FY25暑假初三B11相似三角形的模型（一）教师版_初中资料合集_2025年秋初中《789年级暑假数学讲义》含6升7衔接（学生+教师版）上海专版_初三_志高_教师版PDF

11B 相似三角形的模型（一）
考情链接
1. 本次任务由三个部分构成
（1）A字型与8字型
（2）母子型
（3）一线三等角型
2. 考情分析
（1）相似三角形的模型，属于图形与几何部分，占中考考分值约30%.
（2）主要考察相似三角形的模型，以填空题、证明题为主.
（3）对应教材：初三上册，第二十四章：相似三角形，第三节：相似三角形
（4）相似三角形是初中几何中的核心模块，也是考查学生分析和解决问题等综合能力的重
要载体。本节主要讲的是相似三角形的模型，在解决问题时，我们要能从复杂的图形中分离
和构造基本图形，从而将几何问题"模块"化，以提高解题效率。
环节 需要时间
作业讲解及复习 15分钟
切片1：A 字型与8字型 25分钟
切片2：母子型 30分钟
切片3：一线三等角型 30分钟
出门测 10分钟
错题整理 10分钟
1知识加油站 1——A字型与8字型【建议时长：25分钟】
考点一：正 A字型与斜A字型
知识笔记1
正A字型
条件：若
2
∠ A D E = ∠ B
斜A字型
条件：若
结论：① ___________________
② ___________________
∠ A E D = ∠ B
结论：① ___________________
② ___________________
③ ___________________
【填空答案】
正A字型
①  A D E ∽  A B C
②
A
A
D
B
=
A
A
E
C
=
D
B
E
C
斜A字型
①  A D E ∽  A C B
②
A
A
D
C
=
A
A
E
B
=
D
B
E
C
③ A D A B = A E A C
B
D
C
A
E
B
D
C
A
E例题1:
（1）（★★☆☆☆）（2023•闵行区期中）如图，点
3
D 、 E 、 F 分别在ABC 的边AB、AC、
B C 上，且 D E / / B C ， E F / / A B ，下列四个式子中，不一定正确的是( )
A．
A
A
D
B
=
A
A
E
C
BD BF
B． = C．
AD FC
A
E
E
C
=
B
F
F
C
D．
A
A
D
B
=
B
B
F
C
（2）（★★☆☆☆）（2023•青浦区）如图，在  A B C 中，点 D 、 E 分别在边 A B 、 A C 上，
 A D E =  C ，则下列判断错误的是 ( )
A．  A E D =  B B． D E  A C = B C  A E
C． A D  A B = A E  A C
S DE
D． AED =( )2
S BC
ABC
【常规讲解】
（1）解： D E / / B C ，
  A D E ∽  A B C ，

A
A
D
B
=
A
A
E
C
，故 A 选项正确，不符合题意；
DE//BC，

AD AE
= ，
BD CE
E F / / A B ，
BF AE
 = ，故C选项正确，不符合题意；
CF CE
B
B
D
D
A
F
A
E
E
C
C4

A
B
D
D
=
B
C
F
F
，故 B 选项不一定正确，符合题意；故D选项正确，不符合题意．
故选：B．
（2）解：  A D E =  C ，  D A E =  C A B ，
  A E D ∽  A B C ，
  A E D =  B
DE AD AE
， = = ，
BC AC AB
S
S


A
A
E
B
D
C
= (
D
B
E
C
) 2 ，
 D E  A C = B C  A D ， A D  A B = A E  A C ，
故A、C、D正确，不符合题意；B错误，符合题意；
故选：B．
练习1:【学习框8】
（1）（★★☆☆☆）如图，在  A B C 中，点 D 、 E 分别在  A B C 的边 A B 、 A C 上，如果添加
下列其中之一的条件，不一定能使  A D E 与  A B C 相似，那么这个条件是 ( )
A．  A E D =  B B．  A D E =  C C．
A
A
D
C
=
A
A
E
B
D．
A
A
D
B
=
D
B
E
C
（2）（★★☆☆☆）（2024•闵行区）如图，在  A B C 中，点D在边 A C 上，点 E 在边 B C 上，
D E / / A B ， A D : A C = 2 : 3 ，那么
S
S
梯

形
D E C
A B E D
的值为 ．
【常规讲解】
A
D
B
E
C
A
D
B E C（1）解：由题意得，A=A，
5
A 、当  A D E =  B 时，  A D E ∽  A B C ；故本选项不符合题意；
B、当  A D E =  C 时，  A D E ∽  A C B ；故本选项不符合题意；
C 、当
A
A
D
C
=
A
A
E
B
时，  A D E ∽  A B C ；故本选项不符合题意；
D 、当
A
A
D
B
=
D
B
E
C
时，不能推断  A D E 与  A B C 相似；故选项符合题意；
故选： D ．
（2）解： D E / / B C ，
DEC∽ABC，
A D : A C = 2 : 3 ，
CD:AC=1:3，

S
S


C
C
D
A
E
B
=
1
9
，

S
S
梯

形
D E C
A B E D
=
1
8
，
故答案为：
1
8
．考点二：正 8字型与斜8字型
知识笔记2
正8字型
条件：若
6
∠ A = ∠ D
斜8字型
结论：① ___________________ 条件：若
② ___________________
∠ A = ∠ D
结论：① ___________________
② ___________________
③ ___________________
【填空答案】
正8字型
①  D E C ∽  A B C
②
A
D
B
E
=
A
C
C
D
=
B
C
C
E
斜8字型
① BDP∽CAP
② A P P B = C P P D
③BDP∽CAP   A P D ∽  C P B
E D
C
A B
D
A
P
C
B例题2:
（1）（★★☆☆☆）如图，把两个含30角的两个直角三角板按如图所示拼接在一起，点N是
7
A B 边的中点，连接 D N 交 B C 于点 M ，则
C
C
M
B
的值为 ( )
A．
9
2 5
B．
2
5
C．
1
2
1
5
D．
1
2
2
5
（2）（★★★☆☆）（2023•奉贤区期末）如图，将  A B C 绕点 B 顺时针旋转，使得点 A 落在边
A C 上，点 A 、 C 的对应点分别为D、E，边 D E 交BC于点 F ，联结CE ．下列两个三角
形不一定相似的是 ( )
A．  B A D 与  B C E B．  B D F 与  E C F C．  D C F 与  B E F D．  D B F 与  D E B
【常规讲解】
（1）解：连接 C N
D
C
M
A N B
A
B C
，如图，
设AC=2a，
ABC=30，ACB=90，
AB=4a，BC=2 3a，
A
C
N
M
D
B点
8
N 是 A B 边的中点，
 C N = A N = B N =
1
2
A B = 2 a ．
 D B C = 3 0  ，  C D B = 9 0  ，
 C D =
1
2
B C = 3 a ，
 B D = B C 2 − C D 2 = 3 a ．
N C = N B ，
  N C B =  A B C = 3 0  ，
BCD=60，
  N C D =  N C B +  B C D = 9 0  ，
NCD+BDC=90+90=180，
 N C / / B D ，
MCN∽MBD，

C
M
M
B
=
C
B
N
D
=
2
3
a
a
=
2
3
，

C
C
M
B
=
2
5
，
故选：B．
（2）解：如图，
根据旋转的性质得，ABCDBE，
 A B = D B ，  A B C =  D B E ，BC=BE，  A =  B D D
A
D
B
F C
E
，ACB=DEB，
AB DB
ABD=CBE， = ，
BC BE9
  B A D ∽  B C E ，
故A不符合题意；
 A B D =  C B E ， A B = A D ， B C = B E ，
  A =  B D A =  B C E =  B E C ，
  B D F =  E C F ，
又 BFD=EFC，
  B D F ∽  E C F ，
故B不符合题意；
 D C F =  B E F ，  D F C =  B F E ，
DCF∽BEF，
故C不符合题意；
根据题意，无法求解DBF 与  D E B 相似，
故 D 符合题意；
故选： D ．练习2:【学习框10】
（1）（★★☆☆☆）（2023•静安区校级一模）如图，在ABC中，中线
10
A D 与中线 B E 相交于
点G，连接 D E ．下列结论成立的是 ( )
A． D G =
1
3
A G B．
B
E
G
G
=
D
A
E
B
S 1 S 1
C． DEG = D． CDE =
S 4 S 2
AGB AGB
（2）（★★★☆☆）（2019•普陀区期中）如图，四边形ABCD的对角线 A C 与 B D 相交于点O，
O A = 2 ， O B = O D = 3 ， O C = 4 .5 ，那么下列结论中，正确的是 ( )
A．  O A D =  O B C B．
A
C
B
D
=
1
2
C．
S
S


A
C
O
O
B
D
=
1
2
D．
S
S


A
B
O
O
D
C
=
1
9
【常规讲解】
（1）解： A D ， B E 是ABC的中线，
DE是ABC的中位线，
 D E / / A B ， D E =
1
2
A B
A
E
G
C D B
，
DEG∽ABG，
S DE 1
DG:AG=DE:AB=1:2，BG:EG= AB:DE， DEG =( )2 = ，
S AB 4
AGB
1
DG= AG，
2
B
A
O
D
C11
B G : E G = A B : D E = 2 : 1 ，
GB:BE=2:3，
 S
 A G B
: S
 A E B
= 2 : 3 ，
AE=EC，
 S
 A E B
=
1
2
S
 A B C
，
 S
 A G B
=
1
3
S
 A B C
，
CDE∽CBA，

S
S


C
A
D
B
E
C
= (
D
A
E
B
) 2 =
1
4
，
 S
 C D E
=
1
4
S
 A B C
，
S 3
 CDE = ，
S 4
ABG
结论成立的是
S
S


D
A
E
G
G
B
=
1
4
，
故选： C ．
（2）解： O A = 2 ， O B = O D = 3 ， O C = 4 .5 ，

O
O
A
B
=
O
O
D
C
，
AOD=BOC，
  O A D ∽  O B C ，
  O A D =  O B C ，
S
S


A
B
O
O
D
C
=
4
9
，
同理可得  A O B ∽  D O C ，
A
C
B
D
=
A
O
O
D
=
2
3
，
S
S


A
C
O
O
B
D
=
4
9
，
故B，C， D 选项不正确，
故选：A．例题3:
（1）（★★★★☆）在梯形
12
A B C D 中， A B / / C D ，AB=a， C D = b ，两腰延长线交于点 M ，
过M作 D C 的平行线，交 B C 、AD延长线于E、F ，EF等于 ( )
A．
a
a b
− b
B．
2
a
a
−
b
b
C．
a
a
+ b
2ab
D．
a+b
（2）（★★★★☆）已知，如图，四边形ABCD，两组对边延长后交 E 、 F ，对角线BD//EF ，
A C 的延长线交 E F 于 G ，求证： E G = G F ．
【常规讲解】
（1）解： AB//CD，   M D C ∽  M B A ，
MC:MA=CD:AB=b:a，BM:BD=a:(a−b)．
在BEM中， D C / / F M ，BD:BM =CD:EM ，
BMCD ab
EM = = ，
BD a−b
同理，EM =FM ，所以 E F =
2
a
a
−
b
b
，
故选：B．
（2）证明：过 C 作EF的平行线分别交AE、AF 于M、N，
E
A
C
M
D
B
F
A
B D
C
E G F13
B D / / E F ，
 M N / / B D ，
 B D / / E F / / M N ，

B
B
M
E
=
D
D
N
F
，
M
E
C
F
=
B
B
M
E
，
C
E
N
F
=
D
D
N
F
，
 M C = N C ，
M
E
C
G
=
A
A
C
G
=
N
G
C
F
，
EG=GF．
【拓展练习1】→全真战场关卡二练习5（A字，8字混合模型下的23几何证明题）
练习3:【学习框12】
（★★★★☆）已知：如图1，  A B C 中， A D 是中线，点 P 在 A D 上， B P 、 C P 的延长线分
别交AC、 A B 于 E 、 F ．求证：EF //BC．
【常规讲解】
证明：如图2， E F 交 A D 于 G ，过 P 作MN //BC 分别交 A B 、 A C 于 M 、 N ，
在ABD中，
E
M
B
A
G
C
D
N
F14
P M / / B D ，

P
B
M
D
=
A
A
P
D
，
同理
P
D
N
C
=
A
A
P
D
，
B D = C D ，
 P M = P N ．
在  F B C 中， P M / / B C ，

P
B
M
C
=
P
C
F
F
，
同理
P
E
E
B
=
P
B
N
C

P
F
F
C
=
P
B
E
E

P
P
E
B
=
P
P
F
C
，
 E P F  B P C ，
  E P F ∽  C P B ，
  F E P =  P B C ，
 E F / / B C ．知识加油站 2 母子型【推荐时长 30分钟】
考点三：母子型
知识笔记3
一般母子型
条件：
15
∠ A B D = ∠ C
结论：①
②
【填空答案】
 A B D ∽  A C B ； A B 2 = A D  A C
例题4:
（1）（★★☆☆☆）（2023•普陀区期中）如图，在  A B C 中，点 D 为边 A B 上一点，
 A C D =  B , A D = 3 , A B = 5 , C D = 2 3 ，则 B C = ．
（2）（★★★☆☆）如图，在ABC 中，点D是 B C 上一点，若BAC=BDA=135，且
A D = 2 2 ， D C = 8 ，则线段BD的长度为 ．
B
A
D
C
A
B D C（3）（★★★☆☆）（2019•松江区期中）如图，已知，在
16
 A B C 中，  C = 9 0  ，点 D 是 A C 上
一点，  D B C =  A ，
B
A
D
B
=
2
3
，那么
A
D
D
C
的值为 ．
【常规讲解】
（1）证明： ACD=B，A=A，
  A C D ∽  A B C ，

A
A
D
C
=
A
A
C
B
=
C
B
D
C
，
AD=3，AB=5，CD=2 3，
 A C = A D  A B = 3  5 = 1 5 ，

1
5
5
=
2
B C
3
，
 B C = 2 5 ，
故答案为： 2 5 ．
（2）解：  B A C =  B D A ，ABC=DBA，
  A B C ∽  D B A ，

B
A
C
B
=
A
B
B
D
，
 B D =
A
B
B
C
2
①，
如图，过点A作 A E ⊥ B C 于点E，则AED=90，
A D C
B
A
B D E C17
 B D A = 1 3 5  ，
  A D E = 4 5  ，
ADE为等腰直角三角形，
A D = 2 2 ，
 A E = D E = 2 ，
设BD=x，则 B E = x + 2 ，
D C = 8 ，
BC=x+8，
在RtABE中，由勾股定理得：
A B 2 = A E 2 + B E 2
= 4 + ( x + 2 ) 2 ②，
由①②及 B D = x 可得：
x =
4 + (
x
x
+
+
8
2 ) 2
，
 x 2 + 8 x = 4 + 4 + 4 x + x 2 ，
解得 x = 2 ，
经检验， x = 2 是原方程的解，
 B D = 2 ．
故答案为2．
（3）解： 在  D B C 和  B A C 中
 C =  C ， D B C =  A
  D B C ∽  B A C
BD DC BC
 = =
AB BC AC
B
A
D
B
=
2
3
DC BC 2
 = =
BC AC 3
设DC=2x， B C = 3 x ，
BC2 9x2 9
则AC= = = x
DC 2x 2
9 5
AD= AC−DC= x−2x= x
2 218
 A
D
D
C
=
5
22
x
x
=
5
4
故答案为：
5
4
．
练习4:【学习框14】
（1）（★★☆☆☆）如图，  A B C 中，D为 B C 上一点，  B A D =  C ， A B = 6 ，BD=4，求
C D 的长．
（2）（★★☆☆☆）（2020•松江区期中）如图，点 P 在线段 A B 上，  A C P =  B ， A P = 2 ，
B P = 3 ，则 A C = ．
（3）（★★★☆☆）如图，在  A B C 中，点 D 是AB上一点，且  A =  B C D ， S
 A D C
: S
 B D C
= 5 : 4 ，
C D = 4 ，则 A C 长为 ．
【常规讲解】
（1）解：  B A D =  C ，  B =  B ，
BAD∽BCA，
BA BD
 = ．
BC BC
AB=6， B D = 4 ，
6 4
 = ，
BC 6
BC=9，
CD=BC−BD=9−4=5．（2）解：
19
 A C P =  B ，A=A，
  A P C ∽  A C B ， 
A
A
C
B
=
A
A
P
C
，
A P = 2 ， B P = 3 ， 
2
A C
+ 3
=
A
2
C
，  A C 2 = 1 0 ，
则AC= 10 （负值舍去），
故答案为： 1 0 ．
（3）解： S
 A D C
: S
 B D C
= 5 : 4 ，
 S
 B C D
: S
 A B C
= 4 : 9 ，
 A =  B C D ，  A B C =  C B D ，
  A B C ∽  C B D ，

S
S


B
A
C
B
D
C
= (
C
A
D
C
) 2 =
4
9
，

A
4
C
=
2
3
，
 A C = 6 ．
故答案为：6．
例题5:
（★★★★☆）（2023•松江区期中）如图，已知在矩形 A B C D 中，对角线 A C 、 B D 交于点 O ，
点E为边AD的中点，连接BE交 A C 于点F ，且 B E ⊥ A C ，连接DF．
求证：
（1）DE2 =EFEB；
（2）  A B O ∽  C F D ．
【常规讲解】证明：（1） 四边形ABCD是矩形，BE⊥ AC，
  A F E =  B A E = 9 0  ，
FEA=AEB，
FEA∽AEB，20

A
E
E
B
=
E
A
F
E
，
AE2 =EFEB，
点 E 为边 A D 的中点，
 A E = D E ，
 D E 2 = E F  E B ．
（2） D E 2 = E F  E B ，

D
E
E
F
=
E
D
B
E
，
 B E D =  D E F ，
  B E D ∽  D E F ，
  E B D =  E D F ，
1 1
OB=OD= BD，OC=OA= AC，且
2 2
B D = A C ，
 O B = O C = O A ，
  O B C =  O C B ，  O A B =  A B O ，
A D / / B C ， A B / / C D ，
  O A D =  O C B ，  O A B =  D C F ，
  O B C =  O A D ，
OBC+EBD=OAD+EDF，
  C B F =  C F D ，
 B F C =  A B C = 9 0  ，
  C B F =  O A B = 9 0  −  A C B ，
  C B F =  A B O ，
  A B O =  C F D ，
  A B O ∽  C F D ．练习5:【学习框16】
（★★★★☆）如图，在
21
 A B C 中， A B  A C ， A D 是  B A C 的平分线， A D 的垂直平分线交
B C 的延长线于F ，交AB、 A C 于E、 G ．
（1）求证：DF2 =BF ． C F ；
（2）如果 A C : A B = 4 : 5 ，求 C F : B F 的值．
【常规讲解】
证明：（1）连接 A F ，
A D 的垂直平分线交 B C 的延长线于F ，
 A F = D F ，
  1 +  2 =  4 ，
 B +  3 =  4 ，
 2 =  3 ，
  B =  1 ，
 A F B =  C F A ，
  A C F ∽  B A F ，

A
B
F
F
=
C
A
F
F
，
 A F 2 = F B F C ，
即FD2 =FB FC．
（2） ACF∽BAF，

A
A
B
C
=
A
C
F
F
，
A
A
B
C
=
B
A
F
F
，
AC2 CF 42 16
即 = = = ．
AB2 BF 52 25考点四：射影定理
知识笔记4
射影定理
条件：
22
A B ⊥ C D , A C ⊥ C B
结论：
①
②
③
【填空答案】
 AC AD CD
ACD∽ABC = =  AC2 = AD AB

AB AC BC

 BC BD CD
CBD∽ABC = = BC2 =BD BA
 AB BC AC
 AC CD AD
ACD∽CBD = = CD2 = AD BD
 BC BD CD
A
C
D B例题6:
（★★★★☆）（2023•崇明区期中）如图，在
23
R t A B C 中，  B A C = 9 0  ， C D 平分  B C A ，作
A E ⊥ C D 交 B C 于点E，垂足为F ．作BG⊥ AE，垂足为G．
（1）求证： A C 2 = C F  C D ．
（2）求证： A E  A G = 2 B G  C F ．
【常规讲解】证明：（1） BAC=90，AE⊥CD，
  B A C =  A F C = 9 0  ，
又 ACF =ACD，
ACF∽DCA，

C
A
F
C
=
A
C
C
D
，即 A C 2 = C F  C D ；
（2） C D 平分  B C A ，
ACF =ECF．
A E ⊥ C D ，
  A F C =  E F C = 9 0  ，
在  A F C 和  E F C 中，
 
C

A
F
A
C
=
F
F
C
C
=
F
=


E
E
C
F
F
C
，
  A F C   E F C ( A S A ) ，
 F A = F E =
1
2
A E ，
BAC=90，
  D A F +  C A F = 9 0  ．
又 AE⊥CD，
CAF+ACF =90，24
  D A F =  A C F ．
BG⊥ AG，
  G =  B A C = 9 0  ，
  A G B ∽  C F A ，

C
A
F
G
=
A
B
F
G
，即
1
2
A E  A G = C F  B G ，
AEAG=2BGCF．
【拓展练习1】→全真战场关卡二练习6（母子型模型下的几何动点大题（25题）
练习6:【学习框18】
（★★★★☆）如图，已知在ABC中，ACB=90，点 D 在边BC上，CE⊥ AB，CF ⊥ AD，
E 、 F 分别是垂足．
（1）求证： A C 2 = A F  A D ；
（2）连接 E F ，求证： A E  D B = A D  E F ．
【常规讲解】
解：（1）如图， ACB=90， C F ⊥ A D ，
  A C D =  A F C ，而  C A D =  F A C ，
  A C D ∽  A F C ，

A
A
C
F
=
A
A
D
C
，
 A C 2 = A F  A D ．
（2）如图， CE⊥ AB， C F ⊥ A D ，  A Q E =  C Q F
  A Q E ∽  C Q F ，

A
C
Q
Q
=
E
F
Q
Q

A
E
Q
Q
=
C
F
Q
Q
∠AQC=∠EQF
AQC∽EQF∠CAQ=∠FEQ
25
∠ C A D = ∠ A E C = 9 0 
 ∠ C A Q + ∠ C A D + = ∠ F E Q + ∠ A E C
 ∠ A D B = ∠ A E F
∠ E A F = ∠ B A D
  E A F ∽  D A B
AE EF
 =
AD DB
即AEDB= ADEF
Q知识加油站 3 一线三等角型【推荐时长 30分钟】
考点五：一线三等角模型
知识笔记5
1、一线三等角
条件：
26
∠ B = ∠ A C E = ∠ D
结论：① ________________
②当C是中点时，有________________.
2、一线三直角
【填空答案】
ABC∽  C D E ；
ABC∽CDE∽ACE
A
B C D
E
A
D
E
A
D
A B
C
G
B C D B E F C E例题7:
（★★★☆☆）（2018•普陀区期末）如图，等边
27
 A B C 中， D 是边 B C 上的一点，且 B D : D C = 1 : 3 ，
把ABC折叠，使点 A 落在边 B C 上的点 D 处，那么


B
C
M
D
D
N
的
的
面
面
积
积
的值为 ．
【常规讲解】解： B D : D C = 1 : 3 ，
设 B D = a ，则 C D = 3 a ，
 A B C 是等边三角形，
 A B = B C = A C = 4 a ，  A B C =  A C B =  B A C = 6 0  ，
由折叠的性质可知： M N 是线段 A D 的垂直平分线，
 A M = D M ， A N = D N ，
BM +MD+BD=5a， D N + N C + D C = 7 a ，
 M D N =  B A C =  A B C = 6 0  ，
NDC+MDB=BMD+MBD=120，
  N D C =  B M D ，
ABC=ACB=60，
  B M D ∽  C D N ，
 ( B M + M D + B D ) : ( D N + N C + C D ) = A M : A N ，
即AM:AN =5:7，
 M D : N D = 5 : 7



B
C
M
D
D
N
的
的
面
面
积
积
= (
M
N
D
D
) 2 =
 5
7

=
2
4
5
9
，
故答案为：
2
4
5
9
．
B
M
D
A
N
C练习7:【学习框20】
（★★★☆☆）（2023•崇明区期中）如图，
28
M 是正方形 A B C D 的 B C 边上中点，点 E 、 F 分别
在AB、 C D 边上，且EM ⊥FM ．①  B E M ∽  C M F ，②EM 是BE、EF的比例中项，③
F M 平分  E F C ，④ B C 2 = B E  C F ．上述四个判断中正确的有( )个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【常规讲解】
解： 四边形 A B C D 为正方形，
  E B M =  M C F = 9 0  ，
  B E M +  B M E = 9 0  ，
E M ⊥ F M ，
  C M F +  B M E = 9 0  ，
  B E M =  C M F ，
  B E M ∽  C M F ，故①选项正确；
M 是BC边上中点，
 B M = M C ，
BEM∽CMF，

E
C
B
M
=
E
M
M
F
，

E
E
B
M
=
B
M
M
F
，
又  E B M =  E M F = 9 0  ，
EBM∽EMF ，

EB EM
= ，
EM EF
EM2 =EBEF，即EM 是BE、EF的比例中项，故②正确；
BEM∽CMF，29
  B M E =  C F M ，
 E B M ∽  E M F ，
  B M E =  M F E ，
  C F M =  M F E ，即 F M 平分  E F C ，故③正确；
 B E M ∽  C M F ，
EB BM
 = ，
CM CF
CM2 =EBCF，即
1
4
B C 2 = E B  C F ，故④错误；
故选： C ．
例题8:
（★★★★☆）（2022•徐汇区校级月考）如图， R t A B C 中，  B A C = 9 0  ，AB= AC=2，点
D 在 B C 上运动（不能经过 B 、 C ) ，过D作  A D E = 4 5  ， D E 交 A C 于 E ．
（1）设 B D = x ， A E = y ，求 y 与 x 的函数关系，并写出其定义域；
（2）若三角形 A D E 恰为等腰三角形，求 A E 的长．
【常规讲解】解：（1） BAC=90， A B = A C = 2 ，
 B C = A B 2 + A C 2 = 2 2 + 2 2 = 2 2 ，  C =  B = 4 5  ，
  A D E = 4 5  ，
BAD=180−B−ADB=135−ADB，
 C D E = 1 8 0  −  A D E −  A D B = 1 3 5  −  A D B ，
  C D E =  B A D ，
  C D E ∽  B A D ，

C
B
E
D
=
D
A
C
B
，
2− y 2 2−x
 = ，
x 2
B D
A
E
C整理得
30
y =
1
2
x 2 − 2 x + 2 ( 0  x  2 2 ) ．
（2）当 D E = A D 时，如图1，
C
B
E
D
=
D
A
C
B
=
D
A
E
D
= 1 ，
 D C = A B = 2 ，
CE=BD=2 2−2，
 A E = 2 − ( 2 2 − 2 ) = 4 − 2 2 ；
当DE=AE时，如图2，
 D A E =  A D E = 4 5  =  C ，
 A D = C D ，  A E D = 9 0  ，
 D E ⊥ A C ，
1
AE=CE= AC=1；
2
若AD=AE，则  A E D =  A D E = 4 5  ，
DAE=90=BAE，
AD与AB重合，点D与点 B 重合，不符合题意，
综上所述，AE的长为 4 − 2 2 或1．
B D
图
A
1
E
C
A
E
B D C
图2练习8:【学习框22】
（★★★★☆）（2020•松江区月考）如图，ABC 中，
31
A B = A C ，点E是线段 B C 上一点，
DEF =B，ED交AB边于点D，EF交 A C 边于F ，联结DF．
（1）求证：
B
D
D
E
=
C
E
E
F
；
（2）现有三个条件：① D E 平分  B D F ，② E F 平分  D F C ，③点 E 是 B C 中点，请从中选
择一个作为条件，另外两个作为结论并给出证明．
（1）证明：
（2）选择 作为条件，求证 和 ；
证明：
【常规讲解】解：（1）证明： A B = A C ，
  B =  C ，
 B D E +  B E D = 1 8 0  −  B ，  B E D +  C E F = 1 8 0  −  D E F ，  D E F =  B ，
  B D E +  B E D =  B E D +  C E F ，
  B D E =  C E F ，
  B D E ∽  C E F ，

B
C
D
E
=
D
E
E
F
，

B
D
D
E
=
C
E
E
F
；
（2）选择③作为条件，求证①和②，
证明： 点E是 B C 中点，
 B E = C E ，
由（1）知，  B D E ∽  C E F ，
BD DE BE
 = = ，
CE EF CF32

B
D
D
E
=
B
E
E
F
，
C
E
F
F
=
C
D
E
E
，
 B =  C =  D E F ，
  B D E ∽  E D F ，  C E F ∽  E D F ，
  B D E =  E D F ，CFE=EFD，
 D E 平分  B D F ， E F 平分  D F C ．
故答案为：③；①；②．
例题9:
（★★★★★）（2022•浦东新区进德中学期中）在 R t A B C 中，  A = 9 0  ，AB=4， A C = 3 ，
D 为 A B 边上一动点（点 D 与点 A 、 B 不重合），联结CD，过点 D 作DE⊥DC交边 B C 于
点E．
（1）如图，当 E D = E B 时，求 A D 的长；
（2）设 A D = x ，BE= y，求 y 关于 x 的函数解析式并写出函数定义域；
（3*）把  B C D 沿直线 C D 翻折得  C D B  ，联结 A B  ，当  C A B  是等腰三角形时，直接写出
A D 的长．
【常规讲解】解：（1） ED=EB，
  E D B =  B ，
CD⊥DE，
  C D E =  A = 9 0  ，
 A C D +  A D C = 9 0  ，  A D C +  E D H = 9 0  ，
ACD=EDB=B，
 ta n  A C D = ta n  B ，
AD AC
 = ，
AC AB
AD 3
 = ，
3 433
 A D =
9
4
．
（2）如图1中，作 E H ⊥ B D 于 H ．
在 R t A C B 中，  A = 9 0  ， A C = 3 ， A B = 4 ，
 B C = A C 2 + B C 2 = 3 2 + 4 2 = 5 ，
BE= y，
3
EH = y，
5
B H =
4
5
y ， D H = A B − A D − B H = 4 − x −
4
5
y ，
 A =  D H E = 9 0  ，  A C D =  E D H ，
  A C D ∽  H D E ，

A
D
C
H
=
A
E
D
H
，

4 − x
3
−
4
5
y
=
3
5
x
y
，
 y =
2 0
9
x
+
−
4
5 x
x
2
( 0  x  4 ) ．
【拓展讲解】
【教学建议】（1）和（2）重点的围绕一线三等角模型，老师可以重点讲解。（3）难度较大
与模型联系较小，可以作为优等生的拓展思考联系。
（3）①如图3−1中，设CB交 A B 于 K ，作 A E ⊥ C K 于 E ，
D M ⊥ C B  于 M ， D N ⊥ B C 于 N
A C = A B  = 3 ， A E ⊥ C B  ，
1 5
CE=EB= CB= ，
2 2
5 11
AE= AC2 −CE2 = 32 −( )2 = ，
2 2
由ACE∽KCA，
3 11 18
可得AK = ，CK = ，
5 53 11
BK = AB−AK =4− ，
5
34
 D C K =  D C B ， D M ⊥ C M ， D N ⊥ C B ，
 D M = D N ，

1 18
CKDM
S DK 2 CK 5 18
CDK = = = = = ，
S DB 1 CB 5 25
CDB BCDN
2
 B D =
2
4
5
3
B K =
1 0
4
0
3
−
1
4
5
3
1 1 ，
 A D = A B − B D = 4 − (
1 0
4
0
3
−
1 5
4
1
3
1
) =
7
4
2
3
+
1 5
4
1
3
1
．
②如图 3 − 2 中，当 C B 
25 100 15 11
交BA的延长线于K时，同法可得BD= BK = + ，
43 43 43
 A D = A B − B D =
7
4
2
3
−
1 5
4
1
3
1
．
【拓展练习1】→全真战场关卡二练习7（一线三等角模型下的几何动点大题（25题））
【教学建议】任务挑战没有涉及动点的练习，学生例题接受较好的同学可以试着完成关卡二
练习7的（1）和（2）全真战场
教师可以根据课堂节奏将“全真战场”作为课堂补．充．练习或课后补．充．练习让学生的完成
关卡一
练习1:
（★★☆☆☆）如图，
35
 O A B ∽  O C D ， O A : O C = 3 : 2 ，  O A B 与  O C D 的面积分别是 S
1
与 S
2
，
周长分别是 C
1
与 C
2
，则下列说法正确的是 ( )
A．
C
C
1
2
=
3
2
B．
S
S
1
2
=
3
2
C．
O
C
B
D
=
3
2
D．
O
O
A
D
=
3
2
【常规讲解】解： OAB∽OCD， O A : O C = 3 : 2 ，

C 3
1 = ，
C 2
2
A 正确；

S 9
1 = ，
S 4
2
B 错误；

OB 3
= ，
OD 2
C 错误；
OA:OC=3:2，D错误；
故选： A ．
练习2:
（★★☆☆☆）如图，在  A B C 中， D E / / B C ，  A B C 的高 A M 交DE 于点 N ， B C = 1 5 ，
A M = 1 0 ， D E = M N ，求 M N 的长．
【常规讲解】解：设MN =DE=x，则AN =10−x，36
D E / / B C ， 
A
A
N
M
=
A
A
D
B
=
D
B
E
C
，
即
1 0
1
−
0
x
=
1
x
5
，
解得： x = 6 ，
即 M N 的长为6．
练习3:
（★★★☆☆）如图，ABC中C=90，如果CD⊥ AB于D，那么（ ）
A． C D =
1
2
A B B． B D =
1
2
A D C． C D 2 = A D B D D．AD2 = AB BD
【常规讲解】解：  A B C 中  C = 9 0  ， C D ⊥ A B 于 D ，
  C D B =  A D C ，  B =  A C D ，
  C D B ∽  A C D ，
A
C
D
D
=
C
B
D
D
，
即CD2 = AD BD，故选： C ．
练习4:
（★★★☆☆）如图，矩形 A B C D 中，AB=3， A D = 5 ，点 E 在 A D 上，且 A E : E D = 1 : 4 ，
联结 B E ，射线EF ⊥BE交边 D C 于点 F ．求 C F 的长．
【常规讲解】解： A E : E D = 1 : 4 ， A D = 5 ，
AE=1，ED=4，
矩形ABCD，   A =  D = 9 0  ，
AEB+ABE=90
EF ⊥BE，
AEB+DEF =90，ABE=DEF，
37
  A B E ∽  D E F ，

AB ED
= ，
AE DF

3 4
= ，
1 DF
 D F =
4
3
．
 C F = 3 −
4
3
=
5
3
．
关卡二
练习5:
（★★★★☆）（2021•黄浦区一模）某班级的“数学学习小组心得分享课”上，小智跟同学们
分享了关于梯形的两个正确的研究结论：
①如图 1，在梯形 A B C D 中， A D / / B C ，过对角线交点的直线与两底分别交于点 M 、 N ，
则
A
D
M
M
=
C
B
N
N
；
②如图2，在梯形 A B C D 中， A D / / B C ，过两腰延长线交点 P 的直线与两底分别交于点 K 、
L ，则
A
D
K
K
=
B
C
L
L
．
接着小明也跟同学们分享了关于梯形的一个推断：
过梯形对角线交点且平行于底边的直线被梯形两腰所截，截得的线段被梯形对角线的交点
平分．
（1）经讨论，大家都认为小明所给出的推断是正确的．请你结合下图示写出已知、求证，
并给出你的证明；（2）小组还出了一个作图题考同学们：只用直尺将图3中两条平行的线段
38
A B 、 C D 同时平
分．请保留作图过程痕迹，并说明你作图方法的正确性（可以直接运用小智和小明得到的正
确结论）．
【常规讲解】解：（1）已知：如图，四边形 A B C D 是梯形，AD//BC， A C 与 B D 交于点 O ，
E F 经过点 O ，且 E F / / B C ，
求证： O E = O F ．
证明： E F / / B C ，
  A E O ∽  A B C ，  D O F ∽  D B C ，

O
B
E
C
=
A
A
O
C
，
O
B
F
C
=
D
D
O
B
，
AD//BC，

A
A
O
C
=
D
D
O
B
，

E
B
O
C
=
O
B
F
C
，
EO=OF．
（2）如图3中，点 M ， N 即为所求作．练习6:
（★★★★★）（2021•长宁区一模）已知，在矩形ABCD中，点
39
M 是边 A B 上的一个点（与点
A 、 B 不重合），联结 C M ，作  C M F = 9 0  ，且 M F 分别交边 A D 于点 E 、交边 C D 的延长
线于点 F ．点 G 为线段 M F 的中点，联结 D G ．
（1）如图1，如果 A D = A M = 4 ，当点 E 与点 G 重合时，求  M F C 的面积；
（2）如图2，如果 A M = 2 ， B M = 4 ．当点 G 在矩形 A B C D 内部时，设 A D = x ， D G 2 = y ，
求 y 关于x的函数解析式，并写出定义域；
（3*）如果 A M = 6 ， C D = 8 ，  F =  E D G ，求线段 A D 的长．（直接写出计算结果）
【教学建议】（1）和（2）重点的围绕射影定理模型，老师可以重点讲解。（3）难度较大与
模型联系较小，可以作为优等生的拓展思考联系。
【常规讲解】解：（1） 点 G 为线段 M F 的中点，
 G F = M G ，
又 A=FDG=90，AGM =FGD，
  A G M   D G F ( A A S ) ，
 A M = D F = 4
1
，AG=GD= AD=2，
2
 G F = D E 2 + D F 2 = 4 + 1 6 = 2 5 ，
 F M = 2 G F = 4 5 ，
ED MC
tanF = = ，
DF FM

2
4
=
M
4
C
5
，
 M C = 2 5 ，
1 1
S = FMMC= 4 52 5=20；
MFC 2 2
（2）过点M 作MH ⊥CD于H，过点G作GP⊥CD于P，40
 G P / / M H ， M H = A D = x ，

G
H
P
M
=
F
F
G
M
=
F
F
P
H
=
1
2
，
 G P =
1
2
M H =
1
2
x ， F P =
1
2
F H =
1
2
F H ，
 C M F = 9 0  =  F H M =  C H M ，
  F +  F C M = 9 0  =  F +  F M H =  F C M +  C M H ，
  F =  C M H ，  F C M =  C M H ，
  F H M ∽  M H C ，

F
M
H
H
=
M
H
H
C
，
 M H 2 = F H  H C ，
x2
FH = ，
4
 P H =
x
8
2
，
 D P = 2 −
x
8
2
， G P =
1
2
x ，
D G 2 = D P 2 + G P 2 ，
 y =
x
6
4
4
−
x
4
2
+ 4 ( 2 2  x  4 ) ；
（3）如图3，当点G在矩形的内部时，延长 D G 交 A B 于 J ，连接AG， A F ，
FMC=90，
AME+CMB=90=CMB+BCM ，41
  A M E =  M C B ，
 E D G =  E F D =  A M E =  M C B ， A D = B C ，DAJ =B=90，
  A D J   B C M ( A S A ) ，
 A J = B M = 2 ，
 J M = 4 ，
A B / / C D ，

M
D
J
F
=
G
D
J
G
=
M
F
G
G
= 1 ，
 M J = F D = 4 ， G J = D G ，
 A G = D G = G J ，
GAD=GDA=GFD，
又  A E G =  F E D ，
AGE=FDE=90，
又 FG=GM ，
AF = AM =6，
 A D = A F 2 − F D 2 = 3 6 − 1 6 = 2 5 ，
当点G在矩形的外部时，延长DG交 B A 的延长线于L，连接 D M ，
同理可求 A D = 2 7 ，
综上所述： A D = 2 5 或2 7．练习7:
（★★★★★）（2021•浦东新区一模）四边形
42
A B C D 是菱形，B 90，点 E 为边BC上一点，
联结 A E ，过点 E 作 E F ⊥ A E ， E F 与边CD交于点F ，且EC=3CF．
（1）如图1，当  B = 9 0  时，求 S
 A B E
与 S
 E C F
的比值；
（2）如图2，当点 E 是边BC的中点时，求 c o s B 的值；
（3*）如图3，联结AF ，当  A F E =  B 且CF =2时，求菱形的边长．
【教学建议】（1）和（2）重点的围绕一线三等角模型，老师可以重点讲解。（3）难度较大
与模型联系较小，可以作为优等生的拓展思考联系。
【常规讲解】解：（1） 四边形 A B C D 是菱形，  B = 9 0  ，
 四边形ABCD是正方形，   B =  C = 9 0  ，
E F ⊥ A E ，
  A E B +  C E F =  A E B +  B A E = 9 0  ，
  B A E =  C E F ，   A B E ∽  C E F ，

BE AB
= ，
CF EC
E C = 3 C F ，设 C F = x ， A B = a ，则 E C = 3 x ， B E = a − 3 x ，
a−3x a
 = ，
x 3x
解得， a = 4 .5 x ，

S
S


A
E
B
C
E
F
= (
A
E
B
C
) 2 = (
4 .5
3 x
x
) 2 =
9
4
；
（2）过点 A 作AM ⊥BC于点 M ，
过点F 用FN ⊥BC于点H，如图2，
则AME=CNF =90，
四边形ABCD是菱形，
AB=BC，AB//CD，43
  B =  F C N ，
设CF =x，则CE=3x，
E是 B C 的中点，
 B E = C E = 3 x ， A B = B C = 2 C E = 6 x ，
 B M = A B  c o s B = 6 x c o s B ， AM = ABsinB=6xsinB ， C N = C F  c o s  F C N = x c o s B ，
F N = C F  s in  F C N = x s in B ，
 M E = B E − B M = 3 x − 6 x c o s B ，EN =EC+CN =3x+xcosB，
 A E F = 9 0  ，
  A E M +  N E F =  A E M +  M A E = 9 0  ，
  M A E =  N E F ，
  A M E ∽  E N F ，

AM ME
= ，
EN NF
6xsinB 3x−6xcosB
即 = ，即
3x+xcosB xsinB 3
2
+
s in
c o
B
s B
=
1 − 2 c
s in
o
B
s B
，
整理得，2sin2B=3−5cosB−2cos2B，
 2 = 3 − 5 c o s B ，
1
cosB= ；
5
（3）过点 A 作 A M ⊥ B C 于点 M ，过点 F 用 F N ⊥ B C 于点 N ，如图3，
则AME=CNF =90，
四边形ABCD是菱形，
AB=BC，AB//CD，
  B =  F C N ，
 A E F = 9 0  ，
AEM +NEF =AEM +MAE=90，
  M A E =  N E F ，
AME∽ENF ，
AM ME AE
 = = ，
EN NF EF
AFE=B，
AM AE
tanB= ，tanAFE= ，
BM EF44

A
B
M
M
=
A
E
E
F
，

A
B
M
M
=
A
E
M
N
，
 B M = E N ，
设菱形 A B C D 的边长为 a ，则 A B = B C = a ，
 B M = a c o s B ， C N = C F  c o s  F C N = C F  c o s B ，
 a c o s B = E C + C F  c o s B ，
C F = 2 ， E C = 3 C F ，
 E C = 6 ，
 a c o s B = 6 + 2 c o s B ，
 c o s B =
a
6
− 2
，
AM ME
= ，
EN NF
A M = A B  s in B = a s in B ， E N = 6 + 2 c o s B ， M E = a − a c o s B − 6 ，
N F = C F  s in  F C N = 2 s in B ，

6
a
+
s
2
in
c
B
o s B
=
a − a
2
c
s
o s
in
B
B
− 6
，
化简得， 2 a ( s in 2 B + c o s 2 B ) = 6 a − 4 a c o s B − 1 2 c o s B − 3 6 ，
2 a = 6 a − 4 a c o s B − 1 2 c o s B − 3 6 ，
a − a c o s B − 3 c o s B − 9 = 0 ，
c o s B =
a
6
− 2
，
 a −
a
6 a
− 2
−
a
1 8
− 2
− 9 = 0 ，
解得， a = 1 7 ，或 a = 0 （舍 ) ，
菱形的边长为17．