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想
3.4.2 相似三角形的性质
第2课时 相似三角形对应周长和面积的性质
〔教学目标〕
1． 经历探索相似三角形性质的过程，并在探究过程中发展学生积极的情感、态度、价值观，
体验解决问题策略的多样性。
2．理解并掌握相似三角形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方，并能用来解决简
单的问题。
3．探索相似多边形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方，体验化归思想。
〔教学重点与难点〕
重点：理解并掌握相似三角形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方。
难点：探索相似多边形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方。
〔教学设计〕
教学过程 设计意图说明
新课引入：
1．回顾相似三角形的概念及判定方法。 以旧引新，帮助学生建立新旧知识间
2．复习相似多边形的定义及相似多边形对应边、对应角的性质。 的联系。
提出问题：
如果两个三角形相似，它们的周长之间什么关系？两个相似多
边形呢？（学生小组讨论）
↓
∆ABC∽∆AB C ，相似比为k
1 1 1
让学生经历从特殊到一般的过程，体
AB=kAB ,BC=kB C ,CA=kC A
1 1 1 1 1 1 会有限数学归纳法的魅力，学生以小
组讨论的形式开展学习有利于丰富学
生的探究经验。
相似三角形周长的比等于相似比
相似多边形周长的比等于相似比
延伸问题：
探究：
（1） 如图27．2-11（1），∆ABC∽∆AB C ，相似比为k ，它们的面
1 1 1 1
积比是多少？
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A
B 让学生经历从“相似三角形周长的比
D
与相似比的关系到相似三角形面积比
与相似比的关系”的过程，体会它们
C
之间的形式雷同性与认知结构雷同
性。
（1） （2）
图27．2-11
分析：如图27．2-11（1），分别作出∆ABC和∆AB C 的高AD和AD。
1 1 1 1 1
∠ADB=∠A
1
D
1
B
1
=900又∠B=∠B
1
∆ABD∽∆AB D
1 1 1
让学生再次经历从特殊到一般的过
程，进一步体验有限数学归纳法的魅
=k2
1 力。
相似三角形面积比等于相似比的平方
（2）如图27．2-11（2），四边形ABCD相似于四边形AB C D，相似比
1 1 1 1
为k，它们的面积比是多少？
2
分析： k2
2
k2
2
相似多边形面积比等于相似比的平方
应用新知：
例6：如图27．2-12，在∆ABC和∆DEF中，AB=2DE，AC=2DF，
∠A=∠D，∆ABC的周长是24，面积是48，求 ∆DEF的周长和面积。
让学生了解运用“相似三角形周长的
比等于相似比、面积比等于相似比的
平方”的常见解题思路。
图27．2-12
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分析： ∆ABC和∆DEF中，
A
AB=2DE，AC=2DF
又∠A=∠D
C
B
∆ABC∽∆DEF，相似比为
∆DEF的周长= 24=12，面积= 2 48=12。
运用提高： 让学生在练习中熟悉利用相似三角形
1．P 练习题1 周长的比等于相似比、面积比等于相
54
2．P 练习题2 似比的平方，解决简单的问题。
54
课堂小结：说说你在本节课的收获。 让学生及时回顾整理本节课所学的知
识。
布置作业：
1．必做题：
P 练习题3，4
54
2．选做题：
P 习题272题12，13，14。
57 ·
分层次布置作业，让不同的学生
在本节课中都有收获。
3．备选题：如图，已知矩形ABCD的边长AB=2，BC=3，点P是AD
边上的一动点（P异于A、D），Q是BC边上的任意一点. 连
AQ、DQ，过P作PE∥DQ交AQ于E，作PF∥AQ交DQ于F.
（1）求证：△APE∽△ADQ；
（2）设AP的长为x，试求△PEF的面积S 关于x的函
△PEF
数关系式，并求当P在何处时，S 取得最大值？最大值为
△PEF
多少？
备选题答案：（1）证∠APE=∠ADQ，
∠AEP=∠AQD.
（2） 注意到△APE∽△ADQ与
△PDE∽△ADQ，及
（3）当Q在何处时，△ADQ的周长最小？（须给出确定Q
在何处的过程或方法，不必给出证明）
S = ，得
△PEF
S = = .
△PEF
∴当 ，即P是AD的中点时，
S 取得最大值 .
△PEF
（3）作A关于直线BC的对称点
A′，连DA′交BC于Q，则这个点
Q就是使△ADQ周长最小的点，此
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P 时Q是BC的中点.
A D
F
E
设计思想：
B C
Q
本节课主要是让学生理解并掌握相似三角形周长的比等于相似比、面积比等于相似比
的平方，通过探索相似多边形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方，体验化归思
想，学会应用相似三角形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方来解决简单的问题。
因此本教学设计突出了“相似比 相似三角形周长的比 相似多边形周长的比”、“相似
比 相似三角形面积的比 相似多边形面积的比”等一系列从特殊到一般的过程，以让学
生深刻体验到有限数学归纳法的魅力。
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