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第8讲 规律探究
知识点1：规律探究之数字变化
数字的变化问题一般有找循环周期、等差数列、等比数列、平方数等类型。
【典例】
1.如图，是蜘蛛结网过程示意图，一只蜘蛛先以 O为起点结六条线OA，OB，OC，OD，
OE，OF后，再从线OA上某点开始按逆时针方向依次在OA，OB，OC，OD，OE，OF，
OA，OB…上结网，若将各线上的结点依次记为：1，2，3，4，5，6，7，8，…，那么第
个结点在（ ）
A. 线OA上 B. 线OB上 C. 线OC上 D. 线OF上
【解析】解：根据数的排布发现：1在OA上，2在OB上，3在OC上，4在OD上，5在
OE上，6在OF上，7在OA上，…，
射线上的数字以6为周期循环，
∵÷6=336，
∴与6在同一条射线上，即在射线OF上．故选：D
【方法总结】
遇到循环节问题首先找到循环节（循环周期）是什么，循环节可以通过将图形中的元素一
一列举得到；其次要找到所求元素所在的循环节；最后找到在循环节中的位置。
2 4 6 8
2.一组数 ， ， ， …按一定的规律排列着，请你根据排列规律，推测这组数的第10个
3 5 7 9
数应为_____
【解析】解：设该数列中第n个数为a（n为正整数），
n
2 4 6 8
观察，发现规律：a= ，a= ，a= ，a= ，…，
1 3 2 5 3 7 4 9
序号 1 2 3 4 …… n
分子 2 4 6 8 …… 2n分母 3 5 7 9 …… 2n+1
2n
∴a= ．
n 2n+1
2×10 20
当n=10时，a = = ．
10 2×10+1 21
【方法总结】
等差数列问题首先找出公差，即后一项与前一项的差，其次用第一项与公差、序号来表示
每一项；遇到分数数列，如果找不到公差，可以考虑将分子、分母作为两个不同的数列分
别找出其中的规律，最后确定数字的正负与序号奇偶的关系。
3.下面是一组按规律排列的数：1，2，4，8，16，…，则第2008个数是_______
【解析】解：第1个数1=1，
第2个数2=21，
第3个数4=22，
第4个数8=23，
第5个数16=24，
…，
第2008个数是：22007．
【方法总结】
等比数列问题首先找出后一项与前一项的比值；其次通过列举观察、用第一个数字和公比
来表示每一个数字。
4.按一定的规律排列的一列数依次为：﹣2，5，﹣10，17，﹣26，…，按此规律排列下去，
这列数中第9个数及第n个数（n为正整数）分别是______
【解析】解：根据数值的变化规律可得：
第1个数：﹣2=（﹣1）1（12+1）．
第2个数：5=（﹣1）2（22+1）．
第3个数：﹣10=（﹣1）3（32+1）．
∴第9个数为：（﹣1）9（92+1）=﹣82
第n个数为：（﹣1）n（n2+1）．
【方法总结】
平方数问题要找准数列的序数与每一个数字的平方关系。解决这种问题首先将序数平方；
其次对比序列中每一个数字的绝对值与序数平方的大小关系；最后确定数字的正负与序数
奇偶的关系。
5.填在下面各正方形中的四个数之间都有一定的规律，按此规律得出a，b的值分别为____【解析】解：答案正方形中的四个数：
∵第一个正方形中0+3=3，0+4=4，3×4+1=13；
第二个正方形中2+3=5，2+4=6，5×6+1=31；
第三个正方形中4+3=7，4+4=8，7×8+1=57．
∴c=6+3=9，a=6+4=10，b=9×10+1=91．
【方法总结】
规律表格问题首先找出表格内部各数字之间的关系，其次表示出相邻两个表格内相同位置
的数字的关系，通常找最小数字之间的关系。
【随堂练习】
1．（山亭区期末）计算 + + + + +…+ 的值为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：原式＝ + + +…+
＝1﹣ + ﹣ + ﹣ +…+ ﹣
＝1﹣
＝ ，
故选：D．
2．（昌平区期末）观察下列等式：
31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187，38＝6561，39＝
19683，……
它们的个位数字有什么规律，用你发现的规律直接写出9的个位数字是（ ）
A．3 B．9 C．7 D．1
【解答】解：3的指数从1到4，末位数字从3，9，7，1进行循环，
9＝34038，
4038÷4＝1009…2，
则9的个位数字是9．
故选：B．
3．（青山区模拟）将连续正奇数按如图所示规律排列，将（1，3，5，7）称为正方形1组，
（9，11，13，15，17，19，21，23，25，27，29，31）称为正方形2组，（33，35，37，39，41，43，45，47，49，51，53，55，57，59，61，63，65，67，69，71）称为
正方形3组，…则在正方形（ ）组．
41 43 45 47 49 51
39 13 15 17 19 53
37 11 1 3 21 55
35 9 7 5 23 57
33 31 29 27 25 59
71 69 67 65 63 61
A．16 B．17 C．23 D．25
【解答】解：由题意可得，
正方形1组有1×4＝4个数，
正方形2组有3×4＝12个数，
正方形3组有5×4＝20个数，
…，
则正方形n组有（2n﹣1）×4＝（8n﹣4）个数，
则前n组奇数的个数为： ，
∵n＝15时，4n2＝900，当n＝16时，4n2＝1024，
（+1）÷2＝1010，则是第1010个奇数，
∴在第正方形16组，
故选：A．
4．（贺州）计算 + + + +…+ 的结果是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：原式＝
＝
＝ ．
故选：B．
5．（十堰模拟）按照一定规律排列的n个数： ，若最后两个数
的乘积为 ，则n的值为（ ）
A．12 B．16 C．17 D．18【解答】解：∵一列数为 ，
∴当n为奇数时，第n个数为n（n+1），
当n为偶数时，第n个数为 ，
∵最后两个数的乘积为 ，
∴当n为奇数时， ×[n（n+1）]＝ ，得n＝17，
当n为偶数时，[（n﹣1）n]× ＝ ，得n＝﹣17（舍去），
故选：C．
6．（常德）观察下列等式：70＝1，71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，…，
根据其中的规律可得70+71+72+…+7的结果的个位数字是（ ）
A．0 B．1 C．7 D．8
【解答】解：∵70＝1，71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，…，
∴个位数4个数一循环，
∴（+1）÷4＝505，
∴1+7+9+3＝20，
∴70+71+72+…+7的结果的个位数字是：0．
故选：A．
7．（十堰）一列数按某规律排列如下： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，…，
若第n个数为 ，则n＝（ ）
A．50 B．60 C．62 D．71
【解答】解： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，…，可写为： ，（ ，
），（ ， ， ），（ ， ， ， ），…，
∴ 分 母 为 11 开 头 到 分 母 为 1 的 数 有 11 个 ， 分 别 为
，
∴第n个数为 ，则n＝1+2+3+4+…+10+5＝60，
故选：B．8．（济宁）已知有理数a≠1，我们把 称为a的差倒数，如：2的差倒数是 ＝﹣1，
﹣1的差倒数是 ＝ ．如果a ＝﹣2，a 是a 的差倒数，a 是a 的差倒数，a 是
1 2 1 3 2 4
a 的差倒数……依此类推，那么a+a+…+a 的值是（ ）
3 1 2 100
A．﹣7.5 B．7.5 C．5.5 D．﹣5.5
【解答】解：∵a＝﹣2，
1
∴a＝ ＝ ，a＝ ＝ ，a＝ ＝﹣2，……
2 3 4
∴这个数列以﹣2， ， 依次循环，且﹣2+ + ＝﹣ ，
∵100÷3＝33…1，
∴a+a+…+a ＝33×（﹣ ）﹣2＝﹣ ＝﹣7.5，
1 2 100
故选：A．
知识点2：规律探究之图形变化
图形变化规律题是数字变化规律的变形和综合，涉及到数字规律的各个公式。在完成该类
题型的时候也要将序号与图形个数联系，尝试从等差、等比、平方数等各种数列的规律中
寻找突破口。
【典例】
1.下列图形都是由同样大小的圆按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有4个圆，
第②个图形中一共有8个圆，第③个图形中一共有14个圆，第④个图形中一共有22个圆，
…，按此规律排列下去，第⑨个图形中圆的个数是______
【解析】解：观察图形可知，每个图形的最上面都有两个圆圈，而下面的圆圈分布分别是
2、2×3、3×4、4×5
即第①个图形中一共有1×（1+1）+2=4个圆，
第②个图形中一共有2×（2+1）+2=8个圆，
第③个图形中一共有3×（3+1）+2=14个圆，
第④个图形中一共有4×（4+1）+2=22个圆；
可得第n个图形中圆的个数是n（n+1）+2；所以第⑨个图形中圆的个数9×（9+1）+2=92，
【方法总结】
该题解题时可以先从不同角度尝试，纵向切割后得到的数字跟序号联系得不到明显的规律
所以需要从横向切割，发现最上面的都是两个圆，下面的行和列呈现自然数列相乘。
【随堂练习】
1．（大渡口区期末）如图，是由形状相同的正六边形和正三角形镶嵌而成的一组有规律的
图案，则第（7）个图案中阴影小三角形的个数是（ ）
A．26 B．27 C．28 D．29
【解答】解：由图可知：
第一个图案有阴影小三角形2个．
第二图案有阴影小三角形2+4＝6个．
第三个图案有阴影小三角形2+8＝10个，
那么第n个就有阴影小三角形2+4（n﹣1）＝4n﹣2个，
当n＝7时，4n﹣2＝4×7﹣2＝26
故选：A．
2．（惠安县一模）某班要在一面墙上同时展示数张形状、大小均相同的矩形绘画作品，将
这些作品排成一个矩形（作品不完全重合）．现需要在每张作品的四个角落都钉上图钉，
如果作品有角落相邻，那么相邻的角落共享一枚图钉（例如用9枚图钉将4张作品钉在
墙上如图）．若有28枚图钉可供选用，则最多可以展示绘画作品（ ）
A．16张 B．18张 C．20张 D．21张
【解答】解：①如果所有的画展示成一行，28÷（1+1）﹣1＝13（张），
∴28枚图钉最多可以展示15张画；
②如果所有的画展示成两行，28÷（2+1）＝9（枚）……1（枚），
9﹣1＝8（张），2×18＝16（张），
∴28枚图钉最多可以展示16张画；
③如果所有的画展示成三行，28÷（3+1）＝7（枚），
7﹣1＝6，3×6＝18（张），
∴28枚图钉最多可以展示18张画；
④如果所有的画展示成四行，28÷（4+1）＝5（枚）……3（枚），5﹣1＝4（张），4×4＝16（张），
∴28枚图钉最多可以展示16张画；
⑤如果所有的画展示成五行，28÷（5+1）＝4（枚），
4﹣1＝3（张），5×3＝15（张），
∴28枚图钉最多可以展示15张画．
综上所述：28枚图钉最多可以展示18张画．
故选：B．
3．（乐陵市二模）如图，将△ABC沿着过AB中点D的直线折叠，使点A落在BC边上的
A ，称为第1次操作，折痕DE到BC的距离记为h ；还原纸片后，再将△ADE沿着过
1 1
AD中点D 的直线折叠，使点A落在DE边上的A 处，称为第2次操作，折痕DE 到
1 2 1 1
BC的距离记为h ：按上述方法不断操作下去…，经过第次操作后得到的折痕 DE，到
2
BC的距离记为h：若h＝1，则h的值为（ ）
1
A． B． C． D．
【解答】解：由折叠的性质可得：AA⊥DE，DA＝DA，
1 1
又∵D是AB中点，
∴DA＝DB，
∴DB＝DA，
1
∴∠BAD＝∠B，
1
∴∠ADA ＝2∠B，
1
又∵∠ADA ＝2∠ADE，
1
∴∠ADE＝∠B，
∴DE∥BC，
∴AA⊥BC，
1
∴AA＝2h＝2，
1 1
∴h＝2﹣1＝1，
1
同理，h＝2﹣ ，h3＝2﹣ × ＝2﹣
2
…∴经过第n次操作后得到的折痕D E 到BC的距离h＝2﹣ ．
n﹣1 n﹣1 n
∴h＝2﹣ ．
故选：B．
4．（重庆模拟）如图，下列图形都是由大小和形状完全相同的菱形按照一定的规律排列组
成的，其中第①个图形中一共有5个菱形第②个图形中一共有8个菱形，第③个图形中
一共有11个菱形，第④个图形中一共有14个菱形，…，按此规律排列下去，第⑨个图
形中菱形的个数是（ ）
A．25 B．26 C．27 D．29
【解答】解：第①个图形中一共有5个菱形，5＝3×1+2；
第②个图形中共有8个菱形，8＝3×2+2；
第③个图形中共有11个菱形，11＝3×3+2；
…，
第n个图形中菱形的个数为：3n+2；
∴第③个图形中共有菱形的个数为：3×9+2＝29；
故选：D．
5．（沙坪坝区模拟）下列图形都是由同样大小的小黑点按照一定规律所组成的，图 1中共
有8个小黑点，图2中共有11个小黑点，…，按此规律，则图 7中小黑点的个数是（
）
A．29 B．26 C．23 D．20
【解答】解：∵搭第1个图形需要8个小黑点，8＝5+3，搭第2个图形需要11个小黑点，11＝5+2×3，
搭第3个图形需要14个小黑点，14＝5+3×3，
…，
∴搭第n个图形需要的小黑点的个数是5+3n．
∴图7中小黑点的个数是5+3×7＝26，
故选：B．
6．（南岸区模拟）用火柴棒按下面的方式搭图形，按照这样的规律搭下去，第⑦个图形需
要的火柴棒的根数是（ ）
A．32 B．37 C．42 D．47
【解答】解：∵搭第1个图形需要7根火柴棒，7＝5+2，
搭第2个图形需要12根火柴棒，12＝5×2+2，
搭第3个图形需要17根火柴棒，17＝5×3+2，
…，
∴搭第n个图形需要的火柴棒的根数是5n+2．
∴第⑦个图形需要的火柴棒的根数5×7+2＝37，
故选：B．
7．（槐荫区期中）观察图中菱形四个顶点所标的数字规律，可知数应标在（ ）
A．第504个菱形的左边 B．第505个菱形的左边
C．第504个菱形的上边 D．第505个菱形的下边
【解答】解：观察图形发现菱形的四个角上的数字排列规律为 1为下边，2为上边，3
为左边，4为右边，
∵＝504×4+3，
∴应该在第505个菱形的左边，
∴所以数应标在第505个菱形左边，
故选：B．
8．（北碚区校级月考）下列图形都是由同样大小的〇按一定的规律组成，其中第l个图形
有3个〇，第2个图形有10个〇，第3个图形有19个〇，算4个图形有30个〇，……
依照此规律，第6个图形中共有（ ）个〇．A．43 B．55 C．58 D．65
【解答】解：由图示规律可知，第n个图形〇的个数为3n+（n+2）（n﹣1），
当n＝6时，3×6+（6+2）（6﹣1）＝58（个）．
故选：C．
9．（九龙坡区模拟）如图，用菱形纸片按规律依次拼成如图图案．第1个图案有5个菱形
纸片，第2个图案有9个菱形纸片，第3个图案有13个菱形纸片，按此规律，第7个图
案中菱形纸片数量为（ ）
A．17 B．21 C．25 D．29
【解答】解：观察图形发现：第1个图案中有5＝4×1+1个菱形纸片；
第2个图案中有9＝4×2+1个菱形纸片；
第3个图形中有13＝4×3+1个菱形纸片，
…
第n个图形中有4n+1个菱形纸片，
当n＝7时，4×7+1＝29个菱形纸片，
故选：D．
综合运用
1.如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则
第n（n是大于0的整数）个图形需要黑色棋子的个数是_________．
【解析】解：第1个图形是三角形，有3条边，每条边上有2个点，重复了3个点，需要
黑色棋子2×3﹣3个，
第2个图形是四边形，有4条边，每条边上有3个点，重复了4个点，需要黑色棋子3×4﹣
4个，
第3个图形是五边形，有5条边，每条边上有4个点，重复了5个点，需要黑色棋子4×5﹣5个，
…
则第n个图形需要黑色棋子的个数是（n+1）（n+2）﹣（n+2）=n（n+2）．
故答案为：n（n+2）．
2.观察如图给出的四个点阵，请按照图形中的点的个数变化规律，猜想第n个点阵中的点
的个数为_________个．
【解析】解：由上图可以看出4个点阵中点的个数分别为：1、5、9、13
且5﹣1=4、9﹣5=4，、13﹣9=4，
所以上述几个点阵中点的个数呈现的规律为：每一项都比前一项多4，
即：第n个点阵中点的个数为：1+4（n﹣1）=4n﹣3．
故答案为：4n﹣3
【难度】中
【结束】
3.根据图中数字的规律：
在空格中填上适当的数字是_________．
【解析】解：左下角规律：2=1×1+1，5=2×2+1，10=3×3+1，17=4×4+1
右边规律：5=2×2+1，12=5×2+2，23=10×2+3，
所以17=4×4+1，17×2+4=38．
故答案为：左下角数字：17；右边数字：38．
2 4 8 16
4.下面是按一定规律排列的一列数： ，﹣ ， ，﹣ …那么第8个数是_________．
3 5 7 9
【解析】解：设第n个数为a （n为正整数）．
n
b
n
∵a=2，a=﹣4，a=8，a=﹣16，…，
1 2 3 4
∴a=﹣（﹣2）n；
n
∵b=3，b=5，b=7，b=9，…，
1 2 3 4
∴b=2n+1．
n∴第8个数是a
8
=-(-2) 8 =﹣256．
b 2×8+1 17
8
256
故答案为：﹣ ．
17
5.观察一组数2，5，10，17，26，37，…，则第n个数是_________．
【解析】解：∵第1个数2=12+1，
第2个数5=22+1，
第3个数10=32+1，
…
∴第n个数为n2+1，
故答案为：n2+1．
6.将一列数﹣1，2，﹣3，4，﹣5，6，…，如图所示有序排列．根据图中排列规律可知，
“峰1”中峰顶位置（C的位置）是4，那么，“峰206”中C的位置的有理数是_________．
【解析】解：由图可知，每5个数为一个循环组依次循环，
所以，“峰n”中峰顶C的位置的数的绝对值5n﹣1，
当n=206时，5×206﹣1=1030﹣1=1029，
∵1029是奇数，
∴“峰206”中C的位置的有理数是﹣1029．
故答案为：﹣1029．
1 3 7 13 21
7.一组按规律排列的数： ，- ， ，- ， ，⋯，请你推断第 n 个数是
4 9 16 25 36
_________．
【解析】解：由分子1=1×0+1，3=1×2+1，7=2×3+1，13=3×4+1…
得出第n个数的分子为n（n﹣1）+1，分母是从2开始连续自然数的平方，
第n个数的分母为（n+1）2，再根据偶数项是负数，
所以第n个数是（﹣1）n+1•
n(n-1)+1．
(n+1) 2故答案为（﹣1）n+1•
n(n-1)+1．
(n+1) 2
9 16 25 36
8.瑞士中学教师巴尔末成功地从光谱数据 ， ， ， 中得到巴尔末公式，从而打开
5 12 21 32
了光滑奥妙的大门，请你按这种规律写出第9个数据是_________．
9 16 25 36
【解析】解：由数据 ， ， ， 可得规律：
5 12 21 32
分子是32，42，52，62，72，82，92…（n+2）2
分母是：1×5，2×6，3×7，4×8，5×9，6×10，7×11…n(n+4），
∴第9个数据是 (9+2) 2 121，
=
９(９+４） 117
121
故答案为： ．
117
