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重难点 02 规律型问题探究（数式或图形规律、旋转问
题、平移或翻滚型、渐变型）
题型解读｜模型构建｜真题强化训练｜模拟通关试练
规律性问题的结论不是直接给出，而是给出一组具有某种特定关系的数、式、图形，或是给出图形有
关的操作变化过程，或某一具体的问题情境等，要求通过观察分析推理，探究其中蕴含的规律，进而归纳
或猜想出一般性的结论。这类题的解题策略是：由特例观察、分析、归纳一般规律，然后利用规律解决问
题。具体思维过程是“特殊---一般----特殊”。这类问题体现了“特殊与一般”的数学思想方法，解答时往
往体现“探索、归纳、猜想”等思维特点，对分析问题、解决问题的能力具有很高的要求。
模型01 数式或图形规律
考｜向｜预｜测
数与式、图形的规律问题该题型主要以选择、填空形式出现，难度系数不大，需要学生学会分析各式
或图形中的“变”与“不变”的规律——重点分析“怎样变”，应结合各式或图形的序号进行前后对
比分析。主要考查学生阅读理解、观察图形的变化规律的能力，关键是通过归纳与总结，得到其中的
规律，利用规律解决问题．
答｜题｜技｜巧
1. 读懂题意，标序号；
2. 根据已有规律模仿或归纳推导隐藏规律，析各式或图形中的“变”与“不变”的规律——重点分析“怎
样变”；
3. 猜想规律与 “序号”之间的对应关系，并用关于 “序号”的式子表示出来；
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4. 验证所归纳的结论，利用所学数学知识解答；
70=1 71=7 72=49 73=343 74=2401 75=16807
1.（2024·山东）观察下列等式： ， ， ， ， ， ，…
根据其中的规律可得70+71+72+⋯+72024的结果的个位数字是 ．
1 3 1 7 9 11
1．按一定规律排列的一组数据： ，− ， ，− ， ，− ，…．则按此规律排列的第10个数是（
2 5 2 17 26 37
）
19 21 19 21
A．− B． C．− D．
101 101 82 82
2．按一定规律排列的单项式：5a，8a2，11a3，14a4，…．则按此规律排列的第n个单项式为 ．
（用含有n的代数式表示）
3．正偶数2，4，6，8，10，…，按如下规律排列，
则第27行的第21个数是 ．
4． 1261年，我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提到了如图所示的数表，人们将这个数表
称为“杨辉三角”．
观察“杨辉三角”与右侧的等式图，根据图中各式的规律，(a+b) 7展开的多项式中各项系数之和为 ．
5．根据图中数字的规律，若第n个图中的q=143，则p的值为（ ）
A．100 B．121 C．144 D．169
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6．下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，x的值为（ ）
A．135 B．153 C．170 D．189
7．如图，在2×2的网格内各有4个数字，各网格内数字都有相同的规律，c为（ ）
A．990 B．9900 C．985 D．9850
模型02 旋转型问题
考｜向｜预｜测
该题型也主要以选择、填空的形式出现，一般较为靠后，有一定难度，该题型需要分析变化规律得到
一般的规律（如点变的循环规律或点运动的循环规律，点的横、纵坐标的变化规律等）。主要考查对
点的坐标变化规律，一般我们需要结合所给图形，找到点或图形的变化规律或者周期性，最后利用正
确运用数的运算。
答｜题｜技｜巧
1. 观察点或图形的变化规律，根据图形的变化规律求出已知关键点的坐标；
2. 分析变化规律得到一般的规律看是否具有周期性（如点变的循环规律或点运动的循环规律，点的横、纵
坐标的变化规律等）；
3. 周期性的求最小周期看余数，不是周期性的可以罗列求解几组以便发现规律，根据最后的变化次数或者
运动时间登，确定要求的点与哪个点重合或在同一象限，或与哪个关键点的横纵坐标相等；
4. 利用有理数的运算解题；
1.（2023·四川）如图所示，矩形 的顶点 为坐标原点， ，对角线 在第二象限
的角平分线上．若矩形从图示位置开始绕点 以每秒 的速度顺时针旋转，则第2025秒时，点 的对应
坐标为（ ）
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A． B． C． D．
1.数学家高斯推动了数学科学的发展，被数学界誉为“数学王子”，据传，他在计算1+2+3+4+⋯+100
100×(1+100)
时，用到了一种方法，将首尾两个数相加，进而得到1+2+3+4+⋯+100= ．人们借助于
2
n(1+n)
这样的方法，得到1+2+3+4+⋯+n= （n是正整数）．有下列问题，如图，在平面直角坐标系
2
中的一系列格点A (x ,y )，其中i=1,2,3,⋯,n,⋯，且x ,y是整数．记a =x + y ，如A (0,0)，即
i i i i i n n n 1
a =0,A (1,0)，即a =1,A (1,−1)，即a =0,⋯，以此类推．则下列结论正确的是（ ）
1 2 2 3 3
A．a =40 B．a =43 C．a =2n−6 D．a =2n−4
2023 2024 (2n−1)2 (2n−1)2
1
2．如图是从原点开始的通道宽度为1的回形图，OA=1，反比例函数y= 与该回形图的交点依次记为B 、
x 1
B 、B 、……，则B 的坐标为 ．
2 3 2024
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3．在直角坐标系中，点A 从原点出发，沿如图所示的方向运动，到达位置的坐标依次为：A （1，0），A
1 2 3
（1，1），A （﹣1，1），A （﹣1，﹣1），A （2，﹣1），A （2，2），…．若到达终点A （506，﹣
4 5 6 7 n
505），则n的值为 ．
3．如图，四边形OABC 是正方形，曲线C C C C C ⋯叫作“正方形的渐开线”，其中C´C ，C´C ，
1 1 2 3 4 5 1 2 2 3
C´C ，C´C ，…的圆心依次按O，A，B，C 循环．当OA=1时，点C 的坐标是( )
3 4 4 5 1 2023
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A．(−1，−2022) B．(−2023，1) C．(−1，−2023) D．(2022，0)
4．在平面直角坐标系中，△AOB为等边三角形，点A的坐标为(1,0)．把△AOB按如图所示的方式放置，
并将△AOB进行变换：第一次变换将△AOB绕着原点O顺时针旋转60°，同时边长扩大为△AOB边长的2
倍，得到△A OB ；第二次旋转将△A OB 绕着原点O顺时针旋转60°，同时边长扩大为△A OB ，边
1 1 1 1 1 1
长的2倍，得到△A OB ，…．依次类推，得到△A OB ，则△A OB 的边长为 ，
2 2 2033 2033 2023 2033
点A 的坐标为 ．
2023
模型03 平移或翻滚型
考｜向｜预｜测
该题型主要以选择、填空的形式出现，一般较为靠后，有一定难度，该题型需要分析变化规律得到一
般的规律(如点变的循环规律或点运动的循环规律，点的横、纵坐标的变化规律等)。主要考查对点的坐标
变化规律，一般我们需要结合所给图形，找到点或图形的变化规律或者周期性，最后利用正确运用数的运
算求解。这类问题体现了“特殊与一般”的数学思想方法，解答时往往体现“探索、归纳、猜想”等思维
特点，对分析问题、解决问题的能力具有很高的要求。
答｜题｜技｜巧
1. 观察点或图形的变化规律，根据图形的变化规律得出具体数量的变化规律；
2. 分析变化规律得到一般的规律看是否具有周期性（如点变的循环规律或点运动的循环规律，点的横、纵
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坐标的变化规律等）；
3. 周期性的求最小周期看余数，不是周期性的可以罗列求解几组以便发现规律，根据最后的变化次数或者
运动时间登，确定要求的点与哪个点重合或在同一象限，或与哪个关键点的横纵坐标相等；
1. 如图， ，点 在射线 上，且 ，过点 作 交射线 于
，在射线 上截取 ，使 ；过点 作 交射线 于 ，在射线 上截取
，使 .按照此规律，线段 的长为________．
1．如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA B C ，依此方式，
1 1 1
绕点 O 连续旋转 2020 次得到正方形 OA B C ，如果点 A 的坐标为(1，0)，那么点 B 的坐标为
2020 2020 2020 2020
（ ）
A．(﹣1，1) B．( ，0)C．(﹣1，﹣1) D．(0， )
2．如图，已知菱形OABC的顶点O(0，0)，B(2，2)，菱形的对角线的交于点D；若将菱形OABC绕点O逆时
针旋转，每秒旋转45°，从如图所示位置起，经过60秒时，菱形的对角线的交点D的坐标为（
）
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A．(1，1) B．(﹣1，﹣1) C．(-1，1) D．(1，﹣1)
3．如图，直线 与 轴、 轴分别相交于点 、 ，过点 作 ，使 ．将 绕
点 顺时针旋转，每次旋转 ．则第2022次旋转结束时，点 的对应点 落在反比例函数 的图象
上，则 的值为
A． B．4 C． D．6
4．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形 OA A 的直角边OA 在y轴的正半轴上，且OA ＝A A ＝
1 2 1 1 1 2
1，以OA 为直角边作第二个等腰直角三角形OA A ，以OA 为直角边作第三个等限直角三角OA A ，…，依
2 2 3 3 3 4
此规律，得到等腰直角三角形OA A ，则点A 的坐标为 _____________．
2020 2021 2021
5．如图，边长为1的正六边形 放置于平面直角坐标系中，边 在 轴正半轴上，顶点 在 轴
正半轴上，将正六边形 绕坐标原点 顺时针旋转，每次旋转 ，那么经过第2022次旋转后，
顶点 的坐标为________．
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模型04 渐变型
考｜向｜预｜测
渐变型变化规律题是指在一定条件下，探索发现有关图形所具有的规律性或不变性的问题，它往往给出了
一组变化了的图形或条件，要求学生通过阅读、观察、分析、猜想来探索规律，它体现了“特殊到一般”
的数学思想方法，考查了学生分析、解决问题的能力，观察、联想、归纳的能力，以及探究能力和创新能
力，题型可涉及填空、选择或解答。
答｜题｜技｜巧
观察几何图形、根据题中的变化规律进行分析，猜想下面所没有给出的图形变化情况、探究图形的变
化和所求的结果、归纳总结发现规律。
14. 如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，连接AC，过点D作DC ⊥AC于点C ，以
1 1
C A，C D为邻边作矩形AA DC ，连接AC ，交AD于点O，过点D作DC ⊥AC 于点C ，交AC于点
1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2
M，以C A，C D为邻边作矩形AADC ，连接AC ，交AD于点O，过点D作DC ⊥AC 于点C ，交
1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 3 2 2 3
AC 于点M；以C A，C D为邻边作矩形AADC ，连接AC ，交AD于点O，过点D作DC ⊥AC 于
1 1 2 3 2 3 2 3 3 3 3 2 3 4 3 3
点C ，交AC 于点M…若四边形AO C M 的面积为S，四边形AOC M 的面积为S，四边形AOC M
4 2 2 3 1 2 1 1 1 2 3 2 2 2 3 4 3
的面积为S…四边形A OC M 的面积为S，则S＝__________．（结果用含正整数n的式子表示）
3 n﹣1 n n＋1 n n n
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1.如图， ， ， ，…， ，都是一边在 轴上的等边三角形，点 ，
， ，…， 都在反比例函数 的图象上，点 ， ， ，…， ，都在 轴上，则
的坐标为________．
2．如图，点B 在直线l：y＝ x上，点B 的横坐标为2，过点B 作B A⊥l，交x轴于点A，以AB 为边，
1 1 1 1 1 1 1 1
向右作正方形AB B C ，延长B C 交x轴于点A ；以AB 为边，向右作正方形AB B C ，延长B C 交x
1 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 3 2 3 2
轴于点A ；以AB 为边，向右作正方形AB B C ，延长B C 交x轴于点A ；…；照这个规律进行下去，
3 3 3 3 3 4 3 4 3 4
则第n个正方形AB B 的边长为 （结果用含正整数n的代数式表示）．
n n n+1 n
∁
3. 如图，直线 与 轴相交于点 ，与 轴相交于点 ，过点 作 交 轴于点 ，
过点 作 轴交 于点 ，过点 作 交 轴于点 ，过点 作 轴交 于点
…，按照如此规律操作下去，则点 的纵坐标是______________．
4．如图，一次函数y＝x与反比例函数y＝ （x＞0）的图象交于点A，过点A作AB⊥OA，交x轴于点
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B；作BA∥OA，交反比例函数图象于点A ；过点A 作AB ⊥AB交x轴于点B；再作B A∥BA ，交反
1 1 1 1 1 1 1 2 1
比例函数图象于点A，依次进行下去，…，则点A 的横坐标为 ．
2 2021
1．（2023·湖南）观察下列等式： 根据其中的
规律可得 的结果的个位数字是（ ）
A．0 B．1 C．7 D．8
2．（2022·河南）我们将如图所示的两种排列形式的点的个数分别称作“三角形数”（如1，3，6，
10…）和“正方形数”（如1，4，9，16…），在小于200的数中，设最大的“三角形数”为m，最大的
“正方形数”为n，则m+n的值为（ ）
A．33 B．301 C．386 D．571
3．（2019·甘肃）观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2019个图
形中共有_____个〇．
4．（2024·辽宁）如图，在 中， ， ，过点 作 ，垂足
为点 ，过点 作 交 于点 ，得到 ；过点 作 ，垂足为点 ，
过点 作 交 于点 ，得到 ；过点 作 ，垂足为点 ，过点 作
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交 于点 ，得到 ；……按照上面的作法进行下去，则 的面积为
_____．（用含正整数n的代数式表示）
5. （2024·四川）如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（1，0），以OA 为直角边作Rt OAA，并
1 1 1 2
使∠AOA＝60°，再以OA 为直角边作Rt OAA，并使∠AOA＝60°，再以OA 为直角边作Rt OAA，
1 2 2 2 3 2 3 3 △ 3 4
并使∠AOA＝60°…按此规律进行下去，则点A 的坐标为 ．
3 4 △ 2019 △
1．规律探究题：如图是由一些火柴棒摆成的图案：按照这种方式摆下去，摆第 2023个图案用几根火柴棒
（ ）
A．8093B．8095 C．8092 D．8091
2．汉字文化正在走进人们的日常消费生活．如图所示图形都是由同样大小的圆点和线段按照一定的规律
排列组成的篆书简化“汉”字，其中，图①中共有 个圆点，图②中共有 个圆点，图③中共有 个圆
点，图④中共有 个圆点…依此规律则图⑩中共有圆点的个数是（ ）
A． B． C． D．
3．已知点 ，记 关于直线m（直线m上各点的横坐标都为0）的对称点为 ， 关于直线n（直
线n上各点的纵坐标都为1）的对称点为 ， 关于直线p（直线p上各点的横坐标都为 ）的对称点为
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， 关于直线q（直线q上各点的纵坐标都为3）的对称点为 ， 关于直线m的对称点为 ， 关
于直线n的对称点为 ，……依此规律 的坐标是（ ）
A． B． C． D．
4．如图， ，过点 作 且 ，得 ；再过点 ，作 ，且 ，得
；又过点 作 且 ，得 依此法继续作下去，得 （ ）
A． B． C． D．
5．请看杨辉三角，并观察下列等式：
根据前面各式的规律，则 .
6．如图，李明从A点出发沿直线前进5米到达B点后向左旋转的角度为α，再沿直线前进5米，到达点C
后，又向左旋转α角度，照这样走下去，第一次回到出发地点时，他共走了 45米，则每次旋转的角度α为
．
7．我国南宋数学家杨辉 年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表（图①），即杨辉三
角．现在将所有的奇数记“ ”，所有的偶数记为“ ”，则前 行如图②，前 行如图③，求前 行“
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”的个数为 ．
8．在平面直角坐标系中，抛物线 的图象如图所示．已知A点坐标为 ，过点A作 轴交抛
物线于点 ，过点 作 交抛物线于点 ，过点 作 轴交抛物线于点 ，过点 作
交抛物线于点 ，依次进行下去，则点 的坐标为 ．
10．探究规律，完成相关题目．
定义“*”运算：
； ；
； ；
； ．
(1)归纳*运算的法则：
两数进行*运算时，________．（文字语言或符号语言均可）特别地，0和任何数进行*运算，或任何数和0
进行*运算，________
(2)计算： ．
(3)是否存在有理数m，n，使得 ，若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由．
14
