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第 5 讲 相似三角形
知识点1相似三角形的判定
相似三角形的概念
对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“∽”表示，读作
“相似于”.
相似三角形的判定：
（1）平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交,所构成三角形与原三
角形相似.
（2）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似.
（3）如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似.
（4）如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似.
直角三角形相似判定定理
斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似.
【典例】
1.如图，已知：∠ACB=∠ADC=90°，AD=2，CD=2，当AB的长为 时，△ACB与
△ADC相似．
【答案】4
【解析】解：∵∠ACB=∠ADC=90°，AD=2，CD=2，
∴△ADC是等腰直角三角形，AC= =2 ，∵△ACB与△ADC相似，
∴△ACB是等腰直角三角形，BC=AC=2 ，
∴AB= =4，
即当AB的长为4时，△ACB与△ADC相似；
故答案为：4．
2.如图，点P是⊙O的直径AB延长线上一点，且AB=4，点M为 上一个动点（不与A，
B重合），射线PM与⊙O交于点N（不与M重合）．
（1）当M在什么位置时，△MAB的面积最大，并求出这个最大值；
（2）求证：△PAN∽△PMB．
【解析】解：（1）当点M在 的中点处时，△MAB面积最大，此时OM⊥AB，
∵OM= AB= ×4=2，
∴S = AB•OM= ×4×2=4；
ABM
△
（2）∵∠PMB=∠PAN，∠P=∠P，∴△PAN∽△PMB．
3.如图，已知 O 是△ABC 内一点，D、E、F 分别是 OA、OB、OC 的中点．
求证：△ABC∽△DEF．
【解析】证明：∵D、E、F 分别是 OA、OB、OC 的中点，
∴DE= AB，EF= BC，DF= AC，
即 = = ，∴△ABC∽△DEF
4.如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC边的中点，点P在射线AD上，过
P作PF⊥AE于F．
（1）求证：△PFA∽△ABE；
（2）当点P在射线AD上运动时，设PA=x，是否存在实数x，使以P，F，E为顶点的三
角形也与△ABE相似？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由．
【解析】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠PAF=∠AEB．
∵∠PFA=∠ABE=90°，
∴△PFA∽△ABE．
（2）若△EFP∽△ABE，则∠PEF=∠EAB．
∴PE∥AB．
∴四边形ABEP为矩形．
∴PA=EB=2，即x=2．
若△PFE∽△ABE，则∠PEF=∠AEB．
∵∠PAF=∠AEB，
∴∠PEF=∠PAF．
∴PE=PA．
∵PF⊥AE，
∴点F为AE的中点．
∵AE= ，
∴EF= AE= ．
∵ ，即 ，
∴PE=5，即x=5．
∴满足条件的x的值为2或5．【方法总结】
（1）在有一组对应角相等的情况下，可以从两个方面选择突破口：
①寻找另一组对应角相等：②寻找两个三角形中这个已知角的两边的比相等.
（2）直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形都与原三角形相似（此知识常用，但
是有时需要证明）
（3）若两个直角三角形满足一个锐角相等，或两组直角边成比例，或斜边和一条直角边成
比例，则这两个直角三角形相似.
【随堂练习】
1．（碑林区校级一模）如图，在四边形 中， ， ， ，
且 ，点 是边 上的动点，当 、 、 两两相似时，则
A． B． C． 或 D． 或1
【解答】解：分两种情况：
①当 时，如图1，
过 作 于 ，， ，
与 不平行，
当 、 、 两两相似时，
，
，
，
， ，
；
②当 时，如图2，
当 、 、 两两相似时，
，
，
，
，
，
，
综上， 的值为 或1；
故选： ．
2．（岱岳区期末）如图， ， ，点 在边 上（与 、 不重合），
四边形 为正方形过点 作 ，交 的延长线于点 ，连接 ，交 于点
，对于下列结论：① ；②四边形 是矩形；③ ．其中正确的是
A．①②③ B．①② C．①③ D．②③
【解答】解：① 四边形 为正方形，
， ，
，
，
，
，
在 和 中， ，
，
．
故正确；
② ，
，
， ，
，
四边形 是矩形．
故正确；
③ ， ，
．
故正确．
综上所述，正确的结论是①②③．
故选： ．3．（白云区二模）如图，在梯形 中， ，过点 作 ，交 延长
线于点 ，对角线 、 相交于点 ，下列结论中，错误的是
A． B．
C．四边形 是平行四边形 D．
【解答】解： ，
，故 正确；
， ，
四边形 是平行四边形，故 正确；
的面积 的面积 的面积 的面积 的面积 的面
积，
的面积 的面积，故 正确；
，
，故 错误；
故选： ．
4．（楚雄州一模）如图， 为 的直径， 为 的弦， ， 交 于点
， ， ，延长 到点 ，使得 ，连接 ．则下列结论中不正确
的是
A． B．C． D．直线 与 相切
【解答】解： ，
，
，
，
，选项 、 正确；
，
，
，选项 错误；
连接 ，如图所示：
为 的直径，
，
，
，
，
，
，
直线 与 相切，选项 正确；
故选： ．
二．解答题（共5小题）
5．（泰山区期末）如图，四边形 中， 交 于点 ，点 、 分别是
、 的中点， 平分 交 于点 ， ，连接 ，
求证：
（1） ；
（2） ．【解答】（1）证明： ，点 是 的中点，
， 平分 ．
平分 ，
．
，
，
，
．
是等腰直角三角形；
．
（2）证明： 点 ， 分别是 ， 的中点，
， ．
，
，即 ．
是等腰直角三角形，
，即 ，
．
，
．
，
．
，
．
，．
．
6．（黄冈）如图，在 中， ，以 为直径的 交 于点 ，过点
作 的切线交 于点 ，连接 ．
（1）求证： 是等腰三角形；
（2）求证： ．
【解答】证明：（1）连接 ，如图所示：
是 的切线，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等腰三角形；
（2） ， 是 的直径，
是 的切线，
是 的切线，
，
，
，
，
，
．7．（南昌二模）如图，在 中， 是 延长线上的一点， 与 交于点 ．
求证： ．
【解答】证明： 四边形 是平行四边形，
， ，
，
．
8．（海淀区校级月考）如图，在 中， 是 上一点，连接 ． 为 上一
点，且
求证： ．
【解答】证明： 四边形 是平行四边形，
， ， ，
．
且 ．
．
，
，
．
9．（安庆期末）如图，在 中， ， ， ，垂足分别为 ，
， ．
（1）求证： ；
（2） 交 于点 ，求证： ；【解答】证明：（1） ， ，
，
，即 ，
， ，
，
，即 ，
则 ；
（2） ，
， ， ， 四点共圆，
， ，
，
知识点2 相似三角形的性质
相似三角形的性质
(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例．
(2)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．
(3)相似三角形周长的比等于相似比．
(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方．
【典例】
1.如图所示，已知△AOB∽△DOC，OA=2，AD=9，OB=5，DC=12，∠A=58°，求AB、
OC的长和∠D的度数．
【解析】解：∵OA=2，AD=9，
∴OD=9﹣2=7，
∵AB∥CD，
∵△AOB∽△DOC，
∴ = = ，∵OA=2，OB=5，DC=12，
∴ = = ，
解得OC= ，AB= ，
∵△AOB∽△DOC，
∴∠D=∠A=58°．
2.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．M为AD中点，连接CM交
BD于点N，且ON=1．
（1）求BD的长；
（2）若△DCN的面积为2，求△DMN的面积．
【答案】
【解析】解（1）∵平行四边形ABCD，
∴AD∥BC，AD=BC，OB=OD，
∴∠DMN=∠BCN，∠MDN=∠NBC，
∴△MND∽△CNB，
∴ = ，
∵M为AD中点，
∴MD= AD= BC，即 = ，
∴ = ，即BN=2DN，
设OB=OD=x，则有BD=2x，BN=OB+ON=x+1，DN=x﹣1，
∴x+1=2（x﹣1），
解得：x=3，
∴BD=2x=6；
（2）∵△MND∽△CNB，且相似比为1：2，
∴MN：CN=1：2，
∵△DCN的面积为2，
∴△MND面积为1（高相同的两个三角形面积比等于底边长度比）
【方法总结】
1对应性：即两个三角形相似时，一定要把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边．
2顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的．
3两个三角形形状一样，但大小不一定一样．
4全等三角形是相似比为1的相似三角形．二者的区别在于全等要求对应边相等，而相似要
求对应边成比例．
5相似三角形性质可用来证明线段成比例、角相等，也可用来计算周长、边长等
【随堂练习】
1．（沈阳）已知 △ ， 和 是它们的对应中线，若 ，
，则 与△ 的周长比是
A． B． C． D．
【解答】解： △ ， 和 是它们的对应中线， ， ，
与△ 的周长比 ．
故选： ．
2．（九龙坡区模拟）要制作两个
形状相同的三角形框架，其中一
个三角形的三边长分别为 ，
和 ，另一个三角形的
最长边长为 ，则它的最短边
为
A． B． C． D．
【解答】解：设另一个三角形的最短边长为 ，
根据题意，得： ，
解得： ，
即另一个三角形的最短边的长为 ．
故选： ．
3．（梁平区期末）已知 △ ’，△ 的面积为6，周长为 周长的
一半，则 的面积等于
A．1.5 B．3 C．12 D．24
【解答】解： △ ’，△ 的周长为 周长的一半，
，，
△ 的面积为6，
，
故选： ．
二．解答题（共4小题）
4．（张家港市模拟）如图，在四边形 中， ， ． ，
， ，动点 从点 开始沿 边匀速运动，动点 从点 开始沿 边
匀速运动，它们的运动速度均为 ．点 和点 同时出发，设运动的时间为 ，
．
（1）用含 的代数式表示 ；
（2）当以点 ． ， 为顶点的三角形与 相似时，求 的值；
（3）当 时，求 的值．
【解答】解：（1）如图作 于 ，则四边形 是矩形，
， ，
， ， ，
由题意 ．
（2）当以点 ． ， 为顶点的三角形与 相似时，
或 ，
或 ，
解得： 或 ，当 或 时，当以点 ． ， 为顶点的三角形与 相似；
（3）当 时， ，
，
，
，
，
解得 ，
经检验： 是分式方程的解，
当 时， ．
5．（北海期末）已知四边形 中， ， 平分 ，过点 作
于点 ，点 为 上一点，且 ， ．
（1）求证： ；
（2） 为线段 上一点，连结 ，若 ， ， ，求
的值．
【解答】（1）证明： 平分 ，，
在 和 中 ，
，
，
， ，
，
；
（3）解： ，
，
，
，
，
，
，
， ，
，
，
，
即 ．
6．（通州区期中）从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把
这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一
个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的优美线．
（1）如图，在 中， 为角平分线， ， ，求证： 为 的
优美线；
（2）在 中， ， 是 的优美线，且 是以 为腰的等腰三角
形，求 的度数．【解答】解：（1）如图1中，
， ，
，
平分 ，
，
，
，
是等腰三角形，
， ，
，
线段 是 的优美线．
（2）如图2中，
若 ， ，则 ，则 ，这与 这个条
件矛盾；
若 ， ， ，
，
，
．
7．（宽城区校级月考）如图， 与 相交于点 ， ， ， ，
，求
（1） 的长．
（2）求 ．【解答】解：（1） ，
， ，
．
（2） ，
，
，
．
知识点3相似三角形的综合应用
【典例】
1.如图，河对岸有一路灯杆AB，在灯光下，小亮在点D处测得自己的影长DF=3m，沿BD
方向从D后退4米到G处，测得自己的影长GH=5，如果小亮的身高为1.7m，求路灯杆
AB的高度．
【解析】解得BD=6，解：∵CD⊥BF，AB⊥BF，
∴CD∥AB，
∴△CDF∽△ABF，
∴ = ，
同理可得 = ，
∴ = ，
∴ = ，∴ = ，
解得AB=5.1．
答：路灯杆AB高5.1m．
2.如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面
镜，光线从点 A出发经平面镜反射后刚好到古城墙 CD的顶端C处，已知 AB⊥BD，
CD⊥BD，测得AB=4米，BP=6米，PD=24米，求该古城墙CD的高度．
【解析】解：由题意知∠APB=∠CPD，∠ABP=∠CDP，
∴△ABP∽△CDP，
∴ = ，得 = ，
解得：CD=16，
∴该古城墙CD的高度为16米．
3.小明和几位同学做手的影子游戏时，发现对于同一物体，影子的大小与光源到物体的距
离有关．因此，他们认为：可以借助物体的影子长度计算光源到物体的位置．于是，他们
做了以下尝试．
（1）如图1，垂直于地面放置的正方形框架ABCD，边长AB为30cm，在其正上方有一灯
泡，在灯泡的照射下，正方形框架的横向影子A′B，D′C的长度和为6cm．那么灯泡离地面
的高度为 ．
（2）不改变图1中灯泡的高度，将两个边长为30cm的正方形框架按图2摆放，请计算此
时横向影子A′B，D′C的长度和为多少？
（3）有n个边长为a的正方形按图3摆放，测得横向影子A′B，D′C的长度和为b，求灯泡
离地面的距离．（写出解题过程，结果用含a，b，n的代数式表示）
【解析】解：（1）设灯泡离地面的高度为xcm，∵AD∥A′D′，
∴∠PAD=∠PA′D′，∠PDA=∠PD′A′．
∴△PAD∽△PA′D′．
根据相似三角形对应高的比等于相似比的性质，可得 ，
∴ = ，
解得x=180．
（2）设横向影子A′B，D′C的长度和为ycm，
同理可得∴ = ，
解得y=12cm；
（3）记灯泡为点P，如图：
∵AD∥A′D′，∴∠PAD=∠PA′D′，∠PDA=∠PD′A′．
∴△PAD∽△PA′D′．
根据相似三角形对应高的比等于相似比的性质，可得
（直接得出三角形相似或比例线段均对）
设灯泡离地面距离为x，由题意，得PM=x，PN=x﹣a，AD=na，A′D′=na+b，
∴ =1﹣
=1﹣
x=
【方法总结】
相似三角形的应用，类型较多，主要集中在测高和测距；此类题目解题时，要把实际问题
转化成几何图形，构造相似，利用相似三角形对应边成比例，对应角相等的性质去求解；
解题时对应边一定要找对，否则就会事倍功半
【随堂练习】1．（济南期末）如图，在正方形 中， 为边 的中点，点 在边 上，且
，延长 交 的延长线于点 ．
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的长．
【解答】（1）证明： 四边形 为正方形，且 ，
，
， ，
，
；
（2） ， 为 的中点，
，
在 中， ，
由（1）知， ，
，即： ，
，
．
2．（渝中区校级期末）如图，在平行四边形 中， 平分 ，分别交 、
于点 、点 ．点 是 上一点，连接 交 于点 ，过点 作 的平行线，
交 于点 ．
（1）若 ， ， ，求 的面积；
（2）若 ，求证： ．
【解答】（1）解：过点 作 于 ，如图1所示：
平分 ， ，
，，
，
，
，
；
（2）证明：在 上截取 ，连接 ，如图2所示：
， ， ，
，
， ，
，
，
，
在 和 中， ，
，
， ，
， ，
，
，
，
，
在 和 中， ，
，
．3．（重庆模拟）如图，在 中，过 作 于点 ，过点 作 分别
与 、 交于点 、 ，连接 ，已知 ， ．
（1）若 ， ，求 的面积；
（2）求证： ．
【解答】（1）解： ，
，
，
（2）证明： 四边形 是平
行四边形，
， ，，
，
，
，
，
，
，
， ，
，
， ，
，
在 和 中 ，
，
，
， ，
设 ， 则
，
，
，
即： ，
，
，
过 作 于 ，如图所
示：， 即 ：
，
，
， 即 ：
，
，
，
，
．
4．（润州区期中）如图，在 中， ， ， ， 于点
．点 从点 出发，沿线段 向点 运动，点 从点 出发，沿线段 向点 运动．
两点同时出发．速度都为每秒1个单位长度，当点 运动到 时，两点都停止．设运动时
间为 秒．
（1）求线段 的长；（2）设 的面积为 ，求 与 之间的函数关系式，并确定在运动过程中是否存在某
一时刻 ，使得 ？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1） ， ， ，
，
，
，
解得： ；
（2） ，
过点 作 于 ，如图所示：
，
，
，
，即 ，
，
；
，
，即： ，
整理得： ，解得： ， ，
在运动过程中存在某一时刻 ，使得 ， 的值为：3或1.8．
5．（高淳区期末）如图，在 中， 、 分別是 、 的中点，连接 、
交于点 ，连接 、 交于点 ．
（1）求证：四边形 为平行四边形；
（2）当 2 时，四边形 为矩形．
【解答】（1）证明：连接 ，如图所示：
四边形 是平行四边形，
， ．
点 、 分别是 、 的中点
， ，
， ．
四边形 是平行四边形．
．
同理可证： 且 ．
四边形 是平行四边形．
．
四边形 是平行四边形．
（2）解：当 时，平行四边形 是矩形．理由如下：
由（1）同理易证四边形 是平行四边形，
当 时， ，四边形 是菱形，
，即 ，
平行四边形 是矩形．
6．（泰山区期末）如图，已知 是等边三角形，点 、 、 、 在同一条直线上，
且 ，求证： ．
【解答】解： 是等边三角形
．
， ．
，
．
， ．
，
．
，
．
7．（潍城区期末）如图，在 中，点 ， 分别在边 ， 上， 、 的延
长线相交丁点 ，且 ．
（1）求证： ；
（2）当 ， ， 时，求 的长．【解答】（1）证明： ，且
，
，
又 ，
，
又 ，
；
（2）解：
，
即 ，
，
．
8．（广西模拟）如图所示，在 中， 平分 交直线 于 ， 交
直线 于
（1）求证： ；
（2）若点 为 的中点，求 的值．
【解答】证明：（1）如图所示：
四边形 是平行四边形，
，
，
又 平分 ，
，
，，
又 ，
，
又 ， ，
，
，
又 ， ，
， ，
又 ，
，
，
，
，
又 ， ，
；
（2）如图所示：
由（1）可知： ，
点 为 的中点，
，
又 ，
，
，
又 ， ，
，综合运用：相似三角形
1.如图，已知在Rt ABC中，∠ACB=90°，AC＞BC，CD是Rt ABC的高，E是AC的中
点，ED的延长线与△CB的延长线相交于点F． △
（1）求证：DF是BF和CF的比例中项；
（2）在AB上取一点G，如果AE•AC=AG•AD，求证：EG•CF=ED•DF．
【解析】证明：（1）∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠BCD=∠A，∠ADC=90°．
∵E是AC的中点，
∴DE=AE=CE，∴∠ADE=∠A，
∴∠BCD=∠ADE．
又∠ADE=∠FDB，∴∠FCD=∠FDB．
∵∠CFD=∠DFB，∴△CFD∽△DFB，
∴DF2=BF•CF．
（2）∵AE•AC=AG•AD，
∴ = ．
∵∠A=∠A，∴△AEG∽△ADC，
∴EG∥BC，∴△EGD∽△FBD，
∴ = ．
由（1）知：△CFD∽△DFB，
∴ = ，
∴ = ，
∴EG•CF=ED•DF．2.如图，△ABC为锐角三角形，AD是BC边上的高，正方形EFGH的一边FG在BC上，
顶点E，H分别在AB，AC上，已知BC=40cm，AD=30cm，求这个正方形的边长．
【解析】解：∵四边形EFGH是正方形，
∴EH∥BC，
∴∠AEH=∠B，∠AHE=∠C，
∴△AEH∽△ABC．
如图，设AD与EH交于点M．
∵∠EFD=∠FEM=∠FDM=90°，
∴四边形EFDM是矩形，
∴EF=DM，设正方形EFGH的边长为xcm，
∵△AEH∽△ABC，
∴ = ，
∴ = ，
∴x= ，
∴正方形EFGH的边长为 cm．
3.在矩形 ABCD 中，点 E 是 AD 的中点，BE 垂直 AC 交 AC 于点 F，求证：
△DEF∽△EBD．【解析】证明：∵AC⊥BE，
∴∠AFB=∠AFE=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAE=90°，
又∵∠AEF=∠BEA，
∴△AEF∽△BEA，
∴ = ，
∵点E是AD的中点，
∴AE=ED，
∴ = ，
又∵∠FED=∠DEB，
∴△DEF∽△BED．
4.如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC长120mm，高AD为80mm，把它加
工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．
（Ⅰ）图中与△ABC相似的三角形是 ，说明理由；
（Ⅱ）这个正方形零件的边长为多少？
【解析】解：（Ⅰ）∵正方形EGHF，
∴EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，故答案为：△AEF；
（Ⅱ）设EG=EF=x
∵△AEF∽△ABC
∴ = ，
∴ = ，
∴x=48，
∴正方形零件的边长为48mm．
5.如图，四边形ABCD、CDEF、EFGH都是正方形．
（1）△ACF与△ACG相似吗？说说你的理由．
（2）求∠1+∠2的度数．
【解析】解：（1）相似．
理由：设正方形的边长为a，
AC= = a，
∵ = = ， = = ，
∴ = ，
∵∠ACF=∠ACF，
∴△ACF∽△GCA；
（2）∵△ACF∽△GCA，
∴∠1=∠CAF，
∵∠CAF+∠2=45°，
∴∠1+∠2=45°．
6.【阅读理解】小白同学遇到这样一个问题：
ABC中，D是BC的中点，E是AB上一点，延长DE、AC交于点F，DE=EF，AB=5，
△求AE的长．
小白的想法是：过点E作EH∥BC交AC于H，再通过相似三角形的性质得到AE、BE的
比，从而得出AE的长，请你按照小白的思路完成解答．
【解决问题】请借助小白的解题经验，完成下面问题：
ABC中，AD平分∠BAC交BC于D，E为AB边上一点，AE=AD，H、Q为BC上两点，
△CQ=DH ， DQ=mDH ， G 为 AC 上 一 点 ， 连 接 EQ 交 HG 、 AD 于 F 、 P ，
∠EFG+∠EAD=180°，猜想并验证EP与GH的数量关系．
【解析】解： 如图1，过点E作EH∥BC交AC于H，
∴∠FEH=∠FDC，∠FHE=∠C，
∴△FEH∽△FDC，
∴ ，
∵DE=EF，
∴ ，
∵BD=DC，
∴ ，
同理得：△AEH∽△ABC，
∴ ，
∵AB=5，
∴AE= ；
【解决问题】
猜想： = ，理由是：
如图2，过D作DM∥GH，交AC于M，
∴∠CMD=∠CGH，∠CDM=∠CHG，
∴△CDM∽△CHG，
∴ ，
设DH=CQ=x，则DQ=mx，
∴ = = ，
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAP=∠DAM，
∵∠EFG+∠EAD=180°，∴∠AEP+∠ANF=180°，
∵GH∥DM，
∴∠ADM+∠DNG=∠ADM+∠ANF=180°，
∴∠ADM=∠AFP，
∵AE=AD，
∴△AEP≌△ADM，
∴EP=DM，
∴ = ．
