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专题18 平面直角坐标系中的矩形
1．如图，已知矩形ABCD的两条对角线交于平面直角坐标系的原点，点A的坐标为 ，则点
C的坐标为
A． B．
C．（4，-3） D．
【答案】D
【分析】根据矩形的对角线互相平分，再由对角线的交点为原点，则点A与点C的坐标关于原点
成中心对称，据此可解．
【详解】∵四边形ABCD为矩形，
∴OA=OC，且点A与点C关于原点成中心对称
∵点A的坐标为（-3，4），
∴点C的坐标为（3，-4）
故选：D．
【点睛】本题考查了矩形的性质和坐标与图形的关系．要会根据矩形的性质得到点A与点C关于
原点对称的特点，是解题的关键．
2．在平面直角坐标系中，长方形 如图所示， ，则点 的坐标为
（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据长方形的性质求出点 的横、纵坐标即可获得答案．
【详解】解：∵四边形 为长方形，
∴ ， ，
∵ ，
∴点 的横坐标与点 相同，为 ，
点 的纵坐标与点 相同，为 ，
∴点 的坐标为 ．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形的性质，解题关键是利用矩形“对边平行且相等”的性质解
决问题．
3．如图，已知矩形OABC的周长为18，点B的坐标为（4，7），则矩形OABC的面积为（ ）
A．28 B．16 C．8 D．4
【答案】C
【分析】连接OB，根据点B坐标得到OB，设OC=x，BC=y，得到 ， ，再利用
完全平方公式得到 ，即可得解．
【详解】解：如图，连接OB，
∵B（4，7），∴OB= = ，
∵矩形OABC的周长为18，设OC=x，BC=y，
∴ ， ，
∴ =8，
即矩形OABC的面积为8，
故选C．
【点睛】本题考查了坐标与图形，勾股定理，完全平方公式，解题的关键是得出 ，
，再灵活运用完全平方公式变形．
4．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的顶点A的坐标为 ，D是OB的中点，E是OC
上的一点，当 的周长最小时，点E的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】画出A点关于y轴的对称点 ，连接 ，与y轴交于点E，根据连接两点的连线中，线
段最短，可知此时 的周长最小，再由待定系数法求得直线DA′函数式，进而求出点E的坐标
即可．
【详解】解：如图，作A点关于y轴的对称点 ，连接 ，与y轴交于点E，此时 的周长最小，
∵ ，
∴ ，
设直线 表达式是 ，
则 ，
解得： ，
∴ ，
所以点E的坐标是 ．
故选B．
【点睛】本题考查了根据轴对称求最短距离问题，待定系数法求一次函数解析式，以及关于坐标
轴对称的点的坐标特点，解题的关键是根据对称把AE转化为 ，利用两点之间线段最短的性
质解决问题．
5．如图，矩形OABC的顶点A在x轴上，点B的坐标为（1，2）．固定边OA，向左“推”矩形
OABC，使点B落在y轴的点B'的位置，则点C的对应点C'的坐标为（ ）A．（﹣1， ） B．（ ，﹣1） C．（﹣1，2） D．（2，﹣1）
【答案】A
【分析】根据矩形的性质和勾股定理求出 的长，得到点 的坐标．
【详解】解：∵四边形OABC是矩形，点B的坐标为（1，2），
∴OA＝1，AB＝2，
由题意得：AB'＝AB＝2，四边形OAB'C'是平行四边形，
∴ ， ，
∴点C的对应点 的坐标为 ．
故选：A．
【点睛】本题考查点坐标的求解和矩形的性质，解题的关键是掌握矩形的性质求出线段长从而得
到点坐标．
6．在长方形 中，三点的坐标分别是 则 点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据长方形的性质求出点Q的横坐标与纵坐标,即可得解．
【详解】解：在长方形 中：
则点Q的横坐标与点M的横坐标相同，为0 ,
点Q的纵坐标与点P的纵坐标相同，为2，
则点Q的坐标为(0,2)．
故选:B．
【点睛】本题考查了矩形的性质、坐标与图形性质等知识,熟练掌握矩形的对边平行且相等的性质
是解题的关键．
7．在平面直角坐标系中，一个长方形的三个顶点坐标分别为（﹣2，﹣2），（﹣2，3），（5，﹣2），则第四个顶点的坐标（ ）
A．（5，3） B．（3，5） C．（7，3） D．（3，3）
【答案】A
【分析】设点C的坐标为（m，n），由长方形的性质可以得出“DC=AB，AD=BC”，由DC=AB可得
出关于m的一元一次方程，由AD=BC可得出关于n的一元一次方程，解方程即可得出点D的坐标．
【详解】依照题意画出图形，如图所示，
设点C的坐标为（m，n），
∵点A（-2，-2），B（5，-2），D（-2，3），
AB=5-（-2）=7，DC=AB=7=m-(-2)，
解得：m=5；
AD=3-（-2）=5，BC=AD=5=n-（-2），
解得：n=3
∴点C的坐标为（5，3），
故选A．
【点睛】本题考查了坐标系中点的意义以及长方形的性质，解题的关键是分别得出关于m、n的一
元一次方程．解决该题型题目时，依照题意画出图形，再根据图形的性质即可得出结论.
8．如图，四边形OABC是矩形，A(2，1)，B(0，5)，点C在第二象限，则点C的坐标是______．
【答案】(﹣2，4)
【分析】作AM⊥x轴于M，CN⊥y轴于N，则∠AMO＝∠BNC＝90°，OM＝2，AM＝1，OB＝5，证
明△BCN≌△AOM(AAS)，得出BN＝AM＝1，CN＝OM＝2，得出ON＝OB﹣BN＝4，即可得出答案．
【详解】解：作AM⊥x轴于M，CN⊥y轴于N，如图所示：则∠AMO＝∠BNC＝90°，
∴∠AOM+∠OAM＝90°，
∵A(2，1)，B(0，5)，
∴OM＝2，AM＝1，OB＝5，
∵四边形OABC是矩形，
∴BC＝AO，∠AOC＝90°，BC∥OA，
∴∠CBN＝∠AOB，
∵∠AOM+∠AOB＝90°，
∴∠CBN＝∠AOB＝∠OAM，
在△BCN和△AOM中， ，
∴△BCN≌△AOM(AAS)，
∴BN＝AM＝1，CN＝OM＝2，
∴ON＝OB﹣BN＝4，
∴点C的坐标是(﹣2，4)；
故答案为(﹣2，4)．
【点睛】本题考查矩形的性质、坐标与图形性质、全等三角形的判定与性质等知识；证明三角形
全等是解题的关键．
9．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形OABC中，A（10，0），C（0，4），D为
OA的中点，P为BC边上一点．若△POD为等腰三角形，则所有满足条件的点P的坐标为
_________．【答案】（2.5，4）或（3，4）或（2，4）或（8，4）．
【详解】试题解析：∵四边形OABC是矩形，
∴∠OCB=90°，OC=4，BC=OA=10，
∵D为OA的中点，
∴OD=AD=5，
①当PO=PD时，点P在OD得垂直平分线上，
∴点P的坐标为：（2.5，4）；
②当OP=OD时，如图1所示：
则OP=OD=5，PC= =3，
∴点P的坐标为：（3，4）；
③当DP=DO时，作PE⊥OA于E，
则∠PED=90°，DE= =3；
分两种情况：当E在D的左侧时，如图2所示：
OE=5-3=2，
∴点P的坐标为：（2，4）；
当E在D的右侧时，如图3所示：
OE=5+3=8，
∴点P的坐标为：（8，4）；
综上所述：点P的坐标为：（2.5，4），或（3，4），或（2，4），或（8，4）
考点：1.矩形的性质；2.坐标与图形性质；3.等腰三角形的判定；4.勾股定理．10．如图，在平面直角坐标系中，矩形 的顶点 、 的坐标分别为 ， ，点 是
的中点，点 在 边上运动，点 是坐标平面内的任意一点．若以 ， ， ， 为顶点的
四边形是边长为5的菱形时，则点 的坐标为___________．
【答案】 或 或
【分析】当以 ， ， ， 为顶点的四边形是边长为5的菱形时，有三种情况，分 ，
点 在点 的左侧； ； ，点 在点 的右侧，结合矩形的性质和勾股定理
可求得点 的坐标．
【详解】解：有三种情况：
（1）如答图①所示， ，点 在点 的左侧．
过点 作 轴于点 ，则 ．
在 中，由勾股定理得：
，
∴ ，
∴此时点 坐标为 ，此时 ；
（2）如答图②所示， ．
过点 作 轴于点 ，则 ．在 中，由勾股定理得：
，
∴ ，
∴此时点 坐标为 ，此时 ；
（3）如答图③所示， ，点 在点 的右侧．
过点 作 轴于点 ，则 ．
在 中，由勾股定理得：
，
∴ ，
∴此时点 坐标为 ，此时 ；
综上所述，点 的坐标为 或 或 ；
故答案为 或 或 ．
【点睛】此题主要考查了矩形的性质、坐标与图形的性质及勾股定理，使用分类讨论的思想是解
题关键．三、解答题(共0分)
11．如图，在平面直角坐标系中， 的顶点坐标分别是A(﹣1，1)，B(﹣2，0)，C(0，﹣2)．
（1）以原点O为位似中心，在点O另一侧画 ，使它与 位似，且相似比为2：1，并
写出点 的坐标；
（2）若四边形AA'B'P是矩形，请直接写出点P的坐标．
【答案】（1）见解析，A'(2，﹣2)，B'(4，0)，C'(0，4)；（2）(1，3)
【分析】（1）画出一个以点O为位似中心的 A'B'C'，使得 A'B'C'与 ABC的相似比为2：1即可．
（2）根据矩形的性质，即可直接写出． △ △ △
【详解】解：（1）如图所示：点A'（2，﹣2），B'（4，0），C'（0，4）；
（2）四边形AA'B'P是矩形，点P的坐标（1，3）．
【点睛】本题考查作图－位似变换，正确得出对应点位置是解题的关键．
12．如图，在平面直角坐标系中，长方形 的两边分别在x轴和y轴的正半轴上，
，现有两动点P、Q分别从O、C同时出发，P在线段 上沿 方向以每秒1.5个
单位长度的速度匀速运动，运动到点A停止，Q在线段 上沿 方向以每秒1个单位长度的速
度匀速运动，运动到点O停止，设运动时间为t秒．（1）B点的坐标为___________， _________， ___________（用含t的代数式表示线段
与线段 的长度）
（2）当t为怎样的值时， 的面积不小于 的面积？
（3） 的面积可以等于36吗？如果可以请你求出对应的t值，如果不可以请说明理由．
【答案】（1）B点的坐标为 ， ；（2）当 时， 的面积
不小于 的面积；（3） 的面积不可以等于36，理由见解析
【分析】 根据矩形的长和宽表示点B的坐标，根据速度和时间表示： ， ，可得
结论；
根据 的面积不小于 的面积，列不等式，代入面积公式可得t的值，并根据已知确
定t的取值范围；
先根据 的面积为36，列方程解出t=8， 根据 内即可得出结论．
【详解】解：（1）长方形 的两边分别在x轴和y轴的正半轴上，
∴AB=OC=6，OA=9，
∴B点的坐标为 ，
∵P在线段 上沿 方向以每秒1.5个单位长度的速度匀速运动， Q在线段 上沿 方向以
每秒1个单位长度的速度匀速运动，
∴OP=1.5t，CQ=t，
∴ ，故答案为（9，6）； ； ；
（2）∵ ， ，
若 ，
即 ，
解得 ，
∵点P在线段 上沿 方向以每秒1.5个单位长度的速度匀速运动，运动到点A停止，
∴ ，
∴ ，
∴当 时， 的面积不小于 的面积；
（3） 的面积不可以等于36，理由如下：
∵ ，
若 ，
则 ，
∵ ，
∴ 的面积不可以等于36．
【点睛】本题是四边形的综合题，考查了三角形的面积求解，矩形的性质，点的坐标特点，图形
动点运动问题，难度适中，准确利用动点表示出线段的长度是解题的关键．
13．如图，四边形OABC为矩形，其中O为原点，A、C两点分别在x轴和y轴上，B点的坐标是
（4，7）．点D，E分别在OC，CB边上，且CE：EB＝5：3．将矩形OABC沿直线DE折叠，使
点C落在AB边上点F处．
（1）求F点的坐标；
（2）点P在第二象限，若四边形PEFD是矩形，求P点的坐标；
（3）若M是坐标系内的点，点N在y轴上，若以点M，N，D，F为顶点的四边形是菱形，请直
接写出所有满足条件的点M和点N的坐标．【答案】（1）（4，5）；（2）（− ，4）；（3）（4， ），（0， ）或（4，10），（0，
7）或（4，0），（0，-3）．
【分析】（1）先求出点E坐标是（ ，7），由折叠的性质可得EF＝CE＝ ，由勾股定理可求
BF的长，即可求解；
（2）连接PF交DE于J，过点D作DM⊥AB，先求出D（0，2），再根据矩形的对角线互相平分，
即可求解；
（3）分3种情况：①当DF为菱形的对角线时，②当DF为菱形的边时，M在AB的延长上，点N
与点C重合，③当DF为菱形的边时，N在CO的延长上，点M与点A重合，分别求解，即可．
【详解】解：（1）∵B点的坐标是（4，7）．点D，E分别在OC，CB边上，且CE：EB＝5：3，
∴点E坐标是（ ，7），
∵四边形OABC为矩形，
∴BC＝AO＝4，OC＝AB＝7，CE＝ ，BE＝BC−CE＝ ，
∵将矩形沿直线DE折叠，点C落在AB边上点F处，
∴EF＝CE＝ ，
∴BF＝ ，
∴AF＝7−2＝5，
∴点F（4，5）；
（2）如图2中，连接PF交DE于J，过点D作DM⊥AB，当四边形PEFD是矩形时，△PDE≌△FDE≌△CED，
设OD=x，则CD=DF=7-x，FM=7-2-x=5-x，
在 中， ，解得：x=2，
∴D（0，2），
∵E（ ，7），DJ＝JE，
∴J（ ， ），
∵PJ＝JF，
∴P（− ，4）；
（3）①当DF为菱形的对角线时，M、N分别在AB与OC上， ND=NF，
设N（0，y），
∴(y-2)2= ，解得： ，
∴N（0， ），FM=DN= -2= ,
∴AM=5- = ，∴M（4， ）；
②当DF为菱形的边时，M在AB的延长上，点N与点C重合， ND=DF=5，
∴MF=5，AM=5+5=10，
∴M（4，10），N（0，7）；
③当DF为菱形的边时，N在CO的延长上，点M与点A重合， ND=DF=5，
∴ON=5-2=3，
∴N（0，-3），M（4，0）．
综上所述：M，N的坐标为：（4， ），（0， ）或（4，10），（0，7）或（4，0），（0，-
3）．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，菱形的性质，翻折变换，图形与坐标，解
题的关键是添加辅助线，构造直角三角形，掌握分类讨论思想方法，属于中考压轴题．
14．如图，在平面直角坐标系中，矩形 的定点 、 在坐标轴上，点 的坐标为 ，
为 的中点，点 、 为 边上两个动点，且 ，求四边形 的周长最小值．【答案】
【分析】点C向右平移2单位到G，点D关于x轴的对称点 ，连接G ，要使四边形 的周
长最小，只要CE+FD最小即可．
【详解】解：如图，作点 关于 轴的对称点 ，向右平移点 至点 ，使 ，连接 ，
与 轴交于点 ，在 上截取 ．
∵ ， ，
∴四边形 为平行四边形．
∴ ．
∵四边形 的周长为 ， ， 的长为定值，
∴当 的值最小时，四边形 的周长最小
∵点 ，点 关于 轴对称，
∴ ．∴ ．
∴此时得到的点 ， 使四边形 的周长最小，
∵四边形 为矩形，点 的坐标为 ，
∴ ， ．
∵ 为 的中点，
∴ ．∴ ．
∵点 ，点 关于 轴对称，
∴ ， ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ 的最小值为 ．
∴四边形 的周长最小值为 ．
【点睛】本题考查了矩形的性质，轴对称-最短路线问题的应用，题目具有一定的代表性，是一道
难度较大的题目，对学生提出了较高的要求．
15．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，过点A（8，6）分别作x轴、y轴的平行线，交y
轴于点B，交x轴于点C，动点P从点B出发，沿B→A→C以2个单位长度/秒的速度向终点C运动，
运动时间为t（秒）.
（1）直接写出点B和点C的坐标：B（ ， ）、C（ ， ）；
（2）当点P运动时，用含t的式子表示线段AP的长，并写出t的取值范围.
【答案】（1）0，6；8，0；（2） ，
【分析】（1）根据AB∥x轴，AC∥y轴，即可得到答案；
（2）根据A（8，6），B（0，6），C（8，0），得到AB=8，AC=6，分两种情况：当点P在线段
BA上时，当点P在线段AC上时，进行讨论，即可得到结论；
【详解】解：（1）根据题意，
∵AB∥x轴，AC∥y轴，点A为（8，6），
∴点B为：（0，6），点C为（8，0），故答案为0，6；8，0.
（2）由（1）知，A（8，6），B（0，6），C（8，0），
∴AB=8，AC=6，
当点P在线段BA上时，
（ ），
当点P在线段AC上时，
（ ）；
∴ .
【点睛】本题考查了坐标与图形性质，矩形的性质，解题的关键是正确理解点P所在的位置情况，
从而进行解答.
16．在平面直角坐标系 中，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，且 ， ，
以 为矩形的两个顶点，且该矩形的边与坐标轴平行，则称该矩形为 、 的“正直矩形”．
下图为 的“正直矩形”示意图．
（1）已知点 的坐标为
①若点 ，求点 、 的“正直矩形”面积；
②当点 与点 “正直矩形”是面积为 的正方形时，直接写出符合条件的所有点 坐标；
（2）点 横坐标是 ，它是直线 上一点，求点 与点 的“正直矩形”的周长（用含
的式子表示）．
【答案】（1）①6；② 或 或 或 ；（2） 或 或
【分析】（1）①根据“正直矩形”的定义可知矩形的两条邻边长为2、3，即可求得“正直矩形”
的面积；
②根据正方形的面积为4，求得边长为2，结合 的坐标，即可求得点 坐标；（2）根据题意 的坐标为 ，从而得到点 与点 的“正直矩形”的周长为：
，分三种情况讨论求得即可．
【详解】解：（1）① 点 的坐标为 ，点 ，
点 、 的“正直矩形”面积为： ；
② 点 与点 “正直矩形”是面积为4的正方形，
点 与点 “正直矩形”的边长都为2，
的坐标为 ，
的坐标为： 或 或 或 ；
（2） 点 横坐标是 ，它是直线 上一点，
，
的坐标为 ，
点 与点 的“正直矩形”的周长为： ，
①当 时，点 与点 的“正直矩形”的周长为： ；
②当 时，点 与点 的“正直矩形”的周长为： ；
③当 时，点 与点 的“正直矩形”的周长为： ；
综上，点 与点 的“正直矩形”的周长为： 或 或 ．
【点睛】本题是一次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，理解“正直矩形”的定义并运用
是本题的关键．
17．如图1，O为坐标原点，矩形OABC的顶点A（﹣8，0），C（0，6），将矩形OABC绕点O
按顺时针方向旋转一定的角度α得到矩形OA'B'C′，此时边OA'、直线B'C'分别与直线BC交于点
P、Q．
(1)连接AP，在旋转过程中，当∠PAO＝∠POA时，求点P坐标．
(2)连接OQ，当α＜90°时，若P为线段BQ中点，求△OPQ的面积．
(3)如图2，连接AQ，以AQ为斜边向上作等腰直角△AQM，请直接写出在旋转过程中CM的最小值．
【答案】(1)P（﹣4，6）
(2)S POQ＝
△
(3)4
【分析】（1）如图1中，过点P作PH⊥OA于H．证明PA=PO，利用等腰三角形的性质以及矩形
的性质，求出OH，PH即可．
（2）如图-1中，延长 交x轴于J．设PB=PQ=x．想办法证明OP=PQ，在Rt△POC中，利用
勾股定理构建方程求解即可．
（3）如图2中，过点M作MF⊥BC于F，ME⊥AB交AB的延长线于E．想办法证明∠MBC=45°，
推出点M的运动轨迹是直线BM，根据垂线段最短解决问题即可．
（1）
如图1中，过点P作PH⊥OA于H．
∵A（﹣8，0），C（0，6），
∴OA＝8，OC＝6，
∵∠PAO＝∠POA，
∴PA＝PO，
∵PH⊥OA，
∴AH＝OH＝4，
∵PH＝OC＝6，
∴P（﹣4，6）．
（2）
如图1﹣1中，延长 交x轴于J．设PB＝PQ＝x．∵PQ OJ，QJ OP，
∴四边形OPQJ是平行四边形，
∴PQ＝OJ，
∵∠CPO＝∠AOP＝∠OJQ，∠PCO＝∠O J＝90°，OC＝O ，
∴△OCP≌△O J（AAS），
∴OP＝OJ＝PQ＝x，
在Rt△POC中，∵ ，
∴ ，
∴x＝ ，
∴S POQ＝ •PQ•OC＝ × ×6＝ ．
△
（3）
如图2中，过点M作MF⊥BC于F，ME⊥AB交AB的延长线于E．
∵∠MFB＝∠MEB＝∠EBF＝90°，
∴四边形MEBF是矩形，
∴∠EMF＝∠AMQ＝90°，
∴∠EMA＝∠QMF，∵∠E＝∠MFQ＝90°，MA＝MQ，
∴△AEM≌△QFM（AAS），
∴ME＝MF，
∴四边形BEMF是正方形，
∴∠MBF＝45°，
∴点M的运动轨迹是直线BM，
∴当CM⊥BM时，CM的值最小，此时 是等腰直角三角形，
＝ ．
【点睛】本题考查了矩形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键
是正确寻找全等三角形解决问题．
