FY25暑假初三B12相似三角形的模型（二）教师版_初中资料合集_2025年秋初中《789年级暑假数学讲义》含6升7衔接（学生+教师版）上海专版_初三_志高_教师版PDF

12B 相似三角形的模型（二）
考情链接
1. 本次任务由两个部分构成
（1）燕尾型与双垂型
（2）旋转型
2. 考情分析
（1）相似三角形的模型，属于图形与几何部分，占中考考分值约30%.
（2）主要考察相似三角形的模型，以填空题、证明题为主.
（3）对应教材：初三上册，第二十四章：相似三角形，第三节：相似三角形
（4）相似三角形是初中几何中的核心模块，也是考查学生分析和解决问题等综合能力的重
要载体。本节主要讲的是相似三角形的模型，在解决问题时，我们要能从复杂的图形中分离
和构造基本图形，从而将几何问题"模块"化，以提高解题效率。
环节 需要时间
作业讲解及复习 15分钟
切片1：燕尾型与双垂型 40分钟
切片2：旋转型 45分钟
出门测 10分钟
错题整理 10分钟
1知识加油站 1——燕尾型与双垂型【建议时长：40分钟】
考点一：燕尾型
知识笔记1
燕尾型
已知：
2
 A B C =  A C D
结论：① ______________________
② ______________________
③ ______________________
④ ______________________
【填空答案】
① ADE∽ACB
② ADC∽AEB
③  D O B ∽  E O C
④  D O E ∽  B O C
B
D
O
A
E
C例题1:
（1）（★★☆☆☆）（2021•浦东新区校级期末）如图，
3
 B E C =  C D B ，结论正确的是 ( )
A．EFBF =DFCF B．BECD=BFCF
C．AEAB= ADAC D．AEBE= ADDC
（2）（★★★☆☆）（2023•松江区校级月考）已知，如图，在  A B C 中，点D是边 B C 上一点，
A E / / B C ， B E 分别与 A D 、 A C 相交于点 G ，且 A F 2 = F G  F E ．
① 求证：  A D C ∽  B G C ；
② 联结 D G ，求证：
G
A
A
E
=
G
A
D
B
．
【常规讲解】
（1）解：  B E C =  C D B ，  E F B =  D F C ，
  E F B ∽  D F C ，

E
D
F
F
=
F
F
B
C
，
 E F  F C = D F  F B ，
故A不符合题意：
EFB∽DFC，
BE BF
 = ，
CD FC
BECF =CDBF，
故B不符合题意；
BEC=CDB，BEC+AEC=180，BDC+ADB=180，4
  A E C =  A D B ，
  A B D ∽  A C E ，

A
A
B
C
=
A
A
D
E
，
 A B  A E = A D  A C ，
故C符合题意；
因为： A E ， B E ， A D ， C D 组不成三角形，也不存在比例关系，
故 D 不符合题意；
故选： C ．
（2）证明：① AF2 =FGFE．

A
F
F
G
=
E
A
F
F
，
 A F G =  E F A ，
  F A G ∽  F E A ，
  F A G =  E ，
A E / / B C ，   E =  E B C ，
  E B C =  F A G ，
 A C D =  B C G ，
  A D C ∽  B G C ；
② CAD∽CBG，
C
C
A
B
=
C
C
D
G
，
 D C G =  A C B ，
CDG∽CAB，

D
A
G
B
=
C
C
G
B
，
AE//BC，
AE AG
 = ，
BC CG

AG CG
= ，
AE BC

G
A
A
E
=
G
A
D
B
．练习1:【学习框8】
（★★☆☆☆）（2022•浦东新区期中）已知：如图，在ABC中，点
5
D ，点 E 分别是边 A C 、
AB上的点， E C 和BD相交于点O，且ABD=ACE，连接DE．
① 求证：  E O D ∽  B O C ；
② 若
D
B
E
C
=
2
3
，求
A
A
E
C
的值．
【常规讲解】① 证明：  A B D =  A C E ，  A =  A ，
  A B D ∽  A C E ，

A
A
D
E
=
A
A
B
C
，

A
A
D
B
=
A
A
E
C
，
ADE∽ABC，
  A D E =  A B C ，
ADE=ACE+OED，ABC=ABD+OBC，
  A C E +  O E D =  A B D +  O B C ，
  O E D =  O B C ，
 E O D =  B O C ，
EOD∽BOC．
② 解：由① 得  A D E ∽  A B C ，
DE 2
= ，
BC 3

AE DE 2
= = ，
AC BC 3
AE 2
 的值是= ．
AC 3考点二：双垂型
知识笔记2
双垂型
已知：
6
 A B C =  A C D = 9 0 
结论：① ______________________
② ______________________
③ ______________________
【填空答案】
①  A D C ∽  A E B ∽  O D B ∽  O E C
②  A D E ∽  A C B
③  D O E ∽  B O C
例题2:
（1）（★★★☆☆）（2022•长宁区校级期中）如图， B D 是  A B C 边 A C 上的高，点 E 在边 A B
上，联接CE交 B D 于点 O ， A D  O C = A B  O D ．
①求证：  A B D ∽  A C E ；
②联接 D E ，作 A F 平分  B A C ，交BC于点 F ，交 D E 于点 G ．求证：AFDE= AGBC．
B
D
O
A
E
C（2）（★★★★☆）（2022•长宁区虹桥中学期中）如图，已知，在锐角ABC中，BD和CE 分
别是边
7
A C 、 A B 上的高．
① 求证：
A
E
E
F
=
A
B
C
F
；
② 联结 A F ，求证： A F  B E = B C  E F ．
【常规讲解】
（1）证明：① A D  O C = A B  O D ，
所以
A
A
D
B
=
O
O
D
C
，
所以
A
A
D
B
2
2
=
O
O
D
C
2
2
，
所以
A B
A
2
D
−
2
A D 2
=
O C
O
2
D
−
2
O D 2
，
因为 B D 是ABC边 A C 上的高，
所以  A D B =  O D C = 9 0  ，
AD2 OD2 AD OD
所以 = 即 = ，
BD2 CD2 BD CD
所以  A B D ∽  O C D ，
所以  A B D =  A C E ，
因为  A =  A ，
所以  A B D ∽  A C E ．
②根据①得ABD∽ACE，
AD AB
所以 = ，
AE AC
AD AE
所以 = ；
AB AC
因为  D A E =  B A C ，
所以DAE∽BAC，
因为AF 平分BAC，所以
8
D
B
E
C
=
A
A
G
F
，
所以AFDE= AGBC．
（2）证明：① B D 和 C E 分别是边 A C 、 A B 上的高，
AEC=BDA=90，
  A +  A C E = 9 0  =  A +  A B D ，
ACE=ABD，
又  A E C =  B E F = 9 0  ，
AEC∽FEB，

A
E
E
F
=
A
B
C
F
；
② 如图，连接 A F ，
 A E C ∽  F E B ，

A
E
E
F
=
E
B
C
E
，

A
E
E
C
=
E
B
F
E
，
又  A E C =  F E B = 9 0  ，
  A E F ∽  C E B ，
AF EF
 = ，AFBE=BCEF．
BC BE
练习2:【学习框10】
（★★★☆☆）已知：如图，在  A B C 中，BD⊥ AC于点 D ， C E ⊥ A B 于点 E ， E C 和 B D 相
交于点 O ，联接DE．
（1） 求证：  E O D ∽  B O C ；
AE
（2） 若S =16，S =36，求 的值．
EOD BOC AC【常规讲解】
（1）证明：在
9
 B O E 与  D O C 中，
BEO=CDO，  B O E =  C O D ，
  B O E ∽  C O D ，

O
O
E
D
=
O
O
B
C
，
即
O
O
E
B
=
O
O
D
C
，
又 EOD=BOC，
  E O D ∽  B O C ；
（2） 解：  E O D ∽  B O C

S
S


E
B
O
O
D
C
= (
O
O
D
C
) 2 ，
S
 E O D
= 1 6 ， S
 B O C
= 3 6 ，

O
O
D
C
=
2
3
，
在ODC与EAC中，
 A E C =  O D C ，  O C D =  A C E ，
  O D C ∽  A E C ，

O
A
D
E
=
O
A
C
C
，
即
O
O
D
C
=
A
A
E
C
，

A
A
E
C
=
2
3
．知识加油站 2 旋转型【推荐时长 45分钟】
考点三：旋转型
知识笔记3
旋转型
结论：ABC∽ADEADB∽AEC
旋转相似三角形，成对出现，有一组相似可以推另外一组甚至更多
例题3:
（1）（★★☆☆☆）如图，已知1=2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定
10
 A B C ∽  A D E
的是( )
AB AC AB BC
A． = B． = C．
AD AE AD DE
 B =  D D．C=AED
（2）（★★☆☆☆）（2019•长宁区期末）如图所示，在ABC与  D B E 中，
A
B
B
D
=
B
B
C
E
=
A
D
C
E
=
5
3
，
且ABC和BDE周长之差为 1 0 c m ，则ABC的周长为 cm．
B
A
D
E
C
D
B
2
E
A
1
C
A
D
B
C
E（3）（★★★☆☆）（2022•普陀区期中）如图．在ABC和
11
 A D E 中，  B A C =  D A E = 9 0  ，
A B = 3 3 ， A D = 3 ， B C = 6 ， D E = 2 ．
① 求证： R t A B C ∽ R t A D E ；
BD
② 求 的值．
CE
【常规讲解】
（1）解：  1 =  2
  D A E =  B A C
 A ， C ， D 都可判定  A B C ∽  A D E
选项 B 中不是夹这两个角的边，所以不相似，
故选： B ．
（2）解：在  A B C 与  D B E 中，
A
B
B
D
=
B
B
C
E
=
A
D
C
E
=
5
3
，
则ABC∽DBE，并且相似比是 5 : 3 ，
相似三角形周长的比等于相似比，
因而可以设  A B C 的周长是5a，则DBE的周长是 3 a ，
根据  A B C 和  B D E 周长之差为 1 0 c m ，
得到 5 a − 3 a = 1 0 解得： a = 5 ，
ABC的周长为25cm．
（3）① 证明： BAC=DAE=90， A B = 3 3 ， A D = 3
A
E
D
B C
，BC=6，DE=2．
AC = BC2 −AB2 = 62 −(3 3)2 =3，AE= DE2 −AD2 = 22 −( 3)2 =1，
AB AD
 = = 3，
AC AE
RtABC∽RtADE．AB AD
② 解：由（1）得 = ，
AC AE

12
A
A
B
D
=
A
A
C
E
，
 B A D =  C A E = 9 0  −  C A D ，
  A B D ∽  A C E ，

B
C
D
E
=
A
A
B
C
= 3 ，

B
C
D
E
的值是 3．
练习3:【学习框12】
（1）（★★☆☆☆）（2020•徐汇区期末）如图，  1 =  2 ，请补充一个条件：___________或
___________，使  A B C ∽  A D E ．
（2）（★★☆☆☆）如图，已知  E A C =  D A B ，  C =  D ， A D = 6 ， A E = 8 ， A C = 1 0 ，
那么 A B = ．
【常规讲解】
（1）解：  1 =  2 ，
BAC=DAE
又 C=E（或  B =  A D E )
  A B C ∽  A D E ．
故答案为：  C =  E 或  B =  A D E ．
（2）解：  E A C =  D A B ， A D = 6 ， A E = 8 ，AC=10，
BAC=EAD，13
 C =  D ，
  A D E ∽  A C B ，

A
A
D
C
=
A
A
E
B
，即
1
6
0
=
A
8
B
，
解得 A B =
4 0
3
．
故答案为：
4 0
3
．
例题4:
（1）（★★★★☆）（2023•黄浦区期末）如图，在平行四边形 A B C D 中，AC⊥ AD，过点 A
作AE⊥BD，垂足为E，再过点C作CF ⊥CD交直线AE于点F ．
①求证： C A  C D = C B  C F ；
②联结CE，求证：ACE=F．
（2）（★★★★☆）（2021•普陀区一模）已知：如图，AD//BC，  A B D =  C ， A E ⊥ B D ，
DF ⊥BC，点 E 、 F 分别为垂足．
A D
E
B F C
AE BD
① 求证： = ；
DF BC
② 联结EF，如果ADB=BDF，求证：DFDC=EFBC．【常规讲解】
（1）证明：①设
14
A C 与BD交于点G，如图，
四边形 A B C D 为平行四边形，
 B C / / A D ，
  C B D =  A D B ．
A C ⊥ A D ，
  C A E +  D A E = 9 0  ，
A E ⊥ B D ，
  D A E +  A D E = 9 0  ，
ADE=CAE，
  C A E =  C B D ．
BC//AD，AC⊥ AD，
 A C ⊥ B C ，
CF ⊥CD，
  A C B =  D C F = 9 0  ，
ACB+ACD=DCF+ACD，
  B C D =  A C F ，
BCD∽ACF ，

C
A
B
C
=
C
C
D
F
，
CACD=CBCF ；
②由①知：  C A E =  A D E ，
 A G E =  D G A ，
  A G E ∽  D G A ，

A
E
G
G
=
D
A
G
G
，
 A G 2 = E G  D G ．
四边形ABCD为平行四边形，
AG=GC，
CG2 =EGDG．15

E
C
G
G
=
C
D
G
G
，
EGC=CGD，
  E G C ∽  C G D ，
  A C E =  C D B ．
由（1）知：  B C D ∽  A C F ，
CDB=F，
  A C E =  F ．
（2）① 证明： A E ⊥ B D ， D F ⊥ B C ，
  A E B =  D F C = 9 0  ，
 A B D =  C ，
  A B E ∽  D C F ，

A
D
E
F
=
A
D
B
C
，
A D / / B C ，
  A D B =  D B C ，
  A B D ∽  D C B ，

A
D
B
C
=
B
B
D
C
，

A
D
E
F
=
B
B
D
C
；
② 证明：  A D B =  D B F ，  A D B =  B D F ，  B F D = 9 0  ，
  D B F =  B D F ，
  D B F = A D E = 4 5  ，
  A E D 和  B F D 都是等腰直角三角形，
AD BD
 = = 2，
DE DF
又 ADE=BDF，
ADB∽EDF ，
ABD=EFD，
ABD=C，
EFD=C，EDF =DBC，
16
  E D F ∽  D B C ，

D
B
F
C
=
E
D
F
C
，
 D F  D C = E F  B C ．
练习4:【学习框14】
（1）（★★★☆☆）（2019•宝山区期中）已知：如图，
D
B
E
C
=
A
A
D
B
=
A
A
E
C
，求证：
①  D A B =  E A C
② D B A C = A B E C ．
（2）（★★★★☆）如图，已知四边形ABCD的对角线 A C 、 B D 交于点 F ，点 E 是 B D 上一
点，且  B C A =  A D E ，  C A D =  B A E ．
① 求证：  A B C ∽  A E D ；
② 求证： B E A C = C D A B ．
【常规讲解】
（1）证明：① 在  A D E 和ABC中，
DE AD AE
= = ，
BC AB AC
  A D E ∽  A B C ，
DAE=BAC，
即DAB+BAE=BAE+EAC，
D
B
A
E C17
  D A B =  E A C ；
② 在ADB和AEC中，
A
A
D
B
=
A
A
E
C
且  D A B =  E A C ，
  A D B ∽  A E C ，

D
E
B
C
=
A
A
B
C
，
 D B A C = A B E C ．
（2）证明：①  B A E =  D A C ，  B A C =  B A E −  C A E ，  D A E =  D A C −  C A E ，
  B A C =  D A E ，
 A C B =  A D E ，
  A B C ∽  A E D ；
②  A B C ∽  A E D ，

AB AE
= ，
AC AD
 B A E =  C A D ，
  A B E ∽  A C D ，

B
C
E
D
=
A
A
B
C
，
即： B E A C = C D A B ．例题5:
（★★★★★）（2023•嘉定区一模）已知
18
R t A B C 中，C=90，B=30， A B = 4 ，点 E 、
F 分别在边 A C 、边BC上（点 E 不与点 A 重合，点 F 不与点 B 重合），联结 E F ，将  C E F
沿着直线 E F 翻折后，点 C 恰好落在边 A B 上的点 D 处．过点 D 作 D M ⊥ A B ，交射线 A C 于
点 M ．设 A D = x ，
C
C
F
E
= y ，
MD
（1）如图1，当点M 与点C重合时，求 的值；
ED
（2）如图2，当点M 在线段 A C 上时，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出定义域；
（3）当
C
C
M
E
=
1
2
时，求AD的长．
【教学建议】老师可以根据本级情况，选择是否讲解最后一小问。
【常规讲解】解：（1）在 R t A B C 中，  A C B = 9 0  ，  B = 3 0  ， A B = 4 ，
  A = 6 0  ，BC=2 3， A C = 2 ，
D M ⊥ A B ，
  A D M = 9 0  ，
A C = 2 ，  A = 6 0  ，
 M D = 3 ，
由题意可得： C E = E D =
1
2
C A = 1 ，

M
E
D
D
= 3 ．
（2）由题意可知： C E = D E ，CF =DF ，  E D F =  C = 9 0  ，

C
C
F
E
=
D
D
F
E
= y ，
 M D F +  F D B = 9 0  ，EDM +MDF =90，
FDB=EDM ，
在RtADM中，ADM =90，A=60，AD=x，19
  A M D = 3 0  ， D M = 3 x ，
  B =  A M D ，
  F D B ∽  E D M ，

D
D
F
E
=
D
D
B
M
，
A D = x ， A B = 4 ，
 D B = 4 − x ，
 y =
4 3 −
3 x
3 x
( 4 − 2 3  x 1 ) ．
（3）①当点M在线段 A C 上时，
CM 1
= ，
CE 2

E
C
M
E
=
E
D
M
E
=
1
2
，
由（2）得FDB∽EDM，

F
E
B
M
=
F
E
D
D
，
FB EM 1
即 = = ，
FD ED 2

F
F
B
C
=
1
2
，
B C = 2 3 ，
4 3 2 3
CF =DF = ，BF = ，
3 3
过点 F 作 F H ⊥ A B ，垂足为点 H ，
BH =1， F H =
3
3
，
在RtDFH中，DH2 =DF2 −FH2，
4 3 3
DH2 =( )2 −( )2 =5，
3 3
DH = 5（负值舍去），
20
A D = 3 − 5 ．
②当点 M 在 A C 的延长线上时，
C
C
M
E
=
1
2
，

C
M
E
E
=
D
M
E
E
=
2
3
，
由题意得  M =  B ，  E D M =  F D B ，
  E D M ∽  F D B ，

E
F
D
D
=
E
F
M
B
，即
F
F
B
D
=
E
E
M
D
=
3
2
，

F
F
B
C
=
3
2
，
B C = 2 3 ，
 C F = D F =
4
5
3
， B F =
6
5
3
，
过点 F 作 F G ⊥ A B ，垂足为点 G ．
 B G =
9
5
， F G =
3
5
3
， D G =
2
5
1
，
11− 21
 AD= ．
5
综上， A D = 3 − 5 或
1 1 −
5
2 1
．
【拓展练习1】→全真战场关卡二练习5（含“旋转型”相似模型的几何动点题（25题））练习5:【学习框16】
（★★★★★）在梯形ABCD中，
21
A D / / B C ， A D = A B = 1 ，BC=2，A=90．（如图1)
（1）试求  C 的度数；
（2）若 E 、 F 分别为边AD、 C D 上的两个动点（不与端点 A 、 D 、C重合），且始终保持
 E B F = 4 5  ， B D 与EF交于点 P ．（如图 2 )
① 求证：  B D E ∽  B C F ；
② 试判断  B E F 的形状（从边、角两个方面考虑），并加以说明；
③ 设 A E = x ， D P = y ，试求 y 关于 x 的函数解析式，并写出定义域．
【教学建议】老师可以根据本级情况，选择是否讲解最后一小问。
【常规讲解】解：（1）作 D H ⊥ B C ，垂足为 H ，
在四边形 A B H D 中， A D / / B C ， A D = A B = 1 ，  A = 9 0  ，
则四边形 A B H D 为正方形，
又在  C D H 中，  D H C = 9 0  ， D H = A B = 1 ， C H = B C − B H = 1 ，

180−DHC
C= =45．
2
（2）① 四边形 A B H D 为正方形，
  C B D = 4 5  ，  A D B = 4 5  ，
又  E B F = 4 5  ，
DBE=CBF
又 BDE=C=45，
BDE∽BCF ．②
22
 B E F 是等腰直角三角形，
BDE∽BCF ，

B
B
E
D
=
F
C
B
B
，
又 EBF =DBC=45，
  E B F ∽  D B C ，
又在  D B C 中，  D B C =  C = 4 5  ，为等腰直角三角形，
  B E F 是等腰直角三角形．
③延长 E F 交 B C 的延长线于点 Q ，
易知 B D = C D = 2 ，
 B D E ∽  B C F ，

D
C
E
F
=
D
C
B
B
=
1
2
，
则DE=1−x,CF = 2− 2x，
 D F = C D − C F = 2 x ，
又
C
D
Q
E
=
C
D
F
F
=
1 −
x
x
，
 C Q =
1 − 2 x
x
+ x 2
，
D
B
P
P
=
D
B
E
Q
=
x
1
−
+
x
x
2
2
，

2
y
− y
=
x
1
−
+
x
x
2
y =
2 x
1
−
+ x
2 x 2
， ( 0  x  1 ) ．全真战场
教师可以根据课堂节奏将“全真战场”作为课堂补．充．练习或课后补．充．练习让学生的完成
关卡一
练习1:
（★★☆☆☆）如图，在
23
 A B C 与  A D E 中，  B A C =  D ，要使ABC与  A D E 相似，还需
满足下列条件中的( )
A．
A
A
C
D
=
A
A
B
E
AC BC
B． = C．
AD DE
A
A
C
D
=
A
D
B
E
D．
A
A
C
D
=
B
A
C
E
【常规讲解】解：  B A C =  D ，
A
A
C
D
=
A
D
B
E
，
  A B C ∽  A D E ．
故选： C ．
练习2:
（★★★☆☆）（2020•浦东新区三模）如图，已知  A B C 与BDE都是等边三角形，点 D 在边
A C 上（不与点A、 C 重合）， D E 与AB相交于点F ，那么与BFD相似的三角形是
( )
A．  B F E B．  B D C C．  B D A D．  A F D
【常规讲解】解： ABC与  B D E 都是等边三角形，
  A =  B D F = 6 0  ，
ABD=DBF，
BFD∽BDA，24
 与BFD相似的三角形是BDA，故选： C ．
练习3:
（★★★★☆）（2023•浦东新区三林中学期末）已知：如图，在  A B C 中，点D， E 分别在边
A B ， B C 上，BABD=BCBE
（1）求证： D E  A B = A C  B E ；
（2）如果 A C 2 = A D  A B ，求证： A E = A C ．
【常规讲解】证明：（1） B A  B D = B C  B E ，

A
B
B
C
=
B
B
E
D
，
又 B=B，
  A B C ∽  E B D ，

AB AC
= ，
BE ED
 D E  A B = A C  B E ；
（2） AC2 = ADAB，
AC AB
 = ，
AD AC
 D A C =  C A B ，
  A D C ∽  A C B ，
  A C D =  B ，
A
B
B
C
=
B
B
E
D
，  B =  B ，
BAE∽BCD，
  B A E =  B C D ，
AEC=B+BAE，ACE=ACD+BCD，
AEC=ACE，
AE= AC．练习4:
（★★★☆☆）（2020•青浦区一模）如图，在
25
 A B C 中， B D ⊥ A C 于点 D ，CE⊥ A B 于点 E .
（1）求证：  A B D ∽  A C E ；
（2）求证：  A E D ∽  A C B ；
（3）如果  A = 6 0  ，求证： D E =
12
B C .
【常规讲解】证明：（1） B D ⊥ A C , C E ⊥ A B
 A D B =  A E C = 9 0
 A =  A
  A B D ∽  A C E
(2)  A B D ∽  A C E

A
A
D
E
=
A
A
B
C
 D A E =  B A C
  A E D ∽  A C B
(3)  A E D ∽  A C B

D
B
E
C
=
A
A
D
B
A=60 ,  A D B = 9 0
  A B D = 3 0
A
E
D
O
B C
1 AD 1
AD= AB  =
2 AB 2
DE AD 1
 = =
BC AB 2
1
DE= BC
2关卡二
练习5:
（★★★★★）（2021•崇明区一模）如图，
26
R t A B C 中，ACB=90，AC=6， B C = 8 ．点
D 为斜边 A B 的中点， E D ⊥ A B ，交边 B C 于点 E ，点 P 为射线AC上的动点，点 Q 为边 B C
上的动点，且运动过程中始终保持 P D ⊥ Q D ．
（1）求证：  A D P ~  E D Q ；
（2）设AP=x， B Q = y ．求 y 关于 x 的函数解析式，并写出该函数的定义域；
（3）联结PQ，交线段 E D 于点 F ．当  P D F 为等腰三角形时，求线段AP的长．
【教学建议】老师可以根据班级的情况，选择是否讲解最后一小问。
【常规讲解】（1）证明： ACB=90，
  A +  B = 9 0  ，
E D ⊥ A B ，
  E D B = 9 0  ，
  D E Q +  B = 9 0  ，
  A =  D E Q ，
又 PD⊥QD，
PDQ=90，
EDQ+PDE=ADP+PDE=90，
EDQ=ADP，
ADP∽EDQ；
（2）解： ACB=90，AC=6，BC=8，AB= 62 +82 =10，
点
27
D 为斜边 A B 的中点，  A D = B D =
1
2
A B = 5 ，
 E D B =  A C B = 9 0  ，  B =  B ，
  E D B ∽  A C B ，

E
A
D
C
=
E
A
B
B
=
B
B
D
C
，
ED EB 5
即 = = ，
6 10 8
解得： E D =
1 5
4
， E B =
2 5
4
，
由（1）得：  A D P ∽  E D Q ，

A
E
P
Q
=
A
E
D
D
，
x 5 4
= =
即EQ 15 3 ，
4
解得： E Q =
3
4
x ，
 B Q = B E − E Q =
2 5
4
−
3
4
x ，
25 3
即y= − x，
4 4
A P 0 ，
x 0，
B Q 0 ，
25 3
 − x 0，
4 4
 x
2 5
3
，
 y =
2 5
4
−
3
4
x ( 0 x
2 5
3
) ；
（3）解：由（1）得：ADP~EDQ，

EQ ED ED
= = ，
AP AD BD
PD⊥QD，
PDQ=90，DQ ED ED
tanQPD= = = =tanB，
DP AD BD
28
  Q P D =  B ，
又 PDQ=BDE=90，
  P D F =  B D Q ，
  P D F ∽  B D Q ，
  P D F 为等腰三角形时，  B D Q 也为等腰三角形，
①若 D Q = B Q ，过 Q 作 Q G ⊥ B D 于 G ，如图所示：
则 D G = B G =
1
2
B D =
5
2
，
c o s B =
B
B
G
Q
=
B
A
C
B
=
1
8
0
=
4
5
，

2 5
4
5
2
−
3
4
x
=
4
5
，
解得： x =
2 5
6
，
25
即AP= ；
6
②若 B Q = B D ，则
2 5
4
−
3
4
x = 5 ，
解得： x =
5
3
，
即 A P =
5
3
；
③若DQ=DB，则B=DQB，
B+DQB+BDQ=2B+BDQ180，此种情况舍去；
综上所述，当  P D F
25 5
为等腰三角形时，线段AP的长为 或 ．
6 3