文档内容
12B 相似三角形的模型（二）
考情链接
1. 本次任务由两个部分构成
（1）燕尾型与双垂型
（2）旋转型
2. 考情分析
（1）相似三角形的模型，属于图形与几何部分，占中考考分值约30%.
（2）主要考察相似三角形的模型，以填空题、证明题为主.
（3）对应教材：初三上册，第二十四章：相似三角形，第三节：相似三角形
（4）相似三角形是初中几何中的核心模块，也是考查学生分析和解决问题等综合能力的重
要载体。本节主要讲的是相似三角形的模型，在解决问题时，我们要能从复杂的图形中分离
和构造基本图形，从而将几何问题"模块"化，以提高解题效率。
环节 需要时间
作业讲解及复习 15分钟
切片1：燕尾型与双垂型 40分钟
切片2：旋转型 45分钟
出门测 10分钟
错题整理 10分钟
1知识加油站 1——燕尾型与双垂型【建议时长：40分钟】
考点一：燕尾型
知识笔记1
燕尾型
已知：
2
A B C = A C D
结论：① ______________________
② ______________________
③ ______________________
④ ______________________
【填空答案】
① ADE∽ACB
② ADC∽AEB
③ D O B ∽ E O C
④ D O E ∽ B O C
B
D
O
A
E
C例题1:
（1）（★★☆☆☆）（2021•浦东新区校级期末）如图，
3
B E C = C D B ，结论正确的是 ( )
A．EFBF =DFCF B．BECD=BFCF
C．AEAB= ADAC D．AEBE= ADDC
（2）（★★★☆☆）（2023•松江区校级月考）已知，如图，在 A B C 中，点D是边 B C 上一点，
A E / / B C ， B E 分别与 A D 、 A C 相交于点 G ，且 A F 2 = F G F E ．
① 求证： A D C ∽ B G C ；
② 联结 D G ，求证：
G
A
A
E
=
G
A
D
B
．
【常规讲解】
（1）解： B E C = C D B ， E F B = D F C ，
E F B ∽ D F C ，
E
D
F
F
=
F
F
B
C
，
E F F C = D F F B ，
故A不符合题意：
EFB∽DFC，
BE BF
= ，
CD FC
BECF =CDBF，
故B不符合题意；
BEC=CDB，BEC+AEC=180，BDC+ADB=180，4
A E C = A D B ，
A B D ∽ A C E ，
A
A
B
C
=
A
A
D
E
，
A B A E = A D A C ，
故C符合题意；
因为： A E ， B E ， A D ， C D 组不成三角形，也不存在比例关系，
故 D 不符合题意；
故选： C ．
（2）证明：① AF2 =FGFE．
A
F
F
G
=
E
A
F
F
，
A F G = E F A ，
F A G ∽ F E A ，
F A G = E ，
A E / / B C ， E = E B C ，
E B C = F A G ，
A C D = B C G ，
A D C ∽ B G C ；
② CAD∽CBG，
C
C
A
B
=
C
C
D
G
，
D C G = A C B ，
CDG∽CAB，
D
A
G
B
=
C
C
G
B
，
AE//BC，
AE AG
= ，
BC CG
AG CG
= ，
AE BC
G
A
A
E
=
G
A
D
B
．练习1:【学习框8】
（★★☆☆☆）（2022•浦东新区期中）已知：如图，在ABC中，点
5
D ，点 E 分别是边 A C 、
AB上的点， E C 和BD相交于点O，且ABD=ACE，连接DE．
① 求证： E O D ∽ B O C ；
② 若
D
B
E
C
=
2
3
，求
A
A
E
C
的值．
【常规讲解】① 证明： A B D = A C E ， A = A ，
A B D ∽ A C E ，
A
A
D
E
=
A
A
B
C
，
A
A
D
B
=
A
A
E
C
，
ADE∽ABC，
A D E = A B C ，
ADE=ACE+OED，ABC=ABD+OBC，
A C E + O E D = A B D + O B C ，
O E D = O B C ，
E O D = B O C ，
EOD∽BOC．
② 解：由① 得 A D E ∽ A B C ，
DE 2
= ，
BC 3
AE DE 2
= = ，
AC BC 3
AE 2
的值是= ．
AC 3考点二：双垂型
知识笔记2
双垂型
已知：
6
A B C = A C D = 9 0
结论：① ______________________
② ______________________
③ ______________________
【填空答案】
① A D C ∽ A E B ∽ O D B ∽ O E C
② A D E ∽ A C B
③ D O E ∽ B O C
例题2:
（1）（★★★☆☆）（2022•长宁区校级期中）如图， B D 是 A B C 边 A C 上的高，点 E 在边 A B
上，联接CE交 B D 于点 O ， A D O C = A B O D ．
①求证： A B D ∽ A C E ；
②联接 D E ，作 A F 平分 B A C ，交BC于点 F ，交 D E 于点 G ．求证：AFDE= AGBC．
B
D
O
A
E
C（2）（★★★★☆）（2022•长宁区虹桥中学期中）如图，已知，在锐角ABC中，BD和CE 分
别是边
7
A C 、 A B 上的高．
① 求证：
A
E
E
F
=
A
B
C
F
；
② 联结 A F ，求证： A F B E = B C E F ．
【常规讲解】
（1）证明：① A D O C = A B O D ，
所以
A
A
D
B
=
O
O
D
C
，
所以
A
A
D
B
2
2
=
O
O
D
C
2
2
，
所以
A B
A
2
D
−
2
A D 2
=
O C
O
2
D
−
2
O D 2
，
因为 B D 是ABC边 A C 上的高，
所以 A D B = O D C = 9 0 ，
AD2 OD2 AD OD
所以 = 即 = ，
BD2 CD2 BD CD
所以 A B D ∽ O C D ，
所以 A B D = A C E ，
因为 A = A ，
所以 A B D ∽ A C E ．
②根据①得ABD∽ACE，
AD AB
所以 = ，
AE AC
AD AE
所以 = ；
AB AC
因为 D A E = B A C ，
所以DAE∽BAC，
因为AF 平分BAC，所以
8
D
B
E
C
=
A
A
G
F
，
所以AFDE= AGBC．
（2）证明：① B D 和 C E 分别是边 A C 、 A B 上的高，
AEC=BDA=90，
A + A C E = 9 0 = A + A B D ，
ACE=ABD，
又 A E C = B E F = 9 0 ，
AEC∽FEB，
A
E
E
F
=
A
B
C
F
；
② 如图，连接 A F ，
A E C ∽ F E B ，
A
E
E
F
=
E
B
C
E
，
A
E
E
C
=
E
B
F
E
，
又 A E C = F E B = 9 0 ，
A E F ∽ C E B ，
AF EF
= ，AFBE=BCEF．
BC BE
练习2:【学习框10】
（★★★☆☆）已知：如图，在 A B C 中，BD⊥ AC于点 D ， C E ⊥ A B 于点 E ， E C 和 B D 相
交于点 O ，联接DE．
（1） 求证： E O D ∽ B O C ；
AE
（2） 若S =16，S =36，求 的值．
EOD BOC AC【常规讲解】
（1）证明：在
9
B O E 与 D O C 中，
BEO=CDO， B O E = C O D ，
B O E ∽ C O D ，
O
O
E
D
=
O
O
B
C
，
即
O
O
E
B
=
O
O
D
C
，
又 EOD=BOC，
E O D ∽ B O C ；
（2） 解： E O D ∽ B O C
S
S
E
B
O
O
D
C
= (
O
O
D
C
) 2 ，
S
E O D
= 1 6 ， S
B O C
= 3 6 ，
O
O
D
C
=
2
3
，
在ODC与EAC中，
A E C = O D C ， O C D = A C E ，
O D C ∽ A E C ，
O
A
D
E
=
O
A
C
C
，
即
O
O
D
C
=
A
A
E
C
，
A
A
E
C
=
2
3
．知识加油站 2 旋转型【推荐时长 45分钟】
考点三：旋转型
知识笔记3
旋转型
结论：ABC∽ADEADB∽AEC
旋转相似三角形，成对出现，有一组相似可以推另外一组甚至更多
例题3:
（1）（★★☆☆☆）如图，已知1=2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定
10
A B C ∽ A D E
的是( )
AB AC AB BC
A． = B． = C．
AD AE AD DE
B = D D．C=AED
（2）（★★☆☆☆）（2019•长宁区期末）如图所示，在ABC与 D B E 中，
A
B
B
D
=
B
B
C
E
=
A
D
C
E
=
5
3
，
且ABC和BDE周长之差为 1 0 c m ，则ABC的周长为 cm．
B
A
D
E
C
D
B
2
E
A
1
C
A
D
B
C
E（3）（★★★☆☆）（2022•普陀区期中）如图．在ABC和
11
A D E 中， B A C = D A E = 9 0 ，
A B = 3 3 ， A D = 3 ， B C = 6 ， D E = 2 ．
① 求证： R t A B C ∽ R t A D E ；
BD
② 求 的值．
CE
【常规讲解】
（1）解： 1 = 2
D A E = B A C
A ， C ， D 都可判定 A B C ∽ A D E
选项 B 中不是夹这两个角的边，所以不相似，
故选： B ．
（2）解：在 A B C 与 D B E 中，
A
B
B
D
=
B
B
C
E
=
A
D
C
E
=
5
3
，
则ABC∽DBE，并且相似比是 5 : 3 ，
相似三角形周长的比等于相似比，
因而可以设 A B C 的周长是5a，则DBE的周长是 3 a ，
根据 A B C 和 B D E 周长之差为 1 0 c m ，
得到 5 a − 3 a = 1 0 解得： a = 5 ，
ABC的周长为25cm．
（3）① 证明： BAC=DAE=90， A B = 3 3 ， A D = 3
A
E
D
B C
，BC=6，DE=2．
AC = BC2 −AB2 = 62 −(3 3)2 =3，AE= DE2 −AD2 = 22 −( 3)2 =1，
AB AD
= = 3，
AC AE
RtABC∽RtADE．AB AD
② 解：由（1）得 = ，
AC AE
12
A
A
B
D
=
A
A
C
E
，
B A D = C A E = 9 0 − C A D ，
A B D ∽ A C E ，
B
C
D
E
=
A
A
B
C
= 3 ，
B
C
D
E
的值是 3．
练习3:【学习框12】
（1）（★★☆☆☆）（2020•徐汇区期末）如图， 1 = 2 ，请补充一个条件：___________或
___________，使 A B C ∽ A D E ．
（2）（★★☆☆☆）如图，已知 E A C = D A B ， C = D ， A D = 6 ， A E = 8 ， A C = 1 0 ，
那么 A B = ．
【常规讲解】
（1）解： 1 = 2 ，
BAC=DAE
又 C=E（或 B = A D E )
A B C ∽ A D E ．
故答案为： C = E 或 B = A D E ．
（2）解： E A C = D A B ， A D = 6 ， A E = 8 ，AC=10，
BAC=EAD，13
C = D ，
A D E ∽ A C B ，
A
A
D
C
=
A
A
E
B
，即
1
6
0
=
A
8
B
，
解得 A B =
4 0
3
．
故答案为：
4 0
3
．
例题4:
（1）（★★★★☆）（2023•黄浦区期末）如图，在平行四边形 A B C D 中，AC⊥ AD，过点 A
作AE⊥BD，垂足为E，再过点C作CF ⊥CD交直线AE于点F ．
①求证： C A C D = C B C F ；
②联结CE，求证：ACE=F．
（2）（★★★★☆）（2021•普陀区一模）已知：如图，AD//BC， A B D = C ， A E ⊥ B D ，
DF ⊥BC，点 E 、 F 分别为垂足．
A D
E
B F C
AE BD
① 求证： = ；
DF BC
② 联结EF，如果ADB=BDF，求证：DFDC=EFBC．【常规讲解】
（1）证明：①设
14
A C 与BD交于点G，如图，
四边形 A B C D 为平行四边形，
B C / / A D ，
C B D = A D B ．
A C ⊥ A D ，
C A E + D A E = 9 0 ，
A E ⊥ B D ，
D A E + A D E = 9 0 ，
ADE=CAE，
C A E = C B D ．
BC//AD，AC⊥ AD，
A C ⊥ B C ，
CF ⊥CD，
A C B = D C F = 9 0 ，
ACB+ACD=DCF+ACD，
B C D = A C F ，
BCD∽ACF ，
C
A
B
C
=
C
C
D
F
，
CACD=CBCF ；
②由①知： C A E = A D E ，
A G E = D G A ，
A G E ∽ D G A ，
A
E
G
G
=
D
A
G
G
，
A G 2 = E G D G ．
四边形ABCD为平行四边形，
AG=GC，
CG2 =EGDG．15
E
C
G
G
=
C
D
G
G
，
EGC=CGD，
E G C ∽ C G D ，
A C E = C D B ．
由（1）知： B C D ∽ A C F ，
CDB=F，
A C E = F ．
（2）① 证明： A E ⊥ B D ， D F ⊥ B C ，
A E B = D F C = 9 0 ，
A B D = C ，
A B E ∽ D C F ，
A
D
E
F
=
A
D
B
C
，
A D / / B C ，
A D B = D B C ，
A B D ∽ D C B ，
A
D
B
C
=
B
B
D
C
，
A
D
E
F
=
B
B
D
C
；
② 证明： A D B = D B F ， A D B = B D F ， B F D = 9 0 ，
D B F = B D F ，
D B F = A D E = 4 5 ，
A E D 和 B F D 都是等腰直角三角形，
AD BD
= = 2，
DE DF
又 ADE=BDF，
ADB∽EDF ，
ABD=EFD，
ABD=C，
EFD=C，EDF =DBC，
16
E D F ∽ D B C ，
D
B
F
C
=
E
D
F
C
，
D F D C = E F B C ．
练习4:【学习框14】
（1）（★★★☆☆）（2019•宝山区期中）已知：如图，
D
B
E
C
=
A
A
D
B
=
A
A
E
C
，求证：
① D A B = E A C
② D B A C = A B E C ．
（2）（★★★★☆）如图，已知四边形ABCD的对角线 A C 、 B D 交于点 F ，点 E 是 B D 上一
点，且 B C A = A D E ， C A D = B A E ．
① 求证： A B C ∽ A E D ；
② 求证： B E A C = C D A B ．
【常规讲解】
（1）证明：① 在 A D E 和ABC中，
DE AD AE
= = ，
BC AB AC
A D E ∽ A B C ，
DAE=BAC，
即DAB+BAE=BAE+EAC，
D
B
A
E C17
D A B = E A C ；
② 在ADB和AEC中，
A
A
D
B
=
A
A
E
C
且 D A B = E A C ，
A D B ∽ A E C ，
D
E
B
C
=
A
A
B
C
，
D B A C = A B E C ．
（2）证明：① B A E = D A C ， B A C = B A E − C A E ， D A E = D A C − C A E ，
B A C = D A E ，
A C B = A D E ，
A B C ∽ A E D ；
② A B C ∽ A E D ，
AB AE
= ，
AC AD
B A E = C A D ，
A B E ∽ A C D ，
B
C
E
D
=
A
A
B
C
，
即： B E A C = C D A B ．例题5:
（★★★★★）（2023•嘉定区一模）已知
18
R t A B C 中，C=90，B=30， A B = 4 ，点 E 、
F 分别在边 A C 、边BC上（点 E 不与点 A 重合，点 F 不与点 B 重合），联结 E F ，将 C E F
沿着直线 E F 翻折后，点 C 恰好落在边 A B 上的点 D 处．过点 D 作 D M ⊥ A B ，交射线 A C 于
点 M ．设 A D = x ，
C
C
F
E
= y ，
MD
（1）如图1，当点M 与点C重合时，求 的值；
ED
（2）如图2，当点M 在线段 A C 上时，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出定义域；
（3）当
C
C
M
E
=
1
2
时，求AD的长．
【教学建议】老师可以根据本级情况，选择是否讲解最后一小问。
【常规讲解】解：（1）在 R t A B C 中， A C B = 9 0 ， B = 3 0 ， A B = 4 ，
A = 6 0 ，BC=2 3， A C = 2 ，
D M ⊥ A B ，
A D M = 9 0 ，
A C = 2 ， A = 6 0 ，
M D = 3 ，
由题意可得： C E = E D =
1
2
C A = 1 ，
M
E
D
D
= 3 ．
（2）由题意可知： C E = D E ，CF =DF ， E D F = C = 9 0 ，
C
C
F
E
=
D
D
F
E
= y ，
M D F + F D B = 9 0 ，EDM +MDF =90，
FDB=EDM ，
在RtADM中，ADM =90，A=60，AD=x，19
A M D = 3 0 ， D M = 3 x ，
B = A M D ，
F D B ∽ E D M ，
D
D
F
E
=
D
D
B
M
，
A D = x ， A B = 4 ，
D B = 4 − x ，
y =
4 3 −
3 x
3 x
( 4 − 2 3 x 1 ) ．
（3）①当点M在线段 A C 上时，
CM 1
= ，
CE 2
E
C
M
E
=
E
D
M
E
=
1
2
，
由（2）得FDB∽EDM，
F
E
B
M
=
F
E
D
D
，
FB EM 1
即 = = ，
FD ED 2
F
F
B
C
=
1
2
，
B C = 2 3 ，
4 3 2 3
CF =DF = ，BF = ，
3 3
过点 F 作 F H ⊥ A B ，垂足为点 H ，
BH =1， F H =
3
3
，
在RtDFH中，DH2 =DF2 −FH2，
4 3 3
DH2 =( )2 −( )2 =5，
3 3
DH = 5（负值舍去），
20
A D = 3 − 5 ．
②当点 M 在 A C 的延长线上时，
C
C
M
E
=
1
2
，
C
M
E
E
=
D
M
E
E
=
2
3
，
由题意得 M = B ， E D M = F D B ，
E D M ∽ F D B ，
E
F
D
D
=
E
F
M
B
，即
F
F
B
D
=
E
E
M
D
=
3
2
，
F
F
B
C
=
3
2
，
B C = 2 3 ，
C F = D F =
4
5
3
， B F =
6
5
3
，
过点 F 作 F G ⊥ A B ，垂足为点 G ．
B G =
9
5
， F G =
3
5
3
， D G =
2
5
1
，
11− 21
AD= ．
5
综上， A D = 3 − 5 或
1 1 −
5
2 1
．
【拓展练习1】→全真战场关卡二练习5（含“旋转型”相似模型的几何动点题（25题））练习5:【学习框16】
（★★★★★）在梯形ABCD中，
21
A D / / B C ， A D = A B = 1 ，BC=2，A=90．（如图1)
（1）试求 C 的度数；
（2）若 E 、 F 分别为边AD、 C D 上的两个动点（不与端点 A 、 D 、C重合），且始终保持
E B F = 4 5 ， B D 与EF交于点 P ．（如图 2 )
① 求证： B D E ∽ B C F ；
② 试判断 B E F 的形状（从边、角两个方面考虑），并加以说明；
③ 设 A E = x ， D P = y ，试求 y 关于 x 的函数解析式，并写出定义域．
【教学建议】老师可以根据本级情况，选择是否讲解最后一小问。
【常规讲解】解：（1）作 D H ⊥ B C ，垂足为 H ，
在四边形 A B H D 中， A D / / B C ， A D = A B = 1 ， A = 9 0 ，
则四边形 A B H D 为正方形，
又在 C D H 中， D H C = 9 0 ， D H = A B = 1 ， C H = B C − B H = 1 ，
180−DHC
C= =45．
2
（2）① 四边形 A B H D 为正方形，
C B D = 4 5 ， A D B = 4 5 ，
又 E B F = 4 5 ，
DBE=CBF
又 BDE=C=45，
BDE∽BCF ．②
22
B E F 是等腰直角三角形，
BDE∽BCF ，
B
B
E
D
=
F
C
B
B
，
又 EBF =DBC=45，
E B F ∽ D B C ，
又在 D B C 中， D B C = C = 4 5 ，为等腰直角三角形，
B E F 是等腰直角三角形．
③延长 E F 交 B C 的延长线于点 Q ，
易知 B D = C D = 2 ，
B D E ∽ B C F ，
D
C
E
F
=
D
C
B
B
=
1
2
，
则DE=1−x,CF = 2− 2x，
D F = C D − C F = 2 x ，
又
C
D
Q
E
=
C
D
F
F
=
1 −
x
x
，
C Q =
1 − 2 x
x
+ x 2
，
D
B
P
P
=
D
B
E
Q
=
x
1
−
+
x
x
2
2
，
2
y
− y
=
x
1
−
+
x
x
2
y =
2 x
1
−
+ x
2 x 2
， ( 0 x 1 ) ．全真战场
教师可以根据课堂节奏将“全真战场”作为课堂补．充．练习或课后补．充．练习让学生的完成
关卡一
练习1:
（★★☆☆☆）如图，在
23
A B C 与 A D E 中， B A C = D ，要使ABC与 A D E 相似，还需
满足下列条件中的( )
A．
A
A
C
D
=
A
A
B
E
AC BC
B． = C．
AD DE
A
A
C
D
=
A
D
B
E
D．
A
A
C
D
=
B
A
C
E
【常规讲解】解： B A C = D ，
A
A
C
D
=
A
D
B
E
，
A B C ∽ A D E ．
故选： C ．
练习2:
（★★★☆☆）（2020•浦东新区三模）如图，已知 A B C 与BDE都是等边三角形，点 D 在边
A C 上（不与点A、 C 重合）， D E 与AB相交于点F ，那么与BFD相似的三角形是
( )
A． B F E B． B D C C． B D A D． A F D
【常规讲解】解： ABC与 B D E 都是等边三角形，
A = B D F = 6 0 ，
ABD=DBF，
BFD∽BDA，24
与BFD相似的三角形是BDA，故选： C ．
练习3:
（★★★★☆）（2023•浦东新区三林中学期末）已知：如图，在 A B C 中，点D， E 分别在边
A B ， B C 上，BABD=BCBE
（1）求证： D E A B = A C B E ；
（2）如果 A C 2 = A D A B ，求证： A E = A C ．
【常规讲解】证明：（1） B A B D = B C B E ，
A
B
B
C
=
B
B
E
D
，
又 B=B，
A B C ∽ E B D ，
AB AC
= ，
BE ED
D E A B = A C B E ；
（2） AC2 = ADAB，
AC AB
= ，
AD AC
D A C = C A B ，
A D C ∽ A C B ，
A C D = B ，
A
B
B
C
=
B
B
E
D
， B = B ，
BAE∽BCD，
B A E = B C D ，
AEC=B+BAE，ACE=ACD+BCD，
AEC=ACE，
AE= AC．练习4:
（★★★☆☆）（2020•青浦区一模）如图，在
25
A B C 中， B D ⊥ A C 于点 D ，CE⊥ A B 于点 E .
（1）求证： A B D ∽ A C E ；
（2）求证： A E D ∽ A C B ；
（3）如果 A = 6 0 ，求证： D E =
12
B C .
【常规讲解】证明：（1） B D ⊥ A C , C E ⊥ A B
A D B = A E C = 9 0
A = A
A B D ∽ A C E
(2) A B D ∽ A C E
A
A
D
E
=
A
A
B
C
D A E = B A C
A E D ∽ A C B
(3) A E D ∽ A C B
D
B
E
C
=
A
A
D
B
A=60 , A D B = 9 0
A B D = 3 0
A
E
D
O
B C
1 AD 1
AD= AB =
2 AB 2
DE AD 1
= =
BC AB 2
1
DE= BC
2关卡二
练习5:
（★★★★★）（2021•崇明区一模）如图，
26
R t A B C 中，ACB=90，AC=6， B C = 8 ．点
D 为斜边 A B 的中点， E D ⊥ A B ，交边 B C 于点 E ，点 P 为射线AC上的动点，点 Q 为边 B C
上的动点，且运动过程中始终保持 P D ⊥ Q D ．
（1）求证： A D P ~ E D Q ；
（2）设AP=x， B Q = y ．求 y 关于 x 的函数解析式，并写出该函数的定义域；
（3）联结PQ，交线段 E D 于点 F ．当 P D F 为等腰三角形时，求线段AP的长．
【教学建议】老师可以根据班级的情况，选择是否讲解最后一小问。
【常规讲解】（1）证明： ACB=90，
A + B = 9 0 ，
E D ⊥ A B ，
E D B = 9 0 ，
D E Q + B = 9 0 ，
A = D E Q ，
又 PD⊥QD，
PDQ=90，
EDQ+PDE=ADP+PDE=90，
EDQ=ADP，
ADP∽EDQ；
（2）解： ACB=90，AC=6，BC=8，AB= 62 +82 =10，
点
27
D 为斜边 A B 的中点， A D = B D =
1
2
A B = 5 ，
E D B = A C B = 9 0 ， B = B ，
E D B ∽ A C B ，
E
A
D
C
=
E
A
B
B
=
B
B
D
C
，
ED EB 5
即 = = ，
6 10 8
解得： E D =
1 5
4
， E B =
2 5
4
，
由（1）得： A D P ∽ E D Q ，
A
E
P
Q
=
A
E
D
D
，
x 5 4
= =
即EQ 15 3 ，
4
解得： E Q =
3
4
x ，
B Q = B E − E Q =
2 5
4
−
3
4
x ，
25 3
即y= − x，
4 4
A P 0 ，
x 0，
B Q 0 ，
25 3
− x 0，
4 4
x
2 5
3
，
y =
2 5
4
−
3
4
x ( 0 x
2 5
3
) ；
（3）解：由（1）得：ADP~EDQ，
EQ ED ED
= = ，
AP AD BD
PD⊥QD，
PDQ=90，DQ ED ED
tanQPD= = = =tanB，
DP AD BD
28
Q P D = B ，
又 PDQ=BDE=90，
P D F = B D Q ，
P D F ∽ B D Q ，
P D F 为等腰三角形时， B D Q 也为等腰三角形，
①若 D Q = B Q ，过 Q 作 Q G ⊥ B D 于 G ，如图所示：
则 D G = B G =
1
2
B D =
5
2
，
c o s B =
B
B
G
Q
=
B
A
C
B
=
1
8
0
=
4
5
，
2 5
4
5
2
−
3
4
x
=
4
5
，
解得： x =
2 5
6
，
25
即AP= ；
6
②若 B Q = B D ，则
2 5
4
−
3
4
x = 5 ，
解得： x =
5
3
，
即 A P =
5
3
；
③若DQ=DB，则B=DQB，
B+DQB+BDQ=2B+BDQ180，此种情况舍去；
综上所述，当 P D F
25 5
为等腰三角形时，线段AP的长为 或 ．
6 3
