全册教案3_初中数学_八年级数学下册（人教版）_教案多套

16．1.1 二次根式 教案序号：1 时间： 教学内容 二次根式的概念及其运用 教学目标 理解二次根式的概念，并利用 a （a≥0）的意义解答具体题目． 提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题． 教学重难点关键 1．重点：形如 a （a≥0）的式子叫做二次根式的概念； 2．难点与关键：利用“ a （a≥0）”解决具体问题． 教学过程 一、复习引入 （学生活动）请同学们独立完成下列三个课本P2的三个思考题： 二、探索新知 4 很明显 3、 10、 ，都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平方根的 6 式子，我们就把它称二次根式．因此，一般地，我们把形如 a（a≥0）的式子叫做二次根式， “ ”称为二次根号． （学生活动）议一议： 1．-1有算术平方根吗？ 2．0的算术平方根是多少？ 3．当a<0， a 有意义吗？ 老师点评:（略） 1 例1．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式： 2 、3 3、 、 x（x>0）、 0 、 x 1 4 2 、- 2 、 、 x y （x≥0，y≥0）． x y 分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“ ”；第二，被开方数是正数或 0． 解：二次根式有： 2 、 x（x>0）、 0 、- 2 、 x y（x≥0，y≥0）；不是二次根式的 1 1 有：3 3、 、4 2 、 ． x x y 1例2．当x是多少时， 3x1在实数范围内有意义？ 分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0， 3x1才 能有意义． 1 解：由3x-1≥0，得：x≥ 3 1 当x≥ 时， 3x1在实数范围内有意义． 3 三、巩固练习 教材P5练习1、2、3． 四、应用拓展 1 例3．当x是多少时， 2x3+ 在实数范围内有意义？ x1 1 分析：要使 2x3+ 在实数范围内有意义，必须同时满足 2x3中的≥0和 x1 1 中的x+1≠0． x1 2x30 解：依题意，得 x10 3 由①得：x≥- 2 由②得：x≠-1 3 1 当x≥- 且x≠-1时， 2x3+ 在实数范围内有意义． 2 x1 x 例4(1)已知y= 2x+ x2+5，求 的值．(答案:2) y 2 (2)若 a1+ b1=0，求a2004+b2004的值．(答案: ) 5 五、归纳小结（学生活动，老师点评） 本节课要掌握： 1．形如 a （a≥0）的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号． 2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数． 六、布置作业 1．教材P5 1，2，3，4 2．选用课时作业设计． 第一课时作业设计 一、选择题 1．下列式子中，是二次根式的是（ ） 2A．- 7 B．3 7 C． x D．x 2．下列式子中，不是二次根式的是（ ） 1 A． 4 B． 16 C． 8 D． x 3．已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（ ） 1 A．5 B． 5 C． D．以上皆不对 5 二、填空题 1．形如________的式子叫做二次根式． 2．面积为a的正方形的边长为________． 3．负数________平方根． 三、综合提高题 1．某工厂要制作一批体积为1m3的产品包装盒，其高为0.2m，按设计需要，底面应做成 正方形，试问底面边长应是多少？ 2x3 2．当x是多少时， +x2在实数范围内有意义？ x 3．若 3x + x3有意义，则 x2 =_______． 4.使式子 (x5)2 有意义的未知数x有（ ）个． A．0 B．1 C．2 D．无数 5.已知a、b为实数，且 a5+2 102a =b+4，求a、b的值． 第一课时作业设计答案: 一、1．A 2．D 3．B 二、1． a （a≥0） 2． a 3．没有 三、1．设底面边长为x，则0.2x2=1，解答：x= 5．  3 2x30 x 2．依题意得： ， 2 x0  x0 3 2x3 ∴当x>- 且x≠0时， ＋x2在实数范围内没有意义． 2 x 1 3. 3 4．B 5．a=5，b=-4 3416.1.2 二次根式(2) 教案序号：2 时间： 教学内容 1． a （a≥0）是一个非负数； 2．（ a ）2=a（a≥0）． 教学目标 理解 a（a≥0）是一个非负数和（ a ）2=a（a≥0），并利用它们进行计算和化简． 通过复习二次根式的概念，用逻辑推理的方法推出 a（a≥0）是一个非负数，用具体数 据结合算术平方根的意义导出（ a ）2=a（a≥0）；最后运用结论严谨解题． 教学重难点关键 1．重点： a （a≥0）是一个非负数；（ a ）2=a（a≥0）及其运用． 2．难点、关键：用分类思想的方法导出 a（a≥0）是一个非负数；用探究的方法导出（ a ）2=a（a≥0）． 教学过程 一、复习引入 （学生活动）口答 1．什么叫二次根式？ 2．当a≥0时， a 叫什么？当a<0时， a 有意义吗？ 老师点评（略）． 二、探究新知 议一议：（学生分组讨论，提问解答） a （a≥0）是一个什么数呢？ 老师点评：根据学生讨论和上面的练习，我们可以得出 a （a≥0）是一个非负数． 做一做：根据算术平方根的意义填空： （ 4 ）2=_______；（ 2 ）2=_______；（ 9）2=______；（ 3）2=_______； 1 7 （ ）2=______；（ ）2=_______；（ 0 ）2=_______． 3 2 老师点评： 4 是4的算术平方根，根据算术平方根的意义， 4 是一个平方等于4的非 5负数，因此有（ 4 ）2=4． 1 1 7 7 同理可得：（ 2 ）2=2，（ 9）2=9，（ 3）2=3，（ ）2= ，（ ）2= ，（ 0 ）2=0，所以 3 3 2 2 （ a ）2=a（a≥0） 例1 计算 3 5 7 1．（ ）2 2．（3 5）2 3．（ ）2 4．（ ）2 2 6 2 分析：我们可以直接利用（ a ）2=a（a≥0）的结论解题． 3 3 解：（ ）2 = ，（3 5）2 =32·（ 5）2=32·5=45， 2 2 5 5 7 ( 7)2 7 （ ）2= ，（ ）2=  ． 6 6 2 22 4 三、巩固练习 计算下列各式的值： 2 9 7 （ 18）2 （ ）2 （ ）2 （ 0 ）2 （4 ）2 3 4 8 (3 5)2 (5 3)2 四、应用拓展 例2 计算 1．（ x1）2（x≥0） 2．（ a2 ）2 3．（ a2 2a1）2 4．（ 4x2 12x9）2 分析：（1）因为x≥0，所以x+1>0；（2）a2≥0；（3）a2+2a+1=（a+1）≥0； （4）4x2-12x+9=（2x）2-2·2x·3+32=（2x-3）2≥0． 所以上面的4题都可以运用（ a ）2=a（a≥0）的重要结论解题． 解：（1）因为x≥0，所以x+1>0 （ x1）2=x+1 （2）∵a2≥0，∴（ a2 ）2=a2 （3）∵a2+2a+1=（a+1）2 又∵（a+1）2≥0，∴a2+2a+1≥0 ，∴ a2 2a1=a2+2a+1 6（4）∵4x2-12x+9=（2x）2-2·2x·3+32=（2x-3）2 又∵（2x-3）2≥0 ∴4x2-12x+9≥0，∴（ 4x2 12x9）2=4x2-12x+9 例3在实数范围内分解下列因式: （1）x2-3 （2）x4-4 (3) 2x2-3 分析：(略) 五、归纳小结 本节课应掌握： 1． a （a≥0）是一个非负数； 2．（ a ）2=a（a≥0）;反之:a=（ a ）2（a≥0）． 六、布置作业 1．教材P5 5，6，7，8 2．选用课时作业设计． 第二课时作业设计 一、选择题 1．下列各式中 15、 3a 、 b2 1、 a2 b2 、3 3、 144，二次根式的个数是 （ ）． A．4 B．3 C．2 D．1 2．数a没有算术平方根，则a的取值范围是（ ）． A．a>0 B．a≥0 C．a<0 D．a=0 二、填空题 1．（- 3）2=________． 2．已知 x1有意义，那么是一个_______数． 三、综合提高题 1．计算 1 2 （1）（ 9）2 （2）-（ 3）2 （3）（ 6 ）2 （4）（-3 ）2 2 3 (5) (2 33 2)(2 33 2) 2．把下列非负数写成一个数的平方的形式: 1 （1）5 （2）3.4 （3） （4）x（x≥0） 6 3．已知 x y1+ x3=0，求xy的值． 4．在实数范围内分解下列因式: （1）x2-2 （2）x4-9 3x2-5 7第二课时作业设计答案: 一、1．B 2．C 二、1．3 2．非负数 1 1 3 三、1．（1）（ 9）2=9 （2）-（ 3）2=-3 （3）（ 6 ）2= ×6= 2 4 2 2 2 （4）（-3 ）2=9× =6 (5)-6 3 3 2．（1）5=（ 5）2 （2）3.4=（ 3.4）2 1 1 （3） =（ ）2 （4）x=（ x ）2（x≥0） 6 6 x y10 x3 3．  xy=34=81 x30 y 4 4.（1）x2-2=（x+ 2 ）（x- 2 ） （2）x4-9=（x2+3）（x2-3）=（x2+3）（x+ 3）（x- 3） (3)略 816.1 二次根式(3) 教案总序号：3 时间： 教学内容 a2 ＝a（a≥0） 教学目标 理解 a2 =a（a≥0）并利用它进行计算和化简． 通过具体数据的解答，探究 a2 =a（a≥0），并利用这个结论解决具体问题． 教学重难点关键 1．重点： a2 ＝a（a≥0）． 2．难点：探究结论． 3．关键：讲清a≥0时， a2 ＝a才成立． 教学过程 一、复习引入 老师口述并板收上两节课的重要内容； 1．形如 a （a≥0）的式子叫做二次根式； 2． a （a≥0）是一个非负数； 3．( a )2＝a（a≥0）． 那么，我们猜想当a≥0时， a2 =a是否也成立呢？下面我们就来探究这个问题． 二、探究新知 （学生活动）填空： 1 22 =_______； 0.012 =_______； ( )2 =______； 10 2 3 ( )2 =________； 02 =________； ( )2 =_______． 3 7 （老师点评）：根据算术平方根的意义，我们可以得到： 1 1 2 2 3 3 22 =2； 0.012 =0.01； ( )2 = ； ( )2 = ； 02 =0； ( )2 = ． 10 10 3 3 7 7 因此，一般地： a2 =a（a≥0） 例1 化简 （1） 9 （2） (4)2 （3） 25 （4） (3)2 9分析：因为（1）9=-32，（2）（-4）2=42，（3）25=52， （4）（-3）2=32，所以都可运用 a2 =a（a≥0）去化简． 解：（1） 9= 32 =3 （2） (4)2 = 42 =4 （3） 25 = 52 =5 （4） (3)2 = 32 =3 三、巩固练习 教材P 练习2． 7 四、应用拓展 例2 填空：当a≥0时， a2 =_____；当a<0时， a2 =_______，并根据这一性质回答 下列问题． （1）若 a2 =a，则a可以是什么数？ （2）若 a2 =-a，则a可以是什么数？ （3） a2 >a，则a可以是什么数？ 分析：∵ a2 =a（a≥0），∴要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应变 形，使“（ ）2”中的数是正数，因为，当a≤0时， a2 = (a)2 ，那么-a≥0． （1）根据结论求条件；（2）根据第二个填空的分析，逆向思想；（3）根据（1）、（2）可知 a2 =│a│，而│a│要大于a，只有什么时候才能保证呢？a<0． 解：（1）因为 a2 =a，所以a≥0； （2）因为 a2 =-a，所以a≤0； （3）因为当a≥0时 a2 =a，要使 a2 >a，即使a>a所以a不存在；当a<0时， a2 =-a， 要使 a2 >a，即使-a>a，a<0综上，a<0 例3当x>2，化简 (x2)2 - (12x)2 ． 分析：(略) 五、归纳小结 本节课应掌握： a2 =a（a≥0）及其运用，同时理解当a<0时， a2 ＝－a的应用拓展． 六、布置作业 1．教材P 习题16．1 3、4、6、8． 5 2．选作课时作业设计． 第三课时作业设计 10一、选择题 1 1 1． (2 )2  (2 )2 的值是（ ）． 3 3 2 2 A．0 B． C．4 D．以上都不对 3 3 2．a≥0时， a2 、 (a)2 、- a2 ，比较它们的结果，下面四个选项中正确的是（ ）． A． a2 = (a)2 ≥- a2 B． a2 > (a)2 >- a2 C． a2 < (a)2 <- a2 D．- a2 > a2 = (a)2 二、填空题 1．- 0.0004 =________． 2．若 20m 是一个正整数，则正整数m的最小值是________． 三、综合提高题 1．先化简再求值：当a=9时，求a+ 12aa2 的值，甲乙两人的解答如下： 甲的解答为：原式=a+ (1a)2 =a+（1-a）=1； 乙的解答为：原式=a+ (1a)2 =a+（a-1）=2a-1=17． 两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________． 2．若│1995-a│+ a2000 =a，求a-19952的值． （提示：先由a-2000≥0，判断1995-a的值是正数还是负数，去掉绝对值） 3. 若-3≤x≤2时，试化简│x-2│+ (x3)2 + x2 10x25。 答案: 一、1．C 2．A 二、1．-0．02 2．5 三、1．甲 甲没有先判定1-a是正数还是负数 2．由已知得a-2 000≥0，a ≥2000 所以a-1995+ a2000 =a， a2000 =1995，a-2000=19952， 所以a-19952=2000． 3. 10-x 1116．2 二次根式的乘除 教案总序号：4 时间： 教学内容 a · b ＝ ab （a≥0，b≥0），反之 ab = a · b （a≥0，b≥0）及其运用． 教学目标 理解 a · b ＝ ab（a≥0，b≥0）， ab = a · b（a≥0，b≥0），并利用它们进行计 算和化简 由具体数据，发现规律，导出 a · b ＝ ab（a≥0，b≥0）并运用它进行计算；利用逆 向思维，得出 ab = a · b （a≥0，b≥0）并运用它进行解题和化简． 教学重难点关键 重点： a · b ＝ ab（a≥0，b≥0）， ab = a · b（a≥0，b≥0）及它们的运用． 难点：发现规律，导出 a · b ＝ ab （a≥0，b≥0）． 关键：要讲清 ab （a<0,b<0）= a b ，如 (2)(3)= (2)(3)或 (2)(3)= 23= 2 × 3． 教学过程 一、复习引入 （学生活动）请同学们完成下列各题． 1．填空 （1） 4 × 9=_______， 49 =______； （2） 16× 25 =_______， 1625 =________． （3） 100× 36=________， 10036=_______． 参考上面的结果，用“>、<或＝”填空． 4 × 9_____ 49 ， 16× 25 _____ 1625 ， 100× 36________ 10036 2．利用计算器计算填空 （1） 2 × 3______ 6 ，（2） 2 × 5______ 10， （3） 5× 6 ______ 30，（4） 4 × 5______ 20 ， （5） 7 × 10______ 70 ． 老师点评（纠正学生练习中的错误） 12二、探索新知 （学生活动）让3、4个同学上台总结规律． 老师点评：（1）被开方数都是正数； （2）两个二次根式的乘除等于一个二次根式，并且把这两个二次根式中的数相乘，作为 等号另一边二次根式中的被开方数． 一般地，对二次根式的乘法规定为 a · b ＝ ab ．（a≥0，b≥0） 反过来: ab = a · b （a≥0，b≥0） 例1．计算 1 1 （1） 5× 7 （2） × 9 （3） 9× 27 （4） × 6 3 2 分析：直接利用 a · b ＝ ab （a≥0，b≥0）计算即可． 解：（1） 5× 7 = 35 1 1 （2） × 9= 9 = 3 3 3 （3） 9× 27 = 927  923=9 3 1 1 （4） × 6 = 6 = 3 2 2 例2 化简 （1） 916 （2） 1681 （3） 81100 （4） 9x2y2 （5） 54 分析：利用 ab = a · b （a≥0，b≥0）直接化简即可． 解：（1） 916= 9× 16=3×4=12 （2） 1681= 16× 81=4×9=36 （3） 81100= 81× 100=9×10=90 （4） 9x2y2 = 32 × x2y2 = 32 × x2 × y2 =3xy （5） 54= 96 = 32 × 6 =3 6 三、巩固练习 13（1）计算（学生练习，老师点评） 1 ① 16× 8 ②3 6 ×2 10 ③ 5a · ay 5 (2) 化简: 20 ; 18; 24 ; 54; 12a2b2 教材P 练习全部 11 四、应用拓展 例3．判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正： （1） (4)(9)  4 9 12 12 12 （2） 4 × 25 =4× × 25 =4 × 25 =4 12=8 3 25 25 25 解：（1）不正确． 改正： (4)(9) = 49 ＝ 4 × 9=2×3=6 （2）不正确． 12 112 112 改正： 4 × 25 = × 25 = 25 = 112= 167 ＝4 7 25 25 25 五、归纳小结 本节课应掌握：（1） a · b ＝ ab =（a≥0，b≥0）， ab = a · b（a≥0，b≥0）及其 运用． 六、布置作业 1．课本P 1，4，5，6．（1）（2）． 11 2．选用课时作业设计． 第一课时作业设计 一、选择题 1 1．化简a  的结果是（ ）． a A． a B． a C．- a D．- a 2．等式 x1 x1 x2 1成立的条件是（ ） A．x≥1 B．x≥-1 C．-1≤x≤1 D．x≥1或x≤-1 3．下列各等式成立的是（ ）． A．4 5×2 5=8 5 B．5 3×4 2 =20 5 C．4 3×3 2 =7 5 D．5 3×4 2 =20 6 二、填空题 141． 1014=_______． 1 2．自由落体的公式为S= gt2（g为重力加速度，它的值为10m/s2），若物体下落的高度 2 为720m，则下落的时间是_________． 三、综合提高题 1．一个底面为30cm×30cm长方体玻璃容器中装满水，现将一部分水例入一个底面为正 方形、高为10cm铁桶中，当铁桶装满水时，容器中的水面下降了20cm，铁桶的底面边长是多 少厘米？ 2．探究过程：观察下列各式及其验证过程． 2 2 （1）2 = 2 3 3 2 2 222 23 (23 2)2 验证：2 = 22 × = =  3 3 3 3 3 23 2 2 2(22 1) 2 2 =    = 2 22 1 22 1 22 1 22 1 3 3 3 （2）3 = 3 8 8 3 3 33 33 33 验证：3 = 32 × = = 8 8 8 32 1 3(32 1)3 3(32 1) 3 3 =   = 3 32 1 32 1 32 1 8 4 4 同理可得：4  4 15 15 5 5 5  5 ，…… 24 24 a 通过上述探究你能猜测出： a =_______（a>0）,并验证你的结论． a2 1 答案: 一、1．B 2．C 3.A 4.D 二、1．13 6 2．12s 三、1．设：底面正方形铁桶的底面边长为x， 则x2×10=30×30×20，x2=30×30×2， 15x= 3030× 2 =30 2 ． a a 2． a = a a2 1 a2 1 a a a3 验证：a = a2  a2 1 a2 1 a2 1 a3 aa a3 a a a(a2 1) a a =   =  = a . a2 1 a2 1 a2 1 a2 1 a2 1 a2 1 1616．2 二次根式的乘除(2) 教案总序号：5 时间： 教学内容 a a a a = （a≥0，b>0），反过来 = （a≥0，b>0）及利用它们进行计算和化简． b b b b 教学目标 a a a a 理解 = （a≥0，b>0）和 = （a≥0，b>0）及利用它们进行运算． b b b b 利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆向 等式及利用它们进行计算和化简． 教学重难点关键 a a a a 1．重点：理解 = （a≥0，b>0）， = （a≥0，b>0）及利用它们进行计算和化 b b b b 简． 2．难点关键：发现规律，归纳出二次根式的除法规定． 教学过程 一、复习引入 （学生活动）请同学们完成下列各题： 1．写出二次根式的乘法规定及逆向等式． 2．填空 9 9 （1） =________， =_________； 16 16 16 16 （2） =________， =________； 36 36 4 4 （3） =________， =_________； 16 16 36 36 （4） =________， =________． 81 81 9 9 16 16 4 4 规律： ______ ； ______ ； _______ ； 16 16 36 36 16 16 36 36 _______ ． 81 81 3．利用计算器计算填空: 173 2 2 7 （1） =_________，（2） =_________，（3） =______，（4） =________． 4 3 5 8 3 3 2 2 2 2 7 7 规律： ______ ； _______ ； _____ ； _____ 。 4 4 3 3 5 5 8 8 每组推荐一名学生上台阐述运算结果． （老师点评） 二、探索新知 刚才同学们都练习都很好，上台的同学也回答得十分准确，根据大家的练习和回答，我 们可以得到： 一般地，对二次根式的除法规定： a a = （a≥0，b>0）， b b a a 反过来， = （a≥0，b>0） b b 下面我们利用这个规定来计算和化简一些题目． 12 3 1 1 1 64 例1．计算：（1） （2）  （3）  （4） 3 2 8 4 16 8 a a 分析：上面4小题利用 = （a≥0，b>0）便可直接得出答案． b b 12 12 解：（1） = = 4 =2 3 3 3 1 3 1 3 （2）  =   8  34= 3×=2 3 2 8 2 8 2 1 1 1 1 1 （3）  =   16 = 4 =2 4 16 4 16 4 64 64 （4） = = 8=2 2 8 8 例2．化简： 3 64b2 9x 5x （1） （2） （3） （4） 64 9a2 64y2 169y2 a a 分析：直接利用 = （a≥0，b>0）就可以达到化简之目的． b b 183 3 3 解：（1） =  64 64 8 64b2 64b2 8b （2） =  9a2 9a2 3a 9x 9x 3 x （3） =  64y2 64y2 8y 5x 5x 5x （4） =  169y2 169y2 13y 三、巩固练习 教材P14 练习1． 四、应用拓展 9x 9x x2 5x4 例3．已知  ，且x为偶数，求（1+x） 的值． x6 x6 x2 1 a a 分析：式子 = ，只有a≥0，b>0时才能成立． b b 因此得到9-x≥0且x-6>0，即60）和 = （a≥0，b>0）及其运用． b b b b 六、布置作业 1．习题16．2 2、7、8、9． 192．选用课时作业设计． 第二课时作业设计 一、选择题 1 1 2 1．计算 1  2  1 的结果是（ ）． 3 3 5 2 2 2 A． 5 B． C． 2 D． 7 7 7 2．阅读下列运算过程： 1 3 3 2 2 5 2 5   ，   3 3 3 3 5 5 5 5 2 数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”，那么，化简 的结果是 6 （ ）． 1 A．2 B．6 C． 6 D． 6 3 二、填空题 1 1 10 1．分母有理化:(1) =_________;(2) =________;(3) =______. 3 2 12 2 5 2．已知x=3，y=4，z=5，那么 yz  xy 的最后结果是_______． 三、综合提高题 1．有一种房梁的截面积是一个矩形，且矩形的长与宽之比为 3：1，现用直径为3 15 cm的一种圆木做原料加工这种房梁，那么加工后的房染的最大截面积是多少？ 2．计算 n n 1 n3 n （1） ·（- ）÷ （m>0，n>0） m 2m3 m m3 2m3 3m2 3n2 3 mn a2 （2）-3 ÷（ ）× （a>0） 2a2 2 a2 mn 答案: 一、1．A 2．C 3 3 10 2 5 2 15 二、1．(1) ;(2) ;(3)   2． 6 6 2 5 2 5 2 3 三、1．设：矩形房梁的宽为x（cm），则长为 3xcm，依题意， 20得：（ 3x）2+x2=（3 15）2， 3 4x2=9×15，x= 15（cm）， 2 135 3x·x= 3x2= 3（cm2）． 4 n n4 n n n4 2m3 2．（1）原式＝- ÷ =-  m2 2m5 2m3 m2 2m5 n n n3 n n n2 =-    n =- n m2 m2 m2 m m3 3(mn)(mn) a2 a2 3a2 （2）原式=-2   =-2 =- 6 a 2a2 mn mn 2 2116.2 二次根式的乘除(3) 教案总序号：6 时间： 教学内容 最简二次根式的概念及利用最简二次根式的概念进行二次根式的化简运算． 教学目标 理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式． 通过计算或化简的结果来提炼出最简二次根式的概念，并根据它的特点来检验最后结 果是否满足最简二次根式的要求． 重难点关键 1．重点：最简二次根式的运用． 2．难点关键：会判断这个二次根式是否是最简二次根式． 教学过程 一、复习引入 （学生活动）请同学们完成下列各题（请三位同学上台板书） 3 3 2 8 1．计算（1） ，（2） ，（3） 5 27 2a 3 15 3 2 6 8 2 a 老师点评： = ， = ， = 5 5 27 3 2a a 2．现在我们来看本章引言中的问题：如果两个电视塔的高分别是hkm，hkm，那么它们 1 2 的传播半径的比是_________． 2Rh 1 它们的比是 ． 2Rh 2 二、探索新知 观察上面计算题1的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式有如下两个特点： 1．被开方数不含分母； 2．被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． 那么上题中的比是否是最简二次根式呢？如果不是，把它们化成最简二次根式． 学生分组讨论，推荐3～4个人到黑板上板书． 老师点评：不是． 2Rh 2Rh h hh 1 = 1  1  1 2 . 2Rh 2Rh h h 2 2 2 2 5 例1．(1) 3 ; (2) x2y4 x4y2 ; (3) 8x2y3 12 例2．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2.5cm，BC=6cm，求AB的长． 22A B C 解：因为AB2=AC2+BC2 5 169 169 13 所以AB= 2.52 62 = ( )2 36    =6.5（cm） 2 4 4 2 因此AB的长为6.5cm． 三、巩固练习 练习2、3 四、应用拓展 例3．观察下列各式，通过分母有理数，把不是最简二次根式的化成最简二次根式： 1 1( 21) 21 =  = 2 -1， 21 ( 21)( 21) 21 1 1( 3 2) 3 2 =  = 3- 2 ， 3 2 ( 3 2)( 3 2) 32 1 同理可得： = 4 - 3，…… 4 3 从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算 1 1 1 1 （ + + +…… ）（ 2002 +1）的值． 21 3 2 4 3 2002 2001 分析：由题意可知，本题所给的是一组分母有理化的式子，因此，分母有理化后就可以达 到化简的目的． 解：原式=（ 2 -1+ 3- 2 + 4 - 3+……+ 2002 - 2001）×（ 2002 +1） =（ 2002 -1）（ 2002 +1） =2002-1=2001 五、归纳小结 本节课应掌握：最简二次根式的概念及其运用． 六、布置作业 1．习题16．2 3、7、10． 2．选用课时作业设计． 23第三课时作业设计 一、选择题 x 1．如果 （y>0）是二次根式，那么，化为最简二次根式是（ ）． y x xy A． （y>0） B． xy （y>0） C． （y>0） D．以上都不对 y y 1 2．把（a-1）  中根号外的（a-1）移入根号内得（ ）． a1 A． a1 B． 1a C．- a1 D．- 1a 3．在下列各式中，化简正确的是（ ） 5 1 1 A． =3 15 B． =± 2 3 2 2 C． a4b=a2 b D． x3 x2 =x x1 3 2 4．化简 的结果是（ ） 27 2 2 6 A．- B．- C．- D．- 2 3 3 3 二、填空题 1．化简 x4 x2y2 =_________．（x≥0） a1 2．a  化简二次根式号后的结果是_________． a2 三、综合提高题 1 1．已知a为实数，化简： a3 -a  ，阅读下面的解答过程，请判断是否正确？若不 a 正确，请写出正确的解答过程： 1 1 解： a3 -a  =a a -a· a =（a-1） a a a x2 4 4x2 1 2．若x、y为实数，且y= ，求 x y x y 的值． x2 答案: 一、1．C 2．D 3.C 4.C 24二、1．x x2  y2 2．- a1 三、1．不正确，正确解答： a3 0  因为 1 ，所以a<0，  0   a a a 原式＝ aa2 -a·  = a · a2 -a· =-a a + a =(1-a) a a2 a2 x2 40 1 2．∵ ∴x-4=0，∴x=±2，但∵x+2≠0，∴x=2，y= 4x2 0 4 1 63 ∴ x y x y  x2  y2  4  . 16 4 2516.3 二次根式的加减(1) 教案总序号：7 时间： 教学内容 二次根式的加减 教学目标 理解和掌握二次根式加减的方法． 先提出问题，分析问题，在分析问题中，渗透对二次根式进行加减的方法的理解．再总结 经验，用它来指导根式的计算和化简． 重难点关键 1．重点：二次根式化简为最简根式． 2．难点关键：会判定是否是最简二次根式． 教学过程 一、复习引入 学生活动：计算下列各式． （1）2x+3x； （2）2x2-3x2+5x2； （3）x+2x+3y； （4）3a2-2a2+a3 教师点评：上面题目的结果，实际上是我们以前所学的同类项合并．同类项合并就是字 母不变，系数相加减． 二、探索新知 学生活动：计算下列各式． （1）2 2 +3 2 （2）2 8-3 8+5 8 （3） 7 +2 7 +3 97 （4）3 3-2 3+ 2 老师点评： （1）如果我们把 2 当成x，不就转化为上面的问题吗？ 2 2 +3 2 =（2+3） 2 =5 2 （2）把 8当成y； 2 8-3 8+5 8=（2-3+5） 8=4 8=8 2 （3）把 7 当成z； 7 +2 7 + 9 7 =2 7 +2 7 +3 7 =（1+2+3） 7 =6 7 （4） 3看为x， 2 看为y． 3 3-2 3+ 2 =（3-2） 3+ 2 26= 3+ 2 因此，二次根式的被开方数相同是可以合并的，如2 2 与 8表面上看是不相同的，但 它们可以合并吗？可以的． （板书）3 2 + 8=3 2 +2 2 =5 2 3 3+ 27 =3 3+3 3=6 3 所以，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二 次根式进行合并． 例1．计算 （1） 8+ 18 （2） 16x + 64x 分析：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最简二次 根式进行合并． 解：（1） 8+ 18=2 2 +3 2 =（2+3） 2 =5 2 （2） 16x + 64x =4 x +8 x =（4+8） x =12 x 例2．计算 1 （1）3 48 -9 +3 12 3 （2）（ 48 + 20 ）+（ 12- 5） 1 解：（1）3 48 -9 +3 12=12 3-3 3+6 3=（12-3+6） 3=15 3 3 （2）（ 48 + 20 ）+（ 12- 5）= 48 + 20 + 12- 5 =4 3+2 5+2 3- 5=6 3+ 5 三、巩固练习 教材P 练习1、2． 19 四、应用拓展 2 x 1 y 例3．已知4x2+y2-4x-6y+10=0，求（ x 9x +y2 ）-（x2 -5x ）的值． 3 y3 x x 分析：本题首先将已知等式进行变形，把它配成完全平方式，得（2x-1）2+（y-3）2=0，即x= 1 ，y=3．其次，根据二次根式的加减运算，先把各项化成最简二次根式，再合并同类二次根 2 式，最后代入求值． 解：∵4x2+y2-4x-6y+10=0 27∵4x2-4x+1+y2-6y+9=0 ∴（2x-1）2+（y-3）2=0 1 ∴x= ，y=3 2 2 x 1 y 原式= x 9x +y2 -x2 +5x 3 y3 x x =2x x + xy -x x +5 xy =x x +6 xy 1 当x= ，y=3时， 2 1 1 3 2 原式= × +6 = +3 6 2 2 2 4 五、归纳小结 本节课应掌握：（1）不是最简二次根式的，应化成最简二次根式；（2）相同的最简二次根 式进行合并． 六、布置作业 1．习题16．3 1、2、3、5． 2．选作课时作业设计． 第一课时作业设计 一、选择题 2 1．以下二次根式：① 12；② 22 ；③ ；④ 27 中，与 3是同类二次根式的是 3 （ ）． A．①和② B．②和③ C．①和④ D．③和④ 1 24 2．下列各式：①3 3+3=6 3；② 7 =1；③ 2 + 6 = 8=2 2 ；④ =2 2 ， 7 3 其中错误的有（ ）． A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 二、填空题 1 2 2 1 1．在 8、 75a 、 9a、 125、 3a3 、3 0.2 、-2 中，与 3a 是同类二次 3 3 a 8 根式的有________． 2．计算二次根式5 a -3 b -7 a +9 b 的最后结果是________． 三、综合提高题 284 1 4 1．已知 5≈2.236，求（ 80- 1 ）-（ 3 + 45）的值．（结果精确到0.01） 5 5 5 2．先化简，再求值． y 3 x 3 （6x + xy3 ）-（4x + 36xy ），其中x= ，y=27． x y y 2 答案: 一、1．C 2．A 1 2 二、1． 75a 3a3 2．6 b -2 a 3 a 3 4 12 1 1 三、1．原式=4 5- 5- 5- 5= 5≈ ×2.236≈0.45 5 5 5 5 5 2．原式=6 xy +3 xy -（4 xy +6 xy ）=（6+3-4-6） xy =- xy ， 3 3 9 当x= ，y=27时，原式=- 27=- 2 2 2 2 2916.3 二次根式的加减(2) 教案总序号：8 时间： 教学内容 利用二次根式化简的数学思想解应用题． 教学目标 运用二次根式、化简解应用题． 通过复习，将二次根式化成被开方数相同的最简二次根式，进行合并后解应用题． 重难点关键 讲清如何解答应用题既是本节课的重点，又是本节课的难点、关键点． 教学过程 一、复习引入 上节课，我们已经讲了二次根式如何加减的问题，我们把它归为两个步骤：第一步，先将 二次根式化成最简二次根式；第二步，再将被开方数相同的二次根式进行合并，下面我们讲 三道例题以做巩固． 二、探索新知 例1．如图所示的Rt△ABC中，∠B=90°，点P从点B开始沿BA边以1厘米/秒的速度向 点A移动；同时，点Q也从点B开始沿BC边以2厘米/秒的速度向点C移动．问：几秒后 △PBQ的面积为35平方厘米？（结果用最简二次根式表示） C Q A P B 分析：设x秒后△PBQ的面积为35平方厘米，那么PB=x，BQ=2x，根据三角形面积公式 就可以求出x的值． 解：设x 后△PBQ的面积为35平方厘米． 则有PB=x，BQ=2x 1 依题意，得： x·2x=35 2 x2=35 x= 35 所以 35秒后△PBQ的面积为35平方厘米． 答： 35秒后△PBQ的面积为35平方厘米． 例2．要焊接如图所示的钢架，大约需要多少米钢材（精确到0.1m）？ 分析：此框架是由AB、BC、BD、AC组成，所以要求钢架的钢材，只需知道这四段的长度． 30解：由勾股定理，得 AB= AD2 BD2  42 22  20 =2 5 BC= BD2 CD2  22 12 = 5 所需钢材长度为 AB+BC+AC+BD =2 5+ 5+5+2 =3 5+7 ≈3×2.24+7≈13.7（m） 答：要焊接一个如图所示的钢架，大约需要13.7m的钢材． 三、巩固练习 教材练习3 四、应用拓展 例3．若最简根式3ab4a3b 与根式 2ab2 b36b2 是同类二次根式，求a、b的值． （同类二次根式就是被开方数相同的最简二次根式） 分析：同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同；事实上，根 式 2ab2 b36b2 不是最简二次根式，因此把 2ab2 b36b2 化简成|b|· 2ab6， 才由同类二次根式的定义得3a-b =2，2a-b+6=4a+3b． 解：首先把根式 2ab2 b36b2 化为最简二次根式： 2ab2 b36b2 = b2(2a16)=|b|· 2ab6 4a3b2ab6 由题意得 3ab2 2a4b6 ∴ 3ab2 ∴a=1，b=1 五、归纳小结 本节课应掌握运用最简二次根式的合并原理解决实际问题． 六、布置作业 1．习题16．3 7． 312．选用课时作业设计． 作业设计 一、选择题 1．已知直角三角形的两条直角边的长分别为5和5，那么斜边的长应为（ ）．（结果用 最简二次根式） A．5 2 B． 50 C．2 5 D．以上都不对 2．小明想自己钉一个长与宽分别为30cm和20cm的长方形的木框，为了增加其稳定性， 他沿长方形的对角线又钉上了一根木条，木条的长应为（ ）米．（结果同最简二次根式表示） A．13 100 B． 1300 C．10 13 D．5 13 二、填空题 1．某地有一长方形鱼塘，已知鱼塘的长是宽的2倍，它的面积是1600m2，鱼塘的宽是 _______m．（结果用最简二次根式） 2．已知等腰直角三角形的直角边的边长为 2 ，那么这个等腰直角三角形的周长是 ________．（结果用最简二次根式） 三、综合提高题 2 1．若最简二次根式 3m2 2与n214m2 10 是同类二次根式，求m、n的值． 3 2．同学们，我们以前学过完全平方公式a2±2ab+b2=（a±b）2，你一定熟练掌握了吧!现在， 我们又学习了二次根式，那么所有的正数（包括0）都可以看作是一个数的平方，如3=（ 3） 2，5=（ 5）2，你知道是谁的二次根式呢？下面我们观察： （ 2 -1）2=（ 2 ）2-2·1· 2 +12=2-2 2 +1=3-2 2 反之，3-2 2 =2-2 2 +1=（ 2 -1）2 ∴3-2 2 =（ 2 -1）2 ∴ 32 2 = 2 -1 求：（1） 32 2 ； （2） 42 3 ； （3）你会算 4 12 吗？ （4）若 a2 b = m n ，则m、n与a、b的关系是什么？并说明理由． 32答案:一、1．A 2．C 二、1．20 2 2．2+2 2 3m2 24m2 10 m2 8  m2 2 三、1．依题意，得 ， ， n2 12 n2 3 n 3  m2 2  m2 2  m2 2  m2 2 所以 或 或 或 n 3 n 3 n 3 n 3 2．（1） 32 2 = ( 21)2 = 2 +1 （2） 42 3 = ( 31)2 = 3+1 （3） 4 12 = 42 3  ( 31)2 = 3-1 mna （4） 理由：两边平方得a±2 b =m+n±2 mn mnb a mn 所以 bmn 3316.3 二次根式的加减(3) 教案总序号：9 时间： 教学内容 含有二次根式的单项式与单项式相乘、相除；多项式与单项式相乘、相除；多项式与多项 式相乘、相除；乘法公式的应用． 教学目标 含有二次根式的式子进行乘除运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应用． 复习整式运算知识并将该知识运用于含有二次根式的式子的乘除、乘方等运算． 重难点关键 重点：二次根式的乘除、乘方等运算规律； 难点关键：由整式运算知识迁移到含二次根式的运算． 教学过程 一、复习引入 学生活动：请同学们完成下列各题: 1．计算 （1）（2x+y）·zx （2）（2x2y+3xy2）÷xy 2．计算 （1）（2x+3y）（2x-3y） （2）（2x+1）2+（2x-1）2 老师点评：这些内容是对八年级上册整式运算的再现．它主要有（1）单项式×单项式； （2）单项式×多项式；（3）多项式÷单项式；（4）完全平方公式；（5）平方差公式的运用． 二、探索新知 如果把上面的x、y、z改写成二次根式呢？以上的运算规律是否仍成立呢？仍成立． 整式运算中的x、y、z是一种字母，它的意义十分广泛，可以代表所有一切，当然也可以 代表二次根式，所以，整式中的运算规律也适用于二次根式． 例1．计算: （1）（ 6 + 8）× 3 （2）（4 6 -3 2 ）÷2 2 分析：刚才已经分析，二次根式仍然满足整式的运算规律，所以直接可用整式的运算规 律． 解：（1）（ 6 + 8）× 3= 6 × 3+ 8× 3 = 18+ 24 =3 2 +2 6 解：（4 6 -3 2 ）÷2 2 =4 6 ÷2 2 -3 2 ÷2 2 3 =2 3- 2 例2．计算 （1）（ 5+6）（3- 5） （2）（ 10+ 7 ）（ 10- 7 ） 分析：刚才已经分析，二次根式的多项式乘以多项式运算在乘法公式运算中仍然成立． 解：（1）（ 5+6）（3- 5） 34=3 5-（ 5）2+18-6 5 =13-3 5 （2）（ 10+ 7 ）（ 10- 7 ）=（ 10）2-（ 7 ）2 =10-7=3 三、巩固练习 课本练习1、2． 四、应用拓展 xb xa 例3．已知 =2- ，其中a、b是实数，且a+b≠0， a b x1 x x1 x 化简 + ，并求值． x1 x x1 x 分析：由于（ x1+ x ）（ x1- x ）=1，因此对代数式的化简，可先将分母有理化， 再通过解含有字母系数的一元一次方程得到x的值，代入化简得结果即可． ( x1 x)2 ( x1 x)2 解：原式= + ( x1 x)( x1 x) ( x1 x)( x1 x) ( x1 x)2 ( x1 x)2 = + (x1)x (x1)x =（x+1）+x-2 x(x1) +x+2 x(x1) =4x+2 xb xa ∵ =2- a b ∴b（x-b）=2ab-a（x-a） ∴bx-b2=2ab-ax+a2 ∴（a+b）x=a2+2ab+b2 ∴（a+b）x=（a+b）2 ∵a+b≠0 ∴x=a+b ∴原式=4x+2=4（a+b）+2 五、归纳小结 本节课应掌握二次根式的乘、除、乘方等运算． 六、布置作业 1．习题16．3 1、8、9． 2．选用课时作业设计． 35作业设计 一、选择题 2 1．（ 24 -3 15+2 2 ）× 2 的值是（ ）． 3 20 2 A． 3-3 30 B．3 30- 3 3 3 2 20 C．2 30- 3 D． 3- 30 3 3 2．计算（ x + x1）（ x - x1）的值是（ ）． A．2 B．3 C．4 D．1 二、填空题 1 3 1．（- + ）2的计算结果（用最简根式表示）是________． 2 2 2．（1-2 3）（1+2 3）-（2 3-1）2的计算结果（用最简二次根式表示）是_______． 3．若x= 2 -1，则x2+2x+1=________． 4．已知a=3+2 2 ，b=3-2 2 ，则a2b-ab2=_________． 三、综合提高题 5 7 1．化简 10 14 15 21 1 x1 x2 x x1 x2 x 2．当x= 时，求 + 的值．（结果用最简二次根式表 21 x1 x2x x1 x2x 示） 课外知识 1．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，它们的被开方数相同，这些二次 根式就称为同类二次根式，就是本书中所讲的被开方数相同的二次根式． 练习：下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（ ）． 8 9 A． 2x 与 2y B． a3b4 与 a5b8 9 2 C． mn 与 n D． mn与 mn 2．互为有理化因式：互为有理化因式是指两个二次根式的乘积可以运用平方差公式 （a+b）（a-b）=a2-b2，同时它们的积是有理数，不含有二次根式：如x+1- 与x+1+ x2 2x 36就是互为有理化因式； 与 1 也是互为有理化因式． x2 2x x x 练习： 2 + 3的有理化因式是________； x- y 的有理化因式是_________． - x1- x1的有理化因式是_______． 3．分母有理化是指把分母中的根号化去，通常在分子、分母上同乘以一个二次根式，达 到化去分母中的根号的目的． 练习：把下列各式的分母有理化 1 1 2 3 34 2 （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 51 12 3 6 2 3 34 2 n n 4．其它材料：如果n是任意正整数，那么 n =n n2 1 n2 1 n n3 nn n3 n 理由： n =  =n n2 1 n2 1 n2 1 n2 1 2 3 4 练习：填空 2 =_______； 3 =________； 4 =_______． 3 8 15 答案: 一、1．A 2．D 3 二、1．1- 2．4 3-24 3．2 4．4 2 2 5 7 三、1．原式＝ 2 5 2 7  3 5 3 7 5 7 1 = = 2( 5 7) 3( 5 7) 2 3 =-（ 2 - 3）= 3- 2 (x1 x2 x)2 (x1 x2 x)2 2．原式＝ (x1)2 ( x2 x)2 2(x1)2 (x2 x)2 2(x1)(x1x) = = = 2（2x+1） x1 x1 371 ∵x= = 2 +1 原式＝2（2 2 +3）=4 2 +6. 21 3817．1 勾股定理（一） 教案总序号：10 时间： 一、教学目的 1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。 2．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。 3．介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。 二、重点、难点 1．重点：勾股定理的内容及证明。 2．难点：勾股定理的证明。 三、例题的意图分析 例1（补充）通过对定理的证明，让学生确信定理的正确性；通过拼图，发散学生的思维， 锻炼学生的动手实践能力；这个古老的精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手。激发学 生的民族自豪感，和爱国情怀。 例2使学生明确，图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变。进一步让 学生确信勾股定理的正确性。 四、课堂引入 目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了许多信号， 如地球上人类的语言、音乐、各种图形等。我国数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定理 的图形，如果宇宙人是“文明人”，那么他们一定会识别这种语言的。这个事实可以说明勾 股定理的重大意义。尤其是在两千年前，是非常了不起的成就。 让学生画一个直角边为3cm和4cm的直角△ABC，用刻度尺量出AB的长。 以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺 折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。”这句话意思是说一个直角 三角形较短直角边（勾）的长是3，长的直角边（股）的长是4，那么斜边（弦）的长是5。 再画一个两直角边为5和12的直角△ABC，用刻度尺量AB的长。 你是否发现32+42与52的关系，52+122和132的关系，即32+42=52，52+122=132，那么就有勾 2+股2=弦2。 对于任意的直角三角形也有这个性质吗？ D C 五、例习题分析 例1（补充）已知：在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C 的对边为a、b、c。 求证：a2＋b2=c2。 分析：⑴让学生准备多个三角形模型，最好是有颜色的吹塑 a b 纸，让学生拼摆不同的形状，利用面积相等进行证明。 ⑵拼成如图所示，其等量关系为：4S +S =S A c B △ 小正 大正 1 4× ab＋（b－a）2=c2，化简可证。 2 ⑶发挥学生的想象能力拼出不同的图形，进行证明。 ⑷ 勾股定理的证明方法，达300余种。这个古老的精彩的证法，出自我国古代无名数学家之 手。激发学生的民族自豪感，和爱国情怀。 例 2 已知：在△ABC 中， b a a b ∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边 为a、b、c。 a c a a 求证：a2＋b2=c2。 c b c c b 39 c b c b a a b a b分析：左右两边的正方形边长相等，则两个正方形的面积相等。 1 左边S=4× ab＋c2 2 右边S=（a+b）2 左边和右边面积相等，即 1 4× ab＋c2=（a+b）2 2 化简可证。 六、课堂练习 1．勾股定理的具体内容是： 。 2．如图，直角△ABC的主要性质是：∠C=90°，（用几何语言表示） ⑴两锐角之间的关系： ； A ⑵若D为斜边中点，则斜边中线 ； D ⑶若∠B=30°，则∠B的对边和斜边： ； ⑷三边之间的关系： 。 3．△ABC的三边a、b、c，若满足b2= a2＋c2，则 =90°； 若满 C B 足b2＞c2＋a2，则∠B是 角； 若满足b2＜c2＋a2，则∠B是 A a D 角。 4．根据如图所示，利用面积法证明勾股定理。 b c 七、课后练习 1．已知在Rt△ABC中，∠B=90°，a、b、c是△ABC的三边，则 E c ⑴c= 。（已知a、b，求c） a ⑵a= 。（已知b、c，求a） B b C ⑶b= 。（已知a、c，求b） 2．如下表，表中所给的每行的三个数a、b、c，有a＜b＜c，试根据表中已有数的规律，写出 当a=19时，b，c的值，并把b、c用含a的代数式表示出来。 3、4、5 32+42=52 5、12、13 52+122=132 7、24、25 72+242=252 9、40、41 92+402=412 …… …… 19，b、c 192+b2=c2 3．在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=10 3cm，一动点P从B向C以每秒2cm的速度移动， 问当P点移动多少秒时，PA与腰垂直。 4．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，D在CB的延长线上。 求证：⑴AD2－AB2=BD·CD A ⑵若D在CB上，结论如何，试证明你的结论。 八、参考答案 课堂练习 1．略； 1 1 2．⑴∠A+∠B=90°；⑵ CD= AB；⑶ AC= AB； D B C 2 2 ⑷AC2+BC2=AB2。 3．∠B，钝角，锐角； 401 4．提示：因为S = S + S + S ，又因为S = （a+b）2， 梯形ABCD △ABE △BCE △EDA 梯形ACDG 2 1 1 1 1 1 S = S = ab，S = c2, （a+b）2=2× ab＋ c2。 △BCE △EDA △ABE 2 2 2 2 2 课后练习 1．⑴c= b2 a2 ；⑵a= b2 c2 ；⑶b= c2 a2 a2 b2 c2 a2 1 a2 1 2． ；则b= ，c= ；当a=19时，b=180，c=181。  c b1 2 2 3．5秒或10秒。 4．提示：过A作AE⊥BC于E。 课后反思： 4117．1 勾股定理（二） 教案总序号：11 时间： 一、教学目的 1．会用勾股定理进行简单的计算。 2．树立数形结合的思想、分类讨论思想。 二、重点、难点 1．重点：勾股定理的简单计算。 2．难点：勾股定理的灵活运用。 三、例题的意图分析 例1（补充）使学生熟悉定理的使用，刚开始使用定理，让学生画好图形，并标好图形，理 清边之间的关系。让学生明确在直角三角形中，已知任意两边都可以求出第三边。并学会利 用不同的条件转化为已知两边求第三边。 例2（补充）让学生注意所给条件的不确定性，知道考虑问题要全面，体会分类讨论思想。 例3（补充）勾股定理的使用范围是在直角三角形中，因此注意要创造直角三角形，作高 是常用的创造直角三角形的辅助线做法。让学生把前面学过的知识和新知识综合运用，提高 综合能力。 四、课堂引入 复习勾股定理的文字叙述；勾股定理的符号语言及变形。学习勾股定理重在应用。 五、例习题分析 例1（补充）在Rt△ABC，∠C=90° ⑴已知a=b=5,求c。 ⑵已知a=1,c=2, 求b。 ⑶已知c=17,b=8, 求a。 ⑷已知a：b=1：2,c=5, 求a。 ⑸已知b=15，∠A=30°，求a，c。 分析：刚开始使用定理，让学生画好图形，并标好图形，理清边之间的关系。⑴已知两直 角边，求斜边直接用勾股定理。⑵⑶已知斜边和一直角边，求另一直角边，用勾股定理的便形 式。⑷⑸已知一边和两边比，求未知边。通过前三题让学生明确在直角三角形中，已知任意两 边都可以求出第三边。后两题让学生明确已知一边和两边关系，也可以求出未知边，学会见 比设参的数学方法，体会由角转化为边的关系的转化思想。 例2（补充）已知直角三角形的两边长分别为5和12，求第三边。 分析：已知两边中较大边12可能是直角边，也可能是斜边，因此应 分两种情况分别进形计算。让学生知道考虑问题要全面，体会分类 讨论思想。 例3（补充）已知：如图，等边△ABC的边长是6cm。 ⑴求等边△ABC的高。 ⑵求S 。 △ABC 分析：勾股定理的使用范围是在直角三角形中，因此注意要 创造直角三角形，作高是常用的创造直角三角形的辅助线做 法。欲求高CD，可将其置身于Rt△ADC或Rt△BDC中， 1 但只有一边已知，根据等腰三角形三线合一性质，可求AD=CD= AB=3cm，则此题可解。 2 六、课堂练习 1．填空题 42⑴在Rt△ABC，∠C=90°，a=8，b=15，则c= 。 ⑵在Rt△ABC，∠B=90°，a=3，b=4，则c= 。 ⑶在Rt△ABC，∠C=90°，c=10，a：b=3：4，则a= ，b= 。 ⑷一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为 。 ⑸已知直角三角形的两边长分别为3cm和5cm，，则第三边长为 。 ⑹已知等边三角形的边长为2cm，则它的高为 ，面积为 。 2．已知：如图，在△ABC中，∠C=60°，AB=4 3，AC=4， A AD是BC边上的高，求BC的长。 3．已知等腰三角形腰长是10，底边长是16，求这个等腰 三角形的面积。 七、课后练习 C D B 1．填空题 在Rt△ABC，∠C=90°， ⑴如果a=7，c=25，则b= 。 ⑵如果∠A=30°，a=4，则b= 。 ⑶如果∠A=45°，a=3，则c= 。 ⑷如果c=10，a-b=2，则b= 。 ⑸如果a、b、c是连续整数，则a+b+c= 。 A D ⑹如果b=8，a：c=3：5，则c= 。 2．已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD⊥DC， AB⊥AC，∠B=60°，CD=1cm，求BC的长。 八、参考答案 B C 课堂练习 1．17； 7 ； 6，8； 6，8，10； 4或 34； 3， 3； 2．8； 3．48。 课后练习 2 3 1．24； 4 3； 3 2 ； 6； 12； 10； 2． 3 课后反思： 4317．1 勾股定理（三） 教案总序号：12 时间： 一、教学目的 1．会用勾股定理解决简单的实际问题。 2．树立数形结合的思想。 二、重点、难点 1．重点：勾股定理的应用。 2．难点：实际问题向数学问题的转化。 三、例题的意图分析 例1（教材探究1）明确如何将实际问题转化为数学问题，注意条件的转化；学会如何利 用数学知识、思想、方法解决实际问题。 例2（教材探究2）使学生进一步熟练使用勾股定理，探究直角三角形 三边的关系：保证一边不变，其它两边的变化。 D C 四、课堂引入 勾股定理在实际的生产生活当中有着广泛的应用。勾股定理的发现和 使用解决了许多生活中的问题，今天我们就来运用勾股定理解决一些问题， 你可以吗？试一试。 五、例习题分析 例1（教材探究1） A B 分析：⑴在实际问题向数学问题的转化过程中，注意勾股定理的使用条件，即门框为长方形， 四个角都是直角。⑵让学生深入探讨图中有几个直角三角形？图中标字母的线段哪条最长？ ⑶指出薄木板在数学问题中忽略厚度，只记长度，探讨以何种方式通过？⑷转化为勾股定理 的计算，采用多种方法。⑸注意给学生小结深化数学建模思想，激发数学兴趣。 例2（教材探究2） 分析：⑴在△AOB中，已知AB=3，AO=2.5，利用勾股定理计算OB。 ⑵ 在△COD中，已知CD=3，CO=2，利用勾股定理计算OD。 A 则BD=OD－OB，通过计算可知BD≠AC。 C ⑶进一步让学生探究AC和BD的关系，给AC不同的值，计算 O B D BD。 六、课堂练习 1．小明和爸爸妈妈十一登香山，他们沿着45度的坡路走了500米，看到了一棵红叶树，这 棵红叶树的离地面的高度是 米。 2．如图，山坡上两株树木之间的坡面距离是4 3米，则这两株树之间的垂直距离是 米，水平距离是 米。 B C A 30 B C A 2题图 3题图 4题图 3．如图，一根12米高的电线杆两侧各用15米的铁丝固定，两个固定点之间的距离是 。 444．如图，原计划从A地经C地到B地修建一条高速公路，后因技术攻关，可以打隧道由A地 到B地直接修建，已知高速公路一公里造价为300万元，隧道总长为2公里，隧道造价为500 万元，AC=80公里，BC=60公里，则改建后可省工程费用 A 是多少？ 七、课后练习 1．如图，欲测量松花江的宽度，沿江岸取B、C两点，在 江对岸取一点A，使AC垂直江岸，测得BC=50米， B C ∠B=60°，则江面的宽度为 。 2．有一个边长为1米正方形的洞口，想用一个圆形盖去盖 R 住这个洞口，则圆形盖半径至少为 米。 3．一根32厘米的绳子被折成如图所示的形状钉在P、Q 两点，PQ=16厘米，且RP⊥PQ，则RQ= 厘米。 4．如图，钢索斜拉大桥为等腰三角形，支柱高24米， P Q A ∠B=∠C=30°，E、F分别为BD、CD中点，试求B、C两点 之间的距离，钢索AB和AE的长度。 （精确到1米） 八、参考答案： B E D F C 课堂练习： 1．250 2 ； 2．6， 2 3； 3．18米； 4．11600； 课后练习 2 1．50 3米； 2． ； 2 3．20； 4．83米，48米，32米； 课后反思： 4517．1 勾股定理（四） 教案总序号：12 时间： 一、教学目的 1．会用勾股定理解决较综合的问题。 2．树立数形结合的思想。 二、重点、难点 1．重点：勾股定理的综合应用。 2．难点：勾股定理的综合应用。 三、例题的意图分析 例1（补充）“双垂图”是中考重要的考点，熟练掌握“双垂图”的图形结构和图形性质， 通过讨论、计算等使学生能够灵活应用。目前“双垂图”需要掌握的知识点有：3个直角三角 形，三个勾股定理及推导式BC2-BD2=AC2-AD2，两对相等锐角，四对互余角，及30°或45°特 殊角的特殊性质等。 例2（补充）让学生注意所求结论的开放性，根据已知条件，作适当辅助线求出三角形中 的边和角。让学生掌握解一般三角形的问题常常通过作高转化为直角三角形的问题。使学生 清楚作辅助线不能破坏已知角。 例3（补充）让学生掌握不规则图形的面积，可转化为特殊图形求解，本题通过将图形转 化为直角三角形的方法，把四边形面积转化为三角形面积之差。在转化的过程中注意条件的 合理运用。让学生把前面学过的知识和新知识综合运用，提高解题的综合能力。 例4（教材P76页探究3）让学生利用尺规作图和勾股定理画出数轴上的无理数点，进一 步体会数轴上的点与实数一一对应的理论。 四、课堂引入 复习勾股定理的内容。本节课探究勾股定理的综合应用。 五、例习题分析 例1（补充）1．已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥BC于D，∠A=60°，CD= 3， 求线段AB的长。 分析：本题是“双垂图”的计算题，“双垂图”是中考重要的考点，所以要求学生对图形及 性质掌握非常熟练，能够灵活应用。目前“双垂图”需要掌握的知识点有：3个直角三角形， 三个勾股定理及推导式BC2-BD2=AC2-AD2，两对相等锐角，四对互 C 余角，及30°或45°特殊角的特殊性质等。 要求学生能够自己画图，并正确标图。引导学生分析：欲求 AB，可由AB=BD+CD，分别在两个三角形中利用勾股定理和特殊角， 求出BD=3和AD=1。或欲求AB，可由AB  AC2 BC2 ，分别在 B D A 两个三角形中利用勾股定理和特殊角，求出AC=2和BC=6。 例2（补充）已知：如图，△ABC中，AC=4，∠B=45°， C ∠A=60°，根据题设可知什么？ 分析：由于本题中的△ABC不是直角三角形，所以根据题设只能 直接求得∠ACB=75°。在学生充分思考和讨论后，发现添置AB 边上的高这条辅助线，就可以求得AD，CD，BD，AB，BC及S 。 △ABC 让学生充分讨论还可以作其它辅助线吗？为什么？ B A D 小结：可见解一般三角形的问题常常通过作高转化为直角 三角形的问题。并指出如何作辅助线？ 46解略。 例3（补充）已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°， A AB=4，CD=2。求：四边形ABCD的面积。 分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC， D 或延长AB、DC交于F，或延长AD、BC交于E，根据本题给定 的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为 E B 简单。教学中要逐层展示给学生，让学生深入体会。 C 解：延长AD、BC交于E。 ∵∠A=∠60°，∠B=90°，∴∠E=30°。 ∴AE=2AB=8，CE=2CD=4， ∴BE2=AE2-AB2=82-42=48，BE= 48 =4 3。 ∵DE2= CE2-CD2=42-22=12，∴DE= 12 =2 3。 1 1 ∴S =S -S = AB·BE- CD·DE=6 3 四边形ABCD △ABE △CDE 2 2 小结：不规则图形的面积，可转化为特殊图形求解，本题通过将图形转化为直角三角形 的方法，把四边形面积转化为三角形面积之差。 例4（教材探究3） 分析：利用尺规作图和勾股定理画出数轴上的无理数点，进一步体会数轴上的点与实数一一 对应的理论。 变式训练：在数轴上画出表示 31,2 2的点。 六、课堂练习 1．△ABC中，AB=AC=25cm，高AD=20cm,则BC= ，S = 。 △ABC 2．△ABC中，若∠A=2∠B=3∠C，AC=2 3cm，则∠A= 度，∠B= 度,∠C= 度，BC= ，S = 。 △ABC A 3．△ABC中，∠C=90°，AB=4，BC=2 3，CD⊥AB于D，则AC= ， CD= ，BD= ，AD= ,S = 。 △ABC 4．已知：如图，△ABC中，AB=26，BC=25，AC=17， B C 求S 。 △ABC 七、课后练习 1．在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥BC于D，∠A=60°，CD= 3，AB= 。 2．在Rt△ABC中，∠C=90°，S =30，c=13，且a＜b，则a= ，b= 。 △ABC 3．已知：如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AC= A 2 2 ， 求（1）AB的长；（2）S 。 △ABC B C 4．在数轴上画出表示－ 5, 2  5 的点。 八、参考答案： 47课堂练习： 1．30cm，300cm2； 2．90，60，30，4，2 3； 3．2， 3，3，1，2 3； 4．作BD⊥AC于D，设AD=x，则CD=17-x，252-x2=262-（17-x）2，x=7，BD=24， 1 S = AC·BD=254； △ABC 2 课后练习： 1．4； 2．5，12； 3．提示：作AD⊥BC于D，AD=CD=2，AB=4，BD=2 3，BC=2+2 3，S = =2+2 3； △ABC 4．略。 课后反思： 4817．2 勾股定理的逆定理（一） 教案总序号：13 时间： 一、教学目的 1．体会勾股定理的逆定理得出过程，掌握勾股定理的逆定理。 2．探究勾股定理的逆定理的证明方法。 3．理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系。 二、重点、难点 1．重点：掌握勾股定理的逆定理及证明。 2．难点：勾股定理的逆定理的证明。 三、例题的意图分析 例1（补充）使学生了解命题，逆命题，逆定理的概念，及它们之间的关系。 例2通过让学生动手操作，画好图形后剪下放到一起观察能否重合，激发学生的兴趣和 求知欲，锻炼学生的动手操作能力，再通过探究理论证明方法，使实践上升到理论，提高学生 的理性思维。 例3（补充）使学生明确运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形的一 般步骤：①先判断那条边最大。②分别用代数方法计算出a2+b2和c2的值。③判断a2+b2和c2 是否相等，若相等，则是直角三角形；若不相等，则不是直角三角形。 四、课堂引入 创设情境：⑴怎样判定一个三角形是等腰三角形？ ⑵怎样判定一个三角形是直角三角形？和等腰三角形的判定进行对比，从勾股 定理的逆命题进行猜想。 五、例习题分析 例1（补充）说出下列命题的逆命题，这些命题的逆命题成立吗？ ⑴同旁内角互补，两条直线平行。 ⑵如果两个实数的平方相等，那么两个实数平方相等。 ⑶线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。 ⑷直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半。 分析：⑴每个命题都有逆命题，说逆命题时注意将题设和结论调换即可，但要分清题设 和结论，并注意语言的运用。 ⑵理顺他们之间的关系，原命题有真有假，逆命题也有真有假，可能都真，也可能一真一 假，还可能都假。 解略。 例2证明：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。 分析：⑴注意命题证明的格式，首先要根据题意画出 A A1 图形，然后写已知求证。 ⑵如何判断一个三角形是直角三角形，现在只知 道若有一个角是直角的三角形是直角三角形，从而将 c b b 问题转化为如何判断一个角是直角。 ⑶利用已知条件作一个直角三角形，再证明和原 B a C a B1 C1 三角形全等，使问题得以解决。 ⑷先做直角，再截取两直角边相等，利用勾股定理计算斜边AB=c，则通过三边对应相等 1 1 的两个三角形全等可证。 ⑸先让学生动手操作，画好图形后剪下放到一起观察能否重合，激发学生的兴趣和求知 欲，再探究理论证明方法。充分利用这道题锻炼学生的动手操作能力，由实践到理论学生更 49容易接受。 证明略。 例3（补充）已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，a=n2－1，b=2n，c=n2＋ 1（n＞1） 求证：∠C=90°。 分析：⑴运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形的一般步骤：①先判 断那条边最大。②分别用代数方法计算出a2+b2和c2的值。③判断a2+b2和c2是否相等，若相 等，则是直角三角形；若不相等，则不是直角三角形。 ⑵要证∠C=90°，只要证△ABC是直角三角形，并且c边最大。根据勾股定理的逆定理只 要证明a2+b2=c2即可。 ⑶由于a2+b2= （n2－1）2＋（2n）2=n4＋2n2＋1，c2=（n2＋1）2= n4＋2n2＋1，从而a2+b2=c2，故 命题获证。 六、课堂练习 1．判断题。 ⑴在一个三角形中，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这条边所对的角是直角。 ⑵命题：“在一个三角形中，有一个角是30°，那么它所对的边是另一边的一半。”的逆 命题是真命题。 ⑶勾股定理的逆定理是：如果两条直角边的平方和等于斜边的平方，那么这个三角形是 直角三角形。 ⑷△ABC的三边之比是1：1： 2 ，则△ABC是直角三角形。 2．△ABC中∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列命题中的假命题是（ ） A．如果∠C－∠B=∠A，则△ABC是直角三角形。 B．如果c2= b2—a2，则△ABC是直角三角形，且∠C=90°。 C．如果（c＋a）（c－a）=b2，则△ABC是直角三角形。 D．如果∠A：∠B：∠C=5：2：3，则△ABC是直角三角形。 3．下列四条线段不能组成直角三角形的是（ ） A．a=8，b=15，c=17 B．a=9，b=12，c=15 C．a= 5，b= 3，c= 2 D．a：b：c=2：3：4 4．已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，分别为下列长度，判断该三角形 是否是直角三角形？并指出那一个角是直角？ ⑴a= 3，b=2 2，c= 5； ⑵a=5，b=7，c=9； ⑶a=2，b= 3，c= 7 ； ⑷a=5，b=2 6 ，c=1。 七、课后练习， 1．叙述下列命题的逆命题，并判断逆命题是否正确。 ⑴如果a3＞0，那么a2＞0； ⑵如果三角形有一个角小于90°，那么这个三角形是锐角三角形； ⑶如果两个三角形全等，那么它们的对应角相等； ⑷关于某条直线对称的两条线段一定相等。 502．填空题。 ⑴任何一个命题都有 ，但任何一个定理未必都有 。 ⑵“两直线平行，内错角相等。”的逆定理是 。 ⑶在△ABC中，若a2=b2－c2，则△ABC是 三角形， 是直角； 若a2＜b2－c2，则∠B是 。 ⑷若在△ABC中，a=m2－n2，b=2mn，c= m2＋n2，则△ABC是 三角形。 1 1 1 3．若三角形的三边是 ⑴1、 3、2； ⑵ , , ； ⑶32，42，52 ⑷9，40，41； 3 4 5 ⑸（m＋n）2－1，2（m＋n），（m＋n）2＋1；则构成的是直角三角形的有（ ） A．2个 B．３个 Ｃ．４个 Ｄ．５个 4．已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，分别为下列长度，判断该三角 形是否是直角三角形？并指出那一个角是直角？ ⑴a=9，b=41，c=40； ⑵a=15，b=16，c=6； ⑶a=2，b=2 3，c=4； ⑷a=5k，b=12k，c=13k（k＞0）。 八、参考答案： 课堂练习： 1．对，错，错，对； 2．D； 3．D； 4．⑴是，∠B；⑵不是；⑶是，∠C；⑷是，∠A。 课后练习： 1．⑴如果a2＞0，那么a3＞0；假命题。 ⑵如果三角形是锐角三角形，那么有一个角是锐角；真命题。 ⑶如果两个三角形的对应角相等，那么这两个三角形全等；假命题。 ⑷两条相等的线段一定关于某条直线对称；假命题。 2．⑴逆命题，逆定理；⑵内错角相等，两直线平行；⑶直角，∠B，钝角；⑷直角。 3．B 4．⑴是，∠B；⑵不是，；⑶是，∠C；⑷是，∠C。 课后反思： 5117．2 勾股定理的逆定理（二） 教案总序号：14 时间： 一、教学目的 1．灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。 2．进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识。 二、重点、难点 1．重点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。 2．难点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。 三、例题的意图分析 例1（见教材例题）让学生养成利用勾股定理的逆定理解决实际问题的意识。 例2（补充）培养学生利用方程思想解决问题，进一步养成利用勾股定理的逆定理解决实 际问题的意识。 四、课堂引入 N 创设情境：在军事和航海上经常要确定方向和位置，从而使用 R 一些数学知识和数学方法。 S Q 五、例习题分析 例1（见教材） E P 分析：⑴了解方位角，及方位名词； ⑵依题意画出图形； ⑶依题意可得PR=12×1.5=18，PQ=16×1.5=24， QR=30； ⑷因为242+182=302，PQ2+PR2=QR2，根据勾股定理 的逆定理，知∠QPR=90°； ⑸∠PRS=∠QPR-∠QPS=45°。 小结：让学生养成“已知三边求角，利用勾股定理的逆定理”的意识。 例2（补充）一根30米长的细绳折成3段，围成一个三角形，其中一条边的长度比较短边 长7米，比较长边短1米，请你试判断这个三角形的形状。 分析：⑴若判断三角形的形状，先求三角形的三边长； ⑵设未知数列方程，求出三角形的三边长5、12、13； ⑶根据勾股定理的逆定理，由52+122=132，知三角形为直角三角形。 解略。 六、课堂练习 C 1．小强在操场上向东走80m后，又走了60m，再走100m回到原 地。小强在操场上向东走了 80m 后，又走 60m 的方向是 。 2．如图，在操场上竖直立着一根长为2米的测影竿，早晨测得 B D A 它的影长为4米，中午测得它的影长为1米，则A、B、C三点能否 构成直角三角形？为什么？ N 3．如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海 C 域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A、B两 个基地前去拦截，六分钟后同时到达C地将其拦截。已知 E 甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海 A B 里，航向为北偏西40°，问：甲巡逻艇的航向？ 七、课后练习 1．一根24米绳子，折成三边为三个连续偶数的三角形，则三 A 边长分别为 ，此三角形的形状为 。 52 B C D2．一根12米的电线杆AB，用铁丝AC、AD固定，现已知用去铁丝AC=15米，AD=13米，又测 得地面上B、C两点之间距离是9米，B、D两点之间距离是5米，则电线杆和地面是否垂直，为 什么？ 3．如图，小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算一下土 地的面积，以便计算一下产量。小明找了一卷米尺，测得 D C AB=4米，BC=3米，CD=13米，DA=12米，又已知∠B=90°。 八、参考答案： B 课堂练习： 1．向正南或正北。 A 2．能，因为BC2=BD2+CD2=20，AC2=AD2+CD2=5，AB2=25，所以 BC2+AC2= AB2； 3．由△ABC是直角三角形，可知∠CAB+∠CBA=90°，所以有∠CAB=40°，航向为北偏东50°。 课后练习： 1．6米，8米，10米，直角三角形； 2．△ABC、△ABD是直角三角形，AB和地面垂直。 3．提示：连结AC。AC2=AB2+BC2=25，AC2+AD2=CD2，因此∠CAB=90°， S =S +S =36平方米。 四边形 △ADC △ABC 课后反思： 5317．2 勾股定理的逆定理（三） 教案总序号：15 时间： 一、教学目的 1．应用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形。 2．灵活应用勾股定理及逆定理解综合题。 3．进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识。 二、重点、难点 1．重点：利用勾股定理及逆定理解综合题。 2．难点：利用勾股定理及逆定理解综合题。 三、例题的意图分析 例1（补充）利用因式分解和勾股定理的逆定理判断三角形的形状。 例2（补充）使学生掌握研究四边形的问题，通常添置辅助线把它转化为研究三角形的问 题。本题辅助线作平行线间距离无法求解。创造3、4、5勾股数，利用勾股定理的逆定理证明 DE就是平行线间距离。 例3（补充）勾股定理及逆定理的综合应用，注意条件的转化及变形。 四、课堂引入 勾股定理和它的逆定理是黄金搭档，经常综合应用来解决一些难度较大的题目。 五、例习题分析 例 1（补充）已知：在△ABC 中，∠A、∠B、∠C 的对边分别是 a、b、c，满足 a2+b2+c2+338=10a+24b+26c。 试判断△ABC的形状。 分析：⑴移项，配成三个完全平方；⑵三个非负数的和为0，则 A D 都为0；⑶已知a、b、c，利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状为 直角三角形。 例2（补充）已知：如图，四边形ABCD，AD∥BC，AB=4，BC=6， CD=5，AD=3。 B C E 求：四边形ABCD的面积。 分析：⑴作DE∥AB，连结BD，则可以证明△ABD≌△EDB（ASA）； ⑵DE=AB=4，BE=AD=3，EC=EB=3；⑶在△DEC中，3、4、5勾股数，△DEC为直角三角形， DE⊥BC；⑷利用梯形面积公式可解，或利用三角形的面积。 C 例3（补充）已知：如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，且 CD2=AD·BD。 求证：△ABC是直角三角形。 分析：∵AC2=AD2+CD2，BC2=CD2+BD2 B D A ∴AC2+BC2=AD2+2CD2+BD2 =AD2+2AD·BD+BD2 =（AD+BD）2=AB2 六、课堂练习 1．若△ABC的三边a、b、c，满足（a－b）（a2＋b2－c2）=0，则△ABC是（ ） A．等腰三角形； B．直角三角形； C．等腰三角形或直角三角形； D．等腰直角三角形。 542．若△ABC的三边a、b、c，满足a：b：c=1：1： 2 ，试判断△ABC的形状。 D 3 13 3．已知：如图，四边形ABCD，AB=1，BC= ，CD= ，AD=3，且AB⊥BC。 A 4 4 求：四边形ABCD的面积。 4．已知：在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，且CD2=AD·BD。 B C 求证：△ABC中是直角三角形。 A 七、课后练习， 1．若△ABC的三边a、b、c满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，求 △ABC的面积。 E 2．在△ABC中，AB=13cm，AC=24cm，中线BD=5cm。 求证：△ABC是等腰三角形。 3．已知：如图，∠1=∠2，AD=AE，D为BC上一点，且BD=DC， B D C AC2=AE2+CE2。 求证：AB2=AE2+CE2。4．已知△ABC的三边为a、b、c，且a+b=4，ab=1，c= 14 ，试判定△ABC 的形状。 八、参考答案： 课堂练习： 1．C； 2．△ABC是等腰直角三角形； 9 3． 4 4．提示：∵AC2=AD2+CD2，BC2=CD2+BD2，∴AC2+BC2=AD2+2CD2+BD2= AD2+2AD·BD+BD2=（AD+BD）2=AB2，∴∠ACB=90°。 课后练习： 1．6； 2．提示：因为AD2+BD2=AB2，所以AD⊥BD，根据线段垂直平分线的判定可知AB=BC。 3．提示：有AC2=AE2+CE2得∠E=90°；由△ADC≌△AEC，得AD=AE，CD=CE，∠ADC=∠BE=90°，根 据线段垂直平分线的判定可知AB=AC，则AB2=AE2+CE2。 4．提示：直角三角形，用代数方法证明，因为（a+b）2=16，a2+2ab+b2=16，ab=1，所以a2+b2=14。 又因为c2=14，所以a2+b2=c2 。 课后反思： 5519.1.1 平行四边形及其性质(一) 教案总序号：16 时间： 一、 教学目的： 1．理解并掌握平行四边形的概念和平行四边形对边、对角相等的性质． 2．会用平行四边形的性质解决简单的平行四边形的计算问题，并会进行有关的论证． 3．培养学生发现问题、解决问题的能力及逻辑推理能力． 二、 重点、难点 1．重点：平行四边形的定义，平行四边形对角、对边相等的性质，以及性质的应用． 2．难点：运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算． 三、例题的意图分析 例1是平行四边形性质的实际应用，题目比较简单，其目的就是让学生能运用平行四边 形的性质进行有关的计算，讲课时，可以让学生来解答．例2是补充的一道几何证明题，即让 学生学会运用平行四边形的性质进行有关的论证，又让学生从较简单的几何论证开始，提高 学生的推理论证能力和逻辑思维能力，学会演绎几何论证的方法．此题应让学生自己进行推 理论证． 四、课堂引入 1．我们一起来观察下图中的竹篱笆格子和汽车的防护链，想一想它们是什么几何图形 的形象？ 平行四边形是我们常见的图形，你还能举出平行四边形在生活中应用的例子吗？ 你能总结出平行四边形的定义吗？ (1)定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形． (2)表示：平行四边形用符号“ ”来表示． 如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，那么四边形 ABCD是平行四边形．平行四边形ABCD记作“ ABCD”， 读作“平行四边形ABCD”． ①∵AB//DC ,AD//BC ， ∴四边形ABCD是平行四边形（判定）； ②∵四边形ABCD是平行四边形∴AB//DC， AD//BC（性质）． 注意：平行四边形中对边是指无公共点的边，对角是指不相邻的角，邻边是指有公共端 点的边，邻角是指有一条公共边的两个角．而三角形对边是指一个角的对边，对角是指一条 56边的对角．（教学时要结合图形，让学生认识清楚） 2．【探究】平行四边形是一种特殊的四边形，它除具有四边形的性质和两组对边分别平 行外，还有什么特殊的性质呢？我们一起来探究一下． 让学生根据平行四边形的定义画一个一个平行四边形，观察这个四边形，它除具有四边 形的性质和两组对边分别平行外以，它的边和角之间有什么关系？度量一下，是不是和你猜 想的一致？ （1）由定义知道，平行四边形的对边平行．根据平行线的性质可知，在平行四边形中，相邻 的角互为补角． （相邻的角指四边形中有一条公共边的两个角．注意和第一章的邻角相区别．教学时结合 图形使学生分辨清楚．） （2）猜想 平行四边形的对边相等、对角相等． 下面证明这个结论的正确性． 已知：如图 ABCD， 求证：AB＝CD，CB＝AD，∠B＝∠D，∠BAD＝∠BCD． 分析：作 ABCD的对角线AC，它将平行四边形分成△ABC和△CDA，证明这两个三角形全 等即可得到结论． （作对角线是解决四边形问题常用的辅助线，通过作对角线，可以把未知问题转化为已知 的关于三角形的问题．） 证明：连接AC， ∵ AB∥CD，AD∥BC， ∴ ∠1＝∠3，∠2＝∠4． 又 AC＝CA， ∴ △ABC≌△CDA （ASA）． ∴ AB＝CD，CB＝AD，∠B＝∠D． 又 ∠1＋∠4＝∠2＋∠3， ∴ ∠BAD＝∠BCD． 由此得到： 平行四边形性质1 平行四边形的对边相等． 平行四边形性质2 平行四边形的对角相等． 五、例习题分析 例1（见教材例1） 例2（补充）如图，在平行四边形ABCD中，AE=CF， 求证：AF=CE． 分析：要证AF=CE，需证△ADF≌△CBE，由于四边形ABCD是 平行四边形，因此有∠D=∠B ，AD=BC，AB=CD，又AE=CF，根据等式性质，可得BE=DF．由“边角 边”可得出所需要的结论． 证明略． 六、随堂练习 571．填空： （1）在 ABCD中，∠A=50，则∠B= 度，∠C= 度，∠D= 度． （2）如果 ABCD中，∠A—∠B=240，则∠A= 度，∠B= 度，∠C= 度，∠D= 度． （3）如果 ABCD的周长为28cm，且AB：BC=2∶5，那么AB= cm，BC= cm，CD= cm，CD= cm． 2．如图4.3－9，在 ABCD中，AC为对角线，BE⊥AC， DF⊥AC，E、F为垂足，求证：BE＝DF． 七、课后练习 1．（选择）在下列图形的性质中，平行四边形不一定具有的是（ ）． （A）对角相等 （B）对角互补 （C）邻角互补 （D）内角和是360 2．在 ABCD中，如果EF∥AD，GH∥CD，EF与GH相交与点O，那么图中的平行四边形一共有（ ）． （A）4个 （B）5个 （C）8个 （D）9个 3．如图，AD∥BC，AE∥CD，BD平分∠ABC，求证AB=CE． 5818.1.1 平行四边形的性质(二) 教案总序号：17 时间： 一、 教学目的： 1．理解平行四边形中心对称的特征，掌握平行四边形对角线互相平分的性质． 2．能综合运用平行四边形的性质解决平行四边形的有关计算问题，和简单的证明题． 3．培养学生的推理论证能力和逻辑思维能力． 二、 重点、难点 4．重点：平行四边形对角线互相平分的性质，以及性质的应用． 5．难点：综合运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算． 三、例题的意图分析 本节课安排了两个例题，例1是一道补充题，它是性质3的直接运用，然后对例1进行了 引申，可以根据学生的实际情况选讲，并归纳结论：过平行四边形对角线的交点作直线交对 边或对边的延长线，所得的对应线段相等．例1与后面的三个图形是一组重要的基本图形， 熟悉它的性质对解答复杂问题是很有帮助的． 例2是复习巩固小学学过的平行四边形面积计算．这个例题比小学计算平行四边形面 积的题加深了一步，需要应用勾股定理，先求得平行四边形一边上的高，然后才能应用公式 计算．在以后的解题中，还会遇到需要应用勾股定理来求高或底的问题，在教学中要注意使 学生掌握其方法． 四、课堂引入 1．复习提问： （1）什么样的四边形是平行四边形？四边形与平行四边形的关系是： （2）平行四边形的性质： ①具有一般四边形的性质（内角 和是360）． ②角：平行四边形的对角相等，邻角互补． 边：平行四边形的对边相等． 2．【探究】： 请学生在纸上画两个全等的 ABCD和 EFGH，并连接对角线AC、BD和EG、HF，设它 们分别交于点O．把这两个平行四边形落在一起，在点O处钉一个图钉，将 ABCD绕点O旋 转180，观察它还和 EFGH重合吗？你能从子中看出前面 所得到的平行四边形的边、角关系吗？进一步，你还能发现 平行四边形的什么性质吗？ 结论：（1）平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心； （2）平行四边形的对角线互相平分． 五、例习题分析 例1（补充） 已知：如图4－21， ABCD的对角线 59AC、BD相交于点O，EF过点O与AB、CD分别相交于点E、F． 求证：OE＝OF，AE=CF，BE=DF． 证明：在 ABCD中，AB∥CD， ∴ ∠1＝∠2．∠3＝∠4． 又 OA＝OC(平行四边形的对角线互相平分)， ∴ △AOE≌△COF（ASA）． ∴ OE＝OF，AE=CF（全等三角形对应边相等）． ∵ ABCD，∴ AB=CD（平行四边形对边相等）． ∴ AB—AE=CD—CF． 即 BE=FD． ※【引申】若例1中的条件都不变，将EF转动到图b的位置，那么例1的结论是否成立？ 若将EF向两方延长与平行四边形的两对边的延长线分别相交（图c和图d），例1的结论是 否成立，说明你的理由． 解略 例2已知四边形ABCD是平行四边形，AB＝10cm，AD＝ 8cm，AC⊥BC，求BC、CD、AC、OA的长以及 ABCD的面积． 分析：由平行四边形的对边相等，可得BC、CD的长，在 Rt△ABC中，由勾股定理可得AC的长．再由平行四边形的对角线互相平分可求得OA的长，根 据平行四边形的面积计算公式：平行四边形的面积=底×高（高为此底上的高），可求得 ABCD的面积．（平行四边形的面积小学学过，再次强调“底”是对应着高说的，平行四边形中， 任一边都可以作为“底”，“底”确定后，高也就随之确定了．）3.平行四边形的面积计算 解略． 六、随堂练习 1．在平行四边形中，周长等于48， ① 已知一边长12，求各边的长 ② 已知AB=2BC，求各边的长 ③ 已知对角线AC、BD交于点O，△AOD与△AOB的周长的差 是10，求各边的长 2．如图， ABCD中，AE⊥BD，∠EAD=60°，AE=2cm，AC+BD=14cm，则△OBC的周长是____ ___cm． 3． ABCD一内角的平分线与边相交并把这条边分成5cm，7cm的两条线段，则 ABCD 的周长是__ ___cm． 60七、课后练习 1．判断对错 （1）在 ABCD中，AC交BD于O，则AO=OB=OC=OD． （ ） （2）平行四边形两条对角线的交点到一组对边的距离相等． （ ） （3）平行四边形的两组对边分别平行且相等． （ ） （4）平行四边形是轴对称图形． （ ） 2．在 ABCD中，AC＝6、BD＝4，则AB的范围是__ ______． 3．在平行四边形ABCD中，已知AB、BC、CD三条边的长度分别为（x+3），（x-4）和16，则这个四 边形的周长是 ． 4．公园有一片绿地，它的形状是平行四边形，绿地上要修 几条笔直的小路，如图，AB＝15cm，AD＝12cm，AC⊥BC，求小 路BC，CD，OC的长，并算出绿地的面积． 6118.1.2（一） 平行四边形的判定 教案总序号：18 时间： 一、 教学目的： 1．在探索平行四边形的判别条件中，理解并掌握用边、对角线来判定平行四边形的方法． 2．会综合运用平行四边形的判定方法和性质来解决问题． 3．培养用类比、逆向联想及运动的思维方法来研究问题． 二、重点、难点 6．重点：平行四边形的判定方法及应用． 7．难点：平行四边形的判定定理与性质定理的灵活应用． 三、例题的意图分析 本节课安排了3个例题，例1是是平行四边形的性质与判定的综合运用，此题最好先让学 生说出证明的思路，然后老师总结并指出其最佳方法．例2与例3都是补充的题目，其目的就 是让学生能灵活和综合地运用平行四边形的判定方法和性质来解决问题．例3是一道拼图题， 教学时，可以让学生动起来，边拼图边说明道理，即可以提高 学生的动手能力和学生的思维能力，又可以提高学生的学习 兴趣．如让学生再用四个不等边三角形拼一个如图的大三角 形，让学生指出图中所有的平行四边形，并说明理由． 四、课堂引入 1．欣赏图片、提出问题． 展示图片，提出问题，在刚才演示的图片中，有哪些是平行四边形？你是怎样判断的？ 2．【探究】：小明的父亲手中有一些木条，他想通过适当的测量、割剪，钉制一个平行四边形 框架，你能帮他想出一些办法来吗？ 让学生利用手中的学具——硬纸板条通过观察、测量、猜想、验证、探索构成平行四边形的 条件，思考并探讨： （1）你能适当选择手中的硬纸板条搭建一个平行四边形吗？ （2）你怎样验证你搭建的四边形一定是平行四边形？ （3）你能说出你的做法及其道理吗？ （4）能否将你的探索结论作为平行四边形的一种判别方法？你能用文字语言表述出来吗 （5）你还能找出其他方法吗？ 从探究中得到： 平行四边形判定方法1 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 平行四边形判定方法2 对角线互相平分的四边形是平行四边形。 五、例习题分析 例1已知：如图 ABCD的对角线AC、BD交于点O，E、F 是AC上的两点，并且AE=CF． 求证：四边形BFDE是平行四边形． 分析：欲证四边形BFDE是平行四边形可以根据判定方法2来证明． （证明过程参看教材） 62问；你还有其它的证明方法吗？比较一下，哪种证明方法简 单． 例2（补充） 已知：如图，A′B′∥BA，B′C′∥CB， C′A′∥AC． 求证：(1) ∠ABC＝∠B′，∠CAB＝∠A′，∠BCA＝ ∠C′； (2) △ABC的顶点分别是△B′C′A′各边的中点． 证明：(1) ∵ A′B′∥BA，C′B′∥BC， ∴ 四边形ABCB′是平行四边形． ∴ ∠ABC＝∠B′(平行四边形的对角相等)． 同理∠CAB＝∠A′，∠BCA＝∠C′． (2) 由(1)证得四边形ABCB′是平行四边形．同理，四边形ABA′C是平行四边形． ∴ AB＝B′C， AB＝A′C(平行四边形的对边相等)． ∴ B′C＝A′C． 同理 B′A＝C′A， A′B＝C′B． ∴ △ABC的顶点A、B、C分别是△B′C′A′的边B′C′、 C′A′、A′B′的中点． 例3（补充）小明用手中六个全等的正三角形做拼图游戏时， 拼成一个六边形．你能在图中找出所有的平行四边形吗？并说说 你的理由． 解：有6个平行四边形，分别是 ABOF， ABCO， BCDO， CDEO， DEFO， EFAO． 理由是：因为正△ABO≌正△AOF，所以AB=BO，OF=FA．根据 “两组对边分别相等的四边形 是平行四边形”，可知四边形ABCD是平行四边形．其它五个同理． 六、随堂练习 1．如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O， （1）若AD=8cm，AB=4cm，那么当BC=___ _cm，CD=___ _cm时，四边形 ABCD为平行四边形； （2）若AC=10cm，BD=8cm，那么当AO=__ _cm，DO=__ _cm时，四边形ABCD为平行四边形． 2．已知：如图， ABCD中，点E、F分别在CD、AB上，DF∥BE， EF交BD于点O．求证：EO=OF． 3．灵活运用课本例题，如图：由火柴棒拼出的一列图形，第n个图形 由（n+1）个等边三角形拼成，通过观察，分析发现： ①第4个图形中平行四边形的个数为___ __． （6个） ②第8个图形中平行四边形的个数为___ __． （20个） 七、课后练习 631．（选择）下列条件中能判断四边形是平行四边形的是（ ）． （A）对角线互相垂直 （B）对角线相等 （C）对角线互相垂直且相等 （D）对角线互相平分 2．已知：如图，△ABC，BD平分∠ABC，DE∥BC，EF∥BC， 求证：BE=CF 6418.1.2（二） 平行四边形的判定 教案总序号：19 时间： 一、 教学目的： 1．掌握用一组对边平行且相等来判定平行四边形的方法． 2．会综合运用平行四边形的四种判定方法和性质来证明问题． 3．通过平行四边形的性质与判定的应用，启迪学生的思维，提高分析问题的能力． 二、 重点、难点 1．重点：平行四边形各种判定方法及其应用，尤其是根据不同条件能正确地选择判定方 法． 2．难点：平行四边形的判定定理与性质定理的综合应用． 三、例题的意图分析 本节课的两个例题都是补充的题目，目的是让学生能掌握平行四边形的第三种判定方 法和会综合运用平行四边形的判定方法和性质来解决问题．学生程度好一些的学校，可以 适当地自己再补充一些题目，使同学们会应用这些方法进行几何的推理证明，通过学习，培 养学生分析问题、寻找最佳解题途径的能力． 四、课堂引入 1． 平行四边形的性质； 2． 平行四边形的判定方法； 3．【探究】 取两根等长的木条AB、CD，将它们平行放置，再用 两根木条BC、AD加固，得到的四边形ABCD是平行四边形吗？ 结论：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 五、例习题分析 例1（补充）已知：如图， ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点， 求证：BE=DF． 分析：证明BE=DF，可以证明两个三角形全等，也可以证明 四边形BEDF是平行四边形，比较方法，可以看出第二种方法简单． 证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ AD∥CB，AD=CD． ∵ E、F分别是AD、BC的中点， 1 1 ∴ DE∥BF，且DE= AD，BF= BC． 2 2 ∴ DE=BF． ∴ 四边形BEDF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形平行四边形）． ∴ BE=DF． 此题综合运用了平行四边形的性质和判定，先运用平行四边形的性质得到判定另一个 四边形是平行四边形的条件，再应用平行四边形的性质得出结论；题目虽不复杂，但层次有 三，且利用知识较多，因此应使学生获得清晰的证明思路． 例2（补充）已知：如图， ABCD中，E、F分别是AC上两点， 且BE⊥AC于E，DF⊥AC于F．求证：四边形BEDF是平行四边形． 65分析：因为BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，所以BE∥DF．需再证明BE=DF，这需要证明△ABE与 △CDF全等，由角角边即可． 证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ AB=CD，且AB∥CD． ∴ ∠BAE=∠DCF． ∵ BE⊥AC于E，DF⊥AC于F， ∴ BE∥DF，且∠BEA=∠DFC=90°． ∴ △ABE≌△CDF （AAS）． ∴ BE=DF． ∴ 四边形BEDF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形平行四边形）． 六、课堂练习 1．（选择）在下列给出的条件中，能判定四边形ABCD为平行四边形的是（ ）． （A）AB∥CD，AD=BC （B）∠A=∠B，∠C=∠D （C）AB=CD，AD=BC （D）AB=AD，CB=CD 2．已知：如图，AC∥ED，点B在AC上，且AB=ED=BC， 找出图中的平行 四边形，并说明理由． 3．已知：如图，在 ABCD中，AE、CF分别是∠DAB、∠BCD的平 分线． 求证：四边形AFCE是平行四边形． 七、课后练习 1．判断题： (1)相邻的两个角都互补的四边形是平行四边形； ( ) (2)两组对角分别相等的四边形是平行四边形； ( ) (3)一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形； ( ) (4)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； ( ) (5)对角线相等的四边形是平行四边形； ( ) (6)对角线互相平分的四边形是平行四边形． ( ) 2．延长△ABC的中线AD至E，使DE=AD．求证：四边形ABEC是平行四边形． 3．在四边形ABCD中，(1)AB∥CD；(2)AD∥BC；(3)AD＝BC；(4)AO＝OC；(5)DO＝BO；(6)AB＝CD． 选择两个条件，能判定四边形ABCD是平行四边形的共有________对．（共有9对） 6618.1.2（三） 平行四边形的判定——三角形的中位线 教案总序号：20 时间： 一、 教学目的： 1．理解三角形中位线的概念，掌握它的性质． 2．能较熟练地应用三角形中位线性质进行有关的证明和计算． 3．经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证的能力． 4．能运用综合法证明有关三角形中位线性质的结论．理解在证明过程中所运用的归纳、类比、 转化等思想方法． 二、 重点、难点 1．重点：掌握和运用三角形中位线的性质． 2．难点：三角形中位线性质的证明（辅助线的添加方法）． 三、例题的意图分析 例1是是三角形中位线性质的证明题，教材采用的是先证明后引出概念与性质的方法， 它一是要练习巩固平行四边形的性质与判定，二是为了降低难度，因此教师们在教学中要把 握好度． 建议讲完例1，引出三角形中位线的概念和性质后，马上做一组练习，以巩固三角形中位 线的性质，然后再讲例2． 例2是一道补充题，选自老教材的一个例题，它是三角形中位线性质与平行四边形的判 定的混合应用题，题型挺好，添加辅助线的方法也很巧，结论以后也会经常用到，可根据学生 情况适当的选讲例2．教学中，要把辅助线的添加方法讲清楚，可以借助与多媒体或教具． 四、课堂引入 1．平行四边形的性质；平行四边形的判定；它们之间有什么联系？ 2．你能说说平行四边形性质与判定的用途吗？ （答：平行四边形知识的运用包括三个方面：一是直接运用平行四边形的性质去解决某些问 题．例如求角的度数，线段的长度，证明角相等或线段相等等；二是判定一个四边形是平行四 边形，从而判定直线平行等；三是先判定一个四边形是平行四边形，然后再眼再用平行四边 形的性质去解决某些问题．） 3．创设情境 实验：请同学们思考：将任意一个三角形分成四个全等 的三角形，你是如何切割的？（答案如图） 图中有几个平行四边形？你是如何判断的？ 五、例习题分析 例1（教材P98例4） 如图，点D、E、分别为△ABC边AB、AC 1 的中点，求证：DE∥BC且DE= BC． 2 分析：所证明的结论既有平行关系，又有数量关系，联想已学过的 知识，可以把要证明的内容转化到一个平行四边形中，利用平行四边 形的对边平行且相等的性质来证明结论成立，从而使问题得到解决， 67这就需要添加适当的辅助线来构造平行四边形． 方法1：如图（1），延长DE到F，使EF=DE，连接CF，由 △ADE≌△CFE，可得AD∥FC，且AD=FC，因此有BD∥FC，BD=FC， 所以四边形BCFD是平行四边形．所以DF∥BC，DF=BC，因为DE= 1 1 DF，所以DE∥BC且DE= BC． 2 2 （也可以过点C作CF∥AB交DE的延长线于F点，证明方法与上 面大体相同） 方法2：如图（2），延长DE到F，使EF=DE，连接CF、CD和 AF，又AE=EC，所以四边形ADCF是平行四边形．所以AD∥FC， 且AD=FC．因为AD=BD，所以BD∥FC，且BD=FC．所以四边形 1 ADCF是平行四边形．所以DF∥BC，且DF=BC，因为DE= DF， 2 1 所以DE∥BC且DE= BC． 2 定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 【思考】： （1）想一想：①一个三角形的中位线共有几条？②三角形的中位线与中线有什么区别？ （2）三角形的中位线与第三边有怎样的关系？ （答：（1）一个三角形的中位线共有三条；三角形的中位线与中线的区别主要是线段的端点不 同．中位线是中点与中点的连线；中线是顶点与对边中点的连线． （2）三角形的中位线与第 三边的关系：三角形的中位线平行与第三边，且等于第三边的一半．） 三角形中位线的性质：三角形的中位线平行与第三边，且等于第三边的一半． 〖拓展〗利用这一定理，你能证明出在设情境中分割出来的四个小三角形全等吗？（让学生口 述理由） 例2（补充）已知：如图（1），在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是 AB、BC、CD、DA的中点． 求证：四边形EFGH是平行四边形． 分析：因为已知点E、F、G、H分别是线段的中点，可以设法 应用三角形中位线性质找到四边形EFGH的边之间的关系．由于 四边形的对角线可以把四边形分成两个三角形，所以添加辅助 线，连接AC或BD，构造“三角形中位线”的基本图形后，此题 便可得证． 证明：连结AC（图（2）），△DAG中， ∵ AH=HD，CG=GD， 1 ∴ HG∥AC，HG= AC（三角形中位线性质）． 2 1 同理EF∥AC，EF= AC． 2 ∴ HG∥EF，且HG=EF． 68∴ 四边形EFGH是平行四边形． 此题可得结论：顺次连结四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边形． 六、课堂练习 1．（填空）如图，A、B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连结AC和 BC，并分别找出AC和BC的中点M、N，如果测得MN=20 m，那么A、B 两点的距离是 m，理由是 ． 2．已知：三角形的各边分别为8cm 、10cm和12cm ，求连结各边中点 所成三角形的周长． 3．如图，△ABC中，D、E、F分别是AB、AC、BC的中点， （1）若EF=5cm，则AB= cm；若BC=9cm，则DE= cm； （2）中线AF与DE中位线有什么特殊的关系？证明你的猜想． 七、课后练习 1．（填空）一个三角形的周长是135cm，过三角形各顶点作对边的平行线，则这三条平行线所 组成的三角形的周长是 cm． 2．（填空）已知：△ABC中，点D、E、F分别是△ABC三边的中点，如 果△DEF的周长是12cm，那么△ABC的周长是 cm． 3．已知：如图，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．求证：四边 形EFGH是平行四边形． 6918.2.1 矩形(一) 教案总序号：21 时间： 一、教学目的： 1．掌握矩形的概念和性质，理解矩形与平行四边形的区别与联系． 2．会初步运用矩形的概念和性质来解决有关问题． 3．渗透运动联系、从量变到质变的观点． 二、重点、难点 1．重点：矩形的性质． 2．难点：矩形的性质的灵活应用． 三、例题的意图分析 例1是教材的例1，它是矩形性质的直接运用，它除了用以巩固所学的矩形性质外，对计 算题的格式也起了一个示范作用．例2与例3都是补充的题目，其中通过例2的讲解是想让 学生了解：（1）因为矩形四个角都是直角，因此矩形中的计算经常要用到直角三角形的性质， 而利用方程的思想，解决直角三角形中的计算，这是几何计算题中常用的方法；（2）“直角三 角形斜边上的高”是一个基本图形，利用面积公式，可得到两直角边、斜边及斜边上的高的 一个基本关系式．并能通过例2、例3的讲解使学生掌握解决有关矩形方面的一些计算题目 与证明题的方法． 四、课堂引入 1．展示生活中一些平行四边形的实际应用图片（推拉门，活动衣架，篱笆、井架等），想一想： 这里面应用了平行四边形的什么性质？ 2．思考：拿一个活动的平行四边形教具，轻轻拉动一个点，观察不管怎么拉，它还是一个平行 四边形吗？为什么？（动画演示拉动过程如图） 3．再次演示平行四边形的移动过程，当移动到一个角是直角时停止，让学生观察这是什么图 形？（小学学过的长方形）引出本课题及矩形定义． 矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(通常也叫长方形)． 矩形是我们最常见的图形之一，例如书桌面、教科书的封面等都有矩形形象． 【探究】在一个平行四边形活动框架上，用两根橡皮筋分别套在相对的两个顶点上（作出对角 线），拉动一对不相邻的顶点，改变平行四边形的形状． ① 随着∠α的变化，两条对角线的长度分别是怎样变化的？ ② 当∠α是直角时，平行四边形变成矩形，此时它的其他内角是什么样的角？它的两条对 角线的长度有什么关系？ 操作，思考、交流、归纳后得到矩形的性质． 70矩形性质1 矩形的四个角都是直角． 矩形性质2 矩形的对角线相等． 如图，在矩形 ABCD 中，AC、BD 相交于点 O，由性质 2 有 1 1 AO=BO=CO=DO= AC= BD．因此可以得到直角三角形的一个性质：直 2 2 角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 五、例习题分析 例 1 已知：如图，矩形 ABCD 的两条对角线相交于点 O， ∠AOB=60°，AB=4cm，求矩形对角线的长． 分析：因为矩形是特殊的平行四边形，所以它具有对角线相等且 互相平分的特殊性质，根据矩形的这个特性和已知，可得△OAB是等边 三角形，因此对角线的长度可求． 解：∵ 四边形ABCD是矩形， ∴ AC与BD相等且互相平分． ∴ OA=OB． 又 ∠AOB=60°， ∴ △OAB是等边三角形． ∴ 矩形的对角线长AC=BD = 2OA=2×4=8（cm）． 例2（补充）已知：如图 ，矩形 ABCD，AB长8 cm ，对角线 比AD边长4 cm．求AD的长及点A到BD的距离AE的长． 分析：（1）因为矩形四个角都是直角，因此矩形中的计算经 常要用到直角三角形的性质，而此题利用方程的思想，解决直 角三角形中的计算，这是几何计算题中常用的方法． 略解：设AD=xcm，则对角线长（x+4）cm，在Rt△ABD中，由勾股定理：x2 82 (x4)2， 解得x=6． 则 AD=6cm． （2）“直角三角形斜边上的高”是一个基本图形，利用面积公式，可得到两直角边、斜边及斜 边上的高的一个基本关系式： AE×DB＝ AD×AB，解得 AE＝ 4.8cm． 例3（补充） 已知：如图，矩形ABCD中，E是BC上一点，DF⊥AE于F，若AE=BC． 求证：CE ＝EF． 分析：CE、EF分别是BC，AE等线段上的一部分，若AF＝BE，则问题解决，而证明AF＝BE， 只要证明△ABE≌△DFA即可，在矩形中容易构造全等的直角三角形． 证明：∵ 四边形ABCD是矩形， ∴ ∠B=90°，且AD∥BC． ∴ ∠1=∠2． ∵ DF⊥AE， ∴ ∠AFD=90°． ∴ ∠B=∠AFD．又 AD=AE， ∴ △ABE≌△DFA（AAS）． ∴ AF=BE． ∴ EF=EC． 此题还可以连接DE，证明△DEF≌△DEC，得到EF＝EC． 六、随堂练习 1．（填空） （1）矩形的定义中有两个条件：一是 ，二是 ． （2）已知矩形的一条对角线与一边的夹角为30°，则矩形两条对角线相交所得的四个角的度 71数分别为 、 、 、 ． （3）已知矩形的一条对角线长为10cm，两条对角线的一个交角为120°，则矩形的边长分别 为 cm， cm， cm， cm． 2．（选择） （1）下列说法错误的是（ ）． （A）矩形的对角线互相平分 （B）矩形的对角线相等 （C）有一个角是直角的四边形是矩形 （D）有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 （2）矩形的对角线把矩形分成的三角形中全等三角形一共有（ ）． （A）2对 （B）4对 （C）6对 （D）8对 3．已知：如图，O是矩形ABCD对角线的交点，AE平分∠BAD， ∠AOD=120°，求∠AEO的度数． 七、课后练习 1．（选择）矩形的两条对角线的夹角为60°，对角线长为15cm， 较短边的长为（ ）． (A)12cm (B)10cm (C)7.5cm (D)5cm 2．在直角三角形ABC中，∠C=90°，AB=2AC，求∠A、∠B的度数． 3．已知：矩形ABCD中，BC=2AB，E是BC的中点，求证：EA⊥ED． 4．如图，矩形ABCD中，AB=2BC，且AB=AE，求证：∠CBE的度数． 7218.2.1 矩形(二) 教案总序号：22 时间： 一、教学目的： 1．理解并掌握矩形的判定方法． 2．使学生能应用矩形定义、判定等知识，解决简单的证明题和计算题，进一步培养学生 的分析能力 二、重点、难点 1．重点：矩形的判定． 2．难点：矩形的判定及性质的综合应用． 三、例题的意图分析 本节课的三个例题都是补充题，例1在的一组判断题是为了让学生加深理解判定矩形的 条件，老师们在教学中还可以适当地再增加一些判断的题目；例2是利用矩形知识进行计算； 例3是一道矩形的判定题，三个题目从不同的角度出发，来综合应用矩形定义及判定等知识 的． 四、课堂引入 1．什么叫做平行四边形？什么叫做矩形？ 2．矩形有哪些性质？ 3．矩形与平行四边形有什么共同之处？有什么不同之处？ 4．事例引入：小华想要做一个矩形像框送给妈妈做生日礼物，于是找来两根长度相等的短木 条和两根长度相等的长木条制作，你有什么办法可以检测他做的是矩形像框吗？看看谁的 方法可行？ 通过讨论得到矩形的判定方法． 矩形判定方法1：对角钱相等的平行四边形是矩形． 矩形判定方法2：有三个角是直角的四边形是矩形． （指出：判定一个四边形是矩形，知道三个角是直角，条件就够了．因为由四边形内角和 可知，这时第四个角一定是直角．） 五、例习题分析 例1（补充）下列各句判定矩形的说法是否正确？为什么？ （1）有一个角是直角的四边形是矩形； （×） （2）有四个角是直角的四边形是矩形； （√） （3）四个角都相等的四边形是矩形； （√） （4）对角线相等的四边形是矩形； （×） （5）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形； （×） （6）对角线互相平分且相等的四边形是矩形； （√） （7）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形； （×） （8）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形；（√） （9）两组对边分别平行，且对角线相等的四边形是矩形． (√) 指出： （l）所给四边形添加的条件不满足三个的肯定不是矩形； （2）所给四边形添加的条件是三个独立条件，但若与判定方法不同，则需要利用定义和 判定方法证明或举反例，才能下结论． 例2 （补充）已知 ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△AOB是等边三角形，AB=4 cm， 求这个平行四边形的面积． 分析：首先根据△AOB是等边三角形及平行四边形对角线互 73相平分的性质判定出ABCD是矩形，再利用勾股定理计算边长，从而得到面积值． 解：∵ 四边形ABCD是平行四边形， 1 1 ∴ AO= AC，BO= BD． 2 2 ∵ AO=BO， ∴ AC=BD． ∴ ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）． 在Rt△ABC中， ∵ AB=4cm，AC=2AO=8cm， ∴ BC= 82 42 4 3（cm）． 例3 （补充） 已知：如图（1）， ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E，F，G，H． 求证：四边形EFGH是矩形． 分析：要证四边形EFGH是矩形，由于此题目可分解出基本图形，如图（2），因此，可选用 “三个角是直角的四边形是矩形”来证明． 证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ AD∥BC． ∴ ∠DAB＋∠ABC=180°． 又 AE平分∠DAB，BG平分∠ABC ， 1 ∴ ∠EAB＋∠ABG= ×180°=90°． 2 ∴ ∠AFB=90°． 同理可证 ∠AED=∠BGC=∠CHD=90°． ∴ 四边形EFGH是平行四边形（有三个角是直角的四边形是矩形）． 六、随堂练习 1．（选择）下列说法正确的是（ ）． （A）有一组对角是直角的四边形一定是矩形（B）有一组邻角是直角的四边形一定是矩形 （C）对角线互相平分的四边形是矩形 （D）对角互补的平行四边形是矩形 2．已知：如图 ，在△ABC中，∠C＝90°， CD为中线，延长CD到点E， 使得 DE＝CD．连结AE，BE，则四边形ACBE为矩形． 七、课后练习 1．工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行： ⑴ 先截出两对符合规格的铝合金窗料（如图①），使AB＝CD，EF＝GH； ⑵ 摆放成如图②的四边形，则这时窗框的形状是 形，根据的数 学道理是： ； ⑶ 将直角尺靠紧窗框的一个角（如图③），调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框 74无缝隙时（如图④），说明窗框合格，这时窗框是 形，根据的数学道理是： ； 2．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2AC，求∠A、∠B的度数． 7518.2.2 菱形（一） 教案总序号：23 时间： 一、教学目的： 1．掌握菱形概念，知道菱形与平行四边形的关系． 2．理解并掌握菱形的定义及性质1、2；会用这些性质进行有关的论证和计算，会计算菱 形的面积． 3．通过运用菱形知识解决具体问题，提高分析能力和观察能力． 4．根据平行四边形与矩形、菱形的从属关系，通过画图向学生渗透集合思想． 二、重点、难点 1．教学重点：菱形的性质1、2． 2．教学难点：菱形的性质及菱形知识的综合应用． 三、例题的意图分析 本节课安排了两个例题，例1是一道补充题，是为了巩固菱形的性质；例2是教材P108 中的例2，这是一道用菱形知识与直角三角形知识来求菱形面积的实际应用问题．此题目，除 用以巩固菱形性质外，还可以引导学生用不同的方法来计算菱形的面积，以促进学生熟练、 灵活地运用知识． 四、课堂引入 1．（复习）什么叫做平行四边形？什么叫矩形？平行四边形和矩形之间的关系是什么？ 2．（引入）我们已经学习了一种特殊的平行四边形——矩形，其实还有另外的特殊平行四 边形，请看演示：（可将事先按如图做成的一组对边可以活动的教具进行演示）如图，改变平 行四边形的边，使之一组邻边相等，从而引出菱形概念． 菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． 【强调】 菱形（1）是平行四边形；（2）一组邻边相等． 让学生举一些日常生活中所见到过的菱形的例子． 五、例习题分析 例1 （补充） 已知：如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E． 求证：∠AFD=∠CBE． 证明：∵ 四边形ABCD是菱形， ∴ CB=CD， CA平分∠BCD． ∴ ∠BCE=∠DCE．又 CE=CE， ∴ △BCE≌△COB（SAS）． ∴ ∠CBE=∠CDE． ∵ 在菱形ABCD中，AB∥CD， ∴∠AFD=∠FDC 76∴ ∠AFD=∠CBE． 例2 （教材P108例2）略 六、随堂练习 1．若菱形的边长等于一条对角线的长，则它的一组邻角的度数分别为 ． 2．已知菱形的两条对角线分别是6cm和8cm ，求菱形的周长和面积． 3．已知菱形ABCD的周长为20cm，且相邻两内角之比是1∶2，求菱形 的对角线的长和面积． 4．已知：如图，菱形ABCD中，E、F分别是CB、CD上的点，且BE=DF．求 证：∠AEF=∠AFE． 七、课后练习 1．菱形ABCD中，∠D∶∠A=3∶1，菱形的周长为 8cm，求菱形的高． 2．如图，四边形ABCD是边长为13cm的菱形，其中对角线BD长10cm，求（1）对角线AC的长度； （2）菱形ABCD的面积． 7718.2.2 菱形（二） 教案总序号：24 时间： 一、教学目的： 1．理解并掌握菱形的定义及两个判定方法；会用这些判定方法进行有关的论证和计算； 2．在菱形的判定方法的探索与综合应用中，培养学生的观察能力、动手能力及逻辑思维 能力． 二、重点、难点 1．教学重点：菱形的两个判定方法． 2．教学难点：判定方法的证明方法及运用． 三、例题的意图分析 本节课安排了两个例题，其中例1是教材P109的例3，例2是一道补充的题目，这两个 题目都是菱形判定方法的直接的运用，主要目的是能让学生掌握菱形的判定方法，并会用这 些判定方法进行有关的论证和计算．这些题目的推理都比较简单，学生掌握起来不会有什么 困难，可以让学生自己去完成．程度好一些的班级，可以选讲例3． 四、课堂引入 1．复习 （1）菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形； （2）菱形的性质1 菱形的四条边都相等； 性质2 菱形的对角线互相平分，并且每条对角线平分一组对角； （3）运用菱形的定义进行菱形的判定，应具备几个条件？（判定：2个条件） 2．【问题】要判定一个四边形是菱形，除根据定义判定外，还有其它的判定方法吗？ 3．【探究】（教材P109的探究）用一长一短两根木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一 个可转动的十字，四周围上一根橡皮筋，做成一个四边形．转动木条，这个四边形什么时候变 成菱形？ 通过演示，容易得到： 菱形判定方法1 对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 注意此方法包括两个条件：（1）是一个平行四边形；（2）两条对角线互相垂直． 通过教材P109下面菱形的作图，可以得到从一般四边形直接判定菱形的方法： 菱形判定方法2 四边都相等的四边形是菱形． 五、例习题分析 例1 （教材P109的例3）略 例2（补充）已知：如图 ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F． 求证：四边形AFCE是菱形． 证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ AE∥FC． ∴ ∠1=∠2． 又 ∠AOE=∠COF，AO=CO， 78∴ △AOE≌△COF． ∴ EO=FO． ∴ 四边形AFCE是平行四边形． 又 EF⊥AC， ∴ AFCE是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形)． ※例3（选讲） 已知：如图，△ABC中， ∠ACB=90°，BE平分 ∠ABC，CD⊥AB与D，EH⊥AB于H，CD交BE于F． 求证：四边形CEHF为菱形． 略证：易证CF∥EH，CE=EH，在Rt△BCE中，∠CBE+∠CEB=90°， 在Rt△BDF中，∠DBF+∠DFB=90°，因为∠CBE=∠DBF，∠CFE=∠DFB，所以∠CEB=∠CFE，所以 CE=CF． 所以，CF=CE=EH，CF∥EH，所以四边形CEHF为菱形． 六、随堂练习 1．填空： （1）对角线互相平分的四边形是 ； （2）对角线互相垂直平分的四边形是________； （3）对角线相等且互相平分的四边形是________； （4）两组对边分别平行，且对角线 的四边形是菱形． 2．画一个菱形，使它的两条对角线长分别为6cm、8cm． 3．如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，DE和 CE相交于E，求证：四边形OCED是菱形。 七、课后练习 1．下列条件中，能判定四边形是菱形的是 （ ）． （A）两条对角线相等 （B）两条对角线互相垂直 （C）两条对角线相等且互相垂直 （D）两条对角线互相垂直平分 2．已知：如图，M是等腰三角形ABC底边BC上的中点，DM⊥AB，EF⊥AB， ME⊥AC，DG⊥AC．求证：四边形MEND是菱形． 3．做一做： 设计一个由菱形组成的花边图案．花边的长为15 cm，宽为4 cm，由有 一条对角线在同一条直线上的四个菱形组成，前一个菱形对角线的交点，是后一个菱形的一 个顶点．画出花边图形． 7918.2.3 正方形 教案总序号：25 时间： 一、教学目的 1．掌握正方形的概念、性质和判定，并会用它们进行有关的论证和计算． 2．理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别，通过正方形与平行四边形、矩形、 菱形的联系的教学对学生进行辩证唯物主义教育，提高学生的逻辑思维能力． 二、重点、难点 1．教学重点：正方形的定义及正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系． 2．教学难点：正方形与矩形、菱形的关系及正方形性质与判定的灵活运用． 三、例题的意图分析 本节课安排了三个例题，例1是教材P111的例4，例2与例3都是补充的题目．其中例1 与例2是正方形性质的应用，在讲解时，应注意引导学生能正确的运用其性质．例3是正方形 判定的应用，它是先判定一个四边形是矩形，再证明一组邻边，从而可以判定这个四边形是 正方形．随后可以再做一组判断题，进行练习巩固（参看随堂练习1），为了活跃学生的思维， 也可以将判断题改为下列问题让学生思考： ①对角线相等的菱形是正方形吗？为什么？ ②对角线互相垂直的矩形是正方形吗？为什么？ ③对角线垂直且相等的四边形是正方形吗？为什么？如果不是，应该加上什么条件？ ④能说“四条边都相等的四边形是正方形”吗？为什么？ ⑤说“四个角相等的四边形是正方形”对吗？ 四、课堂引入 1．做一做：用一张长方形的纸片（如图所示）折出一个正方形． 学生在动手做中对正方形产生感性认识，并感知正方形与矩形 的关系．问题：什么样的四边形是正方形？ 正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边 形叫做正方形． 指出：正方形是在平行四边形这个大前提下定义的，其定义包括了两层意： （1）有一组邻边相等的平行四边形 （菱形） （2）有一个角是直角的平行四边形 （矩形） 2．【问题】正方形有什么性质？ 由正方形的定义可以得知，正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的 菱形． 所以，正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质． 80五、例习题分析 例1（教材P111的例4） 求证：正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角 三角形． 已知：四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点O（如图）． 求证：△ABO、△BCO、△CDO、△DAO是全等的等腰直角三角形． 证明：∵ 四边形ABCD是正方形， ∴ AC=BD， AC⊥BD， AO=CO=BO=DO（正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分）． ∴ △ABO、△BCO、△CDO、△DAO都是等腰直角三角形， 并且 △ABO ≌△BCO≌△CDO≌△DAO． 例2 （补充）已知：如图，正方形ABCD中，对角线的交点为O，E 是OB上的一点，DG⊥AE于G，DG交OA于F． 求证：OE=OF． 分析：要证明OE=OF，只需证明△AEO≌△DFO，由于正方形的对 角线垂直平分且相等，可以得到∠AOE=∠DOF=90°，AO=DO，再由 同角或等角的余角相等可以得到∠EAO=∠FDO，根据ASA可以得到 这两个三角形全等，故结论可得． 证明：∵ 四边形ABCD是正方形， ∴ ∠AOE=∠DOF=90°，AO=DO（正方形的对角线垂直平分且相等）． 又 DG⊥AE， ∴ ∠EAO+∠AEO=∠EDG+∠AEO=90°． ∴ ∠EAO=∠FDO． ∴ △AEO ≌△DFO． ∴ OE=OF． 例3 （补充）已知：如图，四边形ABCD是正方形，分别过点A、C两点作l∥l，作BM⊥l 1 2 1 于M，DN⊥l于N，直线MB、DN分别交l于Q、P点． 1 2 求证：四边形PQMN是正方形． 分析：由已知可以证出四边形PQMN是矩形，再证△ABM≌△DAN， 证出AM=DN，用同样的方法证AN=DP．即可证出MN=NP．从而得出结论． 证明：∵ PN⊥l，QM⊥l， 1 1 ∴ PN∥QM，∠PNM=90°． ∵ PQ∥NM， ∴ 四边形PQMN是矩形． ∵ 四边形ABCD是正方形 ∴ ∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=DC（正方形的四条边都相等，四个角都是直角）． ∴ ∠1+∠2=90°． 又 ∠3+∠2=90°， ∴ ∠1=∠3． ∴ △ABM≌△DAN． 81∴ AM=DN． 同理 AN=DP． ∴ AM+AN=DN+DP 即 MN=PN． ∴ 四边形PQMN是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）． 六、随堂练习 1．正方形的四条边____ __，四个角___ ____，两条对角线____ ____． 2．下列说法是否正确，并说明理由． ①对角线相等的菱形是正方形；（ ） ②对角线互相垂直的矩形是正方形；（ ） ③对角线垂直且相等的四边形是正方形；（ ） ④四条边都相等的四边形是正方形；（ ） F ⑤四个角相等的四边形是正方形．（ ） 3．已知：如图，四边形ABCD为正方形，E、F分别 为CD、CB延长线上的点，且DE＝BF． B A 求证：∠AFE＝∠AEF． C D E 4．如图，E为正方形ABCD内一点，且△EBC是等边三角形， 求∠EAD与∠ECD的度数． 七、课后练习 1．已知：如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延 长线上一点，且DE=BF． 求证：EA⊥AF． 2．已知：如图，△ABC中，∠C=90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC于E， DF⊥AC于F．求证：四边形CFDE是正方形． 3．已知：如图，正方形ABCD中，E为BC上一点，AF平分∠DAE交 CD于F，求证：AE=BE+DF． 82变量与函数（1） 教案总序号：26 时间： 知识技能目标 1.掌握常量和变量、自变量和因变量（函数）基本概念 ； 2.了解表示函数关系的三种方法：解析法、列表法、图象法，并会用解析法表示数量关系. 过程性目标 1.通过实际问题，引导学生直观感知，领悟函数基本概念的意义 ； 2.引导学生联系代数式和方程的相关知识，继续探索数量关系，增强数学建模意识，列出函 数关系式. 教学过程 一、创设情境 在学习与生活中，经常要研究一些数量关系，先看下面的问题． 问题1 如图是某地一天内的气温变化图． 看图回答： (1)这天的6时、10时和14时的气温分别为多少？任意给出这天中的某一时刻，说出这一时 刻的气温． (2)这一天中，最高气温是多少？最低气温是多少？ (3)这一天中，什么时段的气温在逐渐升高？什么时段的气温在逐渐降低？解 (1)这天的6 时、10时和14时的气温分别为－1℃、2℃、5℃； (2)这一天中，最高气温是5℃．最低气温是－4℃； (3)这一天中，3时～14时的气温在逐渐升高．0时～3时和14时～24时的气温在逐渐降 低． 从图中我们可以看到，随着时间（t 时）的变化，相应地气温T(℃)也随之变化．那么在生 活中是否还有其它类似的数量关系呢？ 二、探究归纳 问题2 银行对各种不同的存款方式都规定了相应的利率，下表是2002年7月中国工商银行 为“整存整取”的存款方式规定的年利率： 观察上表，说说随着存期x的增长，相应的年利率y是如何变化的． 解 随着存期x的增长，相应的年利率y也随着增长． 83问题3 收音机刻度盘的波长和频率分别是用米(m)和千赫兹(kHz)为单位标刻的．下面是一些 对应的数值： 观察上表回答： (1)波长l和频率f数值之间有什么关系? (2)波长l越大，频率f 就________． 解 (1) l 与 f 的乘积是一个定值，即 lf＝300 000， 300000 或者说 f  ． l (2)波长l越大，频率f 就 越小 ． 问题4 圆的面积随着半径的增大而增大．如果用r表示圆的半径，S表示圆的面积则S与r之 间满足下列关系：S＝_________． 利用这个关系式，试求出半径为1 cm、1.5 cm、2 cm、2.6 cm、3.2 cm时圆的面积，并将结果填 入下表： 由此可以看出，圆的半径越大，它的面积就_________． 解 S＝πr2． 圆的半径越大，它的面积就越大． 在上面的问题中，我们研究了一些数量关系，它们都刻画了某些变化规律．这里出现了 各种各样的量，特别值得注意的是出现了一些数值会发生变化的量．例如问题1中，刻画气 温变化规律的量是时间t和气温T，气温T随着时间t的变化而变化，它们都会取不同的数值． 像这样在某一变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量(variable)． 上面各个问题中，都出现了两个变量，它们互相依赖，密切相关．一般地，如果在一个变 化过程中，有两个变量，例如x和y，对于x的每一个值，y都有惟一的值与之对应，我们就说x 是自变量(independent variable)，y是因变量(dependent variable)，此时也称y是x的函数 (function)．表示函数关系的方法通常有三种： 300000 (1)解析法，如问题3中的 f  ，问题4中的S＝π r2，这些表达式称为函数的关系式． l (2)列表法，如问题2中的利率表，问题3中的波长与频率关系表． (3)图象法，如问题1中的气温曲线． 问题的研究过程中，还有一种量，它的取值始终保持不变，我们称之为常量(constant)，如 问题3中的300 000，问题4中的π等． 三、实践应用 例1 下表是某市2000年统计的该市男学生各年龄组的平均身高. 84(1)从表中你能看出该市14岁的男学生的平均身高是多少吗? (2)该市男学生的平均身高从哪一岁开始迅速增加? (3)上表反映了哪些变量之间的关系?其中哪个是自变量?哪个是因变量? 解 (1)平均身高是146.1cm； (2)约从14岁开始身高增加特别迅速； (3)反映了该市男学生的平均身高和年龄这两个变量之间的关系，其中年龄是自变量，平 均身高是因变量． 例2 写出下列各问题中的关系式，并指出其中的常量与变量： (1)圆的周长C与半径r的关系式； (2)火车以60千米/时的速度行驶，它驶过的路程s（千米）和所用时间t（时）的关系式； (3)n边形的内角和S与边数n的关系式． 解 (1)C＝2π r，2π是常量，r、C是变量； (2)s＝60t，60是常量，t、s是变量； (3)S＝(n－2)×180，2、180是常量，n、S是变量． 四、交流反思 1.函数概念包含： (1)两个变量； (2)两个变量之间的对应关系． 2.在某个变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量；数值始终保持不变的量，叫做常量． 例如x和y，对于x的每一个值，y都有惟一的值与之对应，我们就说x是自变量，y是因变量． 3.函数关系三种表示方法： (1)解析法； (2)列表法； (3)图象法． 五、检测反馈 1.举3个日常生活中遇到的函数关系的例子． 2.分别指出下列各关系式中的变量与常量： 5 (1)三角形的一边长5cm，它的面积S(cm2)与这边上的高h(cm)的关系式是S  h； 2 (2)若直角三角形中的一个锐角的度数为α，则另一个锐角β(度)与α间的关系式是β＝90 －α ； (3)若某种报纸的单价为a元，x表示购买这种报纸的份数，则购买报纸的总价y（元）与x 间的关系是：y＝ax． 3.写出下列函数关系式，并指出式中的自变量与因变量： (1)每个同学购一本代数教科书，书的单价是2元，求总金额Y（元）与学生数n（个）的关系； (2)计划购买50元的乒乓球，求所能购买的总数n（个）与单价a（元）的关系． 4.填写如图所示的乘法表，然后把所有填有24的格子涂黑．若用x表示涂黑的格子横向的乘 数，y表示纵向的乘数，试写出y关于x的函数关系式． 8586变量与函数（2） 教案总序号：27 时间： 知识技能目标 1.掌握根据函数关系式直观得到自变量取值范围，以及实际背景对自变量取值的限制； 2.掌握根据函数自变量的值求对应的函数值. 过程性目标 1.使学生在探索、归纳求函数自变量取值范围的过程中，增强数学建模意识； 2.联系求代数式的值的知识，探索求函数值的方法． 教学过程 一、创设情境 问题1 填写如图所示的加法表，然后把所有填有10的格子涂黑，看看你能发现什么?如果把 这些涂黑的格子横向的加数用x表示，纵向的加数用y表示，试写出y与x的函数关系式． 解 如图能发现涂黑的格子成一条直线． 函数关系式：y＝10－x． 问题2 试写出等腰三角形中顶角的度数y与底角的度数x之间的函数关系式． 解 y与x的函数关系式：y＝180－2x． 问题3 如图，等腰直角△ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为10 cm，AC与MN在同 一直线上，开始时A点与M点重合，让△ABC向右运动，最后A点与N点重合．试写出重叠 部分面积ycm2与MA长度x cm之间的函数关系式． 1 解 y与x的函数关系式：y  x2． 2 二、探究归纳 思考 (1)在上面问题中所出现的各个函数中，自变量的取值有限制吗？如果有，写出它的取 值范围． 87(2)在上面问题1中，当涂黑的格子横向的加数为3时，纵向的加数是多少？当纵向的加数为 6时，横向的加数是多少？ 分析 问题1，观察加法表中涂黑的格子的横向的加数的数值范围． 问题2，因为三角形内角和是180°,所以等腰三角形的底角的度数x不可能大于或等于90°． 问题3，开始时A点与M点重合，MA长度为0cm，随着△ABC不断向右运动过程中，MA长度 逐渐增长，最后A点与N点重合时，MA长度达到10cm． 解 (1)问题1，自变量x的取值范围是：1≤x≤9； 问题2，自变量x的取值范围是：0＜x＜90； 问题3，自变量x的取值范围是：0≤x≤10． (2)当涂黑的格子横向的加数为3时，纵向的加数是7；当纵向的加数为6时，横向的加数是 4． 上面例子中的函数,都是利用解析法表示的,又例如： s＝60t， S＝πR2． 在用解析式表示函数时，要考虑自变量的取值必须使解析式有意义．在确定函数中自变 量的取值范围时，如果遇到实际问题，不必须使实际问题有意义．例如，函数解析式S＝πR2中 自变量R的取值范围是全体实数，如果式子表示圆面积S与圆半径R的关系，那么自变量R的取 值范围就应该是R＞0． 对于函数 y＝x(30－x)，当自变量x＝5时，对应的函数y的值是 y＝5×(30－5)＝5×25＝125． 125叫做这个函数当x＝5时的函数值． 三、实践应用 1 例1 求下列函数中自变量x的取值范围：(1) y＝3x－1； (2) y＝2x2＋7；(3)y  x2 ； (4)y  x2 ． 分析 用数学式子表示的函数，一般来说，自变量只能取使式子有意义的值．例如，在(1)，(2) 1 中，x取任意实数，3x－1与2x2＋7都有意义；而在(3)中，x＝－2时， 没有意义；在(4) x2 中，x＜2时， x2没有意义． 解 (1)x取值范围是任意实数； (2)x取值范围是任意实数； (3)x的取值范围是x≠－2； (4)x的取值范围是x≥2． 归纳 四个小题代表三类题型．(1)，(2)题给出的是只含有一个自变量的整式；(3)题给出的 是分母中只含有一个自变量的式子；(4)题给出的是只含有一个自变量的二次根式． 例2 分别写出下列各问题中的函数关系式及自变量的取值范围： (1)某市民用电费标准为每度0.50元，求电费y(元)关于用电度数x的函数关系式； (2)已知等腰三角形的面积为20cm2，设它的底边长为x(cm)，求底边上的高y(cm)关于x的 函数关系式； (3)在一个半径为10 cm的圆形纸片中剪去一个半径为r(cm)的同心圆，得到一个圆环．设 圆环的面积为S(cm2)，求S关于r的函数关系式． 88解 (1) y＝0.50x，x可取任意正数； 40 (2)y  ，x可取任意正数； x (3)S＝100π－πr2，r的取值范围是0＜r＜10． 例3 在上面的问题(3)中，当MA＝1 cm时，重叠部分的面积是多少? 解 设重叠部分面积为y cm2，MA长为x cm， y与x之间的函数关系式为 1 y  x2 2 1 1 当x＝1时，y  12  2 2 1 所以当MA＝1 cm时，重叠部分的面积是 cm2． 2 例4 求下列函数当x = 2时的函数值： (1)y = 2x-5 ； (2)y =－3x2 ； 2 (3)y  ； (4)y  2x． x1 分析 函数值就是y的值，因此求函数值就是求代数式的值． 解 (1)当x = 2时，y = 2×2－5 =－1； (2)当x = 2时，y =－3×22 =－12； 2 (3)当x = 2时，y = = 2； 21 (4)当x = 2时，y = 22= 0． 四、交流反思 1.求函数自变量取值范围的两个依据： (1)要使函数的解析式有意义． ①函数的解析式是整式时，自变量可取全体实数； ②函数的解析式分母中含有字母时，自变量的取值应使分母≠0； ③函数的解析式是二次根式时，自变量的取值应使被开方数≥0． (2)对于反映实际问题的函数关系，应使实际问题有意义． 2.求函数值的方法：把所给出的自变量的值代入函数解析式中，即可求出相应的函数值． 五、检测反馈 891.分别写出下列各问题中的函数关系式，并指出式中的自变量与函数以及自变量的取值范 围： (1)一个正方形的边长为3 cm，它的各边长减少x cm后，得到的新正方形周长为y cm．求y 和x间的关系式； (2)寄一封重量在20克以内的市内平信，需邮资0.60元，求寄n封这样的信所需邮资y （元）与n间的函数关系式； (3)矩形的周长为12 cm，求它的面积S(cm2)与它的一边长x(cm)间的关系式，并求出当一 边长为2 cm时这个矩形的面积． 2.求下列函数中自变量x的取值范围： (1)y＝－2x－5x2； (3) y＝x(x＋3)； 6x (3) y  ； (4)y  2x1． x3 3.一架雪橇沿一斜坡滑下，它在时间（t 秒）滑下的距离s（米）由下式给出：s＝10t＋2t2．假如 滑到坡底的时间为8秒，试问坡长为多少？ 4.当x＝2及x＝－3时，分别求出下列函数的函数值： x2 (1) y＝(x+1)(x－2)；(2)y＝2x2－3x＋2； (3)y  ． x1 90函数的图象（1） 教案总序号：28 时间： 知识技能目标 1.掌握平面直角坐标系的有关概念； 2.能正确画出直角坐标系，以及根据点的坐标找出它的位置、由点的位置确定它的坐标； 3.初步理解直角坐标系上的点和有序实数对是一一对应的含义． 过程性目标 1.联系数轴知识、统计图知识，经历探索平面直角坐标系的概念的过程； 2.通过学生积极动手画图，达到熟练的程度，并充分感受直角坐标系上的点和有序实数对是 一一对应的含义. 教学过程 一、创设情境 如图是一条数轴，数轴上的点与实数是一一对应的．数轴上每个点都对应一个实数，这 个实数叫做这个点在数轴上的坐标．例如，点A在数轴上的坐标是4，点B在数轴上的坐标是 －2.5．知道一个点的坐标，这个点的位置就确定了． 我们学过利用数轴研究一些数量关系的问题，在实际生活中．还会遇到利用平面图形研 究数量关系的问题． 二、探究归纳 问题1 例如你去过电影院吗？还记得在电影院是怎么找座位的吗？ 解 因为电影票上都标有“×排×座”的字样，所以找座位时，先找到第几排，再找到这一排的 第几座就可以了．也就是说，电影院里的座位完全可以由两个数确定下来． 问题2 在教室里，怎样确定一个同学的座位？ 解 例如，××同学在第3行第4排．这样教室里座位也可以用一对实数表示． 问题3 要在一块矩形ABCD(AB＝40mm，AD＝25mm)的铁板上钻一个直径为10mm的圆孔，要 求： (1)孔的圆周上的点与AB边的最短距离为5mm， (2)孔的圆周上的点与AD边的最短距离为15mm． 试问：钻孔时，钻头的中心放在铁板的什么位置？ 分析 圆O的中心应是钻头中心的位置．因为⊙O直径为10mm，所以半径为5 mm，所以圆心 O到AD边距离为20mm，圆心O到AB边距离为10mm．由此可见，确定一个点（圆心O）的 位置要有两个数(20和10)． 91在数学中，我们可以用一对有序实数来确定平面上点的位置．为此，在平面上画两条原 点重合、互相垂直且具有相同单位长度的数轴（如图），这就建立了平面直角坐标系 (rightangled coordinates system)．通常把其中水平的一条数轴叫 做x轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取 向上为正方向；两数轴的交点O叫做坐标原点． 在平面直角坐标系中，任意一点都可以用一对有序实数来表 示．例如，图中的点P，从点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别 为M和N．这时，点M在x轴上对应的数为3，称为点P的横坐标 (abscissa)；点N在y轴上对应的数为2，称为点P的纵坐标 (ordinate)．依次写出点P的横坐标和纵坐标，得到一对有序实数 (3,2)，称为点P的坐标(coordinates)．这时点P可记作P(3,2)． 在直角坐标系中，两条坐标轴把平面分成如图所示的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、 Ⅳ四个区域，分别称为第一、二、三、四象限．坐标轴上的点不属于 任何一个象限． 三、实践应用 例1 在上图中分别描出坐标是(2,3)、(－2,3)、(3,－2)的点Q、 S、R，Q(2,3)与P(3,2)是同一点吗？S(－2,3)与R(3,－2)是同一 点吗？ 解 Q(2,3)与P(3,2)不是同一点； S(－2,3)与R(3,－2)不是同一点． 例2 写出图中的点A、B、C、D、E、F的坐标．观察你所写出的这 些点的坐标，回答：(1)在四个象限内的点的坐标各有什么特 征？ (2)两条坐标轴上的点的坐标各有什么特征？ 解 A(－1,2)、B (2,1)、C (2,－1)、D (－1,－1)、E (0,3)、F (－2,0)． (1)在第一象限内的点,横坐标是正数,纵坐标是正数； 在第二象限内的点,横坐标是负数,纵坐标是正数； 在第三象限内的点,横坐标是负数,纵坐标是负数； 92在第四象限内的点,横坐标是正数,纵坐标是负数； (2)x轴上点的纵坐标等于零； y轴上点的横坐标等于零． 说明 从上面的例1、例2可以发现直角坐标系上每一个点的位置都能用一对有序实数表示， 反之，任何一对有序实数在直角坐标系上都有唯一的一个点和它对应．也就是说直角坐标系 上的点和有序实数对是一一对应的． 例3 在直角坐标系中描出点A(2,－3)，分别找出它关于x轴、y轴及原点的对称点，并写出这 些点的坐标．观察上述写出的各点的坐标，回答： (1)关于x轴对称的两点的坐标之间有什么关系？ (2)关于 y轴对称的两点的坐标之间有什么关系？ (3)关于原点对称的两点的坐标之间又有什么关系？ 解 (1)关于x轴对称的两点：横坐标相同，纵坐标绝对值相等，符号相反； (2)关于y轴对称的两点：横坐标绝对值相等，符号相反，纵坐标相同； (3)关于原点对称的两点：横坐标绝对值相等，符号相反，纵坐标也绝对值相等，符号相反． 例4 在直角坐标平面内，(1)第一、三象限角平分线上点的坐标有什么特点？(2)第二、四象 限角平分线上点的坐标有什么特点？ 分析 如图，P为第一、三象限角平分线上位于第一象限内任一点，作PM⊥x轴于M，在 Rt△PMO中，∠1＝∠2＝45°，所以｜OM｜=｜MP｜，则P点的横坐标，纵坐标绝对值相等， 又因为P点位于第一象限内，OM为正值，MP也为正值，所以P点横坐标与纵坐标相同．同 样若P点位于第三象限内，则OM为负值，MP也为负值，所以P点横 坐标与纵坐标也相同．若P点为第二、四象限角平分线上任一点，则 OM与MP一正一负，所以P点横坐标与纵坐标互为相反数． 解 (1)第一、三象限角平分线上点：横坐标与纵坐标相同； (2)第二、四象限角平分线上点：横坐标与纵坐标互为相反数． 四、交流反思 1.平面直角坐标系的有关概念及画法； 2.在直角坐标系中，根据坐标找出点；由点求出坐标的方法； 3.在四个象限内的点的坐标特征；两条坐标轴上的点的坐标特征；第 93一、三象限角平分线上点的坐标特征；第二、四象限角平分线上点的坐标特征； 4.分别关于x轴、y轴及原点的对称的两点坐标之间的关系． 五、检测反馈 1.判断下列说法是否正确： (1)(2，3)和(3，2)表示同一点； (2)点(－4，1)与点(4，－1)关于原点对称； (3)坐标轴上的点的横坐标和纵坐标至少有一个为0； (4)第一象限内的点的横坐标与纵坐标均为正数． 2.在直角坐标系中描出下列各点，顺次用线段将这些点连起来，并将最后一点与第一点连起 来，看看得到的是一个什么图形？ 1 1 1 1 1 ( , 0), （ ， 1），（3 , 1），（1 ， 3），（2 ， 3）， 2 2 2 2 2 1 1 1 （ ， 6），（1， 6），（0， 8），（1， 6），（ ， 6），（2 ， 3）， 2 2 2 1 1 1 1 （1 ， 3），（3 ， 1），（ ， 1），（ ， 0） 2 2 2 2 3.指出下列各点所在的象限或坐标轴： A(－3,－5)，B(6,－7)，C(0,－6)，D(－3,5)，E(4,0)． 4.填空： (1)点P(5,－3)关于x轴对称点的坐标是 ； (2)点P(3,－5)关于y轴对称点的坐标是 ； (3)点P(－2,－4)关于原点对称点的坐标是 ． 5.如图是一个围棋棋盘，我们可以用类似于直角坐标系的方法表示各个棋子的位置．例如， 图中右下角的一个棋子可以表示为(12,十三)．请至少说出图中四个棋子的“位置”． 94函数的图象（2） 教案总序号：29 时间： 知识技能目标 1.掌握用描点法画出一些简单函数的图象； 2.理解解析法和图象法表示函数关系的相互转换. 过程性目标 1.结合实际问题，经历探索用图象表示函数的过程； 2.通过学生自己动手，体会用描点法画函数的图象的步骤. 教学过程 一、创设情境 问题1 在前面，我们曾经从如图所示的气温曲线上获得许多信息，回答了一些问题．现在让 我们来回顾一下． 二、探究归纳 先考虑一个简单的问题：你是如何从图上找到各个时刻的气温的？ 分析 图中，有一个直角坐标系，它的横轴是t轴，表示时间；它的纵轴是T轴，表示气温．这 一气温曲线实质上给出了某日的气温T (℃)与时间t（时）的函数关系．例如，上午10时的气 温是2℃，表现在气温曲线上，就是可以找到这样的对应点，它的坐标是(10,2)．实质上也就 是说，当t＝10时，对应的函数值T＝2．气温曲线上每一个点的坐标(t,T)，表示时间为t时的 气温是T． 问题2 如图,这是2004年3月23日上证指数走势图，你是如何从图上找到各个时刻的上证 指数的？ 分析 图中，有一个直角坐标系，它的横轴表示时间；它的纵轴表示上证指数．这一指数曲线 实质上给出了3月23日的指数与时间的函数关系．例如，下午14:30时的指数是1746.26，表 现在指数曲线上，就是可以找到这样的对应点，它的坐标是(14:30, 1746.26)．实质上也就是 说，当时间是14:30时，对应的函数值是1746.26． 上面气温曲线和指数走势图是用图象表示函数的两个实际例子． 95一般来说，函数的图象是由直角坐标系中的一系列点组成的图形．图象上每一点的坐标 (x，y)代表了函数的一对对应值，它的横坐标x表示自变量的某一个值，纵坐标y表示与它对 应的函数值． 三、实践应用 例1 画出函数y＝x＋1的图象． 分析 要画出一个函数的图象，关键是要画出图象上的一些点，为此，首先要取一些自变量的 值，并求出对应的函数值．解 取自变量x的一些值，例如x＝－3，－2,－1，0，1，2，3 …，计算 出对应的函数值．为表达方便，可列表如下： 由这一系列的对应值，可以得到一系列的有序实数对： …，(－3,－2)，(－2,－1)，(－1,0)，(0,1)，(1,2)，(2,3)，(3,4)，…在直角坐标系中，描出这些有 序实数对(坐标)的对应点，如图所示． 通常，用光滑曲线依次把这些点连起来，便可得到这个函数的图象，如图所示． 96这里画函数图象的方法，可以概括为列表、描点、连线三步，通常称为描点法． 1 例2 画出函数y  x的图象． 2 分析 用描点法画函数图象的步骤：分为列表、描点、连线三步． 解 列表： 描点： 用光滑曲线连线： 四、交流反思 由函数解析式画函数图象，一般按下列步骤进行： 1.列表：列表给出自变量与函数的一些对应值； 2.描点：以表中对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点； 3.连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用光滑的曲线连结起来． 97描出的点越多，图象越精确．有时不能把所有的点都描出，就用光滑的曲线连结画出的点，从 而得到函数的近似的图象． 五、检测反馈 1 1.在所给的直角坐标系中画出函数y  x的图象（先填写下表，再描点、连线）． 2 6 2.画出函数y   的图象（先填写下表，再描点、然后用光滑曲线顺次连结各点）． x 3.(1)画出函数y＝2x－1的图象（在－2与2之间，每隔0.5取一个x值，列表；并在直角坐标 系中描点画图）． (2)判断下列各有序实数对是不是函数y＝2x－1的自变量x与函数y的一对对应值，如果 是，检验一下具有相应坐标的点是否在你所画的函数图象上： (－2.5,－4)，(0.25,－0.5)，(1,3)，(2.5,4)． 1 4.(1)画出函数y   x2的图象（在－4与4之间，每隔1取一个x值，列表；并在直角坐 3 标系中描点画图）． 1 (2)判断下列各有序实数对是不是函数y   x2的自变量x与函数y的一对对应值， 3 如果是，检验一下具有相应坐标的点是否在你所画的函数图象上： 1 3 1 3 1 (2,2 )， ( ,2 ) ，(－1,3)，( ,1 )． 3 2 2 2 2 5.画出下列函数的图象： (1)y＝4x－1； (2)y＝4x＋1． 9899函数的图象（3） 教案总序号：30 时间： 知识技能目标 1.使学生掌握用描点法画实际问题的函数图象； 2.使学生能从图形中分析变量的相互关系，寻找对应的现实情境，预测变化趋势等问题． 过程性目标； 通过观察实际问题的函数图象,使学生感受到解析法和图象法表示函数关系的相互转换 这一数形结合的思想． 教学过程 一、创设情境 问题 王教授和孙子小强经常一起进行早锻炼，主要活动是爬山．有一天，小强让爷爷先上， 然后追赶爷爷．图中两条线段分别表示小强和爷爷离开山脚的距离（米）与爬山所用时间 （分）的关系（从小强开始爬山时计时）． 问 图中有一个直角坐标系，它的横轴（x轴）和纵轴（y轴）各表示什么？ 答 横轴（x轴）表示两人爬山所用时间，纵轴（y轴）表示两人离开山脚的距离． 问 如图，线段上有一点P，则P的坐标是多少？表示的实际意义是什么？ 答 P的坐标是(3,90)．表示小强爬山3分后，离开山脚的距离90米． 我们能否从图象中看出其它信息呢？ 二、探究归纳 看上面问题的图，回答下列问题： (1)小强让爷爷先上多少米？ (2)山顶离山脚的距离有多少米？谁先爬上山顶？ 分析 (1)小强让爷爷先跑的路程，应该看表示爷爷的这条线段．由于从小强开始爬山时计时 的，因此这时爷爷爬山所用时间是0，而x轴表示爬山所用时间，得x＝0．可在线段上找到这 一点A（如图）．A点对应的函数值y＝60． (2) y轴表示离开山脚的距离，山顶离山脚的距离指的是离开山脚的最大距离，也就是函数 值y取最大值．可分别在这两条线段上找到这两点B、C（如图），过B、C两点分别向x轴、y轴 作垂线，可发现交y轴于同一点Q（因为两人爬的是同一座山）, Q点的数值就是山顶离山脚 的距离，分别交x轴于M、N，M、N点的数值分别是小强和爷爷爬上山顶所用的时间，比较两 值的大小就可判断出谁先爬上山顶． 100解 (1)小强让爷爷先上60米； (2)山顶离山脚的距离有300米，小强先爬上山顶． 归纳 在观察实际问题的图象时，先从两坐标轴表示的实际意义得到点的坐标意义．如图中 的点P(3,90)，这一点表示小强爬山3分后，离开山脚的距离90米．再从图形中分析两变量的 相互关系，寻找对应的现实情境．如图中的两条线段都可以看出随着自变量x的逐渐增大， 函数值y也随着逐渐增大，再联系现实情境爬山所用时间越长，离开山脚的距离越大，当x达 到最大值时，也就是到达山顶． 三、实践应用 1 8 例1 王强在电脑上进行高尔夫球的模拟练习，在某处按函数关系式y   x2  x击球， 5 5 球正好进洞．其中，y(m)是球的飞行高度，x(m)是球飞出的水平距离． (1)试画出高尔夫球飞行的路线； (2)从图象上看，高尔夫球的最大飞行高度是多少？球的起点与洞之间的距离是多少？ 1 8 分析 (1)高尔夫球飞行的路线，也就是函数y   x2  x的图象，用描点法画出图象．在 5 5 列表时要注意自变量x的取值范围，因为x是球飞出的水平距离，所以x不能取负数．在建立 直角坐标系时，横轴（x轴）表示球飞出的水平距离，纵轴（y轴）表示球的飞行高度． (2)高尔夫球的最大飞行高度就是图象上函数值y取最大值的点，如图点P，点P的纵坐标就 是高尔夫球的最大飞行高度；球的起点与球进洞点是球飞出的水平距离最小值的点和最大 值的点，如图点O和点A，点O和点A横坐标差的绝对值就是球的起点与洞之间的距离． 解 (1)列表如下： 在直角坐标系中，描点、连线，便可得到这个函数的大致图象． 101(2)高尔夫球的最大飞行高度是3.2 m，球的起点与洞之间的距离是8 m． 例2 小明从家里出发，外出散步，到一个公共阅报栏前看了一会报后，继续散步了一段时间， 然后回家．下面的图描述了小明在散步过程中离家的距离s（米）与散步所用时间（t 分）之间 的函数关系．请你由图具体说明小明散步的情况． 分析 从图中可发现函数图象分成四段，因此说明小明散步的情况应分成四个阶段． 线段OA：O点的坐标是(0,0)，因此O点表示小明这时从家里出发，然后随着x值的增大， y值也逐渐增大（散步所用时间越长，离家的距离越大），最后到达A点，A点的坐标是 (3,250)，说明小明走了约3分钟到达离家250米处的一个阅报栏． 线段AB：观察这一段图象可发现x值在增大而y值保持不变（小明这段时间离家的距离 没有改变），B点横坐标是8，说明小明在阅报栏前看了5分钟报． 线段BC：观察这一段图象可发现随着x值的增大，y值又逐渐增大，最后到达C点，C点 的坐标是(10,450)，说明小明看了5分钟报后，又向前走了2分钟，到达离家450米处． 线段CD：观察这一段图象可发现随着x值的增大，而y值逐渐减小（10分钟后散步所用 时间越长，离家的距离越小），说明小明在返回，最后到达D点，D点的纵坐标是0，表示小明 已到家．这一段图象说明从离家250米处返回到家小明走了6分钟． 解 小明先走了约3分钟，到达离家250米处的一个阅报栏前看了5分钟报，又向前走了2分 钟，到达离家450米处返回，走了6分钟到家． 四、交流反思 1.画实际问题的图象时，必须先考虑函数自变量的取值范围．有时为了表达的方便，建立直 角坐标系时，横轴和纵轴上的单位长度可以取得不一致； 1022.在观察实际问题的图象时，先从两坐标轴表示的实际意义得到点的坐标的实际意义．然后 观察图形，分析两变量的相互关系，给合题意寻找对应的现实情境． 五、检测反馈 1.下图为世界总人口数的变化图.根据该图回答： (1)从1830年到1998年，世界总人口数呈怎样的变化趋势？ (2)在图中，显示哪一段时间中世界总人口数变化最快？ 2.一枝蜡烛长20厘米，点燃后每小时燃烧掉5厘米，则下列3幅图象中能大致刻画出这枝蜡 烛点燃后剩下的长度h（厘米）与点燃时间t之间的函数关系的是( )． 3.已知等腰三角形的周长为12cm，若底边长为y cm，一腰长为x cm． (1)写出y与x的函数关系式； (2)求自变量x的取值范围； (3)画出这个函数的图象． 4.周末，小李8时骑自行车从家里出发，到野外郊游，16时回到家里．他离开家后的距离S （千米）与时间t（时）的关系可以用图中的曲线表示．根据这个图象回答下列问题： (1)小李到达离家最远的地方是什么时间？ (2)小李何时第一次休息？ (3)10时到13时，小骑了多少千米？ (4)返回时，小李的平均车速是多少？ 103104一次函数（1） 教案总序号：31 时间： 知识技能目标 1.理解一次函数和正比例函数的概念； 2.根据实际问题列出简单的一次函数的表达式． 过程性目标 1.经历由实际问题引出一次函数解析式的过程，体会数学与现实生活的联系； 2.探求一次函数解析式的求法,发展学生的数学应用能力． 教学过程 一、创设情境 问题1 小明暑假第一次去北京．汽车驶上A地的高速公路后,小明观察里程碑,发现汽车的 平均车速是95千米/小时．已知A地直达北京的高速公路全程为570千米，小明想知道汽车 从A地驶出后,距北京的路程和汽车在高速公路上行驶的时间有什么关系,以便根据时间估 计自己和北京的距离． 分析 我们知道汽车距北京的路程随着行车时间而变化,要想找出这两个变化着的量的关系, 并据此得出相应的值,显然,应该探求这两个变量的变化规律．为此,我们设汽车在高速公路 上行驶时间为t小时,汽车距北京的路程为s千米,根据题意,s和t的函数关系式是 s＝570－95t． 说明 找出问题中的变量并用字母表示是探求函数关系的第一步,这里的s、t是两个变量，s 是t的函数，t是自变量，s是因变量． 问题2 小张准备将平时的零用钱节约一些储存起来．他已存有50元,从现在起每个月节存 12元．试写出小张的存款与从现在开始的月份之间的函数关系式． 分析 我们设从现在开始的月份数为x,小张的存款数为y元,得到所求的函数关系式为：y＝ 50＋12x． 问题3 以上问题1和问题2表示的这两个函数有什么共同点? 二、探究归纳 上述两个问题中的函数解析式都是用自变量的一次整式表示的．函数的解析式都是用 自变量的一次整式表示的，我们称它们为一次函数(linear function)．一次函数通常可以表示 为y＝kx＋b的形式，其中k、b是常数，k≠0． 特别地，当b＝0时，一次函数y＝kx（常数k≠0）出叫正比例函数(direct proportional function)．正比例函数也是一次函数，它是一次函数的特例． 三、实践应用 例1 下列函数关系中，哪些属于一次函数，其中哪些又属于正比例函数？ (1)面积为10cm2的三角形的底a(cm)与这边上的高h(cm)； (2)长为8(cm)的平行四边形的周长L(cm)与宽b(cm)； (3)食堂原有煤120吨，每天要用去5吨，x天后还剩下煤y吨； (4)汽车每小时行40千米，行驶的路程s（千米）和时间t（小时）． 分析 确定函数是否为一次函数或正比例函数，就是看它们的解析式经过整理后是否符合y ＝kx＋b(k≠0)或y＝kx(k≠0)形式，所以此题必须先写出函数解析式后解答． 10520 解 (1)a  ，不是一次函数． h (2)L＝2b＋16，L是b的一次函数． (3)y＝150－5x，y是x的一次函数． (4)s＝40t,s既是t的一次函数又是正比例函数． 例2 已知函数y＝(k－2)x＋2k＋1，若它是正比例函数，求k的值．若它是一次函数，求k的 值． 分析 根据一次函数和正比例函数的定义,易求得k的值． 1 解 若y＝(k－2)x＋2k＋1是正比例函数,则2k＋1＝0,即k＝ ． 2 若y＝(k－2)x＋2k＋1是一次函数,则k－2≠0,即k≠2． 例3 已知y与x－3成正比例，当x＝4时，y＝3． (1)写出y与x之间的函数关系式； (2)y与x之间是什么函数关系； (3)求x＝2.5时，y的值． 解 (1)因为 y与x－3成正比例,所以y＝k(x－3)． 又因为x＝4时，y＝3，所以3＝ k(4－3)，解得k＝3， 所以y＝3(x－3)＝3x－9． (2) y是x的一次函数． (3)当x＝2.5时，y＝3×2.5＝7.5． 例4 已知A、B两地相距30千米，B、C两地相距48千米．某人骑自行车以每小时12千米的 速度从A地出发，经过B地到达C地．设此人骑行时间为x（时），离B地距离为y（千米）． (1)当此人在A、B两地之间时，求y与x的函数关系及自变量x取值范围． (2)当此人在B、C两地之间时，求y与x的函数关系及自变量x的取值范围． 分析 (1)当此人在A、B两地之间时，离B地距离y为A、B两地的距离与某人所走的路程的 差． (2)当此人在B、C两地之间时，离B地距离y为某人所走的路程与A、B两地的距离的差． 解 (1) y＝30－12x．(0≤x≤2.5) (2) y＝12x－30．(2.5≤x≤6.5) 例5 某油库有一没储油的储油罐，在开始的8分钟时间内，只开进油管，不开出油管，油罐 的进油至24吨后，将进油管和出油管同时打开16分钟，油罐中的油从24吨增至40吨．随后 又关闭进油管，只开出油管，直至将油罐内的油放完．假设在单位时间内进油管与出油管的 106流量分别保持不变．写出这段时间内油罐的储油量y（吨）与进出油时间x（分）的函数式及相 应的x取值范围． 分析 因为在只打开进油管的8分钟内、后又打开进油管和出油管的16分钟和最后的只开出 油管的三个阶级中，储油罐的储油量与进出油时间的函数关系式是不同的，所以此题因分三 个时间段来考虑．但在这三个阶段中，两变量之间均为一次函数关系． 解 在第一阶段：y＝3x(0≤x≤8)； 在第二阶段：y＝16＋x(8≤x≤16)； 在第三阶段：y＝－2x＋88(24≤x≤44)． 四、交流反思 一次函数、正比例函数以及它们的关系： 函数的解析式都是用自变量的一次整式表示的，我们称它们为一次函数(linear function)．一次函数通常可以表示为y＝kx＋b的形式，其中k、b是常数，k≠0． 特别地，当b＝0时，一次函数y＝kx（常数k≠0）出叫正比例函数(direct proportional function)．正比例函数也是一次函数，它是一次函数的特例． 五、检测反馈 1.已知y－3与x成正比例，且x＝2时，y＝7 (1)写出y与x之间的函数关系． (2)y与x之间是什么函数关系． (3)计算y＝－4时x的值． 2.甲市到乙市的包裹邮资为每千克0.9元，每件另加手续费0.2元，求总邮资y（元）与包裹 重量x（千克）之间的函数解析式，并计算5千克重的包裹的邮资． 3.仓库内原有粉笔400盒．如果每个星期领出36盒，求仓库内余下的粉笔盒数Q与星期数t 之间的函数关系． 4.今年植树节，同学们种的树苗高约1.80米．据介绍，这种树苗在10年内平均每年长高 0.35米．求树高与年数之间的函数关系式．并算一算4年后同学们中学毕业时这些树约有多 高． 5.按照我国税法规定：个人月收入不超过800元，免交个人所得税．超过800元不超过1300 元部分需缴纳5%的个人所得税．试写出月收入在800元到1300元之间的人应缴纳的税金y （元）和月收入x（元）之间的函数关系式． 107一次函数（2） 教案总序号：32 时间： 知识技能目标 1.理解一次函数和正比例函数的图象是一条直线； 2.熟练地作出一次函数和正比例函数的图象，掌握 k与b的取值对直线位置的影响． 过程性目标 1.经历一次函数的作图过程，探索某些一次函数图象的异同点； 2.体会用类比的思想研究一次函数，体验研究数学问题的常用方法：由特殊到一般，由简单 到复杂． 教学过程 一、创设情境 前面我们学习了用描点法画函数的图象的方法，下面请同学们根据画图象的步骤：列表、 描点、连线，在同一平面直角坐标系中画出下列函数的图象 ． 1 1 (1)y  x； (2)y  x2； 2 2 (3) y＝3x； (4) y＝3x＋2． 同学们观察并互相讨论，并回答：你所画出的图象是什么形状． 二、探究归纳 观察上面四个函数的图象，发现它们都是直线．请同学举例对你们的发现作出验证． 一次函数 y＝kx＋b(k≠0)的图象是一条直线，这条直线通常又称为直线 y＝kx＋ b(k≠0)．特别地，正比例函数y＝kx(k≠0)是经过原点的一条直线． 问 几点可以确定一条直线? 答 两点． 结论 那么今后画一次函数图象时只要取两点，过两点画一条直线就可以了． 请同学们在同一平面直角坐标系中画出下列函数的图象． 108(1)y＝-x、y＝-x＋1与y＝-x-2； (2)y＝2x、y＝2x＋1与y＝2x-2． 通过观察发现: (1)第一组三条直线互相平行，第二组的三条直线也互相平行．为什么呢?因为每一组的三条 直线的k相同；还可以看出，直线y＝-x＋1与y＝-x-2是由直线y＝-x分别向上移动1个单 位和向下移动2个单位得到的；而直线y＝2x＋1与y＝2x-2是由直线y＝2x分别向上移动1 个单位和向下移动2个单位得到的． (2)y＝-x与 y＝2x、y＝-x＋1与y＝2x＋1、y＝-x-2与y＝2x-2的交点在同一点，为什么呢？ 因为每两条直线的b相同；而直线与y轴的交点纵坐标取决于b． 所以，两个一次函数，当k一样，b不一样时（如y＝-x、y＝-x＋1与y＝-x-2；y＝2x、y＝ 2x＋1与y＝2x-2），有 共同点：直线平行，都是由直线y＝kx(k≠0)向上或向下移动得到； 不同点：它们与y轴的交点不同． 而当两个一次函数，b一样，k不一样时（如y＝-x与 y＝2x、y＝-x＋1与y＝2x＋1、y＝- x-2与y＝2x-2），有 共同点：它们与y轴交于同一点(0,b)； 不同点：直线不平行． 三、实践应用 例1 在同一平面直角坐标系中画出下列每组函数的图象． (1)y＝2x与y＝2x＋3； 1091 (2)y＝3x＋1与y  x1． 2 解 注 画出图象后，同学间互相讨论、交流，看看是否与上面的结果一样． 想一想 (1)上面每组中的两条直线有什么关系？(2)你取的是哪几个点，互相交流，看谁取 的点比较简便． 通过比较，老师点拨，得出结论：一般情况下，要取直线与x轴、y轴的交点比较简便． 1 1 1 例2 直线y   x3,y   x5分别是由直线y   x经过怎样的移动得到的． 2 2 2 分析 只要k相同，直线就平行，一次函数y＝kx＋b(k≠0)是由正比例函数的图象y＝ kx(k≠0)经过向上或向下平移 b 个单位得到的．b＞0，直线向上移；b＜0，直线向下移． 1101 1 1 解 y   x3是由直线y   x向上平移3个单位得到的；而y   x5是由直线 2 2 2 1 y   x向下平移5个单位得到的． 2 1 例3 说出直线y＝3x＋2与y  x2；y＝5x-1与y＝5x-4的相同之处． 2 分析 k相同，直线就平行．b相同，直线与y轴交于同一点，且交点坐标为(0,b)． 1 解 直线y＝3x＋2与y  x2的b相同，所以这两条直线与y轴交于同一点，且交点坐标 2 为(0,2)； 直线y＝5x-1与y＝5x-4的k都是5，所以这两条直线互相平行． 例4 画出直线y＝-2x＋3，借助图象找出: (1)直线上横坐标是2的点； (2)直线上纵坐标是-3的点； (3)直线上到y轴距离等于1的点． 解 (1)直线上横坐标是2的点是A(2,-1)； (2)直线上纵坐标是-3的点B(3,-3)； (3)直线上到y轴距离等于1的点C(1,1)和D(-1,5)． 四、交流反思 通过这节课的学习，我们学到了哪些新知识？ 1．一次函数的图象是一条直线． 2．画一次函数图象时，只要取两个点即可，一般取直线与x轴、y轴的交点比较简便． 3．两个一次函数，当k一样，b不一样时，共同之处是直线平行，都是由直线y＝kx(k≠0) 向上或向下移动得到，不同之处是它们与y轴的交点不同；当b一样，k不一样时，共同之处 111是它们与y轴交于同一点(0,b)，不同之处是直线不平行． 五、检测反馈 1.在同一坐标系中画出下列函数的图象，并说出它们有什么关系？ (1)y＝―2x； (2) y＝―2x―4． 2.(1)将直线y＝3x向下平移2个单位，得到直线 ； (2)将直线y＝-x-5向上平移5个单位，得到直线 ； (3)将直线y＝-2x＋3向下平移5个单位，得到直线 ． 3.函数y＝kx-4的图象平行于直线y＝-2x，求函数的表达式． 1 4.一次函数y＝kx＋b的图象与y轴交于点(0,-2)，且与直线y 3x 平行，求它的函数表 2 达式． 112一次函数（3） 教案总序号：33 时间： 知识技能目标 1.使学生熟练地作出一次函数的图象,会求一次函数与坐标轴的交点坐标； 2.会作出实际问题中的一次函数的图象. 过程性目标 1.通过画一次函数图象和实际问题中的一次函数图象，感受数学来源于生活又应用于生活； 2.探索一次函数图象的特点体会用“数形结合”思想解决数学问题． 教学过程 一、创设情境 1.一次函数的图象是什么，如何简便地画出一次函数的图象？ （一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是一条直线，画一次函数图象时，取两点即可画出函数的 图象）. 2.正比例函数y＝kx(k≠0)的图象是经过哪一点的直线？ （正比例函数y＝kx(k≠0)的图象是经过原点(0，0)的一条直线）. 3.平面直角坐标系中，x轴、y轴上的点的坐标有什么特征？ 1 4.在平面直角坐标系中,画出函数y  x1的图象.我们画一次函数时,所选取的两个点 2 有什么特征,通过观察图象,你发现这两个点在坐标系的什么地方? 二、探究归纳 1 1.在画函数y  x1的图象时，通过列表，可知我们选取的点是(0,-1)和(2,0)，这两点都 2 在坐标轴上，其中点(0,-1)在y轴上，点(2,0)在x轴上，我们把这两个点依次叫做直线与y 轴与x轴的交点. 2.求直线y＝-2x-3与x轴和y轴的交点，并画出这条直线. 分析 x轴上点的纵坐标是0，y轴上点的横坐标0．由此可求x轴上点的横坐标值和y轴上点 的纵坐标值． 解 因为x轴上点的纵坐标是0，y轴上点的横坐标0，所以当y＝0时，x＝-1.5，点(-1.5,0)就 是直线与x轴的交点；当x＝0时，y＝-3，点(0，-3)就是直线与y轴的交点. 过点(-1.5,0)和(0，-3)所作的直线就是直线y＝-2x-3. b 所以一次函数y＝kx＋b,当x＝0时，y＝b；当y＝0时，x   .所以直线y＝kx＋b与y k  b  轴的交点坐标是(0,b),与x轴的交点坐标是 ,0.  k  113三、实践应用 例1 若直线y＝-kx＋b与直线y＝-x平行，且与y轴交点的纵坐标为-2；求直线的表达式. 分析 直线y＝-kx＋b与直线y＝-x平行，可求出k的值,与y轴交点的纵坐标为-2,可求出b 的值. 解 因为直线y＝-kx＋b与直线y＝-x平行，所以k＝-1,又因为直线与y轴交点的纵坐标 为-2,所以b＝-2,因此所求的直线的表达式为y＝-x-2. 3 例2 求函数y  x3与x轴、y轴的交点坐标，并求这条直线与两坐标轴围成的三角形的 2 面积. 3 分析 求直线y  x3与x轴、y轴的交点坐标，根据x轴、y轴上点的纵坐标和横坐标分别 2 3 为0，可求出相应的横坐标和纵坐标；结合图象，易知直线y  x3与x轴、y轴围成的三 2 3 角形是直角三角形，两条直角边就是直线y  x3与x轴、y轴的交点与原点的距离. 2 解 当y＝0时，x＝2，所以直线与x轴的交点坐标是A(2,0)；当x＝0时，y＝-3,所以直线与y 轴的交点坐标是B(0，-3). 1 1 S  OAOB  233. OAB 2 2 例3 画出第一节课中问题(1)中小明距北京的路程s（千米）与在高速公路上行驶的时间t （时）之间函数s＝570-95t的图象. 分析 这是一题与实际生活相关的函数应用题，函数关系式s＝570-95t中，自变量t是小明在 高速公路上行驶的时间，所以0≤t≤6,画出的图象是直线的一部分.再者，本题中t和s取值 悬殊很大，故横轴和纵轴所选取的单位长不一致. 114讨论 1.上述函数是否是一次函数？这个函数的图象是什么？ 2.在实际问题中，一次函数的图象除了直线和本题的图形外，还有没有其他的情形？你能不 能找出几个例子加以说明. 例4 旅客乘车按规定可以免费携带一定重量的行李．如果所带行李超过了规定的重量，就要 按超重的千克收取超重行李费．已知旅客所付行李费y（元）可以看成他们携带的行李质量x （千克）的一次函数为 16．画出这个函数的图象，并求旅客最多可以免费携带多少千克的行 李？ 分析 求旅客最多可以免费携带多少千克的行李数，即行李费为0元时的行李数．为此只需 求一次函数与x轴的交点横坐标的值．即当y＝0时，x＝30．由此可知这个函数的自变量的取 值范围是x≥30． 解 函数 16(x≥30)图象为： 当y＝0时，x＝30. 所以旅客最多可以免费携带30千克的行李. 例5 今年入夏以来，全国大部分地区发生严重干旱．某市自来水公司为了鼓励市民节约用水， 采取分段收费标准，若某户居民每月应交水费y（元）是用水量x（吨）的函数，当0≤x≤5时， y＝0.72x,当x＞5时，y＝0.9x-0.9． (1)画出函数的图象； (2)观察图象，利用函数解析式，回答自来水公司采取的收费标准. 分析 画函数图象时，应就自变量0≤x≤5和x＞5分别画出图象，当0≤x≤5时，是正比例函 数，当x＞5是一次函数，所以这个函数的图象是一条折线. 解 (1)函数的图象是： 115(2)自来水公司的收费标准是：当用水量在5吨以内时，每吨0.72元；当用水量在5吨以 上时，每吨0.90元. 四、交流反思 b 1.一次函数y＝kx＋b,当x＝0时，y＝b；当y＝0时，x   .所以直线y＝kx＋b与y轴的交 k  b  点坐标是(0,b),与x轴的交点坐标是 ,0；  k  2.在画实际问题中的一次函数图象时，要考虑自变量的取值范围，画出的图象往往不再是一 条直线. 五、检测反馈 1.求下列直线与x轴和y轴的交点，并在同一直角坐标系中画出它们的图象. 2 (1)y＝4x-1； (2)y   x2. 3 2.利用例3的图象，求汽车在高速公路上行驶4小时后，小明离北京的路程. 3.已知函数y＝2x-4. (1)作出它的图象； (2)标出图象与x轴、y轴的交点坐标； (3)由图象观察，当-2≤x≤4时，函数值y的变化范围. 4.一次函数y＝3x＋b的图象与两坐标轴围成的三角形面积是24，求b. 5.某水果批发市场规定，批发苹果不小于100千克时，批发价为每千克2.5元．小王携带现金 3000元到这市场采购苹果，并以批发价买进．如果购买的苹果为x千克，小王付款后的剩余 现金为y元，试写出y与x之间的函数关系式并指出自变量的取值范围，画出这个函数的图 象． 116一次函数（4） 教案总序号：34 时间： 知识技能目标 1.掌握一次函数y＝kx＋b(k≠0)的性质. 2.能根据k与b的值说出函数的有关性质. 过程性目标 1.经历探索一次函数图象性质的过程，感受一次函数中k与b的值对函数性质的影响； 2.观察图象，体会一次函数k、b的取值和直线位置的关系，提高学生数形结合能力． 教学过程 一、创设情境 1.一次函数的图象是一条直线，一般情况下我们画一次函数的图象，取哪两个点比较简便？ 2 2.在同一直角坐标系中，画出函数y  x1和y＝3x-2的图象. 3 问 在你所画的一次函数图象中，直线经过几个象限. 二、探究归纳 1.在所画的一次函数图象中，直线经过了三个象限. 2 2.观察图象发现在直线y  x1上，当一个点在直线上从左向右移动时，（即自变量x从 3 小到大时），点的位置也在逐步从低到高变化（函数y的值也从小变到大）. 即：函数值y随自变量x的增大而增大. 请同学们讨论：函数y＝3x-2是否也有这种现象? 既然，一次函数的图象经过三个象限，观察上述两个函数的图象，从它经过的象限看，它 必经过哪两个象限（可以再画几条直线分析）？ 发现上述两条直线都经过一、三象限．又由于直线与y轴的交点坐标是(0,b)所以，当b ＞0时，直线与x轴的交点在y轴的正半轴，也称在x轴的上方；当b＜0时，直线与x轴的交 点在y轴的负半轴，也称在x轴的下方．所以当k＞0,b≠0时，直线经过一、三、二象限或一、 117三、四象限. 3 3.在同一坐标系中，画出函数y＝-x＋2和y   x1的图象（图略）. 2 根据上面分析的过程，请同学们研究这两个函数图象是否也有相应的性质？你能发现 什么规律. 3 观察函数y＝-x＋2和y   x1的图象发现：当一个点在直线上从左向右移动时(即 2 自变量x从小到大时)，点的位置逐步从高到低变化（函数y的值也从大变到小）. 即：函数值y随自变量x的增大而减小. 又发现上述两条直线都经过二、四象限，且当b＞0时，直线与x轴的交点在y轴的正半 轴，或在x轴的上方；当b＜0时，直线与x轴的交点在y轴的负半轴，或在x轴的下方.所以 当k＜0,b≠0时，直线经过二、四、一象限或经过二、四、三象限. 一次函数y＝kx＋b有下列性质： (1)当k＞0时，y随x的增大而增大，这时函数的图象从左到右上升； (2)当k＜0时，y随x的增大而减小，这时函数的图象从左到右下降. 特别地，当b＝0时，正比例函数也有上述性质. 当b＞0,直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，直线与y轴交于正半轴. 下面，我们把一次函数中k与b的正、负与它的图象经过的象限归纳列表为： 4.利用上面的性质，我们来看问题1和问题2反映了怎样的实际意义？ 问题1 随着时间的增长,小明离北京越来越近. 问题2 随着时间的增长,小张的存款越来越多. 三、实践应用 例1 已知一次函数y＝(2m-1)x＋m＋5,当m是什么数时，函数值y随x的增大而减小？ 分析 一次函数y＝kx＋b(k≠0)，若k＜0，则y随x的增大而减小． 解 因为一次函数y＝(2m-1)x＋m＋5，函数值y随x的增大而减小． 1 所以，2m-1＜0,即m . 2 例2 已知一次函数y＝(1-2m)x＋m-1，若函数y随x的增大而减小，并且函数的图象经过二、 三、四象限,求m的取值范围. 分析 一次函数y＝kx＋b(k≠0)，若函数y随x的增大而减小，则k＜0,若函数的图象经过二、 118三、四象限，则k＜0,b＜0. 12m0 解 由题意得: , m10 1 解得，  m1 2 例3 已知一次函数y＝(3m-8)x＋1-m图象与y轴交点在x轴下方，且y随x的增大而减小， 其中m为整数. (1)求m的值；(2)当x取何值时，0＜y＜4？ 分析 一次函数y＝kx＋b(k≠0)与y轴的交点坐标是(0,b)，而交点在x轴下方，则b＜0,而y 随x的增大而减小,则k＜0. 3m80 解 (1)由题意得： ， 1m0 8 解之得，1 m ,又因为m为整数,所以m＝2. 3 (2)当m＝2时，y＝-2x-1. 又由于0＜y＜4.所以0＜-2x-1＜4. 5 1 解得：  m . 2 2 例4 画出函数y＝-2x＋2的图象，结合图象回答下列问题： (1)这个函数中，随着x的增大，y将增大还是减小？它的图象从左到右怎样变化？ (2)当x取何值时，y＝0? (3)当x取何值时，y＞0？ 分析 (1)由于k＝-2＜0,y随着x的增大而减小. (2) y＝0,即图象上纵坐标为0的点,所以这个点在x轴上. (3) y＞0,即图象上纵坐标为正的点,这些点在x轴的上方. 解 (1)由于k＝-2＜0,所以随着x的增大，y将减小. 当一个点在直线上从左向右移动时，点 的位置也在逐步从高到低变化,即图象从左到右呈下降趋势. 119(2)当x＝1时, y＝0 . (3)当x＜1时, y＞0. 四、交流反思 1．(1)当k＞0时，y随x的增大而增大，这时函数的图象从左到右上升； (2)当k＜0时，y随x的增大而减小，这时函数的图象从左到右下降. 当b>0,直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，直线与y轴交于负半轴；当b=0时，直线与y轴交 于坐标原点. 2．k＞0,b＞0时，直线经过一、二、三象限；k＞0,b＜0时，直线经过一、三、四象限； k＜0,b＞0时，直线经过一、二、四象限；k＜0,b＜0时，直线经过二、三、四象限. 五、检测反馈 1.已知函数y (m1)xm2m1 m,当m为何值时，这个函数是一次函数.并且图象经过第 二、三、四象限？ 2.已知关于x的一次函数y＝(-2m＋1)x＋2m2＋m-3. (1)若一次函数为正比例函数，且图象经过第一、第三象限，求m的值； (2)若一次函数的图象经过点(1，-2),求m的值. 2 3.已知函数y (m3)x . 3 (1)当m取何值时，y随x的增大而增大? (2)当m取何值时，y随x的增大而减小? 1  2 4.已知点(-1,a)和 ,b都在直线y  x3上，试比较a和b的大小.你能想出几种判断 2  3 的方法？ 5.某个一次函数的图象位置大致如下图所示，试分别确定k、b的符号，并说出函数的性质. 120一次函数（5） 教案总序号：35 时间： 知识技能目标 1.使学生理解待定系数法； 2.能用待定系数法求一次函数,用一次函数表达式解决有关现实问题． 过程性目标 1.感受待定系数法是求函数解析式的基本方法, 体会用“数”和“形”结合的方法求函数 式； 2.结合图象寻求一次函数解析式的求法，感受求函数解析式和解方程组间的转化． 教学过程 一、创设情境 一次函数关系式y＝kx＋b(k≠0)，如果知道了k与b的值，函数解析式就确定了，那么有 怎样的条件才能求出k和b呢？ 问题1 已知一个一次函数当自变量x＝-2时，函数值y＝-1,当x＝3时，y＝-3．能否写出这 个一次函数的解析式呢？ 根据一次函数的定义，可以设这个一次函数为:y＝kx＋b(k≠0),问题就归结为如何求出 k与b的值． 由已知条件x＝-2时，y＝-1，得 -1＝-2k＋b． 由已知条件x＝3时，y＝-3， 得 -3＝3k＋b． 两个条件都要满足，即解关于x的二元一次方程  2 k   1 2k b,   5  解得 33k b.  9 b     5 2 9 所以，一次函数解析式为y   x ． 5 5 问题2 已知弹簧的长度y（厘米）在一定的限度内是所挂物质量x（千克）的一次函数．现已测 得不挂重物时弹簧的长度是6厘米，挂4千克质量的重物时，弹簧的长度是7.2厘米,求这个 一次函数的关系式． 考虑 这个问题中的不挂物体时弹簧的长度6厘米和挂4千克质量的重物时，弹簧的长度 7.2厘米,与一次函数关系式中的两个x、y有什么关系？ 二、探究归纳 上题可作如下分析： 已知y是x的函数关系式是一次函数，则关系式必是y＝kx＋b的形式，所以要求的就是 系数k和b 的值．而两个已知条件就是x和y的两组对应值，也就是当x＝0时，y＝6；当x＝4 时，y＝7.2．可以分别将它们代入函数式，转化为求k与b 的二元一次方程组，进而求得k与 b的值． 解 设所求函数的关系式是y＝kx＋b(k≠0),由题意，得 6 b,  7.2  4k b. 解这个方程组，得 121k 0.3,  b 6. 所以所求函数的关系式是y＝0.3x＋6．(其中自变量有一定的范围) 讨论 1．本题中把两对函数值代入解析式后，求解k和b的过程，转化为关于k和b的二元一 次方程组的问题． 2．这个问题是与实际问题有关的函数，自变量往往有一定的范围． 问题3 若一次函数y＝mx-(m-2)过点(0,3)，求m的值． 分析 考虑到直线y＝mx-(m-2)过点(0,3)，说明点(0,3)在直线上，这里虽然已知条件中没 有直接给出x和y的对应值，但由于图象上每一点的坐标(x,y)代表了函数的一对对应值，它 的横坐标x表示自变量的某一个值，纵坐标y表示与它对应的函数值．所以此题转化为已知x ＝0时，y＝3，求m．即求关于m的一元一次方程． 解 当x＝0时，y＝3．即：3＝-(m-2)．解得m＝-1． 这种先设待求函数关系式（其中含有未知的常数系数），再根据条件列出方程或方程组， 求出未知系数，从而得到所求结果的方法，叫做待定系数法(method of undetermined coefficient)． 三、实践应用 例1 已知一次函数y＝kx＋b的图象经过点(-1,1)和点(1，-5),求当x＝5时，函数y的值． 分析 1．图象经过点(-1,1)和点(1，-5)，即已知当x＝-1时，y＝1；x＝1时，y＝-5．代入函数 解析式中，求出k与b． 2．虽然题意并没有要求写出函数的关系式，但因为要求x＝5时，函数y的值，仍需从求 函数解析式着手． 1 k b, 解 由题意，得 5 k b. k  3, 解这个方程组，得  b  2. 这个函数解析式为y＝-3x-2． 当x＝5时，y＝-3×5-2＝-17． 例2 已知一次函数的图象如下图，写出它的关系式． 分析 从“形” 看，图象经过x轴上横坐标为2的点，y轴上纵坐标是-3的点．从“数”看， 坐标(2,0),(0,-3)满足解析式． 解 设：所求的一次函数的解析式为y＝kx＋b(k≠0)． 直线经过点(2,0),(0,-3),把这两点坐标代入解析式,得 122 3 0 2k b, k  ,  解得  2 3b.  b  3. 3 所以所求的一次函数的关系式是y  x2． 2 例3 求直线y＝2x和y＝x＋3的交点坐标． 分析 两个函数图象的交点处，自变量和对应的函数值同时满足两个函数关系式．而两个函 数关系式就是方程组中的两个方程．所以交点坐标就是方程组的解． y  2x, 解 两个函数关系式组成的方程组为 y  x3. x 3, 解这个方程组，得 y 6. 所以直线y＝2x和y＝x＋3的交点坐标为(3，6)． 例4 已知两条直线y＝2x-3和y＝5-x． 1 2 (1)在同一坐标系内作出它们的图象； (2)求出它们的交点A坐标； (3)求出这两条直线与x轴围成的三角形ABC的面积； (4)k为何值时，直线2k＋1＝5x＋4y与k＝2x＋3y的交点在每四象限． 分析 (1)这两个都是一次函数，所以它们的图象是直线，通过列表，取两点，即可画出这两条 直线． (2)两条直线的交点坐标是两个解析式组成的方程组的解． (3)求出这两条直线与x轴的交点坐标B、C，结合图形易求出三角形ABC的面积． (4)先求出交点坐标，根据第四象限内的点的横坐标为正，纵坐标为负，可求出k的取值范围． 解 (1)  8 x  ,  y  2x3,  3 (2) 1 解得  y 2 5x.  y  7 .   3 8 7 所以两条直线的交点坐标A为 , ． 3 3 3 (3)当y ＝0时，x＝ 所以直线y ＝2x-3与x轴的交 1 2 1 1233 点坐标为B( ，0)，当y＝0时，x＝5，所以直线y＝5-x与x轴的交点坐标为C(5,0)．过点A 2 2 2 1 1 7 7 49 作AE⊥x轴于点E，则S  BCAE     ． ABC 2 2 2 3 12 2k 15x4y, (4)两个解析式组成的方程组为 k  2x3y.  2k 3 x  ,   7 解这个关于x、y的方程组，得 k 2  y  .   7 由于交点在第四象限，所以x＞0,y＜0． 2k 3 0,   7 3 即 解得   k  2．  k 2 2 0.   7 四、交流反思 本节课，我们讨论了一次函数解析式的求法 1.求一次函数的解析式往往用待定系数法，即根据题目中给出的两个条件确定一次函数解 析式y＝kx＋b(k≠0)中两个待定系数k和b的值； 2.用一次函数解析式解决实际问题时，要注意自变量的取值范围． 3.求两个一次函数图象的交点坐标即以两解析式为方程的方程组的解． 五、检测反馈 1.根据下列条件写出相应的函数关系式． (1)直线y＝kx＋5经过点(-2,-1)； (2)一次函数中，当x＝1时，y＝3；当x＝-1时，y＝7． 2.写出两个一次函数，使它们的图象都经过点(-2,3)． 3.如图是某长途汽车站旅客携带行李费用示意图．试说明收费方法，并写出行李费y（元）与 行李重量x（千克）之间的函数关系． 4.一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象经过点(3,3)和(1,-1)．求它的函数关系式，并画出图象． 5.陈华暑假去某地旅游，导游要大家上山时多带一件衣服，并介绍当地山区海拔每增加100 米，气温下降0.6℃．陈华在山脚下看了一下随带的温度计，气温为34℃，乘缆车到山顶发现 温度为32.2℃．求山高． 124实践与探索（1） 教案总序号：36 时间： 知识技能目标 1.使学生理解二元一次方程组的解是两条直线的交点坐标，并能通过图象法来求二元一次 方程组的解； 2.让学生了解到函数是刻画和研究现实世界数量关系的重要数学模型，也是一种重要的数 学思想，培养和提高学生在数学学习中的创造和应用函数的能力． 过程性目标 1.使学生体会到实际问题中数量之间的相互关系，学会用函数的思想去进行描述、研究其内 在联系和变化规律； 2.通过图象获取函数相关信息，运用图象来解释实际问题中相关量的涵义； 3.使学生体会到二元一次方程组的解是两条直线的交点坐标，能通过图象法来求二元一次 方程组的解． 教学过程 一、创设情境 问题 学校有一批复印任务，原来由甲复印社承接，按每100页40元计费．现乙复印社表示： 若学校先按月付给一定数额的承包费，则可按每100页15元收费．两复印社每月收费情况 如下图所示． 根据图象回答： (1)乙复印社的每月承包费是多少？ (2)当每月复印多少页时，两复印社实际收费相同？ (3)如果每月复印页数在1200页左右，那么应选择哪个复印社？ 二、探究归纳 问 “乙复印社的每月承包费”在图象上怎样反映出来？ 答 “乙复印社的每月承包费”指当x＝0时，y的值，从图中可以看出乙复印社的每月承包 费是200元． 问 “收费相同”在图象上怎样反映出来？ 答 “收费相同”是指当x取相同的值时，y 相等，即两条射线的交点．我们看到，两个一次函 数图象的交点处，自变量和对应的函数值同时满足两个函数的关系式．而两个一次函数的关 系式就是方程组中的两个方程，所以交点的坐标就是方程组的解．据此，我们可以利用图象 来求某些方程组的解． 问 如何在图象上看出函数值的大小？ 答 作一条x轴的垂线，如下图，此时x的值相同，它与哪一条射线的交点较高，就表示对应 函数值较大，收费就较高；反之，它与另一条射线的交点较低，就表示对应函数值较小，收费 就较低．从图中可以看出，如果每月复印页数在1200页左右，那么应选择乙复印社收费较低． 125三、实践应用 例1 小张准备将平时的零用钱节约一些储存起来．他已存有50元，从现在起每个月节存12 元．小张的同学小王以前没有存过零用钱，听到小张在存零用钱，表示从小张存款当月起每 个月存18元，争取超过小张．请你写出小张和小王存款和月份之间的函数关系，并计算半年 以后小王的存款是多少，能否超过小张？至少几个月后小王的存款能超过小张？ 解 设小张存x个月的存款是y 元，小王的存x个月的存款是y 元， 1 2 则y＝50＋12x，y＝18x， 1 2 当x＝6时，y＝50＋12×6＝122（元）， y＝18×6＝108（元）． 1 2 所以半年后小王的存款不能超过小张． 1 由y＞y，即18x＞ 50＋12x，得x＞8 ， 2 1 3 所以9个月后，小王的存款能超过小张． y 5012x, 思考：①求 的解．②观察两直线交点 y 18x. 坐标与这个方程组的解有什么关系． 结论 我们看到，两个一次函数图象的交点处，自变量 和对应的函数值同时满足两个函数的关系式．而两个 一次函数的关系式就是方程组中的两个方程，所以交 点的坐标就是方程组的解．据此，我们可以利用图象 来求某些方程组的解． y  2x5, 例2 利用图象解方程组 解 在直角坐标 y  x1. 系中画出两条直线，如下图所示． 两条直线的交点坐标是(2,-1)，所以方程组的解为 126x  2,  y  1. 例3 下图表示一艘轮船和一艘快艇沿相同路线从甲港出发到乙港行驶过程中路程随时间变 化的图象（分别是正比例函数图象和一次函数图象）．根据图象解答下列问题： (1)请分别求出表示轮船和快艇行驶过程的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)轮船和快艇在途中（不包括起点和终点）行驶的速度分别是多少？ (3)问快艇出发多长时间赶上轮船？ 解 (1)设表示轮船行驶过程的函数解析式为y＝kx(k≠0), 由图象知：当x＝8时，y＝160． 代入上式，得8k＝160, 可解得k＝20． 所以轮船行驶过程的函数解析式为y＝20x． 设表示快艇行驶过程的函数解析式为y＝ax＋b(a≠0), 由图象知：当x＝2时，y＝0；当x＝6时，y＝160． 2ab 0, 代入上式，得 6ab 160. a  40， 可解得 b  80． 所以快艇行驶过程的函数解析式为y＝40x－80． (2)由图象可知，轮船在8小时内行驶了160千米，快艇在4小时内行驶了160千米，所以轮 160 160 船的速度是  20（千米/时），快艇的速度是  40（千米/时）． 8 4 (3)设轮船出发x小时快艇赶上轮船， 20x＝40x-80 得x＝4,x－2＝2． 答 快艇出发了2小时赶上轮船． 四、交流反思 1.实际问题中数量之间的相互关系，用函数的思想去进行描述、研究其内在联系和变化规律； 2.使学生体会到二元一次方程组的解是两条直线的交点坐标，能通过图象法来求二元一次 127方程组的解． 五、检测反馈 1.利用图象解下列方程组： y  2x1,  2x y  2, (1) 1 (2)  y  x4. x y  5.  2 2.已知直线y＝2x＋1和y＝3x＋b的交点在第三象限，写出常数b可能的两个数值． 3.学校准备去白云山春游．甲、乙两家旅行社原价都是每人60元，且都表示对学生优惠．甲 旅行社表示： 全部8折收费；乙旅行社表示： 若人数不超过30人则按9折收费，超过30人 按7折收费． (1)设学生人数为x，甲、乙两旅行社实际收取总费用为y、y（元），试分别列出y、y 与x 1 2 1 2 的函数关系式（y 应分别就人数是否超过30两种情况列出）； 2 (2)讨论应选择哪家旅行社较优惠； (3)试在同一直角坐标系内画出(1)题两个函数的图象，并根据图象解释题(2)题讨论的结 果． 4.药品研究所开发一种抗菌新药．经多年动物实验，首次用于临床人体试验．测得成人服药 后血液中药物浓度y（微克／毫升）与服药后时间x（时）之间的函数关系如下图．请你根据图 象： (1)说出服药后多少时间血液中药物浓度最高？ (2)分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段y与x的函数关系式． 128实践与探索（2） 教案总序号：37 时间： 知识技能目标 1.使学生理解并掌握一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的相互联系； 2.使学生能初步运用函数的图象来解释一元一次方程、一元一次不等式的解集，并能通过函 数图象来回答一元一次方程、一元一次不等式的解集． 过程性目标 1.使学生体会到一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的相互联系； 2.使学生感受到“数形结合”在数学研究和探究现实生活数量关系及其变化规律中的作用． 3.能运用函数的图象来解释一元一次方程、一元一次不等式的解集，并能通过函数图象来回 答一元一次方程、一元一次不等式的解集． 教学过程 一、创设情境 3 x3 问题 画出函数y＝ 的图象，根据图象，指出： 2 (1) x取什么值时，函数值 y等于零？ (2) x取什么值时，函数值 y始终大于零？ 二、探究归纳 3 3 x3 x3 问 一元一次方程 ＝0的解与函数y＝ 的图象有什么关系？ 2 2 3 3 x3 x3 答 一元一次方程 ＝0的解就是函数y＝ 的图象上当y＝0时的x的值． 2 2 3 3 3 x3 x3 x3 问 一元一次方程 ＝0的解，不等式 ＞0的解集与函数y＝ 的图象有什 2 2 2 么关系？ 3 3 x3 x3 答 不等式 ＞0的解集就是直线y＝ 在x轴上方部分的x的取值范围． 2 2 三、实践应用 129例1 画出函数y＝－x－2的图象，根据图象，指出： (1) x取什么值时，函数值 y等于零？ (2) x取什么值时，函数值 y始终大于零？ 解 过(－2,0)，(0,-2)作直线，如图． (1)当x＝－2时，y＝0； (2)当x＜－2时，y＞0． 例2 利用图象解不等式(1)2x－5＞－x＋1，(2) 2x－5＜－x＋1．解 设y＝2x－5，y＝－x＋ 1 2 1， 在直角坐标系中画出这两条直线，如下图所示． 两条直线的交点坐标是(2, －1) ，由图可知： (1)2x－5＞－x＋1的解集是y＞y 时x的取值范围，为x＞－2； 1 2 (2)2x－5＜－x＋1的解集是y＜y 时x的取值范围，为x＜－2． 1 2 四、交流反思 运用函数的图象来解释一元一次方程、一元一次不等式的解集，并能通过函数图象来回 答一元一次方程、一元一次不等式的解集． 五、检测反馈 1.已知函数y＝4x－3．当x取何值时，函数的图象在第四象限？ 1302.画出函数y＝3x－6的图象，根据图象，指出： (1) x取什么值时，函数值 y等于零？ (2) x取什么值时，函数值 y大于零？ (3) x取什么值时，函数值 y小于零？ 3.画出函数y＝－0.5x－1的图象，根据图象，求： (1)函数图象与x轴的交点坐标； (2)函数图象在x轴上方时，x的取值范围； (3)函数图象在x轴下方时，x的取值范围． m 4.如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y  的图象交于A、B两点． x (1)利用图中条件，求反比例函数和一次函数的解析式； (2)根据图象写出一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围． 131实践与探索（3） 教案总序号：38 时间： 知识技能目标 1.通过对一次函数性质、一次函数与一次方程、一次不等式联系的探索，提高自主学习和对 知识综合应用的能力． 2.让学生用简单的已知函数来拟合实际问题中变量的函数关系． 过程性目标 1.让学生在探索过程中，体会“问题情境—建立模型—解释应用—回顾拓展”这一数学建 模的基本思想，感受函数知识的应用价值； 2.让学生结合自身的生活经历，模仿尝试解决一些身边的函数应用问题． 教学过程 一、创设情境 问题 为了研究某合金材料的体积V(cm3)随温度t(℃)变化的规律，对一个用这种合金制成 的圆球测得相关数据如下： 能否据此求出V和t的函数关系？ 将这些数值所对应的点在坐标系中作出．我们发现，这些点大致位于一条直线上，可知 V和t近似地符合一次函数关系．我们可以用一条直线去尽可能地与这些点相符合，求出近 似的函数关系式．如下图所示的就是一条这样的直线，较近似的点应该是(10，1000.3)和(60， 1002.3)． 设V＝kt＋b(k≠0)，把(10，1000.3)和(60，1002.3)代入，可得k＝0.04，b＝999.7． V＝0.04t＋999.7． 你也可以将直线稍稍挪动一下，不取这两点，换上更适当的两点． 二、探究归纳 我们曾采用待定系数法求得一次函数和反比例函数的关系式．但是现实生活中的数量 关系是错综复杂的，在实践中得到一些变量的对应值，有时很难精确地判断它们是什么函数， 需要我们根据经验分析，也需要进行近似计算和修正，建立比较接近的函数关系式进行研究． 三、实践应用 例1 为了学生的身体健康，学校课桌、凳的高度都是按一定的关系科学设计的．小明对学校 所添置的一批课桌、凳进行观察研究，发现它们可以根据人的身长调节高度．于是，他测量了 一套课桌、凳上相对应的四档高度，得到如下数据： 132(1)小明经过对数据探究，发现：桌高y是凳高x的一次函数，请你求出这个一次函数的关系 式（不要求写出x的取值范围）； (2)小明回家后，测量了家里的写字台和凳子，写字台的高度为77cm，凳子的高度为43.5cm， 请你判断它们是否配套？说明理由． 解 (1)设一次函数为y＝kx＋b(k≠0)，将表中数据任取两组，不妨取(37.0,70.0)和(42.0,78.0) 代入，得 70 37k b,  78 42k b. 解得 k 1.6,  b 10.8. 一次函数关系式是y＝1.6x＋10.8． (2)当x＝43.5时，y＝1.6×43.5＋10.8＝80.4≠77． 答 一次函数关系式是y＝1.6x＋10.8，小明家里的写字台和凳子不配套． 例2 某公司到果园基地购买某种优质水果，慰问医务工作者．果园基地对购买量在3000千 克以上（含3000千克）的有两种销售方案，甲方案：每千克9元，由基地送货上门；乙方案：每 千克8元，由顾客自己租车运回．已知该公司租车从基地到公司的运输费为5000元． (1)分别写出该公司两种购买方案的付款y（元）与所买的水果量x（千克）之间的函数关系式， 并写出自变量x的取值范围． (2)当购买量在什么范围时，选择哪种购买方案付款最少？并说明理由． 解 (1)y ＝9x (x 3000)； 甲 y 8x5000 (x 3000)． 乙 (2)当y ＝y ，即9x＝8x＋5000时， 甲 乙 解得x＝5000． 所以当x＝5000时，两种付款一样； x 3000, 当y  y 时，有  甲 乙 9x 8x5000. 解得3000≤x＜5000． 所以当3000≤x＜5000时，选择甲方案付款最少； 当y  y 时，有9x 8x5000． 甲 乙 解得x＞5000． 133所以当x＞5000时，选择乙方案付款最少． 四、交流反思 1.现实生活中的数量关系是错综复杂的，在实践中得到一些变量的对应值，有时很难精确地 判断它们是什么函数，需要我们根据经验分析，也需要进行近似计算和修正，建立比较接近 的函数关系式进行研究； 2.把实际问题数学化，运用数学的方法进行分析和研究，是常用的、有效的一种方法. 五、检测反馈 1.酒精的体积随温度的升高而增大，在一定范围内近似于一次函数关系.现测得一定量的酒 精在0℃时的体积是5.250升，在40℃时的体积是5.481升.求出其函数关系式，又问这些酒 精在10℃和30℃时的体积各是多少？ 2.分别写出下列函数的关系式，指出是哪种函数，并确定其中自变量的取值范围． (1)在时速为60km的运动中，路程 s关于运动时间t的函数关系式； (2)已知定活两便储蓄的月利率是0.0675%，国家规定，取款时，利息部分要交纳20%的利息 税，如果某人存入2万元，取款时实际领到的金额y（元)与存入月数x的函数关系式． 3. 如图，温度计上表示了摄氏温度（℃）与华氏温度（℉）的刻度.能否用一个函数关系式来表 示摄氏温度y（℃）和华氏温度x（℉）的关系？如果气温是摄氏32度，那相当 于华氏多少度？ 4.小亮家最近购买了一套住房．准备在装修时用木质地板铺设居室，用瓷砖 铺设客厅．经市场调查得知：用这两种材料铺设地面的工钱不一样．小亮根据 地面的面积，对铺设居室和客厅的费用（购买材料费和工钱）分别做了预算， 通过列表，并用x(m2)表示铺设地面的面积，用y（元）表示铺设费用，制成下图． 请你根据图中所提供的信息，解答下列问题： (1)预算中铺设居室的费用为 元/ m2，铺设客厅的费用为 元/ m2； (2)表示铺设居室的费用y（元）与面积x(m2)之间的函数关系式为 ，表示铺设客 厅的费用y（元）与面积x(m2)之间的函数关系式为 ； (3)已知在小亮的预算中，铺设1m2的瓷砖比铺设1m2的木质地板的工钱多5元；购买1m2的瓷 3 砖是购买1m2的木质地板费用的 .那么铺设每平方米木质地板、瓷砖的工钱各是多少？购 4 买每平方米的木质地板、瓷砖的费用各是多少？ 134单元复习（1） 教案总序号：39 时间： 知识技能目标 1.从实际问题中了解变量、函数的概念，以及函数的表示法．学习时，要能用适当的函数表示 法刻画某些实际问题中变量之间的关系，并会结合函数图象分析简单的函数关系； 2.一次函数（包括正比例函数）和反比例函数是两种常见的简单函数，它是反映现实世界两 类常见的数量关系和变化规律的数学模型．要注意联系实际，理解一次函数和反比例函数的 图象和性质，并能应用它解决简单的实际问题． 过程性目标 1.使学生体会到运用直角坐标系研究一次函数、反比例函数的图象和性质，并运用它们解决 简单的实际问题； 2.使学生运用待定系数法确定一次函数、反比例函数的表达式． 教学过程 一、探究归纳 二、实践应用 例1 某军加油飞机接到命令，立即给另一架正在飞行的运输飞机进行空中加油．在加油的过 程中，设运输飞机的油箱余油量为Q 吨，加油飞机的加油油箱的余油量为Q 吨，加油时间为 1 2 t分钟，Q、Q 与t之间的函数图象如图所示，结合图象回答下列问题： 1 2 (1)加油飞机的加油油箱中装载了多少吨油？将这些油全部加给运输飞机需要多少分钟？ (2)求加油过程中，运输飞机的余油量Q（吨）与时间t（分钟）的函数关系式； 1 (3)求运输飞机加完油后,以原速继续飞行,需10小时到达目的地,油料是否够用？说明理由． 解 (1)由图象知，加油飞机的加油油箱中装载了30吨油，全部加给运输飞机需10分钟． (2)设Q＝kt＋b，把(0,40)和(10,69)代入，得 1 40 b,  69 10k b. k  2.9, 解得 b  40. 所以Q＝2.9t＋40(0≤t≤10)． 1 (3)根据图象可知运输飞机的耗油量为每分钟0.1吨． 所以10小时耗油量为：10×60×0.1＝60（吨）＜69（吨）, 所以油料够用． 135例2 k在为何值时，直线2k＋1＝5x＋4y与直线 k＝2x＋3y的交点在第四象限． 分析 此题中已知两直线的交点在第四象限，实际上就是知道两个一次函数图象交点在 第四象限，因此如何求两个一次函数的图象的交点及第四象限点应满足的条件就成了解 此题的关键．另外因为涉及待定系数k的值，所以要先求它们的交点，其中交点的坐标是 可以用待定系数k来表示，最后再确定第四象限的点的坐标满足的条件． 解 由题意得： 5x4y  2k 1, 则  2x3y  k. 解关于x，y的二元一次方程组，得  2k 3 x  ,   7  k 2  y  .   7 因为它们交点在第四象限， 所以x＞0，y＜0， 2k 3 0,   7 即 k 2  0.   7  3 k   , 解这个不等式组，得 2  k  2. 3 由以上可知当  k  2时，两直线交点在第四象限． 2 三、交流反思 1.直角坐标系是研究函数图象的基础，在直角坐标系中，点与有序实数对之间是一一对应的； 2.通过对一次函数性质、一次函数与一次方程、一次不等式联系的探索，提高自主学习和对 知识综合应用的能力； 3.待定系数法是一项重要的数学方法，要结合它在确定一次函数和反比例函数表达式中的 应用． 四、检测反馈 1.选择题： (1)A(-3,a)与点B(3,4)关于y轴对称，那么a的值为( )． A．3 B．-3 C．4 D．-4 (2)如果点P(2m+1,-2)在第四象限内，则m的取值范围是( )． 1 1 1 1 A．m＞ B．m＜ C．m≥ D．m≤ 2 2 2 2 2.联系一次函数的图象，回答下列问题：(1)当k＞0时，函数y＝kx的图象经过哪几个象限？ 136当k＜0时呢？(2)当k＞0、b＞0时，函数y＝kx＋b的图象不经过哪个象限？当k＞0、b＜0 时呢？ 3.求下列函数中自变量的取值范围： 1 1 2x1 (1)y  x3； (2)y  ； (3)y  ． 2 2x x2 4、小李以每千克0.8元的价格从批发市场购进若干千克西瓜到市场去销售，在销售了部分西 瓜之后，余下的每千克降价0.4元，全部售完，销售金额与卖瓜的千克数之间的关系如图所示， 问小李至少赚了多少钱？ 137单元复习（2） 教案总序号：40 时间： 知识技能目标 1.一次函数（包括正比例函数）是反映现实世界两类常见的数量关系和变化规律的数学模型， 要注意联系实际，理解一次函数和反比例函数的图象和性质，并能应用它解决简单的实际问 题； 2.通过对一次函数性质、一次函数与一次方程、一次不等式联系的探索，提高自主学习和对 知识综合应用的能力． 过程性目标 1.使学生体会到如何根据一次函数的图象解二元一次方程组的具体方法和过程，能用一次 函数及其图象解决简单的实际问题； 2.通过实际与探索，使学生体会到“问题情境—建立模型—解释应用—回顾拓展”这一数 学建模的基本思想，感受函数知识的应用价值，并会初步应用． 教学过程 一、探究归纳 二、实践应用 例 转炉炼钢产生的棕红色烟尘会污染大气，某装置可通过回收棕红色烟尘中的氧化铁从而 降低污染．该装置的氧化铁回收率与其通过的电流有关，现经过试验得到下列数据： 如图建立直角坐标系，用横坐标表示通过的电流强度，纵坐标表示氧化铁回收率． (1)将试验所得数据在上图所给的直角坐标系中用点表示（注：该图中坐标轴的交点代表点 (1,70)）； (2)用线段将题(1)所画的点从左到右顺次连接，若此图象来模拟氧化铁回收率y关于通过电 流x的函数关系式，试写出该函数在1.7≤x≤2.4时的表达式； (3)利用题(2)所得的关系，求氧化铁回收率大于85%时，该装置通过是电流应该控制的范围 （精确到0.1A）． 解 (1)如下图； 138(2)将题(1)所画的点从左到右顺次连接，如下图； 45x2.5 (1.7 x 1.9)  y  5x97.5 (1.9x  x  2.1)；  30x150 (2.1 x  2.4)  (3)当1.7≤x＜1.9时，由45x＋2.5＞85，得1.8＜x＜1.9； 当2.1≤x＜2.4时，由-30x＋150＞85，得2.1≤x＜2.2； 又当1.9≤x＜2.1时，恒有-5x＋97.5＞85． 综上可知：满足要求时，该装置的电流应控制在1.8A至2.2A之间． 三、交流反思 1.待定系数法是一种很重要的数学方法，不仅在本章中应用，在以后的学习中也有广泛的应 用； 2.现实生活中的数量关系是错综复杂的，在实践中得到一些变量的对应值，有时很难精确地 判断它们是什么函数，需要我们根据经验分析，也需要进行近似计算和修正，建立比较接近 的函数关系式进行研究． 四、检测反馈 1.将函数y＝2x＋3的图象平移，使它经过点(2,－1)．求平移后的直线所对应的函数关系式． 你能想出几种不同的平移方法？请和同学们交流一下． 2 2.直线y  x2分别交x轴、y轴于A、B两点，O是原点． 3 (1)求△AOB的面积； (2)过△AOB的顶点能不能画出直线把△AOB分成面积相等的两部分？如能，可以画出几条？ 写出这样的直线所对应的函数关系式． 139第二十章数据的分析 20.1数据的代表 20.1.1平均数（第一课时） 教案总序号：41 时间： 一、教学目的： 1、使学生理解数据的权和加权平均数的概念 2、使学生掌握加权平均数的计算方法 3、通过本节课的学习，还应使学生理解平均数在数据统计中的意义和作用：描述一组数据集 中趋势的特征数字，是反映一组数据平均水平的特征数。 二、重点、难点和难点突破的方法： 1、重点：会求加权平均数 2、难点：对“权”的理解 三、例习题意图分析 1、教材P136的问题及讨论栏目在教学中起到的作用。 （1）、这个问题的设计和讨论栏目在此处安排最直接和最重要的目的是想引出权的概念 和加权平均数的计算公式。 （2）、这个讨论栏目中的错误解法是初学者常见的思维方式，也是已学者易犯的错误。在 这里安排讨论很得当，起揭示思维误区，警示学生、加深认识的作用。 （3）、客观上，教材P136的问题是一个实际问题，它照应了本节的前言——将在实际问题情 境中，进一步探讨它们的统计意义，体会它们在解决实际问题中的作用，揭示了统计知识在 解决实际问题中的重要作用。 （4）、P137的云朵其实是复习平均数定义，小方块则强调了权意义。 2、教材P137例1的作用如下： （1）、解决例1要用到加权平均数公式，所以说它最直接、最重要的目的是及时复习巩固 公式，并且举例说明了公式用法和解题书写格式，给学生以示范和模仿。 （2）、这里的权没有直接给出数量，而是以比的形式出现，为加深学生对权的意义的理解。 （3）、两个问题中的权数各不相同，直接导致结果有所不同，这既体现了权数在求加权平 均数的作用，又反映了应用统计知识解决实际问题时要灵活、体现知识要活学活用。 3、教材P138例2的作用如下： （1）、这个例题再次将加权平均数的计算公式得以及时巩固，让学生熟悉公式的使用和书 写步骤。 （2）、例2与例1的区别主要在于权的形式又有变化，以百分数的形式出现，升华了学生 对权的意义的理解。 （3）、它也充分体现了统计知识在实际生活中的广泛应用。 四、课堂引入： 1、若不选择教材中的引入问题，也可以替换成更贴近学生学习生活中的实例，下举一例可供 借鉴参考。 某校初二年级共有4个班，在一次数学考试中参考人数和成绩如下： 班级 1班 2班 3班 4班 参考人数 40 42 45 32 平均成绩 80 81 82 79 求该校初二年级在这次数学考试中的平均成绩？下述计算方法是否合理？为什么？ 1 x= （79+80+81+82）=80.5 4 140五、例习题分析： 例1和例2均为计算数据加权平均数型问题，因为是初学尤其之前与平均数计算公式已 经作过比较，所以这里应该让学生搞明白问题中是否有权数，即是选择普通的平均数计算还 是加权平均数计算，其次若用加权平均数计算，权数又分别是多少？例2的题意理解很重要， 一定要让学生体会好这里的几个百分数在总成绩中的作用，它们的作用与权的意义相符，实 际上这几个百分数分别表示几项成绩的权。 六、随堂练习： 1、老师在计算学期总平均分的时候按如下标准:作业占100%、测验占30%、期中占35%、期末 考试占35%，小关和小兵的成绩如下表： 学生 作业 测验 期中考试 期末考试 小关 80 75 71 88 小兵 76 80 68 90 2、为了鉴定某种灯泡的质量，对其中100只灯泡的使用寿命进行测量，结果如下表：（单位： 小时） 寿命 450 550 600 650 700 只数 20 10 30 15 25 求这些灯泡的平均使用寿命？ 答案：1. x 小关 =79.05 x 小兵 =80 2. x =597.5小时 七、课后练习： 1、在一个样本中，2出现了x 1 次，3出现了x2次，4出现了x 3 次，5出现了x4次，则这个样本 的平均数为 . 2、某人打靶，有a次打中x 环，b次打中y 环，则这个人平均每次中靶 环。 3、一家公司打算招聘一名部门经理，现对甲、乙两名应聘者从笔试、面试、实习成绩三个方面 表现进行评分，笔试占总成绩20%、面试占30%、实习成绩占50%，各项成绩如表所示： 应聘者 笔试 面试 实习 甲 85 83 90 乙 80 85 92 试判断谁会被公司录取，为什么？ 4、在一次英语口试中，已知50分1人、60分2人、70分5人、90分5人、100分1人，其余为 84分。已知该班平均成绩为80分，问该班有多少人？ 2x 3x 4x 5x axby 答案：1. 1 2 3 4 2. 3.x =86.9 x =96.5 x x  x  x ab 甲 2 1 2 3 4 乙被录取 4. 39人 20.1数据的代表 20.1.1平均数（第二课时） 一、教学目的： 1、加深对加权平均数的理解 2、会根据频数分布表求加权平均数，从而解决一些实际问题 1413、会用计算器求加权平均数的值 二、重点、难点和难点的突破方法： 1、重点：根据频数分布表求加权平均数 2、难点：根据频数分布表求加权平均数 三、例习题的意图分析 1、教材P140探究栏目的意图。 （1）、主要是想引出根据频数分布表求加权平均数近似值的计算方法。 （2）、加深了对“权”意义的理解:当利用组中值近似取代替一组数据中的平均值时，频数 恰好反映这组数据的轻重程度，即权。 这个探究栏目也可以帮助学生去回忆、复习七年级下的关于频数分布表的一些内容，比 如组、组中值及频数在表中的具体意义。 2、教材P140的思考的意图。 （1）、使学生通过思考这两个问题过程中体会利用统计知识可以解决生活中的许多实际问 题 （2）、帮助学生理解表中所表达出来的信息，培养学生分析数据的能力。 3、P141利用计算器计算平均值 这部分篇幅较小，与传统教材那种详细介绍计算器使用方法产生明显对比。一则由于学 校中学生使用计算器不同，其操作过程有差别亦不同，再者，各种计算器的使用说明书都有 详尽介绍，同时也说明在今后中考趋势仍是不允许使用计算器。所以本节课的重点内容不是 利用计算器求加权平均数，但是掌握其使用方法确实可以运算变得简单。统计中一些数据较 大、较多的计算也变得容易些了。 四、 课堂引入 采用教材原有的引入问题，设计的几个问题如下： （1）、请同学读P140探究问题，依据统计表可以读出哪些信息 （2）、这里的组中值指什么，它是怎样确定的？ （3）、第二组数据的频数5指什么呢？ （4）、如果每组数据在本组中分布较为均匀，比组数据的平均值和组中值有什么关系。 五、随堂练习 1、某校为了了解学生作课外作业所用时间的情况，对学生作课外作业所用时间进行调查，下 表是该校初二某班50名学生某一天做数学课外作业所用时间的情况统计表 （1）、第二组数据的组中值是多少？ （2）、求该班学生平均每天做数学作业所用时间 2、某班40名学生身高情况如下图， 请计算该班学生平均身高 答案1.（1）.15. （2）28. 2. 165 所用时间t(分钟) 人数 七、课后练习： 0＜t≤10 4 1、某公司有15名员工，他们所在的部门及相应每人所 0＜≤ 6 创的年利润如下表 该公司每人所创年利润的平均数是多少万元？ 20＜t≤20 14 2、下表是截至到2002年费尔兹奖得主获奖时的年龄， 30＜t≤40 13 根据表格中的信息计算获费尔兹奖得主获奖时的平均 年龄？ 40＜t≤50 9 3、为调查居民生活环境质量，环保局对所辖的50个居 50＜t≤60 4 民区进行了噪音（单位：分贝）水平的调查，结果如下 142图，求每个小区噪音的平均分贝数。 答案：1.约2.95万元 2.约29岁 3.60.54 频数 分贝 20 18 15 12 10 10 6 5 4 噪音/分贝 40 50 60 70 80 90 14320.1 数据的代表 20.1.2 中位数和众数（第一课时） 一、教学目的 1、认识中位数和众数，并会求出一组数据中的众数和中位数。 2、理解中位数和众数的意义和作用。它们也是数据代表，可以反映一定的数据信息，帮助人 们在实际问题中分析并做出决策。 3、会利用中位数、众数分析数据信息做出决策。 二、重点、难点和难点的突破方法： 1、重点：认识中位数、众数这两种数据代表 2、难点：利用中位数、众数分析数据信息做出决策。 三、例习题的意图分析 1、教材P143的例4的意图 （1）、这个问题的研究对象是一个样本，主要是反映了统计学中常用到一种解决问题的方 法：对于数据较多的研究对象，我们可以考察总体中的一个样本，然后由样本的研究结论去 估计总体的情况。 （2）、这个例题另一个意图是交待了当数据个数为偶数时，中位数的求法和解题步骤。（因 为在前面有介绍中位数求法，这里不再重述） （3）、问题2显然反映学习中位数的意义：它可以估计一个数据占总体的相对位置，说明 中位数是统计学中的一个重要的数据代表。 （4）、这个例题再一次体现了统计学知识与实际生活是紧密联系的，所以应鼓励学生学好 这部分知识。 2、教材P145例5的意图 （1）、通过例5应使学生明白通常对待销售问题我们要研究的是众数，它代表该型号的产 品销售最好，以便给商家合理的建议。 （2）、例5也交待了众数的求法和解题步骤（由于求法在前面已介绍，这里不再重述） （3）、例5也反映了众数是数据代表的一种。 四、课堂引入 严格的讲教材本节课没有引入的问题，而是在复习和延伸中位数的定义过程中拉开序 幕的，本人很同意这种处理方式，教师可以一句话引入新课：前面已经和同学们研究过了平 均数的这个数据代表。它在分析数据过程中担当了重要的角色，今天我们来共同研究和认识 数据代表中的新成员——中位数和众数，看看它们在分析数据过程中又起到怎样的作用。 五、例习题的分析 教材P144例4，从所给的数据可以看到并没有按照从小到大（或从大到小）的顺序排列。 因此，首先应将数据重新排列，通过观察会发现共有12个数据，偶数个可以取中间的两个数 据146、148，求其平均值，便可得这组数据的中位数。 教材P145例5，由表中第二行可以查到23.5号鞋的频数最大，因此这组数据的众数可 以得到，所提的建议应围绕利于商家获得较大利润提出。 六、随堂练习 1某公司销售部有营销人员15人，销售部为了制定某种商品的销售金额，统计了这15个人 的销售量如下（单位：件） 1800、510、250、250、210、250、210、210、150、210、150、120、120、210、150 求这15个销售员该月销量的中位数和众数。 假设销售部负责人把每位营销员的月销售定额定为320件，你认为合理吗？如果不合理，请 你制定一个合理的销售定额并说明理由。 1442、某商店3、4月份出售某一品牌各种规格的空调，销售台数如表所示： 1匹 1.2 1.5 2匹 规格 匹 匹 台数 月份 3月 12台 20台 8台 4台 4月 16台 30台 14台 8台 根据表格回答问题： 商店出售的各种规格空调中，众数是多少？ 假如你是经理，现要进货，6月份在有限的资金下进货单位将如何决定？ 答案：1. （1）210件、210件 （2）不合理。因为15人中有13人的销售额达不到320件（320 虽是原始数据的平均数，却不能反映营销人员的一般水平），销售额定为210件合适，因为它 既是中位数又是众数，是大部分人能达到的额定。 2. （1）1.2匹 （2）通过观察可知1.2匹的销售最大，所以要多进1.2匹，由于资金有限 就要少进2匹空调。 七、课后练习 1. 数据8、9、9、8、10、8、99、8、10、7、9、9、8的中位数是 ，众数是 2. 一组数据23、27、20、18、X、12，它的中位数是21，则X的值是 . 3. 数据92、96、98、100、X的众数是96，则其中位数和平均数分别是（ ） A.97、96 B.96、96.4 C.96、97 D.98、97 4. 如果在一组数据中，23、25、28、22出现的次数依次为2、5、3、4次，并且没有其他的数据， 则这组数据的众数和中位数分别是（ ） A.24、25 B.23、24 C.25、25 D.23、25 5. 随机抽取我市一年（按365天计）中的30天平均气温状况如下表： 温 度 -8 -1 7 15 21 24 30 （℃） 天数 3 5 5 7 6 2 2 请你根据上述数据回答问题： （1）.该组数据的中位数是什么？ （2）.若当气温在18℃~25℃为市民“满意温度”，则我市一年中达到市民“满意温度”的大 约有多少天？ 答案：1. 9；2. 22； 3.B；4.C； 5.（1）15. （2）约97天 14520.1.2 中位数和众数（第二课时） 一、教学目的： 1、进一步认识平均数、众数、中位数都是数据的代表。 2、通过本节课的学习还应了解平均数、中位数、众数在描述数据时的差异。 3、能灵活应用这三个数据代表解决实际问题。 二、重点、难点和突破难点的方法 1、重点：了解平均数、中位数、众数之间的差异。 2、难点：灵活运用这三个数据代表解决问题。 较多的一种量。另外要注意： 平均数计算要用到所有的数据，它能够充分利用所有的数据信息，但它受极端值的影响 较大. 众数是当一组数据中某一数据重复出现较多时，人们往往关心的一个量，众数不受极端 值的影响，这是它的一个优势，中位数的计算很少也不受极端值的影响. 平均数的大小与一组数据中的每个数据均有关系，任何一个数据的变动都会相应引起 平均数的变动. 中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的移动对中位数没有影响，中位数可能出现 在所给数据中也可能不在所给的数据中，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数 描述其趋势. 三、例习题的意图分析： 教材P146例6的意图 （1）、这是在学习过数据的收集、整理、描述与分析之后涉及到这四个环节的一个例题，从 分析和解答过程来看它交待了该如何完整的进行这几个过程，为该怎样综合运用已学的统 计知识解决实际问题作了一个标准范例。教师在授课过程中也应注意，对已学知识的巩固复 习。 （2）、从分析和解答过程来看，此例题的一个主要意图是区分平均数、众数和中位数这三 个数据代表的异同。 （3）、由例题中（2）问和（3）问的不同，导致结果的不同，其目的是告诉学生应该根据题目 具体要求来灵活运用三个数据代表解决问题。 （4）、本例题也客观的反映了数学知识对生活实践的指导有重要的意义，也体现了统计知 识与生活实践是紧密联系的。 四、课堂引入： 本节课的课堂引入可以通过复习平均数、中位数和众数定义开始，为完成重点、突破难点 作好铺垫，没有必要牵强的加入一个生活实例作为引入问题。 五、例习题的分析： 例题6中第一问是在巩固平均数定义、中位数定义和众数的定义。可以引导学生从问题 中词语特点分析它们分别指哪个数据代表，教师也可以顺便加一个发散性问题，一般地哪些 词语是指平均数、中位数和众数呢？ 例题6中的第二问学生一般不易想到，教师要将“较高目标”衡量标准引向三个数据代表身 上，这样学生就不难回答了。 第三问要抓住一半左右应与哪个数据代表的意义相符这个问题。即要很好的回答第三问，学 生头脑必须很清楚平均数、中位数、众数的特点。 六、随堂练习： 1、在一次环保知识竞赛中，某班50名学生成绩如下表所示： 得分 50 60 70 80 90 100 110 120 人数 2 3 6 14 15 5 4 1 146分别求出这些学生成绩的众数、中位数和平均数. 2、公园里有甲、乙两群游客正在做团体游戏，两群游客的年龄如下：（单位：岁） 甲群：13、13、14、15、15、15、16、17、17。 乙群：3、4、4、5、5、6、6、54、57。 （1）、甲群游客的平均年龄是 岁，中位数是 岁，众数是 岁，其中能较好反映甲 群游客年龄特征的是 。 （2）、乙群游客的平均年龄是 岁，中位数是 岁，众数是 岁。其中能较好 反映乙群游客年龄特征的是 。 答案：1. 众数90 中位数 85 平均数 84.6 2.（1）15、15、15、众数（2）.15、5.5、6、中位数 七、课后练习： 1、某公司的33名职工的月工资（以元为单位）如下： 职员 董事长 副董事长 董事 总经理 经理 管理员 职员 人数 1 1 2 1 5 3 20 工资 5500 5000 3500 3000 2500 2000 1500 （1）、求该公司职员月工资的平均数、中位数、众数？ （2）、假设副董事长的工资从5000元提升到20000元，董事长的工资从5500元提升到30000 元，那么新的平均数、中位数、众数又是什么？（精确到元） （3）、你认为应该使用平均数和中位数中哪一个来描述该公司职工的工资水平？ 2、某公司有15名员工，它们所在的部门及相应每人所创的年利润如下表示： 部门 A B C D E F G 人数 1 1 2 4 2 2 3 每人所创 20 5 2.5 2.1 1.5 1.5 1.2 的年利润 根据表中的信息填空： （1） 该公司每人所创年利润的平均数是 万元。 （2） 该公司每人所创年利润的中位数是 万元。 （3） 你认为应该使用平均数和中位数中哪一个来描述该公司每人所创年利润的一般水平 答 答案：1.（1）.2090 、500、1500 （2）.3288、1500、1500 （3）中位数或众数均能反映该公司员工的工资水平，因为公司中少数人的工资额与大多数人 的工资额差别较大，这样导致平均数与中位数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司员工 的工资水平。 2.（1）3.2万元 （2）2.1万元 （3）中位数 20.2 20.3 数据的波动 20.2.1极差 147一、教学目的： 1、理解极差的定义，知道极差是用来反映数据波动范围的一个量 2、会求一组数据的极差 二、重点、难点和难点的突破方法 1、重点：会求一组数据的极差 2、难点：本节课内容较容易接受，不存在难点。 三、例习题的意图分析 教材P151引例的意图 （1）、主要目的是用来引入极差概念的 （2）、可以说明极差在统计学家族的角色——反映数据波动范围的量 （3）、交待了求一组数据极差的方法。 四、课堂引入： 引入问题可以仍然采用教材上的“乌鲁木齐和广州的气温情”为了更加形象直观一些 的反映极差的意义，可以画出温度折线图，这样极差之所以用来反映数据波动范围就不言而 喻了。 五、例习题分析 本节课在教材中没有相应的例题，教材P152习题分析 问题1 可由极差计算公式直接得出，由于差值较大，结合本题背景可以说明该村贫富差距较 大。问题2 涉及前一个学期统计知识首先应回忆复习已学知识。问题3答案并不唯一，合理 即可。 六、随堂练习： 1、一组数据：473、865、368、774、539、474的极差是 ，一组数据1736、1350、-2114、- 1736的极差是 . 2、一组数据3、-1、0、2、X的极差是5，且X为自然数，则X= . 3、下列几个常见统计量中能够反映一组数据波动范围的是（ ） A.平均数 B.中位数 C.众数 D.极差 4、一组数据X 1 、X2…X n 的极差是8，则另一组数据2X 1 +1、2X2+1…，2X n +1的极差是 （ ） A. 8 B.16 C.9 D.17 答案：1. 497、3850 2. 4 3. D 4.B 七、课后练习： 1、已知样本9.9、10.3、10.3、9.9、10.1，则样本极差是（ ） A. 0.4 B.16 C.0.2 D.无法确定 在一次数学考试中，第一小组14名学生的成绩与全组平均分的差是2、3、-5、10、12、8、2、- 1、4、-10、-2、5、5、-5，那么这个小组的平均成绩是（ ） A. 87 B. 83 C. 85 D无法确定 3、已知一组数据2.1、1.9、1.8、X、2.2的平均数为2，则极差是 。 4、若10个数的平均数是3，极差是4，则将这10个数都扩大10倍，则这组数据的平均数是 ，极差是 。 5、某活动小组为使全小组成员的成绩都要达到优秀，打算实施“以优帮困”计划，为此统计 了上次测试各成员的成绩（单位：分） 90、95、87、92、63、54、82、76、55、100、45、80 计算这组数据的极差，这个极差说明什么问题？ 148将数据适当分组，做出频率分布表和频数分布直方图。 答案：1.A ； 2.D ； 3. 0.4 ； 4.30、40. 5（1）极差55分，从极差可以看出这 个小组成员成绩优劣差距较大。（2）略 20.2.2 方差（第一课时） 一. 教学目的： 1. 了解方差的定义和计算公式。 2. 理解方差概念的产生和形成的过程。 3. 会用方差计算公式来比较两组数据的波动大小。 二. 重点、难点和难点的突破方法： 1. 重点：方差产生的必要性和应用方差公式解决实际问题。 2. 难点：理解方差公式 三. 例习题的意图分析： 1. 教材P125的讨论问题的意图： （1）.创设问题情境，引起学生的学习兴趣和好奇心。 （2）.为引入方差概念和方差计算公式作铺垫。 （3）.介绍了一种比较直观的衡量数据波动大小的方法——画折线法。 （4）.客观上反映了在解决某些实际问题时，求平均数或求极差等方法的局限性，使学生体会 到学习方差的意义和目的。 2. 教材P154例1的设计意图： （1）.例1放在方差计算公式和利用方差衡量数据波动大小的规律之后，不言而喻其主要目 的是及时复习，巩固对方差公式的掌握。 （2）.例1的解题步骤也为学生做了一个示范，学生以后可以模仿例1的格式解决其他类似的 实际问题。 四.课堂引入： 除采用教材中的引例外，可以选择一些更时代气息、更有现实意义的引例。例如，通过学 生观看2004年奥运会刘翔勇夺110米栏冠军的录像，进而引导教练员根据平时比赛成绩选 择参赛队员这样的实际问题上，这样引入自然而又真实，学生也更感兴趣一些。 五. 例题的分析： 教材P154例1在分析过程中应抓住以下几点： 1. 题目中“整齐”的含义是什么？说明在这个问题中要研究一组数据的什么？学生通过 思考可以回答出整齐即波动小，所以要研究两组数据波动大小，这一环节是明确题意。 2. 在求方差之前先要求哪个统计量，为什么？学生也可以得出先求平均数，因为公式中需 要平均值，这个问题可以使学生明确利用方差计算步骤。 3. 方差怎样去体现波动大小？ 这一问题的提出主要复习巩固方差，反映数据波动大小的规律。 六. 随堂练习： 1491. 从甲、乙两种农作物中各抽取1株苗，分别测得它的苗高如下：（单位：cm） 甲：9、10、11、12、7、13、10、8、12、8； 乙：8、13、12、11、10、12、7、7、9、11； 问：（1）哪种农作物的苗长的比较高？ （2）哪种农作物的苗长得比较整齐？ 2. 段巍和金志强两人参加体育项目训练，近期的5次测试成绩如下表所示，谁的成绩比较 稳定？为什么？ 测试次数 1 2 3 4 5 段巍 13 14 13 12 13 金志强 10 13 16 14 12 参考答案：1.（1）甲、乙两种农作物的苗平均高度相同；（2）甲整齐 2.段巍的成绩比金志强的成绩要稳定。 七. 课后练习： 1.已知一组数据为2、0、-1、3、-4，则这组数据的方差为 。 2.甲、乙两名学生在相同的条件下各射靶10次，命中的环数如下： 甲：7、8、6、8、6、5、9、10、7、4 乙：9、5、7、8、7、6、8、6、7、7 经过计算，两人射击环数的平均数相同，但S2 S2 ，所以确定 去参加比赛。 甲 乙 3. 甲、乙两台机床生产同种零件，10天出的次品分别是（ ） 甲：0、1、0、2、2、0、3、1、2、4 乙：2、3、1、2、0、2、1、1、2、1 分别计算出两个样本的平均数和方差，根据你的计算判断哪台机床的性能较好？ 4. 小爽和小兵在10次百米跑步练习中成绩如表所示：（单位：秒） 小爽 10.8 10.9 11.0 10.7 11.1 11.1 10.8 11.0 10.7 10.9 小兵 10.9 10.9 10.8 10.8 11.0 10.9 10.8 11.1 10.9 10.8 如果根据这几次成绩选拔一人参加比赛，你会选谁呢？ 答案：1. 6 2. ＞、乙；3. x 甲=1.5、S2 =0.975、x ＝1. 5、S2 ＝0.425，乙机床性能好 甲 乙 乙 2 4. x 小爽 ＝10.9、S小爽＝0.02； 2 x 小兵 ＝10.9、S小兵＝0.008 选择小兵参加比赛。 150