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第 6 讲 函数
知识点1 常量与变量
1.变量与常量：
在某一变化过程中，数值保持不变的量叫做常量，可以取不同数值的量叫做变量.
注：变量中，自己会变的量叫做自变量，因为自变量而随之改变的量叫做因变量.
【典例】
1.某品牌豆浆机成本为70元，销售商对其销量定价的关系进行了调查，结果如下：
则下列说法中正确的是（ ）
A. 定价是常量，销量是变量
B. 定价是变量，销量是不变量
C. 定价与销售量都是变量，定价是自变量，销量是因变量
D. 定价与销量都是变量，销量是自变量，定价是因变量
【答案】C.
【解析】解：定价与销售量都是变量，而随着定价的改变，销量也在随之改变，所以定价
是自变量，销量是因变量，故C正确.
故选：C．
【方法总结】
本题主要考查了常量和变量的概念，解题的关键能根据题干叙述，准确判断出不变的量和
变化的量，并能够从变量中确认出谁是引起变化的量，进而正确区分自变量和因变量.
【随堂练习】
1．（茂名期末）对于圆的周长公式c=2πr，其中自变量是_____，因变量是____．
【解答】解：自变量是r，因变量是c．
2．（云岩区校级期中）如图，圆柱的高是 3cm，当圆柱的底面半径由小到大变
化时，圆柱的体积也随之发生了变化．
（1）在这个变化中，自变量是____，因变量是____；（2）当底面半径由1cm变化到10cm时，圆柱的体积增加了____cm3．
【解答】解：（1）根据函数的定义可知，对于底面半径的每个值，体积按照一
定的法则有一个确定的值与之对应，所以自变量是：半径，因变量是：体积．
（2）体积增加了（π×102﹣π×12）×3=297πcm3．
故答案为：（1）半径，体积；（2）297π．
知识点2 函数的概念
1.一般地，在一个变化过程中的两个变量 和 ，如果对于 的每一个值， 都有唯一的
值与它对应，那么我们称 是 的函数，其中 是自变量， 是因变量.
2.函数的图像:
在平面直角坐标系中，以函数的自变量的值为横坐标、相应的函数值为纵坐标的点所组成
的图形叫做这个函数的图像.
【典例】
1.下列说法正确的是（ ）
A. 在球的体积公式V= πr2中，V不是r的函数
B. 若变量x、y满足y2=x，则y是x的函数
C. 在圆锥的体积公式V= πR2h中，当h=4厘米，R=2厘米时，V是π的函数
D. 若变量x、y满足y= x+ ，则y是x的函数
【答案】D.
【解析】解：A、在球的体积公V= πr2中，变量是V和r，给定一个r值，都有唯一的V
值与它对应，则V是r的函数，故A错误；
B、变量x、y满足y2=x，给定一个x=4，则有两个y值（±2）与之对应，则y不是x的函
数，故B错误；
C、在圆锥的体积公式V= πR2h中，π是常量，所以当h=4厘米，R=2厘米时，V是π的
函数是错误的，故C错误；D、变量x、y满足y= x+ ，给定一个x值，都有唯一的y值与之对应，则y是x的函
数，故D正确；
故选：D．
2.弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度 y （cm）与所挂的物体的质量x（kg）之间
有下面的关系：
下列说法正确的是______________．
①x与y都是变量；
②弹簧不挂重物时的长度为0cm；
③物体质量每增加1kg，弹簧长度增加0.5cm；
④所挂物体质量为7kg时，弹簧长度为13.5cm．
【答案】①③④
【解析】解：①x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量，正确；
②弹簧不挂重物时的长度为10cm，错误；
③物体质量每增加1kg，弹簧长度增加0.5cm，正确；
④所挂物体质量为7kg时，弹簧长度为10+7×0.5=13.5cm，正确
故答案为：①③④
3.下列图形中的图象不表示y是x的函数的是（ ）
A.
B.
C.D.
【答案】C.
【解析】解：根据函数的概念可知，给定一个 x值，就有唯一的y值与它对应，即x是自
变量，y是因变量.
观察四个图象，
A选项，给自变量x一个值，有且只有一个y值与其对应，故A是函数，
B选项，给自变量x一个值，有且只有一个y值与其对应，故B是函数，
C选项，根据图象知给自变量一个值，有的有3个函数值与其对应，故C不是函数，
D选项，根据图象知给自变量x一个值，有且只有一个y值与其对应，故D是函数，
故选：C．
4.星期日晚饭后，小红从家里出去散步，如图所示，描述了她散步过程中离家的距离 s
（m）与散步所用的时间t（min）之间的函数关系，该图象反映的过程是：小红从家出发，
到了一个公共阅报栏，看了一会报后，继续向前走了一段，在邮亭买了一本杂志，然后回
家了．依据图象回答下列问题
（1）公共阅报栏离小红家有________米；
（2）邮亭离公共阅报栏有________米；
（3）小红从邮亭走回家用了________分．
【答案】略
【解析】解：（1）公共阅报栏离小红家有300米；
（2）邮亭离公共阅报栏有500﹣300=200米；
（3）小红从邮亭走回家用了18﹣13=5分．
故答案为：300；200；5．
【方法总结】
本知识点主要考查了函数的判定、以及函数中的自变量和因变量之间的关系.
判定两个量是否满足函数关系的方法如下：
第一，确定式子中或图形中或语言描述中，只包含两个变量；
第二，（唯一性）判断两个变量之间的关系，比如，给定一个x值，都有唯一的y值与之对应，若则称y是x的函数.反应在图象上就是，一个x的值，对应一个y的值，则称y是x
的函数.
【随堂练习】
1．（端州区期末）下列各图能表示y是x的函数是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：A、对于x的每一个取值，y有时有两个确定的值与之对应，所以
y不是x的函数，故A选项错误；
B、对于x的每一个取值，y有时有两个确定的值与之对应，所以 y不是x的函
数，故B选项错误；
C、对于x的每一个取值，y有时有两个确定的值与之对应，所以 y不是x的函
数，故C选项错误；
D、对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，所以y是x的函
数，故D选项正确．
故选：D．
2．（沂水县期末）在实验课上，小亮利用同一块木板测得小车从不同高度
（h）与下滑的时间（t）的关系如下表：
下列结论错误的是（ ）
A．当h=40时，t约2.66秒
B．随高度增加，下滑时间越来越短
C．估计当h=80cm时，t一定小于2.56秒
D．高度每增加了10cm，时间就会减少0.24秒
【解答】解：A、当h=40时，t约2.66秒；
B、高度从10cm增加到50cm，而时间却从3.25减少到2.56；
C、根据B中的估计，当h=80cm时，t一定小于2.56秒；
D、错误，因为时间的减少是不均匀的；
故选：D．3．（隆回县模拟）下列各式中，能表示y是x的函数关系式是（ ）
A．y= B．y=x3 C．y= D．y=±
【解答】解：根据函数的定义可知：
只有函数y=x3，当x取值时，y有唯一的值与之对应；
故选：B．
知识点3 自变量的取值范围和函数值
函数自变量的取值范围，一般从下面几个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负；
（4）当函数表达式含有0次幂时，需要满足0次幂的底数不等于0.
【典例】
1.求下列函数中自变量的取值范围：
（1）
（2）
（3）
（4） ．
【答案】（1） 取全体实数；（2） 且 ；（3） ；（4） 且 .
【解析】解：（1）∵无论 取何值，函数 均有意义，故 取全体实数；
（2）要使函数有意义，则 且 ，
解得 且 ；
（3）要使函数有意义，则 ，
解得 ；
（4） ，要使该函数有意义，则 且 ，
解得 且 .
2.根据如图所示程序计算函数值，若输入的x的值为 ，则输出的函数值为_________.
【答案】
【解析】解：∵ ，满足2≤x≤4，
∴把 代入 中，得
.
【方法总结】
要求一个函数的自变量的取值范围，只需要保证分式中的分母不等于 0，根号下面的式子
≥0，0次幂的底数不等于0.若一个解析式同时存在上述的情况时，需要全面考虑，使每个
式子都有意义的自变量的取值范围就是该解析式的自变量的取值范围.
【随堂练习】
1．（岳阳）函数y= 中自变量x的取值范围是（ ）
A．x＞3 B．x≠3 C．x≥3 D．x≥0
【解答】解：函数y= 中x﹣3≥0，
所以x≥3，
故选：C．
2．（北仑区模拟）已知函数y= ，下列x的值在自变量的取值范围内的是
（ ）
A．x=﹣2 B．x=0 C．x=1 D．x=4【解答】解：由题意，得
x﹣ ≠0，且x≥0，
解得x≥0且x≠0，1，
故选：D．
3．（镇平县三模）如果两个变量x、y之间的函数关系如图所示，﹣3≤x≤3，则
函数值y的取值范围是（ ）
A．﹣3≤y≤3 B．0≤y≤2 C．1≤y≤3 D．0≤y≤3
【解答】解：∵图象的最高点是（﹣2，3），
∴y的最大值是3，
∵图象最低点是（1，0），
∴y的最小值是0，
∴函数值y的取值范围是0≤y≤3．
故选：D．
4．（杭州一模）如果用c表示摄氏温度，f表示华氏温度，则c与f之间的关系
为：c= （f﹣32），试分别求：
（1）当f=68和f=﹣4时，c的值；
（2）当c=10时，f的值．
【解答】解：（1）当f=68时，c= （f﹣32）=20，
当f=﹣4时，c= （f﹣32）=﹣20；
（2）当c=10时， （f﹣32）=10，解得f=50．
知识点4 函数的图象
（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值；
（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点；（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来.
【典例】
1．（文登区期末）某天，小颖到校后发现有学习用品遗忘在家中，此时离上课
还有15分钟，于是立即步行回家去取．同时小颖的爸爸从家中出发骑自行车给
她送学习用品，两人在途中相遇，在这个过程中，小颖和爸爸两人离学校的距
离S（米）与所用时间t（分钟〕之间的关系如图所示，若爸爸骑自行车的速度
是小颖步行的4倍，根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）学校离家的距离是____米，爸爸出发 _____ 分钟后与小颖相遇；
（2）请求出小颖步行的速度；
〔3）若小颖与爸爸相遇后坐爸爸的自行车赶回学校（假设爸爸骑自行车的速度
不变）小颖能在上课前到达学校吗？请说明理由．
【解答】解：（1）学校离家的距离是2500米，爸爸出发10分钟后与小颖相遇；
故答案为：2500；10；
（2）小颖步行的速度50米/分
设小颖步行的速度为x米/分，则小颖父亲骑车的速度为4x米/分，
依题意得：10x+40x=2500，
解得：x=50
〔3）若小颖与爸爸相遇后坐爸爸的自行车赶回学校（假设爸爸骑自行车的速度
不变）小颖能在上课前到达学校，理由如下：
两人相遇处离学校的距离为50×10=500米
小颖和父亲相遇后，赶往学校的时间为： =2.5
小颖来回花费的时间为：10+2.5=12.5＜15
所以小颖能在上课前到达学校．
【方法总结】
对于图象问题首先要看清楚图象描述的是什么关系，看清楚自变量指什么，因变量是什么
这两者之间存在怎样的关系，变化趋势是什么样的。一般会涉及行程问题的时候要知道路
程等于速度乘以时间。【随堂练习】
1．（海淀区校级月考）骆驼被称为“沙漠之舟”，它的体温随时间的变化而发生较大变化，
其体温 与时间（小时）之间的关系如图1所示．小清同学根据图1绘制了图2，则图2
中的变量 最有可能表示的是
A．骆驼在 时刻的体温与0时体温的绝对差（即差的绝对值）
B．骆驼从0时到 时刻之间的最高体温与当日最低体温的差
C．骆驼在 时刻的体温与当日平均体温的绝对差
D．骆驼从0时到 时刻之间的体温最大值与最小值的差
【解答】解：从0时到4时，温差随时间的增大而增大，在4时达到最大，是 ；再到8
时，这段时间的最高温度是 ，最低是 ，温差不变，从8时开始，最高温度变大，
最低温度不变是 ，温差变大，达到 ，从16时开始体温下降，温差不变．即变量
最有可能表示的是骆驼从0时到 时刻之间的最高体温与当日最低体温的差．
故选： ．
2．（道里区校级模拟）周未，小红到郊外游玩，她从家出发0.5小时后到达甲地，游玩一
段时间后原速前往乙地，刚到达乙地接到妈妈电话，快速返回家中；小红从家出发到返回
家中，行进的路程 随时间 变化的函数图象大致如图：下列说法错误的是A．小红从甲地到乙地骑车的度为
B．小红在甲地游玩1小时
C．乙地离小红家30千米
D．小红接到电话后1.5小时到达家中
【解答】解：小红到郊外游玩，她从家出发到达甲地，速度为： ，因此
正确；
小红在甲地游玩时间： 小时，故 正确；
从家到乙地距离： ，故 正确；
从乙地到家速度未知，故不能确认从乙地返回家中的时间，故 错误．
故选： ．
3．（赤峰）如图是九年级某考生做的水滴入一个玻璃容器的示意图（滴水速度保持不变），
能正确反映容器中水的高度 与时间 之间对应关系的大致图象是
A． B．
C． D．
【解答】解：由于容器的形状是下宽上窄，所以水的深度上升是先慢后快．
表现出的函数图形为先缓，后陡．
故选： ．
4．（随州）第一次“龟兔赛跑”，兔子因为在途中睡觉而输掉比赛，很不服气，决定与乌
龟再比一次，并且骄傲地说，这次我一定不睡觉，让乌龟先跑一段距离我再去追都可以赢结果兔子又一次输掉了比赛，则下列函数图象可以体现这次比赛过程的是
A． B．
C． D．
【解答】解：由于乌龟比兔子早出发，而早到终点；
故 选项正确；
故选： ．
5．（昌平区二模）小明和小华是同班同学，也是邻居，某日早晨，小明 先出发去学
校，走了一段后，在途中停下吃了早餐，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小华
离家后直接乘公共汽车到了学校．如图是他们从家到学校已走的路程 （米 和所用时间
（分钟）的关系图．则下列说法中正确的是
①小明家和学校距离1200米；
②小华乘坐公共汽车的速度是240米 分；
③小华乘坐公共汽车后 与小明相遇；
④小华的出发时间不变，当小华由乘公共汽车变为跑步，且跑步的速度是100米 分时，他
们可以同时到达学校．
A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④
【解答】解：由图象可得，
小明家和学校距离为1200米，故①正确；小华乘坐公共汽车的速度是 米 分，故②正确；
（分 ， （分 ，则小华乘坐公共汽车后 与小明相遇，故③正
确；
小华的出发时间不变，当小华由乘公共汽车变为跑步，且跑步的速度是100米 分时，小华
从家到学校的所用时间为： （分 ，则小华到校时间为 ，小明到校时间
为 ，故④正确；
故选： ．
6．（安徽模拟）已知 ， 两地相距 ，甲车先从 地出发 后，乙车从 地
出发，相向而行，甲车全程以 的速度行驶，乙车以 的速度行驶 后，再
以 的速度驶完剩余路程，下列选项中能正确反映甲、乙两车距 地的距离 与
甲车行驶时间 函数关系的图象是
A．
B．
C．D．
【解答】解：由于甲车先从 地出发 后，乙车从 地出发，乙的图象第一次拐点在
0.5小时，乙车以 的速度行驶 后，再以 的速度驶完剩余路程，所以第二次
拐点在1.5小时，驶完剩余路程需要 小时，故全程结束需要3.5小时．
故选： ．
7．（永康市二模）王爷爷上午 从家出发，外出散步，到老年阅览室看了一会儿报纸，
继续以相同的速度散步一段时间，然后回家．如图描述了王爷爷在散步过程中离家的路程
（米 与所用时间 （分 之间的函数关系，则下列信息错误的是
A．王爷爷看报纸用了20分钟
B．王爷爷一共走了1600米
C．王爷爷回家的速度是80米 分
D．上午 王爷爷在离家800米处
【解答】解：由图可得，
王爷爷看报纸用了 分钟，故选项 正确，
王爷爷一共走了 米，故选项 正确，
王爷爷回家的速度是 米 分，故选项 正确，
上午 王爷爷在离家800米处，故选项 错误，
故选： ．
二．解答题（共1小题）
8．（和平区期末）快车与慢车分別从甲乙两地同时相向出发，匀速而行，快车到达乙地后
停留 ，然后按原路原速返回，快车比慢车晚 到达甲地，快慢两车距各自出发地的路程与所用的时 的关系如图所示．
（1）甲乙两地之间的路程为 420 ；快车的速度为 ；慢车的速度为
；
（2）出发 ，快慢两车距各自出发地的路程相等；
（3）快慢两车出发 相距 ．
【解答】解：（1）由图可知：甲乙两地之间的路程为 ；
快车的速度为： ；
由题意得：快车7小时到达甲地，则慢车6小时到达甲地，
则慢车的速度为： ；
故答案为：420，140，70；
（2） 快车速度为： ，
点坐标为； ，
点坐标为 ，
可得 点坐标为： ， 点坐标为： ，
设 解析式为： ，
，
解得： ，
解析式为： ，
设 解析式为： ，
，
解得： ，解析式为： ，
当快、慢两车距各自出发地的路程相等时： ，
解得： ，
答：出发 小时，快、慢两车距各自出发地的路程相等；
故答案为： ；
（3）第一种情形第一次没有相遇前，相距 ，
则 ，
解得： ，
第二种情形应是相遇后而快车没到乙地前 ，
解得： ，
第三种情形是快车从乙往甲返回： ，
解得： ，
综上所述：快慢两车出发 或 或 相距 ．
故答案为： 或 或 ．
综合运用
1.下列图象不能表示变量y是变量x的函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B.
【解析】解：A、对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值，故A正确；
B、对于x的每一个取值，y有不唯一确定的值，故B错误；
C、对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值，故C正确；
D、对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值，故D正确；
故选：B．
2.下列关系式中，y是x的函数有（ ）
① y= ；② y=x2；③ y2=x（x≥0）；④ y= （x≥0）；⑤ y=± （x≥0）；⑥|y|=x（x≥0）；⑦y=|x|．
A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个
【答案】B.
【解析】解：y是x的函数有：①y= x，②y=x2，④y= （x≥0），⑦y=|x|，共4个，
故选：B．
3.李大爷要围成一个矩形菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边总长
度恰好为24米．要围成的菜园是如图所示的长方形 ABCD．设BC边的长为x米，AB边
的长为y米，则y与x之间的函数关系式是__________________________________.
【答案】y= x+12
【解析】解：根据三边的篱笆总长恰好为24米，得
2y+x=24，
化简得：y= x+12.
4.已知A、B两地相距30km，小明以6km/h的速度从A步行到B地的距离为y km，步行的
时间为x h．
（1）求y与x之间的函数表达式，并指出y是x的什么函数；
（2）写出该函数自变量的取值范围．
【答案】略
【解析】解：（1）由题意可得：y=6x，
此函数是正比例函数；
（2）∵A、B两地相距30km，
∴0≤6x≤30，
解得：0≤x≤5，
即该函数自变量的取值范围是：0≤x≤5．
