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第 6 讲 函数
知识点1 常量与变量
1.变量与常量：
在某一变化过程中，数值保持不变的量叫做常量，可以取不同数值的量叫做变量.
注：变量中，自己会变的量叫做自变量，因为自变量而随之改变的量叫做因变量.
【典例】
1.某品牌豆浆机成本为70元，销售商对其销量定价的关系进行了调查，结果如下：
则下列说法中正确的是（ ）
A. 定价是常量，销量是变量
B. 定价是变量，销量是不变量
C. 定价与销售量都是变量，定价是自变量，销量是因变量
D. 定价与销量都是变量，销量是自变量，定价是因变量
【答案】C.
【解析】解：定价与销售量都是变量，而随着定价的改变，销量也在随之改变，所以定价
是自变量，销量是因变量，故C正确.
故选：C．
【方法总结】
本题主要考查了常量和变量的概念，解题的关键能根据题干叙述，准确判断出不变的量和
变化的量，并能够从变量中确认出谁是引起变化的量，进而正确区分自变量和因变量.
【随堂练习】
1．（郑州期末）某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度
关系的一些数据（如下表）：
温度/℃ ﹣20 ﹣10 0 10 20 30
声速/m/s 318 324 330 336 342 348
下列说法错误的是（ ）
A．在这个变化中，自变量是温度，因变量是声速B．温度越高，声速越快
C．当空气温度为20℃时，声音5s可以传播1740m
D．当温度每升高10℃，声速增加6m/s
【解答】解：∵在这个变化中，自变量是温度，因变量是声速，
∴选项A正确；
∵根据数据表，可得温度越高，声速越快，
∴选项B正确；
∵342×5=1710（m），
∴当空气温度为20℃时，声音5s可以传播1710m，
∴选项C错误；
∵324﹣318=6（m/s），330﹣324=6（m/s），336﹣330=6（m/s），342﹣336=6
（m/s），348﹣342=6（m/s），
∴当温度每升高10℃，声速增加6m/s，
∴选项D正确．
故选：C．
2．（确山县期中）在一次实验中，小强把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂
物体．下面是他测得的弹簧的长度y与所挂物体的质量x的一组对应值：
所挂物体的质量x/kg 0 1 2 3 4 5
弹簧的长度y/cm 20 22 24 26 28 30
（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
（2）填空：
①当所挂的物体为3kg时，弹簧长是____．不挂重物时，弹簧长是_____．
②当所挂物体的质量为 8kg（在弹簧的弹性限度范围内）时，弹簧长度是
_____．
【解答】解：（1）反映了弹簧长度y与所挂物体质量x之间的关系，所挂物体
的质量是自变量，弹簧的长度是因变量；
（2）①根据表格可知：当所挂物体重量为 3千克时，弹簧长度为 26cm；不挂
重物时，弹簧长度为10cm；
故答案为：26cm 20cm．
②根据表格可知：所挂重物每增加 1千克，弹簧增长2cm，根据弹簧的长度=弹簧原来的长度+弹簧伸长的长度可知当所挂物体的重量为 x千克时，弹簧长度
y=2x+20，将x=8代入得y=2×8+20=36．
故答案为：36cm．
知识点2 函数的概念
1.一般地，在一个变化过程中的两个变量 和 ，如果对于 的每一个值， 都有唯一的
值与它对应，那么我们称 是 的函数，其中 是自变量， 是因变量.
2.函数的图像:
在平面直角坐标系中，以函数的自变量的值为横坐标、相应的函数值为纵坐标的点所组成
的图形叫做这个函数的图像.
【典例】
1.下列说法正确的是（ ）
A. 在球的体积公式V= πr2中，V不是r的函数
B. 若变量x、y满足y2=x，则y是x的函数
C. 在圆锥的体积公式V= πR2h中，当h=4厘米，R=2厘米时，V是π的函数
D. 若变量x、y满足y= x+ ，则y是x的函数
【答案】D.
【解析】解：A、在球的体积公V= πr2中，变量是V和r，给定一个r值，都有唯一的V
值与它对应，则V是r的函数，故A错误；
B、变量x、y满足y2=x，给定一个x=4，则有两个y值（±2）与之对应，则y不是x的函
数，故B错误；
C、在圆锥的体积公式V= πR2h中，π是常量，所以当h=4厘米，R=2厘米时，V是π的
函数是错误的，故C错误；
D、变量x、y满足y= x+ ，给定一个x值，都有唯一的y值与之对应，则y是x的函
数，故D正确；
故选：D．
2.弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度 y （cm）与所挂的物体的质量x（kg）之间
有下面的关系：下列说法正确的是______________．
①x与y都是变量；
②弹簧不挂重物时的长度为0cm；
③物体质量每增加1kg，弹簧长度增加0.5cm；
④所挂物体质量为7kg时，弹簧长度为13.5cm．
【答案】①③④
【解析】解：①x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量，正确；
②弹簧不挂重物时的长度为10cm，错误；
③物体质量每增加1kg，弹簧长度增加0.5cm，正确；
④所挂物体质量为7kg时，弹簧长度为10+7×0.5=13.5cm，正确
故答案为：①③④
3.下列图形中的图象不表示y是x的函数的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C.
【解析】解：根据函数的概念可知，给定一个 x值，就有唯一的y值与它对应，即x是自
变量，y是因变量.
观察四个图象，A选项，给自变量x一个值，有且只有一个y值与其对应，故A是函数，
B选项，给自变量x一个值，有且只有一个y值与其对应，故B是函数，
C选项，根据图象知给自变量一个值，有的有3个函数值与其对应，故C不是函数，
D选项，根据图象知给自变量x一个值，有且只有一个y值与其对应，故D是函数，
故选：C．
4.星期日晚饭后，小红从家里出去散步，如图所示，描述了她散步过程中离家的距离 s
（m）与散步所用的时间t（min）之间的函数关系，该图象反映的过程是：小红从家出发，
到了一个公共阅报栏，看了一会报后，继续向前走了一段，在邮亭买了一本杂志，然后回
家了．依据图象回答下列问题
（1）公共阅报栏离小红家有________米；
（2）邮亭离公共阅报栏有________米；
（3）小红从邮亭走回家用了________分．
【答案】略
【解析】解：（1）公共阅报栏离小红家有300米；
（2）邮亭离公共阅报栏有500﹣300=200米；
（3）小红从邮亭走回家用了18﹣13=5分．
故答案为：300；200；5．
【方法总结】
本知识点主要考查了函数的判定、以及函数中的自变量和因变量之间的关系.
判定两个量是否满足函数关系的方法如下：
第一，确定式子中或图形中或语言描述中，只包含两个变量；
第二，（唯一性）判断两个变量之间的关系，比如，给定一个x值，都有唯一的y值与之
对应，若则称y是x的函数.反应在图象上就是，一个x的值，对应一个y的值，则称y是x
的函数.
【随堂练习】
1．（滨江区期末）下列关于变量 x，y 的关系，其中 y 不是 x 的函数的是（
）A． B． C． D．
【解答】解：A、B、C当x取值时，y有唯一的值对应，
故选：D．
2．（浦东新区期末）当m=____时，函数y=（m﹣1）x+m是常值函数．
【解答】解：当m﹣1=0时，函数y=（m﹣1）x+m是常值函数，
故m=1时，y=1．
故答案为：1．
3．（滦南县校级期中）下列：①y=x2；②y=2x+1；③y2=2x（x≥0）；④y=
（x≥0），具有函数关系（自变量为x）的是____．
【解答】解：∵对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值，
∴①y=x2；②y=2x+1当x取值时，y有唯一的值对应；
故具有函数关系（自变量为x）的是①②．
故答案为：①②．
4．（宜宾校级月考）下列各式① y=0.5x﹣2；② y=|2x|；③ 3y+5=x；
④y2=2x+8中，y是x的函数的有____（只填序号）
【解答】解：①y=0.5x﹣2；②y=|2x|；③3y+5=x，y是x的函数，
故答案为：①②③．
知识点3 自变量的取值范围和函数值
函数自变量的取值范围，一般从下面几个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负；
（4）当函数表达式含有0次幂时，需要满足0次幂的底数不等于0.
【典例】
1.求下列函数中自变量的取值范围：
（1）（2）
（3）
（4） ．
【答案】（1） 取全体实数；（2） 且 ；（3） ；（4） 且 .
【解析】解：（1）∵无论 取何值，函数 均有意义，故 取全体实数；
（2）要使函数有意义，则 且 ，
解得 且 ；
（3）要使函数有意义，则 ，
解得 ；
（4） ，
要使该函数有意义，则 且 ，
解得 且 .
2.根据如图所示程序计算函数值，若输入的x的值为 ，则输出的函数值为_________.
【答案】
【解析】解：∵ ，满足2≤x≤4，
∴把 代入 中，得.
【方法总结】
要求一个函数的自变量的取值范围，只需要保证分式中的分母不等于 0，根号下面的式子
≥0，0次幂的底数不等于0.若一个解析式同时存在上述的情况时，需要全面考虑，使每个
式子都有意义的自变量的取值范围就是该解析式的自变量的取值范围.
【随堂练习】
1．（扬州一模）下列函数中，自变量的取值范围是x＞3的是（ ）
A．y=x﹣3 B． C． D．
【解答】解：A、自变量的取值范围是全体实数，故本选项错误；
B、自变量的取值范围是x≠3，故本选项错误；
C、自变量的取值范围是x≥3，故本选项错误；
D、自变量的取值范围是x＞3，故本选项正确．
故选：D．
2．（深圳模拟）在函数 中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥﹣1 B．x＞﹣1且x≠ C．x≥﹣1且x≠ D．x＞﹣1
【解答】解：由题意得，x+1≥0且2x﹣1≠0，
解得x≥﹣1且x≠ ．
故选：C．
3．（利州区一模）函数y= ，当y=a时，对应的x有唯一确定的值，
则a的取值范围为（ ）
A．a≤0 B．a＜0 C．0＜a＜2D．a≤0或a=2
【解答】解：由题意可知：y=a时，对应的x有唯一确定的值，
即直线y=a与该函数图象只有一个交点，
∴a≤0或a=2
故选：D．4．（鼓楼区校级期中）如果设 f（x）= ，那么 f（a）表示当 x=a 时，
的值，即f（a）= ．如：f（1）= = ．
（1）求f（2）+f（ ）的值；
（2）求f（x）+f（ ）的值；
（3）计算：f（1）+f（2）+f（ ）+f（3）+f（ ）+…+f（n）+f（ ）
（结果用含有n的代数式表示，n为正整数）
【解答】解：（1）当x=2时，f（2）= ，当x= 时，f（ ）= ，
∴f（2）+f（ ）= =1；
（2）f（x）+f（ ）= + =1；
（3）f（1）+f（2）+f（ ）+f（3）+f（ ）+…+f（n）+f（ ）
= +1×（n﹣1）=n﹣ ．
知识点4 函数的图象
（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值；
（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点；
（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来.
【典例】1．（文登区期末）某天，小颖到校后发现有学习用品遗忘在家中，此时离上课
还有15分钟，于是立即步行回家去取．同时小颖的爸爸从家中出发骑自行车给
她送学习用品，两人在途中相遇，在这个过程中，小颖和爸爸两人离学校的距
离S（米）与所用时间t（分钟〕之间的关系如图所示，若爸爸骑自行车的速度
是小颖步行的4倍，根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）学校离家的距离是____米，爸爸出发 _____ 分钟后与小颖相遇；
（2）请求出小颖步行的速度；
〔3）若小颖与爸爸相遇后坐爸爸的自行车赶回学校（假设爸爸骑自行车的速度
不变）小颖能在上课前到达学校吗？请说明理由．
【解答】解：（1）学校离家的距离是2500米，爸爸出发10分钟后与小颖相遇；
故答案为：2500；10；
（2）小颖步行的速度50米/分
设小颖步行的速度为x米/分，则小颖父亲骑车的速度为4x米/分，
依题意得：10x+40x=2500，
解得：x=50
〔3）若小颖与爸爸相遇后坐爸爸的自行车赶回学校（假设爸爸骑自行车的速度
不变）小颖能在上课前到达学校，理由如下：
两人相遇处离学校的距离为50×10=500米
小颖和父亲相遇后，赶往学校的时间为： =2.5
小颖来回花费的时间为：10+2.5=12.5＜15
所以小颖能在上课前到达学校．
【方法总结】
对于图象问题首先要看清楚图象描述的是什么关系，看清楚自变量指什么，因变量是什么
这两者之间存在怎样的关系，变化趋势是什么样的。一般会涉及行程问题的时候要知道路
程等于速度乘以时间。
【随堂练习】
1．（永春县期末）规定 表示不大于 的最大整数，例如 ， ， ．那么函数 的图象为
A．
B．
C．
D．
【解答】解： 还可理解为取小，
（1）当 时，
当 时， ，
时， ，
当 时， ；
时， ，即 在两个整数之间时， 为一次函数；
当 时， ，
符合条件的为 、 ；
（2）当 时，
当 时， ，
时， ，时， ，
在 、 中符合条件的为 ，
故选： ．
二．填空题（共1小题）
2．（台州模拟）小颜同学根据学习函数的经验，对函数 的图象
和性质作了四个推测：（1）图象是一个轴对称图形；（2）当 时， 有最大值等于
3；（3） 的值随着 的增大而减少；（4）当 时， 的值随着 的增大而减小．则推
测正确的是 （ 2 ）（ 4 ） ．
【解答】解：
当 时， 取最大值，即 ， 最大．图象不对称．故（1）错误
当 时， 随 增大而增大，故（3）错误，
当 时， 随 增大而增小，故（4）正确．
当 时，代入解析式得 ；故（2）正确；
函数图象如图：故答案为（2）（4）
三．解答题（共7小题）
3．（灵石县期末）某中学的小明和朱老师一起到一条笔直的跑道上锻炼身体，到达起点后
小明做了一会准备活动朱老师先跑，当小明出发时，朱老师已经距起点200米了，他们
距起点的距离 （米 与小明出发的时间 （秒 之间的关系如图所示（不完整）．根据
图中给出的信息，解答下列问题：
（1）在上述变化过程中，自变量是 自变量为小明出发的时间 ，因变量是 ；
（2）朱老师的速度为 米 秒；小明的速度为 米 秒；
（3）小明与朱老师相遇 次，相遇时距起点的距离分别为 米．
【解答】解：（1）观察函数图象可得出：自变量为小明出发的时间 ，因变量为距起点的
距离 ．
故答案为：小明出发的时间 ；距起点的距离 ．
（2）朱老师的速度为： （米 秒）；
小明的速度为： （米 秒）．故答案为：2；6．
（3）小明与朱老师相遇2次，相遇时距起点的距离分别为300米或420米，
故答案为：300米或420米．
4．（垦利区期末）周末，小李8时骑车从家出发，到野外郊游，16时回到家里．他离开
家后的距离 （千米）与时间 （时 的关系如图中的折线所示．根据这个图象回答下列
问题：
①小李到达离家最远的地方是什么时间？
②小李何时第一次休息？
③10时到13时，小李骑了多少千米？
④返回时，小李的平均速度是多少？
【解答】解：①由图象知，在图形的最高点就是小李到达离家最远的地方．此时对应的时
刻是14时．
②休息的时候路程为0，即开始出现的第一个水平状态的时刻，由图象可知，小李第一次
休息的时刻是在10时．
③由图象知，在这段时间内，小李只在11时到12时运动，对应的路程差为 ．
④返回时，小李为匀速运动，路程为30千米，所用时间是2小时，故速度为15千米 小时．
5．（岱岳区期末） 、 两地相距 ，甲骑摩托车由 地驶往 地，乙驾驶汽车由
地驶往 地，甲乙两人同时出发，乙达到 地停留1小时后，按原路原速返回 地，
甲比乙晚1小时到达 地，甲、乙两人行驶过程中均匀速行驶，甲乙两人离各自出发点
的路程 与乙所用时间 的关系如图，结合图象回答下列问题．
（1）在上述变化过程中，自变量是 乙所用的时间 ，因变量是 ；
（2） 的值为 ；（3）甲到达 地共需 小时；甲骑摩托车的速度是 ；
（4）乙驾驶汽车的速度是多少 ？
【解答】解：（1）自变量是乙所用的时间 ，因变量是甲乙两人离各自出发点的路程
；
故答案为：乙所用的时间 ，甲乙两人离各自出发点的路程 ；
（2）因为甲比乙晚1小时到达 地，所用 ；
故答案为：5；
（3）甲到达 地共需6小时，甲骑摩托车的速度是 ；
故答案为：6；40；
（4）由题意可知，乙驾驶汽车行驶的时间为 ，
乙驾驶汽车的速度是： ．
6．（永新县期末）如图是甲、乙两人从同一地点出发后，路程随时间变化的图象．
（1）此变化过程中， 时间 是自变量， 是因变量．
（2）甲的速度 乙的速度．（填“大于”、“等于”、或“小于”
（3）甲与乙 时相遇．
（4）甲比乙先走 小时．
（5）9时甲在乙的 （填“前面”、“后面”、“相同位置” ．
（6）路程为 ，甲行驶了 小时，乙行驶了 小时．【解答】解：（1）函数图象反映路程随时间变化的图象，则时间是自变量，路程为因变量；
（2）甲的速度 千米 小时，乙的速度 千米 小时，所以甲的速度小于乙的
速度；
（3）6时表示他们相遇，即乙追赶上了甲；
（4）甲先出发3小时后，乙才开始出发；
（5） 时，乙的图象在甲的上方，即乙行驶的路程远些，所以9时甲在乙的后面
（6）路程为 ，甲行驶9小时；乙行驶了 小时．
故答案为 （1）时间、路程．（2）小于．（3）6．（4）3． （5）后面．（6）9、4.5．
7．（鄂伦春自治旗期末）如图是某汽车行驶的路程 与时间 （分钟） 的函数关系图．
观察图中所提供的信息，解答下列问题：
（1）求汽车在前9分钟内的平均速度．
（2）汽车在中途停留的时间．
（3）求该汽车行驶30千米的时间．
【解答】解：（1）汽车在前9分钟内的平均速度是： ；
（2）汽车在中途停了： （分钟）；
（3）当 时，
则设 与 的函数关系式为： ，
将 ， 代入得： ，
解得： ，
故当 时， 与 的函数关系式为： ；
当 时，则 ，解得 （分钟）
答：汽车行驶30千米的时间是25分钟．
8．（长清区期末）如图所示， 、 两地相距50千米，甲于某日下午1时骑自行车从
地出发驶往 地，乙也于同日下午骑摩托车按路线从 地出发驶往 地，如图所示，图
中的折线 和线段 分别表示甲乙所行驶的路程 和时间 的关系．
根据图象回答下列问题：
（1）甲和乙哪一个出发的更早？早出发多长时间？
（2）甲和乙哪一个早到达 城？早多长时间？
（3）乙骑摩托车的速度和甲骑自行车在全程的平均速度分别是多少？
（4）请你根据图象上的数据，求出乙出发用多长时间就追上甲？
【解答】解：（1）甲下午1时出发，乙下午2时出发，
所以甲更早，早出发1小时；
（2）甲5时到达，乙3时到达，
所以乙更早，早到2小时；
（3）乙的速度 （千米 小时），
甲的平均速度 （千米 小时），
（4）设乙出发 小时就追上甲，
根据题意得： ，
，
答：乙出发0.5小时就追上甲．
9．（即墨区期末）年全国中小学生“安全教育日”主题：“强化安全意识，提升安全素
养”，小刚骑单车上学，当他骑了一段，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的新华
书店，买到书后继续去学校．以下是他本次所用的时间与路程的关系示意图．根据图中
提供的信息回答下列问题：（1）小刚家到学校的路程是 150 0 米；小刚在书店停留了 分钟；
（2）本次上学途中，小刚一共行驶了 米；一共用了 分钟；
（3）我们认为骑单车的速度超过300米 分就超过了安全限度．问：在整个上学的途中哪
个时间段小刚骑车速度最快，速度在安全限度内吗？请给小刚提一条合理化建议．
【解答】解：（1）根据图象，学校的纵坐标为1500，小明家的纵坐标为0，
故小刚家到学校的路程是1500米；
根据题意，小刚在书店停留的时间为从（8分）到（12分），
故小刚在书店停留了4分钟．
故答案为：1500，4；
（2）一共行驶的总路程
米；
共用了14分钟．
故答案为：2700，14；
（3）由图象可知： 分钟时，平均速度 米 分，
分钟时，平均速度 米 分，
分钟时，平均速度 米 分，
所以， 分钟时速度最快，不在安全限度内，
“珍重生命，注意安全！”同学们在上下学途中一定要注意骑车安全．
综合运用
1.下列图象不能表示变量y是变量x的函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B.
【解析】解：A、对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值，故A正确；B、对于x的每一个取值，y有不唯一确定的值，故B错误；
C、对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值，故C正确；
D、对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值，故D正确；
故选：B．
2.下列关系式中，y是x的函数有（ ）
① y= ；② y=x2；③ y2=x（x≥0）；④ y= （x≥0）；⑤ y=± （x≥0）；⑥|y|=x
（x≥0）；⑦y=|x|．
A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个
【答案】B.
【解析】解：y是x的函数有：①y= x，②y=x2，④y= （x≥0），⑦y=|x|，共4个，
故选：B．
3.李大爷要围成一个矩形菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边总长
度恰好为24米．要围成的菜园是如图所示的长方形 ABCD．设BC边的长为x米，AB边
的长为y米，则y与x之间的函数关系式是__________________________________.
【答案】y= x+12
【解析】解：根据三边的篱笆总长恰好为24米，得
2y+x=24，
化简得：y= x+12.
4.已知A、B两地相距30km，小明以6km/h的速度从A步行到B地的距离为y km，步行的
时间为x h．
（1）求y与x之间的函数表达式，并指出y是x的什么函数；
（2）写出该函数自变量的取值范围．
【答案】略
【解析】解：（1）由题意可得：y=6x，
此函数是正比例函数；
（2）∵A、B两地相距30km，
∴0≤6x≤30，
解得：0≤x≤5，即该函数自变量的取值范围是：0≤x≤5．
