FY25暑假初三B11相似三角形的模型（一）教师版_初中资料合集_2025年秋初中《789年级暑假数学讲义》含6升7衔接（学生+教师版）上海专版_初三_志高_教师版PDF

11B 相似三角形的模型（一） 考情链接 1. 本次任务由三个部分构成 （1）A字型与8字型 （2）母子型 （3）一线三等角型 2. 考情分析 （1）相似三角形的模型，属于图形与几何部分，占中考考分值约30%. （2）主要考察相似三角形的模型，以填空题、证明题为主. （3）对应教材：初三上册，第二十四章：相似三角形，第三节：相似三角形 （4）相似三角形是初中几何中的核心模块，也是考查学生分析和解决问题等综合能力的重 要载体。本节主要讲的是相似三角形的模型，在解决问题时，我们要能从复杂的图形中分离 和构造基本图形，从而将几何问题"模块"化，以提高解题效率。 环节 需要时间 作业讲解及复习 15分钟 切片1：A 字型与8字型 25分钟 切片2：母子型 30分钟 切片3：一线三等角型 30分钟 出门测 10分钟 错题整理 10分钟 1知识加油站 1——A字型与8字型【建议时长：25分钟】 考点一：正 A字型与斜A字型 知识笔记1 正A字型 条件：若 2 ∠ A D E = ∠ B 斜A字型 条件：若 结论：① ___________________ ② ___________________ ∠ A E D = ∠ B 结论：① ___________________ ② ___________________ ③ ___________________ 【填空答案】 正A字型 ①  A D E ∽  A B C ② A A D B = A A E C = D B E C 斜A字型 ①  A D E ∽  A C B ② A A D C = A A E B = D B E C ③ A D A B = A E A C B D C A E B D C A E例题1: （1）（★★☆☆☆）（2023•闵行区期中）如图，点 3 D 、 E 、 F 分别在ABC 的边AB、AC、 B C 上，且 D E / / B C ， E F / / A B ，下列四个式子中，不一定正确的是( ) A． A A D B = A A E C BD BF B． = C． AD FC A E E C = B F F C D． A A D B = B B F C （2）（★★☆☆☆）（2023•青浦区）如图，在  A B C 中，点 D 、 E 分别在边 A B 、 A C 上，  A D E =  C ，则下列判断错误的是 ( ) A．  A E D =  B B． D E  A C = B C  A E C． A D  A B = A E  A C S DE D． AED =( )2 S BC ABC 【常规讲解】 （1）解： D E / / B C ，   A D E ∽  A B C ，  A A D B = A A E C ，故 A 选项正确，不符合题意； DE//BC，  AD AE = ， BD CE E F / / A B ， BF AE  = ，故C选项正确，不符合题意； CF CE B B D D A F A E E C C4  A B D D = B C F F ，故 B 选项不一定正确，符合题意；故D选项正确，不符合题意． 故选：B． （2）解：  A D E =  C ，  D A E =  C A B ，   A E D ∽  A B C ，   A E D =  B DE AD AE ， = = ， BC AC AB S S   A A E B D C = ( D B E C ) 2 ，  D E  A C = B C  A D ， A D  A B = A E  A C ， 故A、C、D正确，不符合题意；B错误，符合题意； 故选：B． 练习1:【学习框8】 （1）（★★☆☆☆）如图，在  A B C 中，点 D 、 E 分别在  A B C 的边 A B 、 A C 上，如果添加 下列其中之一的条件，不一定能使  A D E 与  A B C 相似，那么这个条件是 ( ) A．  A E D =  B B．  A D E =  C C． A A D C = A A E B D． A A D B = D B E C （2）（★★☆☆☆）（2024•闵行区）如图，在  A B C 中，点D在边 A C 上，点 E 在边 B C 上， D E / / A B ， A D : A C = 2 : 3 ，那么 S S 梯  形 D E C A B E D 的值为 ． 【常规讲解】 A D B E C A D B E C（1）解：由题意得，A=A， 5 A 、当  A D E =  B 时，  A D E ∽  A B C ；故本选项不符合题意； B、当  A D E =  C 时，  A D E ∽  A C B ；故本选项不符合题意； C 、当 A A D C = A A E B 时，  A D E ∽  A B C ；故本选项不符合题意； D 、当 A A D B = D B E C 时，不能推断  A D E 与  A B C 相似；故选项符合题意； 故选： D ． （2）解： D E / / B C ， DEC∽ABC， A D : A C = 2 : 3 ， CD:AC=1:3，  S S   C C D A E B = 1 9 ，  S S 梯  形 D E C A B E D = 1 8 ， 故答案为： 1 8 ．考点二：正 8字型与斜8字型 知识笔记2 正8字型 条件：若 6 ∠ A = ∠ D 斜8字型 结论：① ___________________ 条件：若 ② ___________________ ∠ A = ∠ D 结论：① ___________________ ② ___________________ ③ ___________________ 【填空答案】 正8字型 ①  D E C ∽  A B C ② A D B E = A C C D = B C C E 斜8字型 ① BDP∽CAP ② A P P B = C P P D ③BDP∽CAP   A P D ∽  C P B E D C A B D A P C B例题2: （1）（★★☆☆☆）如图，把两个含30角的两个直角三角板按如图所示拼接在一起，点N是 7 A B 边的中点，连接 D N 交 B C 于点 M ，则 C C M B 的值为 ( ) A． 9 2 5 B． 2 5 C． 1 2 1 5 D． 1 2 2 5 （2）（★★★☆☆）（2023•奉贤区期末）如图，将  A B C 绕点 B 顺时针旋转，使得点 A 落在边 A C 上，点 A 、 C 的对应点分别为D、E，边 D E 交BC于点 F ，联结CE ．下列两个三角 形不一定相似的是 ( ) A．  B A D 与  B C E B．  B D F 与  E C F C．  D C F 与  B E F D．  D B F 与  D E B 【常规讲解】 （1）解：连接 C N D C M A N B A B C ，如图， 设AC=2a， ABC=30，ACB=90， AB=4a，BC=2 3a， A C N M D B点 8 N 是 A B 边的中点，  C N = A N = B N = 1 2 A B = 2 a ．  D B C = 3 0  ，  C D B = 9 0  ，  C D = 1 2 B C = 3 a ，  B D = B C 2 − C D 2 = 3 a ． N C = N B ，   N C B =  A B C = 3 0  ， BCD=60，   N C D =  N C B +  B C D = 9 0  ， NCD+BDC=90+90=180，  N C / / B D ， MCN∽MBD，  C M M B = C B N D = 2 3 a a = 2 3 ，  C C M B = 2 5 ， 故选：B． （2）解：如图， 根据旋转的性质得，ABCDBE，  A B = D B ，  A B C =  D B E ，BC=BE，  A =  B D D A D B F C E ，ACB=DEB， AB DB ABD=CBE， = ， BC BE9   B A D ∽  B C E ， 故A不符合题意；  A B D =  C B E ， A B = A D ， B C = B E ，   A =  B D A =  B C E =  B E C ，   B D F =  E C F ， 又 BFD=EFC，   B D F ∽  E C F ， 故B不符合题意；  D C F =  B E F ，  D F C =  B F E ， DCF∽BEF， 故C不符合题意； 根据题意，无法求解DBF 与  D E B 相似， 故 D 符合题意； 故选： D ．练习2:【学习框10】 （1）（★★☆☆☆）（2023•静安区校级一模）如图，在ABC中，中线 10 A D 与中线 B E 相交于 点G，连接 D E ．下列结论成立的是 ( ) A． D G = 1 3 A G B． B E G G = D A E B S 1 S 1 C． DEG = D． CDE = S 4 S 2 AGB AGB （2）（★★★☆☆）（2019•普陀区期中）如图，四边形ABCD的对角线 A C 与 B D 相交于点O， O A = 2 ， O B = O D = 3 ， O C = 4 .5 ，那么下列结论中，正确的是 ( ) A．  O A D =  O B C B． A C B D = 1 2 C． S S   A C O O B D = 1 2 D． S S   A B O O D C = 1 9 【常规讲解】 （1）解： A D ， B E 是ABC的中线， DE是ABC的中位线，  D E / / A B ， D E = 1 2 A B A E G C D B ， DEG∽ABG， S DE 1 DG:AG=DE:AB=1:2，BG:EG= AB:DE， DEG =( )2 = ， S AB 4 AGB 1 DG= AG， 2 B A O D C11 B G : E G = A B : D E = 2 : 1 ， GB:BE=2:3，  S  A G B : S  A E B = 2 : 3 ， AE=EC，  S  A E B = 1 2 S  A B C ，  S  A G B = 1 3 S  A B C ， CDE∽CBA，  S S   C A D B E C = ( D A E B ) 2 = 1 4 ，  S  C D E = 1 4 S  A B C ， S 3  CDE = ， S 4 ABG 结论成立的是 S S   D A E G G B = 1 4 ， 故选： C ． （2）解： O A = 2 ， O B = O D = 3 ， O C = 4 .5 ，  O O A B = O O D C ， AOD=BOC，   O A D ∽  O B C ，   O A D =  O B C ， S S   A B O O D C = 4 9 ， 同理可得  A O B ∽  D O C ， A C B D = A O O D = 2 3 ， S S   A C O O B D = 4 9 ， 故B，C， D 选项不正确， 故选：A．例题3: （1）（★★★★☆）在梯形 12 A B C D 中， A B / / C D ，AB=a， C D = b ，两腰延长线交于点 M ， 过M作 D C 的平行线，交 B C 、AD延长线于E、F ，EF等于 ( ) A． a a b − b B． 2 a a − b b C． a a + b 2ab D． a+b （2）（★★★★☆）已知，如图，四边形ABCD，两组对边延长后交 E 、 F ，对角线BD//EF ， A C 的延长线交 E F 于 G ，求证： E G = G F ． 【常规讲解】 （1）解： AB//CD，   M D C ∽  M B A ， MC:MA=CD:AB=b:a，BM:BD=a:(a−b)． 在BEM中， D C / / F M ，BD:BM =CD:EM ， BMCD ab EM = = ， BD a−b 同理，EM =FM ，所以 E F = 2 a a − b b ， 故选：B． （2）证明：过 C 作EF的平行线分别交AE、AF 于M、N， E A C M D B F A B D C E G F13 B D / / E F ，  M N / / B D ，  B D / / E F / / M N ，  B B M E = D D N F ， M E C F = B B M E ， C E N F = D D N F ，  M C = N C ， M E C G = A A C G = N G C F ， EG=GF． 【拓展练习1】→全真战场关卡二练习5（A字，8字混合模型下的23几何证明题） 练习3:【学习框12】 （★★★★☆）已知：如图1，  A B C 中， A D 是中线，点 P 在 A D 上， B P 、 C P 的延长线分 别交AC、 A B 于 E 、 F ．求证：EF //BC． 【常规讲解】 证明：如图2， E F 交 A D 于 G ，过 P 作MN //BC 分别交 A B 、 A C 于 M 、 N ， 在ABD中， E M B A G C D N F14 P M / / B D ，  P B M D = A A P D ， 同理 P D N C = A A P D ， B D = C D ，  P M = P N ． 在  F B C 中， P M / / B C ，  P B M C = P C F F ， 同理 P E E B = P B N C  P F F C = P B E E  P P E B = P P F C ，  E P F  B P C ，   E P F ∽  C P B ，   F E P =  P B C ，  E F / / B C ．知识加油站 2 母子型【推荐时长 30分钟】 考点三：母子型 知识笔记3 一般母子型 条件： 15 ∠ A B D = ∠ C 结论：① ② 【填空答案】  A B D ∽  A C B ； A B 2 = A D  A C 例题4: （1）（★★☆☆☆）（2023•普陀区期中）如图，在  A B C 中，点 D 为边 A B 上一点，  A C D =  B , A D = 3 , A B = 5 , C D = 2 3 ，则 B C = ． （2）（★★★☆☆）如图，在ABC 中，点D是 B C 上一点，若BAC=BDA=135，且 A D = 2 2 ， D C = 8 ，则线段BD的长度为 ． B A D C A B D C（3）（★★★☆☆）（2019•松江区期中）如图，已知，在 16  A B C 中，  C = 9 0  ，点 D 是 A C 上 一点，  D B C =  A ， B A D B = 2 3 ，那么 A D D C 的值为 ． 【常规讲解】 （1）证明： ACD=B，A=A，   A C D ∽  A B C ，  A A D C = A A C B = C B D C ， AD=3，AB=5，CD=2 3，  A C = A D  A B = 3  5 = 1 5 ，  1 5 5 = 2 B C 3 ，  B C = 2 5 ， 故答案为： 2 5 ． （2）解：  B A C =  B D A ，ABC=DBA，   A B C ∽  D B A ，  B A C B = A B B D ，  B D = A B B C 2 ①， 如图，过点A作 A E ⊥ B C 于点E，则AED=90， A D C B A B D E C17  B D A = 1 3 5  ，   A D E = 4 5  ， ADE为等腰直角三角形， A D = 2 2 ，  A E = D E = 2 ， 设BD=x，则 B E = x + 2 ， D C = 8 ， BC=x+8， 在RtABE中，由勾股定理得： A B 2 = A E 2 + B E 2 = 4 + ( x + 2 ) 2 ②， 由①②及 B D = x 可得： x = 4 + ( x x + + 8 2 ) 2 ，  x 2 + 8 x = 4 + 4 + 4 x + x 2 ， 解得 x = 2 ， 经检验， x = 2 是原方程的解，  B D = 2 ． 故答案为2． （3）解： 在  D B C 和  B A C 中  C =  C ， D B C =  A   D B C ∽  B A C BD DC BC  = = AB BC AC B A D B = 2 3 DC BC 2  = = BC AC 3 设DC=2x， B C = 3 x ， BC2 9x2 9 则AC= = = x DC 2x 2 9 5 AD= AC−DC= x−2x= x 2 218  A D D C = 5 22 x x = 5 4 故答案为： 5 4 ． 练习4:【学习框14】 （1）（★★☆☆☆）如图，  A B C 中，D为 B C 上一点，  B A D =  C ， A B = 6 ，BD=4，求 C D 的长． （2）（★★☆☆☆）（2020•松江区期中）如图，点 P 在线段 A B 上，  A C P =  B ， A P = 2 ， B P = 3 ，则 A C = ． （3）（★★★☆☆）如图，在  A B C 中，点 D 是AB上一点，且  A =  B C D ， S  A D C : S  B D C = 5 : 4 ， C D = 4 ，则 A C 长为 ． 【常规讲解】 （1）解：  B A D =  C ，  B =  B ， BAD∽BCA， BA BD  = ． BC BC AB=6， B D = 4 ， 6 4  = ， BC 6 BC=9， CD=BC−BD=9−4=5．（2）解： 19  A C P =  B ，A=A，   A P C ∽  A C B ，  A A C B = A A P C ， A P = 2 ， B P = 3 ，  2 A C + 3 = A 2 C ，  A C 2 = 1 0 ， 则AC= 10 （负值舍去）， 故答案为： 1 0 ． （3）解： S  A D C : S  B D C = 5 : 4 ，  S  B C D : S  A B C = 4 : 9 ，  A =  B C D ，  A B C =  C B D ，   A B C ∽  C B D ，  S S   B A C B D C = ( C A D C ) 2 = 4 9 ，  A 4 C = 2 3 ，  A C = 6 ． 故答案为：6． 例题5: （★★★★☆）（2023•松江区期中）如图，已知在矩形 A B C D 中，对角线 A C 、 B D 交于点 O ， 点E为边AD的中点，连接BE交 A C 于点F ，且 B E ⊥ A C ，连接DF． 求证： （1）DE2 =EFEB； （2）  A B O ∽  C F D ． 【常规讲解】证明：（1） 四边形ABCD是矩形，BE⊥ AC，   A F E =  B A E = 9 0  ， FEA=AEB， FEA∽AEB，20  A E E B = E A F E ， AE2 =EFEB， 点 E 为边 A D 的中点，  A E = D E ，  D E 2 = E F  E B ． （2） D E 2 = E F  E B ，  D E E F = E D B E ，  B E D =  D E F ，   B E D ∽  D E F ，   E B D =  E D F ， 1 1 OB=OD= BD，OC=OA= AC，且 2 2 B D = A C ，  O B = O C = O A ，   O B C =  O C B ，  O A B =  A B O ， A D / / B C ， A B / / C D ，   O A D =  O C B ，  O A B =  D C F ，   O B C =  O A D ， OBC+EBD=OAD+EDF，   C B F =  C F D ，  B F C =  A B C = 9 0  ，   C B F =  O A B = 9 0  −  A C B ，   C B F =  A B O ，   A B O =  C F D ，   A B O ∽  C F D ．练习5:【学习框16】 （★★★★☆）如图，在 21  A B C 中， A B  A C ， A D 是  B A C 的平分线， A D 的垂直平分线交 B C 的延长线于F ，交AB、 A C 于E、 G ． （1）求证：DF2 =BF ． C F ； （2）如果 A C : A B = 4 : 5 ，求 C F : B F 的值． 【常规讲解】 证明：（1）连接 A F ， A D 的垂直平分线交 B C 的延长线于F ，  A F = D F ，   1 +  2 =  4 ，  B +  3 =  4 ，  2 =  3 ，   B =  1 ，  A F B =  C F A ，   A C F ∽  B A F ，  A B F F = C A F F ，  A F 2 = F B F C ， 即FD2 =FB FC． （2） ACF∽BAF，  A A B C = A C F F ， A A B C = B A F F ， AC2 CF 42 16 即 = = = ． AB2 BF 52 25考点四：射影定理 知识笔记4 射影定理 条件： 22 A B ⊥ C D , A C ⊥ C B 结论： ① ② ③ 【填空答案】  AC AD CD ACD∽ABC = =  AC2 = AD AB  AB AC BC   BC BD CD CBD∽ABC = = BC2 =BD BA  AB BC AC  AC CD AD ACD∽CBD = = CD2 = AD BD  BC BD CD A C D B例题6: （★★★★☆）（2023•崇明区期中）如图，在 23 R t A B C 中，  B A C = 9 0  ， C D 平分  B C A ，作 A E ⊥ C D 交 B C 于点E，垂足为F ．作BG⊥ AE，垂足为G． （1）求证： A C 2 = C F  C D ． （2）求证： A E  A G = 2 B G  C F ． 【常规讲解】证明：（1） BAC=90，AE⊥CD，   B A C =  A F C = 9 0  ， 又 ACF =ACD， ACF∽DCA，  C A F C = A C C D ，即 A C 2 = C F  C D ； （2） C D 平分  B C A ， ACF =ECF． A E ⊥ C D ，   A F C =  E F C = 9 0  ， 在  A F C 和  E F C 中，   C  A F A C = F F C C = F =   E E C F F C ，   A F C   E F C ( A S A ) ，  F A = F E = 1 2 A E ， BAC=90，   D A F +  C A F = 9 0  ． 又 AE⊥CD， CAF+ACF =90，24   D A F =  A C F ． BG⊥ AG，   G =  B A C = 9 0  ，   A G B ∽  C F A ，  C A F G = A B F G ，即 1 2 A E  A G = C F  B G ， AEAG=2BGCF． 【拓展练习1】→全真战场关卡二练习6（母子型模型下的几何动点大题（25题） 练习6:【学习框18】 （★★★★☆）如图，已知在ABC中，ACB=90，点 D 在边BC上，CE⊥ AB，CF ⊥ AD， E 、 F 分别是垂足． （1）求证： A C 2 = A F  A D ； （2）连接 E F ，求证： A E  D B = A D  E F ． 【常规讲解】 解：（1）如图， ACB=90， C F ⊥ A D ，   A C D =  A F C ，而  C A D =  F A C ，   A C D ∽  A F C ，  A A C F = A A D C ，  A C 2 = A F  A D ． （2）如图， CE⊥ AB， C F ⊥ A D ，  A Q E =  C Q F   A Q E ∽  C Q F ，  A C Q Q = E F Q Q  A E Q Q = C F Q Q ∠AQC=∠EQF AQC∽EQF∠CAQ=∠FEQ 25 ∠ C A D = ∠ A E C = 9 0   ∠ C A Q + ∠ C A D + = ∠ F E Q + ∠ A E C  ∠ A D B = ∠ A E F ∠ E A F = ∠ B A D   E A F ∽  D A B AE EF  = AD DB 即AEDB= ADEF Q知识加油站 3 一线三等角型【推荐时长 30分钟】 考点五：一线三等角模型 知识笔记5 1、一线三等角 条件： 26 ∠ B = ∠ A C E = ∠ D 结论：① ________________ ②当C是中点时，有________________. 2、一线三直角 【填空答案】 ABC∽  C D E ； ABC∽CDE∽ACE A B C D E A D E A D A B C G B C D B E F C E例题7: （★★★☆☆）（2018•普陀区期末）如图，等边 27  A B C 中， D 是边 B C 上的一点，且 B D : D C = 1 : 3 ， 把ABC折叠，使点 A 落在边 B C 上的点 D 处，那么   B C M D D N 的 的 面 面 积 积 的值为 ． 【常规讲解】解： B D : D C = 1 : 3 ， 设 B D = a ，则 C D = 3 a ，  A B C 是等边三角形，  A B = B C = A C = 4 a ，  A B C =  A C B =  B A C = 6 0  ， 由折叠的性质可知： M N 是线段 A D 的垂直平分线，  A M = D M ， A N = D N ， BM +MD+BD=5a， D N + N C + D C = 7 a ，  M D N =  B A C =  A B C = 6 0  ， NDC+MDB=BMD+MBD=120，   N D C =  B M D ， ABC=ACB=60，   B M D ∽  C D N ，  ( B M + M D + B D ) : ( D N + N C + C D ) = A M : A N ， 即AM:AN =5:7，  M D : N D = 5 : 7    B C M D D N 的 的 面 面 积 积 = ( M N D D ) 2 =  5 7  = 2 4 5 9 ， 故答案为： 2 4 5 9 ． B M D A N C练习7:【学习框20】 （★★★☆☆）（2023•崇明区期中）如图， 28 M 是正方形 A B C D 的 B C 边上中点，点 E 、 F 分别 在AB、 C D 边上，且EM ⊥FM ．①  B E M ∽  C M F ，②EM 是BE、EF的比例中项，③ F M 平分  E F C ，④ B C 2 = B E  C F ．上述四个判断中正确的有( )个． A．1 B．2 C．3 D．4 【常规讲解】 解： 四边形 A B C D 为正方形，   E B M =  M C F = 9 0  ，   B E M +  B M E = 9 0  ， E M ⊥ F M ，   C M F +  B M E = 9 0  ，   B E M =  C M F ，   B E M ∽  C M F ，故①选项正确； M 是BC边上中点，  B M = M C ， BEM∽CMF，  E C B M = E M M F ，  E E B M = B M M F ， 又  E B M =  E M F = 9 0  ， EBM∽EMF ，  EB EM = ， EM EF EM2 =EBEF，即EM 是BE、EF的比例中项，故②正确； BEM∽CMF，29   B M E =  C F M ，  E B M ∽  E M F ，   B M E =  M F E ，   C F M =  M F E ，即 F M 平分  E F C ，故③正确；  B E M ∽  C M F ， EB BM  = ， CM CF CM2 =EBCF，即 1 4 B C 2 = E B  C F ，故④错误； 故选： C ． 例题8: （★★★★☆）（2022•徐汇区校级月考）如图， R t A B C 中，  B A C = 9 0  ，AB= AC=2，点 D 在 B C 上运动（不能经过 B 、 C ) ，过D作  A D E = 4 5  ， D E 交 A C 于 E ． （1）设 B D = x ， A E = y ，求 y 与 x 的函数关系，并写出其定义域； （2）若三角形 A D E 恰为等腰三角形，求 A E 的长． 【常规讲解】解：（1） BAC=90， A B = A C = 2 ，  B C = A B 2 + A C 2 = 2 2 + 2 2 = 2 2 ，  C =  B = 4 5  ，   A D E = 4 5  ， BAD=180−B−ADB=135−ADB，  C D E = 1 8 0  −  A D E −  A D B = 1 3 5  −  A D B ，   C D E =  B A D ，   C D E ∽  B A D ，  C B E D = D A C B ， 2− y 2 2−x  = ， x 2 B D A E C整理得 30 y = 1 2 x 2 − 2 x + 2 ( 0  x  2 2 ) ． （2）当 D E = A D 时，如图1， C B E D = D A C B = D A E D = 1 ，  D C = A B = 2 ， CE=BD=2 2−2，  A E = 2 − ( 2 2 − 2 ) = 4 − 2 2 ； 当DE=AE时，如图2，  D A E =  A D E = 4 5  =  C ，  A D = C D ，  A E D = 9 0  ，  D E ⊥ A C ， 1 AE=CE= AC=1； 2 若AD=AE，则  A E D =  A D E = 4 5  ， DAE=90=BAE， AD与AB重合，点D与点 B 重合，不符合题意， 综上所述，AE的长为 4 − 2 2 或1． B D 图 A 1 E C A E B D C 图2练习8:【学习框22】 （★★★★☆）（2020•松江区月考）如图，ABC 中， 31 A B = A C ，点E是线段 B C 上一点， DEF =B，ED交AB边于点D，EF交 A C 边于F ，联结DF． （1）求证： B D D E = C E E F ； （2）现有三个条件：① D E 平分  B D F ，② E F 平分  D F C ，③点 E 是 B C 中点，请从中选 择一个作为条件，另外两个作为结论并给出证明． （1）证明： （2）选择 作为条件，求证 和 ； 证明： 【常规讲解】解：（1）证明： A B = A C ，   B =  C ，  B D E +  B E D = 1 8 0  −  B ，  B E D +  C E F = 1 8 0  −  D E F ，  D E F =  B ，   B D E +  B E D =  B E D +  C E F ，   B D E =  C E F ，   B D E ∽  C E F ，  B C D E = D E E F ，  B D D E = C E E F ； （2）选择③作为条件，求证①和②， 证明： 点E是 B C 中点，  B E = C E ， 由（1）知，  B D E ∽  C E F ， BD DE BE  = = ， CE EF CF32  B D D E = B E E F ， C E F F = C D E E ，  B =  C =  D E F ，   B D E ∽  E D F ，  C E F ∽  E D F ，   B D E =  E D F ，CFE=EFD，  D E 平分  B D F ， E F 平分  D F C ． 故答案为：③；①；②． 例题9: （★★★★★）（2022•浦东新区进德中学期中）在 R t A B C 中，  A = 9 0  ，AB=4， A C = 3 ， D 为 A B 边上一动点（点 D 与点 A 、 B 不重合），联结CD，过点 D 作DE⊥DC交边 B C 于 点E． （1）如图，当 E D = E B 时，求 A D 的长； （2）设 A D = x ，BE= y，求 y 关于 x 的函数解析式并写出函数定义域； （3*）把  B C D 沿直线 C D 翻折得  C D B  ，联结 A B  ，当  C A B  是等腰三角形时，直接写出 A D 的长． 【常规讲解】解：（1） ED=EB，   E D B =  B ， CD⊥DE，   C D E =  A = 9 0  ，  A C D +  A D C = 9 0  ，  A D C +  E D H = 9 0  ， ACD=EDB=B，  ta n  A C D = ta n  B ， AD AC  = ， AC AB AD 3  = ， 3 433  A D = 9 4 ． （2）如图1中，作 E H ⊥ B D 于 H ． 在 R t A C B 中，  A = 9 0  ， A C = 3 ， A B = 4 ，  B C = A C 2 + B C 2 = 3 2 + 4 2 = 5 ， BE= y， 3 EH = y， 5 B H = 4 5 y ， D H = A B − A D − B H = 4 − x − 4 5 y ，  A =  D H E = 9 0  ，  A C D =  E D H ，   A C D ∽  H D E ，  A D C H = A E D H ，  4 − x 3 − 4 5 y = 3 5 x y ，  y = 2 0 9 x + − 4 5 x x 2 ( 0  x  4 ) ． 【拓展讲解】 【教学建议】（1）和（2）重点的围绕一线三等角模型，老师可以重点讲解。（3）难度较大 与模型联系较小，可以作为优等生的拓展思考联系。 （3）①如图3−1中，设CB交 A B 于 K ，作 A E ⊥ C K 于 E ， D M ⊥ C B  于 M ， D N ⊥ B C 于 N A C = A B  = 3 ， A E ⊥ C B  ， 1 5 CE=EB= CB= ， 2 2 5 11 AE= AC2 −CE2 = 32 −( )2 = ， 2 2 由ACE∽KCA， 3 11 18 可得AK = ，CK = ， 5 53 11 BK = AB−AK =4− ， 5 34  D C K =  D C B ， D M ⊥ C M ， D N ⊥ C B ，  D M = D N ，  1 18 CKDM S DK 2 CK 5 18 CDK = = = = = ， S DB 1 CB 5 25 CDB BCDN 2  B D = 2 4 5 3 B K = 1 0 4 0 3 − 1 4 5 3 1 1 ，  A D = A B − B D = 4 − ( 1 0 4 0 3 − 1 5 4 1 3 1 ) = 7 4 2 3 + 1 5 4 1 3 1 ． ②如图 3 − 2 中，当 C B  25 100 15 11 交BA的延长线于K时，同法可得BD= BK = + ， 43 43 43  A D = A B − B D = 7 4 2 3 − 1 5 4 1 3 1 ． 【拓展练习1】→全真战场关卡二练习7（一线三等角模型下的几何动点大题（25题）） 【教学建议】任务挑战没有涉及动点的练习，学生例题接受较好的同学可以试着完成关卡二 练习7的（1）和（2）全真战场 教师可以根据课堂节奏将“全真战场”作为课堂补．充．练习或课后补．充．练习让学生的完成 关卡一 练习1: （★★☆☆☆）如图， 35  O A B ∽  O C D ， O A : O C = 3 : 2 ，  O A B 与  O C D 的面积分别是 S 1 与 S 2 ， 周长分别是 C 1 与 C 2 ，则下列说法正确的是 ( ) A． C C 1 2 = 3 2 B． S S 1 2 = 3 2 C． O C B D = 3 2 D． O O A D = 3 2 【常规讲解】解： OAB∽OCD， O A : O C = 3 : 2 ，  C 3 1 = ， C 2 2 A 正确；  S 9 1 = ， S 4 2 B 错误；  OB 3 = ， OD 2 C 错误； OA:OC=3:2，D错误； 故选： A ． 练习2: （★★☆☆☆）如图，在  A B C 中， D E / / B C ，  A B C 的高 A M 交DE 于点 N ， B C = 1 5 ， A M = 1 0 ， D E = M N ，求 M N 的长． 【常规讲解】解：设MN =DE=x，则AN =10−x，36 D E / / B C ，  A A N M = A A D B = D B E C ， 即 1 0 1 − 0 x = 1 x 5 ， 解得： x = 6 ， 即 M N 的长为6． 练习3: （★★★☆☆）如图，ABC中C=90，如果CD⊥ AB于D，那么（ ） A． C D = 1 2 A B B． B D = 1 2 A D C． C D 2 = A D B D D．AD2 = AB BD 【常规讲解】解：  A B C 中  C = 9 0  ， C D ⊥ A B 于 D ，   C D B =  A D C ，  B =  A C D ，   C D B ∽  A C D ， A C D D = C B D D ， 即CD2 = AD BD，故选： C ． 练习4: （★★★☆☆）如图，矩形 A B C D 中，AB=3， A D = 5 ，点 E 在 A D 上，且 A E : E D = 1 : 4 ， 联结 B E ，射线EF ⊥BE交边 D C 于点 F ．求 C F 的长． 【常规讲解】解： A E : E D = 1 : 4 ， A D = 5 ， AE=1，ED=4， 矩形ABCD，   A =  D = 9 0  ， AEB+ABE=90 EF ⊥BE， AEB+DEF =90，ABE=DEF， 37   A B E ∽  D E F ，  AB ED = ， AE DF  3 4 = ， 1 DF  D F = 4 3 ．  C F = 3 − 4 3 = 5 3 ． 关卡二 练习5: （★★★★☆）（2021•黄浦区一模）某班级的“数学学习小组心得分享课”上，小智跟同学们 分享了关于梯形的两个正确的研究结论： ①如图 1，在梯形 A B C D 中， A D / / B C ，过对角线交点的直线与两底分别交于点 M 、 N ， 则 A D M M = C B N N ； ②如图2，在梯形 A B C D 中， A D / / B C ，过两腰延长线交点 P 的直线与两底分别交于点 K 、 L ，则 A D K K = B C L L ． 接着小明也跟同学们分享了关于梯形的一个推断： 过梯形对角线交点且平行于底边的直线被梯形两腰所截，截得的线段被梯形对角线的交点 平分． （1）经讨论，大家都认为小明所给出的推断是正确的．请你结合下图示写出已知、求证， 并给出你的证明；（2）小组还出了一个作图题考同学们：只用直尺将图3中两条平行的线段 38 A B 、 C D 同时平 分．请保留作图过程痕迹，并说明你作图方法的正确性（可以直接运用小智和小明得到的正 确结论）． 【常规讲解】解：（1）已知：如图，四边形 A B C D 是梯形，AD//BC， A C 与 B D 交于点 O ， E F 经过点 O ，且 E F / / B C ， 求证： O E = O F ． 证明： E F / / B C ，   A E O ∽  A B C ，  D O F ∽  D B C ，  O B E C = A A O C ， O B F C = D D O B ， AD//BC，  A A O C = D D O B ，  E B O C = O B F C ， EO=OF． （2）如图3中，点 M ， N 即为所求作．练习6: （★★★★★）（2021•长宁区一模）已知，在矩形ABCD中，点 39 M 是边 A B 上的一个点（与点 A 、 B 不重合），联结 C M ，作  C M F = 9 0  ，且 M F 分别交边 A D 于点 E 、交边 C D 的延长 线于点 F ．点 G 为线段 M F 的中点，联结 D G ． （1）如图1，如果 A D = A M = 4 ，当点 E 与点 G 重合时，求  M F C 的面积； （2）如图2，如果 A M = 2 ， B M = 4 ．当点 G 在矩形 A B C D 内部时，设 A D = x ， D G 2 = y ， 求 y 关于x的函数解析式，并写出定义域； （3*）如果 A M = 6 ， C D = 8 ，  F =  E D G ，求线段 A D 的长．（直接写出计算结果） 【教学建议】（1）和（2）重点的围绕射影定理模型，老师可以重点讲解。（3）难度较大与 模型联系较小，可以作为优等生的拓展思考联系。 【常规讲解】解：（1） 点 G 为线段 M F 的中点，  G F = M G ， 又 A=FDG=90，AGM =FGD，   A G M   D G F ( A A S ) ，  A M = D F = 4 1 ，AG=GD= AD=2， 2  G F = D E 2 + D F 2 = 4 + 1 6 = 2 5 ，  F M = 2 G F = 4 5 ， ED MC tanF = = ， DF FM  2 4 = M 4 C 5 ，  M C = 2 5 ， 1 1 S = FMMC= 4 52 5=20； MFC 2 2 （2）过点M 作MH ⊥CD于H，过点G作GP⊥CD于P，40  G P / / M H ， M H = A D = x ，  G H P M = F F G M = F F P H = 1 2 ，  G P = 1 2 M H = 1 2 x ， F P = 1 2 F H = 1 2 F H ，  C M F = 9 0  =  F H M =  C H M ，   F +  F C M = 9 0  =  F +  F M H =  F C M +  C M H ，   F =  C M H ，  F C M =  C M H ，   F H M ∽  M H C ，  F M H H = M H H C ，  M H 2 = F H  H C ， x2 FH = ， 4  P H = x 8 2 ，  D P = 2 − x 8 2 ， G P = 1 2 x ， D G 2 = D P 2 + G P 2 ，  y = x 6 4 4 − x 4 2 + 4 ( 2 2  x  4 ) ； （3）如图3，当点G在矩形的内部时，延长 D G 交 A B 于 J ，连接AG， A F ， FMC=90， AME+CMB=90=CMB+BCM ，41   A M E =  M C B ，  E D G =  E F D =  A M E =  M C B ， A D = B C ，DAJ =B=90，   A D J   B C M ( A S A ) ，  A J = B M = 2 ，  J M = 4 ， A B / / C D ，  M D J F = G D J G = M F G G = 1 ，  M J = F D = 4 ， G J = D G ，  A G = D G = G J ， GAD=GDA=GFD， 又  A E G =  F E D ， AGE=FDE=90， 又 FG=GM ， AF = AM =6，  A D = A F 2 − F D 2 = 3 6 − 1 6 = 2 5 ， 当点G在矩形的外部时，延长DG交 B A 的延长线于L，连接 D M ， 同理可求 A D = 2 7 ， 综上所述： A D = 2 5 或2 7．练习7: （★★★★★）（2021•浦东新区一模）四边形 42 A B C D 是菱形，B 90，点 E 为边BC上一点， 联结 A E ，过点 E 作 E F ⊥ A E ， E F 与边CD交于点F ，且EC=3CF． （1）如图1，当  B = 9 0  时，求 S  A B E 与 S  E C F 的比值； （2）如图2，当点 E 是边BC的中点时，求 c o s B 的值； （3*）如图3，联结AF ，当  A F E =  B 且CF =2时，求菱形的边长． 【教学建议】（1）和（2）重点的围绕一线三等角模型，老师可以重点讲解。（3）难度较大 与模型联系较小，可以作为优等生的拓展思考联系。 【常规讲解】解：（1） 四边形 A B C D 是菱形，  B = 9 0  ，  四边形ABCD是正方形，   B =  C = 9 0  ， E F ⊥ A E ，   A E B +  C E F =  A E B +  B A E = 9 0  ，   B A E =  C E F ，   A B E ∽  C E F ，  BE AB = ， CF EC E C = 3 C F ，设 C F = x ， A B = a ，则 E C = 3 x ， B E = a − 3 x ， a−3x a  = ， x 3x 解得， a = 4 .5 x ，  S S   A E B C E F = ( A E B C ) 2 = ( 4 .5 3 x x ) 2 = 9 4 ； （2）过点 A 作AM ⊥BC于点 M ， 过点F 用FN ⊥BC于点H，如图2， 则AME=CNF =90， 四边形ABCD是菱形， AB=BC，AB//CD，43   B =  F C N ， 设CF =x，则CE=3x， E是 B C 的中点，  B E = C E = 3 x ， A B = B C = 2 C E = 6 x ，  B M = A B  c o s B = 6 x c o s B ， AM = ABsinB=6xsinB ， C N = C F  c o s  F C N = x c o s B ， F N = C F  s in  F C N = x s in B ，  M E = B E − B M = 3 x − 6 x c o s B ，EN =EC+CN =3x+xcosB，  A E F = 9 0  ，   A E M +  N E F =  A E M +  M A E = 9 0  ，   M A E =  N E F ，   A M E ∽  E N F ，  AM ME = ， EN NF 6xsinB 3x−6xcosB 即 = ，即 3x+xcosB xsinB 3 2 + s in c o B s B = 1 − 2 c s in o B s B ， 整理得，2sin2B=3−5cosB−2cos2B，  2 = 3 − 5 c o s B ， 1 cosB= ； 5 （3）过点 A 作 A M ⊥ B C 于点 M ，过点 F 用 F N ⊥ B C 于点 N ，如图3， 则AME=CNF =90， 四边形ABCD是菱形， AB=BC，AB//CD，   B =  F C N ，  A E F = 9 0  ， AEM +NEF =AEM +MAE=90，   M A E =  N E F ， AME∽ENF ， AM ME AE  = = ， EN NF EF AFE=B， AM AE tanB= ，tanAFE= ， BM EF44  A B M M = A E E F ，  A B M M = A E M N ，  B M = E N ， 设菱形 A B C D 的边长为 a ，则 A B = B C = a ，  B M = a c o s B ， C N = C F  c o s  F C N = C F  c o s B ，  a c o s B = E C + C F  c o s B ， C F = 2 ， E C = 3 C F ，  E C = 6 ，  a c o s B = 6 + 2 c o s B ，  c o s B = a 6 − 2 ， AM ME = ， EN NF A M = A B  s in B = a s in B ， E N = 6 + 2 c o s B ， M E = a − a c o s B − 6 ， N F = C F  s in  F C N = 2 s in B ，  6 a + s 2 in c B o s B = a − a 2 c s o s in B B − 6 ， 化简得， 2 a ( s in 2 B + c o s 2 B ) = 6 a − 4 a c o s B − 1 2 c o s B − 3 6 ， 2 a = 6 a − 4 a c o s B − 1 2 c o s B − 3 6 ， a − a c o s B − 3 c o s B − 9 = 0 ， c o s B = a 6 − 2 ，  a − a 6 a − 2 − a 1 8 − 2 − 9 = 0 ， 解得， a = 1 7 ，或 a = 0 （舍 ) ， 菱形的边长为17．