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专题18 与角相关的三大计算类问题压轴复习
类型一 “钟面角”相关
【知识点睛】
钟表的表面特点：钟表的表面都是一个圆形，共有12个大格，每个大格间有5个小格．圆形的表面恰
好对应着一个周角360°，每一大格=30°角，每一小格=6°角．表面一般有时针、分针、秒针三根指
针．
钟表时针、分针、秒针的转动情况：
时针：每小时转1大格，每12分钟转1小格，每12个小时转1个圆周；
分针：每5分钟转一大格，每1分钟转1小格，每小时转1个圆周；
秒针：每5秒钟转1大格，每1秒钟转1小格，每1 分钟转一个圆周．
时针、分针、秒针的转速：
时针的转速为：30°/小时或0.5°/分钟；
分针的转速为：6°/分钟或0.1°/秒钟；
秒针的转速为：6°/秒．
【类题训练】
一、时针/分针间的夹角问题
1．时钟显示为2：00时，时针与分针所夹的角是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
【分析】根据时针与分针相距的份数乘以每份的度数，可得答案．
【解答】解：2：00时，时针与分针所夹角度是30°×2＝60°，
故选：C．
2．上午8：30时，时针和分针所夹锐角的度数是（ ）
A．75° B．80° C．70° D．67.5°
【分析】首先根据题意画出草图，再根据钟表表盘的特征：钟面上每一格30°，进行解答．
【解答】解：如图：
8点30分，时针和分针中间相差2.5个大格．
∵钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°，
∴上午8：30时，时针和分针所夹锐角的度数是2.5×30°＝75°．
故选：A．
3．下列说法中正确的是（ ）
A．3时30分，时针与分针的夹角是90°
B．6时30分，时针与分针重合C．8时45分，时针与分针的夹角是30°
D．9时整，时针与分针的夹角是90°
【分析】根据时钟上一大格是30°，时针一分钟转0.5°，进行计算逐一判断即可．
【解答】解：A、3时30分，时针与分针的夹角是75°，故A不符合题意；
B、6时30分，时针与分针不重合，故B不符合题意；
C、8时45分，时针与分针的夹角是7.5°，故C不符合题意；
D、9时整，时针与分针的夹角是90°，故D符合题意；
故选：D．
二、从某一时刻到另一时刻的角度问题
1．时钟上的时针匀速旋转一周是12小时，从5时到6时，时针转动的度数为 30 ° ．
【分析】时钟上的时针匀速旋转一小时的度数为30°，据此解答即可．
【解答】解：∵时钟上的时针匀速旋转一周的度数为360°，时钟上的时针匀速旋转一周需要12小时，
∴时钟上的时针匀速旋转一小时的度数为：360÷12＝30°，
∴从5时到6时，时针转动的度数为30°．
故答案为：30°．
2．从8：12分到8：35分，时钟的分针转过的角度是 138 ° ．
【分析】根据钟面角的特征得出分钟每转动“1分钟”所转过的角度，再计算从8：12分到8：35分，
时钟的分针转过的角度即可．
【解答】解：由钟面角的特征可知，分针每转动“1分钟”，转过的角度为360°÷60＝6°，
所以从8：12分到8：35分，时钟的分针转过的角度是6°×（35﹣12）＝138°，
故答案为：138°．
3．同一天中，从9：30到10：05，分针转了几度？时针转了几度？
【分析】根据时钟上分针1分钟转6°，时针1分钟转0.5°，进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
6°×35＝210°，0.5°×35＝17.5°，
∴同一天中，从9：30到10：05，分针转了210度，时针转了17.5度．
4．知识的迁移与应用
问题一：甲、乙两车分别从相距 180km的 A、B两地出发，甲车速度为36km/h，乙车速度为24km/h，
两车同时出发，同向 而行（乙车在前甲车在后）， 5 或 2 5 后两车相距120km？
问题二：将线段弯曲后可视作钟表的一部分，如图，在一个圆形时钟的表面上，OA表示时针，OB表示
分针（O为两针的旋转中心）．下午3点时，OA与OB成直角．（1）3：40时，时针与分针所成的角度 130 ° ；
（2）分针每分钟转过的角度为 6 ° ，时针每分钟转过的角度为 0.5 ° ；
（3）在下午3点至4点之间，从下午3点开始，经过多少分钟，时针与分针成60°角？
【分析】问题一：分两种情况解答：①乙车在前甲车在后，②甲车在前乙车在后；列出方程求解即可；
问题二：（1）根据钟面的特点，平均分成12份，可得每份30°，根据时针与分针相距的份数乘以每份
的度数，可得答案．
（2）钟表上的刻度是把一个圆平均分成了 12等份，每一份是30°，分针每分钟转过的角是 分，即
×30°＝6°；时钟的时针每小时转过的角是一份，即30°，可得时针每分钟转过的角度为0.5°；
（3）分①当分针在时针上方时②当分针在时针下方时两种情况列出方程解答即可．
【解答】解：问题一：设xh后两车相距120km，
若相遇前，则36x﹣24x＝180﹣120，
解得x＝5，
若相遇后，则36x﹣24x＝180+120，
解得x＝25．
故两车同时出发，同向而行（乙车在前甲车在后），5或25后两车相距120km；
（1）30°×（5﹣ ）＝130°．
故3：40时，时针与分针所成的角度130°；
（2）分针每分钟转过的角度为6°，时针每分钟转过的角度为0.5°；
（3）设在下午3点至4点之间，从下午3点开始，经过x分钟，时针与分针成60° 角．
①当分针在时针上方时，
由题意得：（3+ ）×30﹣6x＝60，
解得：x＝ ；
②当分针在时针下方时，由题意得：6x﹣（3+ ）×30＝60
解得：x＝ ．
答：在下午3点至4点之间，从下午3点开始，经过 或 分钟，时针与分针成60° 角．
故答案是：5或25；130°；6°；0.5°．
三、由角度求对应时刻时间
1．钟面角是指时钟的时针与分针所成的角．如图，在钟面上，点O为钟面的圆心，图中的圆我们称之为钟
面圆．为便于研究，我们规定：钟面圆的半径OA表示时针，半径OB表示分针，它们所成的钟面角为
∠AOB；本题中所提到的角都不小于 0°，且不大于180°；本题中所指的时刻都介于0点整到12点整
之间．
（1）时针每分钟转动的角度为 °，分针每分钟转动的角度为 °；
（2）8点整，钟面角∠AOB＝ °，钟面角与此相等的整点还有： 点；
（3）如图，设半径OC指向12点方向，在图中画出6点15分时半径OA、OB的大概位置，并求出此时
∠AOB的度数．
【分析】（1）根据时针旋转一周12小时，可得时针旋转的速度，根据分针旋转一周60分钟，可得分
针旋转的速度；
（2）根据时针与分针相距的份数乘每份的度数，可得答案；
（3）根据时针旋转的角度减去分针旋转的角度，可得答案．
【解答】解：（1）时针每分钟转动的角度为0.5°，分针每分钟转动的角度为6°；
故答案为：0.5，6；
（2）0.5×60×4＝120°，4点时0.5×60×4＝120°，
故答案为：120，4；
（3）如图，∠AOB＝6×30+15×0.5﹣15×6＝97.5°．
2．钟面角是指时钟的时针与分针所成的角，时针每走 1分钟对 应 0.5°的角，
分针每走1分钟对度6°的角．（1）如图1，时钟所表示的时间为2点30分，则钟面角为 °；
（2）若某个时刻的钟面角为60°，请写出一个相应的时刻： ；
（3）如图2，时钟所表示的时间为3点，此时钟角为90°，在4点前，经过多少分钟，钟角为35°？
【分析】（1）钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°，钟表上2点30分，时针指向2和3
的中间，分针指向6，两者之间相隔3.5个数字；
（2）找到时针和分针相隔2个数字的时刻即可；
（3）分两种情况，根据钟面角为35°讨论求解．
【解答】解：（1）3×30°+15°＝105°．
故钟面上2点30分时，钟面角为105°．
（2）2：00或10：00（答案不唯一）
（3）设经过x分钟，钟面角为35°，得：
6x+35＝90+0.5x或者6x＝90+0.5x+35
解得：x＝10或x＝ ．
故在4点前，经过10或 分钟，钟面角为35°．
故答案为：105；2：00或10：00（答案不唯一）．
3．钟面上的数学
基本概念
钟面角是指时钟的时针与分针所成的角．如图 1，∠AOB 即为某一时刻的钟面角，通常
0°≤∠AOB≤180°．
简单认识
时针和分针在绕点O一直沿着顺时针方向旋转，时针每小时转动的角度是30°，分针每小时转动一周，
角度为360°．由此可知：
（1）时针每分钟转动 °，分针每分钟转动 °；初步研究
（2）已知某一时刻的钟面角的度数为 ，在空格中写出一个与之对应的时刻：
①当 ＝90°时， ； α
②当α＝180°时， ；
（3）如α 图2，钟面显示的时间是8点O4分，此时钟面角∠AOB＝ °；
深入思考
A类：（4）在某一天的下午2点到3点之间（不包括2点整和3点整）．
①时针恰好与分针重叠，则这一时刻是 ；
②时针恰好与分针垂直，求此时对应的时刻．
B类：（4）在某一天的下午2点到3点之间（不包括2点整和3点整）
①若钟面角为30°，求此时对应的时刻；
②记钟面上刻度为3的点为C，当钟面角的两条边OA、OB所在射线与射线OC中恰有一条是另两条射
线所成角的角平分线时，请直接写出此时对应的时刻．
【分析】（1）根据1小时＝60分解答即可；
（2）钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°，找到时针和分针相隔3个数字的时刻和相隔6
个数字的时刻即可；
（3）钟表12个数字，每相邻两个数字之间有5格，钟表上8点04分，时针转了（60×8+4）格，分针
指向4，根据时针和分针的速度即可求解；
A类：（4）①设此时对应的时刻是2点x分，根据时针和分针转动的角度相同即可求解；
②设此时对应的时刻是2点y分，根据时针和分针转动的角度相差90°即可求解；
B类：（4）①设此时对应的时刻是2点m分，根据时针和分针转动的角度相差30°即可求解；
②令时针所在直线为OA，分针所在直线为OB，分两种情况求解即可．
【解答】解：（1）∵时针每小时转动的角度是30°，分针每小时转动一周，角度为360°．
∴时针每分钟转动30°÷60＝0.5°，分针每分钟转动360°÷60＝6°，
故答案为：0.5；6；
（2）①某个时刻的钟面角 为90°，可为3：00，②某个时刻的钟面角 为180°，可为6：00，
α α故答案为：①3：00；②6：00；
（3）钟表12个数字，每相邻两个数字之间有5格，钟表上8点04分，时针转了（60×8+4）格，分针
指向4，
则时针转动的角度是（60×8+4）×0.5°＝242°，分针转动的角度是6°×4＝24°，
此时钟面角∠AOB＝242°﹣24°＝218°，
∵0°≤∠AOB≤180°，
∴∠AOB＝360°﹣218°＝142°，
故答案为：142°；
A类：（4）①设此时对应的时刻是2点x分，
60+0.5x＝6x，解得：x＝ ，
∴这一时刻是2点 分，
故答案为：2点 分；
②设此时对应的时刻是2点y分，
6x﹣60﹣0.5x＝90或6x﹣60﹣0.5x＝270，
解得：x＝ 或x＝60，
∵x＝60时为3点整，不合题意，舍去，
∴此时对应的时刻是2点 分；
B类：（4）①根据时针和分针转动的角度相差30°得：
60+0.5m﹣6m＝30或6m﹣60﹣0.5m＝30，
解得：m＝ 或m＝ ，
∴此时对应的时刻是2点 分或2点 分；
②令时针所在直线为OA，分针所在直线为OB，设此时对应的时刻是2点m分，
OA为OC和OB角平分线时：
＝90﹣60﹣0.5m，
解得：m＝6；OC为OA和OB角平分线时：
90﹣60﹣0.5m＝6m﹣90，
解得：m＝ ；
OA为时针，OB为分针，OB平分∠AOC时：
∠BOC＝90﹣6m，
∠AOC＝30﹣0.5m，
∵OB平分∠AOC，
∴∠AOC＝2∠BOC，
∴30﹣0.5m＝2（90﹣6m），
解得：m＝ ，
答：当钟面角的两条边OA、OB所在射线与射线OC中恰有一条是另两条射线所成角的角平分线时，此
时对应的时刻在2点6分和2点 分，2点 分．
类型二 与角有关的折叠问题
【知识点睛】
有折叠必有角度相等→折叠所形成的角与原角相等→折痕所在直线为角平分线；
成一条直线的几个角组成平角——即和为180°；
正方形、长方形的一个角均为90°；
【类题训练】
1．如图，把一长方形纸片ABCD的一角沿AE折叠，点D的对应点D'落在∠BAC内
部．若∠CAE＝2∠BAD'，且∠CAD'＝15°，则∠DAE的度数为（ ）
A．12° B．24° C．39° D．45°
【分析】由折叠性质得∠DAE＝∠EAD′，由长方形的性质得∠DAE+∠EAD′
+∠BAD′＝90°，根据角的和差倍分关系得∠BAD′＝12°，最后根据∠DAE＝∠EAD′＝∠CAE+∠CAD′
可得答案．
【解答】解：∵长方形纸片ABCD的一角沿AE折叠，
∴∠DAE＝∠EAD′，
∵ABCD是长方形，
∴DA⊥AB，
∴∠DAE+∠EAD′+∠BAD′＝90°，即2∠EAD′+∠BAD′＝90°，
∴2（∠CAE+∠CAD′）+∠BAD′＝90°，∵∠CAE＝2∠BAD′，∠CAD′＝15°，
∴2（2∠BAD′+15°）+∠BAD′＝90°，
∴30°+5∠BAD′＝90°，
∴∠BAD′＝12°，
∴∠DAE＝∠EAD′＝∠CAE+∠CAD′
＝2∠BAD′+∠CAD′
＝2×12°+15°
＝39°，
∴∠DAE＝39°．
故选：C．
2．如图，长方形ABCD沿直线EF、EG折叠后，点A和点D分别落在直线l上的点A′和点D′处，若∠1＝
30°，则∠2的度数为（ ）
A．30° B．60° C．50° D．55°
【分析】根据折叠的性质和平角的定义，先求出∠1+∠4的度数，再确定∠2的度数．
【解答】解：由折叠的性质知：∠1＝∠3＝ ∠AED′，∠2＝∠4＝ ∠DED′，
∵∠AED′+∠DED′＝180°，
∴∠1+∠4＝90°．
即∠1+∠2＝90°．
当∠1＝30°时，
∠2＝60°．
故选：B．
3．如图，将一张长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠后，点C落在点E处，连接BE交AD于F，再将三角形
DEF沿DF折叠后，点E落在点G处，若DG刚好平分∠ADB，那么∠ADB的度数是（ ）A．18° B．20° C．36° D．45°
【分析】根据折叠的性质可得∠BDC＝∠BDE，∠EDF＝∠GDF，由角平分线的定义可得∠BDA＝
∠GDF+∠BDG＝2∠GDF，然后根据矩形的性质及角的运算可得答案．
【解答】解：由折叠可知，∠BDC＝∠BDE，∠EDF＝∠GDF，
∵DG平分∠ADB，
∴∠BDG＝∠GDF，
∴∠EDF＝∠BDG，
∴∠BDE＝∠EDF+∠GDF+∠BDG＝3∠GDF，
∴∠BDC＝∠BDE＝3∠GDF，
∠BDA＝∠GDF+∠BDG＝2∠GDF，
∵∠BDC+∠BDA＝90°＝3∠GDF+2∠GDF＝5∠GDF，
∴∠GDF＝18°，
∴∠ADB＝2∠GDF＝2×18°＝36°．
故选：C．
4．如图，将长方形纸片翻折，若∠1＝52°，则∠2的度数为 ．
【分析】根据翻折的性质得到∠1+∠2＝∠AMN，根据平行线的性质得到∠2＝∠MNC，∠AMN+∠MNC＝
180°，据此即可得解．
【解答】解：
根据翻折的性质得到，∠1+∠2＝∠AMN，
∵AB∥CD，
∴∠2＝∠MNC，∠AMN+∠MNC＝180°，
∴∠AMN+∠MNC＝∠1+∠2+∠2＝180°，∵∠1＝52°，
∴2∠2＝128°，
∴∠2＝64°，
故答案为：64°．
5．如图，把一张长方形纸条ABCD沿EF折叠，若∠AED′＝68°，则∠AEF＝ ．
【分析】设∠DEF＝x，根据折叠的性质得到∠D′EF＝∠DEF＝x，利用平角的定义列方程即可得到结论．
【解答】解：设∠DEF＝x，
∵把一张长方形纸条ABCD沿EF折叠，
∴∠D′EF＝∠DEF＝x，
∵∠AED′＝68°，∠AED′+∠D′EF+DEF＝180°，
∴x+x+68°＝180°，
∴x＝56°，
∴∠DEF＝∠D′EF＝56°，
∴∠AEF＝∠AED′+∠D′EF＝124°，
故答案为：124°．
6．如图，将书页的一角斜折过去，使角的顶点A落在A′处，BC为折痕，BD平分∠A′BE．
（1）求∠CBD的度数．
（2）若∠A′BE＝120°，求∠CBA的度数．
【分析】（1）由翻折的性质可知∠ABC＝∠A'BC，所以 ，
再根据角平分线的定义可得 ，然后根据角的和差关系解
答即可；
（2）由∠A′BE＝120°，再根据∠ABC＝∠A'BC解答即可．
【解答】解：（1）由翻折的性质可知∠ABC＝∠A'BC，
所以 ，又因为BD平分∠A'BE，
所以 ，
因为∠A'BA+∠A'BE＝180°，
所以∠CBD＝ ＝ ＝90°；
（2）∠ABA′＝180°﹣∠A′BE＝60°，
因为∠ABC＝∠A'BC，
所以∠CBA＝30°．
类型三 与角有关的旋转问题
【知识点睛】
图形的旋转也就是其中线段/射线的旋转，审题中先考虑“旋转三要素”——旋转中心、旋转方向、
旋转角度；
旋转角度=射线转动的速度×转动的时间；故常引入字母，用代数式表示角度；
根据角度间的数量关系，多用方程思想解决动角问题；
常见的角度间的数量关系表述：∠A=∠B，∠A=2∠B，∠A与∠B互余（或互补）等
角的边的位置不确定时，需要分类讨论
【类题训练】
1．如图，已知∠AOB＝120°，OC是∠AOB内的一条射线，且∠AOC：∠BOC＝1：2．
（1）求∠AOC，∠BOC的度数；
（2）作射线OM平分∠AOC，在∠BOC内作射线ON，使得∠CON：∠BON＝1：3，求∠MON的度数；
（3）过点O作射线OD，若2∠AOD＝3∠BOD，求∠COD的度数．
【分析】（1）根据∠AOC：∠BOC＝1：2，即可求解；
（2）先求出∠COM，再求出∠CON，相加即可求解；
（3）分OD在∠AOB内部和外部两种情况分类讨论即可求解．
【解答】解：（1）∵∠AOC：∠BOC＝1：2，∠AOB＝120°，
∴∠AOC＝ ∠AOB＝ ×120°＝40°，∠BOC＝ ∠AOB＝ ×120°＝80°；
（2）∵OM平分∠AOC，
∴∠COM＝ ∠AOC＝ ×40°＝20°，
∵∠CON：∠BON＝1：3，
∴∠CON＝ ∠BOC＝ ×80°＝20°，
∴∠MON＝∠COM+∠CON＝20°+20°＝40°；
（3）如图，当OD在∠AOB内部时，
设∠BOD＝x°，
∵2∠AOD＝3∠BOD，
∴∠AOD＝ x°，
∵∠AOB＝120°，
∴x+ x＝120，
解得：x＝48，
∴∠BOD＝48°，
∴∠COD＝∠BOC﹣∠BOD＝80°﹣48°＝32°，
如图，当OD在∠AOB外部时，设∠BOD＝y°，
∵2∠AOD＝3∠BOD，
∴∠AOD＝ y°，
∵∠AOB＝120°，
∴ y+y+120°＝360°
解得：y＝96°，
∴∠COD＝∠BOD+∠BOC
＝96°+80°
＝176°，
综上所述，∠COD的度数为32°或176°．
2．已知∠AOB与∠COD互补，射线OE平分∠COD，设∠AOC＝α，∠BOD＝β．
（1）如图1，∠COD在∠AOB的内部，
①当∠COD＝45°时，求α+β的值．
②当α＝3β时，求∠BOE的度数．
（2）如图2，∠COD在∠AOB的外部，∠BOE＝45°，求α与β满足的等量关系．
【分析】（1）①根据补角的定义以及角的和差关系解答即可；②结合①的结论求出 3β，再根据角的
和差关系解答即可；
（2）根据角平分线的定义以及补角的定义求解即可．
【解答】解：（1）①∵∠AOB与∠COD互补，
∴∠AOB+∠COD＝180°，
∵∠COD＝45°，
∴∠AOB＝135°，
∵∠AOC+∠BOD+∠COD＝135°，∴α+β+45°＝135°，
∴α+β＝90°；
②设∠DOE＝∠x，
∵∠AOB与∠COD互补，且∠α＝3∠β，
∴4∠β+4∠x＝180°，
即∠β+∠x＝45°，
∴∠BOE＝∠BOD+∠DOE＝∠β+∠x＝45°；
（2）∵∠BOE＝45°，
∴∠DOE＝∠BOD﹣∠BOE＝β﹣45°，
∵射线OE平分∠COD，
∴∠COD＝2∠DOE＝2β﹣90°，
∵∠AOB与∠COD互补，
∴∠AOB+∠COD＝180°，
∴∠AOB＝180°﹣∠COD＝270°﹣2β，
∵∠BOC＝∠BOD﹣∠COD＝β﹣（2β﹣90°）＝90°﹣β，
∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝270°﹣2β+90°﹣β＝360°﹣3β，
∴α＝360°﹣3β，
∴α+3β＝360°．
3．如图，将一副三角板的 30°角和45°角的顶点重合，∠AOB＝45°，∠COD＝30°，OM，ON分别是
∠AOC，∠BOD的平分线．
（1）如图1，当OB与OC重合时，∠MON的度数为 37.5 ° ；
（2）当∠COD绕点O旋转至如图2所示的位置时，∠BOC＝10°，求∠MON的度数；
（3）当∠COD绕点O旋转至如图3所示的位置时，∠BOC＝n°，求∠MON的度数．
【分析】（1）由角平分线的定义得∠BON＝ ∠BOD，∠COM＝ ∠AOC，于是得到∠MON＝
（∠BOD+∠AOC）；（2）由角平分线的定义得∠BON＝ ∠BOD，∠COM＝ ∠AOC，再求出∠BOD，∠AOC即可得出答
案；
（3）由角平分线的定义得∠BON＝ ∠BOD，∠COM＝ ∠AOC，再应用角的和差可以推出∠MON＝
（∠BOA+∠DOC），即可求解．
【解答】解：（1）∵OM，ON分别是∠AOC，∠BOD的平分线，
∴∠BON＝ ∠BOD，∠COM＝ ∠AOC，
∴∠BON+∠COM＝ （∠BOD+∠AOC）＝ ×（45°+30°）＝37.5°，
∴∠MON＝37.5°．
故答案为：37.5°．
（2）∵OM，ON分别是∠AOC，∠BOD的平分线，
∴∠BON＝ ∠BOD，∠COM＝ ∠AOC，
∵∠BOD＝∠DOC﹣∠BOC＝30°﹣10°＝20°，
∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝45°﹣10°＝35°，
∴∠BON＝ ×20°＝10°，∠COM＝ ×35°＝17.5°，
∴∠MON＝∠BON+∠COM+∠BOC＝10°+17.5°+10°＝37.5°；
（3）∵OM，ON分别是∠AOC，∠BOD的平分线，
∴∠BON＝ ∠BOD，∠COM＝ ∠AOC，
∴∠BON+∠COM＝ （∠BOD+∠AOC），
∴∠BON+∠COM﹣∠BOC＝ （∠DOC+∠BOC+AOB+∠BOC）﹣∠BOC，
∴∠MON＝ （∠DOC+∠AOB+2∠BOC）﹣∠BOC，
∴∠MON＝ （∠DOC+∠AOB）＝ ×（30°+45°）＝37.5°．
4．将一副三角板叠放在一起，使直角顶点重合于点O．（1）如图1，若∠AOD＝35°，求∠BOC的度数．
（2）若三角板AOB保持不动，将三角板COD的边OD与边OA重合，然后将其绕点O旋转．试猜想在旋转
过程中，∠AOC与∠BOD有何数量关系？请说明理由．
【分析】（1）由于是两直角三角形板重叠，根据∠AOD的度数可得∠BOD，再根据∠DOC＝90°可得
∠BOC；
（2）当分两种情况：∠AOB与∠DOC有重叠部分时和当∠AOB与∠DOC没有重叠部分时．
【解答】解：（1）若∠AOD＝35°，
∵∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠BOD＝90°﹣35°＝55°，
∴∠BOC＝90°﹣∠BOD＝90°﹣55°＝35°；
（2）∠AOC与∠BOD互补．
当∠AOB与∠DOC有重叠部分时，
∵∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠AOD+∠BOD+∠BOD+∠BOC＝180°．
∵∠AOD+∠BOD+∠BOC＝∠AOC，
∴∠AOC+∠BOD＝180°，
当∠AOB与∠DOC没有重叠部分时，
∠AOB+∠COD+∠AOC+∠BOD＝360°，
又∵∠AOC＝∠BOD＝90°，
∴∠AOB+∠DOC＝180°．
5．如图，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使得∠AOC＝120°，将一个有一个角为30°直角三角
板的直角顶点放在点O处，使边ON在射线OA上，另一边OM在直线AB的下方，将图中的三角板绕
点O按顺时针方向旋转180°．
（1）三角板旋转的过程中，当ON⊥AB时，三角板旋转的角度为 90 ° ；
（2）当ON所在的射线恰好平分∠BOC时，三角板旋转的角度为 150 ° ；（3）在旋转的过程中，∠AOM与∠CON的数量关系为 当 0 ° ＜ ≤ 90 ° 时，∠ CON ﹣∠ AOM ＝ 30 ° ，
当 90 ° ＜ ≤ 120 ° 时，∠ AOM + ∠ CON ＝ 30 ° ， α
当 120 ° ＜ α ≤ 180 ° 时，∠ AOM ﹣∠ CON ＝ 30 ° ；（请写出所有可能情况）
（4）若三α角板绕点O按每秒钟20°的速度顺时针旋转，同时射线OC绕点O按每秒钟5°的速度沿顺时
针方向，向终边OB运动，当ON与射线OB重合时，同时停止运动，直接写出三角板的直角边所在射
线恰好平分∠AOC时，三角板运动时间为 t ＝ s 或 t ＝ s ．
【分析】（1）根据旋转的性质知，旋转角∠MON＝90°；
（2）根据角平分线的定义求解即可；
（3）根据旋转角的大小画出图形，分别计算即可．
【解答】解：（1）依题意知，旋转角是∠MON，且∠MON＝90°．
故答案为：90；
（2）当ON所在的射线恰好平分∠BOC时，三角板旋转的角度为150°．
故答案为：150°；
（3）设旋转角是 ，
当0°≤ ≤90°时，α如图，
α
∵∠AON＝90°﹣ ，∠CON＝120°﹣ ，
∴∠CON﹣∠AOMα＝30°； α
当90°＜ ≤120°时，如图，
α∵∠AOM＝ ﹣90°，∠COM＝120°﹣
∴∠AOM+∠αCON＝30°； α
当120°＜ ≤180°时，
α
∵∠AOM＝ ﹣90°，∠CON＝ ﹣120°，
∴∠AOM﹣α∠CON＝30°； α
综上，当0°＜ ≤90°时，∠CON﹣∠AOM＝30°，
当90°＜ ≤12α0°时，∠AOM+∠CON＝30°，
当120°＜α ≤180°时，∠AOM﹣∠CON＝30°．
（4）设三α角板运动的时间为t，
∴∠AOC＝120+5t，
∵OD平分∠AOC时，
∴∠AOD＝ ，∠AON＝20t，
∴当ON平分∠AOC时，60 ＝20t，解得t＝ s，
当OM平分∠AOC时，90 t＝20t，解得t＝ s．
6．已知：如图1，点A、O、B依次在直线MN上，现将射线OA绕点O沿顺时针方向以每秒2°的速度旋转，
同时射线OB绕点O沿逆时针方向以每秒4°的速度旋转，如图2，设旋转时间为t（0秒≤t≤45秒）．
（1）则∠MOA＝ ，∠NOB＝ ．（用含t的代数式表示）
（2）在运动过程中，当∠AOB达到60°时，求t的值．
（3）在旋转过程中是否存在这样的t，使得射线OB是由射线OM、射线OA、射线ON中的其中两条组成
的角（指大于0°而不超过180°的角）的平分线？如果存在，直接写出t的值；如果不存在，请说明
理由．【分析】（1）∠AOM的度数等于OA旋转速度乘以旋转时间，∠NOB的度数等于OA旋转速度乘以旋转时
间；
（2）当∠AOB第二次达到60°时，射线OB在OA的左侧，根据∠AOM+∠BON﹣∠MON＝60°列方程求解
可得；
（3）射线OB是由射线OM、射线OA、射线ON中的其中两条组成的角的平分线有三种情况：
①OB两次平分∠AOM时，根据 ∠AOM＝∠BOM，列方程求解，
②OB两次平分∠MON时，根据∠BOM＝ ∠MON，列方程求解，
③OB平分∠AON时，根据∠BON＝ ∠AON，列方程求解．
【解答】解：（1）∠MOA＝2t，∠NOB＝4t；
故答案为：2t，4t；
（2）如图，
根据题意知：∠AOM＝2t，∠BON＝4t，
当∠AOB第一次达到60°时，∠AOM+∠BON+60°＝180°
即2t+4t+60°＝180°，
∴t＝20秒，
故t＝20秒时，∠AOB第一次达到60°；
当∠AOB第二次达到60°时，∠AOM+∠BON﹣∠MON＝60°，
即2t+4t﹣180＝60，解得：t＝40，
故t＝40秒时，∠AOB第二次达到60°；
（3）射线OB是由射线OM、射线OA、射线ON中的其中两条组成的角的平分线有以下三种情况：
①OB平分∠AOM时，∵ ∠AOM＝∠BOM，
∴t＝180﹣4t，
解得：t＝36；②OB平分∠MON时，∵∠BOM＝ ∠MON，即∠BOM＝90°，
∴4t＝90，或4t﹣180＝90，
解得：t＝22.5，或t＝67.5（舍）；
③OB平分∠AON时，∵∠BON＝ ∠AON，
∴4t＝ （180﹣2t），
解得：t＝18；
综上，当t的值分别为18、22.5、36秒时，射线OB是由射线OM、射线OA、射线ON中的其中两条组成
的角的平分线．
7．【阅读理解】
射线OC是∠AOB内部的一条射线，若∠COA＝ ∠AOB，则我们称射线OC是射线OA的“友好线”．
例如，如图1，∠AOB＝60°，∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝20°，则∠AOC＝ ∠AOB，称射线OC是射
线OA的友好线；同时，由于∠BOD＝ ∠AOB，称射线OD是射线OB的友好线．
【知识运用】
（1）如图2，∠AOB＝120°，射线OM是射线OA的友好线，则∠AOM＝ 4 0 °；
（2）如图3，∠AOB＝180°，射线OC与射线OA重合，并绕点O以每秒2°的速度逆时针旋转，射线
OD与射线OB重合，并绕点O以每秒3°的速度顺时针旋转，当射线OD与射线OA重合时，运动停止；
①是否存在某个时刻t（秒），使得∠COD的度数是40°，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理
由；
②当t为多少秒时，射线OC、OD、OA中恰好有一条射线是另一条射线的友好线．（直接写出答案）
【分析】（1）根据新定义直接可得答案；
（2）①分两种情况：在OC、OD相遇前，180°﹣3t°﹣2t°＝40°，在OC、OD相遇后，3t°+2t°﹣180°＝40°，即可解得答案；
②分4种情况：相遇之前，（Ⅰ）OC是OA的友好线时，∠AOC＝ ∠AOD，即2t°＝ （180°﹣
3t°），（Ⅱ）OC是OD的友好线时，∠DOC＝ ∠AOD，即180°﹣3t°﹣2t°＝ （180°﹣3t°），相遇之
后：（Ⅲ）OD是OC的友好线∠COD＝ ∠AOC，即3t°+2t°﹣180°＝ ×2t°，（Ⅳ）OD是OA的友好
线，∠AOD＝ ∠AOC，即180°﹣3t°＝ ×2t°，分别解方程即可．
【解答】解：（1）∵射线OM是射线OA的友好线，
∴∠AOM＝ ∠AOB＝40°，
故答案为：40；
（2）射线OD与射线OA重合时，t＝60（秒），
①存在某个时刻t（秒），使得∠COD的度数是40°，有两种情况：
在OC、OD相遇前，180°﹣3t°﹣2t°＝40°，
∴t＝28；
在OC、OD相遇后，3t°+2t°﹣180°＝40°，
∴t＝44，
综上所述，当t为28秒或44秒时，∠COD的度数是40°；
②相遇之前，
（Ⅰ）如图：
OC是OA的友好线时，
∠AOC＝ ∠AOD，即2t°＝ （180°﹣3t°），
∴t＝20；
（Ⅱ）如图：OC是OD的友好线时，
∠DOC＝ ∠AOD，即180°﹣3t°﹣2t°＝ （180°﹣3t°），
∴t＝30；
相遇之后：
（Ⅲ）
OD是OC的友好线，
∠COD＝ ∠AOC，即3t°+2t°﹣180°＝ ×2t°，
∴t＝ ，
（Ⅳ）
OD是OA的友好线，
∠AOD＝ ∠AOC，即180°﹣3t°＝ ×2t°，
∴t＝ ，
综上所述，当t为20秒或30秒或 秒或 秒时，射线OC、OD、OA中恰好有一条射线是另一条射线
的友好线．
