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第8讲 规律探究
知识点1：规律探究之数字变化
数字的变化问题一般有找循环周期、等差数列、等比数列、平方数等类型。
【典例】
1.如图，是蜘蛛结网过程示意图，一只蜘蛛先以 O为起点结六条线OA，OB，OC，OD，
OE，OF后，再从线OA上某点开始按逆时针方向依次在OA，OB，OC，OD，OE，OF，
OA，OB…上结网，若将各线上的结点依次记为：1，2，3，4，5，6，7，8，…，那么第
个结点在（ ）
A. 线OA上 B. 线OB上 C. 线OC上 D. 线OF上
【解析】解：根据数的排布发现：1在OA上，2在OB上，3在OC上，4在OD上，5在
OE上，6在OF上，7在OA上，…，
射线上的数字以6为周期循环，
∵÷6=336，
∴与6在同一条射线上，即在射线OF上．故选：D
【方法总结】
遇到循环节问题首先找到循环节（循环周期）是什么，循环节可以通过将图形中的元素一
一列举得到；其次要找到所求元素所在的循环节；最后找到在循环节中的位置。
2 4 6 8
2.一组数 ， ， ， …按一定的规律排列着，请你根据排列规律，推测这组数的第10个
3 5 7 9
数应为_____
【解析】解：设该数列中第n个数为a（n为正整数），
n
2 4 6 8
观察，发现规律：a= ，a= ，a= ，a= ，…，
1 2 3 4
3 5 7 9
序号 1 2 3 4 …… n
分子 2 4 6 8 …… 2n分母 3 5 7 9 …… 2n+1
2n
∴a= ．
n 2n+1
2×10 20
当n=10时，a = = ．
10 2×10+1 21
【方法总结】
等差数列问题首先找出公差，即后一项与前一项的差，其次用第一项与公差、序号来表示
每一项；遇到分数数列，如果找不到公差，可以考虑将分子、分母作为两个不同的数列分
别找出其中的规律，最后确定数字的正负与序号奇偶的关系。
3.下面是一组按规律排列的数：1，2，4，8，16，…，则第2008个数是_______
【解析】解：第1个数1=1，
第2个数2=21，
第3个数4=22，
第4个数8=23，
第5个数16=24，
…，
第2008个数是：22007．
【方法总结】
等比数列问题首先找出后一项与前一项的比值；其次通过列举观察、用第一个数字和公比
来表示每一个数字。
4.按一定的规律排列的一列数依次为：﹣2，5，﹣10，17，﹣26，…，按此规律排列下去，
这列数中第9个数及第n个数（n为正整数）分别是______
【解析】解：根据数值的变化规律可得：
第1个数：﹣2=（﹣1）1（12+1）．
第2个数：5=（﹣1）2（22+1）．
第3个数：﹣10=（﹣1）3（32+1）．
∴第9个数为：（﹣1）9（92+1）=﹣82
第n个数为：（﹣1）n（n2+1）．
【方法总结】
平方数问题要找准数列的序数与每一个数字的平方关系。解决这种问题首先将序数平方；
其次对比序列中每一个数字的绝对值与序数平方的大小关系；最后确定数字的正负与序数
奇偶的关系。
5.填在下面各正方形中的四个数之间都有一定的规律，按此规律得出a，b的值分别为____【解析】解：答案正方形中的四个数：
∵第一个正方形中0+3=3，0+4=4，3×4+1=13；
第二个正方形中2+3=5，2+4=6，5×6+1=31；
第三个正方形中4+3=7，4+4=8，7×8+1=57．
∴c=6+3=9，a=6+4=10，b=9×10+1=91．
【方法总结】
规律表格问题首先找出表格内部各数字之间的关系，其次表示出相邻两个表格内相同位置
的数字的关系，通常找最小数字之间的关系。
【随堂练习】
1．（平阴县期末）求1+2+22+23+…+2的值，可令S＝1+2+22+23+…+2，则2S＝2+22+23+…
+2+22020，因此 2S﹣S＝22020﹣1．仿照以上推理，计算出 1+5+52+53+…+5 的值为
（ ）
A．5﹣1 B．52020﹣1 C． D．
【解答】解：设S＝1+5+52+53+…+5，
则5S＝5+52+53+…+5+52020，
5S﹣S＝52020﹣1，
∴4S＝52020﹣1，
∴S＝ ，
即1+5+52+53+…+5的值为 ，
故选：C．
2．（东西湖区期末）将正整数依次按下表规律排列，则数2009应排的位置是第（ ）
第1列 第2列 第3列 第4列
第一行 1 2 3
第二行 6 5 4
第三行 7 8 9
第四行 12 11 10
A．第66行第2列 B．第609行第3列
C．第670行第2列 D．第670行第3列【解答】解：∵2009÷3＝669…2，
∴2007排在669行的最后，
2008应从670行第4列开始，
∴2009应在第670行第3列．
故选：D．
3．（邹城市期末）如图，在数轴上，点A表示1，现将点A沿数轴做如下移动：第一次将
点A向左移动3个单位长度到达点A ，第二次将点A向右移动6个单位长度到达点A ，
1 2
第三次将点A 向左移动9个单位长度到达点A，按照这种移动规律移动下去，第n次移
2 3
动到点A，如果点A 与原点的距离不小于20，那么n的最小值是（ ）
n n
A．12 B．13 C．14 D．15
【解答】解：根据题目已知条件，A 表示的数，1﹣3＝﹣2；A 表示的数为﹣2+6＝4；
1 2
A 表示的数为4﹣9＝﹣5；A 表示的数为﹣5+12＝7；A 表示的数为7﹣15＝﹣8；A 表
3 4 5 6
示的数为7+3＝10，A 表示的数为﹣8﹣3＝﹣11，A 表示的数为10+3＝13，A 表示的数
7 8 9
为﹣11﹣3＝﹣14，A 表示的数为13+3＝16，A 表示的数为﹣14﹣3＝﹣17，A 表示的
10 11 12
数为16+3＝19，A 表示的数为﹣17﹣3＝﹣20．
13
所以点A 与原点的距离不小于20，那么n的最小值是13．
n
故选：B．
4．（武侯区校级自主招生）从 1到连续自然数的平方和 12+22+32+…+2的个位数字是（
）
A．0 B．1 C．5 D．9
【解答】解：以2为指数的幂的末位数字是1，4，9，6，5，6，9，4，1，0依次循环
的，
∵÷10＝201…9，
（1+4+9+6+5+6+9+4+1+0）×201+（1+4+9+6+5+6+9+4+1）
＝45×201+45
＝9045+45
＝9090，
∴12+22+32+42+…+2的个位数字是0．
故选：A．
5．（新洲区期末）观察下列等式：12＝1、22＝4，32＝9，42＝16，52＝25…那么
12+22+32+4+2…+2的个位数字是（ ）
A．0 B．1 C．4 D．5
【解答】解：以2为指数的幂的末位数字是1，4，9，6，5，6，9，4，1，0依次循环的，
∵÷10＝201…9，
（1+4+9+6+5+6+9+4+1+0）×201+（1+4+9+6+5+6+9+4+1）
＝45×201+45
＝9045+45
＝9090，
∴12+22+32+42+…+2的个位数字是0．
故选：A．
6．（云南模拟）杨辉是我国南宋时期杰出的数学家和教育家，如图是杨辉在公元 1261年
著作《详解九章算法》里面的一张图，即“杨辉三角”．它是古代重要的数学成就，比
西方的“帕斯卡三角形”早了300多年．请仔细观察计算该图中第n行中所有数字之和
为（ ）
A．2n﹣2 B．2n﹣1 C．2n D．2n+1
【解答】解：∵第1行数字之和1＝20，
第2行数字之和2＝21，
第3行数字之和4＝22，
第4行数字之和8＝23，
…
∴第n行中所有数字之和为2n﹣1．
故选：B．
7．（江岸区校级模拟）将数“1个1，2个 ，3个 、…、n个 （n为正整数）”顺次
排成一列，1、 、 、 、 、 、…、 、 …，则从左到右的100个数之和为（
）
A． B． C． D．
【解答】解：∵1+2+3+…+n＝ ，
+9＝100，∴前100个数里面包含：1个1，2个 ，3个 ，…，13个 ，9个 ，
∴从左到右的100个数之和＝1×1+2× +3× +…+13× +9× ＝13 ．
故选：B．
二．填空题（共1小题）
8．（永州期末）观察下列各式： ， ， ， ，……，则第n（n为正整数）个
式子为 （﹣ 1 ） n + 1 • ．
【解答】解：由 ， ， ， ，……，知第n（n为正整数）个式子为（﹣1）
n+1• ．
故答案是：（﹣1）n+1• ．
知识点2：规律探究之图形变化
图形变化规律题是数字变化规律的变形和综合，涉及到数字规律的各个公式。在完成该类
题型的时候也要将序号与图形个数联系，尝试从等差、等比、平方数等各种数列的规律中
寻找突破口。
【典例】
1.下列图形都是由同样大小的圆按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有4个圆，
第②个图形中一共有8个圆，第③个图形中一共有14个圆，第④个图形中一共有22个圆，
…，按此规律排列下去，第⑨个图形中圆的个数是______
【解析】解：观察图形可知，每个图形的最上面都有两个圆圈，而下面的圆圈分布分别是
2、2×3、3×4、4×5
即第①个图形中一共有1×（1+1）+2=4个圆，第②个图形中一共有2×（2+1）+2=8个圆，
第③个图形中一共有3×（3+1）+2=14个圆，
第④个图形中一共有4×（4+1）+2=22个圆；
可得第n个图形中圆的个数是n（n+1）+2；
所以第⑨个图形中圆的个数9×（9+1）+2=92，
【方法总结】
该题解题时可以先从不同角度尝试，纵向切割后得到的数字跟序号联系得不到明显的规律
所以需要从横向切割，发现最上面的都是两个圆，下面的行和列呈现自然数列相乘。
【随堂练习】
1．（南岗区期末）如图，每个图案均由边长相等的黑白两色正方形按规律拼接而成，照此
规律，第n个图案中白色正方形比黑色正方形多（ ）个．
A．n B．（5n+3） C．（5n+2） D．（4n+3）
【解答】解：第1个图形白色正方形共8个，黑色1个，白色比黑色多7个，
第2个图形比第1个图形白色比黑色又多了4个，即白色比黑色多（7+4）个，
第3个图形比第2个图形白色比黑色又多了4个，即白色比黑色多（7+4×2）个，
类推，第n个图案中白色正方形比黑色正方形多[7+4（n﹣1）]个，即（4n+3）个，
故第n个图案中白色正方形比黑色正方形多（4n+3）个．
故选：D．
2．（九龙坡区期末）将若干个小菱形按如图所示的规律排列：第一个图形有 5个菱形，第
二个图形有9个菱形第三个图形有13个菱形，…，则第9个图形有（ ）个菱形．
A．33 B．36 C．37 D．41
【解答】解：设第n个图形有a 个菱形（n为正整数）．
n
观察图形，可知：a＝5＝4+1，a＝9＝4×2+1，a＝13＝4×3+1，a＝17＝4×4+1，
1 2 3 4
∴a＝4n+1（n为正整数），
n
∴a＝4×9+1＝37．
9
故选：C．3．（九龙坡区校级模拟）用火柴棒按下面的方式搭图形，按照这样的规律搭下去，第⑦个
图形需要的火紫棒的根数是（ ）
A．34 B．40 C．42 D．46
【解答】解：由图形知，第①个图形中，火柴棒的根数为4＝4+6×0，
第②个图形中，火柴棒的根数为10＝4+6×1，
第③个图形中，火柴棒的根数为16＝4+6×2，
……
∴第n个图形中，火柴棒的根数为4+6（n﹣1）＝6n﹣2，
当n＝7时，6n﹣2＝6×7﹣2＝40，即第⑦个图形需要的火紫棒的根数是40，
故选：B．
4．（松滋市期末）如图所示，下列各图形中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，
最后一个图形中y与n之间的关系是（ ）
A．y＝2n+1 B．y＝2n+n C．y＝2n+1+n D．y＝2n+n+1
【解答】解：已知图形知，n右边扇形表示的数为2n，
则y＝n+2n，
故选：B．
5．（绍兴模拟）如图，一个铁环上挂着6个分别编有号码1，2，3，4，5，6的铁片．如
果把其中编号为2，4的铁片取下来，再先后把它们穿回到铁环上的仼意位置，则铁环
上的铁片（无论沿铁环如何滑动）不可能排成的情形是（ ）
A． B．C． D．
【解答】解：摘掉铁片2，4后，铁片1，3，5，6在铁环上按逆时针排列，
∵选项A，B，C中铁片顺序为1，3，5，6，选项D中铁片顺序为1，5，6，3．
故选：D．
6．（曲靖二模）观察下列图形，它们是按一定规律排列的，照此规律，第 n个图形中
“*“的个数是（ ）
A．4n+4 B．4n﹣4 C．4n D．n2
【解答】解：∵第1个图形中“*”的个数4＝4×1，
第2个图形中“*”的个数8＝4×2，
第3个图形中“*”的个数12＝4×3，
……
∴第n个图形中“*”的个数为4n，
故选：C．
二．填空题（共2小题）
7．（市北区期末）如图，当n＝2时，图中有2个黑色三角形：当n＝3时，图中有6个黑
色三角形：当n＝4时，图中有12个黑色三角形；……，则按照上述规律，第n个图中，
黑色三角形的个数为 （ n 2 ﹣ n ） ．
【解答】解：∵当n＝2时，黑色三角形的个数2＝1×2，
当n＝3时，黑色三角形的个数6＝2×3，
当n＝4时，黑色三角形的个数12＝3×4，
……
∴第n个图中，黑色三角形的个数为n（n﹣1）＝n2﹣n，
故答案为：（n2﹣n）．8．（龙华区期末）土家传统建筑的窗户上常有一些精致花纹，小龙对土家传统建筑非常感
兴趣，他观察发现窗格的花纹排列呈现一定规律，如图，其中“∞”代表的就是精致的
花纹，第（1）个图有5个花纹，第（2）个图有8个花纹，第（3）个图有11个花纹，
……，则第（n）个图有 3 n + 2 个花纹．
【解答】解：根据题意，得
第（1）个图中有5个花纹，5＝2+3×1，
第（2）个图有8个花纹，8＝2+3×2，
第（3）个图有11个花纹，11＝2+3×3，
……，
第n个图有（3n+2）个花纹．
故答案为：（3n+2）．
综合运用
1.如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则
第n（n是大于0的整数）个图形需要黑色棋子的个数是_________．
【解析】解：第1个图形是三角形，有3条边，每条边上有2个点，重复了3个点，需要
黑色棋子2×3﹣3个，
第2个图形是四边形，有4条边，每条边上有3个点，重复了4个点，需要黑色棋子3×4﹣
4个，
第3个图形是五边形，有5条边，每条边上有4个点，重复了5个点，需要黑色棋子4×5﹣
5个，
…
则第n个图形需要黑色棋子的个数是（n+1）（n+2）﹣（n+2）=n（n+2）．
故答案为：n（n+2）．
2.观察如图给出的四个点阵，请按照图形中的点的个数变化规律，猜想第n个点阵中的点
的个数为_________个．【解析】解：由上图可以看出4个点阵中点的个数分别为：1、5、9、13
且5﹣1=4、9﹣5=4，、13﹣9=4，
所以上述几个点阵中点的个数呈现的规律为：每一项都比前一项多4，
即：第n个点阵中点的个数为：1+4（n﹣1）=4n﹣3．
故答案为：4n﹣3
【难度】中
【结束】
3.根据图中数字的规律：
在空格中填上适当的数字是_________．
【解析】解：左下角规律：2=1×1+1，5=2×2+1，10=3×3+1，17=4×4+1
右边规律：5=2×2+1，12=5×2+2，23=10×2+3，
所以17=4×4+1，17×2+4=38．
故答案为：左下角数字：17；右边数字：38．
2 4 8 16
4.下面是按一定规律排列的一列数： ，﹣ ， ，﹣ …那么第8个数是_________．
3 5 7 9
【解析】解：设第n个数为a （n为正整数）．
n
b
n
∵a=2，a=﹣4，a=8，a=﹣16，…，
1 2 3 4
∴a=﹣（﹣2）n；
n
∵b=3，b=5，b=7，b=9，…，
1 2 3 4
∴b=2n+1．
n
∴第8个数是a =-(-2) 8 =﹣256．
8
b 2×8+1 17
8
256
故答案为：﹣ ．
17
5.观察一组数2，5，10，17，26，37，…，则第n个数是_________．
【解析】解：∵第1个数2=12+1，第2个数5=22+1，
第3个数10=32+1，
…
∴第n个数为n2+1，
故答案为：n2+1．
6.将一列数﹣1，2，﹣3，4，﹣5，6，…，如图所示有序排列．根据图中排列规律可知，
“峰1”中峰顶位置（C的位置）是4，那么，“峰206”中C的位置的有理数是_________．
【解析】解：由图可知，每5个数为一个循环组依次循环，
所以，“峰n”中峰顶C的位置的数的绝对值5n﹣1，
当n=206时，5×206﹣1=1030﹣1=1029，
∵1029是奇数，
∴“峰206”中C的位置的有理数是﹣1029．
故答案为：﹣1029．
1 3 7 13 21
7.一组按规律排列的数： ，- ， ，- ， ，⋯，请你推断第 n 个数是
4 9 16 25 36
_________．
【解析】解：由分子1=1×0+1，3=1×2+1，7=2×3+1，13=3×4+1…
得出第n个数的分子为n（n﹣1）+1，分母是从2开始连续自然数的平方，
第n个数的分母为（n+1）2，再根据偶数项是负数，
所以第n个数是（﹣1）n+1•
n(n-1)+1．
(n+1) 2
故答案为（﹣1）n+1•
n(n-1)+1．
(n+1) 2
9 16 25 36
8.瑞士中学教师巴尔末成功地从光谱数据 ， ， ， 中得到巴尔末公式，从而打开
5 12 21 32
了光滑奥妙的大门，请你按这种规律写出第9个数据是_________．
9 16 25 36
【解析】解：由数据 ， ， ， 可得规律：
5 12 21 32分子是32，42，52，62，72，82，92…（n+2）2
分母是：1×5，2×6，3×7，4×8，5×9，6×10，7×11…n(n+4），
∴第9个数据是 (9+2) 2 121，
=
９(９+４） 117
121
故答案为： ．
117
