第2讲一元二次方程_《初中数学•秋季三阶学生讲义分节》789年级(北师)_《初中数学•秋季三阶讲义》9年级(北师)_《初中数学•秋季三阶学生讲义解析》9年级(北师)尖子班

第 2 讲 一元二次方程
知识点1 一元二次方程的概念及解法
一元二次方程：只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二
次方程.
一般形式：任何一个一元二次方程，经过整理都可以化为ax²+bx+c=0(a≠0)的形式．称之为一元二次方程
的一般形式；ax²，bx，c分别称为二次项、一次项、常数项；a，b分别称为二次项系数、一次项系数
一元二次方程的解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法.
x2  a(a  0) (xb)2  a(a  0)
1. 形如 或 的一元二次方程，就可用直接开平方的方
法
ax2 bxc  o  a  0 
2. 用配方法解一元二次方程 的一般步骤是：
①化二次项系数为1，即方程两边同时除以二次项系数；
②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；
③配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方；
3. 公式法又叫万能法，对于任何的一元二次方程都适用，解题时，一定要准确判断 a、b、c
的值，熟练记忆并理解公式的推导和结论
（1）一元二次方程的根的判别式△=b2－4ac
当△＞0时，有两个不相等的实数根； 当△＝0时，有两个相等的实数根；
当△＜0时，没有实数根．反过来也成立
ax2 bxc0(a 0)
（2）一元二次方程 的求根公式是
移项得：二次项系数化为1，得：
：
即
当 时，
即
∴
4. 因式分解法的一般步骤是：
①将方程的右边化为0；②将方程的左边化成两个一次因式的乘积；
③令每个因式都等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程
的解
【典例】一元二次方程定义及一般形式
1.下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）
1
x2  0
x2 ax2 bxc0
A. B.
(x1)(x2)1 3x2 2xy5y2 0
C. D.
【答案】C.
【解析】解：A：不是整式方程，故本选项错误；
B：当a=0时，即ax2+bx+c=0的二次项系数是0时，该方程就不是一元二次方程；故本选项错误；
C：由原方程，得x2+x-3=0，符号一元二次方程的要求；故本选项正确；
D：方程3x2-2xy-5y2=0中含有两个未知数；故本选项错误．故选C．
2.把一元二次方程 化成一般形 其中 、 、 分别为（
）
A. 、 、 B. 、 、
C. 、 、 D. 、 、
【答案】B.【解析】原方程可整理为： ， ， ， ．
【方法总结】
（1）一元二次方程必须满足的条件：
①含有一个未知数；②未知数最高次数是2；③二次项系数不为0；是整式方程
（2）二次项系数、一次项系数和常数项都是在一般形式下定义的，所以在确定一元二次方程各项的系数
时，应首先将方程化为一般形式；
（3）项的系数包括它前面的符号。如：x²+5x+3=0的一次项系数是5，而不是5x；
3x²+4x-1=0的常数项是-1而不是1；
【典例2】直接开平方法
a (x 17)2 100 b (y4)2 17 a b
1.若 为方程式 的一根， 为方程式 的一根，且 、 都是正数，
ab
则 之值为何?( )
83 10 17
A. 5 B. 6 C. D.
【答案】B.
(x 17)2 100 x 17 10 x  1710 x  1710
【解析】由 得 ，∴ 1 ， 2 ，
a a
又 是正数且 是此方程的根，
a  1710 b4 17
∴ ．同理 ，
ab( 17 10)(4 17)6
∴ ．
(x2)2 9
2.解方程 .
x23 x 5 x 1
【解析】根据平方根的定义，得 ，即 1 ， 2 ．
【方法总结】
x2  a(a  0) (xb)2  a(a  0)
形如 或 的一元二次方程，就可用直接开平方的方法；如果a＜0，
则方程无解
【典例3】配方法1.已知方程 可以配方成 的形式，那么 可以
配方成下列的（ ）
A. B. C. D.
【答案】B.
【解析】∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，据题意得p=3，9﹣q=7，
∴p=3，q=2，
∴ 是 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即
x2 4x20
2.用配方法解方程：
x2 4x2
【解析】
x2 4x424
(x2)2 2
x2 2
x 22
x  22，x  22
1 2
【方法总结】
ax2 bxc  o  a  0 
用配方法解一元二次方程 的一般步骤是：
①化二次项系数为1，即方程两边同时除以二次项系数；②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；
③配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方；
(xm)2 n
④化原方程为 的形式；
n0
⑤如果是非负数，即 ，就可以用直接开平方求出方程的解.如果n＜0，则原方程无解
【典例4】公式法
1.一元二次方程4x2﹣2x+ =0的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 无法判断
【答案】B.
【解析】解：在方程4x2﹣2x+ =0中，△=（﹣2）2﹣4×4×（ ）=0，
∴一元二次方程4x2﹣2x+ =0有两个相等的实数根．
故选B
2x2 8x30
2.用公式法解方程： .
a  2,b  8,c 3
【解析】
 b2 4ac 82 423 40
b b2 4ac 8 40
x  
2a 22
4 10 4 10
x  ,x 
1 2 2 2
【方法总结】
解题技巧：（1）一元二次方程的根的判别式△=b2－4ac
当△＞0时，有两个不相等的实数根； 当△＝0时，有两个相等的实数根；
当△＜0时，没有实数根．反过来也成立
ax2 bxc0(a 0)
（2）一元二次方程 的求根公式是
b b2 4ac
x  (b2 4ac0)
1,2 2a【典例5】因式分解法
1.解方程（x-1）（x+2）=2（x+2）
【解析】原方程可以整理为
∴ 或
∴
2.解方程： .
【解析】
解得 ．
【方法总结】
因式分解法的解题技巧是：
①将方程的右边化为0；②将方程的左边化成两个一次因式的乘积；
③令每个因式都等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程
的解
【随堂练习】
1．（昌江区校级期中）若 ， 是方程 的两根，则
【解答】解： ， 是方程 的两根，
， ，
，
故答案为： ．2．（泸县模拟）设 ， 是方程 的两个实数根，则 的值为 ；
【解答】解： 设 ， 是方程 的两个实数根，
， ，
，
，
故答案为：．
3 ． （ 简 阳 市 模 拟 ） 设 、 是 方 程 的 两 根 ， 则
．
【解答】解： 、 是方程 的两实数根，
， ， ， ，
则
故答案为： ．
二．解答题（共4小题）
4．（黄石期末）关于 的一元二次方程为 ．
（1）求出方程的根；
（2） 为何整数时，此方程的两个根都为正整数？
【解答】解：（1） ，
或 ，
所以 ， ；
（2） ，
由于 为整数，所以当 或2时， 为正整数，此时 或 ，
所以 为2或3时，此方程的两个根都为正整数．
5．（工业园区期末）已知关于 的方程 ．
（1）若此方程的一个根为 ，求 的值；
（2）求证：无论 取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．
【解答】（1）解：把 代入 得 ，解得
，
即 的值为1；
（2）证明：△
，
△ ，
方程都有两个不相等的实数根．
6．（杭州校级期中）如果方程 的两个根是 ， ，那么 ，
，请根据以上结论，解决下列问题：
（1）若 ， ，求方程 的两根．
（2）已知实数 、 满足 ， ，求 的值；
（3）已知关于 的方程 ， ，求出一个一元二次方程，使它的两个根
分别是已知方程两根的倒数．
【解答】解：（1）当 ， ，则方程为 ，
解得： ， ．
（2） 、 满足 ， ，、 是 的解，
当 时， ， ，
；
当 时，原式 ．
（3）设方程 ， ，的两个根分别是 ， ，
则 ， ，
则方程 的两个根分别是已知方程两根的倒数．
7．（湖北自主招生）边长为整数的直角三角形若其两直角边长是方程
的两根，求 的值并确定直角三角形三边之长．
【解答】解：设直角边为 ， ，则 ， ，
因方程的根为整数，故其判别式为平方数，
设△ ，
，
或 或 ，
解得 （不是整数，舍去）， ， ，
当 时， ， ， ， ，
当 时， ， ， ， ．
当 时，三角形三边的长为：5，12，13．
当 时，三角形三边的长为：6，8，10．
知识点2：根与系数的关系
根与系数关系又称为韦达定理：
(1)如果方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根为x，x，那么x＋x＝－，x·x＝
1 2 1 2 1 2
(2)如果方程x2+px+q＝0的两个根是x，x，那么x＋x＝-p，x·x=q
1 2 1 2 1 2【典例】
1.已知关于x的方程 kx2-2 (k+1) x+k-1=0 有两个不相等的实数根，
(1) 求k的取值范围；
(2) 是否存在实数k，使此方程的两个实数根的倒数和等于0 ？若存在，求出k的值；若不存在，说
明理由.
【解析】解：(1) ∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ=[-2(k＋1)]2－4k(k-1)>0，且k≠0，
解得k>- ，且k≠0 .即k的取值范围是k>- ，且k≠0 .
(2) 假设存在实数k，使得方程的两个实数根x , x 的倒数和为0.
1 2
2(k1)
k
0
1 1 k1 k1
 0 0
则x ，x 不为0，且 x 1 x 2 ，即 k ，且 k ，解得k=-1 .
1 2
而k=-1 与方程有两个不相等实根的条件k>- ，且k≠0矛盾，
故使方程的两个实数根的倒数和为0的实数k不存在 .
【方法总结】
解题技巧：
(1)如果方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根为x，x，那么x＋x＝－，x·x＝
1 2 1 2 1 2
(2)如果方程x2+px+q＝0的两个根是x，x，那么x＋x＝-p，x·x=q
1 2 1 2 1 2
(3)当方程的两个根分别为x、x 满足条件的方程为（x-x）（x-x）=0
1 2， 1 2
(4)常常配合平方差公式和完全平方公式完成解题
【随堂练习】
1．（昌江区校级期中）若 ， 是方程 的两根，则
【解答】解： ， 是方程 的两根，
， ，
，
故答案为： ．2．（泸县模拟）设 ， 是方程 的两个实数根，则 的值为 ；
【解答】解： 设 ， 是方程 的两个实数根，
， ，
，
，
故答案为：．
3 ． （ 简 阳 市 模 拟 ） 设 、 是 方 程 的 两 根 ， 则
．
【解答】解： 、 是方程 的两实数根，
， ， ， ，
则
故答案为： ．
二．解答题（共7小题）
4．（双峰县期末）关于 的一元二次方程 的两个实数根分别为 、 ．
（1）求 的取值范围；
（2）若 ，求 的值．
【解答】解：（1） 方程 的两个实数根，
△ ，
解得： ．
（2） 方程 的两个实数根分别为 、 ，
， ．
，即 ，．
5．（泸县模拟）已知关于 的一元二次方程 ．
（1）若方程有实数根，求实数 的取值范围．
（2）若方程两实数根为 、 ，且满足 ，求实数 的值．
【解答】解：（1） 方程有实数根，
△ ，
；
（2） ，
，
，
把 代入 得： ，
解得： ．
6．（十堰）已知关于 的方程 有两个实数根 ， ．
（1）求实数 的取值范围；
（2）若 ， 满足 ，求实数 的值．
【解答】解：（1） 关于 的方程 有两个实数根 ， ，
△ ，
解得： ，
实数 的取值范围为 ．（2） 关于 的方程 有两个实数根 ， ，
， ．
，
，即 ，
解得： 或 （不符合题意，舍去）．
实数 的值为 ．
7．（湖北自主招生）边长为整数的直角三角形若其两直角边长是方程
的两根，求 的值并确定直角三角形三边之长．
【解答】解：设直角边为 ， ，则 ， ，
因方程的根为整数，故其判别式为平方数，
设△ ，
，
或 或 ，
解得 （不是整数，舍去）， ， ，
当 时， ， ， ， ，
当 时， ， ， ， ．
当 时，三角形三边的长为：5，12，13．
当 时，三角形三边的长为：6，8，10．
8．（十堰模拟）已知关于 的一元二次方程 有实根．
（1）求 的取值范围；
（2）如果方程的两个实数根为 ， ，且 ，求 的值．
【解答】解：
（1） 关于 的一元二次方程 有实根，△ ，即 ，解得 ；
（2） 方程的两个实数根为 ， ，
， ，
，
，
，解得 或 ，
，
．
9．（新疆期末）已知关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根．
（1）求 的取值范围；
（2）设方程的两个实数根分别为 ， ，当 时，求 的值．
【解答】解：（1） 方程有两个不相等的实数根，
△ ，即 ，解得 ；
（2）当 时，方程为 ，
， ，
．
10．（寿县期末）若关于 的一元二次方程 有实数根 、 ．
（1）求实数 的取值范围；
（2）设 ，求 的最小值．
【解答】解：（1） 关于 的一元二次方程 有两实数根，
△ ，
，实数 的取值范围为 ．
（2） 、 为方程 的两实数根，
，
．
，
．
的最小值为 ．
知识点3：一元二次方程的应用
列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的
次数之间的数量关系.审题一定要看清楚数值是总量还是经过2次变化后的量。
一件商品的利润=售价-进价。
总利润=一件商品的利润×卖出去的数量。
【典例1】增长率或降低率
1.为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”，某市加快了廉租房的建设力度． 年市政府
共投资 亿元人民币建设了廉租房 万平方米，预计到 年底三年共累计投资 亿元人民币建设
廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同．
（1）求每年市政府投资的增长率；
（2）若这两年内的建设成本不变，求到 年底共建设了多少万平方米廉租房．
【解析】（1）设每年市政府投资的增长率为 ．
根据题意，得： ，
整理，得： ，
解之，得： ，
∴ ， （舍去），∴ ，
答：每年市政府投资的增长率为 ．
（2）设到 年底共建廉租房面积 ，
则可得： ，
∴ （万平方米）．
【方法总结】
解这类题的方法是：
(1)增长率问题：平均增长率公式为 (a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增
长后的量)
(2)降低率问题：平均降低率公式为 (a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降
低后的量)。
【典例2】利润问题
1.某商店准备进一批季节性小家电，单价40元．经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个，定价
每增加1元，销售量净减少10个；定价每减少1元，销售量净增加10个．因受库存的影响，每批次进货
个数不得超过180个，商店若将准备获利2000元，则应进货多少个？定价为多少元？
【解析】设每个商品的定价是x元，
由题意，得（x-40）[180-10（x-52）]=2000，
整理，得x2-110x+3000=0，
解得x=50，x=60．
1 2
当x=50时，进货180-10（50-52）=200个＞180个，不符合题意，舍去；
当x=60时，进货180-10（60-52）=100个＜180个，符合题意．
答：当该商品每个定价为60元时，进货100个．
【方法总结】
列一元二次方程解决销售利润方案问题时，要理清进价、原来的售价、上升价格或下调价格，以及销售数
量与售价之间满足的函数关系.如果列出的方程是一元二次方程，在解方程时需要根据应用题的实际意义
来决定方程根的取舍问题.
销售问题公式：
价格上升公式为 （原来的售价+上升的钱数—进价）× 销售数量 = 利润
价格下调公式为 （原来的售价—下降的钱数—进价）× 销售数量 = 利润【典例3】面积问题
1.某中学标准化建设规划在校园内的一块长 米，宽 米的矩形场地 上修建三
条同样宽的人行道，使其中两条与 平行，另一条与 平行，其余部分种草（如图所
示），若使每一块草坪的面积都为 平方米．求人行道的宽。
【解析】解：设人行道路的宽为 米，根据题意得：
；
解得： 或 （舍去）
答：人行道宽2米。
2.如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园
（围墙 最长可利用 ），现在已备足可以砌 长的墙的材料，若设计一种砌
法，使矩形花园的面积为 ．则 长度为多少
【解析】解：设 m，则 m．
根据题意可得， ，
解得： ， ，
当 ， ，故 （不合题意舍去），
答： 长度为15m。
【方法总结】
两种不同的算法求图形的面积：
① 利用特殊图形（三角形，长方形，正方形等）的面积公式求；
三角形面积=底乘以高的一半；正方形面积=边长的平方；矩形的面积=长乘以宽；
②利用面积的加减列式求解
不规则图形面积要转化为规则的图形面积来求。
【典例4】动点问题
1.已知：如图所示，在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=7cm．点P从点A开始沿AB
边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．
（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4平方厘米？
（2）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5cm？
（3）在（1）中，△PQB的面积能否等于7平方厘米？说明理由．
【解析】解：设t秒后，则AP=t，BP=5-t； BQ=2t．
（1）因为S PBQ=BP×BQ÷2，
所以2t（5-t）=4×2
△
解得：t=1或4．（t=4秒不合题意，舍去）
故：1秒后，△PBQ的面积等于4cm2．
（2）PQ=5，则PQ2=25=BP2+BQ2，
即25=（5-t）2+（2t）2，t=0（舍去）或t=2．
故2秒后，PQ的长度为5cm．
（3）令S PQB=7，即：BP×BQ÷2=7,
（5-t）×2t=7×2
△
整理得：t2-5t+7=0．
由于b2-4ac=25-28=-3＜0，则方程没有实数根．
所以，在（1）中，△PQB的面积不等于7cm2．
2.在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90度，BC=16，AD=21，DC=12，动点P从点D出发，沿线段
DA方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB以每秒1个单位长度的速度向
点B运动．点P、Q分别从点D、C同时出发，当点P运动到点A时，点Q随之停止运动，设运动时间为
t秒．①设△BPQ的面积为S，求S和t之间的函数关系式；
②当t为何值时，以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三等形？（分类讨论）
【解析】解： ①作PM⊥BC，垂足为M．
则四边形PDCM为矩形．
∴PM=DC=12
∵QB=16﹣t，
∴S= ．
②可知CM=PD=2t，CQ=t，
若以B、P、Q三顶为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况：
第一种：PQ=BQ，在Rt PMQ中，PQ2=PM2+QM2=122+t2，解t= ．
第二种：BP=BQ，在Rt△PMB中，BP2=（16﹣2t）2+122，3t2﹣32t+144=0无实根，
∴PB≠BQ． △
第三种：若PB=PQ，由PB2=PQ2得t2+122=（16﹣2t）2+122，解得t= ，t=16（舍去）
1 2
综上可知：t= 或t= ，B、P、Q三点为顶点三角形是等腰三角形．
【方法总结】
解决此类与运动、变化有关的问题，重在运动中分析，变化中求解。
首先，要把握运动规律，寻求运动中的特殊位置，在“动”中求“静”，在“静”中探索运动中“动”的
一般规律。
其次，通过探索、归纳、猜想，获得图形在运动中是否保留或具有某种性质，要用运动的眼光观察各种可
能的情况进行分类讨论，较为精确的把每种情况一一呈现出来。要学会运动问题静态化，在整个过程中要
深刻理解分类讨论、数学结合等数学思想。
【随堂练习】1．（临渭区期末）列方程解应用题：
某玩具厂生产一种玩具，按照控制固定成本降价促销的原则，使生产的玩具能够及时售出
据市场调查：每个玩具按480元销售时，每天可销售160个；若销售单价每降低1元，
每天可多售出2个．已知每个玩具的固定成本为360元，设这种玩具的销售单价为 元．
（1）根据销售单价每降低1元，每天可多售出2个，则现在销售数量为 个
（用含有 的代数式表示）
（2）当 为多少元时，厂家每天可获利润20000元？
【解答】解：（1）根据题意，可得现在销售数量为 个．
故答案为 ；
（2）由题意，得： ，
整理，得： ，
解得： ，
答：这种玩具的销售单价为460元时，厂家每天可获利润20000元．
2．（于洪区期末）某汽车专卖店经销某种型号的汽车．已知该型号汽车的进价为15万元
辆，经销一段时间后发现：当该型号汽车售价定为 25万元 辆时，平均每周售出8辆；
售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆．
（1）当售价为22万元 辆时，求平均每周的销售利润．
（2）若该店计划平均每周的销售利润是90万元，为了尽快减少库存，求每辆汽车的售价．
【解答】解：（1）由题意，可得当售价为 22 万元 辆时，平均每周的销售量是：
，
则此时，平均每周的销售利润是： （万元）；
（2）设每辆汽车降价 万元，根据题意得：
，
解得 ， ，
当 时，销售数量为 （辆 ；当 时，销售数量为 （辆 ，
为了尽快减少库存，则 ，此时每辆汽车的售价为 （万元），
答：每辆汽车的售价为20万元．
3．（武昌区期中）如图，为美化环境，某小区计划在一块长方形空地上修建一个面积为
1500平方米的长方形草坪，并将草坪四周余下的空地修建成同样宽的通道，已知长方形
空地的长为60米，宽为40米．
（1）求通道的宽度；
（2）晨光园艺公司承揽了该小区草坪的种植工程，计划种植“四季青”和“黑麦草”两种
绿草，该公司种植“四季青”的单价是30元 平方米，超过50平方米后，每多出5平
方米，所有“四季青”的种植单价可降低 1元，但单价不低于20元 平方米，已知小区
种植“四季青”的面积超过了50平方米，支付晨光园艺公司种植“四季青”的费用为
2000元，求种植“四季青”的面积．
【解答】解：（1）设通道的宽度为 米．
由题意 ，
解得 或45（舍弃），
答：通道的宽度为5米．
（2）设种植“四季青”的面积为 平方米．
由题意： ，
解得 ，
答：种植“四季青”的面积为100平方米．
4．（雅安期末）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利
40元，为了扩大销售量，增加利润，尽快减少库存，商场决定采取适当的降
价措施，经市场调查发现，如果每件衬衫降价1元，那么商场平均每天可多
售出2件，若商场想平均每天盈利达1200元，那么买件衬衫应降价多少元？
【解答】解：设买件衬衫应降价 元，
由题意得： ，即 ，
，
，
解得： 或
为了减少库存，所以 ．
故买件衬衫应应降价20元．
5．（黄州区校级月考）某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润为120元，
为了扩大销量，尽快减少库存，超市准备适当降价，据测算，若每箱降价2元，则每天
可多售出4箱．
（1）如果要使每天销售该饮料获利14000元，则每箱应降价多少元．
（2）每天销售该饮料获利能达到14500元吗？若能，则每箱应降价多少？若不能，请说明
理由．
【解答】解：（1）要使每天销售饮料获利14000元，每箱应降价 元，
依据题意列方程得， ，
整理得 ，
解得 ， ；
为了扩大销量，尽快减少库存，
．
答：每箱应降价50元，可使每天销售饮料获利14000元．
（2）由题意得： ，
整理得 ，
△ ，
此方程无实数根，
故该超市每天销售这种饮料的获利不可能达14500元．
6．（江海区期末）某市年投入教育经费2500万元，年投入教育经费3025万元．
（1）求年至年该地区投入教育经费的年平均增长率；（2）根据（1）所得的年平均增长率，预计年该地区将投入教育经费多少万元．
【解答】解：（1）设增长率为 ，根据题意年为 万元，年为 万元．
则 ，
解得 ，或 （不合题意舍去）．
答：这两年投入教育经费的平均增长率为 ．
（2） （万元），
答：年该地区将投入教育经费3327.5万元．
7．（沈北新区二模）某商店准备进一批季节性小家电，单价 40元，经市场预测，销售定
价为52元时，可售出180个，定价每增加1元，销售量减少10个．因受库存影响，每
批次进货个数不得超过180个．商店若准备获利2000元，则应进货多少个？定价多少
元？
【解答】解：设每个小家电的增加是 元，
由题意，得 ，
解得 ，
，
，
，则 （个 ， （元 ，
答：商店若准备获利2000元，则应进货100个，定价60元．
8．（咸宁一模）如图所示， 中， ， ， ．
（1）点 从点 开始沿 边向 以 的速度移动，点 从 点开始沿 边向点
以 的速度移动．如果 ， 分别从 ， 同时出发，经过几秒，使 的面
积等于 ？
（2）点 从点 开始沿 边向 以 的速度移动，点 从 点开始沿 边向点
以 的速度移动．如果 ， 分别从 ， 同时出发，线段 能否将 分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由．
（3）若 点沿射线 方向从 点出发以 的速度移动，点 沿射线 方向从 点
出发以 的速度移动， ， 同时出发，问几秒后， 的面积为 ？
【解答】解：（1）设经过 秒，使 的面积等于 ，依题意有
，
解得 ， ，
经检验， ， 均符合题意．
故经过2秒或4秒， 的面积等于 ；
（2）设经过 秒，线段 能否将 分成面积相等的两部分，依题意有
的面积 ，
，
，
△ ，
此方程无实数根，
线段 不能否将 分成面积相等的两部分；
（3）①点 在线段 上，点 在线段 上 ，设经过 秒，依题意有
，
，
解得 ， ，
经检验， 不符合题意，舍去，
；
②点 在线段 上，点 在射线 上 ，
设经过 秒，依题意有
，
，
解得 ，
经检验， 符合题意．
③点 在射线 上，点 在射线 上 ，
设经过 秒，依题意有
，
，
解得 ， ，
经检验， 不符合题意，舍去，
；
综上所述，经过 秒，5秒， 秒后， 的面积为 ．
综合运用：一元二次方程
1.解一元二次方程【解析】 ，
，
． .
2.用配方法解方程： .
【解析】
, ．
3.用公式法解方程 .
【解析】 .
,
此方程无实数根．
4.解方程 （因式分解法）
【解析】
即
解得：
5.果农李明种植的草莓计划以每千克 元的单价对外批发销售，由于部分果农盲目扩大种植，造成该草莓滞销．李明为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克 元的单价对外批发销售．
（1）求李明平均每次下调的百分率；
（2）小刘准备到李明处购买 吨草莓，因为数量多，李明决定再给予两种优惠方案以供其选择：
方案一：打九折销售；
方案二：不打折，每吨优惠现金 元．
试问小刘选择哪种方案更优惠，优惠了多少？请说明理由．
【解析】（1）设平均每次下调的百分率为 ．
由题意，得 ．
解这个方程，得 ， ．
因为降价的百分率不可能大于 ，所以 不符合题意，
符合题目要求的是 ．
答：平均每次下调的百分率是 ．
（2）小刘选择方案一购买更优惠．
理由：方案一所需费用为： （元），
方案二所需费用为： （元），
∵ ， 元，
∴小刘选择方案一购买更优惠，优惠了 元．
6.某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有 台电脑被感染．请你用学
过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？
【解析】解：设每轮感染中平均每一台电脑会感染 台电脑，
∵经过两轮感染后就会有 台电脑被感染，
∴可得： ，
解得： ， （舍去），
∴ ．7.山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克 元，按每千克 元出售，平均每天可售出 千克，
后来经过市场调查发现，单价每降低 元，则平均每天的销售可增加 千克，若该专卖店销售这种核
桃要想平均每天获利 元，请回答：
（1）为尽可能让利于顾客，每千克核桃应降价多少元？
（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？
【解析】（1）解：设每千克核桃应降价 元．
根据题意，得 ．
化简，得
解得 ， ．
答：为尽可能让利于顾客，每千克核桃应降价 元．
（2）解：由（1）可知每千克核桃可降价 元或 元．
因为要尽可能让利于顾客，所以每千克核桃应降价 元．
此时，售价为： （元）， ．
答：该店应按原售价的九折出售．
8.如图，在宽为 ，长为 矩形地面上修筑宽度一样的道路（图中阴影部分），余
下的种植草坪，要使其草坪面积为 ，则宽为多少
【解析】解：设道路得宽为x m，
根据题意得： ，
整理得： ，解得： 或 （不合题意，舍去），
道路的宽为 ．
9.如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的
速度移动，点Q从C点出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动. （1）如果P、Q同时出发，几秒钟后，
可使△PCQ的面积为8平方厘米？（2）点P、Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ的面积
等于△ABC的面积的一半.若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由.
【解析】解：因为∠C＝90°，所以AB＝ ＝ ＝10（cm）.
（1）设xs后，可使△PCQ的面积为8cm2，所以 AP＝xcm，PC＝(6－x)cm，CQ＝2xcm.
则根据题意，得 ·(6－x)·2x＝8.整理，得x2－6x+8＝0，解这个方程，得x＝2，x＝4.
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所以P、Q同时出发，2s或4s后可使△PCQ的面积为8cm2.
（2）设点P出发x秒后，△PCQ的面积等于△ABC面积的一半.
则根据题意，得 (6－x)·2x＝ × ×6×8.整理，得x2－6x+12＝0.
由于此方程没有实数根，所以不存在使△PCQ的面积等于ABC面积一半的时刻.