文档内容
第二十六章 反比例函数
17．1．1反比例函数的意义
一、教学目标
1．使学生理解并掌握反比例函数的概念
2．能判断一个给定的函数是否为反比例函数，并会用待定系数法求函数解析式
3．能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式，体会函数的模型思想
二、重、难点
1．重点：理解反比例函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式
2．难点：理解反比例函数的概念
三、例题的意图分析
教材第46页的思考题是为引入反比例函数的概念而设置的，目的是让学生从实际问
题出发，探索其中的数量关系和变化规律，通过观察、讨论、归纳，最后得出反比例函数的
概念，体会函数的模型思想。
教材第47页的例1是一道用待定系数法求反比例函数解析式的题，此题的目的一是要
加深学生对反比例函数概念的理解，掌握求函数解析式的方法；二是让学生进一步体会函
数所蕴含的“变化与对应”的思想，特别是函数与自变量之间的单值对应关系。
补充例1、例2都是常见的题型，能帮助学生更好地理解反比例函数的概念。补充例3
是一道综合题，此题是用待定系数法确定由两个函数组合而成的新的函数关系式，有一定
难度，但能提高学生分析、解决问题的能力。
四、课堂引入
1．回忆一下什么是正比例函数、一次函数？它们的一般形式是怎样的？
2．体育课上，老师测试了百米赛跑，那么，时间与平均速度的关系是怎样的？
五、例习题分析
例1．见教材P47
分析：因为y是x的反比例函数，所以先设 ，再把x＝2和y＝6代入上式求出常
数k，即利用了待定系数法确定函数解析式。
例1．（补充）下列等式中，哪些是反比例函数
（1） （2） （3）xy＝21 （4） （5）
（6） （7）y＝x－4
分析：根据反比例函数的定义，关键看上面各式能否改写成 （k为常数，k≠0）的
形式，这里（1）、（7）是整式，（4）的分母不是只单独含x，（6）改写后是 ，分子不
是常数，只有（2）、（3）、（5）能写成定义的形式
1例2．（补充）当m取什么值时，函数 是反比例函数？
分析：反比例函数 （k≠0）的另一种表达式是 （k≠0），后一种写法中x
的次数是－1，因此m的取值必须满足两个条件，即m－2≠0且3－m2＝－1，特别注意不要
遗漏k≠0这一条件，也要防止出现3－m2＝1的错误。
解得m＝－2
例3．（补充）已知函数y＝y＋y，y 与x成正比例，y 与x成反比例，且当x＝1时，y＝
1 2 1 2
4；当x＝2时，y＝5
（1） 求y与x的函数关系式
（2） 当x＝－2时，求函数y的值
分析：此题函数y是由y 和y 两个函数组成的，要用待定系数法来解答，先根据题意分
1 2
别设出y、 y 与x的函数关系式，再代入数值，通过解方程或方程组求出比例系数的值。这
1 2
里要注意y 与x和y 与x的函数关系中的比例系数不一定相同，故不能都设为k，要用不同
1 2
的字母表示。
略解：设y＝kx（k≠0）， （k≠0），则 ，代入数值求得k＝2，
1 1 1 2 1
k＝2，则 ，当x＝－2时，y＝－5
2
六、随堂练习
1．苹果每千克x元，花10元钱可买y千克的苹果，则y与x之间的函数关系式为
2．若函数 是反比例函数，则m的取值是
3．矩形的面积为4，一条边的长为x，另一条边的长为y，则y与x的函数解析式为
4．已知y与x成反比例，且当x＝－2时，y＝3，则y与x之间的函数关系式是
，
当x＝－3时，y＝
5．函数 中自变量x的取值范围是
七、课后练习
已知函数y＝y＋y，y 与x＋1成正比例，y 与x成反比例，且当x＝1时，y＝0；当x
1 2 1 2
＝4时，y＝9，求当x＝－1时y的值
答案：y＝4
课后反思：
17．1．2反比例函数的图象和性质（1）
一、教学目标
21．会用描点法画反比例函数的图象
2．结合图象分析并掌握反比例函数的性质
3．体会函数的三种表示方法，领会数形结合的思想方法
二、重点、难点
1．重点：理解并掌握反比例函数的图象和性质
2．难点：正确画出图象，通过观察、分析，归纳出反比例函数的性质
三、例题的意图分析
教材第48页的例2是让学生经历用描点法画反比例函数图象的过程，一方面能进一步
熟悉作函数图象的方法，提高基本技能；另一方面可以加深学生对反比例函数图象的认识，
了解函数的变化规律，从而为探究函数的性质作准备。
补充例1的目的一是复习巩固反比例函数的定义，二是通过对反比例函数性质的简单
应用，使学生进一步理解反比例函数的图象特征及性质。
补充例2是一道典型题，是关于反比例函数图象与矩形面积的问题，要让学生理解并
掌握反比例函数解析式 （k≠0）中 的几何意义。
四、课堂引入
提出问题：
1．一次函数y＝kx＋b（k、b是常数，k≠0）的图象是什么？其性质有哪些？正比例函数
y＝kx（k≠0）呢？
2．画函数图象的方法是什么?其一般步骤有哪些？应注意什么？
3．反比例函数的图象是什么样呢?
五、例习题分析
例2．见教材P48，用描点法画图，注意强调：
（1）列表取值时，x≠0，因为x＝0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以
“0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y值
（2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便
于连线，使画出的图象更精确
（3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线
（4）由于x≠0，k≠0，所以y≠0，函数图象永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近
两坐标轴
例1．（补充）已知反比例函数 的图象在第二、四象限，求m值，并指
出在每个象限内y随x的变化情况？
分析：此题要考虑两个方面，一是反比例函数的定义，即 （k≠0）自变量x的
指数是－1，二是根据反比例函数的性质：当图象位于第二、四象限时，k＜0，则m－1＜0，
不要忽视这个条件
略解：∵ 是反比例函数 ∴m2－3＝－1，且m－1≠0
又∵图象在第二、四象限 ∴m－1＜0
3解得 且m＜1 则
例2．（补充）如图，过反比例函数 （x＞0）的图象上
任意两点A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为C、D，连接
OA、OB，设△AOC和△BOD的面积分别是S、S，比较它们
1 2
的大小，可得（ ）
（A）S＞S （B）S＝S
1 2 1 2
（C）S＜S （D）大小关系不能确定
1 2
分析：从反比例函数 （k≠0）的图象上任一点P（x，y）向x轴、y轴作垂线段，与x
轴、y轴所围成的矩形面积 ，由此可得S＝S ＝ ，故选B
1 2
六、随堂练习
1．已知反比例函数 ，分别根据下列条件求出字母k的取值范围
（1）函数图象位于第一、三象限
（2）在第二象限内，y随x的增大而增大
2．函数y＝－ax＋a与 （a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（ ）
3．在平面直角坐标系内，过反比例函数 （k＞0）的图象上的一点分别作x轴、y轴
的垂线段，与x轴、y轴所围成的矩形面积是6，则函数解析式为
七、课后练习
1．若函数 与 的图象交于第一、三象限，则m的取值范围是
2．反比例函数 ，当x＝－2时，y＝ ；当x＜－2时；y的取值范围是
；
4当x＞－2时；y的取值范围是
y
(a2)xa26
3．已知反比例函数 ，当x 0时，y随x的增大而增大，
求函数关系式
答案：3．
17．1．2反比例函数的图象和性质（2）
一、教学目标
1．使学生进一步理解和掌握反比例函数及其图象与性质
2．能灵活运用函数图象和性质解决一些较综合的问题
3．深刻领会函数解析式与函数图象之间的联系，体会数形结合及转化的思想方法
二、重点、难点
1．重点：理解并掌握反比例函数的图象和性质，并能利用它们解决一些综合问题
2．难点：学会从图象上分析、解决问题
三、例题的意图分析
教材第51页的例3一是让学生理解点在图象上的含义，掌握如何用待定系数法去求解
析式，复习巩固反比例函数的意义；二是通过函数解析式去分析图象及性质，由“数”到
“形”，体会数形结合思想，加深学生对反比例函数图象和性质的理解。
教材第52页的例4是已知函数图象求解析式中的未知系数，并由双曲线的变化趋势分
析函数值y随x的变化情况，此过程是由“形”到“数”，目的是为了提高学生从函数图
象中获取信息的能力，加深对函数图象及性质的理解。
补充例1目的是引导学生在解有关函数问题时，要数形结合，另外，在分析反比例函数
的增减性时，一定要注意强调在哪个象限内。
补充例2是一道有关一次函数和反比例函数的综合题，目的是提高学生的识图能力，
并能灵活运用所学知识解决一些较综合的问题。
四、课堂引入
复习上节课所学的内容
1．什么是反比例函数？
2．反比例函数的图象是什么？有什么性质？
五、例习题分析
例3．见教材P51
分析：反比例函数 的图象位置及y随x的变化情况取决于常数k的符号，因此要
先求常数k，而题中已知图象经过点A（2，6），即表明把A点坐标代入解析式成立，所以用
待定系数法能求出k，这样解析式也就确定了。
例4．见教材P52
例1．（补充）若点A（－2，a）、B（－1，b）、C（3，c）在反比例函数 （k＜0）图象上，
5则a、b、c的大小关系怎样？
分析：由k＜0可知，双曲线位于第二、四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大，
因为A、B在第二象限，且－1＞－2，故b＞a＞0；又C在第四象限，则c＜0，所以
b＞a＞0＞c
说明：由于双曲线的两个分支在两个不同的象限内，因此函数y随x的增减性就不能
连续的看，一定要强调“在每一象限内”，否则，笼统说k＜0时y随x的增大而增大，就会
误认为3最大，则c最大，出现错误。
此题还可以画草图，比较a、b、c的大小，利用图象直观易懂，不易出错，应学会使用。
例2． （补充）如图， 一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数 的图象交于A
（－2，1）、B（1，n）两点
（1）求反比例函数和一次函数的解析式
（2）根据图象写出一次函数的值大于反比例函数的值的x的取
值范围
分析：因为A点在反比例函数的图象上，可先求出反比例函数
的解析式 ，又B点在反比例函数的图象上，代入即可求出n
的值，最后再由A、B两点坐标求出一次函数解析式y＝－x－1，第
（2）问根据图象可得x的取值范围x＜－2或0＜x＜1，这是因为比较两个不同函数的值的
大小时，就是看这两个函数图象哪个在上方，哪个在下方。
六、随堂练习
1．若直线y＝kx＋b经过第一、二、四象限，则函数 的图象在（ ）
（A）第一、三象限 （B）第二、四象限
（C）第三、四象限 （D）第一、二象限
2．已知点（－1，y）、（2，y）、（π，y）在双曲线 上，则下列关系式正确的是（
1 2 3
）
（A）y＞y＞y （B）y＞y＞y
1 2 3 1 3 2
（C）y＞y＞y （D）y＞y＞y
2 1 3 3 1 2
七、课后练习
1．已知反比例函数 的图象在每个象限内函数值y随自变量x的增大而减小，
且k的值还满足 ≥2k－1，若k为整数，求反比例函数的解析式
2．已知一次函数 的图像与反比例函数 的图像交于A、B两点，且点
A的横坐标和点B的纵坐标都是－2 ，
求（1）一次函数的解析式；
（2）△AOB的面积
6答案：
1． 或 或
2．（1）y＝－x＋2，（2）面积为6
课后反思：
17．2实际问题与反比例函数（1）
一、教学目标
1．利用反比例函数的知识分析、解决实际问题
2．渗透数形结合思想，提高学生用函数观点解决问题的能力
二、重点、难点
1．重点：利用反比例函数的知识分析、解决实际问题
2．难点：分析实际问题中的数量关系，正确写出函数解析式
三、例题的意图分析
教材第57页的例1，数量关系比较简单，学生根据基本公式很容易写出函数关系式，此
题实际上是利用了反比例函数的定义，同时也是要让学生学会分析问题的方法。
教材第58页的例2是一道利用反比例函数的定义和性质来解决的实际问题，此题的实
际背景较例1稍复杂些，目的是为了提高学生将实际问题抽象成数学问题的能力，掌握用
函数观点去分析和解决问题的思路。
补充例题一是为了巩固反比例函数的有关知识，二是为了提高学生从图象中读取信息
的能力，掌握数形结合的思想方法，以便更好地解决实际问题
四、课堂引入
寒假到了，小明正与几个同伴在结冰的河面上溜冰，突然发现前面有一处冰出现了裂
痕，小明立即告诉同伴分散趴在冰面上，匍匐离开了危险区。你能解释一下小明这样做的道
理吗？
五、例习题分析
例1．见教材第57页
分析：（1）问首先要弄清此题中各数量间的关系，容积为104，底面积是S，深度为d，满
足基本公式：圆柱的体积 ＝底面积×高，由题意知S是函数，d是自变量，改写后所得的函
数关系式是反比例函数的形式，（2）问实际上是已知函数S的值，求自变量d的取值，（3）
7问则是与（2）相反
例2．见教材第58页
分析：此题类似应用题中的“工程问题”，关系式为工作总量＝工作速度×工作时间，
由于题目中货物总量是不变的，两个变量分别是速度v和时间t，因此具有反比关系，（2）问
涉及了反比例函数的增减性，即当自变量t取最大值时，函数值v取最小值是多少？
例1．（补充）某气球内充满了一定质量的气体，当
温度不变时，气球内气体的气压P（千帕）是气体体积V
（立方米）的反比例函数，其图像如图所示（千帕是一种
压强单位）
（1）写出这个函数的解析式；
（2）当气球的体积是0.8立方米时，气球内的气压是多少
千帕？
（3）当气球内的气压大于144千帕时，气球将爆炸，为了
安全起见，气球的体积应不小于多少立方米？
分析：题中已知变量P与V是反比例函数关系，并且图象经过点A，利用待定系数法可
以求出P与V的解析式，得 ，（3）问中当P大于144千帕时，气球会爆炸，即当P不
超过144千帕时，是安全范围。根据反比例函数的图象和性质，P随V的增大而减小，可先
求出气压P＝144千帕时所对应的气体体积，再分析出最后结果是不小于 立方米
六、随堂练习
1．京沈高速公路全长658km，汽车沿京沈高速公路从沈阳驶往北京，则汽车行完全程
所需时间t（h）与行驶的平均速度v（km/h）之间的函数关系式为
2．完成某项任务可获得500元报酬，考虑由x人完成这项任务，试写出人均报酬y（元）
与人数x（人）之间的函数关系式
3．一定质量的氧气，它的密度 （kg/m3）是它的体积V（m3）的反比例函数，当V＝10时，
＝1.43，（1）求 与V的函数关系式；（2）求当V＝2时氧气的密度
答案： ＝ ，当V＝2时， ＝7.15
七、课后练习
1．小林家离工作单位的距离为3600米，他每天骑自行车上班时的速度为v（米/分），所
需时间为t（分）
（1）则速度v与时间t之间有怎样的函数关系？
（2）若小林到单位用15分钟，那么他骑车的平均速度是多少？
（2）如果小林骑车的速度最快为300米/分，那他至少需要几分钟到达单位？
答案： ，v＝240，t＝12
82．学校锅炉旁建有一个储煤库，开学初购进一批煤，现在知道：按每天用煤0.6吨计算，
一学期（按150天计算）刚好用完.若每天的耗煤量为x吨，那么这批煤能维持y天
（1）则y与x之间有怎样的函数关系？
（2）画函数图象
（3）若每天节约0.1吨，则这批煤能维持多少天？
课后反思：
17．2实际问题与反比例函数（2）
一、教学目标
1．利用反比例函数的知识分析、解决实际问题
2．渗透数形结合思想，进一步提高学生用函数观点解决问题的能力，体会和认识反比
例函数这一数学模型
二、重点、难点
1．重点：利用反比例函数的知识分析、解决实际问题
2．难点：分析实际问题中的数量关系，正确写出函数解析式，解决实际问题
三、例题的意图分析
教材第58页的例3和例4都需要用到物理知识，教材在例题前已给出了相关的基本公
式，其中的数量关系具有反比例关系，通过对这两个问题的分析和解决，不但能复习巩固反
比例函数的有关知识，还能培养学生应用数学的意识
补充例题是一道综合题，有一定难度，需要学生有较强的识图、分析和归纳等方面的能
力，此题既有一次函数的知识，又有反比例函数的知识，能进一步深化学生对一次函数和反
比例函数知识的理解和掌握，体会数形结合思想的重要作用，同时提高学生灵活运用函数
观点去分析和解决实际问题的能力
四、课堂引入
1．小明家新买了几桶墙面漆，准备重新粉刷墙壁，请问如何打开这些未开封的墙面漆
桶呢？其原理是什么？
2．台灯的亮度、电风扇的转速都可以调节，你能说出其中的道理吗？
9五、例习题分析
例3．见教材第58页
分析：题中已知阻力与阻力臂不变，即阻力与阻力臂的积为定值，由“杠杆定律”知变
量动力与动力臂成反比关系，写出函数关系式，得到函数动力F是自变量动力臂 的反比例
函数，当 ＝1.5时，代入解析式中求F的值；（2）问要利用反比例函数的性质，越大F越小，
先求出当F＝200时，其相应的 值的大小，从而得出结果。
例4．见教材第59页
分析：根据物理公式PR＝U2，当电压U一定时，输出功率P是电阻R的反比例函数，则
，（2）问中是已知自变量R的取值范围，即110≤R≤220，求函数P的取值范围，
根据反比例函数的性质，电阻越大则功率越小，
得220≤P≤440
例1．（补充）为了预防疾病，某单位对办公室采用药
熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气
中的含药量y(毫克)与时间x(分钟)成为正比例,药物燃烧
后，y与x成反比例(如图)，现测得药物8分钟燃毕，此时
室内空气中每立方米的含药量6毫克，请根据题中所提供
的信息，解答下列问题：
(1)药物燃烧时，y关于x的函数关系式为 ,自变
量x的取值范为 ；
药物燃烧后，y关于x的函数关系式为 .
(2)研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时员工方可进办公室，那么从消毒
开始，至少需要经过______分钟后，员工才能回到办公室；
(3)研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时，才
能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效?为什么?
分析：（1）药物燃烧时，由图象可知函数y是x的正比例函数，设 ，将点（8，6）
代人解析式，求得 ，自变量0＜x≤8；药物燃烧后，由图象看出y是x的反比例函数，
设 ，用待定系数法求得
（2）燃烧时，药含量逐渐增加，燃烧后，药含量逐渐减少，因此，只能在燃烧后的某一时
间进入办公室，先将药含量y＝1.6代入 ，求出x＝30，根据反比例函数的图象与性质
知药含量y随时间x的增大而减小，求得时间至少要30分钟
10（3）药物燃烧过程中，药含量逐渐增加，当y＝3时，代入 中，得x＝4，即当药物
燃烧4分钟时，药含量达到3毫克；药物燃烧后，药含量由最高6毫克逐渐减少，其间还能
达到3毫克，所以当y＝3时，代入 ，得x＝16，持续时间为16－4＝12＞10，因此消毒
有效
六、随堂练习
1．某厂现有800吨煤，这些煤能烧的天数y与平均每天烧的吨数x之间的函数关系是
（ ）
（A） （x＞0） （B） （x≥0）
（C）y＝300x（x≥0） （D）y＝300x（x＞0）
2．已知甲、乙两地相s（千米），汽车从甲地匀速行驶到达乙地，如果汽车每小时耗油量
为a（升），那么从甲地到乙地汽车的总耗油量y（升）与汽车的行驶速度v（千米/时）的函数
图象大致是（ ）
3．你吃过拉面吗？实际上在做拉面的过程中就渗透
着数学知识，一定体积的面团做成拉面，面条的总长
度y（m）是面条的粗细（横截面积）S（mm2）的反比例
函数，其图象如图所示：
（1）写出y与S的函数关系式；
（2）求当面条粗1.6mm2时，面条的总长度是多少米？
七．课后练习
一场暴雨过后，一洼地存雨水20米3，如果将雨水全部排完需t分钟，排水量为a米3/分，
且排水时间为5～10分钟
（1）试写出t与a的函数关系式，并指出a的取值范围；
（2）请画出函数图象
（3）根据图象回答：当排水量为3米3/分时，排水的时间需要多长？
课后反思：
11第二十七章 相 似 形
图形的相似
教学目标
通过一些相似的实例，让生观察相似图形的特点，感受形状相同的意义，理解相似图形
的概念．能通过观察识别出相似的图形．能根据直觉在格点图中画出已知图形的相似图形．
在获得知识的过程中培养学习的自信心．
教学重点
引导学生通过观察识别相似的图形，培养学生的观察分析及归纳能力．
教学难点
理解相似图形的概念．
教学过程
一、观察课本第 页图 、图 ，每组图形中的两图之间有什么关系？
二、归纳：
每组图形中的两个图形形状相同，大小不同．
12具有相同形状的图形叫相似图形．
师可结合实例说明：
⑴相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关．
⑵相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况．
⑶我们可以这样理解相似形：
两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的．
⑷若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例——全等形．
三、你还见过哪些相似的图形？请举出一些例子与同学们交流．
四、观察课本第 页图 中的三组图形，它们是否相似形？为什么？
五、想一想：
放大镜下的图形与原来的图形相似吗？
放大镜下的角与原来图形中的角是什么关系？
可让学生动手实验，然后讨论得出结论．
六、观察课本第 页图 中的三组图形，它们是否相似形？为什么？
让学生通过比较图 与图 ，体会相似图形与不相似图形的“形状”特点．
七、课本第 页“试一试”．
让生各自独立完成作图，再展示评析．
八、巩固：
⒈课本第 页练习．
⒉课本第 页习题 ．
对于第 题，学生的判断是对相似图形的一种直观认识，最好让学生充分交流彼此的
看法．
九、小结：
你通过这节课的学习，有哪些收获？
十、作业：略．
相似三角形
教学目标：使学生掌握相似三角形的判定与性质
教学重点：相似三角形的判定与性质
教学过程：
一 知识要点：
1、相似形、成比例线段、黄金分割
相似形：形状相同、大小不一定相同的图形。特例：全等形。
相似形的识别：对应边成比例，对应角相等。
成比例线段（简称比例线段）：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比与
13另两条线段的长度的比相等，即 （或a：b=c：d），那么，这四条线段叫做成比例线段，
简称比例线段。
黄金分割：将一条线段分割成大小两条线段，若小段与大段的长度之比等于大段与全长
之比，则可得出这一比值等于0·618…。这种分割称为黄金分割，点P叫做线段AB的黄金
分割点，较长线段叫做较短线段与全线段的比例中项。
例1：（1）放大镜下的图形和原来的图形相似吗？
（2）哈哈镜中的形象与你本人相似吗？
（3）你能举出生活中的一些相似形的例子吗/
例2：判断下列各组长度的线段是否成比例：
（1）2厘米，3厘米，4厘米，1厘米
（2）1·5厘米，2·5厘米，4·5厘米，6·5厘米
（3）1·1厘米，2·2厘米，3·3厘米，4·4厘米
（4）1厘米， 2厘米，2厘米，4厘米。
例3：某人下身长90厘米，上身长70厘米，要使整个人看上去成黄金分割，需穿多高的高跟
鞋？
例4：等腰三角形都相似吗？
矩形都相似吗？
正方形都相似吗？
2、相似形三角形的判断：
a两角对应相等
b两边对应成比例且夹角相等
c三边对应成比例
3、相似形三角形的性质：
a对应角相等
b对应边成比例
c对应线段之比等于相似比
d周长之比等于相似比
e面积之比等于相似比的平方
4、相似形三角形的应用：
计算那些不能直接测量的物体的高度或宽度以及等份线段
A
例题
D
1：如图所示， ABCD中，G是BC延长线上一点，AG
交BD于点E，交DC于点F，试找出图中所有的相似三 E F
角形 B C G
142如图在正方形网格上有6个斜三角形：a :ABC； b: BCD c: BDE d: BFG e: FGH
f: EFK，试找出与三角形a相似的三角形
3、在 ABC中，AB=8厘米，BC=16厘米，点P从点A开始沿AB边向点B以2厘米每秒
的速度移动，点Q从点B开始沿BC向点C以4厘米每秒的速度移动，如果P、Q分别从A、
B同时出发，经几秒钟 PBQ与 ABC相似？
K
4、某房地产公司要在一块矩形ABCD土地上规划建设一个 D C
矩形GHCK小区公园（如图），为了使文物保护区 AEF不
被破坏，矩形公园的顶点 G 不能在文物保护区内。已知
F
G
AB=200米，AD=160米，AF=40米，AE=60米。 M H
（1）当矩形小区公园的顶点G恰是EF的中点时，求公园的面 A N E B
积；
（2）当G是EF上什么位置时，公园面积最大？
同步练习：
1．已知：AB=2，M是的黄金分割点，
（1） 求AM的长；（2）求AM：MB
2．已知：x:y:z=2:3:4, 求:
15(1) （2） （3）若2x-3y+z=-2求x,y,z的
3．已知： ，求k的值。
4
． A
A A
D D
E D M
M E E
C B F
B C F B C
F
M
已知：△ ABC中，AD=AE，DE交BC延长线于F，求证：BF·CE=CF·BD。
5．如图：已知CD∥EF∥GH∥AB，AB=16，CD=10，DE∶EG∶GA=1∶2∶3，求EF+GH。
N
D C
E F
16G H
A B
M6．如图,已知：CD∶DA=BE∶ED=2∶1，
A
求BF∶FC及AE∶EF。
D
E
B F C
7．如图，在直角坐标系中有两点A（4，0），B（0，2），如果点C在x轴上，（C与A不重合），当
由点B，O，C组成的三角形与三角形AOB相似时，求点C的坐标？
Y
B
X
O
A
8．如图，在四边形ABCD中，E是AB上一点，EC平行AD，DE平行BC，若三角形BEC的面积=1，
三角形ADE的面积=3，求三角形CDE的面积
A
E
位似图形教案
D
B
C
教学目标：
1、知识目标：
①了解位似图形及其有关概念；
②了解位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比。
2、能力目标：
17①利用图形的位似解决一些简单的实际问题；
②在有关的学习和运用过程中发展学生的应用意识和动手操作能力。
3、情感目标：
①通过学习培养学生的合作意识；
②通过探究提高学生学习数学的兴趣。
教学重点：
探索并掌握位似图形的定义和性质；
教学难点：
运用定义和性质进行简单的位似图形的证明和计算。
教学方法：
从学生生活经验和已有的知识出发，采用引导、启发、合作、探究等方法，经历观察、发
现、动手操作、归纳、交流等数学活动，获得知识，形成技能，发展思维，学会学习；提高学生
自主探究、合作交流和分析归纳能力；同时在教学过程对不同层次的学生进行分类指导，让
每个学生都得到充分的发展。
教学准备：
刻度尺、为每个小组准备好打印的五幅位似图形、多媒体展示课件、
教学手段：
小组合作、多媒体辅助教学
教学设计说明：
1、为了便于学生理解位似图形的特征，我在设计中特别注意让学生通过动手操作、猜
想、试验等方式获得感性认识，然后通过归纳总结上升到理性认识，将形象与抽象有机结合，
形成对位似图形的认识.
2、探索知识是本节的重点，设计这一环节，通过学生的做、议、读、想、试等环节来完成，
把学习的主动权充分放给学生，每一环节及时归纳总结，使学生学有所获，探索创新.
教学过程：
一、创设情境 引入新知
观察大屏幕有五个图形，每个图形中的四边形ABCD和四边形ABCD 都是相似图形。
1 1 1 1
分别观察着五个图形，你发现每个图形中的两个四边形各对应点的连线有什么特征?
18C
C D
D B A
1 1
C
D 1
1
D
1
A 1 B 1 A B C 1
A
B
(1) (2)
C
C C D
D D
D 1 C 1 C D 1 C 1
D 1
1
A 1 B 1 A B
A B A A 1 B 1 B B 1
(3) (4) (5)
（学生经过小组讨论交流的方式总结得出：）
特点：（1）两个图形相似：
（2）每组对应点所在的直线交于一点。
二、合作交流 探究新知
请同学们阅读课本58页，掌握什么叫位似图形、位似中心、位似比？
如果两个相似图形的每组对应点所在的直线交于一点，那么这样的两个图形叫做位似
图形，这个交点叫做位似中心，这时两个相似图形的相似比又叫做它们的位似比。
议一议
观察上图中的五个图形，回答下列问题：
（1）在各图形中，位似图形的位似中心与这两个图形有什么位置关系？
（2）在各图中，任取一对对应点，度量这两个点到位似中心的距离。它们的比与位似比
有什么关系？再换一对对应点试一试。
（每小组同学拿出准备好的位似图形通过观察、测量试验和计算得出：）
位似图形对应点到位似中心的距离之比等于相似比。
由此得出：
位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似
比。
三、指导应用 深化理解
19（同学们观察大屏幕出示的问题）
例1如图D，E分别是AB，AC上的点。
A
(1)如果DE∥BC,那么△ADE和△ABC位似图形吗?为什么?
D E
(2)如果△ADE和△ABC是位似图形,那么DE∥BC吗?为什么?
小组讨论如何解这道题：问题1，证位似图形的根据是什么？需要哪几个 B C
条件？
根据是位似图形的定义。
需要两个条件：
！、△ADE和△ABC相似；
2、对应点所在的直线交于一点。
问题2：已知△ADE和△ABC是位似图形，我们根据什么又能得出什么结论？
根据位似图形的性质得出：
1、对应点和位似中心在同一条直线上；
2、它们到位似中心的距离之比等于相似比。
（一生口述师板书：）
解：（1）△ADE和△ABC是位似图形.理由是：
∵DE∥BC
∴∠AED=∠B, ∠AED=∠C.
∵△ADE∽△ABC.
又∵点A是△ADE和△ABC的公共点，点D和点B是对应点，点E和点C是对应点，直线
BD与CE交于点A，
∴△ADE和△ABC是位似图形。
（2）DE∥BC.理由是：
∵△ADE和△ABC是位似图形
∴△ADE∽△ABC.
∴∠ADE=∠B,
∴DE∥BC.
四、继续观察 拓展提高
20（同学们继续观察屏幕展示的图形）
在图（1）——（5）中,位似图形的对应线段AB与AB 是否平行?BC与BC,CD与CD,AD
1 1 1 1 1 1
与AD 是否平行?为什么?
1 1
同桌观察探究并发言：对应边平行或在同一条直线上。
（出示课件：展示一组位似图形，动画闪动图形的对应边，直观展示位似图形的对应边
平行或在同一条直线上）
五、反馈练习 落实新知
挑战自我:
1、下面每组图形中都有两个图形.
（1）哪一组中的每两个图形是位似图形?
（2）作出位似图形的位似中心
A C
E
D B
（1） （2） （3）
(6)
(4) (5)
2、如图AB，CD相交于点E，AC∥DB. △ACE与△BDE是位似图形吗？为什么？
（此环节由学生独立完成，第二题让一名学生到黑板上板书，以备面对全体矫正）
六、归纳小结 反思提高
请同学们谈一谈本节课的有什么收获和感想？
本节课我们学习了位似图形，知道了什么叫位似图形，位似图形有什么性质？我们可
以利用定义来证明位似图形，已知位似图形我们可以根据性质得到有关结论。观察并判断
21位似图形的方法是，一要看是否相似，二要看对应边是否平行或在同一条直线上。
七、自我评价 检测新知
1、如果两个位似图形的每组________所在的直线都_________，那么这样的两个图形
叫做位似图形，这个点叫做________，这时的相似比又叫做________。
2、位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于_____________；位似图形的对应角
__________，对应线段__________（填：“相等”、“平行”、“相交”
、“在一条直线上”等）
3、位似图形的位似中心，有的在对应点连线上，有的在___________的延长线上。
4、如果两个位似图形成中心对称，那么这两个图形__________（填“一定”、“不”或
“可能”等）
5、下列每组图形是由两个相似图形组成的，其中_____________中的两个图形是位似
图形。
（由学生独立完成，教师巡视。最后公布答案，教师并将发现的问题及时矫正有利于学
生知识的巩固和提高）
八、课后延伸 探索创新
在如图所示的图案中，最外圈的8个三角形组成的图形和次外圈
的8个红色三角形组成的图形是位似图形吗？如果是，为似比是多少？
22九、板书设计：
十、课后反思：
课题：位似图形
一、 位似图形有关概念和性质：三、随堂练习（学生板演）
1、 概念；
2、 性质
二、例题 四、拓展思考题答案
1、存在问题：
（1）学生在动手操作，与探究位似图形的共同特征环节比较顺利，但是归纳性质用语
言表达时则较困难；
（2）证明位似图形的思路还需要在老师的提示下找到，没能及时内化；
（3）内外位似区别不清楚。
2、改进意见：
（1）通过合作交流不断提高学生的语言表达能力和形象思维能力；
（2）注意通过定理公式的逆向运用发展学生的逆向思维；
（3）内外位似图形如果能举例说明并让学生自己来鉴别会掌握得更好。
2327.1图形的相似（第1课时）
教学目标
1．掌握相似多边形的定义、表示法，并能根据定义判断两个多边形是否相似．
2．能根据相似比进行计算．
3. 通过与相似多边形有关概念的类比，得出相似三角形的定义, 领会特殊与一般的关系．
4．能根据定义判断两个多边形是否相似，训练学生的判断能力．
5．能根据相似比求长度和角度，培养学生的运用能力．
6. 通过与相似多边形有关概念的类比，渗透类比的教学思想，并领会特殊与一般的关系．
重点:相似三角形的初步认识．
教学过程
1、观察
共同特征：形状相同，大小不同．
相似图形：我们把这种形状相同的图形说成是相似图形
问题1：两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形
______或________得到，
问题2：举出现实生活中的几个相似图形的例子
例如，放映电影时，投在屏幕上的画面就是胶片上的图形的放大；
实际的建筑物和它的模型是相似的；
用复印机把一个图形放大或缩小所所得的图形，也都与原来的图形相似．
问题3：尝试着画几个相似图形？（多媒体出示）
2、教材“观察”
24图中是人们从平面镜及哈哈镜里看到的不同镜像，它们相似吗？（多媒体出示）
相似 不相似 不相似
课堂练习:教材p37页1、2。
教学后记：
27.1图形的相似（第2课时）
教学目标：1．掌握相似多边形的定义、表示法，并能根据定义判断两个多边形是否相似．
2．能根据相似比进行计算．
3．能根据定义判断两个多边形是否相似，训练学生的判断能力．
4．能根据相似比求长度和角度，培养学生的运用能力．
重难点：根据定义求线段长或角的度数。
教学过程：
准备活动:
阅读理解：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们长度的比）与另外两条
线段的比相等，如 （即ab=cd），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段.
一、复习旧知
相似多边形有关概念
二、引入新知
例题.如图（多媒体出示），四边形ABCD和EFGH相似，求∠1、∠2的度数和EF的长度.
解：四边形ABCD和EFGH相似，它们的对应角相等。
∴∠1=∠C=83°，
∠A=∠E=118°
在四边形ABCD中，
∠2=360°-（78°+83°+118°）=118°
四边形ABCD和EFGH相似，它们的对应边成比例。
25由此得：
，即 ，
解得，x=28（cm）.
三巩固练习
！
27.1图形的相似（第1课时）
教学目标
1．掌握相似多边形的定义、表示法，并能根据定义判断两个多边形是否相似．
2．能根据相似比进行计算．
3. 通过与相似多边形有关概念的类比，得出相似三角形的定义, 领会特殊与一般的关系．
4．能根据定义判断两个多边形是否相似，训练学生的判断能力．
5．能根据相似比求长度和角度，培养学生的运用能力．
6. 通过与相似多边形有关概念的类比，渗透类比的教学思想，并领会特殊与一般的关系．
重点:相似三角形的初步认识．
教学过程
1、观察
共同特征：形状相同，大小不同．
相似图形：我们把这种形状相同的图形说成是相似图形
问题1：两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形
______或________得到，
问题2：举出现实生活中的几个相似图形的例子
例如，放映电影时，投在屏幕上的画面就是胶片上的图形的放大；
26实际的建筑物和它的模型是相似的；
用复印机把一个图形放大或缩小所所得的图形，也都与原来的图形相似．
问题3：尝试着画几个相似图形？（多媒体出示）
2、教材“观察”
图中是人们从平面镜及哈哈镜里看到的不同镜像，它们相似吗？（多媒体出示）
相似 不相似 不相似
课堂练习:教材p37页1、2。
教学后记：
27.1图形的相似（第2课时）
教学目标：1．掌握相似多边形的定义、表示法，并能根据定义判断两个多边形是否相似．
2．能根据相似比进行计算．
3．能根据定义判断两个多边形是否相似，训练学生的判断能力．
4．能根据相似比求长度和角度，培养学生的运用能力．
重难点：根据定义求线段长或角的度数。
教学过程：
27准备活动:
阅读理解：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们长度的比）与另外两条
线段的比相等，如 （即ab=cd），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段.
一、复习旧知
相似多边形有关概念
二、引入新知
例题.如图（多媒体出示），四边形ABCD和EFGH相似，求∠1、∠2的度数和EF的长度.
H
E
A
21cm
1
D 118
24cm
18cm
78 83 2
B C F G
解：四边形ABCD和EFGH相似，它们的对应角相等。
∴∠1=∠C=83°，
∠A=∠E=118°
在四边形ABCD中，
∠2=360°-（78°+83°+118°）=118°
四边形ABCD和EFGH相似，它们的对应边成比例。
由此得：
，即 ，
解得，x=28（cm）.
三巩固练习
如图，有一块呈三角形形状的草坪，其中一边的长是20 m，在这个草坪的图纸上，这条边
长5 cm，其他两边的长都是3．5 cm，求该草坪其他两边的实际长度.
四、相似三角形的定义及记法
1、因为相似三角形是相似多边形中的一类，因此，相似三角形的定义可仿照相似多边形的
定义给出.
三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形．
如△ABC与△DEF相似，多媒体出示，
28D
A
B C E F
记作△ABC ∽△ DEF
其中对应顶点要写在对应位置，如A与 D、B与 E、C与 F相对应．AB∶ DE等于相似比,相
似比为K．
2、想一想：如果△ABC∽△DEF，那么哪些角是对应角？哪些边是对应边？对应角有什么关
系？对应边呢？
由前面相似多边形的性质可知，对应角应相等，对应边应成比例．
3、议一议：
（1）两个全等三角形一定相似吗？为什么？
（2）两个直角三角形一定相似吗？两个等腰直角三角形呢？为什么？
（3）两个等腰三角形一定相似吗？两个等边三角形呢？为什么？
五、小结：
请学生谈一谈自己的收获以及自己对本节课的体会;
六、作业
1、看书P39-40
2、教材P40复习巩固1、3
教学后记：
27. 3 位似（一）
一、教学目标
1．了解位似图形及其有关概念，了解位似与相似的联系和区别，掌握位似图形的性质．
2．掌握位似图形的画法，能够利用作位似图形的方法将一个图形放大或缩小．
二、重点、难点
1．重点：位似图形的有关概念、性质与作图．
2．难点：利用位似将一个图形放大或缩小．
3．难点的突破方法
（1）位似图形：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两
个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比．
29（2）掌握位似图形概念，需注意：①位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似
图形，必定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形；②两个位似图形的位似中心只有一
个；③两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧；④位似比就是
相似比．利用位似图形的定义可判断两个图形是否位似．
（3）位似图形首先是相似图形，所以它具有相似图形的一切性质．位似图形是一种特殊的相
似图形，它又具有特殊的性质，位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离等于位似比
（相似比）．
（4）两个位似图形的主要特征是：每对位似对应点与位似中心共线；不经过位似中心的对应
线段平行．
（5）利用位似，可以将一个图形放大或缩小，其步骤见下面例题．作图时要注意:①首先确
定位似中心，位似中心的位置可随意选择；②确定原图形的关键点，如四边形有四个关键点，
即它的四个顶点；③确定位似比，根据位似比的取值，可以判断是将一个图形放大还是缩小；
④符合要求的图形不惟一，因为所作的图形与所确定的位似中心的位置有关（如例2），并
且同一个位似中心的两侧各有一个符合要求的图形（如例2中的图2与图3）．
三、例题的意图
本节课安排了两个例题，例1是补充的一个例题，通过辨别位似图形，巩固位似图形的
概念，让学生理解位似图形必须满足两个条件：（1）两个图形是相似图形；（2）两个相似图
形每对对应点所在的直线都经过同一点，二者缺一不可．例2是教材P61例题，通过例2 的
教学，使学生掌握位似图形的画法，能够利用作位似图形的方法将一个图形放大或缩小．讲
解例2时，要注意引导学生能够用不同的方法画出所要求作的图形，要让学生通过作图理
解符合要求的图形不惟一，这和所作的图形与所确定的位似中心的位置有关（如位似中心
O可能选在四边形ABCD外，可能选在四边形ABCD内，可能选在四边形ABCD的一条边
上，可能选在四边形ABCD的一个顶点上）．并且同一个位似中心的两侧各有一个符合要
求的图形（如例2 中的图2与图3），因此，位似中心的确定是作出图形的关键．要及时强调
注意的问题（见难点的突破方法④），及时总结作图的步骤（见例2），并让学生练习找所给
图形的位似中心的题目（如课堂练习2），以使学生真正掌握位似图形的概念与作图．
四、课堂引入
1．观察：在日常生活中，我们经常见到下面所给的这样一类相似的图形，它们有什么特征？
302．问：已知：如图，多边形ABCDE，把它放
大为原来的2倍，即新图与原图的相似比为
2．应该怎样做？你能说出画相似图形的一
种方法吗？
五、例题讲解
例1（补充）如图，指出下列各图中的两个图形是否是位似图形，如果是位似图形，请指
出其位似中心．
分析：位似图形是特殊位置上的相似图形，因此判断两个图形是否为位似图形，首先要
看这两个图形是否相似，再看对应点的连线是否都经过同一点，这两个方面缺一不可．
解：图（1）、（2）和（4）三个图形中的两个图形都是位似图形，位似中心分别是图（1）中
的点A ，图（2）中的点P和图（4）中的点O．（图（3）中的点O不是对应点连线的交点，故图
（3）不是位似图形，图（5）也不是位似图形）
例2（教材P61例题）把图1中的四边形ABCD缩小到原来的 ．
分析：把原图形缩小到原来的 ，也就是使新图形上各顶点到
位似中心的距离与原图形各对应顶点到位似中心的距离之比为
1∶2 ．
作法一：（1）在四边形ABCD外任取一点O；
（2）过点O分别作射线OA，OB，OC，OD；
（3）分别在射线OA，OB，OC，OD上取点
A′、B′、C′、D′，
使得 ；
31（4）顺次连接A′B′、B′C′、C′D′、D′A′，得到所要画的四边形A′B′C′D′，
如图2．
问：此题目还可以如何画出图形？
作法二：（1）在四边形ABCD
外任取一点O；
（2）过点O分别作射线OA，
OB， OC，OD；
（3）分别在射线OA， OB，
OC， OD 的反向延长线上取
点A′、B′、C′、D′，使得
；
（4）顺次连接A′B′、B′C′、C′D′、D′A′，得到所要画的四边形A′B′C′D′，
如图3．
作法三：（1）在四边形ABCD内任取一点O；
（2）过点O分别作射线OA，OB，OC，OD；
（3）分别在射线OA，OB，OC，OD上取点A′、B′、C′、D′，
使得 ；
（4）顺次连接A′B′、B′C′、C′D′、D′A′，得到所要画的四边形A′B′C′D′，
如图4．
（当点O在四边形ABCD的一条边上或在四边形ABCD的一个顶点上时，作法略——
可以让学生自己完成）
六、课堂练习
1．教材P61．1、2
2．画出所给图中的位似中心．
1．把右图中的五边形ABCDE扩大到原来的2倍．
32七、课后练习
1．教材P65．1、2、4
2．已知：如图，△ABC，画△A′B′C′，
使△A′B′C′∽△ABC，且使相似比为1.5，要求
（1）位似中心在△ABC的外部；
（2）位似中心在△ABC的内部；
（3）位似中心在△ABC的一条边上；
（4）以点C为位似中心．
教学反思
27. 3 位似（二）
一、教学目标
1．巩固位似图形及其有关概念．
2．会用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换，掌握把一个图形按一定大小比例放大或
缩小后，点的坐标变化的规律．
3．了解四种变换（平移、轴对称、旋转和位似）的异同，并能在复杂图形中找出这些变换．
二、重点、难点
1．重点：用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换．
2．难点：把一个图形按一定大小比例放大或缩小后，点的坐标变化的规律．
3．难点的突破方法
（1）相似与轴对称、平移、旋转一样，也是图形之间的一个基本变换，因此一些特殊的相似
（如位似）也可以用图形坐标的变化来表示．．
（2）带领学生共同探究出位似变换中对应点的坐标的变化规律：在平面直角坐标系中，如果
位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．
（3）在平面直角坐标系中，用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换的关键是要确定位
似图形各个顶点的坐标，而不同方法得到的图形坐标是不同的．如：已知：△ABC三个顶点
坐标分别为A(1,3)，B(2,0)，C(6,2)，以点O为位似中心，相似比为2，将△ABC放大，根据前面
（2）总结的变化规律，点A的对应点A′的坐标为（1×2，3×2），即A（′ 2，6），或点A的对应点A′′
的坐标为（1×(-2)，3×(-2)），即A′′（-2，-6）．类似地，可以确定其他顶点的坐标．
33（4）本节课的最后要给学生总结（或让学生自己总结）平移、轴对称、旋转和位似四种变换
的异同：图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形状没有
改变，即两个图形是全等的；而图形放大或缩小（位似变换）之后是相似的．并让学生练习在
所给的图案中，找出平移、轴对称、旋转和位似这些变换．
三、例题的意图
本节课安排了两个例题，例1是教材P63的例题，它是在引导学生寻找出位似变换中
对应点的坐标的变化规律后的一个用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换的题目，其
目的是巩固新知识，帮助学生加深理解用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换知识，
此题目应让学生用不同方法作出图形．例2是教材
P64的一个问题，它是“平移、轴对称、旋转和位似”
四种变换的一个综合题目，所给的图案由于观察的角
度不同，答案就会不同，因此应让学生自己来回答，并
在顺利完成这个题目基础上，让学生自己总结出这四
种变换的异同．
四、课堂引入
1．如图，△ABC三个顶点坐标分别为A(2,3)，B(2,1)，
C(6,2)，（1）将△ABC 向左平移三个单位得到
△AB C ，写出A、B 、C 三点的坐标；
1 1 1 1 1 1
（2）写出△ABC关于x轴对称的△AB C 三个顶点
2 2 2
A、B 、C 的坐标；
2 2 2
（3）将△ABC绕点O旋转180°得到△AB C ，写出
3 3 3
A、B 、C 三点的坐标．
3 3 3
2．在前面几册教科书中，我们学习了在平面直角坐标系中，如何用坐标表示某些平移、轴对
称、旋转（中心对称）等变换，相似也是一种图形的变换，一些特殊的相似（如位似）也可以
用图形坐标的变化来表示．
3．探究：
（1）如图，在平面直角坐标系中，有两点A(6,3)，B(6,0)．以原点O为位似中心，相似比为 ，
把线段AB缩小．观察对应点之间坐标的变化，你有什么发现？
（2）如图，△ABC三个顶点坐标分别为A(2,3)，B(2,1)，
C(6,2)，以点O为位似中心，相似比为2，将△ABC放大，观
察对应顶点坐标的变化，你有什么发现？
【归纳】 位似变换中对应点的坐标的变化规律：在平
面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相
34似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．
五、例题讲解
例1（教材P63的例题）
分析：略（见教材P63的例题分析）
解：略（见教材P63的例题解答）
问：你还可以得到其他图形吗？请你自己试一试！
解法二：点A的对应点A′′的坐标为（-6× ，6× ），即A′（′ 3，-3）．类似地，可以
确定其他顶点的坐标．（具体解法与作图略）
例2（教材P64）在右图所示的图案中，你能找出平移、轴
对称、旋转和位似这些变换吗？
分析：观察的角度不同，答案就不同．如：它可以看作是
一排鱼顺时针旋转45°角，连续旋转八次得到的旋转图形；
它还可以看作位似中心是图形的正中心，相似比是
4∶3∶2∶1的位似图形，……．
解：答案不惟一，略．
六、课堂练习
1．教材P64．1、2
2．△ABO的定点坐标分别为A(-1,4)，B(3,2)，O(0,0)，
试将△ABO放大为△EFO，使△EFO与△ABO的相
似比为2.5∶1，求点E和点F的坐标．
3．如图，△AOB缩小后得到△COD，观察变化前后的
三角形顶点，坐标发生了什么变化，并求出其相似比
和面积比．
七、课后练习
1．教材P65．3， P66．5、8
2．请用平移、轴对称、旋转和位似这四种变换设计一种图
案（选择的变换不限）．
3．如图，将图中的△ABC以A为位似中心，放大到1.5倍，
请画出图形，并指出三个顶点的坐标所发生的变化．
教学反思
35第二十八章 锐角三角函数
单元要点分析
内容简介
本章内容分为两节，第一节主要学习正弦、余弦和正切等锐角三角函数的概念，第二节
主要研究直角三角形中的边角关系和解直角三角形的内容．第一节内容是第二节的基础，
第二节是第一节的应用，并对第一节的学习有巩固和提高的作用．
相似三角形和勾股定理等是学习本章的直接基础．
本章属于三角学中的最基础的部分内容，而高中阶段的三角内容是三角学的主体部分，
无论是从内容上看，还是从思考问题的方法上看，前一部分都是后一部分的重要基础．
教学目标
1．知识与技能
（1）通过实例认识直角三角形的边角关系，即锐角三角函数（sinA，cosA，tanA），知道
30°，45°，60°角的三角函数值．
（2）会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值会求它的对应的
锐角．
（3）运用三角函数解决与直角三角形有关的简单的实际问题．
（4）能综合运用直角三角形的勾股定理与边角关系解决简单的实际问题．
2．过程与方法
贯彻在实践活动中发现问题，提出问题，在探究问题的过程中找出规律，再运用这些规
律于实际生活中．
3．情感、态度与价值观
通过解直角三角形培养学生数形结合的思想．
重点与难点
1．重点
（1）锐角三角函数的概念和直角三角形的解法，特殊角的三角函数值也很重要，应该牢
牢记住．
36（2）能够运用三角函数解直角三角形，并解决与直角三角形有关的实际问题．
2．难点
（1）锐角三角函数的概念．
（2）经历探索30°，45°，60°角的三角函数值的过程，发展学生观察、分析，解决问题的
能力．
教学方法
在本章，学生首次接触到以角度为自变量的三角函数，初学者不易理解．讲课时应注意，
只有让学生正确理解锐角三角函数的概念，才能掌握直角三角形边与角之间的关系，才能
运用这些关系解直角三角形．故教学中应注意以下几点：
1．突出学数学、用数学的意识与过程．三角函数的应用尽量和实际问题联系起来，减少
单纯解直角三角形的问题．
2．在呈现方式上，突出实践性与研究性，三角函数的意义要通过问题经出，再加以探索
认识．
3．对实际问题，注意联系生活实际．
4．适度增加训练学生逻辑思维的习题，减少机械操作性习题，增加探索性问题的比重．
课时安排
本章共分9课时．
28．1 锐角三角函数 4课时
28．2 解直角三角形 4课时
小结 1课时
28．1 锐角三角函数
内容简介
本节先研究正弦函数，在此基础上给出余弦函数和正切函数的概念．通过两个特殊的
37直角三角形，让学生感受到不管直角三角形大小，只要角度不变，那么它们所对的边与斜边
的比分别都是常数，这为引出正弦函数的概念作好铺垫．这样引出正弦函数的概念，能够使
学生充分感受到函数的思想，由于教科书比较详细地讨论了正弦函数的概念，因此对余弦
函数和正切函数概念的讨论采用了直接给出的方式，具体的讨论由学生类比着正弦函数自
己完成．教科书将求特殊角的三角函数值和已知特殊角的三角函数值求角这两个相反方向
的问题安排在一起，目的是体现锐角三角函数中角与函数值之间的对应关系．本节最后介
绍了如何使用计算器求非特殊角的三角函数值以及如何根据三角函数值求对应的角等内
容．由于不同的计算器操作步骤有所不同，教科书只就常见的情况进行介绍．
教学目标
1．知识与技能
（1）了解锐角三角函数的概念，能够正确应用sinA、cosA、tanA表示直角三角形中两边
的比；记忆30°、45°、60°的正弦、余弦和正切的函数值，并会由一个特殊角的三角函数值说
出这个角；
（2）能够正确地使用计算器，由已知锐角求出它的三角函数值，由已知三角函数值求出
相应的锐角．
2．过程与方法
通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，逐步培养
学生会观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力．
3．情感、态度与价值观
引导学生探索、发现，以培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯．
重点与难点
1．重点：正弦、余弦；正切三个三角函数概念及其应用．
2．难点：使学生知道当锐角固定时，它的对边、邻边与斜边的比值也是固定的这一事实．
用含有几个字母的符号组sinA、cosA表示正弦、余弦；正弦、余弦概念．
教学方法
学生很难想到对任意锐角，它的对边、邻边与斜边的比值也是固定的事实，关键在于教
师引导学生比较、分析，得出结论．正弦、余弦的概念是全章知识的基础，对学生今后的学
38习与工作都十分重要，教学中应十分重视．同时正、余弦概念隐含角度与数之间具有一一对
应的函数思想，又用含几个字母的符号组来表示，在教学中应作为难点处理．
第1课时 正弦函数
复习引入
教师讲解：杂志上有过这样的一篇报道：始建于1350年的意大利比萨斜塔落成时就已
经倾斜．1972年比萨发生地震，这座高54.5m的斜塔大幅度摇摆22分之分，仍巍然屹立．可
是，塔顶中心点偏离垂直中心线的距离已由落成时的2.1m增加至5.2m，而且还以每年倾斜
1cm的速度继续增加，随时都有倒塌的危险．为此，意大利当局从1990年起对斜塔进行维修
纠偏，2001年竣工，使顶中心点偏离垂直中心线的距离比纠偏前减少了43.8cm．
根据上面的这段报道中，“塔顶中心点偏离垂直中心线的距离已由落成时的 2.1m增
加至5.2m，”这句话你是怎样理解的，它能用来描述比萨斜塔的倾斜程度吗？
这个问题涉及到锐角三角函数的知识．学过本章之后，你就可以轻松地解答这个问题
了!
探究新知
（1）问题的引入
教师讲解：为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡
上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为
使出水口的高度为35m，那么需要准备多长的水管？
教师提出问题：怎样将上述实际问题用数学语言表达，要求学生写在纸上，互相讨论，
看谁写得最合理，然后由教师总结．
教师总结：这个问题可以归纳为，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=35m，求AB
（课本图28．1-1）．
B
A C
39根据“在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半”，即
＝
可得AB=2BC=70m，也就是说，需要准备70m长的水管．
教师更换问题的条件后提出新问题：在上面的问题中，如果使出水口的高度为50m，那
么需要准备多长的水管？要求学生在解决新问题时寻找解决这两个问题的共同点．
教师引导学生得出这样的结论：在上面求AB（所需水管的长度）的过程中，虽然问题
条件改变了，但我们所用的定理是一样的：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30°，
那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于 ．也是说，只要山坡的
坡度是30°这个条件不变，那么斜边与对边的比值不变．
教师提出第2个问题：既然直角三角形中，30°角的斜边与对边的比值不变，那么其他
角度的对边与斜边的比值是否也不会变呢？我们再换一个解试一试．如课本图28．1-2，在
Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，∠A对边与斜边的比值是一个定值吗？如果是，是多少？
B
A C
教师要求学生自己计算，得出结论，然后再由教师总结：在Rt△ABC中，∠C=90°由于
∠A=45°，所以Rt△ABC是等腰直角三角形，由勾股定理得AB2=AC2+BC2=2BC2，AB=
BC．
因此 = ，
即在直角三角形中，当一个锐角等于45°时，不管这个直角三角形的大小如何，这个角
40的对边与斜边的比都等于 ．
教师再将问题提升到更高一个层次：从上面这两个问题的结论中可知，在一个
Rt△ABC中，∠C=90°，当∠A=30°时，∠A的对边与斜边的比都等于 ，是一个固定值；
当∠A=45°时，∠A的对边与斜边的比都等于 ，也是一个固定值．这就引发我们产生这
样一个疑问：当∠A取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？
教师直接告诉学生，这个问题的回答是肯定的，并边板书，边与学生共同探究证明方法．
这为问题可以转化为以下数学语言：
任意画Rt△ABC和Rt△A′B′C′（课本图28．1-3），使得∠C=∠C′=90°，
∠A=∠A′=a，那么 有什么关系．
B'
B
A C A' C'
www.czsx.com.cn
在 课 本 图 28 ． 1-3 中 ， 由 于 ∠ C=∠ C′ =90° ， ∠ A=∠ A′ =a ， 所 以
Rt△ABC∽Rt△A′B′C′， ，即 ．
这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的
对边与斜边的比都是一个固定值．
（二）正弦函数概念的提出
41教师讲解：在日常生活中和数学活动中上面所得出的结论是非常有用的．为了引用这
个结论时叙述方便，数学家作出了如下规定：
如课本图28．1-4，在Rt△BC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A
的正弦，记作sinA，即sinA= = ．
B
斜边c
对边a
A b C
在课本图28．1-4中，∠A的对边记作a，∠B的对边记作b，∠C的对边记作c．
例如，当∠A=30°时，我们有sinA=sin30°= ；
当∠A=45°时，我们有sinA=sin45°= ．
（三）正弦函数的简单应用
教师讲解课本第79页例题1．
例1 如课本图28．1-5，在Rt△ABC中，∠C=90°，求sinA和sinB的值．
B B
13
3 3 5
A 4 C C A
(1) (2)
教师对题目进行分析：求sinA就是要确定∠A的对边与斜边的比；求sinB就是要确定
∠B的对边与斜边的比．我们已经知道了∠A对边的值，所以解题时应先求斜边的高．
解：如课本图28．5-1（1），在Rt△ABC中，
42AB= =5．
因此 sinA= = ，sinB= = ．
如课本图28．5-1（2），在Rt△ABC中，
sinA= = ，AC= =12．
因此，sinB= = ．
随堂练习
做课本第79页练习．
课时总结
在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边
的比都是一个固定值．
在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作
sinA，
教后反思
_______________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
第1课时作业设计
课本练习
做课本第85页习题28．1复习巩固第1题、第2题．（只做与正弦函数有关的部分）
双基与中考
1．如图1，已知点P的坐标是（a，b），则sinα等于（ ）
A． B． C．
43y
A A
P(a,b)
O x
www.czsx.com.cn B C B C
（1） （2） （3）
2．（2005，南京）如图2，在△ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，则tanB的值是（ ）
A． B． C． D．
3．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA= ，则sinB等于（ ）
A． B． C． D．
4．（2004．辽宁大连）在Rt△ABC中，∠C=90°，a=1，c=4，则sinA的值是（ ）．
A．
5．如图3，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，sinB= ，BC的长是（ ）．
A．2
第 1 课时作业设计（答案） 1 ． D 2 ． A 3 ． A 4 ． B 5 ． B
28.1.2 余弦、正切函数(第2课时)
复习引入
教师提问：我们是怎样定义直角三角形中一个锐角的正弦的？为什么可以这样定义它．
学生回答后教师提出新问题：在上一节课中我们知道，如课本图28．1-6所示，在
Rt△ABC中，∠C=90°，当锐角A确定时，∠A的对边与斜边的比就随之确定了．现在我们
44要问：其他边之间的比是否也确定了呢？为什么？
B
斜边c
∠A的对边a
A C
∠A的邻边b
探究新知
（一）余弦、正切概念的引入
教师引导学生自己作出结论，其证明方法与上一节课证明对边比斜边为定值的方法相
同，都是通过两个三角形相似来证明．
学生证明过后教师进行总结：类似于正弦的情况，在课本图28．1-6中，当锐角A的大
小确定时，∠A的斜边与邻边的比、∠A的对边与邻边的比也分别是确定的．我们把∠A的
邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cosA= = ；
把∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即tanA= = ．
教师讲解并板书：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．
对于锐角A的每一个确定的值，sinA有唯一确定的值与它对应，所以sinA是A的函数．
同样地，cosA，tanA也是A的函数．
（二）余弦正切概念的应用
教 师解释课本第 8 0 页例 2题意：如课本图28．1-7，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6 ，
sinA= ，求cosA、tanB的值．
B
6
A
C
45教师对解题方法进行分析：我们已经知道了直角三角形中一条边的值，要求余弦，正切
值，就要求斜边与另一个直角边的值．我们可以通过已知角的正弦值与对边值及勾股定理
来求．
教师分析完后要求学生自己解题．学生解后教师总结并板书．
解：sinA= ，
∴AB= =6× =10，
又∵AC= =8，
∴cosA= = ，tanB= = ．
随堂练习
学生做课本第81页练习1、2、3题．
课时总结
在直角三角形中，当锐角A的大小确定时，∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记
作cosA，把∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正切，记作tanA．
教后反思
____________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
第2课时作业设计
课本练习
做课本第85页习题28．1复习巩固第1题、第2题．（只做与余弦、正切函数有关的部
分）
双基与中考
一、选择题．
1．已知sina+cosa=m，sina·cosa=n，则m，n的关系是（ ）．
A．m=n B．m=2n+1 C．m2=2n+1 D．m2=1-2n
462．在直角三角形ABC中，∠A为锐角，且cosA= ，那么（ ）．
A．0°<∠A≤30° B．30°≤∠A≤45°
C．45°<∠A≤60° D．60°<∠A<90°
3．如图1，两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，且它们的交角为α，则它们重叠部分
（图中阴影部分）的面积为（ ）．
A． C．sina D．1
A
A
B
D
A C B D
B
www.czsx.com.cn C C
(1) (2) (3) (4)
4．如图2，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BDC=90°，且AD=3，sin∠ABD= ，sin∠DBC=
，则AB，BC，CD长分别为（ ）．
A．4，12，13 B．4，13，12 C．5，12，13 D．5，13，12
5．如果a是锐角，且cosa= ，那么sin（90°-a）的值等于（ ）．
A．
6．如图3，菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=8，∠ABD=a，则下列结论正确的是（ ）．
A．sina= B．cosa= C．tana= D．tana=
7．如图4，为测一河两岸相对两电线杆A、B间的距离，在距A点17米的C处（AC⊥AB）测
得∠ACB=50°，则A、B间的距离应为（ ）．
A．17sin50°米 B．17cos50°米 C．17tan50°米 D．17cot50°米
8．在△ABC中，∠C=90°，且AC>BC，CD⊥AB于D，DE⊥AC于E，EF⊥AB于F，若
47CD=4 ，AB=10，则EF：AF等于（ ）．
A． B． C．
二、填空题
9 ．直角三角形的斜边和一条直角边的比为25：2 4，则其中最小角的正切值是________．
10．在Rt△ABC中，∠C=90°，a+b=4 ，且S =2，则c=_______．
△ABC
11．已知直角三角形中较长的直角边长为30，这边所对角的余弦值为 ，则此三角形的周
长为______，面积为_______．
12．已知sinα·cosα= ，0°<α<45°，则sinα-cosα=_______．
三、解答题
13．已知等腰三角形的一条腰长为20cm，底边长为30cm，求底角的正切值．
14．已知sinα，cosα是方程4x2-2（1+ ）x+ =0的两根，求sin2α+cos2α的值．
第2课时作业设计（答案）
一、1．C 2．D 3．A 4．B 5．B 6．D 7．C 8．A
二、9． 10．2 11．80，240 12．-
三、13．如图，设△ABC为等腰三角形，AB=AC=20，BC=30，过A作AD⊥BC于D，
则D为BC中点．
∴BD=15，在Rt△ABD中，AD= =5 ．
48∴tanB= ．
A
20 20
B 15 D C
www.czsx.com.cn
14．∵sinα+cosα= （1+ ），cosα·sinα= ，
∴sin2α+cos2α=（sinα+cosα）2-2sinα·cosα
=[ （1+ ）] 2- =1．
28.1.3 特殊角的三角函数值
(第3课时)
复习引入
教师提问：一个直角三角形中，一个锐角正弦、余弦、正切值是怎么定义的？
在学生回答了这个问题后，教师再复述一遍，提出新问题：两块三角尺中有几个不同的
锐角？是多少度？分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值．
49提醒学生：求时可以设每个三角尺较短的边长为1，利用勾股定理和三角函数的定义可
以求出这些三角函数值．
探究新知
（一）特殊值的三角函数
学生在求完这些角的正弦值、余弦值和正切值后教师加以总结．
30°、45°、60°的正弦值、余弦值和正切值如下表：
30° 45° 60°
sinα
cosα
tanα 1
教师讲解上表中数学变化的规律：对于正弦值，分母都是2，分子按角度增加分别为
， 与 ．对于余弦值，分母都是2，分子按角度增加分别为 ， 与 ．对于正
切，60度的正切值为 ，当角度递减时，分别将上一个正切值除以 ，即是下一个角的正
切值．
要求学生记住上述特殊角的三角函数值．
教师强调：（sin60°）2用sin260°表示，即为（sin60°）·（sin60°）．
（二）特殊角三角函数的应用
1．师生共同完成课本第82页例3：求下列各式的值．
（1）cos260°+sin260°．
（2） -tan45°．
教师以提问方式一步一步解上面两题．学生回答，教师板书．
50解：（1）cos260°+sin260°=（ ）2+（ ）2=1
（2） -tan45°= ÷ -1=0
2．师生共同完成课本第82页例4：教师解答题意：
（1）如课本图28．1-9（1），在Rt△ABC中，∠C=90，AB= ，BC= ，求∠A的度数．
（2）如课本图28．1-9（2），已知圆锥的高AO等于圆锥的底面半径OB的 倍，求a．
教师分析解题方法：要求一个直角三角形中一个锐角的度数，可以先求它的某一个三
角函数的值，如果这个值是一个特殊解，那么我们就可以求出这个角的度数．
解：（1）在课本图28．1-9（1）中，
∵sinA= = ，
∴∠A=45°．
（2）在课本图28．1-9（2）中，
∵tana= = ，
∴a=60°．
教师提醒学生：当A、B为锐角时，若A≠B，则
sinA≠sinB，cosA≠cosB，tanA≠tanB．
随堂练习
学生做课本第83页练习第1、2题．
51课时总结
学生要牢记下表：
30° 45° 60°
sinα
cosα
tanα 1
对于sina与tana，角度越大函数值也越大；对于cosa，角度越大函数值越小．
教后反思
_____________________________________________________________________
________________________________________________________________________
第3课时作业设计
课本练习
做课本第85页习题28．1复习巩固第3题．
双基与中考
（本练习除了作为本课时的课外作业之外，余下的部分作为下一课时（习题课）学生的
课堂作业．学生可以自己根据具体情况划分课内、课外作业的份量）．
一、选择题．
1．已知：Rt△ABC中，∠C=90°，cosA= ，AB=15，则AC的长是（ ）．
A．3 B．6 C．9 D．12
2．下列各式中不正确的是（ ）．
A．sin260°+cos260°=1 B．sin30°+cos30°=1
C．sin35°=cos55° D．tan45°>sin45°
3．计算2sin30°-2cos60°+tan45°的结果是（ ）．
A．2 B． C． D．1
524．已知∠A为锐角，且cosA≤ ，那么（ ）
A．0°<∠A≤60° B．60°≤∠A<90°
C．0°<∠A≤30° D．30°≤∠A<90°
5．在△ABC中，∠A、∠B都是锐角，且sinA= ，cosB= ，则△ABC的形状是（ ）
A．直角三角形 B．钝角三角形
C．锐角三角形 D．不能确定
6．如图Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，BC=3， AC=4 ， 设
∠BCD=a，则tana的值为（ ）．
A． B． C． D．
7．当锐角a>60°时，cosa的值（ ）．
A．小于 B．大于 C．大于 D．大于1
8．在△ABC中，三边之比为a：b：c=1： ：2，则sinA+tanA等于（ ）．
A．
9．已知梯形ABCD中，腰BC长为2，梯形对角线BD垂直平分AC，若梯形的高是 ，则
∠CAB等于（ ）
A．30° B．60° C．45° D．以上都不对
10．sin272°+sin218°的值是（ ）．
A．1 B．0 C． D．
5311．若（ tanA-3）2+│2cosB- │=0，则△ABC（ ）．
A．是直角三角形 B．是等边三角形
C．是含有60°的任意三角形 D．是顶角为钝角的等腰三角形
二、填空题．
12．设α、β均为锐角，且sinα-cosβ=0，则α+β=_______．
13． 的值是_______．
14．已知，等腰△ABC的腰长为4 ，底为30° ，则底边上的高为______，周长为______．
15．在Rt△ABC中，∠C=90°，已知tanB= ，则cosA=________．
16．正方形ABCD边长为1，如果将线段BD绕点B旋转后，点D落在BC的延长线上的点
D′处，那么tan∠BAD′=________．
17．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠CAB=60°，AD平分∠CAB，得 的值为_______．
三、解答题．
18．求下列各式的值．
（1）sin30°·cos45°+cos60°;（2）2sin60°-2cos30°·sin45°
（3） ; （4） -sin60°（1-sin30°）．
（5）tan45°·sin60°-4sin30°·cos45°+ ·tan30°
（6） +cos45°·cos30°
5419．在△ABC中，AD是BC边上的高，∠B=30°，∠C=45°，BD=10，求AC．
20．如图，∠POQ=90°，边长为2cm的正方形ABCD的顶点B在OP上，C为CQ上，且
∠OBC=30°，分别求点A，D到OP的距离．
Q
D
A
C
30
P B O
www.czsx.com.cn
21．已知sinA，sinB是方程4x2-2mx+m-1=0的两个实根，且∠A，∠B是直角三角形的两个
锐角，求：
（1）m的值；（2）∠A与∠B的度数．
22．如图，自卸车车厢的一个侧面是矩形ABCD，AB=3米，BC=0.5米，车厢底部距离地面
1.2米，卸货时，车厢倾斜的角度=60°，问此时车厢的最高点A距离地面是多少米？（精确
到0.1m）
23．如图，由于水资源缺乏，B、C两地不得不从黄河上的扬水站A处引水，这就需要在A、
B、C之间铺设地下输水管道．有人设计了三种铺设方案：如图（1）、（2）、（3），图中实线
表示管道铺设线路，在图（2）中，AD⊥BC于D；在图（3）中，OA=OB=OC．为减少渗漏，
节约水资源，并降低工程造价，铺设线路应尽量缩短．已知△ABC恰好是一个边长是a的
等边三角形，请你通过计算，判断哪个铺设方案最好．
55第3课时作业设计（答案）
一、1．C 2．B 3．D 4．B 5．B 6．A 7．A 8．A 9．B 10．A 11．A
二、12．90° 13． 14．2 ，12+8 15． 16． 17．
三、
18．（1） （5） ； （6）0
19．∵AD是BC边上的高，
∴△ABD和△ACD都是直角三角形．
∵ =tan30°，BD=10，
∴AD= ．
∴ =sinC，
∴AC= ．
20．过点A、D分别作AE⊥OP，DF⊥OP，DG⊥OQ，垂足分别为E、F、G．
在正方形ABCD中，∠ABC=∠BCD=90°．
∵∠OBC=30°，∴∠ABE=60°．
在Rt△AEB中，AE=AB·sin60°=2× = （cm）．
56∵四边形DFOG是矩形，∴DF=GO．
∵∠OBC=30°，∴∠BCO=60°，∴∠DCG=30°．
在Rt△DCG中，CG=CD·cos30°=2× = （cm）．
在Rt△BOC中，OC= BC=1．
21．m=2 +1 A=45° B=45°
22．A距地面4.8m
23．（1）所示方案的线路总长为AB+BC=2a．
（2）在Rt△ABD中，AD=ABsin60°= a，
∴（2）所示方案的线路总长为AD+BC=（ +1）a．
（3）延长AO交BC于E，∵AB=AC，OB=OC，∴OE⊥BC，BE=EC= ．
在Rt△OBE中，∠OBE=3 0°，OB= = a．
∴（3）所示方案的线路总长为OA+OB+OC=3OB= a．
比较可知， a<（ +1）a<2a，∴图（3）所示方案最好．
5728．1．4 利用计算器求三角函数值
第4课时
复习引入
教师讲解：通过上面几节的学习我们知道，当锐角A是30°、45°或60° 等特殊角时，可
以求得这些特殊角的正弦值、余弦值和正切值；如果锐角A不是这些特殊角，怎样得到它的
三角函数值呢？我们可以借助计算器来求锐角的三角函数值．
探究新知
（一）已知角度求函数值
教师讲解：例如求 sin18°，利用计算器的 sin 键，并输入角度值 18，得到结果
sin18°=0.309016994．
又如求tan30°36′，利用tan键，并输入角的度、分值，就可以得到答案0.591398351．
利用计算器求锐角的三角函数值，或已知锐角三角函数值求相应的锐角时，不同的计
算器操作步骤有所不同．
因为30°36′=30.6°，所以也可以利用 tan 键，并输入角度值30.6，同样得到答案
0.591398351．
（二）已知函数值，求锐角
教师讲解：如果已知锐角三角函数值，也可以使用计算器求出相应的锐角．例如，已知
sinA=0.5018；用计算器求锐角A可以按照下面方法操作：
依次按键2ndf sin，然后输入函数值0.5018，得到∠A=30.11915867°（如果锐角A精
确到1°，则结果为30°）．
还可以利用2ndf °’”键进一步得到∠A=30°07′08．97″（如果锐角A精确到1′，
则结果为30°8′，精确到1″的结果为30°7′9″）．
使用锐角三角函数表，也可以查得锐角的三角函数值，或根据锐角三角函数值求相应
的锐角．
教师提出：怎样验算求出的∠A=30°7′9″是否正确？让学生思考后回答，然后教师总
58结：可以再用计算器求30°7′9″的正弦值，如果它等于0.5018，则我们原先的计算结果就
是正确的．
随堂练习 课本第84页练习第1、2题．
课时总结
已知角度求正弦值用sin键；已知正弦值求小于90°的锐角用2ndf sin键，对于余弦
与正切也有相类似的求法．
教后反思
_________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
第4课时作业设计
课本练习
做课本第85页习题28．1复习巩固第4题，第5题．
双基与中考
（本练习除了作为本课时的课外作业之外，余下的部分作为下一课时（习题课）学生的
课堂作业，学生可以自己根据具体情况划分课内、课外作业的份量）
一、选择题．
1．如图1，Rt△ABC中，∠C=90°，D为BC上一点，∠DAC=30°，BD=2，AB=2 ，则AC的
长是（ ）．
A． B．2 C．3 D．
A
A D
A
C D B C D B B s C
(1) (2) (3)
592．如图2，从地面上C、D两处望山顶A，仰角分别为35°、45°，若C、D 两处相距200米，那
么山高AB为（ ）．
A．100（ +1）米 B．100 米 C．100 米 D．200米
3．如图3，两建筑物的水平距离为s米，从A点测得D点的俯角为α，测得C点的俯角为β，
则较低的建筑物的高为（ ）．
A．s·tanα米 B．s·tan（β-α）米
C．s（tanβ-tanα）米 D． 米
4．已知：A、B两点，若由A看B的仰角为α，则由B看A的俯角为（ ）．
A．α B．90°-α C．90°+α D．180°-α
5．如图4，从山顶A望地面C、D两点，测得它们的俯角分别是45°和30°，已知CD=100m，
点C在BD上，则山高AB等于（ ）．
A．100m B．50 m C．50 m D．50（ +1）m
(4) (5) (6)
6．已知楼房AB高50m，如图5，铁塔塔基与楼房房基间水平距离BD为50m，塔高DC为
m，下列结论中正确的是（ ）．
A．由楼顶望塔顶仰角为60° B．由楼顶望塔基俯角为60°
C．由楼顶望塔顶仰角为30° D．由楼顶望塔基俯角为30°
7．如图6，一台起重机的机身高AB为20m，吊杆AC的长为36m，吊杆对水平线的倾角可
60以从30°转到80°，则这台起重机工作时吊杆端点C离地面的最大高度和离机身的最远水
平距离分别是（ ）．
A．（36+20）m和36·tan30°m B．36·sin80°m和36·cos30°m
C．（36sin30°+20）m和36·cos30°m D．（36sin80°+20）m和36·cos30°m
8．观察下列各式：（1）sin59°>sin28°；（2）00．
∴sinB= ，∴tanB= = ．
即：cosB= ，tanB= ．
11．在Rt△ABC中，cos∠CAD= = ．
∴∠CAD=30°，∠B=30°．在Rt△ACB中，c=2b=4 ，a=2 ．
第3课时 求不可到达的两点间距离
75复习引入
教师讲解：本节课将利用解直角三角形知识解决生活中的许多问题．2 003年10月15
日“神舟”5号载人航天飞船发射成功．我们将应用直角三角形知识探究有关飞船运行的
一些知识．
探究新知
（一）讲解例3
教师提出问题：当飞船完成变轨后，就在离地球表面350km的圆形轨道上运行．如课
本图28．2-6，当飞船运行到地球表面上P点的正上方时，从飞船上能直接看到的地球上最
远的点在什么位置？这样的最远点与P点的距离是多少？（ 地球半径约为6400km，结果精
确 到
0.1km F
P
）．
Q
教
O
师对问
题进行
图28．2-6
分析：
从飞船上能直接看到的地球上最远的点，应是视线与地球相切时的切点．如图28．2-6所示，
⊙O表示地球，点F是飞船的位置，FQ是⊙O的切线，切点Q是从飞船观察地球时的最远
点．PQ的长就是地面上P、Q两点间的距离（这一点教师务必讲解清楚，千万不能用弦PQ
去代替）．为了计算PQ的长需先求出∠POQ（即∠a）．
在解决例3的问题时，要综合运用圆和解直角三角形的知识．
教师要求学生思考解法，然后提问，学生回答后教师作出总结并板书；在图28．2-6中，
FQ是⊙O的切线，△FCQ是直角三角形．
∵cosα ≈0.95，
∴α≈18°．
76∴PQ的长为 ×6400≈1.34×640=2009.6．
由此可见，当飞船在P点正上方时，从飞船观测地球时的最远点距离P点约2009.6km．
（二）讲解例4
教
师分析
题意：
热气球
的探测
器显示，
图28．2-7
从热气
球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离
为120m，问这栋高栋有多高？（结果精确到0.1m）
教师对解法进行分析：我们知道，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的是
仰角，视线在水平线下方的是俯角．因此，在课本图28．2-7中，AD是与水平面平行的直线，
则α=30°，β=60°，我们可以把这道题分成两个直角三角形来解．在Rt△ABD中，a=30°，
AD=120，所以可以利用解直角三角形的知识求出BD；类似地在△ACD中可以求出CD．进
而求出BC．
教师要求学生独立完成该题．学生做完后教师给出该题的答案并板书：
解：如课本图28．2-7，α=30°，β=60°，AD=120．
∵tanα=
∴BD=AD·tanα=120×tan30°=120× =4 ，
CD=AD·tanβ=120×tan60°=120× =120 ，
∴BC=BD+CD=40 +120 =160 ≈277.1．
77答：这栋楼房约为277.1m．
随堂练习
课本93页练习第1题、第2题．
课时总结
如果问题不能归结为一个直角三角形，则应当对所求的量进行分解，将其中的一部分
量归结为直角三角形中的量．
教后反思
_________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
第3课时作业设计
课本练习
做课本第97页习题28．2第6题、第7题、第8题．
双基与中考
一、选择题．
1．某人沿倾斜角为β的斜坡前进100m，则上升的最大高度是（ ）．
A． m D．100cosβm
2．从地面上的C、D两处望正西方向山顶A，仰角分别为30°和45°，C、D两处相距
200m，那么山高AB为（ ）．
A．100（ +1）m B．100 m C．100 m D．200m
3．已知A、B两点，若点A对点B的仰角为θ，那么B对A的俯角是（ ）．
A．θ B．90°-θ C．2θ D．180°-θ
4．上午9时，一条船从A处出发，以每小时40海
北
里的速度向正东方向航行，9时30分到达B处，如图，
M
从A、B两处分别测得小岛M在北偏东45°和北偏东
15°方向，那么B处船与小岛M的距离为（ ）．
45
A B 东
78 www.czsx.com.cnA．20海里 B．20 海里
C．15 海里 D．20 海里
5．将 cosB+ sinB改写成下列形式的式子，其中写错的是（ ）．
A．sin30°cosB+cos30°sinB; B．sin30°cosB+sin60°sinB
C．cos60°cosB+sin60°sinB; D．cos60°cosB+sin30°sinB
6．如图，为测河两岸相对两抽水泵A、B的距离，
A
在距B点30m的C处（BC⊥BA），测得∠BCA=55°，
则A、B间的距离为（ ）．
A．30tan55°m B． m
B C
C．30sin55°m D．30cos55°m
7．已知α是锐角，2sin（α+10°）= ，则α的度数是（ ）．
A．20° B．30° C．50° D．60°
二、填空题．
8．某人沿着坡度为1： 的山坡向上走50m，这时他离水平地面_______m．
9．在倾斜角为30°的斜坡上植树，若要求两棵树的水平距离为6m，则斜坡上相邻两树
的坡面距离为________m．
10．一船上午9点位于灯塔A的东北方向，在与灯塔A相距64海里的B港出发，向正
西航行，到10时30分时恰好在灯塔的正北的C处，则此船的速度为________．
11．用科学计算器或数学用表求：如图，有甲、乙
B
两楼，甲楼高AD是23米，现在想测量乙楼CB的高
度．某人在甲楼的楼底A和楼顶D，分别测得乙楼的
D 45
楼顶B的仰角为65°13′和45°，利用这些数据可求得
6513'
A C
79乙楼的高度为______米．（结果精确到0.01米）
注：用数学用表求解时，可参照下面正切表的相关部分．
A 0` 6` 12` 18` … 1` 2` 3`
65° 2.145 2.154 2.164 2.174 … 2 3 5
12．如图，B、C是河岸边两点，A是对岸边一点，测得∠ABC=45°，∠ACB=45°，BC=60
米，则点A到岸边BC的距离是________．
(第12题) (第13题) (第14题) (第15题)
13．如图，某同学用一个有60°角的直角三角板估测学生旗杆AB的高度，他将60°角的
直角边水平放在1．5米高的支架CD上，三角板的斜边与旗杆的顶点在同一直线上，他又
量得D、B两点的距离为5米，则旗杆AB的高度约为_______米．（精确到1米， 取
1.73）
14．小明想测量电线杆AB的高度，发现电线杆的影子恰好落在上坡的坡面CD和地面
BC上，量得CD=4米，BC=10米，CD与地面成30°角，且此时测得1米杆的影长为2米，则
电线杆的高度约为_______米．
三、解答题．
15．如图，在甲建筑物上从A点到E点挂一长为30m的宣传条幅，在乙建筑物的顶部
D点测得条幅顶端A的仰角为45°，测得条幅底端E点的俯角为30°，求底部不能直接到达
的甲、乙两建筑物之间的水平距离BC．（答案可带根号）
16．如图，在小山的东侧A处有一热气球，以每分钟28m的速度沿着与垂直方向夹角为
30°的方向飞行，半小时后到达C处，这时气球上的人发现，在A处的正西方有一处着火点
B，5分钟后，在D处测得着火点B的俯角是15°，求热气球升空点A与着火点B的距离．
80（结果保留根号，参考数据：sin15°= ，tan15°=2- ，
tan75°=2+ ）
17．如图，在高25m的楼顶A处测得烟囱CD的顶部D的仰角为20°，已知楼房与烟囱
之间的水平距离为150m，求烟囱CD的高度．（精确到1m）
18．已知小山的高为h，为了测得小山顶上铁塔AB的高x，在平地上选择一点P，在P
点处测得B点的仰角为α，A点的仰角为β．（见下表中测量目标图）
（1）在下表中根据第一次和第二次的“测得数据”，填写“平均值”一列中α、β的数
值．
（2）根据表中数据求铁塔高x的值．（精确到0.01m）
题 目 测量山顶铁塔的高
测量目标
已知数据 山高BC h=153.48m
测 测得项目 第一次 第二次 第三次
得 仰角α 29°17` 29°19` α=______
81数 仰角β 34°01‘ 33°57` β=______
据
19．学校组织学生参加实践活动，教师要求学生测量学校附近的高压电线杆AB的高，
具体有以下条件：①工具：测角仪（可测水平角、倾斜角等）、米尺、标杆（长度小于2m）等；
②为了完全，不允许到距离电线杆约5m的范围内；③电线杆周围比较平坦．请你设计一个
测量电线杆高度的方法．
要求：（1）简述测量方法．
（2）画出示意图（标出有关的角及线段）．
（3）求出你测量的电线杆的高h（用字母表示）．
说明：角度用字母α、β、γ等表示；距离（线段长度）用字母等表示．
A
B
答案：
一、1．B 2．A 3．A 4．B 5．D 6．A 7．C
二、8．25 9．4 10． 海里/小时 11．42.73 12．30 13．10 14．8．7
三、15．过D点作DF⊥AE，垂足为F，由∠ADF=45°得AF=DF，
又EF=DF·tan∠FDE= DF，由AE=AF+EF=30，可得DF=（45-15 ）m．
16．由题意知，AD=（30+5）×28=980，
过D作DH⊥BA于H，
在Rt△DAH中，DH=AD·sin60°=980× =490 ，
82AH=AD·cos60°=980× =490．
在Rt△DBH中，BH= =490 （2+ ）=1470+980 ．
∴BA=BH-AH=980（1+ ）（m）．
即热气球升空点A与着火点B的距离为980（1+ ）m．
17．过A点作AE⊥CD，垂足为E，则四边形ABCE是矩形．
∴AB=CE=25m，AE=BC=150m． 在Rt△AED中，∠DAE=20°，AE=150m．
∴DE=AE·tan∠DAE=150×tan20°≈150×0.3640=54.6m，
CD=CE+ED=25+54.6≈80（m）． 即烟囱CD的高度约为80m．
18．（1）α=29°18′，β=33°59′．
（2）x=（cot29°18′·tan33°59′-1）×153.48≈30.88（m）．
19．（1）如图在距电线杆足够远E处（安全地带）放一标杆EF，用测角仪从标杆EF的
顶端测得电线杆顶端A的仰角为β，向后退bm到C处，再放一标杆CD，用测角仪从D处
测得电线杆顶端A的仰角为α．
（2）量得标杆长度为am．
（3）由于cotα= ．
∴DM=AM·cotα，FM=AM·cotβ．
∴AM·cotα-AM·cot=b．
∴AM=
∴电线杆的高h=a+
第4课时 方位角与方向角问题
复习引入
83本节课将应用解直角三角形知识解决测量中的方位角问题．
探究新知
（一）方位角与方向角
1．方向角
教师讲解：指北或指南方向线与目标方向所成的小于90°的角叫做方向角．如课本图
28．2-1中的目标方向线OA，OB，OC分别表示北偏东60°，南偏东30°，北偏西70°．特别地，
若目标方向线与指北或指南的方向线成45°的角，如图28．2-1的目标方向线OD与正南方
向成45°角，通常称为西南方向．
图28．2-1 图28．2-2
2．方位角
教师讲解：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角．如课本
图28．2-2中，目标方向线PA，PB，PC的方位角分别是40°，135°，225°．
（二）用解直角三角形的方法解决实际问题方法要点
教师讲解：在解决实际问题时，我们要学会将千变万化的实际问题转化为数学问题，要
善于将某些实际问题中的数量关系归结为直角三角形中的元素（边、角）之间的关系，这样
才能很好地运用解直角三角形的方法求解．
解题时一般有以下三个步骤：
1．审题．按题意画出正确的平面或截面示意图，并通过图形弄清已知和未知．
2．将已知条件转化为示意图中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角
三角形的问题．如果没有现成是直角三角形可供使用，可通过作辅助线产生直角三角形，再
把条件和问题转化到这个直角三角形．
3．根据直角三角形（或通过作垂线构造直角三角形）元素（边、角）之间关系解有关的
直角三角形．
（三）例题讲解
84教师解释题意：如课本图28．2-8所示，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯
塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的
B处．这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？（精确到0.01海里）
教师提示：这道题的解题思路与上一节课的例4相似．因为△APB不是一个直角三角
形，所以我们把一个三角形分解为两个直角三角形，△ACP与△PCB．PC是东西走向的一
条直线．AB是南北走向的一直线，所以AB与PC是相互垂直的，即∠ACP与∠BDP均为直
角．再通过65度角与∠APC互余的关系求∠APC；通过34度角与∠BPC互余的关系求
∠BPC．
教师分析后要求学生自行做完这道题．学生做完后教师再加以总结并板书．
解：如课本图28．2-8，在Rt△APC中，
PC=PA·cos（90°-65°）
=80×cos25°≈80×0.91=72.8．
在Rt△BPC中，∠B=34°，
∵sinB= ，
∴PB= ≈130.23．
因此，当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，它距离灯塔P大约130.23海里．
教师讲解：解直角三角形有广泛的应用，解决问题时，要根据实际情况灵活运用相关知
识．例如，当我们要测量如课本图28．2-9所示大坝的高度h时，只要测出仰角α和大坝的坡
面长度L，就能算出h=Lsinα．但是，当我们要测量如课本图28．2-10所示的山高h时，问题
就不那么简单了．这是由于不能很方便地得到仰角α和山坡长度L．
85图28．2-9 图28．2-10
与测坝高相比，测山高的困难在于：坝坡是“直”的，而山坡是“曲”的．怎样解决这
样的问题呢？
我们设法“化曲为直，以直代曲”．我们可以把山坡“化整为零”地划分为一些小段，
课本图28．2-11表示其中一部分小段．划分小段时，注意使每一小段上的山坡近似是
“直”的，可以量出这段坡长L ，测出相应的仰角α，这样就可以算出这段山坡的高度
1
h=Lsinα．
1 1
图28．2-11
在每个小段上，我们都构造出直角三角形，利用上面的方法分别算出各段山坡的高度
h，h，……．
1 2
然后我们再“积零为整”，把h，h，…相加，于是得到山高h．
1 2
以上解决问题中所用的“化整为零，积零为整”“化曲为直，以直代曲”的做法，就是
高等数学中微积分的基本思想，它在数学中有重要地位，在今后的学习中，你会更多地了解
这方面的内容．
随堂练习
课本第95页练习第1题、第2题．
课时总结
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：
1．将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）．
2．根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形．
863．得到数学问题的答案．
4．得到实际问题的答案．
教后反思:
________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
第4课时作业设计
课本练习
课本第97页习题28．2拓广探索第9题、第10题．
双基与中考
一、选择题．
1．如图，轮船航行到C处时，观测到小岛B的方向是北偏西35°，那么同时从B观测到
轮船的方向是（ ）．
A．南偏西35° B．东偏西35° C．南偏东55° D．南偏东35°
B 北
C 东
www.czsx.com.cn
(第1题) (第5题) (第8题)
2．身高相同的三个小朋友甲、乙、丙放风筝，他们放出的线长分别是300m，250m，
200m，线与地面所成的角分别为30°、45°、60°（假设风筝线是拉直的），则三人所放风筝
（ ）．
A．甲的最高 B．乙的最低 C．丙的最低 D．乙的最高
3．一日上午8时到12时，若太阳光线与地面所成角由30°增大到45°，一棵树的高为
10m，则树在地面上影长h的范围是（ ）．
A．510
4．△ABC中，AB=6，AC=3，则∠B最大值是（ ）．
87A．30° B．45° C．60° D．无法确定
5．如图，水库大坝横断面为梯形，坝顶宽6m，坝高2m，斜坡AB的坡角为45°，斜坡CD
的坡度i=1：2，则坝底AD的长为（ ）．
A．42m B．（30+24 ）m C．78m D．（30+8 ）m
6．△ABC中，已知 +（tanB- ）2=0且AB=4，则△ABC的面积是（ ）．
A．4 B．4 C．2 D．2
7．一渔船上的渔民在A处看见灯塔M在北偏东60°方向，这艘船以28海里/小时的速
度向正东航行，半小时到B处，在B处看见灯塔M在北偏东15°方向，此时，灯塔M与渔船
的距离是（ ）．
A．7 B．14 C．7 D．14
8．某地夏季中午，当太阳移到屋顶上方偏南时光线与地面成80°角，房屋朝南的窗子高
AB=1.8m；要在窗子外面上方安装一个水平挡光板AC，使午间光线不能直接射入室内，那
么挡光板AC的宽度应为（ ）．
A．1.8tan80°m B．1.8cos80°m
C． D．1.8cot80°m
9．若菱形的边长为4，它的一个内角为126°，则较短的对角线长为（ ）．
A．4sin54° B．4cos63° C．8sin27° D．8cos27°
10．如图，上午9时，一条船从A处出发以20海里/小时的速度向正北方向航行，1 1时
到达B处，从A、B望灯塔C，测得∠NAC=36°，∠NBC=72°，那么从B处到灯塔C的距离是
（ ）．
A．20海里 B．36海里 C．72海里 D．40海里
88北
N
C
B
A
(第10题) (第11题)
11．如图，一电线杆AB的影子分别落在了地上和墙上，某一时刻，小明竖起1米高的直
杆，量得其影长为0.5米，此时，他又量得电线杆AB落在地上的影子BD长3米，落在墙上
的影子CD的高为2米，小明用这些数据很快算出了电线杆AB的高，请你计算电线杆AB
的高为（ ）．
A．5米 B．6米 C．7米 D．8米
二、填空题．
12．升国旗时，某同学站在离旗杆底部24m处行注目礼，当国旗升至旗杆顶端时，该同
学视线的仰角恰为30°，若双眼离地面1.5m，则旗杆高度为______m．（用含根号的式子表
示）
13．在地面上一点，测得一电视塔尖的仰角为45°，沿水平方向，再向塔底前进a米，又
测得塔尖的仰角为60°，那么电视塔高为________．
1 4．如图一铁路路基的横断面为等腰梯形ABCD，根据图示数据得下底宽AD=______
米．
(第14题) (第15题)
15．如图△ABC的顶点A、C的坐标分别是（0，4），（3，0），并且∠ACB=90°，∠B=3 0°，
则顶点B的坐标是________．
16．如图，燕尾槽的外口宽AD=9 0mm，深为70mm，燕尾角为60° ，则里口宽为
89________．
(第16题) (第17题)
17．如图，从高出海平面500m的直升飞机上，测得两艘船的俯角分别为45° 和30°，如
果这两艘船一个在正东，一个在正西，那么它们之间的距离为______．
三、解答题．
18．甲、乙两船同时从港口O出发，甲船以16．1海里/小时的速度向东偏南35°方向航
行，乙船向西偏南58°，方向航行，航行了两小时，甲船到达A处并观测到B处的乙船恰好
在其正西方向，求乙船的速度v．（精确到0.1海里/小时）
（参考数据：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62，cot32°≈1.60）
19．去年某省将地处A、B两地的两所大学合并成了一所综合性大学，为了方便A、B两
地师生的交往，学校准备在相距2千米的A、B两地之间修筑一条笔直公路（图中的线段
AB），经测量，在A地的北偏东60°方向，B地的北偏西45°方向的C处有一个半径为0.7千
米的公园，问计算修筑的这条公路会不会穿出公园？为什么？
C
60
45
A www.czsx.com.cnB
90答案：
一、1．D 2．D 3．B 4．A 5．C 6．A 7．A 8．D 9．C 10．D 11．D
二、12．8 + 13． a米 14．29.2 15．（3+4 ，3 ）
16．（90+ ）mm 17．500（1+ ）m
三、18．由题意可知：
OA=16．1×2=32.2（海里）．
∠1=32°，∠2=58°．
∴∠AOB=180°-（∠1+∠2）
=180°-（32°+58°）=90°．
由B在A的正西方向，可得：∠A=∠1=32°．
又∵在Rt△AOB中，tanA= ，
∴OB=OA·tanA=32.2×tan32°=32.2×0.62=19.964（海里）．
∴v= =19.964÷2=9.982≈10.0（海里/小时）．
即：乙船的速度约为10.0海里/小时．
19．过点C作CD⊥AB于D，CD= -1>0.7，这条公路不会穿过公园．
小结与复习
知识结构
91基础知识
1．直角三角形的边角关系：在Rt△ABC中，
∠A+∠B=90°， a2+b2=c2，
sinA=cosB= ， cosA=sinB= ，
tanA=cotB= ， cosA=tanB= ．
2．互余两角三角函数间的关系：如∠A+∠B=90°，那么sinA=cosB，cosA=sinB．
3．同角三角函数间的关系：
sin2A+cos2A=1，tanA·cotA=1，tanA= ．
4．特殊角的三角函数
三角函数 0° 30° 45° 60° 90°
sinα 0 1
cosα 1 0
tanα 0 1 不存在
cotα 不存在 1 0
解直角三角形的基本类型
解直角三角形的基本类型及其解法如下表：
类型 已知条件 解法
92两边 两直角边a、b
c= ，tanA= ，∠B=90°-∠A
一直角边a，斜边c
b= ，sinA= ，∠B=90°-∠A
一边一锐角 一直角边a，锐角A
∠B=90°-∠A，b=a·cotA，c=
斜边c，锐角A ∠B=90°-∠A，a=c·sinA，
b=c·cosA
解直角三角形注意点
1．尽量使用原始数据，使计算更加准确．
2．有的问题不能直接利用直角三角形内部关系解题，但可以添加合适的辅助线转化为
解直角三角形的问题．
3．一些较复杂的解直角三角形的问题可以通过列方程或方程组的方法解题．
4．解直角三角形的方法可概括为“有弦（斜边）用弦（正弦、余弦），无弦有切（正切、余
切），宁乘毋除，取原避中”其意指：当已知或求解中有斜边时，可用正弦或余弦；无斜边时，
就用正切或余切；当所求元素既可用乘法又可用除法时，则用乘法，不用除法；既可由已知
数据又可用中间数据求解时，则取原始数据，忌用中间数据．
5．必要时按照要求画出图形，注明已知和所求，然后研究它们置于哪个直角三角形中，
应当选用什么关系式来进行计算．
6．要把添加辅助线的过程准确地写在解题过程之中．
7．解含有非基本元素的直角三角形（即直角三角形中中线、高、角平分线、周长、面积
等），一般将非基本元素转化为基本元素，或转化为元素间的关系式，再通过解方程组来解．
应用题解题步骤
度量工具、工程建筑、测量距离等方面应用题的解题步骤可概括为如下几步：
第一步，审清题意，要弄清仰角、俯角、坡度、坡角、水平距离、垂直距离、水平等概念的
意义．
第二步，构造出要求解的直角三角形，对于非直角三角形的图形可作适当的辅助线把
它们分割成一些直角三角形和矩形（包括正方形）．
第三步，选择合适的边角关系式，使运算尽可能简便，不易出错．
93第四步，按照题目中已知数的精确度进行近似计算，并按照题目要求的精确度确定答
案及注明单位．
思想方法总结
1．转化思想
转化思想贯穿于本章的始终．例如，利用三角函数定义可以实现边与角的转化，利用互
余两角三角函数关系可以实现“正”与“余”的互化；利用同角三角函数关系可以实现
“异名”三角函数之间的互化．此外，利用解直角三角形的知识解决实际问题时，首先要把
实际问题转化为数学问题．
2．数形结合思想
本章从概念的引出到公式的推导及直角三角形的解法和应用，无一不体现数形结合的
思想方法．例如，在解直角三角形的问题时，常常先画出图形，使已知元素和未知元素更直
观，有助于问题的顺利解决．
3．函数思想
锐角的正弦、余弦、正切、余切都是三角函数，其中都蕴含着函数的思想．例如，任意锐
角a与它的正弦值是一一对应的关系．也就是说，对于锐角a任意确定的一个度数，sina都
有惟一确定的值与之对应；反之，对于sina在（01）之间任意确定的一个值，锐角a都有惟一
确定的一个度数与之对应．
4．方程思想
在解直角三角形时，若某个元素无法直接求出，往往设未知数，根据三角形中的边角关
系列出方程，通过解方程求出所求的元素．
中考新题型
例1 计算：
（1）sin230°-cos45°·tan60°
（2）
分析：把特殊角的三角函数值代入计算即可．
94解：（1）sin30°-cos45°·tan60°= - × = -
（2）原式= +1-3×（ ）2+2 = +1-1+2（1- ）=2
说明：熟记30°、45°、60°角的三角函数值，是解决这类问题的关键，这类题也是中考考
查的重点，在选择题和填空题中出现的更多．
例2 如右图，已知缆车行驶线与水平线间的夹 角
α=30°，β=45°．小明乘缆车上山，从A到B，再从B到 D 都
走了200米（即AB=BD=200米），请根据所给的数据 计 算
缆车垂直上升的距离．（计算结果保留整数，以下数据 供 选
用：sin47°≈0.7314，cos47°≈0.6820，tan47°≈1.0724）
分析：缆车垂直上升的距离分成两段：BC与DF．分别在Rt△ABC和Rt△DBF中求出
BC与DF，两者之和即为所求．
解：在Rt△ABC中，AB=200米，∠BAC=α=30°，
∴BC=AB·sinα=200sin30°=100（米）．
在Rt△BDF中，BD=200米，∠DBF=β47°，
∴DF=BD·sinβ=200·sin47°≈200×0.7314=146.28（米）．
∴BC+DF=100+146.28=246.28（米）．
答：缆车垂直上升了246.28米．
说明：解直角三角形在实际生活中的应用，是中考考查的重点，也是考查的热点．要解
决好这类问题：一是要合理地构造合适的直角三角形；二是要熟记特殊角的三角函数值；三
是要有很好的运算能力和分析问题的能力．
课时作业设计
本章单元测试．
单元测试
一、选择题．
951．在△ABC中，∠C=90°，AB=15，sinA= ，则BC等于（ ）．
A．45 B．5 C． D．
2．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，若cotA= ，则cosA等于（ ）．
A． B． C． D．
3．如图，为测一河两岸相对两电线杆A、B间的距离，在距A点15米的C处
（AC⊥AB）测得∠ACB=50°，则A、B之间的距离应为（ ）．
A．15sin50°米 B．15cos50°米； C．15tan50°米 D．15cot50°米
C
A a C
A D B
B www.czsx.com.cn
(第3题) (第6题) (第7题)
4．如果sin2a+sin230°=1，那么锐角a的度数是（ ）．
A．15° B．30° C．45° D．60°
5．在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA= ，则cosB的值为（ ）．
A． B． C． D．1
6．如图，为了测量河两岸A、B两点的距离，在与AB垂直的方向上取点C，测得
AC=a，∠ACB=a，那么AB等于（ ）．
A．a·sina B．a·cosa C．a·tana D．a·cota
7．如图Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，D为垂足．若AC=4，BC=3，则sin∠ACD
的值为（ ）．
96A． B． C． D．
8．已知直角三角形中30°角所对的直角边长是2cm，则斜边的长是（ ）．
A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm
9．在△ABC中，sinB=cos（90°-C）= ，那么△ABC是（ ）．
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
10．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=12，BC=5，则下列各式中正确的是（ ）．
A．sinA= B．cosA= C．tanA= D．cotA=
11．如图，为测楼房BC的高，在距离房30米的A处测得楼顶的仰角为α，则楼高BC的
高为（ ）．
A．30tanα米 B． 米
C C
D
A B
www.czsx.com.cn A B
(第11题) (第12题)
12．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=6，D是AC上一点，若tan∠DBA=
，则AD的长为（ ）．
A． B．2 C．1 D．2
二、填空题．
13．如图，如果△APB绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A′P′B′，且BP=2，那
么PP′的长为________．
97（不取近似值，以下数据供解题使用：sin15°= ）
(第13题) (第14题) (第21题)
14．如图，沿倾斜角为33°的山坡植树，要求相邻两棵树的水平距离AC为2m，那么相
邻两棵树的斜坡距离AB约为________m．（精确到0.01m）
15．sin30°=________．
16．用计算器计算： sin40°=________．（精确到0.01）
17．若圆周角α所对弦长为sinα，则此圆的半径r为_______．
18．锐角A满足2sin（A-15°）= ，则∠A=________．
19．计算：3tan30°+cot45°-2tan45°-2cos60°=_________．
20．已知A是锐角，且sinA= ，则cos（90°-A）=________．
21．为了测量一个圆形铁环的半径（如图），某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平
桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一个刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而
可求得铁环的半径，若测得PA=5cm，则铁环的半径是______cm．
三、计算题．
22．计算： -2sin60°-（ +2）．
23．计算：cos60°+ - -2-1．
9824．计算：（1）sin30°+cos45°+tan60°-cot30°．
（2）
25．若方程2x2+（4sinθ）x+1=0（0<θ<90°）有两个相等的实数根，求θ的值．
四、解答题．
26．如图，为申办2010年冬奥会，需改变哈尔滨市的交通状况．在大道拓宽工程中，要
伐掉一棵树AB，在地面上事先划定以B为圆心，半径与AB等长的圆形区域为危险区，现
在某工人站在离B点3米处的D处测得树的顶端A点的仰角为60°，树的底部B点的俯角
为30°，问距离B点8米远的保护物是否在危险区内？（ 取1.73）
27．我边防战士在海拔高度（即CD的长）为50米的小岛顶部D处执行任务，上午8时
99发现在海面上的A处有一艘船，此时测得该船的俯角为30°，该船沿着AC方向航行一段时
间后到达B处，又测得该船的俯角为45°，求该船在这一段时间内的航程．（计算结果保留
根号）
28．如图，在离地面高度5米处引拉线固定电线杆，拉线和地面成58°，求拉线下端点A
与杆底D的距离AD．（精确到0.01米）
C
4m
58
A D B
www.czsx.com.cn
100答案：
一、1．B 2．B 3．C 4．D 5．B 6．C 7．C 8．B 9．A 10．B 11．A 12．B
二、13． - 14．2.38 15． 16．1.10 17． 18．75° 19． -2 20．
21．5
三、22．解： -2sin60°-（ +2）0=2 - -1= -1．
23．解：原式= + -2 - =- ．
24．（1） （2）1 25．θ=45°．
四、26．过点C作CE⊥AB于E，Rt△CBE中，tan30°= ，
∴BE=CE·tan30°= ．
Rt△CAE中，tan60°= ，
∴AE=CE·tan60°=3 ．
∴AB=AE+BE=4 ≈4×1.73=6.92<8．
∴保护物不在危险区．
27．解：根据题意，∠ADC=60°，∠BDC=∠DBC=45°，
101∴BC=DC=50．
在Rt△ADC中，AC=CD×tan∠ADC=50 ．
AB=AC-BC=50（ -1）（米）．
答：该船在这段时间内的航程为50（ -1）米．
28．解：在Rt△ACD中，∠ADC=90°，∠CAD=58°，CD=5米．
∵tan∠CAD= ，
∴AD= ≈3.12（米）．
答：拉线下端点A与杆底D的距离AD约为3.12米．
【锐角三角函数全章教案】
锐角三角函数（第一课时）
教学三维目标：
一.知识目标：初步了解正弦、余弦、正切概念；能较正确地用siaA、cosA、tanA表示直角三
角形中两边的比；熟记功30°、45°、60°角的三角函数，并能根据这些值说出对应的锐角
度数。
二.能力目标：逐步培养学生观察、比较、分析，概括的思维能力。
三.情感目标：提高学生对几何图形美的认识。
教材分析：
1．教学重点: 正弦，余弦，正切概念
2．教学难点:用含有几个字母的符号组siaA、cosA、tanA表示正弦，余弦，正切
教学程序：
一．探究活动
1．课本引入问题，再结合特殊角30°、45°、60°的直角三角形探究直角三角形的边角关
系。
2．归纳三角函数定义。
102siaA= ,cosA= ,tanA=
3例1.求如图所示的Rt ⊿ABC中的siaA,cosA,tanA的值。
4.学生练习P21练习1，2，3
二．探究活动二
1.让学生画30°45°60°的直角三角形,分别求sia 30°cos45° tan60°
归纳结果
30° 45° 60°
siaA
cosA
tanA
2. 求下列各式的值
（1）sia 30°+cos30°（2） sia 45°- cos30°(3) +ta60°-tan30°
三．拓展提高P82例4.（略）
C
1. 如图在⊿ABC中,∠A=30°,tanB= ,AC=2
,求AB
四．小结
五．作业课本p85－86 2,3,6,7,8,10 A B
103解直角三角形应用（一）
一．教学三维目标
(一)知识目标
使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余
及锐角三角函数解直角三角形．
(二)能力训练点
通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐
步培养学生分析问题、解决问题的能力．
(三)情感目标
渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯．
二、教学重点、难点和疑点
1．重点：直角三角形的解法．
2．难点：三角函数在解直角三角形中的灵活运用．
3．疑点：学生可能不理解在已知的两个元素中，为什么至少有一个是边．
三、教学过程
(一)知识回顾
1．在三角形中共有几个元素？
2．直角三角形ABC中，∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量关系呢？
(1)边角之间关系 sinA= cosA= tanA=
(2)三边之间关系
a2 +b2 =c2 (勾股定理)
(3)锐角之间关系∠A+∠B=90°．
以上三点正是解直角三角形的依据，通过复习，使学生便于应用．
（二） 探究活动
1．我们已掌握Rt△ABC的边角关系、三边关系、角角关系，利用这些关系，在知道其中的两
个元素(至少有一个是边)后，就可求出其余的元素．这样的导语既可以使学生大概了解解直
104角三角形的概念，同时又陷入思考，为什么两个已知元素中必有一条边呢？激发了学生的
学习热情．
2．教师在学生思考后，继续引导“为什么两个已知元素中至少有一条边？”让全体学生的
思维目标一致，在作出准确回答后，教师请学生概括什么是解直角三角形？(由直角三角形
中除直角外的两个已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形)．
3．例题评析
例 1在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且b= a=
，解这个三角形．
例2在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且b= 20
=35 ，解这个三角形（精确到0.1）．
解直角三角形的方法很多，灵活多样，学生完全可以自己解决，但例题具有示范作用．因此，
此题在处理时，首先，应让学生独立完成，培养其分析问题、解决问题能力，同时渗透数形
结合的思想．其次，教师组织学生比较各种方法中哪些较好，选一种板演．
完成之后引导学生小结“已知一边一角，如何解直角三角形？”
答：先求另外一角，然后选取恰当的函数关系式求另两边．计算时，利用所求的量如不比
原始数据简便的话，最好用题中原始数据计算，这样误差小些，也比较可靠，防止第一步错
导致一错到底．
例 3在Rt△ABC中，a=104.0，b=20.49，解这个三角形．
(三) 巩固练习
在△ABC中，∠C为直角，AC=6， 的平分线AD=4 ，解此直角三角形。
解直角三角形是解实际应用题的基础，因此必须使学生熟练掌握．为此，教材配备了练习
针对各种条件，使学生熟练解直角三角形，并培养学生运算能力．
(四)总结与扩展
请学生小结：1在直角三角形中，除直角外还有五个元素，知道两个元素(至少有一个是
边)，就可以求出另三个元素． 2解决问题要结合图形。
四、布置作业
．p96 第1，2题
105解直三角形应用（二）
一．教学三维目标
(一)、知识目标
使学生了解仰角、俯角的概念，使学生根据直角三角形的知识解决实际问题．
(二)、能力目标
逐步培养分析问题、解决问题的能力．
二、教学重点、难点和疑点
1．重点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关
系，从而解决问题．
2．难点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关
系，从而解决问题．
三、教学过程
（一）回忆知识
1．解直角三角形指什么？
2．解直角三角形主要依据什么？
(1)勾股定理：a2+b2=c2
(2)锐角之间的关系：∠A+∠B=90°
A的对边
(3) 边 角 之 间 的 关 系 ： tanA=
A的邻边
（二）新授概念
1．仰角、俯角
当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水
平线下方的角叫做俯角．
教学时，可以让学生仰视灯或俯视桌面以体会仰角与
俯角的意义．
2．例1
如图(6-16)，某飞机于空中A处探测到目标C，此时飞行
高度AC=1200米，从飞机上看地平面控制点 B的俯角
α=16°31′，求飞机A到控制点B距离(精确到1米)
106AC AC 1200
解：在Rt△ABC中sinB= AB AB= sinB = 0.2843 =4221(米)
答：飞机A到控制点B的距离约为4221米．
例2.2003年10月15日“神州”5号载人航天飞船发射成功。当飞船完成变轨后，就在离
地形表面350km的圆形轨道上运行。如图，当飞船运行到地球表面上P点的正上方时，从飞
船上能直接看到地球上最远的点在什么位置？这样的最远点与P点的距离是多少？（地球
半径约为6400km，结果精确到0.1km）
分析：从飞船上能看到的地球上最远的点，应是视线与地球相切时的切点。将问题放到直角
三角形FOQ中解决。
． F
P
Q
O
解决此问题的关键是在于把它转化为数学问题，利用解直角三角形知识来解决，在此之前，
学生曾经接触到通过把实际问题转化为数学问题后，用数学方法来解决问题的方法，但不
太熟练．因此，解决此题的关键是转化实际问题为数学问题，转化过程中着重请学生画几何
图形，并说出题目中每句话对应图中哪个角或边(包括已知什么和求什么)，会利用平行线的
内错角相等的性质由已知的俯角α得出Rt△ABC中的∠ABC，进而利用解直角三角形的
知识就可以解此题了．
A的对边
斜边
例1小结：本章引言中的例子和例1正好属于应用同一关系式 sinA=
来解决的两个实际问题即已知 和斜边，
求∠α的对边；以及已知∠α和对边，求斜边．
（三）．巩固练习
1．热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶
部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为60 ，热气球
与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高（结
果精确到0.1`m）
1072．如图6-17，某海岛上的观察所A发现海上某船只B并测得其俯角α=80°14′．已知观察
所A的标高(当水位为0m时的高度)为43.74m，当时水位为+2.63m，求观
察所A到船只B的水平距离BC(精确到1m)
教师在学生充分地思考后，应引导学生分析：
（1）．谁能将实物图形抽象为几何图形？请一名同学上黑板画出来．
（2）．请学生结合图形独立完成。
3 如图6-19，已知A、B两点间的距离是160米，从A点看B点的仰角是
11°，AC长为1.5米，求BD的高及水平距离CD．
此题在例1的基础上，又加深了一步，须由A
作一条平行于 CD的直线交 BD于E，构造出
Rt△ABE，然后进一步求出AE、BE，进而求出
BD与CD．
设置此题，既使成绩较好的学生有足够的训练，
同时对较差学生又是巩固，达到分层次教学的目的．
练习：为测量松树AB的高度，一个人站在距松树15米的E处，测得仰角∠ACD=52°，已知
人的高度为1.72米，求树高(精确到0.01米)．
要求学生根据题意能画图，把实际问题转化为数学问题，利用解直角三角形的知识来解
决它．
(四)总结与扩展
请学生总结：本节课通过两个例题的讲解，要求同学们会将某些实际问题转化为解直角
三角形问题去解决；今后，我们要善于用数学知识解决实际问题．
四、布置作业
1．课本p96 第 3，.4，.6题
解直三角形应用（三）
（一）教学三维目标
108(一)知识目标
使学生会把实际问题转化为解直角三角形问题，从而会把实际问题转化为数学问题来解决．
(二)能力目标
逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．
(三)情感目标
渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，培养学生用数学的意识．
二、教学重点、难点
1．重点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，
从而利用所学知识把实际问题解决．
2．难点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关
系，从而利用所学知识把实际问题解决．
三、教学过程
1．导入新课
上节课我们解决的实际问题是应用正弦及余弦解直角三角形，在实际问题中有时还经常应
用正切和余切来解直角三角形，从而使问题得到解决．
2．例题分析
例1．如图6-21，厂房屋顶人字架(等腰三角形)的跨度为10米，
∠A-26°，
求中柱BC(C为底边中点)和上弦AB的长(精确到0.01米)．
分析：上图是本题的示意图，同学们对照图形，根据题意思考题目中
的每句话对应图中的哪个角或边，本题已知什么，求什么？
由题意知，△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，∠A=26°，AC=5米，可利用解Rt△ABC的方
法求出BC和AB．
学生在把实际问题转化为数学问题后，大部分学生可自行完成
例题小结：求出中柱BC的长为2.44米后，我们也可以利用正弦计算上弦AB的长。
如果在引导学生讨论后小结，效果会更好，不仅使学生掌握选何关系式，更重要的是知道为
什么选这个关系式，以培养学生分析问题、解决问题的能力及计算能力，形成良好的学习习
惯．
另外，本题是把解等腰三角形的问题转化为直角三角形的问题，渗透了转化的数学思想．
例2．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65 方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南
方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南东34 方向上的B处。这时，海轮所在的B
处 距 离 灯 塔 P 有 多 远 ( 精 确 到 0.01 海 里 ) ？
109
65
A65
A
P
34
B
引导学生根据示意图，说明本题已知什么，求什么，利用哪个三角形来求解，用正弦、余弦、
正切、余切中的哪一种解较为简便？
3巩固练习
为测量松树AB的高度，一个人站在距松树15米的E处，测得仰角∠ACD=52°，
已知人的高度是1.72
米，求树高(精确到0.01米)．
首先请学生结合题意画几何图形，并把实际问题转化为数学问题．
Rt△ACD中，∠D=Rt∠，∠ACD=52°，CD=BE=15米，CE=DB=1.72米，求AB？
(三)总结与扩展
请学生总结：通过学习两个例题，初步学会把一些实际问题转化为数学问题，通过解直角
三角形来解决，具体说，本节课通过让学生把实际问题转化为数学问题，利用正切或余切解
直角三角形，从而把问题解决．
本课涉及到一种重要教学思想：转化思想．
四、布置作业
1101．某一时刻，太阳光线与地平面的夹角为78°，此时测得烟囱的影长为5米，求烟囱的高(精
确到0.1米)．
2．如图6-24，在高出地平面50米的小山上有一塔AB，在地面D测得塔顶A和塔基B的仰
面分别为50°和45°，求塔高．
3．在宽为30米的街道东西两旁各有一楼房，从东楼底望西楼顶仰角为45°，从西楼顶望东
楼顶，俯角为10°，求西楼高(精确到0.1米)．
解直三角形应用（四）
一．教学三维目标
(一)知识目标致
使学生懂得什么是横断面图，能把一些较复杂的图形转化为解直角三角形的问题．
(二)能力目标
逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．
(三)情感目标
培养学生用数学的意识；渗透转化思想；渗透数学来源于实践又作用于实践的观点．
二、教学重点、难点
1．重点：把等腰梯形转化为解直角三角形问题；
2．难点：如何添作适当的辅助线．
三、教学过程
1．出示已准备的泥燕尾槽，让学生有感视印象，将其横向垂直于燕尾槽的平面切割，得横截
面，请学生通过观察，认识到这是一个等腰梯形，并结合图形，向学生介绍一些专用术语，
使学生知道，图中燕尾角对应哪一个角，外口、内口和深度对应哪一条线段．这一介绍，使
111学生对本节课内容很感兴趣，激发了学生的学习热情．
2．例题
例 燕尾槽的横断面是等腰梯形，图6-26是一燕尾槽的横断面，其中燕尾角B是55°，外
口宽AD是180mm，燕尾槽的深度是70mm，求它的里口宽BC(精
确到1mm)．
分析：(1)引导学生将上述问题转化为数学问题；等腰梯形
ABCD中，上底AD=180mm，高AE=70mm，∠B=55°，求下底BC．
(2)让学生展开讨论，因为上节课通过做等腰三角形的高把其分割
为直角三角形，从而利用解直角三角形的知识来求解．学生对这
一转化有所了解．因此，学生经互相讨论，完全可以解决这一问题．
例题小结：遇到有关等腰梯形的问题，应考虑如何添加辅助线，将其转化为直角三角形和
矩形的组合图形，从而把求等腰梯形的下底的问题转化成解直角三角形的问题．
3．巩固练习
如图6-27，在离地面高度5米处引拉线固定电线杆，拉线和地面成60°角，求拉线AC的长
以及拉线下端点A与杆底D的距离AD(精确到0.01米)．
分析：(1)请学生审题：因为电线杆与地面应是垂直的，那么图 6-27中
△ACD是直角三角形．其中CD=5m，∠CAD=60°，求AD、AC的长．
(2)学生运用已有知识独立解决此题．教师巡视之后讲评．
(三)小结
请学生作小结，教师补充．
本节课教学内容仍是解直角三角形，但问题已是处理一些实际应用题，在这些问题中，有较
多的专业术语，关键是要分清每一术语是指哪个元素，再看是否放在同一直角三角形中，这
时要灵活，必要时还要作辅助线，再把问题放在直角三角形中解决．在用三角函数时，要正
确判断边角关系．
四、布置作业
1．如图6-28，在等腰梯形ABCD中，DC∥AB， DE⊥AB于E，
3
5
AB=8, DE=4, cosA= , 求CD的长.2．教材课本习题P96第6，7，8题
解直三角形应用（五）
112一．教学三维目标
(一)知识目标明
巩固直角三角形中锐角的三角函数，学会解关于坡度角和有关角度的问题．
(二)能力目标
逐步培养学生分析问题解决问题的能力，进一步渗透数形结合的数学思想和方法．
(三)德育目标
培养学生用数学的意识；渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的辩证唯物主义观点．
二、教学重点、难点和疑点
1．重点：能熟练运用有关三角函数知识．
2．难点：解决实际问题．
3．疑点：株距指相邻两树间的水平距离，学生往往理解为相邻两树间的距离而造成错误．
三、教学过程
1．探究活动一
教师出示投影片，出示例题．
例1 如图6-29，在山坡上种树，要求株距(相邻两树间的水平距离)是5.5m，测得斜坡的倾斜
角是24°，求斜坡上相邻两树的坡面距离是多少(精确到0.1m)．
分析：1．例题中出现许多术语——株距，倾斜角，这些概念学生未接触过，比较生疏，而株
距概念又是学生易记错之处，因此教师最好准备教具：用木板钉成一斜坡，再在斜坡上钉几
个铁钉，利用这种直观教具更容易说明术语，符合学生的思维特点．
2．引导学生将实际问题转化为数学问题画出图形(上图6-29(2))．已知：Rt△ABC中，
∠C=90°，AC=5.5，∠A=24°，求AB．
3．学生运用解直角三角形知识完全可以独立
解决例1．教师可请一名同学上黑板做，其余同
学在练习本上做，教师巡视．
113答：斜坡上相邻两树间的坡面距离约是6.0米．
教师引导学生评价黑板上的解题过程，做到全体学生都掌握．
2．探究活动二
例2 如图6-30，沿AC方向开山修渠，为了加快施工速度，要从小山的另一边同时施工，从
AC上的一点B取∠ABD=140°，BD=52cm，∠D=50°，那么开挖点E离D多远(精确到
0.1m)，正好能使A、C、E成一条直线？
这是实际施工中经常遇到的问题．应首先引导学生将实际问题转化为数学问题．
由题目的已知条件，∠D=50°，∠ABD=140°，BD=520米，求DE为多少时，A、C、E在一条直
线上。
学生观察图形，不难发现，∠E=90°，这样此题就转化为解直角三角形的问题了，全班学生应
该能独立准确地完成．
解：要使A、C、E在同一直线上，则∠ABD是△BDE的一个外角．
∴∠BED=∠ABD-∠D=90°．
∴DE=BD·cosD
=520×0.6428=334.256≈334.3(m)．
答：开挖点E离D334.3米，正好能使A、C、E成一直线，
提到角度问题，初一教材曾提到过方向角，但应用较少．因此本节课很有必要补充一道涉及
方向角的实际应用问题，出示投影片．
练习P95 练习1，2。
补充题：正午10点整，一渔轮在小岛O的北偏东30°方向，距离等于10海里的A处，正以
每小时10海里的速度向南偏东60°方向航行．那么渔轮到达小岛O的正东方向是什么时间？
(精确到1分)．
学生虽然在初一接触过方向角，但应用很少，所以学生在解决这个问题时，可能出现不会画
图，无法将实际问题转化为几何问题的情况．因此教师在学生独自尝试之后应加以引导：
(1)确定小岛O点；(2)画出10时船的位置A；(3)小船在A点向南偏东60°航行，到达O的正
东方向位置在哪？设为B；(4)结合图形引导学生加以分析，可以解决这一问题．
此题的解答过程非常简单，对于程度较好的班级可以口答，以节省时间补充一道有关方向
角的应用问题，达到熟练程度．对于程度一般的班级可以不必再补充，只需理解前三例即可．
补充题：如图6-32，海岛A的周围8海里内有暗礁，鱼船跟踪鱼群
由西向东航行，在点B处测得海岛A位于北偏东60°，航行12海
里到达点C处，又测得海岛A位于北偏东30°，如果鱼船不改变航
114向继续向东航行．有没有触礁的危险？
如果时间允许，教师可组织学生探讨此题，以加深对方向角的运用．同时，学生对这种问
题也非常感兴趣，教师可通过此题创设良好的课堂气氛，激发学生的学习兴趣．
若时间不够，此题可作为思考题请学生课后思考．
(三)小结与扩展
教师请学生总结：在这类实际应用题中，都是直接或间接地把问题放在直角三角形中，虽然
有一些专业术语，但要明确各术语指的什么元素，要善于发现直角三角形，用三角函数等知
识解决问题．
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：
（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；
（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形；
（3）得到数学问题的答案；
（4）得到实际问题的答案。
四、布置作业
课本习题P97 9，10
解直三角形应用
一、
(一)知识教学点
巩固用三角函数有关知识解决问题，学会解决坡度问题．
(二)能力目标
逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；渗透数形结合的数学思想和方法．
115(三)德育目标
培养学生用数学的意识，渗透理论联系实际的观点．
二、教学重点、难点和疑点
1．重点：解决有关坡度的实际问题．
2．难点：理解坡度的有关术语．
3．疑点：对于坡度i表示成1∶m的形式学生易疏忽，教学中应着重强调，引起学生的重视．
三、教学过程
1．创设情境，导入新课．
例 同学们，如果你是修建三峡大坝的工程师，现在有这样一个
问题请你解决：如图6-33
水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡
度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求斜坡AB的坡面角α，坝底
宽AD和斜坡AB的长(精确到0.1m)．
同学们因为你称他们为工程师而骄傲，满腔热情，但一见问题又手足失措，因为连题中的
术语坡度、坡角等他们都不清楚．这时，教师应根据学生想学的心情，及时点拨．
通过前面例题的教学，学生已基本了解解实际应用题的方法，会将实际问题抽象为几何问
题加以解决．但此题中提到的坡度与坡角的概念对学生来说比较生疏，同时这两个概念在
实际生产、生活中又有十分重要的应用，因此本节课关键是使学生理解坡度与坡角的意义．
介绍概念
坡度与坡角
结合图6-34，教师讲述坡度概念，并板书：坡面的
铅直高度h和水
l
平宽度 的比叫做坡度（或叫做坡比），一般用i表
h
l
示。即ｉ＝ ，
把坡面与水平面的夹角α叫做坡角．
引导学生结合图形思考，坡度i与坡角α之间具有什么关系？
h
l
答：i＝ ＝tan
这一关系在实际问题中经常用到，教师不妨设置练习，加以巩固．
练习(1)一段坡面的坡角为60°，则坡度i=______； ______，坡角 ______度．
为了加深对坡度与坡角的理解，培养学生空间想象力，教师还可以提问：
116(1)坡面铅直高度一定，其坡角、坡度和坡面水平宽度有什么关系？举例说明．
(2)坡面水平宽度一定，铅直高度与坡度有何关系，
举例说明．
答：(1)
如图，铅直高度AB一定，水平宽度BC增加，α将
变小，坡度减小，
AB
BC
因为 tan ＝ ，AB不变，tan 随BC增大而减
小
(2)
与(1)相反，水平宽度BC不变，α将随铅直高度增大而
增大，tanα
AB
BC
也随之增大，因为tan = 不变时，tan 随AB的增大而增大
2．讲授新课
引导学生分析例题，图中 ABCD是梯形，若BE⊥AD，CF⊥AD，梯形就被分割成
Rt△ABE，矩形BEFC和Rt△CFD，AD=AE+EF+FD，AE、DF可在△ABE和△CDF中通过
坡度求出，EF=BC=6m，从而求出AD．
以上分析最好在学生充分思考后由学生完成，以培养学生逻辑思维能力及良好的学习习
惯．
坡度问题计算过程很繁琐，因此教师一定要做好示范，并严格要求学生，选择最简练、准
确的方法计算，以培养学生运算能力．
解：作BE⊥AD，CF⊥AD，在Rt△ABE和Rt△CDF中，
∴AE=3BE=3×23=69(m)．
FD=2.5CF=2.5×23=57.5(m)．
∴AD=AE+EF+FD=69+6+57.5=132.5(m)．
1
3
因为斜坡AB的坡度i＝tan ＝ ≈0.3333，查表得
α≈18°26′
答：斜坡AB的坡角α约为18°26′，坝底宽AD为132.5米，斜坡AB的长约为72.7米．
1173．巩固练习
(1)教材P124. 2
由于坡度问题计算较为复杂，因此要求全体学生要熟练掌握，可能基础较好的学生会很
快做完，教师可再给布置一题．
(2)利用土埂修筑一条渠道，在埂中间挖去深为0.6米的一块(图6-35阴影部分是挖去部分)，
已知渠道内坡度为1∶1.5，渠道底面宽BC为0.5米，求：
①横断面(等腰梯形)ABCD的面积；
②修一条长为100米的渠道要挖去的土方数．
分析：1．引导学生将实际问题转化为数学问题．
2．要求S等腰梯形ABCD，首先要求出AD，如何利用条件求
AD？
3．土方数=S·l
∴AE=1.5×0.6=0.9(米)．
∵等腰梯形ABCD，
∴FD=AE=0.9(米)．
∴AD=2×0.9+0.5=2.3(米)．
总土方数=截面积×渠长 =0.8×100=80(米3)．
答：横断面ABCD面积为0.8平方米，修一条长为100米的渠道要挖出的土方数为80立
方米．
(四)总结与扩展
引导学生回忆前述例题，进行总结，以培养学生的概括能力．
1．弄清俯角、仰角、株距、坡度、坡角、水平距离、垂直距离、水位等概念的意义，明确各术
语与示意图中的什么元素对应，只有明确这些概念，才能恰当地把实际问题转化为数学问
题．
2．认真分析题意、画图并找出要求的直角三角形，或通过添加辅助线构造直角三角形来解
决问题．
3．选择合适的边角关系式，使计算尽可能简单，且不易出错．
4．按照题中的精确度进行计算，并按照题目中要求的精确度确定答案以及注明单位．
四、布置作业
1．看教材，培养看书习惯，作本章小结．
1182．课本习题P96第5，8题
第二十九章 投影与视图
教学内容:29.1投影（1）
教学目标：
1、经历实践探索，了解投影、投影面、平行投影和中心投影的概念；
2、了角平行投影和中心投影的区别。
3、使学生学会关注生活中有关投影的数学问题，提高数学的应用意识。
119教学重、难点
教学重点：理解平行投影和中心投影的特征；
教学难点：在投影面上画出平面图形的平行投影或中心投影。
教学资源:多媒体
教学方法:自主阅读法,引导探索法
教学过程：
（一）创设情境
你看过皮影戏吗? 皮影戏又名“灯影子”，是我国民间一种古老而奇特的戏曲艺术，
在关中地区很为流行。皮影戏演出简便，表演领域广阔，演技细腻，活跃于广大农村，深受
农民的欢迎。（有条件的）放映电影《小兵张嘎》部分片段 ---小胖墩和他爸在日军炮台内为
日本鬼子表演皮影戏
(二）你知道吗
出示投影：
北京故宫中的日晷闻名世界,是我国光辉出灿烂文化的瑰宝.它是我国古代利用日影
测定时刻的仪器,它由“晷面”与“晷针”组成，当太阳光照在日晷中轴上产生投影，晷针
的影子就会投向晷面，随着时间的推移，晷针的影的长度发生变化,晷针的影子在晷面上慢
慢移动，聪明的古人以此来显示时刻．
问题：那什么是投影呢？
出示投影让学生感受在日常生活中的一些投影现象。
120一般地.用光线照射物体.在某个平面(地面、墙壁等)上得到的影子叫做物体的投影.
照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面.
有时光线是一组互相平行的射线.例如太阳光或探照灯光的一束光中的光线(如图).
由平行光线形成的投影是平行投影.例如.物体在太阳光的照射下形成的影子(简称日影)
就是平行投影.
由同一点(点光源)发出的光线形成的投影叫做中心投影.例如.物体在灯泡发出的光
照射下形成影子就是中心投影.
（三）问题探究（在课前布置，以数学学 习
小组为单位）
探究平行投影和中心投影和性质和区别
1、以数学习小组为单位，观察在太阳光 线
下，木杆和三角形纸板在地面的投影。
2、 不断改变木杆和三角形纸板的位置，什么时候木杆的影子成为一点，三角形纸板的
影子是一条线段？当木杆的影子与木杆长度相等时，你发现木杆在什么位置？三角形纸板
在什么位置时，它的影子恰好与三角形纸板成为全等图形？还有其他情况吗？
3、由于中心投影与平行投影的投射线具有不同的性质，因此，在这两种投影下，物体的
影子也就有明显的差别。如图4-14，当线段AB与投影面平行时，AB的中心投影A‘B’把线
段AB放大了，且AB∥A’B‘，△OAB～ OA‘B’.又如图4-15，当△ABC所在的平面与投影
面平行时， △ABC的中心投影△A‘B’C‘也把△ABC放大了，从△ABC到△A‘B’C‘是我
们熟悉的位似变换。
1214、请观察平行投影和中心投影，它们有什么相同点与不同点？
平行投影与中心投影的区别与联系
区 别
联系
物体与投影面平行时
光线
的投影
平行的投射
平行投影 全等
线
都是物体在光线的照
射下，在某个平面内形成
的影子。(即都是投影)
从一点出发
中心投影 放大(位似变换)
的投射线
（四）应用新知：
（1）地面上直立一根标杆AB如图，杆长为2cm。
①当阳光垂直照射地面时，标杆在地面上的投影是什么图形？
②当阳光与地面的倾斜角为60°时，标杆在地面上的投影是什么图形？并画出投影示
意图；
（2）一个正方形纸板ABCD和投影面平行（如图），投射线和投影面垂直，点C在投影面
的对应点为C’，请画出正方形纸板的投影示意图。
122（3）两幅图表示两根标杆在同一时刻的投影.请在图中画出形成投影的光线.它们是平
行投影还是中心投影？并说明理由。
解：分别连结标杆的顶端与投影上的对应点(图4-17).很明显，图(1)的投射线互相平
行，是平行投影.图(2)的投射线相交于一点，是中心投影。
四、学习反思：
我们这节课学习了什么知识？
五、作业：
画出一个四边形的不同平行投影图和中心投影图
教学后记:
教学内容:29.1投影（二）
教学目标：
1、了解正投影的概念；
2、能根据正投影的性质画出简单的平面图形的正投影
3、培养动手实践能力，发展空间想象能力。
教学重、难点
123重点：正投影的含义及能根据正投影的性质画出简单的平面图形的正投影
难点：归纳正投影的性质,正确画出简单平面图形的正投影
教学资源:教材,多媒体课件
教学方法:合作学习法,引导探索法
教学过程：
（一）复习引入新课
下图表示一块三角尺在光线照射下形成投影，其中哪个是平行投影哪个是中心投影?
图(2) (3)的投影线与投影面的位置关系有什么区别?
解：结论:图(1)中的投影线集中于一点，形成中心投影;图(2) (3)中，投影线互相平行，
形成平行投影;图(2)中，投影线斜着照射投影面;图(3)中投影线垂直照射投影面〔即投影
线正对着投影面).
指出：在平行投影中，如果投射线垂直于投影面，那么这种投影就称为正投影。
（二）合作学习，探究新知
1、如图，把一根直的细铁丝(记为安线段AB)放在三个不同位置:
(1)铁丝平行于投影面;
(2)铁丝倾斜于投影面，
(3)铁丝垂直于投影面(铁丝不一定要与投影面有公共点).
三种情形下铁丝的正投影各是什么形状
124通过观察，我们可以发现;
(1)当线段AB平行于投影面P时，它的正投影是线段AB，线段与它的投影的大小关系
1 1
为AB = AB
1 1
(2)当线段AB倾斜于投影面P时，它的正投影是线段AB，线段与它的投影的大小关系
2 2
为AB > AB
2 2
(3)当线段AB垂直于投影面P时，它的正投影是一个点A
3
2、如图，把一块正方形硬纸板P(例如正方形ABCD)放在三个不同位置:
(1)纸板平行于投影面;
(2)纸板倾斜于投影面;
(3)纸板垂直于投影面
结论:(1)当纸板P平行于投影面Q时. P的正投影与P的形状、大小一样;
(2)当纸板P倾斜于投影面Q时. P的正投影与P的形状、大小发生变化;
(3)当纸板P垂直于投影面Q时. P的正投影成为一条线段.
当物体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影与这个面的形状、大小完全相同.
3、例1画出如图摆放的正方体在投影面P上的正投影.
(1)正方体的一个面ABCD平行于投影面P图(1);
(2)正方体的一个面ABCD倾斜于投影面F，上底面ADEF垂直于投影面P，并且上底面的
125对角线AE垂直于投影面P图 (2).
分析口述画图要领
解答按课本板书
4、练习
（1）P112 练习和习题29.1 1、2、5
三、作业
P113 3、4
教学后记:
教学内容: 29.2 三视图（一）
教学目标
1.会从投影的角度理解视图的概念
2.会画简单几何体的三视图
1263.通过观察探究等活动使学生知道物体的三视图与正投影的相互关系及三视图中位
置关系、大小关系。
教学重、难点
重点：从投影的角度加深对三视图的理解和会画简单的三视图
难点：对三视图概念理解的升华及正确画出三棱柱的三视图
教学资源:教材,多媒体课件
教学方法:合作学习法,引导探索法
教学过程
（一）创设情境，引入新课
这个水平投影能完全反映这个物体的形状和大小吗？
如不能，那么还需哪些投影面？
物体的正投影从一个方向反映了物体的形状和大
小，为了全面地反映一个物体的形状和大小，我们常
常再选择正面和侧面两个投影面，画出物体的正投影。
如图 (1)，我们用三个互相垂直的平面
作为投影面，其中正对着我们的叫做正面，正面下方
的叫做水平面，右边的叫做侧面.一个物体(例如一个
长方体)在三个投影面内同时进行正投影，在正面内
127得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图，在水平面内得到的由上向下观察物体的视
图，叫做俯视图;在侧面内得到由左向右观察物体的视图，叫做左视图.
如图(2)，将三个投影面展开在一个平面
内，得到这一物体的一张三视图(由主视图，俯视图和左视图组成).三视图中的各视图，分
别从不同方面表示物体，三者合起来就能够较全面地反映物体的形状.
三视图中，主视图与俯视图表示同一物体的长，主视图与左视图表示同一物体的高.左视图
与俯视图表示同一物体的宽，因此三个视图的大小是互相联系的.画三视图时.三个视图要
放在正确的位置.并且使主视图与俯视图的长对正，主视图与左视图的高平齐.左视图与俯
视图的宽相等
通过以上的学习，你有什么发现？
物体的三视图实际上是物体在三个不同方向的正投影.正投影面上的正投影就是主视
图，水平投影面上的正投影就是俯视图，侧投影面上的正投影就是左视图
（二）应用新知
例1画出下图2所示的一些基本几何体的三视图.
分析:画这些基本几何体的三视图时，要注意从三个方面观察它们.具体画法为:
1.确定主视图的位置，画出主视图;
2.在主视图正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”。
3.在主视图正右方画出左视图.注意与主视图“高平齐”，与俯视图“宽相等”.
解：
128练习：
1、
2、你能画出下图1中几何体的三视图吗 小明画出了它们的三种视图(图2),他画的
对吗 请你判断一下.
四、小结
1、画一个立体图形的三视图时要考虑从某一个方向看物体获得的平面图形的形状和
大小，不要受到该方向的物体结构的干扰。
2、在画三视图时，三个三视图不要随意乱放，应做到俯视图在主视图的下方，左视图在
主视图的右边，三个视图之间保持：长对正，高平齐，宽相 等。
五、作业：
129教材第123页第1题
教学后记:
教学内容:三视图（二）
教学目标：
1301、进一步明确正投影与三视图的关系
2、经历探索简单立体图形的三视图的画法，能识别物体的三视图；
3、培养动手实践能力，发展空间想象能力。
教学重点、难点
重点：简单立体图形的三视图的画法
难点：三视图中三个位置关系的理解
教学资源:教材,教参,多媒体课件
教学方法:阅读探索法
三、教学过程：
（一）复习引入
1、画一个立体图形的三视图时要注意什么？（上节课中的小结内容）
2、说一说：直三棱柱、圆柱、圆锥、球的三视图
3、做一做：画出下列几何体的三视图
4、讲一讲：你知道正投影与三视图的关系获 图29.2-7
131（二）讲解例题
例2.画出如图所示的支架(一种小零件)的三视图.
分析:支架的形状，由两个大小不等的长方体构
成的组合体.画三视四时要注意这两个长方体的上下、
前后位置关系.
解:如图29.2-7是支架的三视图
例3.右图是一根钢管的直观图，画出它的三视图
分析.钢管有内外壁，从一定角度看它时，看不见内壁.为全面地反映立体图形的形状，画图
时规定;看得见部分的轮廓线画成实线.因被其他那分遮挡
而看不见部分的轮廓线画成虚线. 图29.2-9
解:图如图29.2-7是钢管的三视图，其中的虚线表示钢管的内壁.
(三)巩固再现
1、P119 练习
2、一个六角螺帽的毛坯如图,底面正六边形的边长为250mm,高为 200mm,内孔直径为
200mm.请画出六角螺帽毛坯的三视图.
四、作业
教材第123页第2,3题
教学后记:
132教学内容: 三视图（三）
教学目标：
1、学会根据物体的三视图描述出几何体的基本形状或实物原型；
2、经历探索简单的几何体的三视图的还原，进一步发展空间想象能力。
教学重点,难点：根据物体的三视图描述出几何体的基本形状或实物原型
教学资源:教材,教参,多媒体课件
教学方法:引导阅读法,阅读探索法
教学过程：
（一）复习引入
前面我们讨论了由立体图形（实物）画出三视图，那么由三视图能否也想象出立体图形
（实物）呢？引导学生结合例例例的三视图想象一下构造还原过程（发展空间想象能力）
(二）新课学习
例4根据下面的三视图说出立体图形的名称.
分析:由三视图想象立体图形时，要先分别根据主视图、俯视图和左视图想象立体图形
的前面、上面和左侧面，然后再综合起来考虑整体图形，
133解:(1)从三个方向看立体图形，图象都是矩形，可以想象出:整体是长方体，如图(1)所
示;
(2)从正面、侧面看立体图形，图象都是等腰三角形;从上面看，图象是圆;可以想象出:
整体是圆锥，如图(2)所示.
例5,根据物体的三视图(如下图)描述物体的形状.
分析.由主视图可知，物体正面是正五边形，由俯
视图可知，由上向下看物体是矩形的，且有一条棱(中
间的实线)可见到。两条棱(虚线)被遮挡，由左视图知,
物体的侧面是矩形的.且有一条棱〔中间的实线)可见
到,综合各视图可知，物体是五棱柱形状的.
解:物体是五棱柱形状的，如下图所示.
（三）巩固再现
1、P121 练习
2、如图所示图形是一个多面体的三视图，请根据视图说出该多面体的具体名称。
主视图 左视图 俯视图
三、小结：
1、一个视图不能确定物体的空间形状，根据三视图要描述几何体或实物原型时，必须
将各视图对照起来看。
2、一个摆好的几何体的视图是唯一的，但从视图反过来考虑几何体时，它有多种可能
性。例如：正方体的主视图是正方形，但主视图是正方形的几何体有直三棱柱、长方体、圆
134柱等。
3、对于较复杂的物体，有三视图形象出物体的原型，应搞清三个视图之间的前后、左右、
上下的对应关系。
四、作业
教材第123页第4题
教学后记:
教学内容: 三视图（四）
教学目标
1、学会根据物体的三视图描述出几何体的基本形状或实物原型；
2、经历探索简单的几何体的三视图的还原，进一步发展空间想象能力；
3、了解将三视图转换成立体图开在生产中的作用，使学生体会到所学的知识有重要的
实用价值。
教学重点、难点
重点：根据三视图描述基本几何体和实物原型及三视图在生产中的作用
难点：根据三视图想象基本几何体和实物原型的形状
教学资源:教材,教参,多媒体课件
教学过程
（一）复习引入
1351、完成下列练习
（1）、如图所示是一个立体图形的三视图，请根据视图说出立体图形的名称_______。
（2）、一张桌子摆放若干碟子，从三个方向上看，三种视图如下图所示，则这张桌子上共
有________个碟子。
（3）、某几何体的三种视图分别如下图所示，那么这个几何体可能是（ ）。
（A）长方体 （B）圆柱 （C）圆锥 （D）球
2、让学生欣赏事先准备好的机械制图中三视图与对应立体图形的图片，借助图片信息
让学生体会到本章知识的价值。并借此可以讲述一下现在一些中专、中技甚至大学里开设
的模具和机械制图专业和课程就需要这方面的知识，激发学生的学习兴趣，导入本课。
（二）讲授新课
例6.某工厂要加工一批密封罐，设计者给出了密封罐的三视图(如下图)，请你按照三
视图确定制作每个密封罐所需钢板的面积.
136分析:对于某些立体图形，若沿其中一些线(例如棱柱的棱)剪开，可以把立体图形的表
面展开成一个平面图形——展开图.在实际的生产中.三视图和展开图往往结合在一起使
用.解决本题的思路是，由视图想象出密封罐的立体形状，再进一步画出展开图.从而计算
面积.
解:由三视图可知，密封罐的形状是正六棱柱(如图(左)).
密封罐的高为50mm，底面正六边形的直径为100mm.边长为50mm，图(右)是它的展开图.
由展开图可知，制作一个密封罐所需钢板的面积为
(三)练习巩固
1.P122 练习
2.补充根据下面三视图请说出建筑物是什么样子的?共有几层?一共需要多少个小正
方体?
137分析:由俯视图确定该建筑物在平面上的形状，由主视图、左视图确定空间的形状如图
所示.
解:该建筑物的形状如图所示:
有3层，共9个小正方体.
思考：一个物体的主视图如上右图所示, 请画出它的俯视图，耐心想一想有
几种不同的情形?
(四)作业
P124~125 8、9
教学后记: 根据物体的三视图想像物体的形状一般是由俯视图确定物体在平面上的形
状.然后再根据左视图、主视图嫁接出它在空间里的形状，从而确定物体的形状.
教学内容: 投影与视图（练习课）
教学目标
1、进一步体会投影中的平行投影、中心投影和正投影间的相互关系
1382、加深体会立体图形或实物原型与三视图的互相转化，进一步拓展学生的空间想象力
教学方法:练习法
教学过程
（一）提问导入
前面我们都学习了哪些内容？
（让学生进行2~3分钟的梳理，然后让几个学生说说看，最后老师拓展总结）
（二）看谁学得好
练习设计
1.填空题
（1）俯视图为圆的几何体是_______，______。
（2）画视图时，看得见的轮廓线通常画成_______，
看不见的部分通常画成_______。
（3）举两个左视图是三角形的物体例子：________，_______。
（4）如图所示是一个立体图形的
三视 图，请根据视图说出立体图形的
名称 _______。
（5）请将六棱柱的三视图名称填在相应的横线上.
（6）一张桌子摆放若干碟子，从三个方向上看，三种视图如下图所示，则这张桌子上共有
________个碟子。
1392.选择题
（1）圆柱对应的主视图是（ ）。
（A） （B） （C） （D）
（2）某几何体的三种视图分别如下图所示，那么这个几何体可能是（ ）。
（A）长方体 （B）圆柱 （C）圆锥 （D）球
（3）下面是空心圆柱在指定方向上的视图，正确的是…（ ）
(4)一个四棱柱的俯视图如右图所示，则这个四棱柱的主视图和左视图可能是（ ）
140（5）主视图、左视图、俯视图都是圆的几何体是（ ）。
（A）圆锥（B）圆柱 （C）球 （D）空心圆柱
3、解答题
（1）根据要求画出下列立体图形的视图。
（画左视图） （画俯视图）（画正视图）
（2）画出右方实物的三视图。
（3）如图是一个物体的三视图，请画出物体的形状。
（4）根据下面三视图建造的建筑物是什么样子的？共有几层？一共需要多少个小正方体。
作业:
练习册第40页
教学后记:
141教学内容:29.3 制作立体模型（活动课）
学习目的:
通过根据三视图制作立体模型的实践活动，体验平面图形向立体图形转化的过程，体
会用三视图表示立体图形的作用，进一步感受立体图形与平面图形之间的联系。
工具准备:
刻度尺、剪刀、小刀、胶水、硬纸板、马铃薯（或萝卜）等。
具体活动:
１、以硬纸板为主要材料，分别做出下面的两组视图所表示的立体模型。
２、按照下面给出的两组视图，用马铃薯（或萝卜）做出相应的实物模型
142３、下面的每一组平面图形都是由四个等边三角形组成的。
(1) (2) (3)
（１）指出其中哪些可以折叠成多面体。把上面的图形描在纸上，剪下来，叠一叠，验证你的
答案；
（２）画出由上面图形能折叠成的多面体的三视图，并指出三视图中是怎样体现“长对正，
高平齐，宽相等”的；
（３）如果上图中小三角形的边长为１，那么对应的多面体的体积和表面积各是多少？
四、课题拓广
三视图和展开图都是与立体图形有关的平面图形，了解有关生产实际，结合具体例子，
写一篇短文介绍三视图、展开图的应用。
教学内容：投影与三视图 复习
143教学目标：
1、通过复习系统掌握本章知识，
2、体验数学来源于实践，又作用于实践。
3、提高解决问题分析问题的能力。
4、培养空间想象能力。
教学重点：投影和三视图
教学难点：画三视图
教学资源:教材,练习册
教学方法:比较复习法,练习复习法.
教学过程：
一、以提问形式小结本章知识
1、本章知识结构框架：
2、填空：
（1）人在观察目标时，从眼睛到目标的 叫做视线。
所在的位置叫做视点，有公共的两条 所成的角叫做视角。视线不能到达的区域叫做
。
（2）物体在光线的照射下，在某个 内形成的影子叫做 ，这时光线叫做
144，投影所在的 叫做投影面。
由 的投射线所形成的投影叫做平行投影。
由 的投射线所形成的投影叫做中心投影。
（3）在平行投影中，如果投射线 垂直于投影面，那么这种投影就称为正投影。
（4）物体的三视图是物体在三个不同方向 。
上的正投影就是主视图，水平面上的正投影就是 ， 上
的正投影就是左视图。
二、例题讲解
例1、（１）在同一时刻的阳光下，小明的影子比小强的影子长，那么在同一路灯下（ ）
A、小明的影子比小强的影子长 B、小明的影子比小强的影子短
C、小明和小强的影子一样长 D、无法判断谁的影子长
分析：阳光是平行光线，出现平行投影。路灯是点光源，是中心投影，形成的影子是不
一样的
例2、如图所示图形是一个多面体的三视图，请根据视图说出该多面体的具体名称。
主视图 左视图 俯视图
分析：从俯视图上看，该立体图形是个对称图形，从主视图、左视图上看，正面和左面都
是等腰三角形，因此我们可以想象，该立体图形是正四棱锥。
例3、A、B 表示教室门口，张丽在教室内，王明、钱勇、李杰三同学在教室外，位置如图
所示，张丽能看得见三位同学吗？请说明理由。
145小
王 C
张丽
小李
A B
电线杆
王明
李杰
钱勇
例４、 如右上图，小王、小李及一根电线杆在灯光下的影子。
（１）确定光源的位置；
（２）在图中画出表示电线杆高度的线段。
分析：由条件易知，本题属于中心投影问题，根据中心投影的特点，物体与影子对应点
的连线必须经过光源，因此我们可以利用两线的交点来求光源的位置。
例５、如图，是由一些大小相同的小正方体组成的简单的几何体的主视图和俯视图。
（１）请你画出这个几何体的一种左视图；
（２）若组成这个几何体的小正方体的块
数为ｎ，请你写出ｎ的所有可能值。
分析：左视图为侧视图，由于几何体只知
主视图 俯视图
道主视图和俯视图，那么左视图就不是唯一的，
而主视图表示几何体共有三层，所以侧视图有多种可能，俯视图只看见５个小正方体，这５
个正方体可分布在１、２、３层。
三、课外作业：见课本第132页复习题29。
146教学内容: 第２９章投影与三视图 测试卷
时间 100分钟 总分：100分
姓名： 得分
一、精心选一选（每小题5分，共50分）
1．圆形的物体在太阳光的投影下是 ( )
(A)圆形． (B)椭圆形． (C)线段． (D)以上都不可能．
2．如图所示的圆台的上下底面与投影线平行，圆台的正投影是 ( )
(Ａ)矩形． (B)两条线段.
(C)等腰梯形． (D)圆环．
3．如图摆放的几何体的左视图是 ( )
4.在同一时刻的阳光下，小明的影子比小强的影子长，那么在同一路灯下 (
)
(A)小明的影子比小强的影子长．
(B)小明的影子比小强的影子短．
(C)小明的影子和小强的影子一样长．
(D)无法判断谁的影子长．
5．“圆柱与球的组合体”如图所示，则它的三视图是( )
6．下列左
边的主视图和
俯视图对应右
147边的哪个物( )
7．小明在操场上练习双杠时，在练习的过程中他发现在地上双杠的两横杠的影子
( )
(A)相交． (B)平行．
(C)垂直． (D)无法确定．
8．在一个晴朗的好天气里，小颖在向正北方向走路时，发现自己的身影向左偏，你知道
小颖当时所处的时间是( )
(A)上午． (B)中午．
(C)下午． (D)无法确定．
9.如图是一根电线杆在一天中不同时刻的影长图，试按其一天中发生的先后顺序排列，
正确的是 ( )
(A)①②③④．
(B)④①③②．
(C)④②③①．
(D)④③②①．
10．如图是“马头牌”冰激凌模型图，它的三视图是 (
)
二、耐心填一填（每小题4分，共20分）
14811．右图是基本几何体的三视图，该基本几何体为 ．
12．皮影戏中的皮影是由投影得到的 ．
13．为测量旗杆的高度我们取一米杆直立在阳光下，其长为1.5米，在同一时刻测得旗
杆的影长为10．5米.旗杆的高度是 ．
14．如图是置于水平地面上的一个球 形储油罐，
小敏想测量它的半径．在阳光下，他测得 球的影子的
最远点A到球罐与地面接触点B的距离是 10米(如示
意图，AB＝10米)；同一时刻，他又测得竖 直立在地面
上长为1米的竹竿的影子长为2米，那么，球的半径是 米．
15．圆锥底面展开后是 ,侧面展开后是 .
三、用心想一想（每小题10分，共30分）
16．画出实物图(如图，上部分是长方体，下部是空心圆柱)的三视图．
17.与一盏路灯相对，有一玻璃幕墙，幕墙前面的地面上有一盆花和一棵树。晚上，幕墙
反射路灯灯光形成了那盆花的影子(如图所示)，树影是路灯灯光形成的。请你确定此时路
灯光源 的位置．
14918.要制作一个如图所示(图中阴影部分为底与盖,且S =S )的钢盒子,在钢片的四个角上
Ⅰ Ⅱ
分别截去两个相同的正方形与两个相同的小长方形,然后折合起来既可,求有盖盒子的高
x.
150
