4.3讲一次函数的图象和性质(8类热点题型讲练)（解析版）_北师大初中数学_8上-北师大版初中数学_旧版_05习题试卷_帮课堂2023-2024学年八年级数学上册同步学与练（北师大版）

第 03 讲 一次函数的图象和性质(8 类热点题型讲练) 1．理解函数图象的概念，掌握作函数图象的一般步骤；(重点) 2．掌握正比例函数的图象与性质，并能灵活运用解答有关问题．(难点) 3．了解并掌握一次函数的图象与性质；(重点) 4．能灵活运用一次函数的图象与性质解答有关问题．(难点) 知识点01 正比例函数的图象与性质 1）一次函数图象是一条直线； 2）已知一点可以作图，也可求出解析式； 3）交y轴于点（0，0），交x轴于点（0，0）； 4）过象限、增减性 y=kx 过原点（0,0）的一条直线 k值 大致图象 经过象限 经过第一、三象限 经过第二、四象限 增减性 随 的增大而增大 随 的增大而减小5）函数图象大小比较：函数图象上的点是由适合函数解析式的一对x、y的值组成的（x、y），x的值是点 的横坐标，纵坐标就是与这个x的值相对应的y的值，因此，观察x或y的值就是看函数图象上点的横、纵 坐标的值，比较函数值的大小就是比较同一个 x的对应点的纵坐标的大小，也就是函数图象上的点的位置 的高低. 知识点02 一次函数的图象与性质 1）一次函数图象是一条直线； 2）已知两点可以作图，也可求出解析式； 3）交y轴于点（0，b），交x轴于点（ ，0）； 4）过象限、增减性 （过一、二象限） （过三、四象限） （过原点） （过一、三象限） 随 的增大而增大 经过第一、二、三象限 经过第一、三、四象限 经过第一、三象限 （过二、四象限） 随 的增大而减小 经过第一、二、四象限 经过第二、三、四象限 经过第二、四象限 5）函数图象大小比较：函数图象上的点是由适合函数解析式的一对x、y的值组成的（x、y），x的值是点 的横坐标，纵坐标就是与这个x的值相对应的y的值，因此，观察x或y的值就是看函数图象上点的横、纵 坐标的值，比较函数值的大小就是比较同一个 x的对应点的纵坐标的大小，也就是函数图象上的点的位置 的高低. 知识点03 一次函数的平移与对称 “上加下减”——针对y的平移；“左加右减”——针对x的平移，是对x整体的变化. 题型01 正比例函数的图象和性质【典例1】（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）关于函数 ，下列判断正确的是（ ） A．图象必过 B．图象经过第一、三象限 C．y随x的增大而减小 D．不论x取何值总有 【答案】C 【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出函数 的图象不过点 ；由 ，利 用正比例函数的性质，可得出函数 的图象经过第二、四象限；由 ，利用正比例函数的性 质，可得出 随 的增大而减小；利用不等式的性质，可得出当 时， ． 【详解】解：A．当 时， ， ， 函数 的图象不过点 ，选项不符合题意； B． ， 函数 的图象经过第二、四象限，选项不符合题意； C． ， 随 的增大而减小，选项符合题意； D．当 时， ，选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及正比例函数的性质，逐一分析各选项的正误是解题 的关键． 【变式1】（2023春·青海西宁·八年级统考期末）关于正比例函数 ，下列结论正确的是（ ） A． B．图象必经过点 C．图象不经过原点 D．y随x的增大而减小 【答案】D 【分析】根据正比例函数的性质直接解答即可． 【详解】解：A．正比例函数 的 ，故选项错误，不符合题意； B．将 代入解析式得， ，故本选项错误，不合题意； C．正比例函数 的图象过原点，故本选项错误，不合题意； D．由于函数图象过二、四象限，则函数值y随x的增大而减小，故本选项正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了正比例函数的性质，熟悉函数的图象及系数与图象的关系是解题的关键． 【变式2】（2023春·云南昆明·八年级统考期末）下列关于函数 的结论正确的是（ ）A．函数图象经过点 B．函数图象经过第一、三象限 C．y随x的增大而减小 D．不论x为何值，总有 【答案】B 【分析】直接根据正比例函数的图象与性质特点逐项判断即可得． 【详解】解：A、当 时， ， 则函数图象不经过点 ，此项错误，不符合题意； B、函数 中的 ， 则函数图象经过第一、三象限，此项正确，符合题意； C、函数 中的 ， 则 随 的增大而增大，此项错误，不符合题意； D、只有当 时， ，则此项错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了正比例函数的图象与性质，熟练掌握正比例函数的图象与性质是解题关键． 题型02 画一次函数的图象 【典例2】（2023春·福建福州·八年级校考期末）已知一次函数 ． (1)在平面直角坐标系中，画出该函数图象； (2)把该函数图象向上平移3个单位，判断点 是否在平移后的函数图象上． 【答案】(1)见解析 (2)在 【分析】（1）根据函数图象与 ， 轴的坐标交点坐标，画出图象即可； （2）根据平移的特点得出解析式，进而解答． 【详解】（1）解：列表： 2 00 过点 和点 画出直线 ， ； （2）解：把函数 图象向上平移3个单位， 得函数的解析式为 ， 当 时， ， 点 在平移后的直线上． 【点睛】本题考查一次函数与几何变换，关键是根据函数图象与 ， 轴的坐标交点画出图象． 【变式1】（2023春·陕西西安·八年级统考期末）已知函数 ． (1)填表，并画出这个函数的图象； ______ ______ (2)判断点 是否在该函数的图象上，开说明理由． 【答案】(1) ， (2)点 不在该函数的图象上，理由见解析 【分析】（1）分别将 ， 代入函数解析式中，求出与之对应的 ， 的值，再描点，连线，即可 画出函数图象；（2）将 代入函数解析式中，求出对应的 值，再与 进行比较即可得出结论． 【详解】（1）解：当 时， ， 当 时， ， 解得： ， 画出函数图象，如图所示， 故答案为： ， ； （2）解：点 不在该函数的图象上，理由如下： 当 时， ， ， 点 不在该函数的图象上． 【点睛】本题主要考查一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的图象，熟知直线上任意一点的坐标都满 足该直线解析式时解题关键． 【变式2】（2023春·北京朝阳·八年级校考期中）用“描点法”画出函数 的图象． 解：函数 的自变量x的取值范围是 ． x … 0 1 2 … y 判断 是否在函数 的图象上． 【答案】实数；见解析；点A、B在函数 的图象上，点C不在函数 的图象上【分析】一次函数的自变量取值为实数；把自变量x的值代入解析式 ，求出y的值；描点、连线 画出一次函数的图象； 把 代入解析式 ，通过等式是否成立判断是否是直线上的点． 【详解】解：函数 的自变量x的取值范围是实数； 故答案为：实数； 列表： x … 0 1 2 … y … 1 3 5 … 描点、连线，画出一次函数的图象如图： 把 代入解析式 ， ； ， ∴点A、B在函数 的图象上． 【点睛】本题考查了一次函数的图象与图象上的点，解题的关键是掌握一次函数的图象与一次函数图象上 点的特点． 题型03 一次函数的图象和性质 【典例3】（2023春·福建泉州·八年级福建省泉州市培元中学校考期中）下列描述一次函数 的图 象及性质错误的是（ ） A．直线与x轴交点坐标是 B．y随x的增大而减小 C．直线经过第一、二、四象限 D．当 时， 【答案】A 【分析】根据一次函数的性质解答即可．【详解】A. 直线与x轴交点坐标是 ，符合题意； B. y随x的增大而减小，不符合题意； C. 直线经过第一、二、四象限，不符合题意； D. 当 时， ，不符合题意； 故选A． 【点睛】本题考查了一次函数的性质和图像分布，熟练掌握性质是解题的关键． 【变式1】（2023春·浙江台州·八年级统考期末）对于一次函数 ，下列说法正确的是（ ） A． y随x的增大而增大 B．它的图象过点 C．它的图象过第一、二、三象限 D．它的图象与x轴的交点坐标为 【答案】B 【分析】由 ， ，可得y随x的增大而减小，图象过第一、二、四象限，进而可判断A、C 的正误；当 时， ，则图象过点 ，进而可判断B的正误；当 时， ，解得 ，则图象与x轴的交点坐标为 ，进而可判断D的正误． 【详解】解：∵ ， ， ∴y随x的增大而减小，图象过第一、二、四象限，A、C错误，故不符合要求； 当 时， ， ∴图象过点 ，B正确，故符合要求； 当 时， ，解得 ， ∴图象与x轴的交点坐标为 ，D错误，故不符合要求； 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，图象与坐标轴的交点．解题的关键在于对知识的熟练掌握与 灵活运用． 【变式2】（2023春·广西桂林·八年级校考阶段练习）对于函数 ，下列结论不正确的是（ ） A．图象经过点 B．图象不经过第一象限 C．图象与 轴交点坐标是 D． 的值随 值的增大而增大 【答案】C 【分析】根据一次函数的性质及函数图像上点满足函数解析式逐个判断即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， 当 时， ，故A正确， 当 时， ，故C正确， ∵ ， ，∴ 的值随 值的增大而增大，图像经过一，三，四象限，故D正确C错误， 故选C； 【点睛】本题考查一次函数的性质，解题的关键是熟练掌握 过一三象限， 的值随 值的增大而增大， 向下平移． 【变式3】（2023秋·四川成都·八年级统考期末）关于一次函数 ，下列结论正确的是（ ） A．图象不经过第二象限 B．图象与 轴的交点是 C．将一次函数 的图象向上平移3个单位长度后，所得图象的函数表达式为 D．点 和 在一次函数 的图象上，若 ，则 【答案】C 【分析】根据一次函数的图象与性质，逐项判断即可作答． 【详解】A． ， ，一次函数图象经过第一、二、四象限，故本项原说法错误； B．图象与 轴的交点是 ，故本项原说法错误； C．将一次函数 的图象向上平移3个单位长度后，所得图象的函数表达式为 ，故本项 说法正确； D.点 和 在一次函数 的图象上，若 ，则 ，故本项原说法错误； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象与性质，掌握一次函数的图象与性质，是解答本题的关键． 题型04 已知函数经过的象限求参数范围 【典例4】（2023春·河南洛阳·八年级统考期末）若一次函数yxb（b为常数）的图象经过第一、二、 四象限，则b的值可以为 ．（写出一个即可） 【答案】1（答案不唯一） 【分析】根据一次函数的图象经过第一、二、四象限判断出b的符号，再找出符合条件的b的可能值即可． 【详解】解：∵一次函数yxb的图象经过第一、二、四象限，k 1， ∴b0， 故答案是：1（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，对于一次函数ykxb（k为常数，k 0），当k 0时，y 随x的增大而增大；当k 0时，y随x的增大而减小．当b0，图象与y轴的正半轴相交，当b0，图象 与y轴的负半轴相交，当b0，图象经过原点． 【变式1】（2023·河南周口·河南省淮阳中学校考三模）若一次函数ykxk3不经过第二象限，则k的 取值范围为 ．【答案】k 3 【分析】根据图象在坐标平面内的位置关系确定k的取值范围，从而求解． 【详解】∵一次函数ykxk3的图象不经过第二象限， ∴一次函数ykxk3的图象经过第一、三、四象限或者过第一、三象限， ∴k 0且k30， 解得k 3． 故答案为：k 3． 【点睛】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理解：直线 ykxb所在的位置与k、b的符号有直接的关系．需要特别注意不经过第二象限可能只经过第一、三象限． 【变式2】（2023春·山东日照·八年级校考期中）一次函数y(m5)xm4的图象不经过第三象限，则m 的取值范围是 ； 【答案】4m5 【分析】分直线不是一次函数、直线经过第二、四象限和直线经过第一、二、四象限三种情况考虑，利用 一次函数图象与系数的关系，即可得出关于m的不等式（或方程），解之即可得出m的取值范围． 【详解】解：分三种情况考虑． 当m50，即m5时，直线为y1，不经过第三象限，符合题意； m50 当直线 经过第二、四象限时， ， y(m5)xm4 m40 解得：m4； m50 当直线 经过第一、二、四象限时， ， y(m5)xm4 m40 解得：4m5． m的取值范围是4m5． 故答案为：4m5． 【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系，分直线不是一次函数、直线经过第二、四象限和直线经 过第一、二、四象限两种情况，求出m的取值范围（或m的值）是解题的关键． 【变式3】（2023春·山东菏泽·八年级统考期末）已知一次函数y2xb的图象经过第一、三、四象限， 则函数ybxb的图象经过的象限是 ． 【答案】一、二、四 【分析】先根据一次函数y2xb的图象经过第一、三、四象限判断b的取值范围，再判断函数 ybxb的图象经过的象限． 【详解】∵一次函数y2xb的图象经过第一、三、四象限， ∴b0，b0， ∴函数ybxb的图象经过一、二、四象限． 故答案为：一、二、四．【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，对于一次函数ykxb（k为常数，k 0），当k 0时，y 随x的增大而增大；当k 0时，y随x的增大而减小．当b0，图象与y轴的正半轴相交，当b0，图象 与y轴的负半轴相交，当b0，图象经过原点． 题型05 根据一次函数增减性求参数 【典例5】（2023春·四川巴中·八年级校考阶段练习）若一次函数ym2x3，y随x增大而减小，则 m的取值范围为 ． 【答案】m2 【分析】根据一次函数的性质 y 随x的增大而减小得到m20，即可得到答案． 【详解】解：∵一次函数ym2x3，若y随x的增大而减小， ∴m20， ∴m2， 故答案为：m2． 【点睛】此题考查了一次函数的性质：当k 0时，图象过第一、三象限， y 随x的增大而增大；当k 0 时，图象过二、四象限， y 随x的增大而减小． 【变式1】（2023春·青海果洛·八年级统考期末）若一次函数ykx4的函数值y随x的增大而增大，则k 的值可能是 ． 【答案】1（答案不唯一） 【分析】根据一次函数的性质，若y随x的增大而增大，则比例系数大于0． 【详解】解：∵ykx4的函数值y随x的增大而增大， ∴k 0， 则k的值可能是1， 故答案为：1（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，要知道，在直线ykxb中，当k 0时，y随x的增大而增大；当 k 0时，y随x的增大而减小． 【变式2】（2023春·上海虹口·八年级统考期末）已知一次函数y1mx2图像上两点Ax,y  ， 1 1 Bx ,y  ，当x x 时，y  y ，那么m的取值范围是 ． 2 2 1 2 1 2 【答案】m>1 【分析】根据题意可得 y 随x的增大而减小，可得1m0，从而可得答案． 【详解】解：∵一次函数y1mx2图像上两点Ax,y  ，Bx ,y  ，当x x 时，y  y ， 1 1 2 2 1 2 1 2 ∴ y 随x的增大而减小， ∴1m0， 解得：m>1，故答案为：m>1． 【点睛】本题考查的是一次函数的性质，熟记一次函数的增减性是解本题的关键． 【变式3】（2023春·河南新乡·八年级河南师大附中校考期末）点Ax,y  ，Bx ,y  在一次函数 1 1 2 2 ya3x2的图像上，当x x 时，y  y ，则a的取取值范围是 ． 1 2 1 2 【答案】a3 【分析】根据一次函数的图像ya3x2，当a30时，y随x的增大而减小分析即可． 【详解】解： 当x x 时，y  y ，y随x的增大而减小，  1 2 1 2 a30， a3， 故答案为：a3． 【点睛】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征，一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的 关键． 题型06 比较一次函数值的大小 【典例6】（2023春·广西南宁·八年级校考阶段练习）若点A5,y  ， B2,y  在一次函数y2x5的图 1 2 象上，则y y ．（填“>”或“<”或“=”） 1 2 【答案】 【分析】利用一次函数的增减性判断即可． 【详解】解：由题可知，一次函数y2x5，k 20，y随x的增大而减小， ∵52， ∴y  y ， 1 2 故答案为：<． 【点睛】本题考查利用一次函数的增减性判断函数值的大小问题，准确判断函数的增减性是解题关键． 【变式1】（2023春·湖南岳阳·八年级统考期末）已知一次函数y2x4的图象经过点 2,a ， 4,b ， 则a b（填“”，“”或“”） 【答案】 【分析】根据一次函数图象的增减性进行判断． 【详解】解：∵一次函数y2x4中的20， ∴该函数图象是直线，且y的值随x的增大而增大， ∵24， ∴ab 故答案为：．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征．解题时，利用了一次函数图象的性质． 【变式2】（2023春·山东滨州·八年级统考期中）已知点 2,y  ， 1,y  都在直线y3xb上，则y 1 2 1 y 2 （填“”“”“”）． 【答案】 【分析】根据直线y3xb的k值，确定直线的增减性，再利用两点的横坐标大小判断y 和y 的大小． 1 2 【详解】解： y3xb中，k 30， y随x增大而减小． 又  21，则y 1  y 2 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，熟练掌握一次函数的增减性是解答 的关键． 【变式3】（2023春·湖南长沙·八年级校考阶段练习）已知 a32 2b10，点P2，y  ，点 1 1 P 2 6，y 2  是一次函数yaxb的图象的两个点，则y 1 y 2 ．（填“”，“”或“”） 【答案】 1 1 【分析】根据非负数的性质求出 ，b ，得到一次函数y3x ，进而求出 和 的值，比较 a3 2 2 y y 1 2 y 和y 的大小即可得到答案． 1 2 【详解】解：Qa32 2b10， a30，2b10， 1 ，b ， a3 2 1 一次函数y3x ，  2 点P2，y  ，点P 6，y  是一次函数yaxb的图象的两个点，  1 1 2 2 1 13 1 35 y 32  ，y 36  ， 1 2 2 2 2 2 ∴ y 与y 为的大小关系是y  y ， 1 2 1 2 故答案为：． 【点睛】本题考查了非负数的性质，一次函数值的大小比较，熟练掌握相关知识点是解题关键． 题型07 一次函数图象与坐标轴的交点问题 【典例7】（2023春·北京通州·八年级潞河中学校考阶段练习）一次函数 与x轴的交点坐标为 ，与y轴的交点坐标是 ．【答案】 【分析】令 ，解得y，令 ，解得x，即为函数与y轴、x轴交点坐标． 【详解】解：令 ，即 ，解得 ， ∴与x轴的交点坐标为 ． 令 ， ∴与y轴的交点坐标为 ． 故答案为： ， ． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解 析式是解答此题的关键． 【变式1】（2023春·山东临沂·八年级统考期末）在平面直角坐标系中直线 与x轴、y轴所围成的 三角形的面积是 ． 【答案】6 【分析】设直线 与x轴、y轴分别交于A、B两点，求出A和B的坐标得到 和 的长，即可 求解. 【详解】解：设直线 与x轴、y轴分别交于A、B两点， ∴ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 故答案为：6. 【点睛】本题主要考查了一次函数与坐标轴围成的面积，解题的关键在于能够准确求出一次函数与坐标轴 的交点坐标. 【变式2】（2023春·黑龙江鹤岗·八年级统考期末）直线 经过点 ，且与两坐标轴构成的直角三 角形的面积是6，则 为 ． 【答案】 【分析】直线 与y轴交于点 ，分别求出直线 与x轴、y轴的交点坐标，然后应用面积计算即可． 【详解】解：直线 与y轴交于点 ， ， ， 当 时，即 ， 解得 ， 直线 与x轴交于点 ， 由题意得 ， 整理得 ， 即 ， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴围成图形的面积问题；解题的关键是用参数表示坐标轴与直线的交 点坐标及相应线段的值． 【变式3】（2023·四川·九年级专题练习）如图，直线 （k为常数， ）与x，y轴分别交 于点A，B，则 的值是 ． 【答案】1 【分析】根据一次函数解析式得出 ， ，然后代入化简即可． 【详解】解： ， ∴当 时， ，当 时， ， ∴ ， ，∴ ， 故答案为：1． 【点睛】题目主要考查一次函数与坐标轴的交点及求代数式的值，熟练掌握一次函数的性质是解题关键． 题型08 一次函数图象的平移问题 【典例8】（2023春·福建泉州·八年级福建省泉州市培元中学校考期中）把函数 向上平移3个单 位长度后，所得函数的解析式为 ． 【答案】 【分析】一次函数图象平移：上下平移后解析式变化，对函数值上加下减． 【详解】解： 向上平移3个单位长度得函数的解析式为 ； 故答案为： 【点睛】本题考查一次函数的平移，掌握图象平移后解析的变化规则是解题的关键． 【变式1】（2023·江苏淮安·校考二模）将直线 向上平移 个单位后经过点 ，则 的值为 ． 【答案】2 【分析】先根据平移规律求出直线 向上平移3个单位后的直线解析式，再把点 代入，即可求 出b的值． 【详解】将直线 向上平移 个单位后得到直线 ， 把点 代入，得 ， 解得 ． 故答案为： ． 【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，正确求出平移后的直线解 析式是解题的关键． 【变式2】（2023春·云南临沧·八年级统考期末）将一次函数 的图像先向左平移 个单位长度，再 向下平移 个单位长度后得到的函数解析式为 ． 【答案】 【分析】根据“上加下减、左加右减”的原则进行解答即可． 【详解】解：将一次函数 的图像先向左平移 个单位长度，再向下平移 个单位长度后得到的函 数解析式为： ，即 ， 故答案为： ． 【点睛】本题考查的是二次函数的图像与几何变换，熟知函数图像平移的法则是解答此题的关键．一、单选题 1．（2023春·四川德阳·八年级统考阶段练习）下列各点中，在函数 的图像上的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】只要把点的坐标代入一次函数的解析式，若左边 右边，则点在函数的图像上，反之就不在函数 的图像上，代入检验即可． 【详解】解： 、把 代入 得，左边 ，右边等于 ，左边 右边，故本选项不符合 题意； 、把 代入 得，左边 ，右边等于 ，左边 右边，故本选项符合题意； 、把 代入 得，左边 ，右边等于 ，左边 右边，故本选项不符合题意； 、把 代入 得，左边 ，右边等于 ，左边 右边，故本选项不符合题意． 故选： ． 【点睛】本题主要考查对一次函数图像上点的坐标特征的理解和掌握，能根据点的坐标判断是否在函数的 图像上是解此题的关键． 2．（2023秋·福建福州·九年级校考开学考试）一次函数 的图像不经过的象限是（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据 、 的符号判断即可． 【详解】∵ ， ， ∴一次函数 的图像经过第一象限、第二象限、第三象限， ∴图象不经过第四象限， 故选： ．【点睛】此题考查了一次函数图象，熟练掌握一次函数图象及其性质是解题的关键． 3．（2023春·福建泉州·八年级校考期中）对于直线 ，下列说法不正确的是（ ） A． 随 的增大而减小 B．直线与 轴交于正半轴 C．直线 经过第二、三、四象限D．直线 向下平移 个单位后经过原点 【答案】C 【分析】根据一次函数的性质以及平移的规律即可判断． 【详解】解：在直线 中， ， ， 一次函数的图象经过第一、二、四象限， 随 的增大而减小，故A正确，不合题意；C不正确，符合 题意； 当 时， ， 直线与 轴的交点为 ，故B正确，不合题意； 直线 向下平移1个单位后得到 ， 当 时， ， 直线 向下平移1个单位后经过原点，故D正确，不合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数的图象与几何变换以及一次函数的性质，解题的关键是逐条分析四个选项． 本题属于基础题，难度不大，解决该题时，熟悉一次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征以及一次 函数图象与系数的关系是解题的关键． 4．（2023春·浙江台州·八年级统考期末）若点 在函数 的图象上，则 与 的大小关系是（ ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】由一次函数 可知， ，所以y随x的增大而减小，由此即可得出答案． 【详解】解：∵一次函数解析式为 ，即 ， ∴y随x的增大而减小． ∵ ， ∴ ． 故选：A． 【点睛】本题考查一次函数的性质，熟知一次函数 ，当 时y随x的增大而减小是解答 此题的关键． 5．（2023秋·湖南长沙·九年级长沙市北雅中学校考开学考试）已知一次函数 的图象上两点 ， ，当 时，有 ，那么m的取值范围是（ ） A．  B． C．  D． 【答案】A 【分析】先判断一次函数图象的增减性，得出一次项系数的正负，即可求解． 【详解】解： 当 时，有 ， y随x的增大而减小， ， ， 故选A． 【点睛】本题考查一次函数的图象和性质，解题的关键是掌握一次函数图象的增减性与k值的关系． 二、填空题 6．（2023秋·上海徐汇·九年级校联考阶段练习）一次函数 在y轴上的截距是 ． 【答案】 【分析】把 代入 可得答案． 【详解】解：当 时， ， ∴一次函数 在y轴上的截距是 ； 故答案为： 【点睛】本题考查的是一次函数与y轴的交点的纵坐标，理解题意是解本题的关键． 7．（2023春·四川内江·九年级统考阶段练习）已知 是一次函数 图象上的一个点，则 ． 【答案】2 【分析】根据题意将 代入 求解即可． 【详解】∵ 是一次函数 图象上的一个点 ∴将 代入 得， ． 故答案为：2． 【点睛】本题考查的是一次函数的图象上点的坐标特点，理解函数图象上点的坐标满足函数解析式是解本 题的关键． 8．（2023春·河南驻马店·八年级校考阶段练习）已知点 和点 都在直线 上，则a b（填写“>”，“<”或“=”）. 【答案】< 【分析】根据一次函数增减性即可进行解答．【详解】解：根据题意可得： ∵ ， ∴y随x的增大而增大， ∵ ， ∴ ， 故答案为：<． 【点睛】本题主要考查了一次函数的增减性，解题的关键是掌握一次函数 ，当 时，y 随x的增大而增大；反之，y随x的增大而减小． 9．（2023秋·广东广州·九年级广州市第二中学校考开学考试）一次函数 的函数值 随 的 增大而增大，则 的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据一次函数的性质，求解即可． 【详解】解： 一次函数 的函数值 随 的增大而增大， ， 的取值范围为 ， 故答案为 ． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，掌握一次函数 中，当 时， 随 的增大而增大；当 时， 随 的增大而减小是解题的关键． 10．（2023春·山东青岛·八年级校考开学考试）请写出一个符合下列要求的m的值： （1）当 时，一次函数 的值随x值的增大而减小； （2）当 时，一次函数 的图象与 的图象平行； （3）当 时，一次函数 的图象与x轴的交点位于正半轴． 【答案】 （答案不唯一， 即可） （答案不唯一， 即可） 【分析】（1）根据一次函数性质 时，y的值随x值的增大而减小即可，写出符合的m的值即可； （2）根据两直线平行k值相等即可得到答案； （3）根据一次函数 的图象与x轴的交点位于正半轴，判断 ，写出符合的m的值即可． 【详解】（1）由一次函数 的值随x值的增大而减小，得 ， ∴m可取 ， 故答案为： （答案不唯一， 即可）； （2）由两直线平行k值相等，得 ， 故答案为： ； （3）由一次函数 的图象与x轴的交点位于正半轴，一次函数经过 ，得y的值随x值的增大而增大， ∴ ， ∴m可取 ， 故答案为： （答案不唯一， 即可）． 【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 三、解答题 11．（2023秋·全国·八年级专题练习）已知y与x成正比例，且 时 ， (1)求y与x之间的函数关系式； (2)设点 在这个函数的图象上，求a． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设 ，将 ， 代入，求出k值即可； （2）将 代入（1）中函数关系式中，即可求出a值． 【详解】（1）解：∵y与x成正比例， ∴设 ， ∵当 时， ， ∴ ， 解得： ， ∴y与x的函数关系式为 ； （2）∵点 在函数关系式为 的图象上， ∴ ， ∴ ． 【点睛】本题考查了正比例函数解析式，正比例函数图象上的点，解题的关键是掌握待定系数法求解析式． 12．（2023秋·安徽合肥·八年级校考阶段练习）已知一次函数 ． (1)当m、n为何值时，其图象经过原点； (2)当m、n为何值时，其图象不经过第二象限． 【答案】(1) ， (2) ， 【分析】（1）根据一次函数的图象和系数的关系列式求解即可； （2）根据一次函数的图象和系数的关系列式求解即可．【详解】（1）解：∵一次函数 的图象经过原点， ∴ ， ， ∴ ， ； （2）解：∵一次函数 的图象不经过第二象限， ∴ ， ， ∴ ， ． 【点睛】本题考查了一次函数的图象和系数的关系，解题的关键是熟练掌握：直线 所经过 的象限与k、b的符号有直接的关系： 时，直线必经过一、三象限； 时，直线必经过二、四象限； 时，直线与y轴正半轴相交； 时，直线过原点； 时，直线与y轴负半轴相交． 13．（2023春·山东东营·七年级校联考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线 与x轴，y 轴分别交于点A，点B． (1)求点A和点B的坐标； (2)若点P在x轴上，且 ，求点P的坐标． 【答案】(1) ， (2) 或 【分析】（1）令x0，得 y2x44，令 y0，即y2x40，解得x2，即可解决问题； 1 1 1 （2）设 Pm,0，根据S AOB  2 OAOB4，S △BOP  2 S △AOB ，可得S BOP  2 S AOB 2，构建方程即可解 决问题； 【详解】（1）令x0，得 y2x44， 令 y0，即y2x40，解得x2， A2,0 ，B0,4 ； （2）设Pm,0，即：OP m ，∵A2,0 ，B0,4 ， ∴AO2，BO4， 1 ∴S  OAOB4， AOB 2 1 ∵S  S ， △BOP 2 △AOB 1 ∴S  S 2， BOP 2 AOB ∵OP m ， 1 ∴S  OPOB2m POB 2 ∴2 m 2，即m1， ∴P1,0 或 1,0 ． 【点睛】本题考查一次函数图象上点的特征，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程 解决问题． 1 14．（2023春·河南南阳·八年级统考期中）已知直线y  x3， 2 (1)请用两点法列表、描点并连线画出该函数的图象； (2)结合所画图象，分别找出满足下列条件的点，并写出它的坐标： ①横坐标是4； ②和x轴的距离是2个单位． 【答案】(1)见解析； (2)① 4,5 ；② 2,2 和 10,2 ． 【分析】（1）根据画函数图象基本步骤即可； （2）求函数的值和自变量的值即可解答． 【详解】（1）列表： x 0 6 y 3 0 描点并连线：， 1 1 （2）如图， 把 代入y  x3，得y 435， ① x4 2 2 ∴横坐标是4的点的坐标 4,5 ， ②由题意可知： y 2，∴y2， 1 1 把 代入y  x3，得：2 x3， y2 2 2 ∴x2， ∴对应点的坐标为： 2,2 ； 1 1 把 代入y  x3，得：2 x3， y=2 2 2 ∴x10， ∴对应点的坐标为： 10,2 ； 综上可知：和x轴的距离是2个单位的点的坐标是 2,2 和 10,2 ． 【点睛】此题考查了一次函数，解题的关键是熟练掌握一次函数图象画法及图象上的点的坐标特征． 15．（2023春·广西南宁·八年级南宁市天桃实验学校校考阶段练习）已知 y 关于x的函数解析式为： y2x4． (1)请根据表格填空； x L 1 2 3 n L y L 2 0 m 6 L m ________；n ________． (2)在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图像；(3)将函数y2x4的图像向下平移6个单位长度后对应的函数解析式为：________． 【答案】(1)2，5 (2)见解析 (3)y2x2 【分析】（1）分别令x3，y6，求出对应值，可得m，n； （2）描点，连线即可； （3）根据平移的规律，上加下减即可求解． 【详解】（1）解：当x3时，y2342； 当y6时，x5； ∴m2，n5， 故答案为：2，5； （2）如图，即为所求； （3）将函数y2x4的图像向下平移6个单位长度后， 对应的函数解析式为y2x46，即y2x2． 【点睛】本题考查了一次函数的图像，解题的关键是掌握函数图像的画法，也考查了函数图像的平移． 16．（2023·浙江绍兴·校考一模）已知一次函数y2x4的图像与x轴、y轴分别相交于点A、B，点P 在该函数图像上，P到x轴、y轴的距离分别为d 1 、d 2 ．(1)当P为线段AB的中点时，求d 1 d 2 的值； (2)直接写出d 1 d 2 的范围，并求当d 1 d 2 3时点P的坐标； (3)若在线段AB上存在无数个P点，使d 1 ad 2 4（a为常数），求a的值． 【答案】(1)3 7 2 (2) d 1 d 2 2 ； P 的坐标为1,2或 3 , 3   (3)2 【分析】（1）对于一次函数解析式，求出A与B的坐标，即可求出P为线段AB的中点时d 1 d 2 的值； （2）设Pm,2m4 ，表示出d d ，根据题意确定出d d 的范围，分类讨论m的范围，根据 1 2 1 2 d 1 d 2 3求出m的值，即可确定出P的坐标； （3）设Pm,2m4 ，表示出d 1 与d 2 ，由 P 在线段上求出m的范围，利用绝对值的代数意义表示出d 1 与 d 2 ，代入d 1 ad 2 4，根据存在无数个点P求出a的值即可． 【详解】（1）解：对于一次函数y2x4， 令x0，得到y4， 令y0，得到x2， A2,0 ，B0,4 ， P为AB的中点，  P1,2 ， 则d d 3； 1 2 （2）解：设Pm,2m4 ，则d d  m  2m4 ， 1 2 当0m2时，d d m42m4m， 1 2 2d d 4， 1 2 当m>2时，d d m2m43m42， 1 2当m0时，d d m42m43m， 1 2 d d 4， 1 2 综上，d d 2； 1 2 当0m2时，d d m42m4m3， 1 2 解得：m1，此时P 1 1,2 ； 当m>2时，d d m2m43， 1 2 7 7 2 解得：m ，此时P , ； 3 3 3 当m0时，不存在， 7 2 综上， P 的坐标为1,2或 3 , 3   ． （3）解：设Pm,2m4 ， d  2m4 ，d  m ， 1 2 P在线段AB上，  0m2， d 42m，d m， 1 2  d 1 ad 2 4， 42mam4，即 a2m0， 有无数个点，  a2． 【点睛】此题属于一次函数综合题，考查了一次函数与坐标轴的交点，线段中点坐标公式，绝对值的代数 意义，以及坐标与图形性质，熟练掌握绝对值的代数意义是解本题的关键．