：“我只要在棋盘上第一格放一粒米，第二格放
二粒，第三格放四粒，第四格放八粒…按这个方法放满整个棋盘就行”国王以
为要不了多少粮食，就随口答应了，结果国王输了
（1）国际象棋共有64个格子，则在第64格中应放_____粒米（用幂表示）
（2）设国王输给阿基米德的米粒数为S，求S
（二）拓广应用：1．计算： + + +…+ （仿照材料写出求解过程）
2．计算： + + +…+ =________（直接写出结果）
【解答】解：（一）（1）国际象棋共有 64个格子，则在第 64格中应放263粒
米；
故答案为：263；
（2）根据题意得：S=1+21+22+…+264，①
则有2S=21+22+…+265，②
②﹣①得：S=265﹣1；
（二）1、设S= + + +…+ ，①
则有4S=1+ + + +…+ ，②
②﹣①得：3S=1﹣ ，
则S= ﹣ ；
2、根据题意得：原式=1+1+…+1﹣（ + + +…+ ）=n﹣ + ，
故答案为：n﹣ +
2．（宿州期末）观察下列计算 ， ， ，……
（1）第 5 个式子是 ；
_________
（2）第 n 个式子是 ；
_________
（3）从计算结果中找规律，利用规律计算
【解答】解：（1）第5个式子是 = ﹣ ；
（2）第n个式子是 = ﹣ ；
（3）原式=1﹣ + ﹣ + ﹣ +…+ ﹣ =1﹣ = ．
故答案为：（1） = ﹣ ； = ﹣
3．（娄星区期末）观察下列等式： =1﹣ ， = ﹣ ， = ﹣
．
可得： + + =1﹣ + ﹣ + ﹣
=1﹣
=
（1）猜想并写出： =_____﹣_______．
（2）利用上述猜想计算： + + +…+ ．
（3）探究并计算： + + +…+ ．
【解答】解：（1） = ﹣ ；故答案为： ， ；
（2）原式=1﹣ + ﹣ + ﹣ +…+ ﹣ =1﹣ = ；
（3）原式= ×（ + + +…+ ）= ×（1﹣ + ﹣ +…+
﹣ ）= × = ．
知识点3 求代数式的值
重要结论：
互为相反数的两数和为0，相反数等于自身的数是0；
互为倒数的两数积为1，倒数等于自身的数有-1,1，倒数等于自身的自然数是1；
最大的负整数是-1，最小的正整数是1，绝对值最小的有理数是0；
【典例】
1.已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，x是最大的负整数，m是绝对值最小的数．试求
x2+（a+b+cd）x+（a+b）+（﹣cd）﹣m的值．
【解析】解：∵a，b互为相反数，c，d互为倒数，x是最大的负整数，m是绝对值最小的
数，
∴a+b=0，cd=1，x=﹣1，m=0，
∴x2+（a+b+cd）x+（a+b）+（﹣cd）﹣m
=（﹣1）2+（0+1）（﹣1）+0+（﹣1）﹣0
=1﹣1+0﹣1﹣0
=﹣1
【方法总结】
首先根据a，b互为相反数，c，d互为倒数，x是最大的负整数，m是绝对值最小的数，可
得：a+b=0，cd=1，x=﹣1，m=0；然后代入代数式计算即可．
此题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握有理数混合运算顺序和运算法则.
【随堂练习】
1．（虎林市校级期中）已知 a、b互为相反数且a≠0，c，d互为倒数，m的绝
对值是最小的正整数，求m2﹣ ﹣cd的值．
【解答】解：∵a、b互为相反数且a≠0，∴a+b=0，则 =﹣1．
又∵c，d互为倒数，
cd=1．
又∵m的绝对值是最小的正整数，
∴m=1，
则m2=1．
∴原式=1﹣（﹣1）+ ﹣1
=1+1﹣1
=1．
2．（泗阳县期中）已知a、b互为倒数，x、y互为相反数，m是平方后得16的
数．求代数式（ab）﹣ ﹣m3的值．
【解答】解：∵a、b互为倒数，x、y互为相反数，m是平方后得16的数，
∴ab=1，x+y=0，m=±4，
当m=4时，
原式=1﹣ ﹣43=﹣63；
当m=﹣4时，
原式═1﹣ ﹣（﹣4）3=65．
知识点4 实际应用
利用有理数混合运算解决实际问题的一般步骤：
1. 审：审清题意,找出数量关系；
2. 列：根据所找的数量关系列出算式；3. 算：根据运算法则计算出算式的结果；
4. 答：给出题目要求的答案.
【典例】
1.小明的妈妈在某玩具厂工作，厂里规定每个工人每周要生产某种玩具140个，平均每天
生产20个，但由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是小明妈妈某周
的生产情况（超产记为正、减产记为负）：
（1）根据记录的数据可知小明妈妈星期三生产玩具__________个；
（2）根据记录的数据可知小明妈妈本周实际生产玩具__________个；
（3）该厂实行“每日计件工资制”，每生产一个玩具可得工资 5元，若超额完成任务，则
超过部分每个另奖3元；少生产一个则倒扣3元，那么小明妈妈这一周的工资总额是多少
元？
（4）若将上面第（3）问中“实行每日计件工资制”改为“实行每周计件工资制”，其他
条件不变，在此方式下小明妈妈这一周的工资与按日计件的工资哪一个更多？请说明理由．
【解析】解：（1）20﹣4=16（个）；
故答案为：16．
（2）∵（+10）+（﹣12）+（﹣4）+（+8）+（﹣1）+（+6）+0
=10﹣12﹣4+8﹣1+6
=7，
∴140+7=147（个）．
故本周实际生产玩具147个；
故答案为： 147．
（3）147×5+（10+8+6）×3+（12+4+1）×（﹣3）
=735+24×3+17×（﹣3）
=735+72﹣51
=756（元）．
故小明妈妈这一周的工资总额是756元；
（4）147×5+7×3
=735+21
=756（元）．
故小明妈妈这一周的工资与按日计件的工资一样多．【方法总结】
（1）根据记录可知，小明妈妈星期三生产玩具20﹣4=16（个）；（2）先分别把增减的量
都相加，然后根据有理数的加法运算法则进行计算，再加上计划生产量即可；（3）先计算
每天的工资，再相加即可求解；（4）先计算超额完成了几个玩具，然后再计算工资．
本题考查了正数与负数、有理数加减混合运算，读懂表格数据、根据题意准确列式是解题
的关键．
【随堂练习】
1．（无锡期中）小明的妈妈在某玩具厂工作，厂里规定每个工人每周要生产某
种玩具140个，平均每天生产20个，但由于种种原因，实际每天生产量与计划
量相比有出入．下表是小明妈妈某周的生产情况（超产记为正、减产记为负）：
星期 一 二 三 四 五 六 日
增减产值 +10 ﹣12 ﹣4 +8 ﹣1 +6 0
（1）根据记录的数据可知小明妈妈星期三生产玩具 16 个；
（2）根据记录的数据可知小明妈妈本周实际生产玩具 147 个；
（3）该厂实行“每日计件工资制”，每生产一个玩具可得工资 5元，若超额完
成任务，则超过部分每个另奖 3元；少生产一个则倒扣 3元，那么小明妈妈这
一周的工资总额是多少元？
（4）若将上面第（3）问中“实行每日计件工资制”改为“实行每周计件工资
制”，其他条件不变，在此方式下小明妈妈这一周的工资与按日计件的工资哪
一个更多？请说明理由．
【解答】解：（1）20﹣4=16个；（2）∵（+10）+（﹣12）+（﹣4）+（+8）+（﹣1）+（+6）+0
=10﹣12﹣4+8﹣1+6
=7，
∴140+7=147（个）．
故本周实际生产玩具147个；
（3）147×5+（10+8+6）×3+（12+4+1）×（﹣3）
=735+24×3+17×（﹣3）
=735+72﹣51
=756（元）．
故小明妈妈这一周的工资总额是756元；
（4）147×5+7×3
=735+21
=756（元）．
故小明妈妈这一周的工资与按日计件的工资一样多．
故答案为：16，147．
2．（简阳市期中）“十•一”黄金周期间，武汉东湖风景区在 7天假期中每天
旅游人数变化如下表（正号表示人数比前一天多，负号表示比前天少）
日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日
人数变化 +1.8 ﹣0.6 +0.2 ﹣0.7 ﹣1.3 +0.5 ﹣2.4
单位：万人
（1）若9月30日的旅客人数为4.2万人，则10月4日的旅客人数为___万人；
（2）七天中旅客人数最多的一天比最少的一天多_____万人
（3）如果每万人带来的经济收入约为100万元，则黄金周七天的旅游总收入约
为多少万元？
【解答】解：（1）根据题意列得：4.2+（1.8﹣0.6+0.2﹣0.7）=4.2+0.7=4.9（万
人）；
（2）根据表格得：七天中旅客最多的是 1日为6万人，最少的是7日为1.7万
人，
则七天中旅客人数最多的一天比最少的一天多6﹣1.7=4.3（万人）；
（3）根据表格得：每天旅客人数分别为6万人、5.4万人、5.6万人、4.9万人、
3.6万人、4.1万人、1.7万人，
则黄金周七天的旅游总收入约为（6+5.4+5.6+4.9+3.6+4.1+1.7）×100=3130（万
元）．
故答案为：（1）4.9；（2）4.3
3．（天宁区校级月考）气象统计资料表明，某一地区当高度每增加 100米，气
温就降低大约0.6℃．（1）若测得该地区某山在山脚的气温是 2℃，则距离山脚有600米高的山腰气
温是____℃．
（2）在一次社会实践中，小明和小林欲考证该地区某山顶的海拔高度．他俩进
行实地测量，小明在山下一海拔高度为11米的小山坡上测得气温为24℃，小林
在最高位置测得气温为14.4℃．根据测量的数据，请你列式计算该山顶的海拔
高度．
【解答】解：（1）由题意可得，
2+（600÷100）×（﹣0.6）
=2+6×（﹣0.6）
=2+（﹣3.6）
=﹣1.6，
故答案为：﹣1.6；
（2）由题意可得，
11+（14.4﹣24）÷（﹣0.6）×100
=11+（﹣9.6）÷（﹣0.6）×100
=11+16×100
=11+1600
=1611（米），
答：该山顶的海拔高度是1611米．知识点5 流程图计算
初中阶段的流程图一般由方框和带箭头的线（直线和折线）组成.方框里是逻辑运算，箭头
表示进行运算的顺序.
箭头指向某个方框说明需要将上一步的结果进行方框里的逻辑运算.
【典例】
1.如图，是一个简单的数值计算程序，当输入的值为5，则输出的结果为________.
【解析】解：把5代入计算程序中得：[5+（﹣1）]÷（﹣2）=4÷（﹣2）=﹣2＜0，
3
把﹣2代入计算程序中得：[（﹣2）+（﹣1）]÷（﹣2）=﹣3÷（﹣2）= ＞0，
2
3
则输出的结果为 ，
2
3
故答案为 .
2
【方法总结】
此题主要考查了流程图的计算，解题的关键在于弄懂流程图每一步是做什么运算.
注意：流程图的每个逻辑运算都是独立的，一定要按箭头方向一步一步计算.将流程图转化
为算式的时候，应该加括号的地方要补上括号，不要弄错运算顺序.
【随堂练习】
1．（港闸区期末）如图，按下列程序进行计算，经过三次输入，最后输出的数
是 12，则最初输入的数是 ．
_____
【解答】解：由程序图可知：
4[4（4x﹣6）﹣6]﹣6=12，
移项、合并同类项得，64x=138，化系数为1得，x= ，
故答案为： ．
2．按如图程序计算：输入x=2，则输出的答案是 ．
______
【解答】解：把x=2代入得：﹣2×（﹣ ）÷1.2= × = ，
故答案为：
3．（安徽月考）按照如图所示的操作步骤，若输入值为﹣3，则输出的值为
_____．
【解答】解：把﹣3代入得：（﹣3）2=9＜10，
则有（9+2）×5=55．
故答案为：55
3.（台州期中）如图所示的运算程序中，用“ ”表示数据输入、输出框；
用“ ”表示数据处理和运算框；用“ ”表示数据判断框（根据条件决
定执行两条路径中的某一条）
（1）①如图1，当输入数x=﹣4时，输出数y=____；②如图2，第一个运算框“ ”内，应填____；第二个运算框“ ”内，
应填___；
（2）①如图3，当输入数x=﹣2时，输出数y=___；
②如图4，当输出的值y=26，则输入的值x=____．；
（3）某市为鼓励居民节约用电，决定对居民用电实行“阶梯价”：当每户每月
用电量不超过190度时（含100度），以0.5元/度的价格收费；当每户每月用
电量超过100度时，其中100度以0.5元/度的价格收费，超过部分以 0.8元/度
的价格收费．请设计出一个如题中的“计算框图”，使得输入数为用电量 x
（度），输出数为电费y（元）
【解答】解：（1）①当x=﹣4时，y=﹣4×2﹣5=﹣13，
故答案为：﹣13；
②第一个运算框内“×5”；第二个运算框内“﹣3”，
故答案为：×5，﹣3；
（2）①当x=﹣1时，y=﹣2×2﹣5=﹣9＞﹣20，﹣9×2﹣5=﹣23＜﹣20，故答案为：y=﹣23；
②分为两种情况：当x＞0时，x﹣5=26，
解得：x=31；
当x＜0时，x2+1=26，
解得：x=±5，x=5舍去；
故答案为：31或﹣5；
（3）因为当每月用电量不超过100度时（含100）以0.5元/度的价格收费；
当每月用电量超过100度时，超过部分以0.8元/度的价格收费，
所以电费收缴分两种情况，x≤100和x＞100，
分别计算，所以可以设计如框图如图．
知识点6 新定义
定义新运算是指用一个符号和已知运算表达式表示一种新的运算.
解定义新运算问题，关键是要正确地理解新定义运算的算式含义，然后严格按照新定义运
算的计算程序，将数值代入，转化为常规的四则运算算式进行计算.
【典例】
1.阅读下列内容，并完成相关问题：
小明说：“我定义了一种新的运算，叫❈（加乘）运算．”然后他写出了一些按照❈（加
乘）运算的运算法则进行运算的算式：（+4）❈（+2）=+6；（﹣4）❈（﹣3）=+7；
（﹣5）❈（+3）=﹣8；（+6）❈（﹣7）=﹣13；
（+8）❈0=8；0❈（﹣9）=9．
小亮看了这些算式后说：“我知道你定义的❈（加乘）运算的运算法则了．”
聪明的你也明白了吗？
（1）归纳❈（加乘）运算的运算法则：
两数进行❈（加乘）运算时，____________________________________．
特别地，0 和任何数进行❈（加乘）运算，或任何数和 0 进行❈（加乘）运算，
_________________．
（2）计算：[（﹣2）❈（+3）]❈[（﹣12）❈0]（括号的作用与它在有理数运算中的作用
一致）
（3）我们知道加法有交换律和结合律，这两种运算律在有理数的❈（加乘）运算中还适用
吗？请你任选一个运算律，判断它在❈（加乘）运算中是否适用，并举例验证．（举一个
例子即可）”
【解析】解：（1）归纳❈（加乘）运算的运算法则：
两数进行❈（加乘）运算时，同号得正、异号得负，并把绝对值相加．
特别地，0和任何数进行❈（加乘）运算，或任何数和0进行❈（加乘）运算，都得这个
数的绝对值，
故答案为：同号得正、异号得负，并把绝对值相加；都得这个数的绝对值．
（2）原式=（﹣5）❈12=﹣17；
（3）加法的交换律仍然适用，
例如：（﹣3）❈（﹣5）=8，（﹣5）❈（﹣3）=8，
所以（﹣3）❈（﹣5）=（﹣5）❈（﹣3），
故加法的交换律仍然适用．
【方法总结】
（1）根据题目给出的❈（加乘）运算的算式，结合之前所学的加减乘除四则运算的运算法
则，即可归纳出❈（加乘）运算的运算法．
（2）根据（1）中总结出的❈（加乘）运算的运算法则，以及有理数的混合运算的运算方
法，即可求出[（﹣2）❈（+3）]❈[（﹣12）❈0]的值．
（3）加法有交换律和结合律，这两种运算律在有理数的❈（加乘）运算中还适用，任取两
个数a，b，通过计算说明a❈b= b❈a（或任取三个数a，b，c，通过计算说明a❈b❈c= a❈
（b❈c））即可．
此题主要考查了定义新运算，以及有理数的混合运算，要熟练掌握有理数混合运算顺序并注意运算定律的应用．
【随堂练习】
1．（余姚市期末）给定一列数，我们把这列数中的第一个数记为a ，第二个数
1
记为a ，第三个数记为a ，依此类推，第n个数记为a （n为正整数），如下面
2 3 n
这列数 2，4，6，8，10 中，a =2，a =4，a =6，a =8，a =10．规定运算 sum
1 2 3 4 5
（a ：a ）=a +a +a +…+a ．即从这列数的第一个数开始依次加到第 n个数，如
1 n 1 2 3 n
在上面的一列数中，sum（a ：a ）=2+4+6=12．
1 3
（1）已知一列数 1，﹣2，3，﹣4，5，﹣6，7，﹣8，9，﹣10，则a =___，
3
sum（a ：a ）=_____．
1 10
（2）已知这列数1，﹣2，3，﹣4，5，﹣6，7，﹣8，9，﹣10，…，按照规律
可以无限写下去，则a=____，sum（a ：a）=______．
1
（3）在（2）的条件下否存在正整数n使等式|sum（a ：a ）|=50成立？如果有
1 n
写出n的值，如果没有，说明理由．
【解答】解：（1）由题意可得，
a =3，
3
sum（a ：a ）
1 10
=1+（﹣2）+3+（﹣4）+…+9+（﹣10）
=﹣5，
故答案为：3，﹣5；（2）由题意可得，
a=﹣，
sum（a ：a）
1
=1+（﹣2）+3+（﹣4）+…++（﹣）
=[1+（﹣2）]+[3+（﹣4）]+…+[+（﹣）]
=（﹣1）+（﹣1）+…+（﹣1）
=﹣1009，
故答案为：﹣，﹣1009；
（3）在（2）的条件下存在正整数n使等式|sum（a ：a ）|=50成立，
1 n
当n为奇数时，
|sum（a ：a ）|=|﹣ +n|=50，
1 n
解得，n=99，
当n为偶数时，
|sum（a ：a ）|=|﹣ |=50，解得，n=100．
1 n
2．（朝阳区期末）对于任意有理数a，b，定义运算：a⊙b=a（a+b）﹣1，等式
右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如，2⊙5=2×（2+5）﹣1=13；（﹣
3）⊙（﹣5）=﹣3×（﹣3﹣5）﹣1=23．
（1）求（﹣2）⊙3 的值；
（2）对于任意有理数m，n，请你重新定义一种运算“⊕”，使得5⊕3=20，写出你定义的运算：m⊕n=______（用含m，n的式子表示）．
【解答】解：（1）∵a⊙b=a（a+b）﹣1，
∴（﹣2）⊙3
=（﹣2）×[（﹣2）+3 ]﹣1
=（﹣2）× ﹣1
=（﹣3）﹣1
=﹣4；
（2）∵5⊕3=20，
∴m⊕n=3m+2+n，
故答案为：3m+2+n．
综合集训
1.如图是一个数值转换机的示意图，若输入x的值为2，输入y的值为﹣2，则输出的结果
为__________．
【解析】解：[2×3+（﹣2）2]÷5
=[6+4]÷5
=10÷5
=2.
故答案为：2．2.如图，这是一个运算的流程图，输入正整数x的值，按流程图进行操作并输出y的值．例
如，若输入x=10，则输出y=5．若输出y=3，则输入的x的值为___________．
1
【解析】解：若x为偶数，可得 x=3，即x=6；
2
1
若x为奇数，可得 （x+1）=3，即x=5，
2
故答案为：5或6
a+b
3.若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2，则m﹣cd+ 值为_________.
m
【解析】解：根据题意得：a+b=0，cd=1，m=2或﹣2，
当m=2时，原式=2﹣1+0=1；
当m=﹣2时，原式=﹣2﹣1+0=﹣3，
故答案为 1或﹣3.
1
4.计算：（1）﹣|﹣7+1|+3﹣2÷（﹣ ）；
3
5 2 7 7
（2）（ - + ）÷（﹣ ）× ；
6 3 12 2
1
（3）﹣14﹣（1﹣0.5）÷ ×[2﹣（﹣3）2]；
7
1
(-2) 3-13÷[-(- ) 2 ]
（4） 2 .
0.125×8+[1-32×(-2)]
【解析】解：（1）原式=-|﹣6|+3-2×（-3）
=﹣6+3+6
=3；
1 12 7
（2）原式=﹣ ×（﹣ ）× =1；
6 7 2
1 1
（3）原式=﹣1﹣ ÷ ×（2﹣9）
2 7
1
=﹣1﹣ ×7×（2﹣9）
21
=﹣1﹣ ×7×（﹣7）
2
49
=﹣1﹣（﹣ ）
2
49
=﹣1+
2
47
= ．
2
1
-8-13÷(- ）
（4）原式= 4
0.125×8+[1-9×(-2)]
-8+13×4
=
1+（1+18）
-8+52
=
1+19
44
=
20
=2.2．
1 1 1 1 1 1 1
5.阅读下面的文字，完成后面的问题，我们知道： =1﹣ ， = ﹣ ， = ﹣
1×2 2 2×3 2 3 3×4 3
1 1 1 1
， = ﹣ ，……
4 4×5 4 5
那么：
1
（1） =_________；
×
（2）用含有n（n为正整数）的式子表示你发现的规律__________；
1 1 1 1
（3）计算： + + +…… ．
1×2 2×3 3×4 ×
1 1 1
【解析】解：（1） = ﹣ ；
× ❑ ❑
1 1 1
（2）根据题意得： = ﹣ ；
n(n+1) n n+1
1 1 1 1 1 1 ❑
（3）原式=1﹣ + ﹣ +…+ ﹣ =1﹣ = ．
2 2 3 ❑ ❑ ❑ ❑
6.观察下列各式：13=12；13+23=32；13+23+33=62；13+23+33+43=102；…
（1）请写出第5条等式；
（2）说出等式左边各个幂的底数与右边幂的底数之间有什么关系？
（3）利用上述规律，计算13+23+33+43+…+1003的值．
【解析】解：（1）∵13=12；13+23=32；13+23+33=62；13+23+33+43=102，∴13+23+33+43+53=152．
（2）左边各个幂的底数之和等于右边幂的底数．
（3）13+23+33+43+…+1003
=（1+2+3+4+…+100）2
=50502
=25502500．
7.为了保护环境节约水资源，我市按照居民家庭年用水量实行阶梯水价，水价分档递增．
居民用户按照以下的标准执行：第一阶梯上限180立方米，水费价格为5元/每立方米；第
二阶梯为181﹣260立方米之间，水费价格7元/每立方米；第三阶梯为260立方米以上用水
量，水价为9元/每立方米．如表所示：
根据以上材料解决问题：
若小明家在年共用水200立方米，准备1000元的水费够用吗？说明理由．
【解析】解：180×5+（200﹣180）×7，
=900+140，
=1040（元）．
∵1040＞1000，
∴准备1000元的水费不够．
8.【概念学习】
规定：求若干个相同的有理数（均不等于 0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷
（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3
次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）④，读作“﹣3的圈4次方”，一
般地， 把 （a≠0）记作aⓝ，读作“a的圈 n次方”．
【初步探究】
1
（1）直接写出计算结果：2③=_______，（﹣ ）⑤=_______；
2
（2）关于除方，下列说法错误的是_______，【选项A】任何非零数的圈2次方都等于1；
【选项B】对于任何正整数n，1ⓝ=1；
【选项C】3④=4③；
【选项D】负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数．
【深入思考】
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理
数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
（1）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式．
1
（﹣3）④=_____________； 5⑥=_________；（﹣ ）⑩=_________________．
2
（2）想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于_____________________；
1 1
（3）算一算：122÷（﹣ ）④×（﹣2）⑤﹣（﹣ ）⑥÷33．
3 3
【解析】解：【概念学习】
1
（1）2③=2÷2÷2= ，
2
1 1 1 1 1 1 1 1 1
（﹣ ）⑤=（﹣ ）÷（﹣ ）÷（﹣ ）÷（﹣ ）÷（﹣ ）=1÷（﹣ ）÷（﹣ ）÷（﹣
2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1
）=（﹣2）÷（﹣ ）÷（﹣ ）=﹣8
2 2
1
故答案为： ，﹣8；
2
（2）A、任何非零数的圈2次方就是两个相同数相除，所以都等于1； 所以选项A正确；
B、因为多少个1相除都是1，所以对于任何正整数n，1ⓝ都等于1； 所以选项B正确；
1 1
C、3④=3÷3÷3÷3= ，4③=4÷4÷4= ，则 3④≠4③； 所以选项C错误；
9 4
D、负数的圈奇数次方，相当于奇数个负数相除，则结果是负数，负数的圈偶数次方，相
当于偶数个负数相除，则结果是正数．所以选项D正确；
故选C；
【深入思考】
1
（1）（﹣3）④=（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）=（﹣3）×(- ) 3 ；
3
1
5⑥=5÷5÷5÷5÷5÷5=5×( ) 5 ；
5
1 1
（﹣ ）⑩=（﹣ ）×(-2) 9 ；
2 21 1 1
故答案为：（﹣3）×(- ) 3 ；5×( ) 5 ；（﹣ ）×(-2) 9 ；
3 5 2
1
（2）aⓝ=a×( )n；
a
1 1
（3）122÷（﹣ ）④×（﹣2）⑤﹣（﹣ ）⑥÷33，
3 3
1 1 1
=144÷[（﹣ ）×（﹣3）3]×[（﹣2）×（﹣ ）4]﹣[（﹣ ）×（﹣3）5]÷33，
3 2 3
1
=144÷9×(- ) 3 ﹣（﹣3）4÷33，
2
1
=16×（﹣ ）﹣3，
8
=﹣2﹣3，
=﹣5．
