文档文本内容
第 5 讲 相似三角形
知识点1相似三角形的判定
相似三角形的概念
对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“∽”表示，读作
“相似于”.
相似三角形的判定：
（1）平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交,所构成三角形与原三
角形相似.
（2）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似.
（3）如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似.
（4）如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似.
直角三角形相似判定定理
斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似.
【典例】
1.如图，已知：∠ACB=∠ADC=90°，AD=2，CD=2，当AB的长为 时，△ACB与
△ADC相似．
【答案】4
【解析】解：∵∠ACB=∠ADC=90°，AD=2，CD=2，
∴△ADC是等腰直角三角形，AC= =2 ，∵△ACB与△ADC相似，
∴△ACB是等腰直角三角形，BC=AC=2 ，
∴AB= =4，
即当AB的长为4时，△ACB与△ADC相似；
故答案为：4．
2.如图，点P是⊙O的直径AB延长线上一点，且AB=4，点M为 上一个动点（不与A，
B重合），射线PM与⊙O交于点N（不与M重合）．
（1）当M在什么位置时，△MAB的面积最大，并求出这个最大值；
（2）求证：△PAN∽△PMB．
【解析】解：（1）当点M在 的中点处时，△MAB面积最大，此时OM⊥AB，
∵OM= AB= ×4=2，
∴S = AB•OM= ×4×2=4；
ABM
△
（2）∵∠PMB=∠PAN，∠P=∠P，∴△PAN∽△PMB．
3.如图，已知 O 是△ABC 内一点，D、E、F 分别是 OA、OB、OC 的中点．
求证：△ABC∽△DEF．
【解析】证明：∵D、E、F 分别是 OA、OB、OC 的中点，
∴DE= AB，EF= BC，DF= AC，
即 = = ，∴△ABC∽△DEF
4.如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC边的中点，点P在射线AD上，过
P作PF⊥AE于F．
（1）求证：△PFA∽△ABE；
（2）当点P在射线AD上运动时，设PA=x，是否存在实数x，使以P，F，E为顶点的三
角形也与△ABE相似？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由．
【解析】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠PAF=∠AEB．
∵∠PFA=∠ABE=90°，
∴△PFA∽△ABE．
（2）若△EFP∽△ABE，则∠PEF=∠EAB．
∴PE∥AB．
∴四边形ABEP为矩形．
∴PA=EB=2，即x=2．
若△PFE∽△ABE，则∠PEF=∠AEB．
∵∠PAF=∠AEB，
∴∠PEF=∠PAF．
∴PE=PA．
∵PF⊥AE，
∴点F为AE的中点．
∵AE= ，
∴EF= AE= ．
∵ ，即 ，
∴PE=5，即x=5．
∴满足条件的x的值为2或5．【方法总结】
（1）在有一组对应角相等的情况下，可以从两个方面选择突破口：
①寻找另一组对应角相等：②寻找两个三角形中这个已知角的两边的比相等.
（2）直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形都与原三角形相似（此知识常用，但
是有时需要证明）
（3）若两个直角三角形满足一个锐角相等，或两组直角边成比例，或斜边和一条直角边成
比例，则这两个直角三角形相似.
【随堂练习】
1．（海淀区校级模拟）如图，在 中， ， ，
（1）图1中共有 3 对相似三角形，写出来分别为 （不需证明）；
（2）已知 ， ，请你求出 的长；
（3）在（2）的情况下，如果以 为 轴， 为 轴，点 为坐标原点 ，建立直角坐标系（如图 ，若点 从 点出发，以每秒1个单位的速度沿线
段 运动，点 出 点出发，以每秒1个单位的速度沿线段 运动，其中
一点最先到达线段的端点时，两点即刻同时停止运动；设运动时间为 秒是
否存在点 ，使以点 、 、 为顶点的三角形与 相似？若存在，请
求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）图 1 中共有 3 对相似三角形，分别为： ，
， ．
故答案为3， ， ， ；
（2）如图1，在 中， ， ， ，
．
的面积 ，
；
（3）存在点 ，使以点 、 、 为顶点的三角形与 相似，理由如下：
在 中， ， ， ，
．
分两种情况：
①当 时，如图2①，此时 ，
，，
解得 ，即 ，
．
在 中，由勾股定理，得 ，
点 的坐标为 ；
②当 时，如图2②，此时 ，
，
，
解得 ，即 ， ．
过点 作 轴于点 ．
，
，即 ，
．
在 中， ，
，
点 的坐标为 ．
综上可得，点 的坐标为 或 ．2．（顺德区期末）如图， ， ， 是 上一点，使得
；
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的长；
（3）当 时，请写出线段 、 、 之间数量关系，并说明
理由．
【解答】（1）证明： ， ，
， ，
，
，，
，
；
（2）解： 中， ， ，
，
，
，
由（1）得： ，
，
，
；
（3）解：线段 、 、 之间数量关系： ；
理由是：过 作 于 ，
，
，
，
，
，
，
，，
，
同理可得： ，
，
．
3．（相山区二模）已知如图， 于点 ， 于点 ， ，
， ．则在 上是否存在点 ，使得以 、 、 为顶点的
三角形与 、 、 为顶点的三角形相似，如果存在求出 的长，如果不
存在，说明理由．
【解答】解：存在．
①若 ，则 ，即 ，解得 或12；
②若 ，则 ，即 ，解得 ．
当 或12或5.6时， 与 相似．
4．（宜兴市校级月考）已知：如图，已知 中 ， ，动点 、 同
时从 、 两点出发，分别沿 、 方向匀速移动，它们的速度分别是和 ，当点 到达点 时， 、 两点停止运动．设运动时间为 ，问：
当 为何值时，
与 相似？
【解答】解：根据题意得： ， ，
，
，
分两种情况：
①当 时，
即 ，解得： ；
②当 时，
即 ，解得： ；
综上所述：当 或 时， 与 相似．
知识点2 相似三角形的性质
相似三角形的性质
(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例．
(2)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．
(3)相似三角形周长的比等于相似比．
(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方．
【典例】
1.如图所示，已知△AOB∽△DOC，OA=2，AD=9，OB=5，DC=12，∠A=58°，求AB、
OC的长和∠D的度数．
【解析】解：∵OA=2，AD=9，∴OD=9﹣2=7，
∵AB∥CD，
∵△AOB∽△DOC，
∴ = = ，
∵OA=2，OB=5，DC=12，
∴ = = ，
解得OC= ，AB= ，
∵△AOB∽△DOC，
∴∠D=∠A=58°．
2.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．M为AD中点，连接CM交
BD于点N，且ON=1．
（1）求BD的长；
（2）若△DCN的面积为2，求△DMN的面积．
【答案】
【解析】解（1）∵平行四边形ABCD，
∴AD∥BC，AD=BC，OB=OD，
∴∠DMN=∠BCN，∠MDN=∠NBC，
∴△MND∽△CNB，
∴ = ，
∵M为AD中点，
∴MD= AD= BC，即 = ，
∴ = ，即BN=2DN，
设OB=OD=x，则有BD=2x，BN=OB+ON=x+1，DN=x﹣1，
∴x+1=2（x﹣1），
解得：x=3，
∴BD=2x=6；
（2）∵△MND∽△CNB，且相似比为1：2，
∴MN：CN=1：2，∵△DCN的面积为2，
∴△MND面积为1（高相同的两个三角形面积比等于底边长度比）
【方法总结】
1对应性：即两个三角形相似时，一定要把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样写
比较容易找到相似三角形的对应角和对应边．
2顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的．
3两个三角形形状一样，但大小不一定一样．
4全等三角形是相似比为1的相似三角形．二者的区别在于全等要求对应边相等，而相似要
求对应边成比例．
5相似三角形性质可用来证明线段成比例、角相等，也可用来计算周长、边长等
【随堂练习】
1 ． （ 梁 子 湖 区 模 拟 ） 如 图 ， ， ，
， 为 的中点， ，将 绕点 旋转一周，
直线 ， 交于点 ，连接 ，则 的最小值是
A ． B ． C ． 3 D ．
【解答】解： 取 的中点 ，连接 、 ，
则 ，
， ， ，
，
，
，，
，
，
，
，
， ，
，又 是 的中点，
，
为 的中点， 是 的中点，
，
的最小值为 ，
故选： ．
2．（宁波模拟）如图是一个由 、 、 三种相似的直角三角形纸片拼成的矩形， 、
、 的纸片的面积分别为 、 、 ， 与 ， 与 的相似比相同），相邻纸
片之间互不重叠也无缝隙，若 ，则这个矩形的面积一定可以表示为A． B． C． D．
【解答】解：如图，由 、 、 三种直角三角形相似，设相似比为 ， ，则
， ．
， ， ，
则有： ，
整理得： ，
或 （舍弃），
， ，
，
这个矩形的面积 ，
故选： ．
二．填空题（共2小题）
3．（青羊区校级月考）如图，在 中， ， ， ，点 是线
段 上一动点，连接 ，以 为边作 ，点 是 的中点，连接
，当线段 最短时，线段 的长为 ．【解答】解：如图，连接 ，作 于 ．
，
，
， ， ， 四点共圆，
，
，
，
时， 的值最小，作 交 的延长线于 ．
在 中， ， ，
，
△ ，
，
，
，
， ，
， ，
，
，
， ，
，
，
，
，
．故答案为 ．
4．（凉山州） 在平面直角坐标系中的位置如图所示， ，将 绕 点，
逆时针旋转 得到△ ， ，交 轴于 ，若△ △ ，则点
的坐标 ， ．
【解答】解：如图作 轴于 ．
△ △ ，
，
，设 ，则 ， ，
， ，
，
解得 或 （舍弃），
， ．
三．解答题（共2小题）
5．（惠山区校级一模）（1）如图1， 中，若 ， ， ，且
，求 的长；（2）如图 2，已知 ，若 边上存在一点 ，若 边上存在一点 ，使
，且 ，请利用没有刻度的直尺和圆规，作出符合条件的线段
（注：不写作法，保留作图痕迹，对图中涉及到的点用字母进行标注）．
【解答】解：（1）在 中， ， ，
，
， ，
，
，
，
即 ，
解得 ，
故 的长为 ．
（2）
如图2所示，作 的平分线 ，交 于 ，作 的垂直平分线 ，交 于 ，
即为所求．
6．（宝丰县期末）如图，点 、 在线段 上， 是等边三角形，且
．
（1）求 的大小．
（2）说明线段 、 、 之间的数量关系．
【解答】解：（1） 是等边三角形，
，
，，
，
，
；
（2） ，
，
．
知识点3相似三角形的综合应用
【典例】
1.如图，河对岸有一路灯杆AB，在灯光下，小亮在点D处测得自己的影长DF=3m，沿BD
方向从D后退4米到G处，测得自己的影长GH=5，如果小亮的身高为1.7m，求路灯杆
AB的高度．
【解析】解得BD=6，解：∵CD⊥BF，AB⊥BF，
∴CD∥AB，
∴△CDF∽△ABF，
∴ = ，
同理可得 = ，
∴ = ，
∴ = ，
∴ = ，
解得AB=5.1．
答：路灯杆AB高5.1m．
2.如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面
镜，光线从点 A出发经平面镜反射后刚好到古城墙 CD的顶端 C处，已知 AB⊥BD，
CD⊥BD，测得AB=4米，BP=6米，PD=24米，求该古城墙CD的高度．【解析】解：由题意知∠APB=∠CPD，∠ABP=∠CDP，
∴△ABP∽△CDP，
∴ = ，得 = ，
解得：CD=16，
∴该古城墙CD的高度为16米．
3.小明和几位同学做手的影子游戏时，发现对于同一物体，影子的大小与光源到物体的距
离有关．因此，他们认为：可以借助物体的影子长度计算光源到物体的位置．于是，他们
做了以下尝试．
（1）如图1，垂直于地面放置的正方形框架ABCD，边长AB为30cm，在其正上方有一灯
泡，在灯泡的照射下，正方形框架的横向影子A′B，D′C的长度和为6cm．那么灯泡离地面
的高度为 ．
（2）不改变图1中灯泡的高度，将两个边长为30cm的正方形框架按图2摆放，请计算此
时横向影子A′B，D′C的长度和为多少？
（3）有n个边长为a的正方形按图3摆放，测得横向影子A′B，D′C的长度和为b，求灯泡
离地面的距离．（写出解题过程，结果用含a，b，n的代数式表示）
【解析】解：（1）设灯泡离地面的高度为xcm，
∵AD∥A′D′，
∴∠PAD=∠PA′D′，∠PDA=∠PD′A′．
∴△PAD∽△PA′D′．
根据相似三角形对应高的比等于相似比的性质，可得 ，
∴ = ，解得x=180．
（2）设横向影子A′B，D′C的长度和为ycm，
同理可得∴ = ，
解得y=12cm；
（3）记灯泡为点P，如图：
∵AD∥A′D′，∴∠PAD=∠PA′D′，∠PDA=∠PD′A′．
∴△PAD∽△PA′D′．
根据相似三角形对应高的比等于相似比的性质，可得
（直接得出三角形相似或比例线段均对）
设灯泡离地面距离为x，由题意，得PM=x，PN=x﹣a，AD=na，A′D′=na+b，
∴ =1﹣
=1﹣
x=
【方法总结】
相似三角形的应用，类型较多，主要集中在测高和测距；此类题目解题时，要把实际问题
转化成几何图形，构造相似，利用相似三角形对应边成比例，对应角相等的性质去求解；
解题时对应边一定要找对，否则就会事倍功半
【随堂练习】
1．（莱芜区）如图，已知 是 的直径， ， 为圆上一点，且 ，
连接 ， ， ， 与 交于点 ．
（1）求证： 为 的切线；
（2）若 ，求 的值．【解答】（1）证明：连接 ，设 交 于 ．
是直径，
，
，
，
，
，
，
， ， ，
，
，
，
，
，
，
是 的切线．
（2）解： ，
可以假设 ， ，设 ．
， ，
，
， ，
，
，整理得： ，
解得 或 （舍弃），
，
．
2．（淄博）如图1，正方形 和 的边 ， 在同一条直线上，且 ，
取 的中点 ，连接 ， ， ．
（1）试证明 ，并求 的值．
（2）如图2，将图1中的正方形变为菱形，设 ，其它条件不变，问
（1）中 的值有变化吗？若有变化，求出该值（用含 的式子表示）；若无变化，说
明理由．
【解答】（1）证明：如图1中，延长 交 的延长线于 ．
四边形 ，四边形 都是正方形，，
，
， ，
，
， ，
， ，
，
， ，
， ，
连接 ， ，设 ，则 ， ， ，
，
，
，
，
，
， ，
，
．
（2）解：（1）中 的值有变化．
理由：如图2中，连接 ， 交于点 ，连接 ， ， ， 交 于 ．
， ，， ，
，
， ， 共线，
，
，
， ，
，
与 互相平分，
，
点 在直线 上，
，
四边形 是矩形，
，
， ，
，设 ，则 ，
易知 ， ， ，
， ，
．
3．（丹江口市模拟）如图， 是 的直径，点 在 上， ，
，连结 ， ，且 与 相交于点 ．
（1）求证： 与 相切；
（2）若 的半径为3，且 ，求 的值．
【解答】解：（1）连接 ，，
，
，
，
，
，
即 ，
是 的半径，
是 的切线；
（2）过点 作 ，交 于点 ，交 于点 ，
，
，
，
，
即 ，
设 ， ，
，
由垂径定理可知：点 为 的中点，
是 的中位线，，
， ，
，
，
4．（麻城市校级自主招生）如图，四边形 内接于 ， 是 的直径， 和
相交于点 ，且 ．
（1）求证：
（2）分别延长 ， 交于点 ，若 ， ，求 的半径．
【解答】（1）证明： ，，
而 ，
，
，
，
，
；
（2）解：连结 ，如图，设 的半径为 ，
，
，
，
，
，
，
， ，
，
，即 ，
，
即 的半径为4．
5．（镇海区期末）如图，在 中， ， ，点 、 分
别在 、 上，且 ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的长．【解答】解：（1） ， ，
，
又因为 （三角形的外角等于不相邻的两个
内角之和），
同理 ，
，
又 ，
；
（2） ，
，
，
，
，
．
6．（诸暨市期末）如图，在 中， 是角平分线， 是 上的一点，且 ．
求证： ．【解答】证明： 是角平分线，
，
，
，
，
，
．
7．（武汉模拟）在 中， ．点 （与点 、 不重合）为射线 上一
动点，连接 ，以 为一边且在 的右侧作正方形 ．
（1）如果 ．如图①，且点 在线段 上运动．试判断线段 与 之间的位
置关系，并证明你的结论．
（2）如果 ，如图②，且点 在线段 上运动．（1）中结论是否成立，为什么？
（3）若正方形 的边 所在直线与线段 所在直线相交于点 ，设 ，
， ，求线段 的长．（用含 的式子表示）
【解答】解：（1） 与 位置关系是垂直；
证明如下：
， ，
．
由正方形 得 ，
，
，
，
．
．
即 ．（2） 时， 的结论成立．
理由是：
过点 作 交 于点 ，
，
，
，
同理可证：
， ，
即 ．
（3）过点 作 交 的延长线于点 ，
①点 在线段 上运动时，
，可求出 ．
， ，
，
，
．
②点 在线段 延长线上运动时，
，
，
．
过 作 ，
，
， ，
，则 △ ．
，
，
，
，
．
8．（包河区二模）已知：正方形 中， ， 为 边中点， 为 边中点，
交 于 ，交 于 ，连接 ．
（1）求证： ；
（2）求 的值；
（3）求 的值．
【解答】（1）证明： 四边形 是正方形，
， ，
，
，．
（2）解： ， ，
，
，
在 中， ， ，
，
，
同法可得 ，
， ， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
（3）作 于 ．
由（2）可知： ，
，，
，
，
．
综合运用：相似三角形
1.如图，已知在Rt ABC中，∠ACB=90°，AC＞BC，CD是Rt ABC的高，E是AC的中
点，ED的延长线与△CB的延长线相交于点F． △
（1）求证：DF是BF和CF的比例中项；
（2）在AB上取一点G，如果AE•AC=AG•AD，求证：EG•CF=ED•DF．
【解析】证明：（1）∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠BCD=∠A，∠ADC=90°．
∵E是AC的中点，
∴DE=AE=CE，∴∠ADE=∠A，
∴∠BCD=∠ADE．
又∠ADE=∠FDB，∴∠FCD=∠FDB．
∵∠CFD=∠DFB，∴△CFD∽△DFB，
∴DF2=BF•CF．（2）∵AE•AC=AG•AD，
∴ = ．
∵∠A=∠A，∴△AEG∽△ADC，
∴EG∥BC，∴△EGD∽△FBD，
∴ = ．
由（1）知：△CFD∽△DFB，
∴ = ，
∴ = ，
∴EG•CF=ED•DF．
2.如图，△ABC为锐角三角形，AD是BC边上的高，正方形EFGH的一边FG在BC上，
顶点E，H分别在AB，AC上，已知BC=40cm，AD=30cm，求这个正方形的边长．
【解析】解：∵四边形EFGH是正方形，
∴EH∥BC，
∴∠AEH=∠B，∠AHE=∠C，
∴△AEH∽△ABC．
如图，设AD与EH交于点M．
∵∠EFD=∠FEM=∠FDM=90°，
∴四边形EFDM是矩形，
∴EF=DM，设正方形EFGH的边长为xcm，
∵△AEH∽△ABC，
∴ = ，∴ = ，
∴x= ，
∴正方形EFGH的边长为 cm．
3.在矩形 ABCD 中，点 E 是 AD 的中点，BE 垂直 AC 交 AC 于点 F，求证：
△DEF∽△EBD．
【解析】证明：∵AC⊥BE，
∴∠AFB=∠AFE=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAE=90°，
又∵∠AEF=∠BEA，
∴△AEF∽△BEA，
∴ = ，
∵点E是AD的中点，
∴AE=ED，
∴ = ，
又∵∠FED=∠DEB，
∴△DEF∽△BED．
4.如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC长120mm，高AD为80mm，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．
（Ⅰ）图中与△ABC相似的三角形是 ，说明理由；
（Ⅱ）这个正方形零件的边长为多少？
【解析】解：（Ⅰ）∵正方形EGHF，
∴EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
故答案为：△AEF；
（Ⅱ）设EG=EF=x
∵△AEF∽△ABC
∴ = ，
∴ = ，
∴x=48，
∴正方形零件的边长为48mm．
5.如图，四边形ABCD、CDEF、EFGH都是正方形．
（1）△ACF与△ACG相似吗？说说你的理由．
（2）求∠1+∠2的度数．
【解析】解：（1）相似．
理由：设正方形的边长为a，
AC= = a，
∵ = = ， = = ，
∴ = ，
∵∠ACF=∠ACF，∴△ACF∽△GCA；
（2）∵△ACF∽△GCA，
∴∠1=∠CAF，
∵∠CAF+∠2=45°，
∴∠1+∠2=45°．
6.【阅读理解】小白同学遇到这样一个问题：
ABC中，D是BC的中点，E是AB上一点，延长DE、AC交于点F，DE=EF，AB=5，
△求AE的长．
小白的想法是：过点E作EH∥BC交AC于H，再通过相似三角形的性质得到AE、BE的
比，从而得出AE的长，请你按照小白的思路完成解答．
【解决问题】请借助小白的解题经验，完成下面问题：
ABC中，AD平分∠BAC交BC于D，E为AB边上一点，AE=AD，H、Q为BC上两点，
△CQ=DH ， DQ=mDH ， G 为 AC 上 一 点 ， 连 接 EQ 交 HG 、 AD 于 F 、 P ，
∠EFG+∠EAD=180°，猜想并验证EP与GH的数量关系．
【解析】解： 如图1，过点E作EH∥BC交AC于H，
∴∠FEH=∠FDC，∠FHE=∠C，
∴△FEH∽△FDC，
∴ ，
∵DE=EF，
∴ ，
∵BD=DC，
∴ ，
同理得：△AEH∽△ABC，
∴ ，
∵AB=5，
∴AE= ；
【解决问题】猜想： = ，理由是：
如图2，过D作DM∥GH，交AC于M，
∴∠CMD=∠CGH，∠CDM=∠CHG，
∴△CDM∽△CHG，
∴ ，
设DH=CQ=x，则DQ=mx，
∴ = = ，
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAP=∠DAM，
∵∠EFG+∠EAD=180°，
∴∠AEP+∠ANF=180°，
∵GH∥DM，
∴∠ADM+∠DNG=∠ADM+∠ANF=180°，
∴∠ADM=∠AFP，
∵AE=AD，
∴△AEP≌△ADM，
∴EP=DM，
∴ = ．
