文档文本内容
04A / 01B 相似三角形的判定（一）
考情链接
1. 本次任务由两个部分构成
（1）判定定理1
（2）判定定理2
2. 考情分析
（1）相似三角形的预备定理及判定定理，属于图形与几何部分，占中考考分值约30%.
（2）相似三角形的判定定理以选择、填空题为主，也会在解答题中进行综合考察.
（3）对应教材：初三上册，第二十四章：相似三角形，第三节：相似三角形 24.4相似三角
形的判定.
（4）相似三角形的判定是九年级数学上学期第一章第三节的内容，本讲主要讲解相似三角
形的定义、相似三角形判定定理1和相似三角形判定定理2；重点是根据已知条件灵活运用
这两种判定定理，以及这两者之间的相互结合．
环节 需要时间
作业讲解及复习 15分钟
切片1：相似三角形判定定理 1 35分钟
切片2：相似三角形判定定理 2 50分钟
出门测 10分钟
错题整理 10分钟
1知识加油站 1——相似三角形判定定理 1【建议时长：40 分钟】
考点一：相似三角形的判定定理 1 性质应用
知识笔记1
1、相似三角形的定义
如果一个三角形的三个角与另一个三角形的________对应相等，且它们各有的________对应
成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形．符号“
2
∽ ”读作“相似于”．
2、相似三角形的预备定理
平行于三角形一边的直线截________________________，截得的三角形与原三角形相似．
如图，已知直线 l 与 A B C 的两边 A B 、 A C 所在直线分别交于点 D 和点 E ，则
A B C
A D E ∽
．
3、相似三角形的判定定理1
如果一个三角形的两角与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似．
可简述为：两角对应相等，两个三角形相似．
【填空答案】
1、三个角；三边
2、其他两边所在的直线例题1:
（1）（★★☆☆☆）（2020 •长宁区一模）如图，在
3
R t A B C 中， A C B = 9 0 ， D 是 A B 边的中
点，AF ⊥CD于点 E ，交 B C 边于点 F ，连接 D F ，则图中与 A C E 相似的三角形共有 ( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
（2）（★★☆☆☆）（2023•杨浦区一模）如图，在ABC 中，AG平分BAC，点 D 在边 A B
上，线段 C D 与 A G 交于点 E ，且 A C D = B ，下列结论中，错误的是( )
A． A C D ∽ A B C B． A D E ∽ A C G C． A C E ∽ A B G D．ADE∽CGE
（3）（★★☆☆☆）（2021•静安区市西初级中学期中）将两个完全相同的等腰直角三角形 A B C
与 A F G 摆成如图的样子，两个三角形的重叠部分为 A D E ，那么图中一定相似的三角形是
( )
A．ABC与ADE B．ABD与AEC C．ABE与ACD D．AEC 与 A D C
（4）（★★☆☆☆）（2021•金山区一模）如图，M 是平行四边形 A B C D 的对角线 B D 上一点，
AM 的延长线交BC于点E，交DC的延长线于点 F ，图中相似三角形有( )A．6对 B．5对 C．4对 D．3对
【配题说明】相似三角形的判定（性质定理1）。
【常规讲解】
（1）解：
4
A C B = 9 0 ， D 是 A B 边的中点，
C D = A D ，
A C D = C A D ，
又 A E C = A C B = 9 0 ，
A C E ∽ B A C ，
C E ⊥ A F ，
A C E = A F C ， A E C = A C F ，
A C E ∽ A F C ，
E C F + A C E = A C E + C A E = 9 0 ，
E C F = C A E ，
又 A E C = C E F ，
A C E ∽ C F E ，
图中与 A C E 相似的三角形共有3个： B A C ， A F C ， C F E ．
故选： B ．
（2）解：
A C D = B
，
C A D = B A C
，
ACD∽ABC，
故A正确；
A C D ∽ A B C ，
A D C = A C B ，
又 B A G = C A E ，
ADE∽ACG，
故B正确；
A G 平分BAC，
BAG=CAE，
又 ACD=B，
ACE∽ABG，故C正确；
由已知条件无法证明
5
A D E ∽ C G E ，
故D错误；
故选： D ．
（3）解： A B E ∽ D C A
理由： A B C 与 A F G 都为等腰直角三角形，
D A E = B = C = 4 5 ，
A E B = C + C A E = 4 5 + C A E = C A D
ABE∽DCA，
故选： C ．
ABCD
（4）解： 四边形 是平行四边形，
A D / / B C
，
A B / / C D
，
A B D = B D C
，
A D B = D B C
，
A B D ∽ C D B
，
A D / / B C
，
A M D ∽ E M B ， E F C ∽ A F D ，
A B / / C D
，
A B E ∽ F C E ， A B M ∽ F D M ，
ABE∽FDA，
相似三角形共有6对，
故选： A ．
练习1:【学习框8】
（1）（★★☆☆☆）（2022 •虹口区期中）如图，在ABC中，点 D 、E分别在边 A B 、 A C 上，
DE//BC， A C D = B ，那么下列判断中，不正确的是( )
A．ADE∽DBC B．CDE∽BCD C．ADE∽ACD D．ADE∽ABC（2）（★★☆☆☆）（2022•徐汇区期中）如图，D是
6
A B C 边 B C 上的一点， B A D = C ，
A B C 的平分线交边AC于点 E ，交 A D 于点 F ，则下列结论错误的是( )
A．BFA∽BEC B． B D F ∽ B E C C． B A C ∽ B D A D．BDF∽BAE
（3）（★★☆☆☆）（2019•徐汇西南模月考）如图，平行四边形 A B C D 中，过点 B 的直线与对
角线AC、边 A D 分别交于点 E 和 F ．过点 E 作EG//BC，交 A B 于G，则图中相似三角形
有 ( )
A．4对 B．5对 C．6对 D．7对
【配题说明】相似三角形的判定（性质定理1）。
【常规讲解】
（1）解： 点D、E分别在边 A B 、 A C 上， D E / / B C ，
ADE∽ABC．故 D 正确，不符合题意；
D E / / B C
B = A D E ，
B=ACD，
A D E = A C D ，
A = A ，
A D E ∽ A C D ，故 C 正确，不符合题意；
DE//BC
EDC=BCD，
ACD=B，7
C D E ∽ B C D ，故B正确，不符合题意；
A D E 与 D B C 不一定相似，故 A 不正确，符合题意；
故选：A．
（2）解： B A D = C ，
B = B ，
B A C ∽ B D A ．故 C 正确．
B E 平分 A B C ，
A B E = C B E ，
B F A ∽ B E C ．故 A 正确．
B F A = B E C （相似三角形的对应角相等），
B F D = B E A （等角的补角相等），
B D F ∽ B A E ．故 D 正确．
B D F ∽ B E C ，找不到相似的条件，故 B 错误．
故选： B ．
（3）解：图中相似三角形有 A B C ∽ C D A ， A G E ∽ A B C ， A F E ∽ C B E ，BGE∽BAF ，
A G E ∽ C D A 共5对，
理由是： 四边形 A B C D 是平行四边形，
A D / / B C ， A B / / C D ， A D = B C ， A B = C D ，D=ABC，
A B C C D A ，即ABC∽CDA，
G E / / B C ，
A G E ∽ A B C ∽ C D A ，
G E / / B C ， A D / / B C ，
G E / / A D ，
B G E ∽ B A F ，
A D / / B C ，
A F E ∽ C B E ．
故选：B．考点二：相似三角形的性质 1解答证明
例题2:
（1）（★★★☆☆）正方形
8
A B C D 中， E 是 A D 中点， B M ⊥ C E 于点 M ， A B = 6 厘米，求 B M
的长．
（2）（★★★☆☆）如图，在 R t A B C 中，BAC=90， A D ⊥ B C 于点 D ，点 O 是 A C 边上
一点，联结 B O 交 A D 于点 F ， O E ⊥ O B 交 B C 边于点E．
求证： A B F ∽ C O E ．
【常规讲解】
（1） 四边形 A B C D 是正方形，
A
B
D
D
C
=
/
=
9
/ B
C
0
C
D = A D = A B = 6 c m
．
DEC=BCM ，
又 B M C = D = 9 0
E
A D
M
B C
B
D
F
E
A O C
，
BMC ∽ CDE，
BM DC
= ，
BC EC
1
∵E是AD中点，∴DE= AD=3cm．
2
由勾股定理可得：CE= DE2 +CD2 =3 5cm，代入可得：
9
B M =
1 2
5
5 c m ．
（2）证明： B A C = 9 0 ，
BAD+CAD=90， A B O + A O B = 9 0 ，
又 A D ⊥ B C ， O E ⊥ O B ，
C + C A D = 9 0 ， A O B + E O C = 9 0 ．
B A D = C ， A B O = E O C ．
ABF ∽ C O E ．
练习2:【学习框10】
（1）（★★★☆☆）如图， E 是矩形ABCD的边CB的中点， A F ⊥ D E 于点 F ， A B = 3 ， A D = 2 ，
证明 A F D ∽ D C E ，并计算线段 A F 的长．
（2）（★★★☆☆）（2020•徐汇区康健外国语实验中学月考）如图，点 E 是四边形 A B C D 的对
角线 B D 上一点，且 B A C = B D C = D A E ．求证：ABE∽ACD．
【配题说明】相似三角形的证明及线段计算。
【常规讲解】
（1）证明： 四边形 A B C D 是矩形，
D C = A B = 3 ，AD=BC=2， C = C D A = 9 0 ，
C D E + D E C = 9 0 ，ADF+CDE=90，
ADF =DEC，
又 A F ⊥ D E ，
AFD=C=90，
AFD∽DCE，E是
10
C B 的中点，
C E =
1
2
B C = 1 ，
在 R t D C E 中， C = 9 0 ， D C = 3 ，
DE= DC2 +CE2 = 32 +12 = 10
又 A F D ∽ D C E ，
A
D
F
C
=
A
D
D
E
，
ADDC 23 3 10
AF = = = ．
DE 10 5
（2）解： BAC=BDC， A O B = D O C ，
A B E = A C D
又 BAC=DAE
B A C + E A C = D A E + E A C
D A C = E A B
A B E ∽ A C D ．知识加油站 2——相似三角形的判定定理 2【建议时长：30分钟】
考点三：相似三角形判定定理 2性质应用
知识笔记2
相似三角形的判定定理2
如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应___________，并且__________，那么这两
个三角形相似．
可简述为：两边对应成比例且___________，两个三角形相似．
【填空答案】
1、成比例；夹角相等
2、夹角相等
例题3:
（1）（★★☆☆☆）（2022•徐汇区西南模中学月考）如图，ABC 中，
11
A = 7 0 ， A B = 4 ，
A C = 6 ，将ABC沿图中的虚线剪开，则剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是 ( )
A． B．
C． D．（2）（★★☆☆☆）下列
12
4 4 的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格
点上，则与如图的三角形相似的是 ( )
A． B． C． D．
（3）（★★☆☆☆）（2019 •普陀区一模）如图，在 A B C 与AED中，
A
A
B
E
=
B
E
C
D
，要使 A B C
与AED相似，还需添加一个条件，这个条件可以是__________________（只需填一个条件）．
【配题说明】相似三角形的判定（性质定理2）。
【常规讲解】
（1）解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错
误；
B 、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；
C 、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误．
D 、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确；
故选： D ．
（2）解：如图，
由勾股定理得 A C = 2 ， B C = 2 2 ， A B = 1 0 ，
AC2 +BC2 =10，AB2 =10，
AC2 +BC2 = AB2，13
A C B = 9 0 ，
夹直角的两边之比为
2
2
2
=
1
2
，
由图中各选项可知， B 选项中的三角形符合题意．
故选：B．
（3）解：添加条件： B = E ；
A
A
B
E
=
B
E
C
D
， B = E ，
A B C ∽ A E D ，
故答案为： B = E （答案不唯一）．
练习3:【学习框12】
（1）（★★☆☆☆）如图，已知 A B C ，则下列三角形中，与 A B C 相似的是 ( )
A． B． C． D．
（2）（★★☆☆☆）如图，在 A B C 中，点D， E 分别在边 A B 、 A C 上，下列条件中不能
判断 A B C ∽ A D E 的是( )
A． A D E = B B． A E D = C
AD AB DE AE
C． = D． =
AE AC BC AC（3）（★★★☆☆）如图，
14
A B C 在正方形网格中，下列正方形网格中的阴影图形与 A B C
相似的是 ( )
A． B． C． D．
【配题说明】相似三角形的判定（性质定理2）。
【常规讲解】
（1）解： 由图可知， A B = A C = 6 ， A = 3 0 ，
C = 7 5 = B ，
A 、三角形各角的度数分别为 7 5 ， 5 2 .5 ， 5 2 .5 ，
B 、三角形各角的度数都是 6 0 ，
C 、三角形各角的度数分别为 7 5 ， 3 0 ， 7 5 ，
D 、三角形各角的度数分别为 4 0 ， 7 0 ， 7 0 ，
只有 C 选项中三角形各角的度数与题干中三角形各角的度数相等，
故选： C ．
（2）解： A 、 A D E = B ， A = A ，则可判断 A B C ∽ A D E ，故 A 选项不符合题意；
B 、AED=C， A = A ，则可判断ABC∽ADE，故 B 选项不符合题意；
AD AB AD AE
C、 = ，即 = ，且夹角A=A，则可判断
AE AC AB AC
A B C ∽ A D E ，故C选项不符
合题意；
DE AE
D、 = ，缺少条件
BC AC
A E D 和 A C B 相等，则不能确定 A B C ∽ A D E ，故D选项符合
题意；
故选：D．
（3）解：在ABC中，AB= 2， B C = 2 ， A C = 1 0 ，
选项 A
2 2
中三角形三边为 1， 10，2 5，而 ，所以
1 10
A 选项中的三角形与ABC不
相似；选项B中三角形三边为1， 5 ，
15
2 2 ，而
1
2
2
5
，所以B选项中的三角形与 A B C 不相
似；
选项 C 中三角形三边为1， 2 ， 5 ，因为
1
2
=
2
2
=
1 0
5
，所以 C 选项中的三角形与 A B C
相似；
选项 D 中三角形三边为 2 ， 5 ， 5
2 2
，而 ，所以
2 5
D 选项中的三角形与 A B C 不相
似．
故选：C．
考点四：相似三角形判定定理 2解答证明
例题4:
（1）（★★★☆☆）（2020•浦东新区月考）如图， A C B = C E D = 9 0 ， C D ⊥ A B 于点 D ，
A C = 3 ， B C = 4 ，求 E D 的长．
（2）（★★★★☆）如图，在 A B C 中， A B = A C ， D E // B C ，点 F 在边 A C 上， D F 与 B E
相交于 G ，且EDF =ABE．
① 求证： D E F ∽ B D E ；
② 求证： D G D F = D B E F
C
E
A D B
．
A
D E
G F
B C【教学建议】例题 2（2）可以放在讲完练习 3 后进行讲解，例 3 相似三角形存在性问题属
于本讲重点知识。老师可以讲完后根据班级掌握情况决定。
【配题说明】相似三角形的证明及线段计算。
【常规讲解】
（1）
16
A C = 3 ， B C = 4 ， A C B = 9 0 ，
A B = A C 2 + B C 2 = 5 ．
根据面积法，可知 C D A B = A C B C
12
，解得CD= ．
5
又 C D ⊥ A B ， A C B = 9 0 ，可得 A D C ∽ A C B ．
A
A
D
C
=
A
A
C
B
，代入可得： A D =
9
5
．
ACB=CED=90，DE//BC，
D
B
E
C
=
A
A
D
B
=
9
2 5
．
代入得： E D =
3
2
6
5
．
（2）证明：① D E // B C ， A D E = A B C ， A E D = A C B ．
A B = A C ， A B C = A C B ， A D E = A E D ，
B D E = F E D ， E D F = A B E ， D E F ∽ B D E ．
② D E F ∽ B D E ，
E
D
F
E
=
D
B
E
D
， D E B = D F E ，即 D B E F = D E 2 ．
E D G = E D F ， D G E ∽ D E F ，
D
D
G
E
=
D
D
E
F
，即 D G D F = D E 2 ．
D G D F = D B E F ．
练习4*:
（1）（★★★☆☆）如图， R t A B C 中， C = 9 0 ， B D 平分 A B C ， D E ⊥ A B ，若 B C = 6 ，
A C = 8 ，则 C D = ．
C
D
A E B（2）（★★★☆☆）如图，在矩形
17
A B C D 中，点 E 是边 B C 的中点，且 D E ⊥ A C ，那么 C D : A D =
．
【配题说明】相似三角形的证明及线段计算。
【常规讲解】
（1） B D 平分 A B C ， D E ⊥ A B ， C = 9 0 ，
B D = B D ， B C D B E D ， C D = E D ．
同时又 A = A ， A D E ∽ ABC ，
D
B
E
C
=
A
A
D
B
，由勾股定理可得： A B = A C 2 + B C 2 = 1 0 ，
代入即为：
D
6
E
=
8 −
1
D
0
E
，解得： D E = 3 ，∴ C D = 3．
（2） 四边形 A B C D 是矩形，
A D = B C ， A D / / B C ， A D C = B C D = 9 0 ．
D E ⊥ A C ， E D C = D A C ．
A D C ∽ D C E ，
A
C
D
D
=
C
C
D
E
．
设AD=a，则 C E =
1
2
B C =
1
2
a ，由此可得： C D =
2
2
a
A D
B E C
2
，∴CD:AD= a:a= 2:2．
2考点五：相似三角形的存在性问题
知识笔记3
相似三角形存在性的解题步骤：
（1）_____________________________________；
（2）_____________________________________；
（3）_____________________________________.
【填空答案】
（1）找到一对相等角
（2）写出两种分类情况
（3）利用对应边列式并求解
例题5:
（1）（★★★☆☆）如图，矩形ABCD中，
18
A D = 4 ， A B = 1 0 ， P 为 C D 边上的动点，当 D P =
____________时， A D P 与 B C P 相似．
（2）（★★★☆☆）（2022•黄浦区格致中学月考）如图， A B C ， A B = 1 2 ， A C = 1 5 ， D 为
AB上一点，且 A D = 8 ，在 A C 上取一点 E ，使以 A 、D、 E 为顶点的三角形与ABC相似，
则 A E 等于 ( )
32 15 15
A． 或 B．10或
5 2 2
C．
3 2
5
或10 D．以上答案都不对（3）（★★★☆☆）（2022•虹口区外国语大学附属外国语学校学考）如图所示，在
19
A B C 中，
A B = 8 c m ， B C = 1 6 c m ．点 P 从点 A 出发沿 A B 向点 B 以 2 c m / s 的速度运动，点 Q 从点 B
出发沿 B C 向点 C 以 4 c m / s 的速度运动．如果点P， Q 分别从点A，B同时出发，则______
秒钟后 P B Q 与 A B C 相似？
【配题说明】相似三角形的存在性问题（分类讨论）。
【常规讲解】
（1）解：①当APD∽PBC时，
A
P
D
C
=
P
B
D
C
，
4 PD
即 = ，
10−PD 4
解得： P D = 2 或 P D = 8 ；
②当 P A D ∽ P B C 时，
A
B
D
C
=
P
P
D
C
，
4 PD
即 = ，
4 10−PD
解得：DP=5．
综上所述，DP的长度是2或8或5．
故答案是：2或8或5．
（2）解： A B C 与 A D E 相似，
A
A
D
B
=
A
A
E
C
AD AE
或 = ，
AC AB
A D = 8 ， A B = 1 2 ，AC=15，
8 AE 8 AE
= 或 = ，
12 15 15 12
解得：AE=10或6.4．
故选：C．
（3）解：设经过x秒后PBQ和ABC 相似．则
20
A P = 2 x c m ， B Q = 4 x c m ，
A B = 8 c m ， B C = 1 6 c m ，
B P = ( 8 − 2 x ) c m ，
① B P 与 B C 边是对应边，则
B
B
P
C
=
B
A
Q
B
，
即
8 −
1
2
6
x
=
4
8
x
，
解得 x = 0 .8 ，
② B P 与 A B 边是对应边，则
B
A
P
B
=
B
B
Q
C
，
即
8 −
8
2 x
=
4
1
x
6
，
解得 x = 2 ．
综上所述，经过0.8秒或2秒后 P B Q 和 A B C 相似．
故答案为：0.8或2．
练习5:【学习框14】
（1）（★★★☆☆）（2022•徐汇区位育中学期中）如图，在 A B C 中， A B = 6 c m ， A C = 8 c m ，
D 是 A B 上一点且 A D = 2 c m ，点 E 在边 A C 上，当AE=_______ c m 时，使得 A D E 与 A B C
相似．
（2）（★★★☆☆）（2020•黄浦区大境中学期中）如图，AB=16cm， A C = 1 2 c m ，动点 P 、
Q分别以每秒 2 c m 和 1 c m 的速度同时开始运动，其中点P从点 A 出发，沿 A C 边一直移到点
C 为止，点Q从点 B 出发沿 B A 边一直移到点 A 为止，（点 P 到达点C后，点Q继续运动）
① 请直接用含 t 的代数式表示 A P 的长和AQ的长，并写出自变量的取值范围．
② 当t等于何值时，APQ与ABC 相似？【配题说明】相似三角形的存在性问题（分类讨论）。
【常规讲解】
（1）解：有两种情形：
如图，当
21
D E / / B C 时， A D E ∽ A B C ，
A
A
D
B
=
A
A
E
C
，
2
6
=
A E
8
，
A E =
8
3
( c m ) ，
当 A D E = C 时， A=A，
A D E ∽ A C B ，
A
A
D
C
=
A
A
E
B
，
2
8
=
A E
6
，
A E = 1 .5 ( c m ) ，
故答案为
8
3
或1.5．
（2）解：① 由题意得：y =2t(0 t 6)，y =16−t(0 t 16)；
1 2
② 当 0 t 6 时，
（Ⅰ）若QP//BC，则有 A Q P ∽ A B C ，
A
A
Q
B
=
A
A
P
C
，
A B = 1 6 c m ，AC=12cm，AP=2tcm， A Q = (1 6 − t ) c m ，
16−t 2t
= ，
16 12
48
解得：t= ，
11
（Ⅱ）当A=A，若AQP=C，则有 A Q P ∽ A C B ，
AQ AP
所以 = ，
AC AB即
22
1 6
1
−
2
t
=
2
1
t
6
，
解得：t=6.4（不符合题意，舍去）；
当 6 t 1 6 时，点 P 与C重合，
A = A ，只有当 A Q C = A C B 时，有 A Q C ∽ A C B ，
A
A
Q
C
=
A
A
C
B
，
16−t 12
= ，
12 16
解得： t = 7 ，
综上所述：
48
在0 t 6中，当t= 时，
11
A Q P ∽ A B C ，
在 6 t 1 6 中，当 t = 7 时， A Q C ∽ A C B ．全真战场
关卡一
练习1:
（★★☆☆☆）如图，添加一个条件：______________，使
23
A D E ∽ A B C ．（写一个即可）
【常规讲解】解：添加条件为： A D E = B （答案不唯一）；理由如下：
A = A ，
当 A D E = B 时， A D E ∽ A B C ，
故答案为： A D E = B （答案不唯一）．
练习2:
（★★★☆☆）如图，在ABC 中，D为边 A C 上一点， D B C = A ，BC= 6， A C = 3 ，
则 C D 的长为___________．
【常规讲解】 D B C = A ， C = C ， A B C ∽ B D C ．
AC BC
= ，代入可得：
BC CD
C D = 2
C
D
A B练习3:
（★★★☆☆）如图，在
24
A B C 中，ACB=90 ， A C = B C ， P 是 A B C 内一点，且
A P B = A P C = 1 3 5 ．求证： C P A ∽ APB．
【常规讲解】
证明： A C B = 9 0 ， A C = B C ，
C A B = 4 5 ．
即 C A P + P A B = 4 5 ．
A P C = 1 3 5 ，
C A P + A C P = 4 5 ．
A C P = P A B ．
A P B = A P C = 1 3 5 ，
C P A ∽ A P B ．
练习4:
（★★★☆☆）如图， R t A B C 中， A C B = 9 0 ， A C = 9 ， B C = 1 2 ， D 是AB边的中点， P
是 B C 边上一动点 （点 P 不与 B 、 C 重合） ，若以 D 、 C 、 P 为顶点的三角形与 A B C 相
似， 则线段 P C = ________．
【常规讲解】解： RtABC中，ACB=90，AC=9， B C = 1 2 ，
A B = 1 5
A
P
C B
，
D是AB边的中点，
1
CD=BD= AB=7.5，
2以
25
D 、 C 、 P 为顶点的三角形与 A B C 相似，
D P C = 9 0 或 C D P = 9 0 ，
（1） 若 D P C = 9 0 ，则 D P / / A C ，
B
A
D
B
=
B
B
P
C
=
1
2
，
B P =
1
2
B C = 6 ，
则PC=6；
（2） 若CDP=90，则CDP∽BCA，
C
B
D
C
=
P
A
C
B
，
即
7
1
.5
2
=
P
1
C
5
，
75
PC= ．
8
综上所述： P C = 6 或
7 5
8
．
故答案为：6 或
7 5
8
．关卡二
练习5:
（★★★★☆）如图，矩形
26
A B C D 的对角线 A C 、 B D 相交于点O，OF ⊥BD于点 O ，交
C D 于点 E ，交 B C 的延长线于点 F ．求证： A O 2 = O E • O F ．
【常规讲解】证明： 四边形ABCD是矩形，
A
B
O
C D
= B
=
O
9 0
=
C O
，
O C B = O B C ， O C B + O C E = 9 0 ，
又OF ⊥BD，
O B C + F = 9 0 ，
O C E = F ．
C O E = C O F ，
O C E ∽ O F C ，
O
O
C
F
=
O
O
E
C
，
O E O F = O C 2 = A O 2
A D
O
E
B C F
．练习6:
（★★★★☆）（2020•浦东新区期中）如图，在等腰梯形
27
A B C D 中， A D / / B C ， A D = 2 ，AB=5，
BC =10，点 E 是边BC上的一个动点（不与 B ，C重合），作 A E F = A E B ，使边 E F 交
边 C D 于点 F ，（不与 C ， D 重合），线段 B E = _______时，ABE与 C E F 相似．
【常规讲解】
解：如图：过 A 作 A M ⊥ B C ，过 D 作 D N ⊥ B C ，
等腰梯形 A B C D ， A M ⊥ B C ， D N ⊥ B C ， B C = 1 0 ，
A D = M N = 2 ； B M = C N =
1
2
(1 0 − 2 ) = 4 ； A B = D C = 5 ，
A M = 5 2 − 4 2 = 3 ，
A B E 与 C E F 相似有两种情况，如图：
①当 A E B = F E C 时，
AEF =AEB，
AEF =AEB=FEC=60，
A M = 3 ，BM =4，
3
ME= AM tan60=3 = 3，
3
BE=BM +ME=4+ 3，
②当AEB=EFC时，28
A E F = A E B ，
A E F = E F C ，
A E / / D C ，
A E B = C = B ，
ABE是等腰三角形，
如图②，过 A 作 A M ⊥ B C ，
B M = M E （等腰三角形三线合一性质）．
B M = 4 ，
B E = 2 B M = 8 ，
综上，当 B E 的长为4+ 3或8，ABE∽CEF时．
故答案为：4+ 3或8．
练习7:
（★★★★☆）（2020•上海外国语大学附属外国语学校月考） P 是 A B C 一边上的一点 ( P 不
与A、 B 、 C 重合），过点P的一条直线截ABC，如果截得的三角形与ABC 相似，我们
称这条直线为过点 P 的ABC的“相似线”． R t A B C 中， C = 9 0 ，A=30，当点 P
为AC的中点时，过点 P 的 A B C 的“相似线”最多有几条？ ( )
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【常规讲解】解：如图所示：
当PD//BC时， A P D ∽ A C B ；
当PE//AB时，CPE∽BAC；
当PF ⊥AB时， A P F ∽ A B C
故过点 P 的 A B C 的相似线最多有3条．
CPE 不可能为60，
当 C P E = 6 0 时，相似的这种情形不存在．
理由：连接PB，CPB=A+ABP，
29
P B P C ， P C = P A ，
PBPA，
P B A A ，
C P B 6 0 ，
C P E 不可能为 6 0 ，
故选： C ．
练习8:
（★★★★★）如图，在平面直角坐标系xOy中．边长为 4 的等边 O A B 的边 O A 在 x 轴上，
C 、D、 E 分别是 A B 、 O B 、 O A 上的动点，且满足 B D = 2 A C ， D E / / A B ，连接 C D 、 C E ，
当点 E 坐标为__________时， C D E 与 A C E 相似．
【常规讲解】解： D E / / A B ，
D E C = A C E ， O D E ∽ O B A ，
ODE也是等边三角形，则OD=OE=DE，
设E(a,0)，则OE=OD=DE=a，BD= AE=4−a．
C D E 与ACE相似，分两种情况讨论：
①当CDE∽EAC时，则 D C E = C E A ，
CD//AE，30
四边形AEDC是平行四边形，
A C = a ，
B D = 2 A C ，
4 − a = 2 a ，
a =
4
3
．
E (
4
3
, 0 ) ；
②当 C D E ∽ A E C 时， D C E = E A C = 6 0 = B ，
B C D + E C A = 1 8 0 − 6 0 = 1 2 0 ，
又 BDC+BCD=180−B=120，
B C D + E C A = B D C + B C D ，
ECA=BDC，
B D C ∽ A C E ，
B
A
D
C
=
B
A
C
E
= 2 ，
B C = 2 A E = 2 ( 4 − a ) = 8 − 2 a ，
8 − 2 a + 2 −
a
2
= 4 ，
a =
1 2
5
．
E (
1 2
5
, 0 ) ．
4 12
综上所述，点E的坐标为( ,0)或( ,0)．
3 5
