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第 04 讲 相似三角形的判定（2）
课程标准 学习目标
①相似三角形的判定：两角定
1. 掌握相似三角形的判定方法，并能够运用熟练的判断三角形的
理
相似。
②两个直角三角形相似的判定
知识点01 相似三角形的判定——两角定理
1. 相似三角形的判定：两角定理：
（1）文字语言：有两个角分别 的两个
三角形相似。
（2）数学语言：∵
∴
【即学即练1】
1．在△ABC和△A′B′C′中，如果∠A＝56°，∠B＝28°，∠A′＝56°，∠C′＝28°，那么这两个三角
形能否相似的结论是 ，理由是 ．
【即学即练1】
2．平行四边形ABCD中，过A作AE⊥BC，垂足为E，连DE、F为线段DE上一点，且∠1＝∠B．求证：△ADF∽△DEC．
知识点02 直角三角形的相似判定
1. 直角三角形的相似判定：
文字语言：斜边和一条直角边 的两个直角三角形相似。
数学语言：∵
∴
【即学即练1】
3．在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，下列条件中不能判定这两个三角形相似的是（ ）
A．∠A＝55°，∠D＝35°
B．AC＝9，BC＝12，DF＝6，EF＝8
C．AC＝3，BC＝4，DF＝6，DE＝8
D．AB＝10，AC＝8，DE＝15，EF＝9
题型01 判断相似的判定条件
【典例1】根据下列各组条件，不能判断△ABC和△A′B′C′相似的是（ ）
A．∠B＝B′＝90°，∠A＝60°，∠C′＝30°
B．∠A＝60°，∠C＝80°，∠A′＝60°，∠B′＝40°
C．AB＝5，BC＝7，AC＝10；A′C′＝16，B′C′＝14，A′B′＝10
D．∠A＝50°，AB＝8，AC＝15；∠A′＝50°，A′C′＝30，A′B′＝16
【变式1】依据下列条件不能判断△ABC和△DEF的相似是（ ）
A．∠A＝40°，∠B＝80°，∠E＝80°，∠F＝60°
B．∠A＝∠E＝45°，AB＝12cm，AC＝15cm，ED＝20cm，EF＝16cm
C．∠A＝∠D＝45°，AB＝12cm，AC＝15cm，ED＝16cm，EF＝20cm
D．AB＝1cm，BC＝2cm，CA＝1.5cm，DE＝6cm，EF＝4cm，FD＝8cm
【变式2】在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，下列各组的条件不能判定这两个三角形相似的是（ ）
A．∠A＝65°，∠D＝25°
B．AC＝3，BC＝4，DF＝6，DE＝8
C．AC＝9，BC＝12，DF＝12，EF＝16
D．AB＝10，AC＝8，DE＝35，EF＝21
【变式3】已知△ABC的三边长为1、2、 ，在下列给定条件的△DEF中，与△ABC一定相似的是（
）
A．DE＝2，EF＝4，∠E＝30° B．DE＝2，EF＝4，∠E＝90°
C．DE＝2，EF＝4，∠D＝30° D．DE＝2，EF＝4，∠D＝90°．
【变式4】已知，点D是△ABC的边AC上一点，在下列四个条件中：①∠ABD＝∠C；②∠ADB＝
∠ABC；③AC•BD＝AB•BC；④AB2＝AD•AC，其中能使得△ABC与△ADB一定相似的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
题型02 添加相似的判定条件
【典例1】如图，已知∠1＝∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（ ）
A．∠B＝∠D B． C．∠C＝∠AED D．
【变式1】如图，在四边形ABCD中，已知∠ADC＝∠BAC，那么补充下列条件后不能判定△ADC和
△BAC相似的是（ ）
A．CA平分∠BCD B．
C．AC2＝BC•CD D．∠DAC＝∠ABC
【变式2】如图，点D是△ABC的边AB上的一点，连接DC，则下列条件中不能判定△ABC∽△ACD的是
（ ）A．∠B＝∠ACD B．∠ADC＝∠ACB C． D．
【变式3】如图，下列条件仍无法保证△ADE与△ABC相似的是（ ）
A．∠ADE＝∠C B．∠B＝∠C C． D．
题型03 利用两角定理判定相似
【典例1】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D．
求证：△ACD∽△ABC．
【变式1】如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，∠ADE＝∠C．求证：△ADE∽△ACB．
【变式2】如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，若∠ADE＝60°，求证：△DCE∽△ABD．【变式3】如图，在△ABC中，AB＝AC，点P为BC边上一动点（不与点B，C重合），连接AP，过点P
作射线PM交AC于点M，使∠APM＝∠B．求证：△ABP∽△PCM．
题型04 相似三角形的判定与性质
【典例1】如图，Rt△ABC中，∠B＝90°点D在边AC上，且DE⊥AC交BC于点E．
（1）求证：△CDE∽△CBA；
（2）若AB＝6，BC＝8，E是BC中点，求DE的长．
【变式1】如图，△ABC中，AD平分∠BAC，E是AD上一点，∠B＝∠ACE．
（1）求证：△ABD∽△ACE．
（2）已知 ，AD＝15，试求DE的长．【变式2】如图，△ABC是一张锐角三角形的硬纸片，AD是边BC上的高，BC＝4，AD＝3，从这张硬纸
片剪下一个矩形EFGH，使它的一边EF在BC上，顶点G，H分别在AC，AB上，且HG：HE＝2：3，
AD与HG的交点为M．
（1）求证： ；
（2）求这个矩形EFGH的周长．
【变式3】如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，E为AB的中点，连接CE，
DE．
（1）求证：AC2＝AB•AD；
（2）若AD＝4，AB＝6，求 的值．【变式4】如图，在正方形ABCD中，点M是边BC上的一点（不与B、C重合），点N在边CD延长线上，
且满足∠MAN＝90°，联结MN，AC，MN与边AD交于点E．
（1）求证：AM＝AN；
（2）如果∠CAD＝2∠NAD，求证：AM2＝ AB•AE；
（3）MN交AC点O，若 ＝k，则 ＝ （直接写答案、用含k
的代数式表示）．
1．如图，在△ABC中，D为AB上一点，若 ，则（ ）A．△ADC∽△ACB B．△BDC∽△BCA C．△ADC∽△CBD D．无法判断
2．如图，已知∠1＝∠2，那么添加下列的一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（ ）
A． ＝ B．∠B＝∠D C． ＝ D．∠C＝∠AED
3．如图，在锐角△ABC中，AB、AC上的高CE、BF交于点D，连接EF，图中共有相似三角形（ ）
A．8对 B．7对 C．6对 D．5对
4．如图，在等边三角形ABC中，点E、F分别在AC、BC上，且AE•AC＝AP•AF，那么下列不正确的是
（ ）
A．△AEP∽△AFC B．△ABP∽△PAE C．△PBF∽△BAF D．△PBF∽△CBE
5．如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC平分∠DAB，且∠DAC＝∠DBC，那么下
列结论不一定正确的是（ ）
A．△AOD∽△BOC B．△AOB∽△DOC
C．CD＝BC D．BC•CD＝AC•OA
6．如图，在△ABC中，∠A＝75°，AB＝8，AC＝6，将△ABC沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原
三角形不相似的是（ ）A． B．
C． D．
7．在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，点A，B，C，D均在格点上，连接AC，BD
相交于点E，若小正方形的边长为1，则AE的长为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在△ABC中，点P在AB上，下列四个条件：①∠APC＝∠ACB；②∠ACP＝∠A；③AP：AC
＝AC：AB；④AB•CP＝AP•CB，其中当△APC和△ACB相似时满足的条件有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
9．如图， O的直径AB＝8，M是AB上一点，过点M作弦CD．若AM＝2，CM＝3，则弦CD的长为（
）
⊙
A．7 B．8 C． D．
10．如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，AE⊥EF，则下列结论：①∠BAE＝
30°；②CE2＝AB•CF；③CF＝ CD；④△ABE∽△AEF．正确的有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC的点，要使△ADE∽△ACB，需添加一个条件是 .
（只要写一个条件）
12．如图，已知，∠ACB＝∠ADC＝90°，BC＝3，AC＝4，要使△ABC∽△ACD，只要CD＝ ．
13．在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（0，2）和（4，0），若坐标轴上存在点C，使△ABC
和△OAB相似而不全等，则点C的坐标是 ．
14．如图，已知等腰三角形ABC中，AB＝AC＝20cm，BC＝30cm，点P从点B出发沿BA以4cm/s的速度
向点A运动；同时点Q从点C出发沿CB以3cm/s的速度向点B运动，在运动过程中，当△BPQ与
△AQC相似时，BP＝ cm．
15．如图，在平面直角坐标系中，AB是 C的一条直径，已知点A（0，6）和点B（8，0），点P是 C
上的一个动点，当线段CP截△AOB所得的三角形与△AOB相似时，点P的坐标为 ．
⊙ ⊙
16．如图，在平行四边形ABCD中，E是边AD的延长线上一点，连接BE交CD于点F，交对角线AC于点
G．
（1）若DE＝1，AD＝2，求 的值；（2）求证：△BCF∽△EAB．
17．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、B、C、E在同一条直线上，且∠D＝∠CAE．
（1）求证：△ABD∽△ECA；
（2）若AC＝6，CE＝4，求BD的长度．
18．已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，EB平分∠DEC．
（1）求证： ；
（2）如果 ，求证：△ABE∽△ACB．19．如图，在菱形ABCD中，∠C＝60°，AB＝4，点E是边BC的中点，连接DE、AE、BD．
（1）求DE的长；（结果保留根号）
（2）点F为边CD上的一点，连接AF，交DE于点G，连接EF，AF⊥EF．求证：△AGE∽△DGF．
20．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝12cm，动点P从点A开始沿着边AB向点B以1cm/s
的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿着边BC向点C以2cm/s的速度移动（不与点C重
合）．若P、Q两点同时移动t（s）．
（1）当移动几秒时，△BPQ的面积为8cm2．
（2）若PQ两点同时分别从A、B出发，经过多长时间△ABC与△BPQ相似？
