文档文本内容
第 8 讲 一次函数
知识点1 一次函数的定义
一般地，形如y=kx+b（k、b为常数，且k≠0）的函数叫做一次函数.
正比例函数也是一次函数，是一次函数的特殊形式.
【典例】
5
1.下列函数：① y=πx；② y=2x﹣1；③ y= ；④ y=3x-3（x-5）；⑤ y=x2﹣1；⑥ y=
x
（x+1）（x-1）-x2﹣2x；⑦y= 中，是一次函数的有________________.
【答案】①②⑥
【解析】解：①y=πx是一次函数；
②y=2x﹣1是一次函数；
5
③y= ，未知数出现在分母的位置，不是一次函数；
x
④原式可化简为y=15，不是一次函数；
⑤y=x2﹣1，为指数的系数不为1，不是二次函数，
⑥原式可化简为y=-2x-1，是一次函数.
⑦y= ，未知数出现在分母位置，不是一次函数.
故事一次函数的有①②⑥
故答案为①②⑥.
【方法总结】
本题主要考查了一次函数的定义，一个函数为一次函数的条件是：
①能化成形如y=kx+b 的形式；②k、b为常数，k≠0.
注意：①未知数的次数为1，且不能出现在分母的位置；②正比例函数是特殊的一次函数，一次函数不一定是正比例函数.
2.已知y=（m﹣3）x|m|﹣2+1是一次函数，则m的值是__________.
【解析】解：由y=（m﹣3）x|m|﹣2+1是一次函数，得
{&|m|-2=1
，
&m-3≠0
解得m=﹣3，m=3（不符合题意的要舍去）．
故答案为-3.
【方法总结】
一次函数y=kx+b满足：①k、b为常数；②k≠0；③自变量次数为1，由此可得答案．
牢记一次函数的定义，掌握判定一个函数是一次函数需要满足的条件是解题的关键.
【随堂练习】
1．（高港区校级月考）如果 +3是一次函数，则m的值是 ___ _．
【解答】解：∵ +3是一次函数，
∴2﹣m2=1且m﹣1≠0，
解得m=﹣1．
故答案是：﹣1．
2．（和平区校级模拟）当m=______时，函数y=（m+3）x2m+1+4x﹣5（x≠0）是
一次函数．
【解答】解：①由y=（m+3）x2m+1+4x﹣5（x≠0）是一次函数，得
m+3=0．
解得m=﹣3；
② ，解得m=0；
③2m+1=0，解得：m=﹣ ；
综上所述，当m=﹣3，0，﹣ 时，y=（m﹣3）x2m+1+4x﹣5是一次函数．
故答案为：﹣3，0，﹣ ．
3．（莒南县期末）y=（2m﹣1）x3m﹣2+3是一次函数，则m的值是____．
【解答】解：∵y=（2m﹣1）x3m﹣2+3是一次函数，
∴解得m=1．
故答案为：1．
4．（临沭县校级期末）下列函数关系式：① y=2x﹣1；② ；③ ；
④s=20t．其中表示一次函数的有______（填序号）
【解答】解：一次函数有：①y=2x﹣1、② 、④s=20t是一次函数；
反比例函数有：③ ．
故答案为：①②④
知识点2 一次函数的图像
b
一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是一条经过点（0，b）、（- ，0）的直线，一次函数y
k
＝kx＋b的图象也称为直线y＝kx＋b.
画一次函数图像的步骤：①列表：任意找函数图像上两个点的坐标，一般为与x轴和与y
轴的交点；②描点：在直角坐标系中描出两个点；③连线：过两个点作直线.所作的直线即
为一次函数的图像.
【典例】
1.通过列表、描点、连线作出一次函数y=x﹣2的图象.
【答案】
【解析】解：（1）根据y=x﹣2可得：
（2）描点：函数图形过两点（0，-2），（2，0）.
（3）连线：过两点画直线，如图所示．【方法总结】
本题考查了一次函数的图象作法，熟练掌握作一次函数图象的步骤：①列表；②描点；③
连线，是解题的关键．
做一次函数图像的理论依据：两点确定一条直线.
【随堂练习】
1．（孝义市期末）同一平面直角坐标系中，一次函数 与 为常数）
的图象可能是
A． B．
C． D．
【解答】解：若 ，则一次函数 与 为常数）都是增函数，若
，则一次函数 与 为常数）都是减函数，
故选： ．
2．（上蔡县期末）一次函数 和 的图象可能是
A． B．C． D．
【解答】解：依次分析选项可得：
、读图可得， ， ；两条直线都过一、二、三象限，与图不符；
、读图可得， ， ；一条直线过一、三、四象限，另一条过一、二、四象限，
与图不符；
、读图可得， ， ；两条直线都过二、三、四象限，与图不符；
、读图可得， ， ；一条直线过一、三、四象限，另一条过一、二、四象限，
与图相符．
故选： ．
3．（辽阳）若 且 ，则函数 的图象可能是
A． B．
C． D．
【解答】解： ，且 ，
， ，
函数 的图象经过第一、三、四象限．
故选： ．
4．（松滋市期末）若 ，则一次函数 的图象大致是
A． B．C． D．
【解答】解： 一次函数 中 ， ，
一次函数的图象经过二、三、四象限，
故选： ．
5．（平舆县期末）当 时，一次函数 的图象可能
A． B．
C． D．
【解答】解： ，
直线与 轴的正半轴相交，
故选： ．
6．（辽阳模拟）下面四条直线，可能是一次函数 的图象是
A． B．
C． D．
【解答】解： 一次函数 ，
当 时，函数图象在第一、三、四象限，故选项 错误，选项 正确，
当 时，函数图象在第一、二、四象限，故选项 、 错误，
故选： ．7．（西城区期末）如图，线段 ，动点 以 的速度从 在线段
上运动，到达点 后，停止运动；动点 以 的速度从 在线段 上运动，
到达点 后，停止运动．若动点 ， 同时出发，设点 的运动时间是 （单位： 时，
两个动点之间的距离为 （单位： ，则能表示 与 的函数关系的是
A． B．
C． D．
【解答】解：设点 的运动时间是 （单位： 时，两个动点之间的距离为 （单位： ，
解得，
此时，点 离点 的距离为： ，点 离点 的距离为： ，
相遇后，点 到达 点用的时间为： ，此时两个动点之间的距离为 ，
由上可得，刚开始 和 两点间的距离在越来越小直到相遇时，它们之间的距离变为0，
此时用的时间为 ；
相遇后，在第 时点 到达 点，从相遇到点 到达 点它们的距离在变大， 后 点
从 点返回，点 继续运动，两个动点之间的距离逐渐变小，同时达到 点．
故选： ．
8．（福田区期末）一次函数 的图象大致是A． B．
C． D．
【解答】解： ，
，
一次函数 的图象经过第一、二、四象限，
故选： ．
9．（温江区期末）如果 ， ，则一次函数 的图象的大致形状是
A． B．
C． D．
【解答】解：根据题意， ， ，
则 ， ，
在一次函数 中，
有 ， ，
故其图象过二三四象限，
分析可得 符合，
故选： ．
10．（邵阳县期末）关于 的一次函数 的图象可能是A． B．
C． D．
【解答】解：当 时，函数图象经过一、二、三象限，故 正确；
当 时，函数图象经过二、三、四象限．
故选： ．
11．（阜平县期末）已知 ， ，则一次函数 的大致图象为
A． B．
C． D．
【解答】解： ，
一次函数 的图象从左到右是上升的，
，一次函数 的图象交于 轴的负半轴，
故选： ．
12．（桂林三模）一次函数 的图象可能是
A． B．C． D．
【解答】解：当 时， ，此时函数图象经过二、三、四象限， 选项符合条件；
当 时， ，此时函数图象经过一、二、三象限，无选项符合条件．
故选： ．
13．（芜湖期末）正比例函数 函数值 随 的增大而增大，则 的图
象大致是
A． B．
C． D．
【解答】解： 正比例函数 函数值 随 的增大而增大，
，
的图象经过第一、三、四象限，
故选： ．
知识点3 一次函数的性质
一次函数y＝kx＋b的性质
1．增减性
2．图象所过象限
3．倾斜度
【典例】
1.直线y=kx+k（k≠0）一定经过第__________象限.
【答案】二、三
【解析】解：当k＞0时，直线y=kx+k（k≠0）经过一、二、三象限；
当k＜0时，直线y=kx+k（k≠0）经过二、三、四象限，故答案为二、三.
【方法总结】
题目中没有给出k值的正负，所以要分情况讨论.分别求出k>0和k<0时直线所经过的象限，
然后找出公共的象限，即所求答案.
本题考查了一次函数 y=kx+b(k，b是常数，k≠0)的图象与k，b的关系，注意：k＞0，函数
图象经过第一、三象限；k<0，函数图象经过二、四象限．
2.两条直线 y=ax+b 与 y=bx+a（a≠0，b≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是
1 2
（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：A、由y=ax+b的图像知：a＞0，b＜0，所以y=bx+a过二、四象限，交y轴
1 2
正半轴，符合y=bx+a的图象，故此选项正确；
2
B、由y=ax+b的图像知：a＞0，b＞0，所以y=bx+a过一、三象限，交y轴正半轴，不符
1 2
合y=bx+a的图象，故此选项错误；
2
C、由y=ax+b的图像知：a＞0，b＜0，所以y=bx+a过二、四象限，交y轴正半轴，不符
1 2
合y=bx+a的图象，故此选项错误；
2
D、由y=ax+b知：a＞0，b＞0，所以y=bx+a过一、三象限，交 y轴正半轴，不符合
1 2
y=bx+a的图象，故此选项错误；
2
故选A.
【方法总结】
先假设选项中的一条直线的图像准确，则由图像经过的象限可得 a与b的符号，从而可判
断出另一条直线的图像所经过的象限，再与选项所给图形作对比即可判断该选项的正误.
根据k，b的正负，判定一次函数y＝kx＋b图象所过象限：
①k＞0，b＞0，一次函数y＝kx＋b图象过第一、二、三象限；
②k＞0，b＜0，一次函数y＝kx＋b图象过第一、三、四象限；
③k＜0，b＞0，一次函数y＝kx＋b图象过第一、二、四象限；
④k＜0，b＞0，一次函数y＝kx＋b图象过第二、三、四象限；
3.一次函数 y=（m﹣2）x+（m﹣1）的图象如图所示，则 m 的取值范围是
________________________.【答案】1＜m＜2
【解析】解：∵一次函数y=（m﹣2）x+（m﹣1）的图象在第二、三、四象限，
{&m-2＜0
∴ ，
&m-1＞0
解得1＜m＜2．
故答案为1＜m＜2.
【方法总结】
根据一次函数的图象经过第二、三、四象限判断出函数k及b的符号，得到关于m的不等
式组，解不等式组即可．本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与 k、b的关系．
直线经过一、三象限时，k＞0时；直线经过二、四象限时，k＜0.直线与y轴正半轴相交时，
b＞0；直线过原点时，b=0；直线与y轴负半轴相交时，b＜0.
【随堂练习】
1．（荔湾区校级二模）若一次函数 的图象经过一、二、四象限，则一次函数
的图象不经过
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答】解：一次函数 过一、二、四象限，
则函数值 随 的增大而减小，因而 ；
图象与 轴的正半轴相交则 ，
因而一次函数 的一次项系数 ，
随 的增大而减小，经过二四象限，
常数项 ，则函数与 轴负半轴相交，
因而一定经过二三四象限，因而函数不经过第一象限．
故选： ．
2．（合浦县二模）在平面直角坐标系中，函数 的图象经过
A．一、二、三象限 B．二、三、四象限 C．一、三、四象限 D．一、二、四象限
【解答】解： ， ，
一次函数 的图象经过第一、二、四象限，
故选： ．
3．（建宁县期末）在平面直角坐标系中，一次函数 的图象不经过
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答】解： ，
， ，
故直线经过第一、二、四象限．
不经过第三象限．
故选： ．
4．（富顺县一模）已知直线 经过第一，二，四象限那么，直线
一定不经过
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答】解： 直线 经过第一，二，四象限，
， ，
直线 经过第一、二、三象限，不经过第四象限，
故选： ．
5．（兰陵县期末）下列四个选项中，不符合直线 的性质的选项是
A．经过第一、三、四象限 B． 随 的增大而增大
C．与 轴交于 D．与 轴交于
【解答】解：在 中，
，
随 的增大而增大；，
函数与 轴相交于负半轴，
可知函数过第一、三、四象限；
当 时， ，所以与 轴交于 错误，
当 时， ，所以与 轴交于 正确，
故选： ．
二．填空题（共6小题）
6．（长宁区期末）若关于 的一次函数 为常数）中， 随 的增大而减小，
则 的取值范围是 ．
【解答】解：
一次函数 是常数）中 随 的增大而增大，
，解得 ，
故答案为： ．
7．（泰兴市期末）一次函数 的图象不经过第 一 象限．
【解答】解： ，
一次函数 的图象经过第二、四象限，
，
一次函数 的图象与 轴的交点在 轴下方，
一次函数 的图象经过第三、二、四象限，
即一次函数 的图象不经过第一象限，
故答案为：一
8．（邗江区期末）已知关于 的一次函数 的图象经过第一、二、四象
限，则代数式 可以化简为 5 ．
【解答】解： 一次函数 的图象经过第一、二、四象限，
，得 ，，
故答案为：5．
9．（华蓥市期末）一次函数 中， 随 的增大而减小，则 的取值范围是
．
【解答】解： 一次函数 中，若 的值随 值的增大而减小，
，
．
故答案为： ．
10．（锦州一模）如图，在平面直角坐标系中，点 ， 在直线 与直线
之间，则 的取值范围是 ．
【解答】解：当 在直线 上时， ，
当 在直线 上时， ，
则 ，
故答案为： ；
11．（浦东新区期中）如图所示，长方形 的顶点 在 轴上， 在 轴上，点 坐
标为 ，若直线 恰好将长方形分成面积相等的两部分，则 的值为 1
．【解答】解： 直线 恰好将长方形分成面积相等的两部分，
直线 经过长方形的对角线交点 ．
把点 代入可得 ，得 ，
解得 ．
故答案为：1．
知识点4 两直线的位置与k、b值的关系
同一直角坐标系内，两条直线l：y＝kx＋b 与l：y＝kx＋b 的位置关系：
1 1 1 1 2 2 2 2
平移前后的两条直线互相平行，他们的解析式k值相同， b值不同．
【典例】
1
1.已知直线l：y=﹣ x+1，请分别写出一条与直线l互相平行、互相垂直的直线的解析式：
2
______________，_______________.
1
【答案】y=﹣ x﹣4（答案不唯一），y=2x﹣1（答案不唯一）
2
1 1
【解析】解： 在直线l：y=﹣ x+1中，k=﹣ ，b=1，
2 2
1
若直线与l互相平行，则一次项系数=﹣ ，常数项≠1，
2
1
∴与l互相平行的直线的解析式可以为y=﹣ x﹣1（答案不唯一），
2
1
若直线与l互相垂直，则一次项系数=-1÷（﹣ ）=2，常数项为任意值，
2
∴与l互相垂直的直线的解析式可以为y=2x﹣1（答案不唯一），
1
故答案为y=﹣ x﹣4（答案不唯一），y=2x﹣1（答案不唯一）
2
【方法总结】
两直线平行，则k值相等，b值不相等；两直线垂直，则k值的乘积为-1.对于后者初中阶
段不做研究，但经常用到，方便解题，要求记住结论并能运用.
【随堂练习】
1．（岳麓区校级期末）已知一次函数 ，如果函数值 随 的增大而减小，那么 的取值范围为
A． B． C． D．
【解答】解： 函数值 随自变量 的增大而减小，
，
．
故选： ．
2．（红河州期末）已知直线 在平面直角坐标系中的位置大致如图所示，则
的取值范围是
A． B． C． D．
【解答】解：由图象知， ，
解得： ，
故选： ．
3．（兴城市期末）若一次函数 中， 随 的增大而减小，且知当 时，
， 时， ，则 、 的取值范围是．
A． ， B． ， C． ， D． ，
【解答】解：根据题意， 且直线经过点 ，
，
，
， ，
故选： ．
4．（天心区校级期末）已知一次函数 ， 随 的增大而减小，则 的取值范围是
A． B． C． D．
【解答】解： ，且 随 的增大而减小，
，解得 ，
故选： ．
5．（自贡期末）若一次函数 的函数值 随着 的增大而减小，则
A． B． C． D．
【解答】解： 一次函数 的函数值 随着 的增大而减小，
，
解得 ．
故选： ．
6．（长安区期末）正比例函数 ，若 的值随 的值的增大而减小，则 的值可
能是
A．0 B．2 C． D．
【解答】解： 正比例函数 中， 的值随自变量 的值增大而减小，
，
解得， ；
观察选项，只有选项 符合题意．
故选： ．
7．（荆门）如果函数 ， 是常数）的图象不经过第二象限，那么 ， 应满足
的条件是
A． 且 B． 且 C． 且 D． 且
【解答】解： ， 是常数）的图象不经过第二象限，
当 ， 时成立；
当 ， 时成立；
综上所述， ， ；
故选： ．8．（安吉县期中）如图，在平面直角坐标系中有一个 的正方形网格，其左下角格点
的坐标为 ，右上角格点 的坐标为 ，若分布在直线 两侧的格点数相
同，则 的取值可以是
A． B．2 C． D．
【解答】解 ，
直线过定点 ，
分布在直线 两侧的格点数相同，
由正方形的对称性可知，
直线 两侧的格点数相同，决
在 和直线 之间，两侧个点相同，（如图）
， ，
，
故选： ．二．解答题（共1小题）
9．（古冶区期末）如图，一次函数 的图象 分别与 轴， 轴交于 、 两
点，正比例函数的图象 与 交于点 ．
（1）求 的值及 的解析式；
（2）求得 的值为 ；
（3）一次函数 的图象为 且 ， ， 可以围成三角形，直接写出 的取值范围．
【解答】解：（1）把 代入一次函数 ，
可得， ，解得 ，
， ．
设 的解析式为 ，
将点 ， 代入，
得 ，解得 ，的解析式为 ；
（2）如图，过 作 于 ， 于 ，则 ， ，
，令 ，则 ；令 ，则 ，
， ，
， ，
．
故答案为 ；
（3）一次函数 的图象为 ，如果 ， ， 不能围成三角形，那么可分三种情况：
① 经过点 ， 时， ，解得 ；
② ， 平行时， ；
③ ， 平行时， ；
故 ， ， 可以围成三角形时， 的取值范围是 且 且 ．
综合运用
1.直线y=kx+3与y=3x+k在同一坐标系内，其位置可能是（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【解析】解：当k＞0时，两条直线都是从左到右上升的，而且两条直线交y中轴与正半轴，
四个选项都不符合题意；
∴k＜0，只有选项A正确，
故选A.
1
2.下列函数：①y=﹣2x，②y=﹣3x2+1，③y= x﹣2，④y=（x+3）（x+2）- x2，其中一次
3
函数的个数为_______.
【答案】2
【解析】解：①y=﹣2x是正比例函数，也是一次函数，
②y=﹣3x2+1,未知数的次数不是1，不是一次函数，
1
③y= x﹣2是一次函数．
3
④y=（x+3）（x+2）- x2化简得y=5x+6，是一次函数
故答案为3.
3.若函数y=(m-2)xm2-3+4是一次函数，则m的值为______________.
【答案】-2
【解析】解：∵函数y=(m-2)xm2-3+4是一次函数，
∴m2﹣3=1，m﹣2≠0，
解得：m=±2，且m≠2，
又∵
∴m=-2.
故答案为-2.
1
4.已知直线l
1
：y=2x+1，l
2
：y＝− x+1,则两条直线的位置关系为___________；若一条直
2
线与l 平行，则该直线的未知数的系数为_____________.
1
【答案】相互垂直 2
1
【解析】解：∵2×（− ）=-1，
2
∴两直线互相垂直.
∵直线与l 平行，
1
∴该直线的未知数的系数与l 相同，为2.
1
故答案为互相垂直，2.
5. 已知一次函数y=kx﹣3中 y随x的增大而增大，那么它的图象不经过第_____象限.
【答案】二【解析】解：∵一次函数y=kx﹣3中y随x的增大而增大，
∴k>0,
∴它的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，
故答案为二.
6.一次函数y=（m﹣2）x+3的图象如图所示，则m的取值范围是___________.
【答案】m＜2
【解析】解：如图所示，一次函数y=（m﹣2）x+3的图象经过第一、二、四象限，
∴m﹣2＜0，
解得m＜2．
故答案为m＜2．
1
7.关于函数y= x-3，下列结论中正确的是_____________________.
2
①函数图象经过点（1，﹣2）；②函数图象经过一、三、四象限；③y随x的增大而增大．
【答案】②③
1 5
【解析】解：①∵当x=1时，y= ×1﹣3=﹣ ≠﹣2，
2 2
∴点（1，﹣2）不在一次函数的图象上，故结论错误；
1
②∵k= ＞0，b=﹣3＜0，
2
∴此函数的图象经过一、三、四象限，故结论正确；
1
③∵k= ＞0，
2
∴此函数的图象经过一、三象限，y随x的增大而增大，故结论正确．
故选答案为②③.
8. 画出一次函数y=2x﹣1的图象．
【答案】
【解析】解：函数y=2x﹣1，
①列表：②描点：函数图形过两点（0，﹣1），（1，1），
③画线：过两点画直线，如图所示．
