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第 2 讲 实数
知识点1 平方根
平方根:如果一个数的平方等于 ，那么这个数叫做 的平方根．
也就是说，若 ，则 就叫做 的平方根．
一个非负数 的平方根可用符号表示为“ ”．
一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根.
【典例】
1.一个正数的两个平方根分别是2a﹣1与﹣a+2，则a的值为____
【答案】-1
【解析】解：因为一个正数有两个平方根，它们互为相反数
所以：2a﹣1﹣a+2=0，
解得：a=﹣1，
【方法总结】
本题主要考察：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，另外还需注意：0的平方根是
0；负数没有平方根.
2.下列说法正确的是（ ）
A.正数的平方根是它本身
B.100的平方根是10
C.﹣10是100的一个平方根
D.﹣1的平方根是﹣1
【答案】C.
【解析】解：A、正数的平方根是它本身，错误；
B、100的平方根是10，错误，应为±10；
C、﹣10是100的一个平方根，正确；
D、﹣1没有平方根，故此选项错误；故选：C
【方法总结】
本题主要考察平方根的相关性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根
是0；负数没有平方根.
【随堂练习】
1．（江宁区校级月考）如果 ，则 的平方根是 ．
【解答】解： ，
， ，
解得， ， ，
，
的平方根是 ，
故答案为： ．
2．（寿光市期中）一个正数 的平方根是 与 ，则这个正数 是 14 4 ．
【解答】解： 一个正数 的平方根是 与 ，
，解得
．
故答案为：144．
3．（西城区期末）49的平方根是 ．
【解答】解：49的平方根是 ．
故答案为： ．
4．（利辛县期末）若 有平方根，则实数 的取值范围是 ．
【解答】解：根据题意得， ，
解得 ．
故答案为： ．
5．（丰城市期末）若一个正数的平方根分别为 和 ，则这个正数为 4 ．
【解答】解： 一个正数的平方根分别为 和 ，
．
解得： ．．
，
这个正数是4．
故答案为：4．
6．（丹江口市期中）若一个正数的两个不同的平方根为 与 ，则这个正数为
9 ．
【解答】解： 一个正数的两个不同的平方根为 与 ，
，
，
，
这个正数为： ．
故答案为：9．
二．解答题（共4小题）
7．（嘉陵区期中）（1）已知 的平方根是 ， 的平方根是士4，求
的平方根；
（2）若 与 是同一个正数的平方根，求 的值．
【解答】解：（1）依题意，得 且 ，
， ．
．
的平方根为 ，
即 ；
（2） 与 是同一个正数的平方根，
，
，
，
．
8．（新左旗期中）已知一个数的两个平方根分别是 和 ，求这个数．
【解答】解： 一个数的两个平方根分别是 和 ，
，
，
，10的平方是100．
故这个数是100．
9．（费县期中）已知 与 是 的平方根，求 和 的值．
【解答】解：①当 与 是同一个平方根时，
，
解得 ，
此时， ，
②当 与 是两个平方根时，
，
解得 ，
此时 ．
10．（白城期中）解方程： ．
【解答】解：整理得， ，
．
故答案为： ．
知识点2 算术平方根
算术平方根：一个正数 有两个互为相反数的平方根，其中正的平方根叫做 的算术平方
根，可用符号表示为“ ”；
有一个平方根，就是 ， 的算术平方根也是 ，负数没有平方根，当然也没有算术平
方根．
【典例】
1. 的算术平方根为____
【答案】3
【解析】解：∵ =9，32=9
∴ 的算术平方根为3．
【方法总结】此题主要考查了算术平方根，关键是掌握算术平方根的概念：一般地，如果一个正数 x的
平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．
【随堂练习】
1．（东西湖区期末）计算： 的值是 3 ．
【解答】解： ，
故答案为：3．
2．（历下区模拟）将一组数 ，2， ， ， ， ， 按下面的方式进行排
列：
，2， ， ， ；
， ，4， ， ；
， ， ， ， ；
若 的位置记为 ， 的位置记为 ，则这组数中最大的有理数的位置记为
．
【解答】解： ，
这列数中最大的数是 ，
观察发现数字的规律为 ，
设64是这列数中的第 个数，则
，
解得 ，
观察发现，每5个数一行，即5个数一循环，
，
是第7行的第2个数．
最大的有理数 的位置记为 ．
故答案为： ．3．（沈丘县一模）计算： ．
【解答】解；原式 ．
故答案为： ．
二．解答题（共5小题）
4．（丹江口市期中）观察下列各式
①
②
③
（1）观察①②③等式，猜想写出第⑤个等式，并验证你的猜想的正确性；
（2）根据上述规律，直接写出 ．
【解答】解：（1）① ，
② ，
③ ，
由此可得：
第⑤个式子为： ；
（2）由上面的规律可得：
故答案为： ．
5．（丹江口市期末）观察下列等式：
等式 ；等式 ；等式 ；
（1）猜想验证：根据观察所发现的特点，猜想第4个等式为 ，第9个等
式为 ，并通过计算验证两式结果的准确性；
（2）归纳证明：由以上观察探究，归纳猜想：用含 的式子表示第 个等式所反映的运算规律为 ，证明猜想的准确性．
【解答】解：（1）第4个等式为 ；
第9个等式为 ；
；
（2） ；
，
又 ，
原式 ．
故答案为： ， ； ．
6．（和县期末）小丽想用一块面积为 的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积
为 的长方形纸片，使它的长宽之比为 ，小丽能用这块纸片裁出符合要求的
纸片吗？通过计算说明．
【解答】解：设长方形纸片的长为 ，宽为 ．
，
，
，
因此，长方形纸片的长为 ．
因为 ，
而正方形纸片的边长只有 ，所以不能裁出符合要求的纸片．7．（蚌埠期中）已知 ， ， 是9的平方根，求： 的值．
【解答】解： ，
，
又 ，
，
又 是9的平方根，
，
分两种情况：
当 时， ；
当 时， ．
8．（昆明模拟）观察下列各式及其验证过程： ，验证：
， ， 验 证 ：
．
（1）按照上述两个等式及其验证过程，猜想 的变形结果并进行验证；
（2）针对上述各式反映的规律，直接写出用 的整数）表示的等式．
【解答】解：（1） ，
验证： ．
（2） 的整数）．知识点3 立方根
立方根：如果一个数的立方等于 ，那么这个数叫做 的立方根，也就是说，若 则
就叫做 的立方根.
一个数 的立方根可用符号表示“ ”，其中“ ”叫做根指数，不能省略．
前面学习的“ ”其实省略了根指数“ ”，即： 也可以表示为 ．
任何一个数都有立方根，且只有一个立方根，
正数的立方根为正数，负数的立方根为负数， 的立方根为 ．
【典例】
1.计算 的结果是（ ）
【答案】3
【解析】解： = =3，
【方法总结】
此题主要考查了立方根，正确把握立方根的定义是解题关键．若 则 就叫做 的立
方根.
2如果m2=36，n3=﹣64， =5，则m+n﹣x的值有____个．
【答案】4
【解析】解：∵m2=36，n3=﹣64， =5，
∴m=6或﹣6、n=﹣4、x=5或﹣5，
当m=6、n=﹣4、x=5时，m+n﹣x=6﹣4﹣5=﹣3；
当m=6、n=﹣4、x=﹣5时，m+n﹣x=6﹣4+5=7；
当m=﹣6、n=﹣4、x=5时，m+n﹣x=﹣6﹣4﹣5=﹣15；
当m=﹣6、n=﹣4、x=﹣5时，m+n﹣x=﹣6﹣4+5=﹣5；
【方法总结】
此题主要考查平方根的定义、算术平方根的定义及立方根的定义，比较简单．做题时，关
键是掌握它们的定义.
【随堂练习】
1．（路北区期中）若 、 为实数，且满足 ，则 的立方根为
．
【解答】解： ，且 ，
解得： 、 ，
则 ，
故答案为：
2．（福田区校级期末）若 ， ，则 293. 8 ．
【解答】解：
．
故答案为：293.8．
3．（信阳二模）计算： ．
【解答】解：
．
故答案为： ．
4．（榆林期末） 的立方根是 ．
【解答】解： ，
的立方根是 ．
故答案为： ．
5．（定远县期末）若 ，则 3 ．
【解答】解： ，
，
解得： ．
故答案为：3．二．解答题（共4小题）
6．（丹江口市期中）解方程：
（1）
（2） ．
【解答】解：（1）
，
．
（2） ，
，
．
7．（洛宁县期末）正数 的两个平方根分别为 和 ．
（1）求 的值；
（2）求 这个数的立方根．
【解答】解：（1） 正数 的两个平方根是 和 ，
，
解得：
（2） ，
， ．
这个正数的两个平方根是 ，
这个正数是169．
，
的立方根是 ．
8．（恩施市期末）已知3既是 的算术平方根，又是 的立方根，求
的平方根．
【解答】解：3既是 的算术平方根，又是 的立方根，
， ，， ，
．
的平方根为
9．（大通区期中）已知3既是 的平方根，也是 的立方根，求 的平方
根．
【解答】解：根据题意得 ，
由①得： ，把 代入②得： ，
，
，
的平方根是 ，
的平方根是 ．
知识点4 实数
1 无理数的概念：无限不循环小数叫做无理数．
注意：（1）所有开方开不尽的方根都是无理数，但不是所有带根号的数都是无理数．
（2）圆周率 及一些含 的数是无理数．
（3）不循环的无限小数是无理数．
（4）有理数可化为分数，而无理数则不能化为分数．
2 无理数的性质：设a为有理数，b为无理数，则a+b，a-b是无理数；
3 实数的概念：有理数和无理数统称为实数．
实数的分类：4 实数与数轴上的点一一对应：
即数轴上的每一个点都可以用一个实数来表示，反过来，每个实数都可以在数轴上找
到表示它的点．
【典例】
1.下列各数中： ， ， ，﹣π， ，﹣0.1010010001，无理数有_____个
【答案】3
【解析】解： ， ，﹣π，是无理数，
【方法总结】
本题主要考察无理数的概念：无限不循环小数叫做无理数．
常见的无理数形式有四种：
（1）所有开方开不尽的方根都是无理数，但不是所有带根号的数都是无理数．
（2）圆周率 及一些含 的数是无理数．
（3）不循环的无限小数是无理数．
（4）有理数和无理数的结合，例如：设a为有理数，b为无理数，则a+b，a-b是无理数；
2.把下列各数填入相应的集合：
﹣1、 、π、﹣3.14、 、﹣ 、 、0、0.131331333、﹣
（1）有理数集合{ }；
（2）无理数集合{ }
（3）整数集合{ }
（4）负实数集合{ }
【答案】
【解析】解：（1）有理数集合{﹣1、﹣3.14、 、0、0.131331333、﹣ }；
（2）无理数集合{ 、π、﹣ 、 }；
（3）整数集合{﹣1、 、0、﹣ }；（4）负实数集合{﹣1、﹣3.14、﹣ 、 、﹣ }．
【方法总结】
本题主要考察了实数的分类：
3.与 最接近的整数是______
【答案】6
【解析】解：∵36＜37＜49，
∴ ＜ ＜ ，即6＜ ＜7，
∵37与36最接近，
∴与 最接近的是6．
【方法总结】
本题考查了估算无理数的大小， 在紧邻 前后两个完全平方数的算数平方根之间.
3.计算：
﹣12+（﹣2）3× ﹣ ×（ ）
【答案】
【解析】解：﹣12+（﹣2）3× ﹣ ×（ ）
=﹣1﹣8× +3×（﹣ ）
=﹣1﹣1﹣1
=﹣3．
【方法总结】
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
【随堂练习】
1．（南召县期末） 5 ．【解答】解：原式 ，
故答案为：5
2．（沈河区期末）如图所示，已知四边形 是等边长为2的正方形， ，则
数轴上点 所表示的数是 ．
【解答】解： ，
，
，
点坐标 ．
故答案为： ．
3 ． （ 江 油 市 模 拟 ） 设 ， ， ， ，
，设 ，则 （用含 的代数
式表示，其中 为正整数）．
【解答】解：根据题意得： ， ，
， ，
，
，
则 ．故答案为： ．
二．解答题（共4小题）
4．（海港区校级自主招生）（1）已知正数 ， 满足 ，求 的
值．
（ 2 ） 先 填 空 ： ， ， 36 ， ，
，然后根据发现的规律，试写出 的结果（用
表示）．可参考公式 ， 为正整数．
【解答】解：（1） ，
两边平方得， ，
整理得，
．
（ 2 ） ， ， ，
， ，
；
故答案为：36，100，225．
5．（江夏区校级月考）计算
（1）
（2） ；
【解答】解：（1）；
（2）
．
6．（渝中区校级期末）如图，在数轴上有两个长方形 和 ，这两个长方形的
宽都是2个单位长度，长方形 的长 是4个单位长度，长方形 的长 是8
个单位长度，点 在数轴上表示的数是5，且 、 两点之间的距离为12．
（1）填空：点 在数轴上表示的数是 1 3 ，点 在数轴上表示的数是 ．
（2）若线段 的中点为 ，线段 上一点 ， ， 以每秒4个单位的速
度向右匀速运动， 以每秒3个单位的速度向左运动，设运动时间为 秒；当 秒
时，原点 恰为线段 的三等分点．
（3）若长方形 以每秒2个单位的速度向右匀速运动，长方形 固定不动，设
长方形 运动的时间为 秒，两个长方形重叠部分的面积为 ，求 与 的关系
式．
【解答】解：（1） 长方形 的长 是8个单位长度，且点 在数轴上表示
点 在数轴上表示的数是
、 两点之间的距离为12
点 表示的数为
长方形 的长 是4个单位长
点 在数轴上表示的数是
故答案为：13，
（2）由题意知，线段 的中点为 ，则 表示的数为 ，线段 上一点 且
，则 表示的数为7；
由 以每秒4个单位的速度向右匀速运动， 以每秒3个单位的速度向左运动，则经
过 秒后， 点表示的数为 ， 点表示的数为 ；
①当 时，则有 ，解得： 或②当 时，则有 ，解得： 或
综上所述，当 或 或 或 时，
原点 恰为线段 的三等分点．
故答案为： 或 或 或 ．
（3）由题意知，当 时，长方形 和 无重叠，些时
当 时 ， 两 个 长 方 形 重 叠 部 分 的 面 积 为 即
当 时，长方形 和 无重叠，
7．（通州区期末）阅读下列材料：
我们给出如下定义：数轴上给定不重合两点 ， ，若数轴上存在一点 ，使得点 到
点 的距离等于点 到点 的距离，则称点 为点 与点 的“平衡点”．
解答下列问题：
（1）若点 表示的数为 ，点 表示的数为1，点 为点 与点 的“平衡点”，则点
表示的数为 ；
（2）若点 表示的数为 ，点 与点 的“平衡点 ”表示的数为1，则点 表示的数
为 ；
（3）点 表示的数为 ，点 ， 表示的数分别是 ， ，点 为数轴原点，点 为
线段 上一点．
①设点 表示的数为 ，若点 可以为点 与点 的“平衡点”，则 的取值范围是
；
②当点 以每秒1个单位长度的速度向正半轴方向移动时，点 同时以每秒3个单位长度
的速度向正半轴方向移动．设移动的时间为 秒，求 的取值范围，使得点 可以
为点 与点 的“平衡点”．
【解答】解：（1）点 表示的数 ；
故答案为： ；（2）点 表示的数 ；
故答案为：5；
（3）①点 表示的数范围 ，
的取值范围 ；
故答案为： ；
②点 表示的数为 ；点 表示的数为 ，
根据题意可知，点 为点 与点 的平衡点，
点 表示的数为 ，
点 在线段 上，
当点 与点 相遇时， ，
当点 与点 相遇时， ，
，
综上所述，当 时，点 可以为点 与点 的“平衡点”．
综合运用
1. 的平方根是 ．
【答案】±
【解析】解： 的平方根是± ，
故答案为：± ．
2.（﹣4）2的算术平方根是 ．
【答案】4
【解析】解：（﹣4）2=16．
16的算术平方根是4．
故答案为：4．3.计算： = ．
【答案】﹣0.4
【解析】解：∵（﹣0.4）3=﹣0.064，
∴ =﹣0.4，
故答案为：﹣0.4．
4.已知一个正数的两个平方根分别为2m﹣6和3+m，则（﹣m）的值为 ．
【答案】1
【解析】解：∵一个正数的两个平方根分别为2m﹣6和3+m，
∴2m﹣6+3+m=0，解得：m=1，
∴（﹣m）=（﹣1）=1．
故答案为：1．
5.已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b﹣1的平方根为±4，则a+2b的平方根是 ．
【答案】±3
【解析】解：2a﹣1=（±3）2，3a+b﹣1=（±4）2，
∴a=5，b=2，
a+2b=5+4=9，
± ，
故答案为：±3．
6.在 ，2π，﹣2 ，0，0.454454445…，﹣ ， 中，无理数的有 个．
【答案】4
【解析】解：无理数有2π、0.454454445…、﹣ 、 这4个，
故答案为：4．
7.设n为正整数，且n＜ ＜n+1，则n的值为 ．
【答案】8
【解析】解：∵ ＜ ＜ ，∴8＜ ＜9，
∵n＜ ＜n+1，
∴n=8，
故答案为：8．
8.比 大且比 小的整数是 ．
【答案】3
【解析】解：比 大且比 小的整数是： =3．
故答案为：3．
9.将下列各数填入相应的集合内．﹣3.14， ，﹣ ，﹣ ，0， ，π，
1010010001…
① 有理数集合{ …}
② 无理数集合{ …}
③ 负实数集合{ …}．
【答案】
【解析】解：①有理数集合{﹣3.14， ，﹣ ，0， ，…}
②无理数集合{﹣ ，π，1010010001…}
④ 负实数集合{﹣3.14，﹣ ，﹣ ，…}．
10.计算： ﹣2 +| ﹣2|．
【答案】
【解析】解：原式=2﹣2 +2﹣
=4﹣3 ．
11.计算：﹣ ﹣（﹣2）2．
【答案】
【解析】解：
﹣ ﹣（﹣2）2
=3+3﹣4
=2．
12.一个数值转换器，如图所示：
（1）当输入的x为16时．输出的y值是 ；
（2）若输入有效的x值后，始终输不出y值，请写出所有满足要求的x的值，并说明你的
理由；
（3）若输出的y是 ，请写出两个满足要求的x值： ．
【答案】
【解析】解：（1）∵16的算术平方根是4，4是有理数，4不能输出，
∴4的算术平方根是2，2是有理数，2不能输出，
∴2的算术平方根是 ，是无理数，输出 ，
故答案为：
（2）∵0和1的算术平方根是它们本身，0和1是有理数，
∴当x=0和1时，始终输不出y的值；
（3）9的算术平方根是3，3的算术平方根是 ，
故答案为：3和9．
