文档内容
考点 24 两角和与差的正弦、余弦和正切公式（3 种核心题
型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）
【考试提醒】
1.会推导两角差的余弦公式.
2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式.
3.掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并会简单应用．
【知识点】
1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式
(1)公式C ：cos(α－β)＝ ；
(α－β)
(2)公式C ：cos(α＋β)＝ ；
(α＋β)
(3)公式S ：sin(α－β)＝ ；
(α－β)
(4)公式S ：sin(α＋β)＝ ；
(α＋β)
(5)公式T ：tan(α－β)＝ ；
(α－β)
(6)公式T ：tan(α＋β)＝ .
(α＋β)
2．辅助角公式
asin α＋bcos α＝ ，其中sin φ＝，cos φ＝.
知识拓展
两角和与差的公式的常用变形：
(1)sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β.
(2)cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β.
(3)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)．
tan αtan β＝1－＝－1.
【核心题型】
题型一 两角和与差的三角函数公式
两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用 α，β的三角函数表示α±β的
三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统
一角和角与角转换的目的．
【例题1】（2024·河北石家庄·三模）已知角 满足 ，则（ ）
A． B． C． D．2
【变式1】（2024·陕西铜川·二模）已知锐角 满足 ， ，则
.
【变式2】（2023·江西上饶·模拟预测）已知 、 均为锐角，且 ，
，则 .
【变式3】（2024·河北保定·二模）在 中，角 的对边分别为 ，已知
.
(1)求 ；
(2)若 为 边的中点，求 的长.
题型二 两角和与差的公式逆用与辅助角公式
运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形
公式的逆用和变形应用更能开拓思路，增强从正向思维向逆向思维转化的能力．
【例题2】（2024·陕西西安·一模） 等于（ ）A． B． C． D．1
【变式1】（2023·广东·二模） 的值为 .
【变式2】（2024·广东揭阳·二模）已知 ，则 ，
.
【变式3】（2024·江苏·模拟预测）在 中，点 在 边上，且满足 .
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的面积的最小值.
题型三 角的变换问题
常用的拆角、配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β；β＝－＝(α＋2β)
－(α＋β)；α－β＝(α－γ)＋(γ－β)；15°＝45°－30°；＋α＝－等．
【例题3】（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2024·江西景德镇·三模）函数 在 内恰有两个对称中
心， ，将函数 的图象向右平移 个单位得到函数 的图象.若
，则 （ ）
A． B． C． D．【变式2】（2024·河北沧州·模拟预测）已知 ，则
．
【变式3】（2024·湖南·模拟预测）已知 ，则 等于 .
【课后强化】
【基础保分练】
一、单选题
1．（2024·北京朝阳·二模）在平面直角坐标系 中，锐角 以 为顶点， 为始边.将
的终边绕 逆时针旋转 后与单位圆交于点 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2024·重庆·模拟预测）在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知
， ， ．则a的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·山东枣庄·模拟预测）已知角 的顶点与原点重合，始边与 轴的非负半轴重合，
终边经过点 ，则 （ ）
A．0 B． C． D．
4．（2024·四川·模拟预测）已知 ， ， ，若 ，，则 （ ）
A． B． C． D．
二、多选题
5．（23-24高三上·山西大同·期末）若 ，且 ， ，
则（ ）
A． B．
C． D．
6．（23-24高三上·广东揭阳·期中）已知函数 ，则下
列判断正确的是（ ）
A． 的最小正周期为 B． 的图象关于点 对称
C． 的值域为 D． 的图象关于直线 对称
三、填空题
7．（23-24高三下·内蒙古赤峰·开学考试）若 ，则 ．
8．（2023·山东菏泽·一模）设 均为非零实数，且满足 ，则
.
9．（2024·陕西安康·模拟预测）已知 ，且 ，则．
四、解答题
10．（2024·河北保定·二模）已知 中，角 所对的边分别为
.
(1)求角 ；
(2)若 ，且 的周长为 ，求 的面积.
11．（2021·贵州毕节·模拟预测）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已
知 .
（1）求角B的大小；
（2）求 的取值范围.【综合提升练】
一、单选题
1．（23-24高三下·山东·开学考试）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2024·重庆·模拟预测）若 ， 且 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·江西赣州·模拟预测） （ ）
A． B． C． D．
4．（2024·江苏南通·三模）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
5．（2024·全国·模拟预测）已知 ， ， 满足 ，且 ，
，则 的值为（ ）
A．－2 B． C． D．2
6．（23-24高三下·江西·阶段练习）已知 ， ， ，则
（ ）A． B． C． D．
7．（2024·河北沧州·一模）已知角 的顶点与坐标原点重合，始边与 轴的非负半轴重合，
且终边上一点的坐标为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
8．（2023·全国·模拟预测）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2023·全国·模拟预测）若 ，且 ，则（ ）
A． B．
C． D．
10．（2023·河南·模拟预测）已知 ，且 ，
， ，则（ ）
A． 的取值范围为 B．存在 ， ，使得
C．当 时， D．t的取值范围为11．（2023·全国·模拟预测）已知 ， ，
，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
12．（2024·江西鹰潭·二模）已知 ，且 ，则 .
13．（2023·贵州六盘水·模拟预测）已知 ， ，且 ，
，则 ．
14．（2024·内蒙古呼伦贝尔·二模）已知 ， 是方程 的两个根，则
．
四、解答题
15．（2023·全国·模拟预测）已知 ，且 .
(1)求 和 的值；
(2)若 ，且 ，求 的值.16．（2024·云南昆明·模拟预测）已知 的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且
， .
(1)求 ；
(2)若 ，求 的值.
17．（2024·天津·二模）在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ．已知 ，
， ．
(1)求 的值；
(2)求 的值；
(3)求 的值．
18．（2024·天津南开·一模）已知 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
.
(1)求a的值：
(2)求证： ；
(3) 的值19．（2022·浙江·模拟预测）已知函数 的部分
图象如图所示，且 的面积等于 .
(1)求函数 的单调递减区间；
(2)若 ，且 ，求 的值.
【拓展冲刺练】
一、单选题1．（2024·河南·二模）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全国·模拟预测）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（2024·全国·模拟预测）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．（2024·贵州毕节·模拟预测）已知 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
二、多选题
5．（23-24高三上·山西吕梁·阶段练习）计算下列各式的值，其结果为2的有（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024·全国·模拟预测）已知角 的终边过点 ，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
7．（2024·河北承德·二模）已知 ，则 .8．（2023·湖南岳阳·一模）已知 ， ， ， 均为锐角，则
.
四、解答题
9．（2024·全国·模拟预测）在 中，内角 所对的边分别为 ，已知
．
(1)求 的值；
(2)若 的面积为 为边 的中点，求 的长．
10．（2024高三上·全国·竞赛）设 为坐标原点， 为抛物线 上异于 的一点，
， ．
(1)求 的最小值；
(2)求 的取值范围；
(3)证明： ．11．（2024·河南开封·二模）在密码学领域，欧拉函数是非常重要的，其中最著名的应用就
是在RSA加密算法中的应用．设p，q是两个正整数，若p，q的最大公约数是1，则称p，
q互素．对于任意正整数n，欧拉函数是不超过n且与n互素的正整数的个数，记为 ．
(1)试求 ， ， ， 的值；
(2)设n是一个正整数，p，q是两个不同的素数．试求 ， 与φ（p）和φ（q）的
关系；
(3)RSA算法是一种非对称加密算法，它使用了两个不同的密钥：公钥和私钥．具体而言：
①准备两个不同的、足够大的素数p，q；
②计算 ，欧拉函数 ；
③求正整数k，使得kq除以 的余数是1；
④其中 称为公钥， 称为私钥．
已知计算机工程师在某RSA加密算法中公布的公钥是 ．若满足题意的正整数k从小
到大排列得到一列数记为数列 ，数列 满足 ，求数列 的
前n项和 ．
