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第 4 讲 平面直角坐标系
知识点1 有序数对
像“9排7号”“第1列第5排”这样含有两个数的表达方式来表示一个确定的位置，
其中两个数各自表示不同的含义，我们把这种有顺序的两个数 a与b组成的数对，叫做有
序数对，记作（a，b）．
注意：当 时， 和 是不同的两个有序数对．
【典例】
1.如下图所示，B表示为（4，5），B左侧第二个人的位置是 （ ）
一 二 三 四 五 六
列 列 列 列 列 列
一行
二行
C D
三行
A
四行
B
五行
六行
A. （2，5） B. （5，2） C. （2，2） D. （5，5）
【答案】A.
【解析】解：B的位置是四列五行，表示为（4，5），列数在前，行数在后，
B左侧第二个人的位置是二列五行，表示为（2，5）
故选：A
2.如下图所示，从2街4巷到4街2巷，走最短的路线，共有几种走法，分别为？
(巷)
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5(街)【答案】略
【解析】解：2街4巷为点（2，4），4街2巷为点（4，2），如下图所示：
从2街4巷到4街2巷，走最短的路线
从点（2，4）到点（4，2）有6种走法，分别为
1、（2，4）→（3，4）→（4，4）→（4，3）→（4，2）；
2、（2，4）→（3，4）→（3，3）→（4，3）→（4，2）；
3、（2，4）→（3，4）→（3，3）→（3，2）→（4，2）；
4、（2，4）→（2，3）→（3，3）→（4，3）→（4，2）；
5、（2，4）→（2，3）→（3，3）→（3，2）→（4，2）；
6、（2，4）→（2，3）→（2，2）→（3，2）→（4，2）．
【方法总结】
第一题解题步骤：（1）明确本题是由行数和列数两个量来表示一个确定的位置；
（2）由已知点确定行与列的前后位置：列数在前，行数在后；（3）用有序数对表示所求
各点的位置．
第二题，先明确2街4巷与4街2巷的具体位置为点（2，4）和点（4，2）；理解题
意，因为“走最短的路线”，所以只能向右或向下走，否则就不是最短路线．由此一一找
出符合条件的线段．
【随堂练习】
1．（嘉祥县期中）雷达二维平面定位的主要原理是：测量目标的两个信息﹣距
离和角度，目标的表示方法为（m，α），其中，m表示目标与探测器的距离；
α表示以正东为始边，逆时针旋转后的角度．如图，雷达探测器显示在点 A，
B，C处有目标出现，其中，目标A的位置表示为A（5，30°），目标C的位置
表示为C（3，300°）．用这种方法表示目标B的位置，正确的是（ ）A．（﹣4，150°） B．（4，150°） C．（﹣2，150°） D．（2，150°）
【解答】解：∵A（5，30°），C（3，300°），
∴B（4，150°）．
故选：B．
2．（金华）小明为画一个零件的轴截面，以该轴截面底边所在的直线为 x轴，
对称轴为 y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若坐标轴的单位长度取
1mm，则图中转折点P的坐标表示正确的是（ ）
A．（5，30） B．（8，10） C．（9，10） D．（10，10）
【解答】解：如图，
过点C作CD⊥y轴于D，
∴BD=5，CD=50÷2﹣16=9，OA=OD﹣AD=40﹣30=10，
∴P（9，10）；
故选：C．
3．（北京）如图是老北京城一些地点的分布示意图．在图中，分别以正东、正
北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，有如下四个结论：
①当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示广安门的点的坐标为（﹣6，﹣
3）时，表示左安门的点的坐标为（5，﹣6）；
②当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示广安门的点的坐标为（﹣12，﹣
6）时，表示左安门的点的坐标为（10，﹣12）；
③当表示天安门的点的坐标为（1，1），表示广安门的点的坐标为（﹣11，﹣
5）时，表示左安门的点的坐标为（11，﹣11）；
④当表示天安门的点的坐标为（1.5，1.5），表示广安门的点的坐标为（﹣
16.5，﹣7.5）时，表示左安门的点的坐标为（16.5，﹣16.5）．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）A．①②③ B．②③④ C．①④ D．①②③④
【解答】解：①当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示广安门的点的坐标
为（﹣6，﹣3）时，表示左安门的点的坐标为（5，﹣6），此结论正确；
②当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示广安门的点的坐标为（﹣12，﹣
6）时，表示左安门的点的坐标为（10，﹣12），此结论正确；
③当表示天安门的点的坐标为（1，1），表示广安门的点的坐标为（﹣5，﹣
2）时，表示左安门的点的坐标为（11，﹣11），此结论正确；
④当表示天安门的点的坐标为（1.5，1.5），表示广安门的点的坐标为（﹣
16.5，﹣7.5）时，表示左安门的点的坐标为（16.5，﹣16.5），此结论正确．
故选：D．
知识点2 各象限内点的坐标特征
1、平面直角坐标系
在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系．水平的数轴叫做
横轴或 轴，习惯上取向右方向为正方向；竖直的数轴叫做纵轴或 轴，取向上的方向为
正方向；两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点．2、象限
建立了平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分成Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个部分，
每个部分称为象限，分别叫做第一象限，第二象限，第三象限和第四象限．坐标轴上的点
不属于任何象限．
3、点的坐标
对于坐标平面内的一点 ，过点 分别向 轴、 轴作垂线，垂足在 轴、 轴上对
应的数 、 分别叫做点 的横坐标和纵坐标，有序实数对 叫做点 的坐标，记作
．如下图为A（4，5）点坐标．
坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的．
注意：横坐标写在纵坐标前面，中间用“，”号隔开，再用小括号括起来．4、各象限内点的坐标特征
点 在第一象限 ；
点 在第二象限 ；
点 在第三象限 ；
点 在第四象限 ．
【典例】
1.在平面直角坐标系中，到x轴的距离等于2个单位长度，且到y轴的距离等于3个单位长
度的点有____________．
【答案】（3，2）、（﹣3，2）、（﹣3，﹣2）、（3，﹣2）
【解析】解：设该点坐标为（x，y）
∵满足条件的点到x轴的距离等于2个单位长度，
∴该点纵坐标的绝对值等于2，即 ，∵到y轴的距离等于3个单位长度，
∴该点横坐标的绝对值等于3，即
∴满足条件的点一共有4个，分别是：
（3，2）、（﹣3，2）、（﹣3，﹣2）、（3，﹣2），
2.已知点M（a，b），且a•b＞0，a+b＜0，则点M在第______象限．
【答案】三
【解析】解：∵a•b＞0，
∴a、b同号
∵a+b＜0，
∴a＜0，b＜0，
∴点M（a，b）在第三象限．
故答案为：三
【方法总结】
第一题考查点的坐标以及分类讨论，点到x轴的距离等于点纵坐标的绝度值，点到y
轴的距离等于点横坐标的绝对值．
第二题考查判断点的横、纵坐标的符号，由于 a•b＞0，则a、b同号，而a+b＜0，可
得a＜0，b＜0．同理当 a•b＞0，a+b>0时，可得a>0，b>0．
四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限
（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
【随堂练习】
1．（扬州）在平面直角坐标系的第二象限内有一点M，点M到x轴的距离为
3，到y轴的距离为4，则点M的坐标是（ ）
A．（3，﹣4） B．（4，﹣3） C．（﹣4，3） D．（﹣3，4）
【解答】解：由题意，得
x=﹣4，y=3，
即M点的坐标是（﹣4，3），
故选：C．2．（沈河区一模）在平面直角坐标系内，点 P（a，a+3）的位置一定不在（
）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答】解：当a为正数的时候，a+3一定为正数，所以点P可能在第一象限，
一定不在第四象限，
当a为负数的时候，a+3可能为正数，也可能为负数，所以点P可能在第二象限，
也可能在第三象限，
故选：D．
3．（深圳模拟）点P（x﹣1，x+1）不可能在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答】解：本题可以转化为不等式组的问题，看下列不等式组哪个无解，
（1） ，解得x＞1，故x﹣1＞0，x+1＞0，点在第一象限；
（2） ，解得x＜﹣1，故x﹣1＜0，x+1＜0，点在第三象限；
（3） ，无解；
（4） ，解得﹣1＜x＜1，故x﹣1＜0，x+1＞0，点在第二象限．
故选：D．4．（雨花区校级一模）若点A（﹣6，n）在x轴上，则点B（n﹣1，n+1）在
（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答】解：∵点A（﹣6，n）在x轴上，
∴n=0，
∴点B（n﹣1，n+1）为：（﹣1，1），
则点B在第二象限．
故选：B．
知识点3 坐标轴及坐标轴的角平分线上点的坐标特征
1、坐标轴上点的坐标特征：
点 在 轴上 ， 为任意实数；
点 在 轴上 ， 为任意实数；
点 即在 轴上，又在 轴上 ，即点 的坐标为 ．
2、两坐标轴夹角平分线上点的坐标特征：
点 在第一、三象限夹角的角平分线上 ；
点 在第二、四象限夹角的角平分线上 ．
【典例】
1.如果点P（a，b）在x轴上，那么点Q（ab，﹣1）在（ ）
A. y轴的正半轴上 B. y轴的负半轴上
C. x轴的正半轴上 D. x轴的负半轴上
【答案】B.
【解析】解：∵点P（a，b）在x轴上，
∴b=0，
∴ab=0，
∴点Q（ab，﹣1）在y轴负半轴上．故选：B
2.已知点 P的坐标（2﹣a，3a+6），且点 P在二四象限角平分线上，则点 P的坐标是
_________．
【答案】（6，﹣6）
【解析】解：∵点P的坐标（2﹣a，3a+6），且点P在二四象限角平分线上，
∴（2﹣a）+（3a+6）=0，
解得a=﹣4，
∴横坐标：2﹣a=2﹣（﹣4）=6，
∴点P的坐标为（6，﹣6）．
故答案为：（6，﹣6）．
【方法总结】
第一题主要考查了点在坐标轴上时点的坐标特点：点在x轴上时，纵坐标为0；点在y
轴上时，横坐标为0．
第二题考查坐标轴夹角平分线上点的坐标特征，第二、四象限角平分线上的点的横坐
标与纵坐标互为相反数．
【随堂练习】
1．（平南县二模）若点N在第一、三象限的角平分线上，且点N到y轴的距
离为2，则点N的坐标是（ ）
A．（2，2） B．（﹣2，﹣2） C．（2，2）或（﹣2，﹣2） D ． （ ﹣
2，2）或（2，﹣2）
【解答】解：∵点N在第一、三象限的角平分线上，
∴点N到y轴的距离也为2，
当点N在第一象限时，点N的坐标为（2，2）；
点N在第三象限时，点N的坐标为（﹣2，﹣2）．
所以，点N的坐标为（2，2）或（﹣2，﹣2）．
故选：C．2．（滨湖区二模）已知点A（m2﹣2，5m+4）在第一象限角平分线上，则m的
值为 （ ）
A．6 B．﹣1 C．2或3 D．﹣1或6
【解答】解：∵点A（m2﹣2，5m+4）在第一象限角平分线上，
∴m2﹣2=5m+4，
∴m2﹣5m﹣6=0，
解得m =﹣1，m =6，
1 2
当m=﹣1时，m2﹣2=﹣1，
点A（﹣1，﹣1）在第三象限，不符合题意，
所以，m的值为6．
故选：A．
3．（迁安市期末）已知点P（2﹣a，3a+6），且点P到两坐标轴的距离相等，
则点P的坐标是（ ）
A．（3，3） B．（6，﹣6） C．（3，﹣3） D．（3，3）或（6，﹣6）
【解答】解：∵点P（2﹣a，3a+6）到两坐标轴的距离相等，
∴|2﹣a|=|3a+6|，
∴2﹣a=3a+6或2﹣a=﹣（3a+6），
解得a=﹣1或a=﹣4，当a=﹣1时，2﹣a=2﹣（﹣1）=2+1=3，
当a=﹣4时，2﹣a=2﹣（﹣4）=2+4=6，
∴点P的坐标为（3，3）或（6，﹣6）．
故选：D．
知识点4 规律性--点的坐标
在平面直角坐标系内找点的规律：
1、尽可能多的找出点的坐标，已知的点越多，越好找规律；
2、点的横坐标和纵坐标的规律一般不同，需要分别考虑；
3、要注意所求点的横、纵坐标的正负．
【典例】
1.在平面直角坐标系xOy中，点A从原点出发沿x轴正向移动1个单位长度到A ，逆时针
1
旋转90°后前进2个单位长度到达A ，逆时针旋转90°后前进3个单位长度到达A ，…，逆
2 3
时针旋转90°后前进个单位长度到达点A，则点A的坐标为________．
【答案】（1009，1010）
【解析】解：如图所示：
∵A（1，0），A（1，2），A（﹣2，2），A（﹣2，﹣2），
1 2 3 4
A（3，﹣2），A（3，4），A（﹣4，4），A（﹣4，﹣4），
5 6 7 8
A（5，﹣4），A （5，6），
9 10
A （﹣6，6）…
11
观察图形规律，一三象限内是偶次数点，其中第三象限的点次数是 4的整数倍，第一象限
的点次数除以4余2；
因为÷4=504……2，所以点A在第一象限；
观察第一象限内点的坐标规律：A （1，2），A （3，4），A （5，6）……，可得A点的
2 6 10
坐标为（1009，1010）．
故答案为：（1009，1010）．【方法总结】
此题主要考查了点的变化规律，根据题意得出各点坐标，然后分析每个象限内点的坐
标规律，即可判断点A在第一象限；再观察第一象限内的点A （1，2），A （3，4），
2 6
A （5，6）的规律，发现第一象限内的点A 的横坐标为 ，纵坐标为 ，所以第
10 n
一象限内点A的坐标为 ，所以点A点的坐标为（1009，1010）．
【随堂练习】
1．（曲阜市期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点P（1，0）．点P第1
次向上跳动1个单位至点P （1，1），紧接着第2次向左跳动2个单位至点P
1 2
（﹣1，1），第3次向上跳动1个单位至点P ，第4次向右跳动3个单位至点
3
P ，第5次又向上跳动1个单位至点P ，第6次向左跳动4个单位至点P ，…．
4 5 6
照此规律，点P第100次跳动至点P 的坐标是（ ）
100
A．（﹣26，50） B．（﹣25，50） C．（26，50） D．（25，50）
【解答】解：经过观察可得：P 和P 的纵坐标均为 1，P 和P 的纵坐标均为
1 2 3 4
2，P 和P 的纵坐标均为3，因此可以推知P 和P 的纵坐标均为100÷2=50；
5 6 99 100
其中4的倍数的跳动都在y轴的右侧，那么第100次跳动得到的横坐标也在y轴右侧．P 横坐标为1，P 横坐标为2，P 横坐标为3，依此类推可得到：P 的横
1 4 8 n
坐标为n÷4+1（n是4的倍数）．
故点P 的横坐标为：100÷4+1=26，纵坐标为：100÷2=50，点P第100次跳动
100
至点P 的坐标是（26，50）．
100
故选：C．
2．（新罗区期末）如图，在直角坐标系中，A（1，3），B（2，0），第一次
将△AOB变换成△OA B ，A （2，3），B （4，0）；第二次将△OA B 变换成
1 1 1 1 1 1
△OA B ，A （4，3），B （8，0），第三次将△OA B 变换成△OA B ，……，则
2 2 2 2 2 2 3 3
B的横坐标为（ ）
A．2 B．2 C．2 D．2
【解答】解：B的横坐标是（2，0），
故选：D．
3．如图，在平面直角坐标系上有点A（1，0），点A第一次跳动至点A （﹣
1
1，1），第四次向右跳动5个单位至点A （3，2），…，依此规律跳动下去，
4点A第10次跳动至点A 的坐标是______，点A第100次跳动至点A 的坐标
10 100
是_____．
【解答】解：由图象可知，点 A 每跳两次，纵坐标增加 1，A2、A4、A6、
A8…各点坐标依次为（2，1）、（3，2）、（4，3）、（5，4）…
则A2n横坐标为：n+1，纵坐标为n
则A10坐标为（6，5）
A100坐标为（51，50）
故答案为：（6，5），（51，50）
综合运用
1.如果用（7，3）表示七年级三班，则（9，6）表示____________．
【答案】九年级六班
【解析】解：根据（7，3）表示七年级三班，即第1个数表示年级，第2个数表示班级，
所以（9，6）表示九年级六班．
2.如下图所示，A表示三经路与一纬路的十字路口，B表示一经路与三纬路的十字路口，如
果用（3，1）→（3，2）→（3，3）→（2，3）→（1，3）表示A到B的一条路线，用同
样的方式写出另外一条由A到B的一条路线：（3，1）→（_______）→（_______）→
（_______） → （1，3）．（答案不唯一）【答案】（2，1）；（2，2）；（2，3）
【解析】解：答案不唯一．
3.已知点 A（3a，2b）在 x 轴上方，y 轴的左边，则点 A 到 x 轴、y 轴的距离分别为
____________．
【答案】2b， ﹣3a
【解析】解：∵点A（3a，2b）在x轴上方，
∴点A的纵坐标大于0，得到2b＞0，
∴点A到x轴的距离是2b；
∵点A（3a，2b）在y轴的左边，
∴点A的横坐标小于0，即3a＜0，
∴点A到y轴的距离是﹣3a
所以点A到x轴的距离是2b，到y轴的距离是﹣3a
故答案为：2b， ﹣3a
4.已知点（a，b）在笫二象限．则点（ab，a﹣b）在第_________象限．
【答案】三
【解析】解：∵点（a，b）在笫二象限，
∴a＜0，b＞0，
∴ab＜0，a﹣b＜0，
∴点（ab，a﹣b）在第三象限．
故答案为：三
5.在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都是整数的点称为整点，观察图中每一个正方形（实线）四条边上的整点的个数，请你猜测出，从里向外第 41个正方形（实线）四条边上
的整点个数共有_______个．
【答案】164
【解析】解：设从里向外第n个正方形四条边上的整点个数共有a（n为正整数）个，
n
观察，发现：a=4，a=8，a=12，a=16，…，
1 2 3 4
∴a=4n．
n
当n=41时，a =41×4=164．
41
所以从里向外第41个正方形四条边上的整点个数共有164个
故答案为：164．
6. 如图，在直角坐标系中，一只蚂蚁从点P（0，1）出发，沿着图示折线方向移动，第一
次到达点（1，1），第二次达到点（1，0），第三次达到点（1，﹣1），第四次达到点
（2，﹣1），…，按照这样的规律，第次到达点的坐标应为_______．
【答案】（673，0）
【解析】解：设第n次到达的点为P，
n
观察，发现规律：P （0，1），P （1，1），P （1，0），P （1，﹣1），P （2，﹣1），
0 1 2 3 4
P（2，0），P（2，1），…，
5 6
蚂蚁移动6次是一个循环，每个循环向右移动2个单位
∵÷6=336……2
∴点P是由点P（1，0）向右经过336个循环后得到的
2
∴点P的坐标为（2×336+1，0）即（673，0）．
故答案为：（673，0）．7.请写出点A，B，C，D，的坐标．
【答案】略
【解析】解：A（3，2）；B（﹣3，4）；C（﹣4，﹣3）；D（3，﹣3）．
8.已知点P的坐标为（2m﹣1，m+7）．
（1）若点P在x轴上，试求m的值；
（2）若点P在二四象限的角平分线上，求m的值；
【答案】略
【解析】解：（1）∵点P在x轴上，
∵m+7=0，
m=﹣7；
（2）∵点P在二、四象限的角平分线上，
∴2m﹣1与m+7互为相反数
即：2m﹣1+m+7=0，
∴m=﹣2；
9.已知：P（4x，x﹣3）在平面直角坐标系中．
（1）若点P在第三象限的角平分线上，求x的值；
（2）若点P在第四象限，且到两坐标轴的距离之和为9，求x的值．
【答案】略
【解析】解：（1）∵点P在第三象限的角平分线上
∴4x与 x﹣3相等，即4x=x﹣3，
解得x=﹣1
∴点P在第三象限的角平分线上时，x=﹣1．
（2）∵点P在第四象限
∴4x>0，x﹣3<0∵点P到两坐标轴的距离之和为9
∴4x+[﹣（x﹣3）]=9，
解得x=2，
此时点P的坐标为（8，﹣1），
∴当点P在第四象限，且到两坐标轴的距离之和为9时，x=2．
10.已知平面直角坐标中有一点M（2﹣a，3a+6），点M到两坐标轴的距离相等，求M的
坐标．
【答案】略
【解析】解：点M的坐标为（2﹣a，3a+6），且点M到两坐标轴的距离相等，
（1）当点M在一、三象限时，
2﹣a=3a+6，
解得：a=﹣1，
M点坐标为（3，3）
（2）当点M在二、四象限时，
（2﹣a）+（3a+6）=0，
解得：a=﹣4，
M点坐标为（6，﹣6）．
∴M点坐标为（3，3）或（6，﹣6）．
