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第 15 讲 二次根式
知识点1 二次根式的概念
二次根式的概念：一般地，我们把形如❑√a（a≥0）的式子叫做二次根式．
注意：①“❑√ ”称为二次根号；
②a（a≥0）是一个非负数．
【典例】
【题干】下列各式中：①❑√y+2；②❑√(-2) 4；③❑√a2+3；④❑√x2+6x+9；⑤❑√x2-3，一
定是二次根式的个数是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】C.
【解析】解：∵y+2有可能小于0，
所以❑√y+2不一定是二次根式；
∵(-2) 4 =16＞0
∴❑√(-2) 4 一定是二次根式；
同理，可以判断, ❑√a2+3,❑√x2+6x+9一定是二次根式；❑√x2-3不一定是二次根式；
综上可知❑√(-2) 4；❑√a2+3；❑√x2+6x+9一定是二次根式．
∴下列各式中：①❑√y+2；②❑√(-2) 4；③❑√a2+3；④❑√x2+6x+9；⑤❑√x2-3中，一定是二次根式的个数是3．
故选： C
【方法总结】
本题考查了二次根式的定义：一般地，我们把形如❑√a（a≥0）的式子叫做二次根式．根据
二次根式的定义进行判断即可．
【随堂练习】
1．（洛宁县期中）式子 是二次根式的条件是_____．
【解答】解：根据题意，得
3x+1≥0，
解得x≥﹣ ．
故答案为：x≥﹣ ．
2．（桐乡市月考）当x=﹣1时，二次根式 的值是____．
【解答】解：把x=﹣1代入 = = =3，
故答案为：3．
知识点2 二次根式有意义的条件
二次根式有意义的条件
判断二次根式有意义的条件：
（1）二次根式的概念．形如❑√a（a≥0）的式子叫做二次根式．
（2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．
（3）二次根式具有非负性．❑√a（a≥0）是一个非负数．
【典例】
❑√x-2
1.若代数式 有意义，则x满足的条件是______________．
3
【答案】x≥2．❑√x-2
【解析】解：∵代数式 有意义，
3
x﹣2≥0，
解得x≥2．
故答案是：x≥2．
【方法总结】
本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
根据二次根式的被开方数大于或等于0可以求出x的范围．注意：当二次根式在分母上时
还要考虑分母不能等于零．
【随堂练习】
1．（南陵县模拟）如果代数式 有意义，那么字母x的取值范围是____．
【解答】解：∵代数式 有意义，
∴ ，
解得x≥﹣2且x≠5．
故答案为：x≥﹣2且x≠5．
2．（黑山县一模）使y= 有意义的x的取值范围是____．
【解答】解：由题意得，x﹣2＞0，
解得，x＞2．
故答案为：x＞2．
3．（雨花区校级期末）使代数式 + 有意义的x的取值范围是____
【解答】解：根据题意知 ，解得：﹣3＜x≤0，
故答案为：﹣3＜x≤0．
知识点3 二次根式的性质与化简
二次根式的性质与化简
（1）二次根式的基本性质：
①❑√a≥0； a≥0（双重非负性）．
②(❑√a)²=a（a≥0）．
{&a(a≥0)
③❑√a2=|a|=
&-a(a＜0)
（2）二次根式的化简：
①利用二次根式的基本性质进行化简；
②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．❑√ab=❑√a•❑√b
√a ❑√a
(a≥0，b≥0)，❑ = (a≥0，b＞0)
b ❑√b
（3）化简二次根式的步骤：
①把被开方数分解因式；
②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；
③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．
【典例】
1.实践与探索
（1）填空：❑√32= _______； ❑√(-5) 2= ______ ；
（2）观察第（1）的结果填空：当a≥0时❑√a2= ___ ；当a＜0时，❑√a2= ____ ；
（3）利用你总结的规律计算：❑√(x-2) 2+❑√(x-3) 2，其中2＜x＜3．
【解析】解：（1）❑√32=3； ❑√(-5) 2=5；
故答案为：3，5；
（2）当a≥0时❑√a2=a；当a＜0时，❑√a2=﹣a；
故答案为：a，﹣a；（3）∵2＜x＜3，
∴x﹣2＞0、x﹣3＜0，
原式=| x﹣2|+| x﹣3|
=（x﹣2 ）﹣（x﹣3）
=1．
【方法总结】
{&a(a≥0)
本题主要考查了二次根式的性质与化简，关键是掌握❑√a2=|a|= ，进而化简求
&-a(a＜0)
出即可．
【随堂练习】
1．（龙泉驿区期中）把 a 中根号外面的因式移到根号内的结果是 ______ ．
【解答】解：原式=﹣ =﹣ ，
故答案为：﹣
2．（襄城区期末）若要化简 我们可以如下做：
∵3+2
∴ = +1
仿照上例化简下列各式：
（1） =____
（2） =_____
【解答】解：（1）∵4+2 =3+1+2 =（ ）2+2× ×1+12=（ +1）2，
∴ = = +1；
故答案为： +1；（2）∵13﹣2 =7+6﹣2 =（ ）2﹣2× × +（ ）2
=（ ﹣ ）2，
∴ = = ﹣ ．
故答案为： ﹣ ．
3．（宜城市期末）一个三角形的三边长分别为5 ， ， ．
（1）求它的周长（要求结果化简）；
（2）请你给出一个适当的x值，使它的周长为整数，并求出此时三角形周长的
值．
【解答】解：（1）∵个三角形的三边长分别为5 ， ， ，
∴这个三角形的周长是：
5 + +
=
= ；
（2）当x=20时，这个三角形的周长是： ．
知识点4 二次根式的乘除法
1．最简二次根式
最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数
或因式；（3）分母中不含有根号．我们把满足上述三个条件的二次根式，叫做最简二次根
式．
最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数
中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．
如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2、3、a（a≥0）、x+y等；含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、a²、（x+y）²、x²+2xy+y²等．
2．二次根式的乘除法
（1）积的算术平方根性质：❑√a⋅b=❑√a•❑√b（a≥0，b≥0）
（2）二次根式的乘法法则：❑√a•❑√b=❑√a⋅b（a≥0，b≥0）
√a ❑√a
（3）商的算术平方根的性质：❑ = （a≥0，b＞0）
b ❑√b
❑√a √a
（4）二次根式的除法法则： =❑ （a≥0，b＞0）
❑√b b
规律方法总结：
在使用性质❑√a•❑√b=❑√a⋅b（a≥0，b≥0）时一定要注意a≥0，b≥0的条件限制，如果a＜0，
b ＜ 0 ， 使 用 该 性 质 会 使 二 次 根 式 无 意 义 ， 如 （ ❑√-4） × （ ❑√-9） ≠
❑√（﹣4）×（﹣9）；同样的在使用二次根式的乘法法则，商的算术平方根和二次根
式的除法运算也是如此．
3．分母有理化
（1）分母有理化是指把分母中的根号化去．
分母有理化，分子、分母常常是同时乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平
方差公式．
1 1 ❑√a 1 ❑√a-❑√b ❑√a-❑√b
例如：① = ∙❑√a= ；② = = ．
❑√a ❑√a×❑√a a ❑√a+❑√b (❑√a+❑√b)∙(❑√a+❑√b) a-b
（2）两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为
有理化因式．一个二次根式的有理化因式不止一个．例如：2﹣❑√3的有理化因式可以是2+
❑√3，也可以是a（2+❑√3），这里的a可以是任意有理数．
【典例】
1.下列二次根式中，为最简二次根式的是（ ）
√1
A.❑√45 B.❑√a2+b2 C.❑ D.❑√3.6
2
【答案】B.
【解析】解：A、❑√45=3❑√5，❑√45不是最简二次根式，错误；
B、❑√a2+b2是最简二次根式，正确；
√1 ❑√2 √1
C、❑ = ，❑ 不是最简二次根式，错误；
2 2 2
√18 3❑√10
D、❑√3.6=❑ = ，❑√3.6不是最简二次根式，错误；
5 5
故选：B【方法总结】
本题考查最简二次根式，根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：
（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式；（3）分母中不含
有根号．判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两
个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 另外需要注意，如果
被开方数是小数（小数可以化为分数，被开方数就含有分母了），那么这样二次根式不是
最简二次根式．
2.计算(1)❑√2a•❑√8a（a≥0）= ； （2）❑√12÷❑√6= ．
【答案】（1）4a； （2）❑√2．
【解析】解：（1）❑√2a•❑√8a（a≥0）=❑√16a2
=4a
√12
（2）❑√12÷❑√6=❑
6
=❑√2．
【方法总结】
本题主要考查了二次根式的乘除运算，正确化简二次根式是解题关键．（1）主要考查了二
次根式的乘法运算．二次根式的运算法则：乘法法则❑√a⋅❑√b=❑√ab；（2）主要考查了二
❑√a √a
次根式的除法运算法则： =❑ （a≥0，b＞0）．
❑√b b
1 1
3.已知：a= ，b= ，则a与b的关系是（ ）
2-❑√3 2+❑√3
A. ab=1 B. a+b=0 C. a﹣b=0 D.a2=b2
【答案】A.
1 1×(2+❑√3)
【解析】解：a= = =2+❑√3，
2-❑√3 (2-❑√3)×(2+❑√3)
1 1×(2-❑√3)
b= = =2﹣❑√3，
2+❑√3 (2+❑√3)(2-❑√3)
A、ab=（2+❑√3）×（2﹣❑√3）=4﹣3=1，故本选项正确；
B、a+b=（2+❑√3）+（2﹣❑√3）=4，故本选项错误；
C、a﹣b=（2+❑√3）﹣（2﹣❑√3）=2❑√3，故本选项错误；
D、∵a2=（2+❑√3）2=4+4❑√3+3=7+4❑√3，b2=（2﹣❑√3）2=4﹣4❑√3+3=7﹣4❑√3，
∴a2≠b2，故本选项错误；故选：A
【方法总结】
本题考查了分母有理化的应用，能求出每个式子的值是解此题的关键．先分母有理化求出
a、b，再分别代入求出ab、a+b、a﹣b、a2、b2，求出每个式子的值，即可得出选项．
【随堂练习】
1．（钦南区校级月考）计算：
（1） × ；
（2） × ．
【解答】解：（1） × =3 ；
（2） ×
=
=
=6．
2．（吉林月考）计算3 ÷ × ．
【解答】解：原式=3×3 ÷ × ×
=9 ÷ × ×
=45×
=20 ．
知识点5 二次根式的加减法
1．同类二次根式
同类二次根式的定义：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几
个二次根式叫做同类二次根式．
合并同类二次根式的方法：
只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．
【知识拓展】同类二次根式
（1）同类二次根式类似于整式中的同类项．
（2）几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同．
（3）判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看
被开方数是否相同．
2．二次根式的加减法
（1）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的
二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．
（2）步骤：
①如果有括号，根据去括号法则去掉括号．
②把不是最简二次根式的二次根式进行化简．
③合并被开方数相同的二次根式．
3．二次根式的混合运算
（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次
根式的混合运算应注意以下几点：
①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面
的．
②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作
“多项式“．
（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式．
（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当
的解题途径，往往能事半功倍．
【典例】
1.下列各式中，与❑√3是同类二次根式的是（ ）
A.❑√9 B.❑√27 C.❑√18 D.❑√24
【答案】B.
【解析】解：A、❑√9=3与❑√3被开方数不同，不是同类二次根式；
B、❑√27=3❑√3与❑√3被开方数相同，是同类二次根式；
C、❑√18=3❑√2与❑√3被开方数不同，不是同类二次根式；
D、❑√24=2❑√6与❑√3被开方数不同， 不是同类二次根式．故选：B
【方法总结】
本题主要考查了同类二次根式的定义，即：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的
二次根式叫做同类二次根式．根据同类二次根式的意义，将选项中的根式化简，找到被开
方数为3的即可．
√1 √1
2.计算2❑ ﹣6❑ +❑√8的结果是（ ）
2 3
A.3❑√2﹣2❑√3 B.5﹣❑√2 C.5﹣❑√3 D.2❑√2
【答案】A.
√1 √1
【解析】解：2❑ ﹣6❑ +❑√8
2 3
❑√2 ❑√3
=2× ﹣6× +2❑√2，
2 3
=❑√2﹣2❑√3+2❑√2，
=3❑√2﹣2❑√3．
故选：A
【方法总结】
本题主要考查了二次根式的运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进
行合并．合并同类二次根式的实质是合并同类二次根式的系数，根指数与被开方数不变．
3.计算
（1）❑√18a⋅❑√2a(a≥0)
√ 1 √ 1
（2）❑4 ÷❑2
2 4
（3）❑√12+❑√18-❑√8-❑√32
（4）(3+❑√10)(❑√2-❑√5)．
【解析】解：（1）❑√18a⋅❑√2a(a≥0)
=❑√18a×2a
=❑√（6a） 2
=6a
√ 1 √ 1
（2）❑4 ÷❑2
2 4
√9 4
=❑ ×
2 9
=❑√2
（3）❑√12+❑√18-❑√8-❑√32=2❑√3+3❑√2﹣2❑√2﹣4❑√2
=2❑√3﹣3❑√2
（4）(3+❑√10)(❑√2-❑√5)
=3❑√2﹣3❑√5+2❑√5﹣5❑√2
=﹣2❑√2﹣❑√5
【方法总结】
本题考查二次根式的混合运算，记住先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的
如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
（1）根据二次根式的乘法法则计算即可；（2）根据二次根式的除法法则计算即可；（3）
先化简二次根式，再合并同类二次根式；（4）分别相乘展开后，合并同类二次根式．
【随堂练习】
1．（博兴县期中）计算：
（1） ÷ +2 × ﹣（2 + ）2
（2）（﹣ ）﹣2﹣（﹣1）× ﹣ +
【解答】解：（1）原式= +2 ﹣（8+4 +3）
=4+2 ﹣11﹣4
=﹣7﹣2 ；
（2）原式=4﹣1×1﹣4+5
=4﹣1﹣4+5
=4．
2．（兴义市期中）（1）5 ．
（2） ．
【解答】解：（1）原式=5× +4 ﹣=5 ﹣ ；
（2）原式= ×（ ）
= ×
=
= ．
3．（矿区期中）（1）计算（ ﹣2 +3 ）×
（2）已知a= +2，b= ﹣2．求a2b+ab2的值
【解答】解：（1）原式=（2 ﹣ + ）×
=2 ×
=4 ；
（2）当a= +2，b= ﹣2时，
原式=ab（a+b）
=（ +2）（ ﹣2）（ +2+ ）
=（3﹣4）×2
=﹣2 ．
知识点6 二次根式化简求值
二次根式的化简求值二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．
二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算
区分，避免互相干扰．
【典例】
1.已知x=3+2❑√2，y=3﹣2❑√2，求下列各式的值：
x y
（1）x2y+xy2； （2） + ．
y x
【解析】解：∵x=3+2❑√2，y=3﹣2❑√2，
∴x+y=6，
xy=（3+2❑√2）（3﹣2❑√2）
=1，
∴x+y=6，xy=1，
（1）∵x+y=6，xy=1，
∴x2y+xy2=xy（x+y）
=1×6
=6；
（2）∵x+y=6，xy=1，
x y x2+ y2
∴ + =
y x xy
(x+ y) 2-2xy
=
xy
62-2×1
=
1
=34．
【方法总结】
本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次
根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分
x y
避免互相干扰．先计算出 x+y=6，xy=1，再把x2y+xy2变形为xy（x+y）， + 变形为
y x
(x+ y) 2-2xy
，然后利用整体代入的方法计算．
xy
【随堂练习】
1．（沧州期末）（1）计算：3 ﹣ × +（2）已知：x= +1，求x2﹣2x的值．
【解答】解：（1）3 ﹣ × +
=
=
=2 ；
（2）∵x= +1，
∴x2﹣2x
=x（x﹣2）
=（ +1）（ +1﹣2）
=（ +1）（ ﹣1）
=5﹣1
=4．
2．（遵义期末）已知x= （ + ），y= （ ﹣ ），求下列各式的值：
（1）x2﹣xy+y2；
（2） + ．
【解答】解：x= （ + ），y= （ ﹣ ），
x+y= （ + ）+ （ ﹣ ）= ，xy= （ + ）× （ ﹣ ）= ，
（1）x2﹣xy+y2；
=（x+y）2﹣3xy
=（ ）2﹣3×= ；
（2） +
=
=
=
=12．
3．（宁晋县期中）已知a= ，b= ，求a2+3ab+b2﹣a+b的值
【解答】解：∵a= ，b= ，
∴a+b=2 ，a﹣b=﹣2 ，ab=1，
∴原式=a2+3ab+b2﹣a+b
=a2+2ab+b2﹣a+b+ab，
=（a+b）2﹣（a﹣b）+ab
=（2 ）2﹣（﹣2 ）+1
=13+2 ．
综合运用
√5 √ 5
1.计算：❑√2xy•❑√8 y= ___ ，❑√12×❑√27=_________；❑ ÷❑ = _____ ．
3 54
【答案】4y❑√x；18；3❑√2．
【解析】解：❑√2xy•❑√8 y=❑√2xy∙8 y=❑√(4 y) 2∙x
=❑√(4 y) 2∙❑√x
=4y❑√x，
故❑√2xy•❑√8 y=4y❑√x，
❑√12×❑√27=❑√4×3×❑√3×9
=❑√4×3×3×9
=❑√3×3×❑√4×9
=❑√3²×❑√6²
=3×6
=18；
故❑√12×❑√27=18．
√5 √ 5 √5 5
❑ ÷❑ =❑ ÷
3 54 3 54
√5 54
=❑ ×
3 5
=❑√18
=❑√9×2
=❑√9×❑√2、
=3❑√2．
故答案为：4y❑√x；18；3❑√2．
2.化简❑√27的结果是____________．
【答案】3❑√3．
【解析】解：先把27分解为9×3，再把9开方即可．
∴❑√27=❑√9×3
=❑√9×❑√3
=3❑√3；
故化简❑√27的结果是3❑√3．
3.已知x=3+2❑√2，y=3﹣2❑√2，则式子x2y﹣xy2的值为____________．
【答案】4❑√2．
【解析】解：∵x=3+2❑√2，y=3﹣2❑√2，
∴x-y=3+2❑√2-（3-2❑√2）
=3+2❑√2-3+2❑√2=4❑√2
xy=（3+2❑√2）×（3-2❑√2）
=3²-（2❑√2）²
=9-8
=1
即x-y=4❑√2，xy=1，
∵x-y=4❑√2，xy=1，
∴x2y﹣xy2
=xy（x﹣y）
=1×4❑√2
=4❑√2．
故答案为：4❑√2．
4.求下列式子有意义的x的取值范围
1 ❑√3-x ❑√x-3
（1） ； （2） ； （3） ；
❑√4-3x x-2 x-2
（4）❑√-x2； （5）❑√2x2+1； （6）❑√2x-3+❑√3-2x．
【解析】解：（1）根据二次根式的意义和分式有意义的条件，
被开方数4﹣3x≥0，分母4﹣3x≠0，
4
解得x＜ ．
3
4
所以x的取值范围是x＜ ．
3
（2）根据二次根式的意义和分式有意义的条件，
被开方数3﹣x≥0，解得x≤3；
分母x-2≠0，解得x≠2．
所以x的取值范围是x≤3且x≠2．
（3）根据二次根式的意义和分式有意义的条件，
被开方数x﹣3≥0，解得x≥3；
分母x﹣2≠0，解得x≠2．
因为大于或等于3的数中不包含2这个数，
所以x的取值范围是x≥3．
（4）根据题意得：﹣x2≥0，即x2≤0
∵x2≥0，x2≤0，
∴x2=0，解得x=0．
∴x的取值范围是x=0；
（5）根据题意得：2x2+1≥0，
∵x2≥0，
∴2x2+1＞0，
故x的取值范围是任意实数；
3
（6）根据题意得：2x﹣3≥0，解得x≥ ；
2
3
2x﹣3≤0，解得x≤ ．
2
3
综上，可知x= ．
2
3
∴x的取值范围是x= ．
2
√1 1
5.计算：3❑√5+2❑ -❑√20- ❑√32．
2 2
【解析】解：原式=3❑√5+❑√2﹣2❑√5﹣2❑√2
=❑√5﹣❑√2．
√1
6.计算：①（3﹣❑√7）（3+❑√7）+❑√2（2﹣❑√2） ②❑√48÷❑√3﹣❑ ×❑√12+❑√24
2
【解析】解：①原式=32﹣（❑√7）2+2❑√2﹣2
=9﹣7+2❑√2﹣2
=2❑√2；
√1
②原式=❑√48÷3﹣❑ ×12+2❑√6
2
=❑√16﹣❑√6+2❑√6
=4+❑√6．
7.已知x=❑√3+❑√2，y=❑√3﹣❑√2．
求（1）x3y+xy3；
（2）3x2﹣5xy+3y2的值．
【解析】解：∵x=❑√3+❑√2，y=❑√3﹣❑√2．
∴x+y=❑√3+❑√2+❑√3﹣❑√2
=2❑√3
xy=(❑√3+❑√2)×（ ❑√3-❑√2）=(❑√3 )²-（ ❑√2 ）²
= 3-2
=1
（1）原式=xy（x2+y2）
=xy[（x+y）2﹣2xy]
=1×[（2❑√3）2﹣2×1]
=10
（2）原式=3（x2+y2）﹣5xy
=3[（x+y）2﹣2xy]﹣5xy
=3（x+y）2﹣11xy
=3×（2❑√3）2﹣11×1
=36-11
=25．
