文档内容
第 02 讲 相似三角形的性质及其判定
课程标准 学习目标
1. 掌握相似三角形的定义及其表示方法。
①相似三角形的定义
2. 掌握相似三角形的性质并能够熟练应用。
②相似三角形的性质
3. 掌握相似三角形的判定并能够熟练的判定相似三角
③相似三角形的判定
形。
知识点01 相似三角形的定义与性质
1. 相似三角形的定义：
如果两个三角形的对应边的比 相等 ，对应角 相等 ，那么这两个三角形相似。用符号
“∽”来表示。若△ABC相似于△DEF，A对应D，B对应E，C对应F。则表示为△ABC∽△EDF。对应边的比
叫做这两个三角形的 相似比 。
2. 相似三角形的性质：
①相似三角形的对应角 相等 ，对应边的比 相等 。②相似三角形（多边形）的周长的比等于 相似比 ；相似三角形的对应线段（对应中线、对应
角平分线、对应边上的高）的比也等于 相似比 。
③相似三角形的面积的比等于 相似比的平方 。
题型考点：①求相似三角形的相似比。②利用相似三角形的性质求值。
【即学即练1】
1．已知△ABC∽△DEF，若∠A＝30°，∠B＝80°，则∠F的度数为（ ）
A．30° B．80° C．70° D．60°
【解答】解：∵△ABC∽△DEF，
∴∠A＝∠D＝30°，∠B＝∠E＝80°，∠C＝∠F，
∵∠D+∠E+∠F＝180°，
∴∠F＝70°．
故选：C．
【即学即练2】
2．如图，△ADE∽△ABC，若AD＝1，BD＝2，则△ADE与△ABC的相似比是（ ）
A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．3：2
【解答】解：∵AD＝1，BD＝2，
∴AB＝AD+BD＝3．
∵△ADE∽△ABC，
∴AD：AB＝1：3．
∴△ADE与△ABC的相似比是1：3．
故选：B．
【即学即练3】
3．若两个相似三角形的周长之比是1：2，则它们的面积之比是（ ）
A．1：2 B．1： C．2：1 D．1：4
【解答】解：∵两个相似三角形的周长之比是1：2，
∴两个相似三角形的相似比是1：2，
∴它们的面积之比是：1：4，
故选：D．
【即学即练4】
4．如图，△ABC∽△ADE，S△ABC ：S四边形BDEC ＝1：2其中CB＝ ，DE的长为（ ）A．6 B． C． D．5
【解答】解：∵△ABC∽△ADE，S△ABC ：S四边形BDEC ＝1：2，
∴S△ABC ：S△ADE ＝1：3，
∴ ，
∵CB＝ ，
∴DE＝ ，
故选：B．
【即学即练5】
5．若△ABC∽△DEF，△ABC的面积为 81cm2，△DEF的面积为 36cm2，且 AB＝12cm，则 DE＝ 8
cm．
【解答】解：△ABC的面积为81cm2，△DEF的面积为36cm2，
因而两个三角形面积的比是81：36，
相似三角形面积的比等于相似比的平方，则相似比是9：6，
则有12：DE＝9：6
解得：DE＝8cm．
故答案为：8．
【即学即练6】
6．如图，△ABC，AB＝12，AC＝15，D为AB上一点，且AD＝ AB，在AC上取一点E，使以A、D、E
为顶点的三角形与ABC相似，则AE等于（ ）
A． B．10
C． 或10 D．以上答案都不对
【解答】解：如图
（1）当∠AED＝∠C时，即DE∥BC则AE＝ AC＝10
（2）当∠AED＝∠B时，△AED∽△ABC
∴ ，即
AE＝
综合（1），（2），故选C．
知识点02 相似三角形判定的预备定理
1. 判定预备定理内容：
平行于三角形其中一边的直线与另两边或两边的延长线相交，所得到的三角形与原三角形 相似 。
图1 图2
如图1：△AOE∽△ABC；如图2，△AOB∽△COD
题型考点：①利用预备定理进行相似三角形的判定。
【即学即练1】
7．如图，在△ABC中，点D在AB上，AD：BD＝1：2，DE∥BC交AC于E，下列结论中不正确的是（
）A．BC＝3DE B．△ADE∽△ABC
C． D．
【解答】解：∵AD：BD＝1：2，
∴AB＝3AD，
∵DE∥BC，
∴ ＝ ＝ ，
∴BC＝3DE，A结论正确；
∵DE∥BC，
∴ ＝ ，C结论正确；
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，B结论正确；
∵DE∥BC，AB＝3AD，
∴S△ADE ＝ S△ABC ，D结论错误，
故选：D．
【即学即练2】
8．如图，△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，求证：△ADE∽△DBF．
【解答】证明：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∵DF∥AC，
∴△DBF∽△ABC，
∴△ADE∽△DBF．
知识点03 相似三角形的判定定理1—三边成比例的两个三角形相似
1. 三边对应成比例的两个三角形相似：
若两个三角形三边的 比 相等，则这两个三角形相似。
题型考点：①利用判定定理1判定三角形相似。
【即学即练1】9．一个三角形的三边长分别为12cm，8cm，7cm，另一个三角形的三边长分别为16cm，24cm，14cm，这
两个三角形相似吗？为什么？
【解答】解：∵ ，
∴这两个三角形相似．
【即学即练2】
10．如图，O是△ABC内一点，D，E，F分别OA，OB，OC，上的点，DE∥AB，EF∥BC，DF∥AC．求
证：△DEF∽△ABC．
【解答】解：∵DE∥AB，EF∥BC，DF∥AC，
∴ ＝ ＝ ＝ ＝ ，
即 ＝ ＝ ，
∴△DEF∽△ABC．
知识点04 相似三角形的判定定理2—两边及其夹角判定
1. 判定定理2的内容：
两个三角形的两组对应边的 比 相等且这两组对应边的 夹角 相等的两个三角形相似。
题型考点：①利用判定定理2判定三角形相似。
【即学即练1】
11．如图，点C在△ADE的边DE上，∠1＝∠2， ，请说明△ABC∽△ADE．
【解答】解：∵∠1＝∠2，
∴∠BAC＝∠DAE，
∵ ，
∴ ，
∴△ABC∽△ADE．【即学即练2】
12．如图，D是△ABC的边BC上的一点，AB＝2，BD＝1，DC＝3，求证：△ABD∽△CBA．
【解答】证明：∵BD＝1，DC＝3，
∴BC＝BD+CD＝1+3＝4，
∵ ＝ ，
∴ ＝ ，
∵∠B为公共角，
∴△ABD∽△CBA．
【即学即练3】
13．如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝8，点P从B点出发沿BA方向以每秒1个单位移动，点Q从A出发
沿AC方向以每秒2个单位移动，当它们到达A、C后停止运动．试问经过几秒后，△ABC与△APQ相
似？请说明理由．
【解答】解：经过2秒后△ABC与△APQ相似．
设经过t秒后△ABC∽△APQ，
∵AB＝4，AC＝8，
∴AP＝4﹣t，AQ＝2t，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
解得t＝2．
同理，当△ABC∽△AQP时，t＝
综上所述，经过2或 秒后，△ABC与△APQ相似．知识点05 相似三角形的判定定理3—两角判定
2. 判定定理3的内容：
两个三角形的两个角对应 相等 ，则这两个三角形相似。
题型考点：①利用判定定理3判定三角形相似。
【即学即练1】
14．如图，已知在△ABC 与△DEF 中，∠C＝54°，∠A＝47°，∠F＝54°，∠E＝79°，求证：
△ABC∽△DEF．
【解答】解：在△ABC中，∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝79°，
在△ABC和△DEF中， ，
∴△ABC∽△DEF．
【即学即练2】
15．已知：如图，∠1＝∠2＝∠3，求证：△ABC∽△ADE．
【解答】证明：∵∠ADC＝∠2+∠ADE＝∠B+∠1，∠1＝∠2，
∴∠ADE＝∠B，
∵∠1＝∠3，
∴∠BAC＝∠DAE，
∴△BAC∽△DAE．
【即学即练3】
16．已知：如图AB为 O的直径，弦AC、BD相交于点P，
（1）证明图中的相似三角形；
⊙
（2）若AB＝3，CD＝1，AC＝2，求AP的长．【解答】解：（1）△ABP∽△DCP．
理由：∵∠B＝∠C，∠APB＝∠DPC
∴△ABP∽△DCP；
（2）连接BC．
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴BC2＝AB2﹣AC2＝32﹣22＝5，
∵△ABP∽△DCP，
∴ ＝ ＝ ，设PC＝x，PB＝3x，
∵PB2＝PC2+BC2，
∴9x2＝x2+5，
∴x＝ ，
∴PA＝AC＝PC＝2﹣
题型01 相似三角形的性质求线段
【典例1】
在△ABC中，BC＝15cm，CA＝45cm，AB＝63cm，另一个和它相似的三角形的最短边是5cm，则最长边是
（ ）
A．18cm B．21cm C．24cm D．19.5cm
【解答】解：根据题意，这两个相似三角形的相似比是15：5＝3，最长边是63÷3＝21（cm）．故选：B．
【典例2】
如图，在三角形ABC中，AB＝24，AC＝18，D是AC上一点AD＝12，在AB上取一点E，使A、D、E三
点组成的三角形与ABC相似，则AE＝ 1 6 或 9 ．
【解答】解：①AD与AC是对应边时，
∵AB＝24，AC＝18，AD＝12，
∴ ＝ ，
即 ＝ ，
解得AE＝16；
②AD与AB是对应边时，
∵AB＝24，AC＝18，AD＝12，
∴ ＝ ，
即 ＝ ，
解得AE＝9，
∴AE＝16或9．
故答案为：16或9．
【典例3】
如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上，△ABE∽△DEF，AB＝6，AE＝9，DE＝2，求EF
的长．
【解答】解：∵△ABE∽△DEF，AB＝6，AE＝9，DE＝2，
∴ ＝ ，即 ＝ ，解得DF＝3，
∵四边形ABCD为矩形，∴∠D＝90°，
由勾股定理得：
EF＝ ＝ ＝ ．
【典例4】
如图，已知△AOB∽△DOC，OA＝2，AD＝9，OB＝5，DC＝12．求AB，OC的长．
【解答】解：∵OA＝2，AD＝9，
∴OD＝9﹣2＝7，
∵△AOB∽△DOC，
∴ ＝ ＝ ，
∵OA＝2，OB＝5，DC＝12，
∴ ＝ ＝ ，解得OC＝ ，AB＝ ．
题型02 相似三角形的性质求周长与面积
【典例1】
若△ABC∽△DEF，且面积比为4：9，其中△ABC的周长为6cm，则△DEF的周长是（ ）
A．4cm B．9cm
C．13.5cm D．9cm或13.5cm
【解答】解：∵△ABC∽△DEF，且面积比为4：9，
∴C△ABC ：C△DEF ＝2：3，
∵△ABC的周长为6cm，
∴△DEF的周长是9cm，
故选：B．
【典例2】
两个相似三角形，其周长之比为3：2，则其面积比为（ ）
A． B．3：2 C．9：4 D．不能确定
【解答】解：∵两个相似三角形，其周长之比为3：2，
∴其相似比为3：2，∴其面积比为9：4．
故选：C．
【典例3】
在一张缩印出来的纸上，一个三角形的一条边由原图中的6cm变成了2cm，则缩印出的三角形的面积是原
图中三角形面积的（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵三角形的一条边由原图中的6cm变成了2cm，
∴原三角形与缩印出的三角形是相似比为3：1，
∴原三角形与缩印出的三角形是面积比为9：1，
∴缩印出的三角形的面积是原图中三角形面积的 ，
故选：C．
【典例4】
已知△ABC的三边分别是5，6，7，则与它相似△A′B′C′的最短边为10，则△A′B′C′的周长是
36 ．
【解答】解：∵△ABC∽△A′B′C′，△ABC的三边分别是5，6，7，△A′B′C′的最短边为10，
∴相似比是： ＝ ，
∴△A′B′C′的另外两条边是6×2＝12，7×2＝14，
∴△A′B′C′的周长是：10+12+14＝36，
故答案为：36．
题型03 相似三角形的判定
【典例1】
如图，点C，F在线段BD上，AB∥DE， ，求证：△ABC∽△EDF．
【解答】证明：∵AB∥DE，
∴∠B＝∠D，∵ ，
∴△ABC∽△EDF．
【典例2】
如图，点D是△ABC外一点，∠DAE＝∠BAC，∠AEC+∠ACB＝180°．求证：△DAB∽△EAC．
【解答】证明：∵∠AEC+∠ACB＝180°，∠AEC+∠AED＝180°，
∴∠AED＝∠ACB，
∵∠DAE＝∠BAC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∵∠DAE＝∠BAC，
即∠DAB+∠BAE＝∠BAE+∠EAC，
∴∠DAB＝∠EAC，
而 ＝ ，
∴△DAB∽△EAC．
【典例3】
如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，点P在BC上，且∠APD＝90°．
求证：△ABP∽△PCD．
【解答】证明：∵∠APD＝90°，∠B＝∠C＝90°，
∴∠APB+∠CPD＝90°，∠BAP+∠APB＝90°，
∴∠CPD＝∠BAP，
又∵∠B＝∠C，
∴△ABP∽△PCD．
【典例4】在△ABC中，AF⊥BC，CE⊥AB，垂足分别是F，E，连接EF．求证：
（1）△BAF∽△BCE；
（2）△BEF∽△BCA．
【解答】证明：（1）∵AF⊥BC，CE⊥AB，
∴∠AFB＝∠CEB＝90°．
∵∠B＝∠B，
∴△BAF∽△BCE．
（2）∵△BAF∽△BCE，
∴ ＝ ，
∵∠B＝∠B，
∴△BEF∽△BCA．
【典例5】
如图所示，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝8cm，AC＝6cm，点P由点A出发沿AB方向向点B匀速运动，
同时点Q由点B出发沿BC方向向点C匀速运动，它们的速度均为2cm/s，连接PQ，设运动时间为t
（s），解答下列问题：
（1）△BPQ的面积可能是为5cm2吗？为什么？
（2）在点P，Q的运动过程中，当t为何值时，△BPQ与△ABC相似？并说明理由．
【解答】解：（1）不存在，理由如下：
由勾股定理得：BC＝ ＝10，
∴sin∠B＝ ，
∵BP＝8﹣2t，BQ＝2t，sin∠B＝ ，
如图，在Rt△BPM中，∵sinB＝ ，
∴PM＝PB•sinB，
∴S△BPQ ＝ ，
即： ＝5，
整理得：6t2﹣24t+25＝0，
Δ＝242﹣4×6×25＝576﹣600＝﹣24＜0，
方程无解，即不存在△BPQ的面积为5cm2．
（2）△BPQ与△ABC相似有两种情况：
①当∠BPQ＝90°时，即PQ∥AC的相似，
∴ ，
∴ ，
解得：t＝ ，
②当∠BQP＝90°时，即PQ与AC不平行时的相似．
∴ ，
∴ ，
解得：t＝ ．
综上分析：当t＝ 时△BPQ与△ABC相似．
题型04 相似三角形的判定与性质
【典例1】
如图，在平行四边形ABCD中，AB＝8．在BC的延长线上取一点B，使CE＝ BC，连接AE，AE与CD
交于点F．
（1）求证：△ADF∽△ECF；（2）求DF的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，即AD∥BE，
∴∠DAF＝∠CEF，∠ADF＝∠ECF，
∴△ADF∽△ECF；
（2）解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD＝BC，AB＝CD＝8，
∴ ，即 ．
∵△ADF∽△ECF，
∴ ，即 ．
∵CD＝DF+CF，
∴ ．
【典例2】
如图，平行四边形ABCD，DE交BC于F，交AB的延长线于E，且∠EDB＝∠C．
（1）求证：△ADE∽△DBE；
（2）若DC＝7cm，BE＝9cm，求DE的长．
【解答】（1）证明：平行四边形ABCD中，∠A＝∠C，
∵∠EDB＝∠C，
∴∠A＝∠EDB，
又∠E＝∠E，
∴△ADE∽△DBE；
（2）平行四边形ABCD中，DC＝AB，
由（1）得△ADE∽△DBE，
∴ ，∵DC＝7cm，BE＝9cm，
∴AB＝7cm，AE＝16cm，
∴DE＝12cm．
【典例3】
如图，在矩形ABCD中，E是边BC的中点，DF⊥AE于点E．
（1）求证： ；
（2）若AB＝4，BC＝6，求AF的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，DF⊥AE，
∴∠B＝∠AFD＝90°，
∴∠BAE+∠EAD＝∠EAD+∠ADF＝90°，
∴∠BAE＝∠ADF，
∴△ADF∽△EAB，
∴ ＝ ．
（2）解：∵E为BC的中点，
∴BE＝ BC＝3，
在Rt△ABE中，AE＝ ＝ ＝5．
∵ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴AF＝ ．【典例4】
小军在学习相似三角形时，遇到这样一个问题：
（1）如图1，在△ABC中，P是边AB上的一点，连接CP，若∠ACP＝∠B，求证：△ACP∽△ABC；
（2）如图2，已知∠A＝81°，AC2＝AB•AD，BC＝BD，求∠ABC的度数．
【解答】（1）证明：∵∠ACP＝∠B，∠CAP＝∠BAC，
∴△ACP∽△ABC；
（2）解：∵AC2＝AB•AD，
∴AD：AC＝AC：AB，
又∵∠CAB＝∠DAC，
∴△ACB∽△ADC，
∴∠ACB＝∠D，
∵BC＝BD，
∴∠BCD＝∠D，
∴∠ACD＝∠ACB+∠BCD＝2∠D，
∵∠ACD+∠D+∠A＝180°，∠A＝81°，
∴2∠D+∠D+81°＝180°，
∴∠D＝33°，
∴∠BCD＝∠D＝33°，
∴∠ABC＝∠BCD+∠D＝66°．
题型04 相似三角形的应用
【典例1】
同学们在物理课上做“小孔成像”实验．如图，蜡烛与带“小孔”的纸板之间的距离是带“小孔”的纸板
与光屏间距离的一半，当蜡烛火焰的高度AB为1.6cm时，所成的像A′B'的高度为（ ）
A．0.8cm B．2.4cm C．3.2cm D．4.8cm【解答】解：如图：∵AB∥A′B′，
∴△AOB∽△A′OB′，
∴AB：A′B′＝OM：OM′，
∵OM：OM′＝1：2，
∴AB：A′B′＝1：2，
∵AB＝1.6cm，
∴A′B′＝2×1.6＝3.2cm，
故答案选：C．
【典例2】
如图，利用标杆BE测量建筑物的高度．如果标杆BE高1.2m，测得AB＝1.6m，BC＝12m，则楼高CD是
（ ）
A．9m B．9.6m C．10.2m D．11.2mm
【解答】解：∵EB⊥AC，DC⊥AC，
∴EB∥CD，
∴△ABE∽△ACD，
∴ ，
∵BE＝1.2m，AB＝1.6m，BC＝12m，
∴AC＝AB+BC＝13.6（m），
∴ ，
∴CD＝10.2m．
答：楼高CD是10.2m．
故选：C．
【典例3】
如图，李老师用自制的直角三角形纸板去测“步云阁”的高度，他调整自己的位置，设法使斜边 DF保持
水平，边DE与点B在同一直线上．已知直角三角纸板中DE＝18cm，EF＝12cm，测得眼睛D离地面的
高度为1.8m，他与“步云阁”的水平距离CD为114m，则“步云阁”的高度AB是（ ）A．74.2m B．77.8m C．79.6m D．79.8m
【解答】解：在△DEF和△DCB中，
∵∠D＝∠D，∠DEF＝∠DCB＝90°，
∴△DEF∽△DCB，
∴ ＝ ，
即 ＝ ，
解得：BC＝76（m），
∵AC＝1.8m，
∴AB＝AC+BC＝1.8+76＝77.8（m），
即步云阁77.8m，
故选：B．
【典例4】
四分仪是一种十分古老的测量仪器．其出现可追溯到数学家托勒密的《天文学大成》．图 1是古代测量员
用四分仪测量一方井的深度，将四分仪置于方井上的边沿，通过窥衡杆测望井底点 F、窥衡杆与四分仪
的一边BC交于点H．图2中，四分仪为正方形ABCD．方井为矩形BEFG．若测量员从四分仪中读得
AB为1，BH为0.5，实地测得BE为2.5．则井深BG为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°，
∵BE＝2.5，BH＝0.5，
∴HE＝BE﹣BH＝2.5﹣0.5＝2，∵四边形BEFG是矩形，
∴BG＝EF，∠BEF＝90°，
∴∠ABH＝∠FEH＝90°，
∵∠AHB＝∠EHF，
∴△ABH∽△FEH，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴EF＝4，
∴BG＝EF＝4，
故选：A．
1．两个相似三角形的周长之比是 ，则它们的面积之比为（ ）
A．1：3 B．3：1 C． D．
【解答】解：∵两个相似三角形的周长之比为1： ，
∴两个相似三角形的相似比为1： ，
∵相似三角形面积的比等于相似比的平方，
∴它们相应的面积之比是1：3．
故选：A．
2．如图，△ABC∽△ADE，S△ABC ：S四边形BDEC ＝1：2，其中 ，DE的长为（ ）
A． B． C． D．6
【解答】解：∵S△ABC ：S四边形BDEC ＝1：2，
∴S△ABC ：S△ADE ＝1：3，
∵△ABC∽△ADE，
∴ ＝ ，
∵CB＝ ，
∴DE＝ ．故选：A．
3．如图，已知∠1＝∠2，那么添加一个条件后，仍不能判定△ABC与△ADE相似的是（ ）
A．∠C＝∠AED B．∠B＝∠D C． ＝ D． ＝
【解答】解：∵∠1＝∠2
∴∠DAE＝∠BAC
∴A，B，D都可判定△ABC∽△ADE
选项C中不是夹这两个角的边，所以不相似，
故选：C．
4．图1是伸缩折叠不锈钢晾衣架的实物图，图2是它的侧面示意图，AD与CB相交于点O，AB∥CD，根
据图2中的数据可得x的值为（ ）
A．0.8 B．0.96 C．1 D．1.08
【解答】解：∵AB∥CD，
∴△COD∽△BOA，
∴ ，
∴ ，
∴x＝0.96，
故选：B．
5．新定义：由边长为1的小正方形构成的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，已知在5×5
的网格图形中，点A、B、C、D为不同的点且都在格点上，如果∠ADC＝∠ABC，那么图中所有符合要
求的格点D的个数是（ ）A．3 B．5 C．7 D．9
【解答】解：如图，满足条件的点D有9个．
故选：D．
6．如图，点A，B，C，D为 O上的四个点，AC平分∠BAD，AC交BD于点E，CE＝2，CD＝3，则AC
的长为（ ）
⊙
A．4 B．4.5 C．5 D．5.5
【解答】解：∵AC平分∠BAD，
∴ ，
∴∠BDC＝∠CAD，
∵∠ACD＝∠DCE，
∴△CDE∽△CAD，
∴CD：AC＝CE：CD，
∴CD2＝AC•CE，
∴32＝2（2+AE），
∴AE＝2.5，
∴AC＝AE+CE＝4.5，
故选：B．7．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6，AD＝8，对角线AC与BD交于点O，点E是DC的延长线的一
个动点，连接OE交BC于点F，当CE＝1时，BF的长是（ ）
A．6 B．6.2 C．6.75 D．7
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，AD∥BC，
∴∠CAD＝∠ACB，
在△AOG和△COF中，
，
∴△AOG≌△COF（ASA），
∴AG＝CF，
∵AD∥BC，
∴△CFE∽△DGE，
∴ ，
∴ ，
∵AD＝8，
∴AG＝ ×8＝1，
∴CF＝AG＝1，
∴BF＝7．
故选：D．
8．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，连接CE，过点C作CF⊥CE交AD的延长线于点F，连接
EF，EF分别交CD、AC于点G、H，M是EF中点，连接DM，则下列结论：①BE＝DF；③FH•GE
＝CE2；③∠CDM＝45°；④若AE＝AH，则 ，正确的结论是（ ）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴BC＝CD，∠BCD＝90°，
∴∠BCE+∠ECD＝90°．
∵CF⊥CE，
∴∠FCD+∠ECD＝90°，
∴∠BCE＝∠DCF．
在△BCE和△DCF中，
，
∴△BCE≌△DCF（ASA），
∴BE＝DF．
∴①的结论正确；
∵△BCE≌△DCF，
∴CE＝CF，
∴△CEF为等腰直角三角形，
∴∠CEF＝∠CFE＝45°．
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAC＝∠ACD＝45°，
∴∠ACD＝∠CFE．
∵∠CHG＝∠FHC，
∴△CHG∽△FHC，
∴∠HGC＝∠HCF．
∵∠CEF＝∠CFE＝45°，
∴△EGC∽△FCH，
∴ ，
∴CE•CF＝GE•FH，
∴CE2＝GE•FH，∴②的结论正确；
连接CM，如图，
∵△CEF为等腰直角三角形，M是EF中点，
∴CM⊥EF，CM＝EM＝FM，
∴∠MCF＝∠MCE＝45°，
∴△CME为等腰直角三角形，
∴CE＝ CM，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AC＝ CD，
∴ ．
∵∠ECH+∠MCH＝45°，∠MCD+∠MCH＝45°，
∴∠ECH＝∠MCD，
∴△ECA∽△MCD，
∴∠CAE＝∠CDM＝45°
∴③的结论正确；
在BC上取一点N，使BE＝BN，连接EN，
∵AE＝AH，∠BAC＝45°，
∴∠AEH＝∠AHE＝67.5°，
∴∠CHF＝∠AHE＝67.5°，
∵∠ACD＝45°，
∴∠CGH＝180°﹣∠ACD﹣∠CHF＝67.5°，
∵∠CGH＝∠CFE+∠GCF，
∴∠GCF＝22.5°，
∴∠ECB＝∠GCF＝22.5°．
∵BE＝BN，∠B＝90°，
∴∠BEN＝∠BNE＝45°，
∵∠BNE＝∠NEC+∠BCE，
∴∠BCE＝∠NEC＝22.5°，
∴NE＝CN．
设BE＝BN＝m，
∴NE＝ BE＝ m，
∴CN＝NE＝ m，
∴BC＝BN+NC＝（ +1）m，
∴ ．∴④的结论正确．
综上，正确的结论有：②②③④．
故选：D．
9．D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，如果∠A＝45°，AB＝2，AD＝1，AC＝3，那么要使△ABC和
△ADE相似，则AE＝ 或 ．
【解答】解：要使△ABC和△ADE相似，
如图1，∠ADE＝∠B，
∴ ＝ ，
∵AB＝2，AD＝1，AC＝3，
∴ ＝ ，
∴AE＝ ；
如图2，∠ADE＝∠C，∴ ＝ ，
∵AB＝2，AD＝1，AC＝3，
∴ ＝ ，
∴AE＝ ；
故答案为： 或 ．
10．九年级（1）班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度，如图所示，已知标杆高度 CD＝3m，标杆
与旗杆的水平距离BD＝15m，人的眼睛与地面的高度EF＝1.6m，人与标杆CD的水平距离DF＝2m，
则旗杆AB的高度为 13. 5 m．
【解答】解：设CD与EH交于G，
∵CD⊥FB，AB⊥FB，
∴CD∥AB，
∴△CGE∽△AHE，
∴ ，
即： ，
∴ ，
∴AH＝11.9，
∴AB＝AH+HB＝AH+EF＝11.9+1.6＝13.5（m）．
故答案为：13.5．
11．将一张直角三角形纸片沿一条直线剪开，将其分成一张三角形纸片与一张四边形纸片，如果所得四边形纸片ABCD如图所示，其中∠A＝∠C＝90°，AB＝7厘米，BC＝9厘米，CD＝2厘米，那么原来的直
角三角形纸片的面积是 5 4 或 平方厘米．
【解答】解：（1）分别延长CD，BA交于M，连接BD，设△MBC的面积是S（cm2），
∵∠C＝∠DAB＝90°，
∴DC2+BC2＝AB2+AD2＝BD2，
∴22+92＝72+AD2，
∴AD＝6（cm），
∴△ADB的面积＝ AD•AB＝ ×6×7＝21（cm2），△DCB的面积＝ DC•BC＝ ×2×9＝9（cm2），
∴四边形ABCD的面积＝21+9＝30（cm2），
∴△DMA的面积＝（S﹣30）（cm2），
∵∠M＝∠M，∠MAD＝∠MCB，
∴△MDA∽△MBC，
∴ ＝ ＝ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴S＝54（cm2）．
（2）分别延长AD，BC交于N，设△NAB的面积是S′（cm2），
由（1）知四边形ABCD的面积＝30（cm2），
∵∠N＝∠N，∠NCD＝∠A＝90°，∴△NCD∽△NAB，
∴ ＝ ＝ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴S′＝ （cm2），
∴原来的直角三角形纸片的面积是54cm2或 cm2．
故答案为：54或 ．
12．如图，四边形ABCD是正方形，点F是边AB上的一点，连接DF，点E是边BC延长线上的一点，且
DF⊥DE，连接AC交EF于点Q，若 ，AF＝1，则EF的长为 ．
【解答】解：过点Q作QH⊥BE于点H，如图：
设AQ＝5x，CQ＝3x，则AC＝8x，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝DC＝ ＝4 x，∠HCQ＝∠HQC＝45°，
∴CH＝CQ＝ ＝ x，
∵DF⊥DE，
∴∠FDE＝∠ADC＝90°，
∴∠ADF＝∠CDE，
∴△ADF≌△CDE（ASA），
∴AF＝CE＝1，∴BF＝4 x﹣1，HE＝ x+1，BE＝4 +1，
∵AB∥HQ，
∴△BFE∽△HQE，
∴ ，
∴ ，
解得x＝ ，
∴BF＝4 × ﹣1＝1，BE＝4 × +1＝3，
∴EF＝ ＝ ＝ ，
故答案为： ．
13．某数学兴趣小组要完成一个项目学习，测量凌霄塔的高度AB．如图，塔前有一棵高4米的小树CD，
发现水平地面上点E、树顶C和塔顶A恰好在一条直线上，测得BD＝57米，D、E之间有一个花圃距
离无法测量；然后，在E处放置一平面镜，沿BE后退，退到G处恰好在平面镜中看到树顶C的像，
EG＝2.4米，测量者眼睛到地面的距离 FG为1.6米；已知AB⊥BG，CD⊥BG，FG⊥BG，点B、D、
E、G在同一水平线上．请你求出凌霄塔的高度AB．（平面镜的大小厚度忽略不计）
【解答】解：∵CD⊥BG，FG⊥BG，
∴∠CDE＝∠FGE＝90°，
∵∠CED＝∠FEG，
∴△CDE∽△FGE，
∴ ，
∵CD＝4，FG＝1.6，EG＝2.4，
∴ ，
解得：DE＝6，
∵BD＝57，∴BE＝BD+DE＝57+6＝63，
∵AB⊥BG，CD⊥BG，
∴∠ABE＝∠CDE＝90°，
∵∠AEB＝∠CED，
∴△ABE∽△CDE，
∴ ，
即 ，
解得：AB＝42，
∴凌霄塔的高度AB为42米．
14．如图， ABCD中，AE⊥BC于点E，点F在BC的延长线上，且CF＝BE，连接AC，DF．
（1）求证：四边形AEFD是矩形：
▱
（2）若∠ACD＝90°，AE＝4，CF＝3，求 的值．
【解答】（1）证明：∵CF＝BE，
∴CF+EC＝BE+EC．
即 EF＝BC．
在 ABCD中，AD∥BC且AD＝BC，
∴AD∥EF且AD＝EF．
▱
∴四边形AEFD是平行四边形．
∵AE⊥BC，
∴∠AEF＝90°．
∴四边形AEFD是矩形；
（2）解：∵四边形AEFD是矩形，
∴∠AEC＝∠DFC＝90°，AE＝DF＝4，
∴∠EAC+∠ECA＝90°，
∵∠ACD＝90°，
∴∠ECA+∠DCF＝90°，
∴∠EAC＝∠DCF，
∴△AEC∽△CFD，
∴ ＝ ＝ ，∴EC＝2AE＝ ，
∴ ＝ ＝ ＝ ．
15．在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A坐标为（0，3），顶点C坐标为（8，0），直线 交
AB于点D，点P从O点出发，沿射线OD方向以每秒a个单位长度的速度移动，同时点Q从C点出发
沿x轴向原点O方向以每秒1个单位长度的速度移动，当点Q到达点O时，点P停止移动．连接BP、
CP，设运动时间为t秒．
（1）点D的坐标为 （ 4 ， 3 ） ；
（2）当CP⊥OD时，求直线CP的表达式；
（3）在点P、Q在运动的过程中，是否存在以点O、P、Q为顶点的三角形与△BCQ相似．若存在，请
直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵矩形OABC的顶点A坐标为（0，3），
∴把y＝3代入 ，得x＝4，
∴点D的坐标为（4，3）；
（2）连接CP，
∵点D的坐标为（4，3），
∴OD＝5，
∵CP⊥OD，
∴∠CPO＝∠OAB＝90°，
∵四边形OABC是矩形，
∴AB∥OC，∴∠ADO＝∠COD，
∴△AOD∽△PCO，
则 ，
即 ，
∴ ， ，
∵直线 交AB于点D，
∴设 ，
则 ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
设直线CP的表达式y＝kx+b，
∵C坐标为（8，0），
∴ ，
解得 ，
∴ ，
∴直线CP的表达式 ；
（3）解：存在，理由如下：①如图，当PQ⊥x轴，连接BQ，
∵ ，
∴ ，
∵点D的坐标为（4，3），
∴OD＝5，
则 ，
∴ ，
得 ，
∵PQ⊥x轴，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵△OPQ与△QBC相似，
∴ ，
即
解得t＝4；
或 ，
即 ，
解得 ；②如图，当PQ⊥OD，
∵ ，
∴ ，
∵点D的坐标为（4，3），
∴OD＝5，
则 ，
∵点P从O点出发，沿射线OD方向以每秒a个单位长度的速度移动，同时点Q从C点出发沿x轴向原
点O方向以每秒1个单位长度的速度移动，设运动时间为t秒，
则在Rt△OPQ中， ，
得 ，
则在Rt△OPQ中， ，
得 ，
∴ ，
∵△OPQ与△QCB相似，
∴ ，
即 ，
解得t＝4；
或 ，
即 ，解得 ；
综上所述：t的值为4或 或 ．
