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九年级数学(上)(配人教地区使用)(这是边文，请据需要手工删加)
第二十一章 一元二次方程
21．1 一元二次方程
1．通过类比一元一次方程，了解一元二次方程的概念及一般式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，
分清二次项及其系数、一次项及其系数与常数项等概念．
2．了解一元二次方程的解的概念，会检验一个数是不是一元二次方程的解．
重点
通过类比一元一次方程，了解一元二次方程的概念及一般式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)和一
元二次方程的解等概念，并能用这些概念解决简单问题．
难点
一元二次方程及其二次项系数、一次项系数和常数项的识别．
活动1 复习旧知
1．什么是方程？你能举一个方程的例子吗？
2．下列哪些方程是一元一次方程？并给出一元一次方程的概念和一般形式．
(1)2x－1 (2)mx＋n＝0 (3)＋1＝0 (4)x2＝1
3．下列哪个实数是方程2x－1＝3的解？并给出方程的解的概念．
A．0 B．1 C．2 D．3
活动2 探究新知
根据题意列方程．
1．教材第2页 问题1.
提出问题：
(1)正方形的大小由什么量决定？本题应该设哪个量为未知数？
(2)本题中有什么数量关系？能利用这个数量关系列方程吗？怎么列方程？
(3)这个方程能整理为比较简单的形式吗？请说出整理之后的方程．
2．教材第2页 问题2.
提出问题：
(1)本题中有哪些量？由这些量可以得到什么？
(2)比赛队伍的数量与比赛的场次有什么关系？如果有 5个队参赛，每个队比赛几场？一共有20场比赛吗？如果不是20场比赛，那么究竟比赛多少场？
(3)如果有x个队参赛，一共比赛多少场呢？
3．一个数比另一个数大3，且两个数之积为0，求这两个数．
提出问题：
本题需要设两个未知数吗？如果可以设一个未知数，那么方程应该怎么列？
4．一个正方形的面积的2倍等于25，这个正方形的边长是多少？
活动3 归纳概念
提出问题：
(1)上述方程与一元一次方程有什么相同点和不同点？
(2)类比一元一次方程，我们可以给这一类方程取一个什么名字？
(3)归纳一元二次方程的概念．
1．一元二次方程：只含有________个未知数，并且未知数的最高次数是________，这
样的________方程，叫做一元二次方程．
2．一元二次方程的一般形式是ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其中ax2是二次项，a是二次项
系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．
提出问题：
(1)一元二次方程的一般形式有什么特点？等号的左、右分别是什么？
(2)为什么要限制a≠0，b，c可以为0吗？
(3)2x2－x＋1＝0的一次项系数是1吗？为什么？
3．一元二次方程的解(根)：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次
方程的解(根)．
活动4 例题与练习
例1 在下列方程中，属于一元二次方程的是________．
(1)4x2＝81；(2)2x2－1＝3y；(3)＋＝2；
(4)2x2－2x(x＋7)＝0.
总结：判断一个方程是否是一元二次方程的依据：(1)整式方程；(2)只含有一个未知数；
(3)含有未知数的项的最高次数是2.注意有些方程化简前含有二次项，但是化简后二次项系
数为0，这样的方程不是一元二次方程．
例2 教材第3页 例题．
例3 以－2为根的一元二次方程是( )
A．x2＋2x－1＝0 B．x2－x－2＝0
C．x2＋x＋2＝0 D．x2＋x－2＝0
总结：判断一个数是否为方程的解，可以将这个数代入方程，判断方程左、右两边的值
是否相等．
练习：
1．若(a－1)x2＋3ax－1＝0是关于x的一元二次方程，那么a的取值范围是________．
2．将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和
常数项．
(1)4x2＝81；(2)(3x－2)(x＋1)＝8x－3.
3．教材第4页 练习第2题．
4．若－4是关于x的一元二次方程2x2＋7x－k＝0的一个根，则k的值为________．
答案：1.a≠1；2.略；3.略；4.k＝4.
活动5 课堂小结与作业布置
课堂小结我们学习了一元二次方程的哪些知识？一元二次方程的一般形式是什么？一般形式中
有什么限制？你能解一元二次方程吗？
作业布置
教材第4页 习题21.1第1～7题.21.2 解一元二次方程
21．2.1 配方法(3课时)
第1课时 直接开平方法
理解一元二次方程“降次”——转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题．
提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax2＋c＝0，根据平方根的意义解出这个方程，
然后知识迁移到解a(ex＋f)2＋c＝0型的一元二次方程．
重点
运用开平方法解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程，领会降次——转化的数学思想．
难点
通过根据平方根的意义解形如x2＝n的方程，将知识迁移到根据平方根的意义解形如(x
＋m)2＝n(n≥0)的方程．
一、复习引入
学生活动：请同学们完成下列各题．
问题1：填空
(1)x2－8x＋________＝(x－________)2；(2)9x2＋12x＋________＝(3x＋________)2；(3)x2
＋px＋________＝(x＋________)2.
解：根据完全平方公式可得：(1)16 4；(2)4 2；(3)()2 .
问题2：目前我们都学过哪些方程？二元怎样转化成一元？一元二次方程与一元一次方
程有什么不同？二次如何转化成一次？怎样降次？以前学过哪些降次的方法？
二、探索新知
上面我们已经讲了x2＝9，根据平方根的意义，直接开平方得x＝±3，如果x换元为2t
＋1，即(2t＋1)2＝9，能否也用直接开平方的方法求解呢？
(学生分组讨论)
老师点评：回答是肯定的，把2t＋1变为上面的x，那么2t＋1＝±3
即2t＋1＝3，2t＋1＝－3
方程的两根为t＝1，t＝－2
1 2
例1 解方程：(1)x2＋4x＋4＝1 (2)x2＋6x＋9＝2
分析：(1)x2＋4x＋4是一个完全平方公式，那么原方程就转化为(x＋2)2＝1.
(2)由已知，得：(x＋3)2＝2
直接开平方，得：x＋3＝±
即x＋3＝，x＋3＝－
所以，方程的两根x＝－3＋，x＝－3－
1 2
解：略．
例2 市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10 m2提高到14.4 m2，求每年人均住
房面积增长率．
分析：设每年人均住房面积增长率为x，一年后人均住房面积就应该是10＋10x＝10(1
＋x)；二年后人均住房面积就应该是10(1＋x)＋10(1＋x)x＝10(1＋x)2解：设每年人均住房面积增长率为x，
则：10(1＋x)2＝14.4
(1＋x)2＝1.44
直接开平方，得1＋x＝±1.2
即1＋x＝1.2，1＋x＝－1.2
所以，方程的两根是x＝0.2＝20%，x＝－2.2
1 2
因为每年人均住房面积的增长率应为正的，因此，x＝－2.2应舍去．
2
所以，每年人均住房面积增长率应为20%.
(学生小结)老师引导提问：解一元二次方程，它们的共同特点是什么？
共同特点：把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．我们把这种思想
称为“降次转化思想”．
三、巩固练习
教材第6页 练习．
四、课堂小结
本节课应掌握：由应用直接开平方法解形如x2＝p(p≥0)的方程，那么x＝±转化为应用
直接开平方法解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的方程，那么mx＋n＝±，达到降次转化之目的．若
p＜0则方程无解．
五、作业布置
教材第16页 复习巩固1.第2课时 配方法的基本形式
理解间接即通过变形运用开平方法降次解方程，并能熟练应用它解决一些具体问题．
通过复习可直接化成x2＝p(p≥0)或(mx＋n)2＝p(p≥0)的一元二次方程的解法，引入不
能直接化成上面两种形式的一元二次方程的解题步骤．
重点
讲清直接降次有困难，如x2＋6x－16＝0的一元二次方程的解题步骤．
难点
将不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧．
一、复习引入
(学生活动)请同学们解下列方程：
(1)3x2－1＝5 (2)4(x－1)2－9＝0 (3)4x2＋16x＋16＝9 (4)4x2＋16x＝－7
老师点评：上面的方程都能化成x2＝p或(mx＋n)2＝p(p≥0)的形式，那么可得
x＝±或mx＋n＝±(p≥0)．
如：4x2＋16x＋16＝(2x＋4)2，你能把4x2＋16x＝－7化成(2x＋4)2＝9吗？
二、探索新知
列出下面问题的方程并回答：
(1)列出的经化简为一般形式的方程与刚才解题的方程有什么不同呢？
(2)能否直接用上面前三个方程的解法呢？
问题：要使一块矩形场地的长比宽多6 m，并且面积为16 m2，求场地的长和宽各是多
少？
(1)列出的经化简为一般形式的方程与前面讲的三道题不同之处是：前三个左边是含有x
的完全平方式而后二个不具有此特征．(2)不能．
既然不能直接降次解方程，那么，我们就应该设法把它转化为可直接降次解方程的方
程，下面，我们就来讲如何转化：
x2＋6x－16＝0移项→x2＋6x＝16
两边加(6/2)2使左边配成x2＋2bx＋b2的形式→x2＋6x＋32＝16＋9
左边写成平方形式→(x＋3)2＝25降次→x＋3＝±5即x＋3＝5或x＋3＝－5
解一次方程→x＝2，x＝－8
1 2
可以验证：x＝2，x＝－8都是方程的根，但场地的宽不能是负值，所以场地的宽为2
1 2
m，长为8 m.
像上面的解题方法，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法．
可以看出，配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解．
例1 用配方法解下列关于x的方程：
(1)x2－8x＋1＝0 (2)x2－2x－＝0
分析：(1)显然方程的左边不是一个完全平方式，因此，要按前面的方法化为完全平方
式；(2)同上．
解：略．
三、巩固练习
教材第9页 练习1，2.(1)(2)．
四、课堂小结
本节课应掌握：
左边不含有x的完全平方形式的一元二次方程化为左边是含有x的完全平方形式，右
边是非负数，可以直接降次解方程的方程．
五、作业布置
教材第17页 复习巩固2，3.(1)(2)．第3课时 配方法的灵活运用
了解配方法的概念，掌握运用配方法解一元二次方程的步骤．
通过复习上一节课的解题方法，给出配方法的概念，然后运用配方法解决一些具体题
目．
重点
讲清配方法的解题步骤．
难点
对于用配方法解二次项系数为1的一元二次方程，通常把常数项移到方程右边后，两
边加上的常数是一次项系数一半的平方；对于二次项系数不为1的一元二次方程，要先化二
次项系数为1，再用配方法求解．
一、复习引入
(学生活动)解下列方程：
(1)x2－4x＋7＝0 (2)2x2－8x＋1＝0
老师点评：我们上一节课，已经学习了如何解左边不含有x的完全平方形式的一元二次
方程以及不可以直接开方降次解方程的转化问题，那么这两道题也可以用上面的方法进行
解题．
解：略． (2)与(1)有何关联？二、探索新知
讨论：配方法解一元二次方程的一般步骤：
(1)先将已知方程化为一般形式；
(2)化二次项系数为1；
(3)常数项移到右边；
(4)方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；
(5)变形为(x＋p)2＝q的形式，如果q≥0，方程的根是x＝－p±；如果q＜0，方程无实根．
例1 解下列方程：
(1)2x2＋1＝3x (2)3x2－6x＋4＝0 (3)(1＋x)2＋2(1＋x)－4＝0
分析：我们已经介绍了配方法，因此，我们解这些方程就可以用配方法来完成，即配
一个含有x的完全平方式．
解：略．
三、巩固练习
教材第9页 练习2.(3)(4)(5)(6)．
四、课堂小结
本节课应掌握：
1．配方法的概念及用配方法解一元二次方程的步骤．
2．配方法是解一元二次方程的通法，它的重要性，不仅仅表现在一元二次方程的解法
中，也可通过配方，利用非负数的性质判断代数式的正负性．在今后学习二次函数，到高
中学习二次曲线时，还将经常用到．
五、作业布置
教材第17页 复习巩固3.(3)(4)．
补充：(1)已知x2＋y2＋z2－2x＋4y－6z＋14＝0，求x＋y＋z的值．
(2)求证：无论x，y取任何实数，多项式x2＋y2－2x－4y＋16的值总是正数.21.2.2 公
式法
理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一
元二次方程．
复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公
式的推导，并应用公式法解一元二次方程．
重点
求根公式的推导和公式法的应用．
难点
一元二次方程求根公式的推导．
一、复习引入
1．前面我们学习过解一元二次方程的“直接开平方法”，比如，方程
(1)x2＝4 (2)(x－2)2＝7
提问1 这种解法的(理论)依据是什么？
提问2 这种解法的局限性是什么？(只对那种“平方式等于非负数”的特殊二次方程
有效，不能实施于一般形式的二次方程．)
2．面对这种局限性，怎么办？(使用配方法，把一般形式的二次方程配方成能够“直接开平方”的形式．)
(学生活动)用配方法解方程 2x2＋3＝7x
(老师点评)略
总结用配方法解一元二次方程的步骤(学生总结，老师点评)．
(1)先将已知方程化为一般形式；
(2)化二次项系数为1；
(3)常数项移到右边；
(4)方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；
(5)变形为(x＋p)2＝q的形式，如果q≥0，方程的根是x＝－p±；如果q＜0，方程无实根．
二、探索新知
用配方法解方程：
(1)ax2－7x＋3＝0 (2)ax2＋bx＋3＝0
如果这个一元二次方程是一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，你能否用上面配方法的步骤
求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题．
问题：已知ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，试推导它的两个根x ＝，x ＝(这个方程一定有解吗？
1 2
什么情况下有解？)
分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a，b，c也当成一个具体数字，
根据上面的解题步骤就可以一直推下去．
解：移项，得：ax2＋bx＝－c
二次项系数化为1，得x2＋x＝－
配方，得：x2＋x＋()2＝－＋()2
即(x＋)2＝
∵4a2>0，当b2－4ac≥0时，≥0
∴(x＋)2＝()2
直接开平方，得：x＋＝±
即x＝
∴x＝，x＝
1 2
由上可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根由方程的系数a，b，c而定，因此：
(1)解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2＋bx＋c＝0，当b2－4ac≥0时，
将a，b，c代入式子x＝就得到方程的根．
(2)这个式子叫做一元二次方程的求根公式．
(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．
公式的理解
(4)由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根．
例1 用公式法解下列方程：
(1)2x2－x－1＝0 (2)x2＋1.5＝－3x
(3)x2－x＋＝0 (4)4x2－3x＋2＝0
分析：用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后代入公式即可．
补：(5)(x－2)(3x－5)＝0
三、巩固练习
教材第12页 练习1.(1)(3)(5)或(2)(4)(6)．
四、课堂小结
本节课应掌握：
(1)求根公式的概念及其推导过程；(2)公式法的概念；
(3)应用公式法解一元二次方程的步骤：1)将所给的方程变成一般形式，注意移项要变
号，尽量让a>0；2)找出系数a，b，c，注意各项的系数包括符号；3)计算b2－4ac，若结果为
负数，方程无解；4)若结果为非负数，代入求根公式，算出结果．
(4)初步了解一元二次方程根的情况．
五、作业布置
教材第17页 习题4，5.21.2.3 因式分解法
掌握用因式分解法解一元二次方程．
通过复习用配方法、公式法解一元二次方程，体会和探寻用更简单的方法——因式分
解法解一元二次方程，并应用因式分解法解决一些具体问题．
重点
用因式分解法解一元二次方程．
难点
让学生通过比较解一元二次方程的多种方法感悟用因式分解法使解题更简便．
一、复习引入
(学生活动)解下列方程：
(1)2x2＋x＝0(用配方法) (2)3x2＋6x＝0(用公式法)
老师点评：(1)配方法将方程两边同除以2后，x前面的系数应为，的一半应为，因此，
应加上()2，同时减去()2.(2)直接用公式求解．
二、探索新知
(学生活动)请同学们口答下面各题．
(老师提问)(1)上面两个方程中有没有常数项？
(2)等式左边的各项有没有共同因式？
(学生先答，老师解答)上面两个方程中都没有常数项；左边都可以因式分解．
因此，上面两个方程都可以写成：
(1)x(2x＋1)＝0 (2)3x(x＋2)＝0
因为两个因式乘积要等于0，至少其中一个因式要等于0，也就是(1)x＝0或2x＋1＝
0，所以x＝0，x＝－.
1 2
(2)3x＝0或x＋2＝0，所以x＝0，x＝－2.(以上解法是如何实现降次的？)
1 2
因此，我们可以发现，上述两个方程中，其解法都不是用开平方降次，而是先因式分
解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现
降次，这种解法叫做因式分解法．
例1 解方程：
(1)10x－4.9x2＝0 (2)x(x－2)＋x－2＝0 (3)5x2－2x－＝x2－2x＋ (4)(x－1)2＝(3－
2x)2
思考：使用因式分解法解一元二次方程的条件是什么？
解：略 (方程一边为0，另一边可分解为两个一次因式乘积．)
练习：下面一元二次方程解法中，正确的是( )
A．(x－3)(x－5)＝10×2，∴x－3＝10，x－5＝2，∴x＝13，x＝7
1 2
B．(2－5x)＋(5x－2)2＝0，∴(5x－2)(5x－3)＝0，∴x＝，x＝
1 2C．(x＋2)2＋4x＝0，∴x＝2，x＝－2
1 2
D．x2＝x，两边同除以x，得x＝1
三、巩固练习
教材第14页 练习1，2.
四、课堂小结
本节课要掌握：
(1)用因式分解法，即用提取公因式法、十字相乘法等解一元二次方程及其应用．
(2)因式分解法要使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式
等于0.
五、作业布置
教材第17页 习题6，8，10，11.21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
1．掌握一元二次方程的根与系数的关系并会初步应用．
2．培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力．
3．渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律．
4．培养学生去发现规律的积极性及勇于探索的精神．
重点
根与系数的关系及其推导
难点
正确理解根与系数的关系．一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程两根的和、
两根的积与系数的关系．
一、复习引入
1．已知方程x2－ax－3a＝0的一个根是6，则求a及另一个根的值．
2．由上题可知一元二次方程的系数与根有着密切的关系．其实我们已学过的求根公式
也反映了根与系数的关系，这种关系比较复杂，是否有更简洁的关系？
3．由求根公式可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为x＝，x＝.观察两式
1 2
右边，分母相同，分子是－b＋与－b－.两根之间通过什么计算才能得到更简洁的关系？
二、探索新知
解下列方程，并填写表格：
方程 x x x＋x x·x
1 2 1 2 1 2
x2－2x＝0
x2＋3x－4＝0
x2－5x＋6＝0
观察上面的表格，你能得到什么结论？
(1)关于x的方程x2＋px＋q＝0(p，q为常数，p2－4q≥0)的两根x，x 与系数p，q之间
1 2
有什么关系？
(2)关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根x ，x 与系数a，b，c之间又有何关系呢？
1 2
你能证明你的猜想吗？
解下列方程，并填写表格：
方程 x x x＋x x·x
1 2 1 2 1 22x2－7x－4＝0
3x2＋2x－5＝0
5x2－17x＋6＝0
小结：根与系数关系：
(1)关于x的方程x2＋px＋q＝0(p，q为常数，p2－4q≥0)的两根x，x 与系数p，q的关
1 2
系是：x＋x＝－p，x·x＝q(注意：根与系数关系的前提条件是根的判别式必须大于或等于
1 2 1 2
零．)
(2)形如ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的方程，可以先将二次项系数化为1，再利用上面的结论．
即：对于方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)
∵a≠0，∴x2＋x＋＝0
∴x＋x＝－，x·x＝
1 2 1 2
(可以利用求根公式给出证明)
例1 不解方程，写出下列方程的两根和与两根积：
(1)x2－3x－1＝0 (2)2x2＋3x－5＝0
(3)x2－2x＝0 (4)x2＋x＝
(5)x2－1＝0 (6)x2－2x＋1＝0
例2 不解方程，检验下列方程的解是否正确？
(1)x2－2x＋1＝0 (x ＝＋1，x＝－1)
1 2
(2)2x2－3x－8＝0 (x ＝，x＝)
1 2
例3 已知一元二次方程的两个根是－1和2，请你写出一个符合条件的方程．(你有几
种方法？)
例4 已知方程2x2＋kx－9＝0的一个根是－3，求另一根及k的值．
变式一：已知方程x2－2kx－9＝0的两根互为相反数，求k；
变式二：已知方程2x2－5x＋k＝0的两根互为倒数，求k.
三、课堂小结
1．根与系数的关系．
2．根与系数关系使用的前提是：(1)是一元二次方程；(2)判别式大于等于零．
四、作业布置
1．不解方程，写出下列方程的两根和与两根积．
(1)x2－5x－3＝0 (2)9x＋2＝x2 (3)6x2－3x＋2＝0
(4)3x2＋x＋1＝0
2．已知方程x2－3x＋m＝0的一个根为1，求另一根及m的值．
3．已知方程x2＋bx＋6＝0的一个根为－2，求另一根及b的值.21.3 实际问题与一元
二次方程(2课时)
第1课时 解决代数问题
1．经历用一元二次方程解决实际问题的过程，总结列一元二次方程解决实际问题的一
般步骤．
2．通过学生自主探究，会根据传播问题、百分率问题中的数量关系列一元二次方程并
求解，熟悉解题的具体步骤．
3．通过实际问题的解答，让学生认识到对方程的解必须要进行检验，方程的解是否舍
去要以是否符合问题的实际意义为标准．重点
利用一元二次方程解决传播问题、百分率问题．
难点
如果理解传播问题的传播过程和百分率问题中的增长(降低)过程，找到传播问题和百
分率问题中的数量关系．
一、引入新课
1．列方程解应用题的基本步骤有哪些？应注意什么？
2．科学家在细胞研究过程中发现：
(1)一个细胞一次可分裂成2个，经过3次分裂后共有多少个细胞？
(2)一个细胞一次可分裂成x个，经过3次分裂后共有多少个细胞？
(3)如是一个细胞一次可分裂成2个，分裂后原有细胞仍然存在并能再次分裂，试问经
过3次分裂后共有多少个细胞？
二、教学活动
活动1：自学教材第19页探究1，思考教师所提问题．
有一人患了流感，经过两轮传染后，有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染
了几个人？
(1)如何理解“两轮传染”？如果设每轮传染中平均一个人传染了x个人，第一轮传染
后共有________人患流感．第二轮传染后共有________人患流感．
(2)本题中有哪些数量关系？
(3)如何利用已知的数量关系选取未知数并列出方程？
解答：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则依题意第一轮传染后有(x＋1)人患了
流感，第二轮有x(1＋x)人被传染上了流感．于是可列方程：
1＋x＋x(1＋x)＝121
解方程得x＝10，x＝－12(不合题意舍去)
1 2
因此每轮传染中平均一个人传染了10个人．
变式练习：如果按这样的传播速度，三轮传染后有多少人患了流感？
活动2：自学教材第19页～第20页探究2，思考老师所提问题．
两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随
着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是
3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？
(1)如何理解年平均下降额与年平均下降率？它们相等吗？
(2)若设甲种药品年平均下降率为x，则一年后，甲种药品的成本下降了________元，
此时成本为________元；两年后，甲种药品下降了________元，此时成本为________元．
(3)增长率(下降率)公式的归纳：设基准数为a，增长率为x，则一月(或一年)后产量为
a(1±x)；
二月(或二年)后产量为a(1±x)2；
n月(或n年)后产量为a(1±x)n；
如果已知n月(n年)后总产量为M，则有下面等式：M＝a(1±x)n.
(4)对甲种药品而言根据等量关系列方程为：________________.
三、课堂小结与作业布置
课堂小结
1．列一元二次方程解应用题的步骤：审、设、找、列、解、答．最后要检验根是否符合实
际．2．传播问题解决的关键是传播源的确定和等量关系的建立．
3．若平均增长(降低)率为x，增长(或降低)前的基准数是a，增长(或降低)n次后的量是
b，则有：a(1±x)n＝b(常见n＝2)．
4．成本下降额较大的药品，它的下降率不一定也较大，成本下降额较小的药品，它的
下降率不一定也较小．
作业布置
教材第21－22页 习题21.3第2－7题．第2课时 解决几何问题
1．通过探究，学会分析几何问题中蕴含的数量关系，列出一元二次方程解决几何问题．
2．通过探究，使学生认识在几何问题中可以将图形进行适当变换，使列方程更容易．
3．通过实际问题的解答，再次让学生认识到对方程的解必须要进行检验，方程的解是
否舍去要以是否符合问题的实际意义为标准．
重点
通过实际图形问题，培养学生运用一元二次方程分析和解决几何问题的能力．
难点
在探究几何问题的过程中，找出数量关系，正确地建立一元二次方程．
活动1 创设情境
1．长方形的周长________，面积________，长方体的体积公式________．
2．如图所示：
(1)一块长方形铁皮的长是10 cm，宽是8 cm，四角各截去一个边长为2 cm的小正方形，
制成一个长方体容器，这个长方体容器的底面积是________，高是________，体积是
________．
(2)一块长方形铁皮的长是10 cm，宽是8 cm，四角各截去一个边长为x cm的小正方形，
制成一个长方体容器，这个长方体容器的底面积是________，高是________，体积是
________．
活动2 自学教材第20页～第21页探究3，思考老师所提问题
要设计一本书的封面，封面长27 cm，宽21 cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相
同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上下边衬等宽，左
右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度(精确到0.1 cm)．
(1)要设计书本封面的长与宽的比是________，则正中央矩形的长与宽的比是________．
(2)为什么说上下边衬宽与左右边衬宽之比为9∶7？试与同伴交流一下．
(3)若设上、下边衬的宽均为9x cm，左、右边衬的宽均为7x cm，则中央矩形的长为________cm，宽为________cm，面积为________cm2.
(4)根据等量关系：________，可列方程为：________.
(5)你能写出解题过程吗？(注意对结果是否合理进行检验．)
(6)思考如果设正中央矩形的长与宽分别为9x cm和7x cm，你又怎样去求上下、左右边
衬的宽？
活动3 变式练习
如图所示，在一个长为50米，宽为30米的矩形空地上，建造一个花园，要求花园的
面积占整块面积的75%，等宽且互相垂直的两条路的面积占25%，求路的宽度．
答案：路的宽度为5米．
活动4 课堂小结与作业布置
课堂小结
1．利用已学的特殊图形的面积(或体积)公式建立一元二次方程的数学模型，并运用它
解决实际问题的关键是弄清题目中的数量关系．
2．根据面积与面积(或体积)之间的等量关系建立一元二次方程，并能正确解方程，最
后对所得结果是否合理要进行检验．
作业布置
教材第22页 习题21.3第8，10题．第二十二章 二次函数
22．1 二次函数的图象和性质
22．1.1 二次函数
1．从实际情景中让学生经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进
一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系．
2．理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式．
3．会建立简单的二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围．
重点
二次函数的概念和解析式．
难点
本节“合作学习”涉及的实际问题有的较为复杂，要求学生有较强的概括能力．
一、创设情境，导入新课
问题1 现有一根12 m长的绳子，用它围成一个矩形，如何围法，才使矩形的面积最
大？小明同学认为当围成的矩形是正方形时，它的面积最大，他说的有道理吗？
问题2 很多同学都喜欢打篮球，你知道吗：投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？怎
样计算篮球达到最高点时的高度？
这些问题都可以通过学习二次函数的数学模型来解决，今天我们学习“二次函数”(板
书课题)．
二、合作学习，探索新知
请用适当的函数解析式表示下列情景中的两个变量y与x之间的关系：
(1)圆的半径x(cm)与面积y(cm2)；
(2)王先生存入银行2万元，先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存为又一个
一年定期，设一年定期的年存款利率为x，两年后王先生共得本息y元；
(3)拟建中的一个温室的平面图如图，如果温室外围是一个矩形，周长为120 m，室内
通道的尺寸如图，设一条边长为x (m)，种植面积为y(m2)．
(一)教师组织合作学习活动：
1．先个体探求，尝试写出y与x之间的函数解析式．
2．上述三个问题先易后难，在个体探求的基础上，小组进行合作交流，共同探讨．
(1)y＝πx2 (2)y＝20000(1＋x)2＝20000x2＋40000x＋20000 (3)y＝(60－x－4)(x－2)＝
－x2＋58x－112
(二)上述三个函数解析式具有哪些共同特征？
让学生充分发表意见，提出各自看法．
教师归纳总结：上述三个函数解析式经化简后都具有y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，
a≠0)的形式．
板书：我们把形如y＝ax2＋bx＋c(其中a，b，c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数(quadratic function)，称a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项．
请讲出上述三个函数解析式中的二次项系数、一次项系数和常数项．
三、做一做
1．下列函数中，哪些是二次函数？
(1)y＝x2 (2)y＝－ (3)y＝2x2－x－1
(4)y＝x(1－x) (5)y＝(x－1)2－(x＋1)(x－1)
2．分别说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项：
(1)y＝x2＋1 (2)y＝3x2＋7x－12 (3)y＝2x(1－x)
3．若函数y＝(m2－1)xm2－m为二次函数，则m的值为________．
四、课堂小结
反思提高，本节课你有什么收获？
五、作业布置
教材第41页 第1，2题.22.1.2 二次函数y＝ax2的图象和性质
通过画图，了解二次函数y＝ax2(a≠0)的图象是一条抛物线，理解其顶点为何是原点，
对称轴为何是y轴，开口方向为何向上(或向下)，掌握其顶点、对称轴、开口方向、最值和增
减性与解析式的内在关系，能运用相关性质解决有关问题．
重点
从“数”(解析式)和“形”(图象)的角度理解二次函数y＝ax2的性质，掌握二次函数解
析式y＝ax2与函数图象的内在关系．
难点
画二次函数y＝ax2的图象．
一、引入新课
1．下列哪些函数是二次函数？哪些是一次函数？
(1)y＝3x－1 (2)y＝2x2＋7 (3)y＝x－2
(4)y＝3(x－1)2＋1
2．一次函数的图象，正比例函数的图象各是怎样的呢？它们各有什么特点，又有哪些
性质呢？
3．上节课我们学习了二次函数的概念，掌握了它的一般形式，这节课我们先来探究二
次函数中最简单的y＝ax2的图象和性质．
二、教学活动
活动1：画函数y＝－x2的图象．
(1)多媒体展示画法(列表，描点，连线)．
(2)提出问题：它的形状类似于什么？
(3)引出一般概念：抛物线，抛物线的对称轴、顶点．
活动2：在坐标纸上画函数y＝－0.5x2，y＝－2x2的图象．
(1)教师巡视，展示学生的作品并进行点拨；教师再用多媒体课件展示正确的画图过程．
(2)引导学生观察二次函数y＝－0.5x2，y＝－2x2与函数y＝－x2的图象，提出问题：它
们有什么共同点和不同点？
(3)归纳总结：
共同点：①它们都是抛物线；②除顶点外都处于x轴的下方；③开口向下；④对称轴是y轴；⑤顶点都是原点(0，0)．
不同点：开口大小不同．
(4)教师强调指出：这三个特殊的二次函数y＝ax2是当a＜0时的情况．系数a越大，抛物
线开口越大．
活动3：在同一个直角坐标系中画函数y＝x2，y＝0.5x2，y＝2x2的图象．
类似活动2：让学生归纳总结出这些图象的共同点和不同点，再进一步提炼出二次函数
y＝ax2(a≠0)的图象和性质．
二次函数y＝ax2(a≠0)的图象和性质
图象 开口 顶 最高或
对称轴 最值
(草图) 方向 点 最低点
a＞0当x＝
____时，
y有最____
值，
是________.
a＜0当x＝
____时，
y有最____
值，
是________.
活动4：达标检测
(1)函数y＝－8x2的图象开口向________，顶点是________，对称轴是________，当
x________时，y随x的增大而减小．
(2)二次函数y＝(2k－5)x2的图象如图所示，则k的取值范围为________．
(3)如图，①y＝ax2；②y＝bx2；③y＝cx2；④y＝dx2.比较a，b，c，d的大小，用“＞”
连接________．
答案：(1)下，(0，0)，x＝0，＞0；(2)k＞2.5；(3)a＞b＞d＞c.
三、课堂小结与作业布置
课堂小结
1．二次函数的图象都是抛物线．
2．二次函数y＝ax2的图象性质：
(1)抛物线y＝ax2的对称轴是y轴，顶点是原点．
(2)当a＞0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点；当a＜0时，抛物线的开口
向下，顶点是抛物线的最高点；|a|越大，抛物线的开口越小．
作业布置教材第32页 练习．
22．1.3 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质
1．经历二次函数图象平移的过程；理解函数图象平移的意义．
2．了解y＝ax2，y＝a(x－h)2，y＝a(x－h)2＋k三类二次函数图象之间的关系．
3．会从图象的平移变换的角度认识y＝a(x－h)2＋k型二次函数的图象特征．
重点
从图象的平移变换的角度认识y＝a(x－h)2＋k型二次函数的图象特征．
难点
对于平移变换的理解和确定，学生较难理解．
一、复习引入
二次函数y＝ax2的图象和特征：
1．名称________；2.顶点坐标________；3.对称轴________；4.当a＞0时，抛物线的开
口向________，顶点是抛物线上的最________点，图象在x轴的________(除顶点外)；当a
＜0 时，抛物线的开口向________，顶点是抛物线上的最________点，图象在 x 轴的
________(除顶点外)．
二、合作学习
在同一坐标系中画出函数y＝x2，y＝(x＋2)2，y＝(x－2)2的图象．
(1)请比较这三个函数图象有什么共同特征？
(2)顶点和对称轴有什么关系？
(3)图象之间的位置能否通过适当的变换得到？
(4)由此，你发现了什么？
三、探究二次函数y＝ax2和y＝a(x－h)2图象之间的关系
1．结合学生所画图象，引导学生观察y＝(x＋2)2与y＝x2的图象位置关系，直观得出
y＝x2的图象――→y＝(x＋2)2的图象．
教师可以采取以下措施：①借助几何画板演示几个对应点的位置关系，如：
(0，0)――→(－2，0)；
(2，2)――→(0，2)；
(－2，2)――→(－4，2)．
②也可以把这些对应点在图象上用彩色粉笔标出，并用带箭头的线段表示平移过程．
2．用同样的方法得出y＝x2的图象――→y＝(x－2)2的图象．
3．请你总结二次函数y＝a(x－h)2的图象和性质．
y＝ax2(a≠0)的图象――→y＝a(x－h)2的图象．
函数y＝a(x－h)2的图象的顶点坐标是(h，0)，对称轴是直线x＝h.
4．做一做
(1)
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标
y＝2(x＋3)2
y＝－3(x－1)2y＝－4(x－3)2
(2)填空：
①抛物线y＝2x2向________平移________个单位可得到y＝2(x＋1)2；
②函数y＝－5(x－4)2的图象可以由抛物线________向________平移________个单位而
得到．
四、探究二次函数y＝a(x－h)2＋k和y＝ax2图象之间的关系
1．在上面的平面直角坐标系中画出二次函数y＝(x＋2)2＋3的图象．
首先引导学生观察比较y＝(x＋2)2与y＝(x＋2)2＋3的图象关系，直观得出：y＝(x＋2)2
的图象――→y＝(x＋2)2＋3的图象．(结合多媒体演示)
再引导学生观察刚才得到的y＝x2的图象与y＝(x＋2)2的图象之间的位置关系，由此得
出：只要把抛物线y＝x2先向左平移2个单位，在向上平移3个单位，就可得到函数y＝(x＋
2)2＋3的图象．
2．做一做：请填写下表：
函数解析式 图象的对称轴 图象的顶点坐标
y＝x2
y＝(x＋2)2
y＝(x＋2)2＋3
3.总结y＝a(x－h)2＋k的图象和y＝ax2图象的关系
y＝ax2(a≠0)的图象――→y＝a(x－h)2的图象――→y＝a(x－h)2＋k的图象．
y＝a(x－h)2＋k的图象的对称轴是直线x＝h，顶点坐标是(h，k)．
口诀：(h，k)正负左右上下移(h左加右减，k上加下减)
从二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象可以看出：
如果a＞0，当x＜h时，y随x的增大而减小，当x＞h时，y随x的增大而增大；如果a
＜0，当x＜h时，y随x的增大而增大，当x＞h时，y随x的增大而减小．
4．练习：课本第37页 练习
五、课堂小结
1．函数y＝a(x－h)2＋k的图象和函数y＝ax2图象之间的关系．
2．函数y＝a(x－h)2＋k的图象在开口方向、顶点坐标和对称轴等方面的性质．
六、作业布置
教材第41页 第5题22.1.4 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质(2课时)
第1课时 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质
1．掌握用描点法画出二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象．
2．掌握用图象或通过配方确定抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口方向、对称轴和顶点坐标．
3．经历探索二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及配方
的过程，理解二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质．
重点
通过图象和配方描述二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质．
难点
理解二次函数一般形式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的配方过程，发现并总结y＝ax2＋bx＋c与
y＝a(x－h)2＋k的内在关系．一、导入新课
1．二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象，可以由函数y＝ax2的图象先向________平移
________个单位，再向________平移________个单位得到．
2．二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象的开口方向________，对称轴是________，顶点坐
标是________．
3．二次函数y＝x2－6x＋21，你能很容易地说出它的图象的开口方向、对称轴和顶点
坐标，并画出图象吗？
二、教学活动
活动1：通过配方，确定抛物线y＝x2－6x＋21的开口方向、对称轴和顶点坐标，再描点
画图．
(1)多媒体展示画法(列表，描点，连线)；
(2)提出问题：它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？
(3)引导学生合作、讨论观察图象：在对称轴的左右两侧，抛物线从左往右的变化趋势．
活动2：1.不画出图象，你能直接说出函数y＝－x2＋2x－3的图象的开口方向、对称轴
和顶点坐标吗？
2．你能画出函数y＝－x2＋2x－3的图象，并说明这个函数具有哪些性质吗？
(1)在学生画函数图象的同时，教师巡视、指导；
(2)抽一位或两位同学板演，学生自纠，老师点评；
(3)让学生思考函数的最大值或最小值与函数图象的开口方向有什么关系？这个值与函
数图象的顶点坐标有什么关系？
活动3：对于任意一个二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，如何确定它的图象的开口方向、
对称轴和顶点坐标？你能把结果写出来吗？
(1)组织学生分组讨论，教师巡视；
(2)各组选派代表发言，全班交流，达成共识，抽学生板演配方过程；教师课件展示二
次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)和y＝ax2＋bx＋c(a＜0)的图象．
(3)引导学生观察二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象，在对称轴的左右两侧，y随x
的增大有什么变化规律？
(4)引导学生归纳总结二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象和性质．
活动4：已知抛物线y＝x2－2ax＋9的顶点在坐标轴上，求a的值．
活动5：检测反馈
1．填空：
(1)抛物线y＝x2－2x＋2的顶点坐标是________；
(2)抛物线y＝2x2－2x－1的开口________，对称轴是________；
(3)二次函数y＝ax2＋4x＋a的最大值是3，则a＝________.
2．写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．
(1)y＝3x2＋2x；(2)y＝－2x2＋8x－8.
3．求二次函数y＝mx2＋2mx＋3(m＞0)的图象的对称轴，并说出该图象具有哪些性质．
4．抛物线y＝ax2＋2x＋c的顶点是(－1，2)，则a，c的值分别是多少？
答案：1.(1)(1，1)；(2)向上，x＝；(3)－1；2.(1)开口向上，x＝－，(－，－)；(2)开口向下，
x＝2，(2，0)；3.对称轴x＝－1，当m＞0时，开口向上，顶点坐标是(－1，3－m)；4.a＝
1，c＝3.
三、课堂小结与作业布置
课堂小结
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与性质．作业布置
教材第41页 第6题．第2课时 用待定系数法求二次函数的解析式
1．掌握二次函数解析式的三种形式，并会选用不同的形式，用待定系数法求二次函数
的解析式．
2．能根据二次函数的解析式确定抛物线的开口方向，顶点坐标，对称轴，最值和增减
性．
3．能根据二次函数的解析式画出函数的图象，并能从图象上观察出函数的一些性质．
重点
二次函数的解析式和利用函数的图象观察性质．
难点
利用图象观察性质．
一、复习引入
1．抛物线 y＝－2(x＋4)2－5 的顶点坐标是________，对称轴是________，在
________________侧，即x________－4时，y随着x的增大而增大；在________________
侧，即x________－4时，y随着x的增大而减小；当x＝________时，函数y最________值
是________．
2．抛物线 y＝2(x－3)2＋6 的顶点坐标是________，对称轴是________，在
________________侧，即x________3时，y随着x的增大而增大；在________________侧，
即x________3时，y随着x的增大而减小；当x＝________时，函数y最________值是
________．
二、例题讲解
例1 根据下列条件求二次函数的解析式：
(1)函数图象经过点A(－3，0)，B(1，0)，C(0，－2)；
(2)函数图象的顶点坐标是(2，4)，且经过点(0，1)；
(3)函数图象的对称轴是直线x＝3，且图象经过点(1，0)和(5，0)．
说明：本题给出求抛物线解析式的三种解法，关键是看题目所给条件．一般来说：任意
给定抛物线上的三个点的坐标，均可设一般式去求；若给定顶点坐标(或对称轴或最值)及另
一个点坐标，则可设顶点式较为简单；若给出抛物线与x轴的两个交点坐标，则用分解式较
为快捷．
例2 已知函数y＝x2－2x－3，
(1)把它写成y＝a(x－h)2＋k的形式；并说明它是由怎样的抛物线经过怎样平移得到的？
(2)写出函数图象的对称轴、顶点坐标、开口方向、最值；
(3)求出图象与坐标轴的交点坐标；
(4)画出函数图象的草图；
(5)设图象交x轴于A，B两点，交y轴于P点，求△APB的面积；
(6)根据图象草图，说出x取哪些值时，①y＝0；②y<0；③y>0?
说明：(1)对于解决函数和几何的综合题时要充分利用图形，做到线段和坐标的互相转
化；
(2)利用函数图象判定函数值何时为正，何时为负，同样也要充分利用图象，要使
y<0，其对应的图象应在x轴的下方，自变量x就有相应的取值范围．例3 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则：
a________0；b________0；c________0；b2－4ac________0.
说明：二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与系数a，b，c的符号的关系：
系数的符号 图象特征
a的符号
a>0 抛物线开口向____
a<0 抛物线开口向____
－的符号
－>0 抛物线对称轴在y轴的____侧
b＝0 抛物线对称轴是____轴
－<0 抛物线对称轴在y轴的____侧
c的符号
c>0 抛物线与y轴交于____
c＝0 抛物线与y轴交于____
c<0 抛物线与y轴交于____
三、课堂小结
本节课你学到了什么？
四、作业布置
教材第40页 练习1，2.22.2 二次函数与一元二次方程
1．总结出二次函数的图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，
表述何时方程有两个不等的实根，两个相等的实根和没有实根．
2．会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解．
3．会用计算方法估计一元二次方程的根．
重点
方程与函数之间的联系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解．
难点
二次函数的图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系．
一、复习引入
1．二次函数：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是一条抛物线，它的开口由什么决定呢？
补充：当a的绝对值相等时，其形状完全相同，当a的绝对值越大，则开口越小，反之
成立．
2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象和性质：
(1)顶点坐标与对称轴；
(2)位置与开口方向；
(3)增减性与最值．当a＞0时，在对称轴的左侧，y随着x的增大而减小；在对称轴的右侧，y随着x的增
大而增大；当x＝－时，函数y有最小值.
当a＜0时，在对称轴的左侧，y随着x的增大而增大；在对称轴的右侧，y随着x的增
大而减小；当x＝－时，函数y有最大值.
二、新课教学
探索二次函数与一元二次方程：
二次函数y＝x2＋2x，y＝x2－2x＋1，y＝x2－2x＋2的图象如图所示．
(1)每个图象与x轴有几个交点？
(2)一元二次方程x2＋2x＝0，x2－2x＋1＝0有几个根？验证一下一元二次方程x2－2x
＋2＝0有根吗？
(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的
根有什么关系？
归纳：二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和x轴交点有三种情况：
①有两个交点，
②有一个交点，
③没有交点．
当二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和x轴有交点时，交点的横坐标就是当y＝0时自变
量x的值，即一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根．
当b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有两个交点，交点的横坐标是一元二次方程0＝ax2＋
bx＋c的两个根x 与x；当b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有且只有一个公共点；当b2－4ac＜
1 2
0时，抛物线与x轴没有交点．
举例：求二次函数图象y＝x2－3x＋2与x轴的交点A，B的坐标．
结论：方程x2－3x＋2＝0的解就是抛物线y＝x2－3x＋2与x轴的两个交点的横坐标．因
此，抛物线与一元二次方程是有密切联系的．
即：若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x，x，则抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴
1 2
的两个交点坐标分别是A(x ，0)，B(x，0)．
1 2
例1 已知函数y＝－x2－7x＋，
(1)写出函数图象的顶点、图象与坐标轴的交点，以及图象与y轴的交点关于图象对称
轴的对称点，然后画出函数图象的草图；
(2)自变量x在什么范围内时，y随着x的增大而增大？何时y随着x的增大而减少；并
求出函数的最大值或最小值．
三、巩固练习
请完成课本练习：第47页1，2
四、课堂小结
二次函数与一元二次方程根的情况的关系．
五、作业布置
教材第47页 第3，4，5，6题.22.3 实际问题与二次函数(2课时)
第1课时 用二次函数解决利润等代数问题能够理解生活中文字表达与数学语言之间的关系，建立数学模型．利用二次函数y＝ax2
＋bx＋c(a≠0)图象的性质解决简单的实际问题，能理解函数图象的顶点、端点与最值的关
系，并能应用这些关系解决实际问题．
重点
把实际生活中的最值问题转化为二次函数的最值问题．
难点
1．读懂题意，找出相关量的数量关系，正确构建数学模型．
2．理解与应用函数图象顶点、端点与最值的关系．
一、复习旧知，引入新课
1．二次函数常见的形式有哪几种？
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的顶点坐标是________，对称轴是________；二
次函数的图象是一条________，当a＞0时，图象开口向________，当a＜0时，图象开口
向________．
2．二次函数知识能帮助我们解决哪些实际问题呢？
二、教学活动
活动1：问题：从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m)与小球的运动时间
t(单位：s)之间的关系式是h＝30t－5t2(0≤t≤6)．小球运动的时间是多少时，小球最高？小球
运动中的最大高度是多少？
活动2：问题：某商场的一批衬衣现在的售价是60元，每星期可卖出300件，市场调查
反映：如果调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出
20件，已知该衬衣的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
1．问题中的定价可能在现在售价的基础上涨价或降价，获取的利润会一样吗？
2．如果你是老板，你会怎样定价？
3．以下问题提示，意在降低题目梯度，提示考虑x的取值范围．
(1)若设每件衬衣涨价x元，获得的利润为y元，则定价为________元，每件利润为
________元，每星期少卖________件，实际卖出________件．所以y＝________.何时有最大
利润，最大利润为多少元？
(2)若设每件衬衣降价x元，获得的利润为y元，则定价为________元，每件利润为
________元，每星期多卖________件，实际卖出________件．所以y＝________.何时有最大
利润，最大利润为多少元？
根据两种定价可能，让学生自愿分成两组，分别计算各自的最大利润；老师巡视，及
时发现学生在解答过程中的不足，加以辅导；最后展示学生的解答过程，教师与学生共同
评析．
活动3：达标检测
某商场购进一种每件价格为100元的新商品，在商场试销发现：销售单价x(元/件)与每
天销售量y(件)之间满足如图所示的关系．(1)求出y与x之间的函数关系式；
(2)写出每天的利润w与销售单价x之间的函数关系式；若你是商场负责人，会将售价
定为多少，来保证每天获得的利润最大，最大利润是多少？
答案：(1)y＝－x＋180；(2)w＝(x－100)y＝－(x－140)2＋1 600，当售价定为140元，w
最大为1 600元．
三、课堂小结与作业布置
课堂小结
通过本节课的学习，大家有什么新的收获和体会？尤其是数形结合方面你有什么新的
体会？
作业布置
教材第51～52页 习题第1～3题，第8题．
第2课时 二次函数与几何综合运用
能根据具体几何问题中的数量关系，列出二次函数关系式，并能应用二次函数的相关
性质解决实际几何问题，体会二次函数是刻画现实世界的有效数学模型．
重点
应用二次函数解决几何图形中有关的最值问题．
难点
函数特征与几何特征的相互转化以及讨论最值在何处取得．
一、引入新课
上节课我们一起研究用二次函数解决利润等代数问题，这节课我们共同研究二次函数
与几何的综合应用．
二、教学过程
问题1：教材第49页探究1.
用总长为60 m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化．当l为
多少米时，场地的面积S最大？
分析：
提问1：矩形面积公式是什么？
提问2：如何用l表示另一边？
提问3：面积S的函数关系式是什么？
问题2：如图，用一段长为60 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长32 m，这
个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？分析：
提问1：问题2与问题1有什么不同？
提问2：我们可以设面积为S，如何设自变量？
提问3：面积S的函数关系式是什么？
答案：设垂直于墙的边长为x米，S＝x(60－2x)＝－2x2＋60x.
提问4：如何求解自变量x的取值范围？墙长32 m对此题有什么作用？
答案：0＜60－2x≤32，即14≤x＜30.
提问5：如何求最值？
答案：x＝－＝－＝15时，S ＝450.
max
问题3：将问题2中“墙长为32 m”改为“墙长为18 m”，求这个矩形的长、宽各为多
少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
提问1：问题3与问题2有什么异同？
提问2：可否模仿问题2设未知数、列函数关系式？
提问3：可否试设与墙平行的一边为x米？则如何表示另一边？
答案：设矩形面积为S m2，与墙平行的一边为x米，则S＝·x＝－＋30x.
提问4：当x＝30时，S取最大值．此结论是否正确？
提问5：如何求自变量的取值范围？
答案：0＜x≤18.
提问6：如何求最值？
答案：由于30＞18，因此只能利用函数的增减性求其最值．当x＝18时，S ＝378.
max
小结：在实际问题中求解二次函数最值问题，不一定都取图象顶点处，要根据自变量
的取值范围来确定．通过问题2与问题3的对比，希望学生能够理解函数图象的顶点、端点
与最值的关系，以及何时取顶点处、何时取端点处才有符合实际的最值．
三、回归教材
阅读教材第51页的探究3，讨论有没有其他“建系”的方法？哪种“建系”更有利于
题目的解答？
四、基础练习
1．教材第51页的探究3，教材第57页第7题．
2．阅读教材第52～54页．
五、课堂小结与作业布置
课堂小结
1．利用求二次函数的最值问题可以解决实际几何问题．
2．实际问题的最值求解与函数图象的顶点、端点都有关系，特别要注意最值的取得不
一定在函数的顶点处．
作业布置
教材第52页 习题第4～7题，第9题．第二十三章 旋转
23．1 图形的旋转
1．了解旋转及其旋转中心和旋转角的概念，了解旋转对应点的概念及其应用它们解决
一些实际问题．
2．通过复习平移、轴对称的有关概念及性质，从生活中的数学开始，经历观察，产生
概念，应用概念解决一些实际问题．
3．旋转的基本性质．
重点
旋转及对应点的有关概念及其应用．
难点
旋转的基本性质．
一、复习引入
(学生活动)请同学们完成下面各题．
1．将如图所示的四边形ABCD平移，使点B的对应点为点D，作出平移后的图形．
2．如图，已知△ABC和直线l，请你画出△ABC关于l的对称图形△A′B′C′.
3．圆是轴对称图形吗？等腰三角形呢？你还能指出其它的吗？
(口述)老师点评并总结：
(1)平移的有关概念及性质．
(2)如何画一个图形关于一条直线(对称轴)的对称图形并口述它具有的一些性质．
(3)什么叫轴对称图形？
二、探索新知
我们前面已经复习平移等有关内容，生活中是否还有其它运动变化呢？回答是肯定的，
下面我们就来研究．
1．请同学们看讲台上的大时钟，有什么在不停地转动？旋转围绕什么点呢？从现在到
下课时针转了多少度？分针转了多少度？秒针转了多少度？
(口答)老师点评：时针、分针、秒针在不停地转动，它们都绕时钟的中心．从现在到下课
时针转了________度，分针转了________度，秒针转了________度．
2．再看我自制的好像风车风轮的玩具，它可以不停地转动．如何转到新的位置？(老师
点评略)
3．第1，2两题有什么共同特点呢？
共同特点是如果我们把时钟、风车风轮当成一个图形，那么这些图形都可以绕着某一
固定点转动一定的角度．
像这样，把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转，点O叫做旋转
中心，转动的角叫做旋转角．
如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做这个旋转的对应点．下面我们来运用这些概念来解决一些问题．
例1 如图，如果把钟表的指针看做三角形OAB，它绕O点按顺时针方向旋转得到
△OEF，在这个旋转过程中：
(1)旋转中心是什么？旋转角是什么？
(2)经过旋转，点A，B分别移动到什么位置？
解：(1)旋转中心是O，∠AOE，∠BOF等都是旋转角．
(2)经过旋转，点A和点B分别移动到点E和点F的位置．
自主探究：
请看我手里拿着的硬纸板，我在硬纸板上挖下一个三角形的洞，再挖一个点O作为旋
转中心，把挖好的硬纸板放在黑板上，先在黑板上描出这个挖掉的三角形图案(△ABC)，
然后围绕旋转中心O转动硬纸板，在黑板上再描出这个挖掉的三角形(△A′B′C′)，移去硬纸
板．
(分组讨论)根据图回答下面问题(一组推荐一人上台说明)
1．线段OA与OA′，OB与OB′，OC与OC′有什么关系？
2．∠AOA′，∠BOB′，∠COC′有什么关系？
3．△ABC与△A′B′C′的形状和大小有什么关系？
老师点评：1.OA＝OA′，OB＝OB′，OC＝OC′，也就是对应点到旋转中心的距离相等．
2．∠AOA′＝∠BOB′＝∠COC′，我们把这三个相等的角，即对应点与旋转中心所连
线段的夹角称为旋转角．
3．△ABC和△A′B′C′形状相同和大小相等，即全等．
综合以上的实验操作得出：
(1)对应点到旋转中心的距离相等；
(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；
(3)旋转前、后的图形全等．
例2 如图，△ABC绕C点旋转后，顶点A的对应点为点D，试确定顶点B的对应点
的位置，以及旋转后的三角形．
分析：绕C点旋转，A点的对应点是D点，那么旋转角就是∠ACD，根据对应点与旋
转中心所连线段的夹角等于旋转角，即∠BCB′＝∠ACD，又由对应点到旋转中心的距离相
等，即CB＝CB′，就可确定B′的位置，如图所示．解：(1)连接CD；
(2)以CB为一边作∠BCE，使得∠BCE＝∠ACD；
(3)在射线CE上截取CB′＝CB，则B′即为所求的B的对应点；
(4)连接DB′，则△DB′C就是△ABC绕C点旋转后的图形．
三、课堂小结
(学生总结，老师点评)
本节课应掌握：
1．对应点到旋转中心的距离相等；
2．对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；
3．旋转前、后的图形全等及其它们的应用．
四、作业布置
教材第62～63页 习题4，5，6.
23．2 中心对称
23．2.1 中心对称
1．正确认识什么是中心对称、对称中心，理解关于中心对称图形的性质特点．
2．能根据中心对称的性质，作出一个图形关于某点成中心对称的对称图形．
重点
中心对称的概念及性质．
难点
中心对称性质的推导及理解．
复习引入
问题：作出下图的两个图形绕点O旋转180°后的图案，并回答下列的问题：
1．以O为旋转中心，旋转180°后两个图形是否重合？
2．各对应点绕O旋转180°后，这三点是否在一条直线上？
老师点评：可以发现，如图所示的两个图案绕O旋转180°后都是重合的，即甲图与乙
图重合，△OAB与△COD重合．像这样，把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就
说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．
这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．
探索新知
(老师)在黑板上画一个三角形ABC，分两种情况作两个图形：
(1)作△ABC一顶点为对称中心的对称图形；
(2)作关于一定点O为对称中心的对称图形．
第一步，画出△ABC.
第二步，以△ABC的C点(或O点)为中心，旋转180°画出△A′B′C和△A′B′C′，如图
(1)和图(2)所示．
从图(1)中可以得出△ABC与△A′B′C是全等三角形；
分别连接对称点AA′，BB′，CC′，点O在这些线段上且O平分这些线段．
下面，我们就以图(2)为例来证明这两个结论．
证明：(1)在△ABC 和△A′B′C′中，OA＝OA′，OB＝OB′，∠AOB＝∠A′OB′，
∴△AOB≌△ A′OB′，∴AB＝A′B′，同理可证： AC＝A′C′，BC＝B′C′，
∴△ABC≌△A′B′C′；
(2)点A′是点A绕点O旋转180°后得到的，即线段OA绕点O旋转180°得到线段OA′，
所以点O在线段AA′上，且OA＝OA′，即点O是线段AA′的中点．
同样地，点O也在线段BB′和CC′上，且OB＝OB′，OC＝OC′，即点O是BB′和CC′的
中点．
因此，我们就得到
1．关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平
分．
2．关于中心对称的两个图形是全等图形．
例题精讲
例1 如图，已知△ABC和点O，画出△DEF，使△DEF和△ABC关于点O成中心对
称．
分析：中心对称就是旋转180°，关于点O成中心对称就是绕O旋转180°，因此，我们连AO，BO，CO并延长，取与它们相等的线段即可得到．
解：(1)连接AO并延长AO到D，使OD＝OA，于是得到点A的对称点D，如图所示．
(2)同样画出点B和点C的对称点E和F.
(3)顺次连接DE，EF，FD，则△DEF即为所求的三角形．
例2 (学生练习，老师点评)如图，已知四边形ABCD和点O，画四边形A′B′C′D′，使
四边形A′B′C′D′和四边形ABCD关于点O成中心对称(只保留作图痕迹，不要求写出作法)．
课堂小结(学生总结，老师点评)
本节课应掌握：
中心对称的两条基本性质：
1．关于中心对称的两个图形，对应点所连线都经过对称中心，而且被对称中心所平分；
2．关于中心对称的两个图形是全等图形及其它们的应用．
作业布置
教材第66页 练习23.2.2 中心对称图形
了解中心对称图形的概念及中心对称图形的对称中心的概念，掌握这两个概念的应用．
复习两个图形关于中心对称的有关概念，利用这个所学知识探索一个图形是中心对称
图形的有关概念及其他的运用．
重点
中心对称图形的有关概念及其它们的运用．
难点
区别关于中心对称的两个图形和中心对称图形．
一、复习引入
1．(老师口问)口答：关于中心对称的两个图形具有什么性质？
(老师口述)：关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称
中心所平分．
关于中心对称的两个图形是全等图形．
2．(学生活动)作图题．
(1)作出线段AO关于O点的对称图形，如图所示．
(2)作出三角形AOB关于O点的对称图形，如图所示．
延长AO使OC＝AO，延长BO使OD＝BO，连接CD，则△COD即为所求，如图所
示．
二、探索新知
从另一个角度看，上面的(1)题就是将线段AB绕它的中点旋转180°，因为OA＝OB，
所以，就是线段AB绕它的中点旋转180°后与它本身重合．
上面的(2)题，连接AD，BC，则刚才的关于中心O对称的两个图形就成了平行四边形，
如图所示．
∵AO＝OC，BO＝OD，∠AOB＝∠COD
∴△AOB≌△COD
∴AB＝CD
也就是，ABCD绕它的两条对角线交点O旋转180°后与它本身重合．因此，像这样，把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的
图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
(学生活动)例1 从刚才讲的线段、平行四边形都是中心对称图形外，每一位同学举出
三个图形，它们也是中心对称图形．
老师点评：老师边提问学生边解答的特点．
(学生活动)例2 请说出中心对称图形具有什么特点？
老师点评：中心对称图形具有匀称美观、平稳的特点．
例3 求证：如图，任何具有对称中心的四边形是平行四边形．
分析：中心对称图形的对称中心是对应点连线的交点，也是对应点间的线段中点，因
此，直接可得到对角线互相平分．
证明：如图，O是四边形ABCD的对称中心，根据中心对称性质，线段AC，BD必过
点O，且AO＝CO，BO＝DO，即四边形ABCD的对角线互相平分，因此，四边形ABCD
是平行四边形．
三、课堂小结(学生归纳，老师点评)
本节课应掌握：
1．中心对称图形的有关概念；
2．应用中心对称图形解决有关问题．
四、作业布置
教材第70页 习题8，9，10.23.2.3 关于原点对称的点的坐标
理解点P与点P′关于原点对称时它们的横纵坐标的关系，掌握P(x，y)关于原点的对称
点为P′(－x，－y)的运用．
复习轴对称、旋转，尤其是中心对称，知识迁移到关于原点对称的点的坐标的关系及
其运用．
重点
两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P(x，y)关于原点的对称点P′(－
x，－y)及其运用．
难点
运用中心对称的知识导出关于原点对称的点的坐标的性质及其运用它解决实际问题．
一、复习引入
(学生活动)请同学们完成下面三题．
1．已知点A和直线l，如图，请画出点A关于l对称的点A′.
2．如图，△ABC是正三角形，以点A为中心，把△ABC顺时针旋转60°，画出旋转
后的图形．
3．如图△ABO，绕点O旋转180°，画出旋转后的图形．
老师点评：老师通过巡查，根据学生解答情况进行点评．(略)
二、探索新知
(学生活动)如图，在直角坐标系中，已知A(－3，1)，B(－4，0)，C(0，3)，D(2，2)，
E(3，－3)，F(－2，－2)，作出A，B，C，D，E，F点关于原点O的中心对称点，并写出
它们的坐标，并回答：
这些坐标与已知点的坐标有什么关系？老师点评：画法：(1)连接AO并延长AO；
(2)在射线AO上截取OA′＝OA；
(3)过A作AD′⊥x轴于点D′，过A′作A′D″⊥x轴于点D″.
∵△AD′O与△A′D″O全等，
∴AD′＝A′D″，OA＝OA′，
∴A′(3，－1)，
同理可得B，C，D，E，F这些点关于原点的中心对称点的坐标．
(学生活动)分组讨论(每四人一组)：讨论的内容：关于原点作中心对称时，①它们的横坐
标与横坐标绝对值什么关系？纵坐标与纵坐标的绝对值又有什么关系？②坐标与坐标之间
符号又有什么特点？
提问几个同学口述上面的问题．
老师点评：(1)从上可知，横坐标与横坐标的绝对值相等，纵坐标与纵坐标的绝对值相
等．(2)坐标符号相反，即P(x，y)关于原点O的对称点P′(－x，－y)．
两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，
即点P(x，y)关于原点O的对称点为P′(－x，－y)．
例1 如图，利用关于原点对称的点的坐标的特点，作出与线段AB关于原点对称的图
形．
分析：要作出线段AB关于原点的对称线段，只要作出点A、点B关于原点的对称点
A′，B′即可．
解：点P(x，y)关于原点的对称点为P′(－x，－y)，因此，线段AB的两个端点A(0，
1)，B(3，0)关于原点的对称点分别为A′(0，－1)，B(－3，0)．
连接A′B′.
则就可得到与线段AB关于原点对称的线段A′B′.
(学生活动)例2 已知△ABC，A(1，2)，B(－1，3)，C(－2，4)，利用关于原点对称的
点的坐标的特点，作出△ABC关于原点对称的图形．
老师点评分析：先在直角坐标系中画出 A，B，C三点并连接组成△ABC，要作出
△ABC关于原点O的对称三角形，只需作出△ABC中的A，B，C三点关于原点的对称点，
依次连接，便可得到所求作的△A′B′C′.
三、巩固练习
教材第69页 练习．四、课堂小结
点P(x，y)关于原点的对称点为P′(－x，－y)．
五、作业布置
教材第70页 习题3，4.
23．3 课题学习 图案设计
利用平移、轴对称和旋转的这些图形变换中的一种或组合进行图案设计，设计出称心
如意的图案．
通过复习平移、轴对称、旋转的知识，然后利用这些知识让学生开动脑筋，敝开胸怀大
胆联想，设计出一幅幅美丽的图案．
重点
设计图案．
难点
如何利用平移、轴对称、旋转等图形变换中的一种或它们的组合得出图案．
一、复习引入
(学生活动)请同学们独立完成下面的各题．
1．如图，已知线段CD是线段AB平移后的图形，D是B点的对称点，作出线段
AB，并回答AB与CD有什么位置关系．
,第2题图) ,第3题图)
2．如图，已知线段CD，作出线段CD关于对称轴l的对称线段C′D′，并说明CD与对
称线段C′D′之间有什么关系？
3．如图，已知线段CD，作出线段CD关于D点旋转90°的旋转后的图形，并说明这
两条线段之间有什么关系？
老师点评：
1．AB与CD平行且相等；
2．过D点作DE⊥l，垂足为E并延长，使ED′＝ED，同理作出C′点，连接C′D′，则
C′D′即为所求．CD的延长线与C′D′的延长线相交于一点，这一点在l上并且CD＝C′D′.
3．以D点为旋转中心，旋转后CD⊥C′D，垂足为D，并且CD＝C′D.
二、探索新知
请用以上所讲的平移、轴对称、旋转等图形变换中的一种或几种组合完成下面的图案设
计．
例1 (学生活动)学生亲自动手操作题．
按下面的步骤，请每一位同学完成一个别致的图案．
(1)准备一张正三角形纸片(课前准备)(如图a)；
(2)把纸片任意撕成两部分(如图b，如图c)；
(3)将撕好的如图b沿正三角形的一边作轴对称，得到新的图形；
(4)将(3)得到的图形以正三角形的一个顶点作为旋转中心旋转，得到如图(d)(如图c保
持不动)；(5)把如图(d)平移到如图(c)的右边，得到如图(e)；
(6)对如图(e)进行适当的修饰，使得到一个别致美丽的如图(f)的图案．
老师必要时可以给予一定的指导．
三、课堂小结
本节课应掌握：
利用平移、轴对称和旋转的图形变换中的一种或组合设计图案．第二十四章 圆
24．1 圆的有关性质
24．1.1 圆
经历圆的概念的形成过程，理解圆、弧、弦等与圆有关的概念，了解等圆、等弧的概念．
重点
经历形成圆的概念的过程，理解圆及其有关概念．
难点
理解圆的概念的形成过程和圆的集合性定义．
活动1 创设情境，引出课题
1．多媒体展示生活中常见的给我们以圆的形象的物体．
2．提出问题：我们看到的物体给我们什么样的形象？
活动2 动手操作，形成概念
在没有圆规的情况下，让学生用铅笔和细线画一个圆．
教师巡视，展示学生的作品，提出问题：我们画的圆的位置和大小一样吗？画的圆的
位置和大小分别由什么决定？
教师强调指出：位置由固定的一个端点决定，大小由固定端点到铅笔尖的细线的长度
决定．
1．从以上圆的形成过程，总结概念：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O
旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．
以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．
2．小组讨论下面的两个问题：
问题1：圆上各点到定点(圆心O)的距离有什么规律？
问题2：到定点的距离等于定长的点又有什么特点？
3．小组代表发言，教师点评总结，形成新概念．
(1)圆上各点到定点(圆心O)的距离都等于定长(半径r)；
(2)到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上．
因此，我们可以得到圆的新概念：圆心为O，半径为r的圆可以看成是所有到定点O的
距离等于定长r的点的集合．(一个图形看成是满足条件的点的集合，必须符合两点：在图形
上的每个点，都满足这个条件；满足这个条件的每个点，都在这个图形上．)
活动3 学以致用，巩固概念
1．教材第81页 练习第1题．
2．教材第80页 例1.
多媒体展示例1，引导学生分析要证明四个点在同一圆上，实际是要证明到定点的距
离等于定长，即四个点到O的距离相等．
活动4 自学教材，辨析概念
1．自学教材第80页例1后面的内容，判断下列问题正确与否：
(1)直径是弦，弦是直径；半圆是弧，弧是半圆．
(2)圆上任意两点间的线段叫做弧．
(3)在同圆中，半径相等，直径是半径的2倍．
(4)长度相等的两条弧是等弧．(教师强调：长度相等的弧不一定是等弧，等弧必须是在同圆或等圆中的弧．)
(5)大于半圆的弧是劣弧，小于半圆的弧是优弧．
2．指出图中所有的弦和弧．
活动5 达标检测，反馈新知
教材第81页 练习第2，3题．
活动6 课堂小结，作业布置
课堂小结
1．圆、弦、弧、等圆、等弧的概念．要特别注意“直径和弦”“弧和半圆”以及“同圆、
等圆”这些概念的区别和联系．等圆和等弧的概念是建立在“能够完全重合”这一前提条
件下的，它将作为今后判断两圆或两弧相等的依据．
2．证明几点在同一圆上的方法．
3．集合思想．
作业布置
1．以定点O为圆心，作半径等于2厘米的圆．
2．如图，在Rt△ABC和Rt△ABD中，∠C＝90°，∠D＝90°，点O是AB的中点．
求证：A，B，C，D四个点在以点O为圆心的同一圆上．
答案：1.略；2.证明OA＝OB＝OC＝OD即可．
24．1.2 垂直于弦的直径
理解垂径定理并灵活运用垂径定理及圆的概念解决一些实际问题．
通过复合图形的折叠方法得出猜想垂径定理，并辅以逻辑证明加予理解．
重点
垂径定理及其运用．
难点
探索并证明垂径定理及利用垂径定理解决一些实际问题．
一、复习引入
①在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点所形成的图
形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．
以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．②连接圆上任意两点的线段叫做弦，如图线段AC，AB；
③经过圆心的弦叫做直径，如图线段AB；
④圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，以A，C为端点的弧记作“AC”，读作
“圆弧AC”或“弧AC”．大于半圆的弧(如图所示ABC)叫做优弧，小于半圆的弧(如图所
示AC或BC)叫做劣弧．
⑤圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．
⑥圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线．
二、探索新知
(学生活动)请同学按要求完成下题：
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M.
(1)如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？
(2)你能发现图中有哪些等量关系？说一说你理由．
(老师点评)(1)是轴对称图形，其对称轴是CD.
(2)AM＝BM，AC＝BC，AD＝BD，即直径CD平分弦AB，并且平分AB及ADB.
这样，我们就得到下面的定理：
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
下面我们用逻辑思维给它证明一下：
已知：直径CD、弦AB，且CD⊥AB垂足为M.
求证：AM＝BM，AC＝BC，AD＝BD.
分析：要证AM＝BM，只要证AM，BM构成的两个三角形全等．因此，只要连接
OA，OB或AC，BC即可．
证明：如图，连接OA，OB，则OA＝OB，
在Rt△OAM和Rt△OBM中，
∴Rt△OAM≌Rt△OBM，
∴AM＝BM，
∴点A和点B关于CD对称，
∵⊙O关于直径CD对称，
∴当圆沿着直线CD对折时，点A与点B重合，AC与BC重合，AD与BD重合．
∴AC＝BC，AD＝BD.
进一步，我们还可以得到结论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
(本题的证明作为课后练习)
例1 有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图所示，正常水位下水面宽AB＝60 m，水面到
拱顶距离CD＝18 m，当洪水泛滥时，水面宽MN＝32 m时是否需要采取紧急措施？请说明
理由．
分析：要求当洪水到来时，水面宽MN＝32 m是否需要采取紧急措施，只要求出DE的
长，因此只要求半径R，然后运用几何代数解求R.
解：不需要采取紧急措施，
设OA＝R，在Rt△AOC中，AC＝30，CD＝18，
R2＝302＋(R－18)2，
R2＝900＋R2－36R＋324，
解得R＝34(m)，
连接OM，设DE＝x，在Rt△MOE中，ME＝16，
342＝162＋(34－x)2，
162＋342－68x＋x2＝342，x2－68x＋256＝0，
解得x＝4，x＝64(不合题意，舍去)，
1 2
∴DE＝4，
∴不需采取紧急措施．
三、课堂小结(学生归纳，老师点评)
垂径定理及其推论以及它们的应用．
四、作业布置
1．垂径定理推论的证明．
2．教材第89，90页 习题第8，9，10题．
24．1.3 弧、弦、圆心角
1．理解圆心角的概念和圆的旋转不变性，会辨析圆心角．
2．掌握在同圆或等圆中，圆心角与其所对的弦、弧之间的关系，并能应用此关系进行
相关的证明和计算．
重点
圆心角、弦、弧之间的相等关系及其理解应用．
难点
从圆的旋转不变性出发，发现并论证圆心角、弦、弧之间的相等关系．
活动1 动手操作，得出性质及概念
1．在两张透明纸片上，分别作半径相等的⊙O和⊙O′.
2．将⊙O绕圆心旋转任意角度后会出现什么情况？圆是中心对称图形吗？3．在⊙O中画出两条不在同一条直线上的半径，构成一个角，这个角叫什么角？学生
先说，教师补充完善圆心角的概念．
如图，∠AOB的顶点在圆心，像这样的角叫做圆心角．
4．判断图中的角是否是圆心角，说明理由．
活动2 继续操作，探索定理及推论
1．在⊙O′中，作与圆心角∠AOB相等的圆心角∠A′O′B′，连接AB，A′B′，将两张
纸片叠在一起，使⊙O与⊙O′重合，固定圆心，将其中一个圆旋转某个角度，使得OA与
O′A′重合，在操作的过程中，你能发现哪些等量关系，理由是什么？请与小组同学交流．
2．学生会出现多对等量关系，教师给予鼓励，然后，老师小结：在等圆中相等的圆心
角所对的弧相等，所对的弦也相等．
3．在同一个圆中，相等的圆心角所对的弧相等吗？所对的弦相等吗？
4．综合2，3，我们可以得到关于圆心角、弧、弦之间的关系定理：在同圆或等圆中，相
等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．请用符号语言把定理表示出来．
5．分析定理：去掉“在同圆或等圆中”这个条件，行吗？
6．定理拓展：教师引导学生类比定理，独立用类似的方法进行探究：
(1)在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角，所对的弦也分别相等
吗？
(2)在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角，所对的弧也分别相等
吗？
综上所述，在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，就可以推
出它们所对应的其余各组量也相等．
活动3 学以致用，巩固定理
1．教材第84页 例3.
多媒体展示例3，引导学生分析要证明三个圆心角相等，可转化为证明所对的弧或弦
相等．鼓励学生用多种方法解决本题，培养学生解决问题的意识和能力，感悟转化与化归
的数学思想．
活动4 达标检测，反馈新知
教材第85页 练习第1，2题．
活动5 课堂小结，作业布置
课堂小结
1．圆心角概念及圆的旋转不变性和对称性．
2．在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所
对应的其余各组量都分别相等，以及其应用．
3．数学思想方法：类比的数学方法，转化与化归的数学思想．作业布置
1．如果两个圆心角相等，那么( )
A．这两个圆心角所对的弦相等
B．这两个圆心角所对的弧相等
C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等
D．以上说法都不对
2．如图，AB和DE是⊙O的直径，弦AC∥DE，若弦BE＝3，求弦CE的长．
3．如图，在⊙O中，C，D是直径AB上两点，且AC＝BD，MC⊥AB，ND⊥AB，
M，N在⊙O上．
(1)求证：AM＝BN；
(2)若C，D分别为OA，OB中点，则AM＝MN＝BN成立吗？
答案：1.D；2.3；3.(1)连接OM，ON，证明△MCO≌△NDO，得出∠MOA＝∠NOB，得
出AM＝BN；(2)成立．24.1.4 圆周角(2课时)
第1课时 圆周角的概念和圆周角定理
1．理解圆周角的概念，会识别圆周角．
2．掌握圆周角定理，并会用此定理进行简单的论证和计算．
重点
圆周角的概念和圆周角定理．
难点
用分类讨论的思想证明圆周角定理，尤其是分类标准的确定．
活动1 复习类比，引入概念
1．用几何画板显示圆心角．
2．教师将圆心角的顶点进行移动，如图1.
(1)当角的顶点在圆心时，我们知道这样的角叫圆心角，如∠AOB.
(2)当角的顶点运动到圆周时，如∠ACB这样的角叫什么角呢？
学生会马上猜出：圆周角．教师给予鼓励，引出课题．
3．总结圆周角概念．
(1)鼓励学生尝试自己给圆周角下定义．估计学生能类比圆心角给圆周角下定义，顶点
在圆周上的角叫圆周角，可能对角的两边没有要求．
(2)教师提问：是不是顶点在圆周上的角就是圆周角呢？带着问题，教师出示下图．
学生通过观察，会发现形成圆周角必须具备两个条件：①顶点在圆周上；②角的两边都
与圆相交．最后让学生再给圆周角下一个准确的定义：顶点在圆周上，两边都与圆相交的角
叫圆周角．
(3)比较概念：圆心角定义中为什么没有提到“两边都与圆相交”呢？
学生讨论后得出：凡是顶点在圆心的角，两边一定与圆相交，而顶点在圆周上的角则
不然，因此，学习圆周角的概念，一定要注意角的两边“都与圆相交”这一条件．
活动2 观察猜想，寻找规律
1．教师出示同一条弧所对圆周角为90°，圆心角为180°和同一条弧所对圆周角为
45°，圆心角为90°的特殊情况的图形．
提出问题：在这两个图形中，对着同一条弧的圆周角和圆心角，它们之间有什么数量
关系．由于情况特殊，学生观察、测量后，容易得出：对着同一条弧的圆周角是圆心角的一半．
2．教师提出：在一般情况下，对着同一条弧的圆周角还是圆心角的一半吗？通过上面
的特例，学生猜想，得出命题：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
活动3 动手画图，证明定理
1．猜想是否正确，还有待证明．教师引导学生结合命题，画出图形，写出已知、求证．
2．先分小组交流画出的图形，议一议：所画图形是否相同？所画图形是否合理？
3．利用实物投影在全班交流，得到三种情况．若三种位置关系未出现全，教师利用电
脑演示同一条弧所对圆周角的顶点在圆周上运动的过程，得出同一条弧所对的圆心角和圆
周角之间可能出现的不同位置关系，得到圆心角的顶点在圆周角的一边上、内部、外部三种
情况．
4．引导学生选一种最特殊、最容易证明的“圆心角的顶点在圆周角的一边上”进行证
明，写出证明过程，教师点评．
5．引导学生通过添加辅助线，把“圆心角的顶点在圆周角的内部、外部”转化成“圆
心角的顶点在圆周角的一边上”的情形，进行证明，若学生不能构造过圆周角和圆心角顶
点的直径，教师给予提示．然后小组交流讨论，上台展示证明过程，教师点评证明过程．
6．将“命题”改为“定理”，即“圆周角定理”．
活动4 达标检测，反馈新知
1．教材第88页 练习第1题．
2．如图，∠BAC和∠BOC分别是⊙O中的弧BC所对的圆周角和圆心角，若∠BAC
＝60°，那么∠BOC＝________.
3．如图，AB，AC为⊙O的两条弦，延长CA到D，使AD＝AB，如果∠ADB＝
30°，那么∠BOC＝________.
答案：1.略；2.120°；3.120°.
活动5 课堂小结，作业布置
课堂小结
1．圆周角概念及定理．
2．类比从一般到特殊的数学方法及分类讨论、转化与化归的数学思想．
作业布置
教材第88页 练习第4题，教材第89页 习题第5题．
第2课时 圆周角定理推论和圆内接多边形1．能推导和理解圆周角定理的两个推论，并能利用这两个推论解决相关的计算和证明．
2．知道圆内接多边形和多边形外接圆的概念，明确不是所有多边形都有外接圆．
3．能证明圆内接四边形的性质，并能应用这个性质解决简单的计算和证明等问题．
重点
圆周角定理的两个推论和圆内接四边形的性质的运用．
难点
圆内接四边形性质定理的准确、灵活应用以及如何添加辅助线．
活动1 温习旧知
1．圆周角定理的内容是什么？
2．如图，若BC的度数为100°，则∠BOC＝________，∠A＝________.
3．如图，四边形ABCD中，∠B与∠1互补，AD的延长线与DC所夹的∠2＝60°，
则∠1＝________，∠B＝________.
4．判断正误：
(1)圆心角的度数等于它所对的弧的度数；( )
(2)圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半．( )
答案：1.略；2.100°，50°；3.120°，60°；4.略
活动2 探索圆周角定理的“推论”
1．请同学们在练习本上画一个⊙O.想一想，以A，C为端点的弧所对的圆周角有多少
个？试着画几个．然后教师引导学生：观察下图，∠ABC，∠ADC，∠AEC的大小关系如何？
为什么？
让学生得出结论后，教师继续追问：如果把这个结论中的“同弧”改为“等弧”，结论
正确吗？
2．教师引导学生观察下图，BC是⊙O的直径．请问：BC所对的圆周角∠BAC是锐角、
直角还是钝角？
让学生交流、讨论，得出结论：∠BAC是直角．教师追问理由．3．如图，若圆周角∠BAC＝90°，那么它所对的弦BC经过圆心吗？为什么？由此能
得出什么结论？
4．师生共同解决教材第87页例4.
活动3 探索圆内接四边形的性质
1．教师给学生介绍以下基本概念：
圆内接多边形与多边形的外接圆；圆内接四边形与四边形的外接圆．
2．要求学生画一画，想一想：
在⊙O上任作它的一个内接四边形ABCD，∠A是圆周角吗？∠B，∠C，∠D呢？进
一步思考，圆内接四边形的四个角之间有什么关系？
3．先打开几何画板，验证学生的猜想，然后再引导学生证明，最后得出结论：圆内接
四边形对角互补．
4．课件展示练习：
(1)如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，则∠A＋∠C＝________，∠B＋∠ADC＝
________；若∠B＝80°，则∠ADC＝________，∠CDE＝________；
(2)如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，∠AOC＝100°，则∠D＝________，∠B＝
________；
(3)四边形ABCD内接于⊙O，∠A∶∠C＝1∶3，则∠A＝________；
(4)如图，梯形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，∠B＝75°，则∠C＝________.
(5)想一想对于圆的任意内接四边形都有这样的关系吗？答案：(1)180°，180°，100°，80°；(2)130°，50°；(3)45°；(4)75°；(5)都有．
活动4 巩固练习
1．教材第88页 练习第5题．
2．圆的内接梯形一定是________梯形．
3．若ABCD为圆内接四边形，则下列哪个选项可能成立( )
A．∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝1∶2∶3∶4
B．∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝2∶1∶3∶4
C．∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝3∶2∶1∶4
D．∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝4∶3∶2∶1
答案：1.略；2.等腰；3.B.
活动5 课堂小结与作业布置
课堂小结
本节课我们学习了圆周角定理的两个推论和圆内接四边形的重要性质，要求同学们理
解圆内接四边形和四边形的外接圆的概念，理解圆内接四边形的性质定理；并初步应用性
质定理进行有关问题的证明和计算．
作业布置
教材第89～91页 习题第5，6，13，14，17题．24.2 点和圆、直线和圆的位置关系
24．2.1 点和圆的位置关系
1．理解并掌握设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：点P在圆外⇔d>r；
点P在圆上⇔d＝r；点P在圆内⇔dr；
点P在圆上⇒d＝r；
点P在圆内⇒dr⇒点P在圆外；如果d＝r⇒点P在圆上；如果dr；
点P在圆上⇔d＝r；
点P在圆内⇔dr.
重点
理解直线和圆的三种位置关系．
难点
由上节课点和圆的位置关系迁移并运动直线导出直线和圆的位置关系的三个对应等价．
一、复习引入
(老师口问，学生口答，老师并在黑板上板书)同学们，我们前一节课已经学到点和圆
的位置关系．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d.则有：点P在圆外⇔d>r，如图(a)所示；
点P在圆上⇔d＝r，如图(b)所示；
点P在圆内⇔dr，如图(c)所示．
例1 如图，已知Rt△ABC的斜边AB＝8 cm，AC＝4 cm.
(1)以点C为圆心作圆，当半径为多长时，直线AB与⊙C相切？
(2)以点C为圆心，分别以2 cm和4 cm为半径作两个圆，这两个圆与直线AB分别有
怎样的位置关系？
解：(1)如图，过C作CD⊥AB，垂足为D.在Rt△ABC中，
BC＝＝4.
∴CD＝＝2，
因此，当半径为2 cm时，AB与⊙C相切．
(2)由(1)可知，圆心C到直线AB的距离d＝2 cm，所以
当r＝2时，d>r，⊙C与直线AB相离；
当r＝4时，dr.
五、作业布置
教材第101页 习题第2题．第2课时 圆的切线
1．能用“数量关系”确定“位置关系”的方法推导切线的判定定理，能判定一条直线
是否为圆的切线；能从逆向思维的角度理解切线的性质定理．
2．掌握切线的判定定理和性质定理，并能运用圆的切线的判定和性质解决相关的计算
与证明问题．
重点
探索圆的切线的判定和性质，并能运用它们解决与圆的切线相关的计算和证明等问题．
难点
探索圆的切线的判定方法和解决相关问题时怎样添加辅助线．
活动1 动手操作
要求学生先在纸上画⊙O和圆上一点A，然后思考：根据所学知识，如何画出这个圆过
点A的一条切线？能画几条？有几种画法？你怎么确定你所画的这条直线是⊙O的切线？
活动2 探索切线的判定定理
1．如图，在⊙O中，经过半径OA的外端点A作直线l⊥OA，则圆心O到直线l的距
离是多少？
2．思考：如果圆心到直线的距离等于半径，那么直线和圆有何位置关系呢？你能发现
此问题和上节课所学内容的联系吗？
3．教师引导学生探索得出切线的判定定理的内容．要求学生尝试用文字语言和几何语
言描述：
文字语言描述：经过________并且________的直线是圆的切线．
几何语言描述：如上图，∵OC为半径，且OC⊥AB，∴AB与⊙O相切于点C.
引导学生观察下面两个图形，发现直线l都不是圆的切线．所以，在理解切线的判定定
理时，应注意两个条件“经过半径外端”“垂直于半径”缺一不可．
4．讲解教材第98页例1.请学生自己先寻找解题思路，教师引导，然后小结解题基本
模式．
活动3 性质定理
1．教师引导学生思考：如图，如果直线l是⊙O的切线，切点为A，那么半径OA与直
线l是不是一定垂直呢？教师提示学生：直接证明切线的性质定理比较困难，可用反证法．假设半径OA与l不
垂直，如图，过点O作OM⊥l，垂足为M，根据垂线段最短的性质有________＜________，
∴直线l与⊙O________.这就与已知直线l与⊙O相切矛盾，∴假设不正确．因此，半径OA
与直线l垂直．
2．学生总结出切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径．
3．教师引导学生辨别切线的判定定理与性质定理的区别与联系．
切线的判定定理是要在未知相切而要证明相切的情况下使用；切线的性质定理是在已
知相切而要推得一些其他的结论时使用．
活动4 巩固练习
1．(1)下列直线是圆的切线的是( )
A．与圆有公共点的直线
B．到圆心的距离等于半径的直线
C．垂直于圆的半径的直线
D．过圆的直径外端点的直线
(2)如图，已知直线EF经过⊙O上的点E，且OE＝EF，若∠EOF＝45°，则直线EF和
⊙O的位置关系是________．
,第(2)题图) ,第(3)题图)
(3)如图，AB是⊙O的直径，∠PAB＝90°，连接PB交⊙O于点C，D是PA边的中点，
连接CD.求证：CD是⊙O的切线．
2．教材第98页 练习第1，2题．
答案：1.(1)B；(2)相切；(3)连接OC，OD；2.略．
活动5 课堂小结与作业布置
课堂小结
1．知识总结：两个定理：切线的判定定理是________；切线的性质定理是________．
2．方法总结：(1)证明切线的性质定理所用的方法是反证法．
(2)证明切线的方法：①当直线和圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连接起来，
然后证明直线垂直于这条半径，简称“连半径，证垂直”；②当直线和圆的公共点没有明确
时，可过圆心作直线的垂线，再证圆心到直线的距离等于半径，简称“作垂直，证半径”．
(3)在运用切线的性质时，连接圆心和切点是常作的辅助线，这样可以产生半径和垂直
条件．
作业布置
教材第101页 习题24.2第4～6题．
第3课时 切线长定理
了解切线长的概念．理解切线长定理，了解三角形的内切圆和三角形的内心的概念，熟练掌握它的应用．
复习圆与直线的位置关系和切线的判定定理、性质定理知识迁移到切长线的概念和切
线长定理，然后根据所学三角形角平分线的性质给出三角形的内切圆和三角形的内心概念
最后应用它们解决一些实际问题．
重点
切线长定理及其运用．
难点
切线长定理的导出及其证明和运用切线长定理解决一些实际问题．
一、复习引入
1．已知△ABC，作三个内角平分线，说说它具有什么性质？
2．点和圆有几种位置关系？
3．直线和圆有什么位置关系？切线的判定定理和性质定理是什么？
老师点评：(1)在黑板上作出△ABC的三条角平分线，并口述其性质：①三条角平分线
相交于一点；②交点到三条边的距离相等．
(2)(口述)点和圆的位置关系有三种，点在圆内⇔dr.
(3)(口述)直线和圆的位置关系同样有三种：直线l和⊙O相交⇔dr；切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于半径的直线是
圆的切线；切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径．
二、探索新知
从上面的复习，我们可以知道，过⊙O上任一点A都可以作一条切线，并且只有一条，
根据下面提出的问题操作思考并解决这个问题．
问题：在你手中的纸上画出⊙O，并画出过A点的唯一切线PA，连接PO，沿着直线
PO将纸对折，设圆上与点A重合的点为B，这时，OB是⊙O的一条半径吗？PB是⊙O的
切线吗？利用图形的轴对称性，说明圆中的PA与PB，∠APO与∠BPO有什么关系？
学生分组讨论，老师抽取3～4位同学回答这个问题．
老师点评：OB与OA重叠，OA是半径，OB也就是半径了．又因为OB是半径，PB为
OB的外端，又根据折叠后的角不变，所以PB是⊙O的又一条切线，根据轴对称性质，我
们很容易得到PA＝PB，∠APO＝∠BPO.
我们把PA或PB的长，即经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫
做这点到圆的切线长．
从上面的操作我们可以得到：
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条
切线的夹角．
下面，我们给予逻辑证明．
例1 如图，已知PA，PB是⊙O的两条切线．
求证：PA＝PB，∠OPA＝∠OPB.
证明：∵PA，PB是⊙O的两条切线．
∴OA⊥AP，OB⊥BP，又OA＝OB，OP＝OP，
∴Rt△AOP≌Rt△BOP，
∴PA＝PB，∠OPA＝∠OPB.
因此，我们得到切线长定理：
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条
切线的夹角．
我们刚才已经复习，三角形的三条角平分线交于一点，并且这个点到三条边的距离相
等．
(同刚才画的图)设交点为I，那么I到AB，AC，BC的距离相等，如图所示，因此以点
I为圆心，点I到BC的距离ID为半径作圆，则⊙I与△ABC的三条边都相切．
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线
的交点，叫做三角形的内心．
例2 如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，切点为D，E，F，如果AE＝2，CD＝1，
BF＝3，且△ABC的面积为6.求内切圆的半径r.
分析：直接求内切圆的半径有困难，由于面积是已知的，因此要转化为面积法来求，
就需添加辅助线，如果连接AO，BO，CO，就可把三角形ABC分为三块，那么就可解决．
解：连接AO，BO，CO，
∵⊙O是△ABC的内切圆且D，E，F是切点．
∴AF＝AE＝2，BD＝BF＝3，CE＝CD＝1，
∴AB＝5，BC＝4，AC＝3，
又∵S ＝6，
△ABC
∴(4＋5＋3)r＝6，
∴r＝1.
答：所求的内切圆的半径为1.
三、巩固练习
教材第100页 练习．
四、课堂小结
(学生归纳，老师点评)
本节课应掌握：
1．圆的切线长概念；
2．切线长定理；
3．三角形的内切圆及内心的概念．
五、作业布置
教材第102页 综合运用11，1224．3 正多边形和圆
了解正多边形和圆的有关概念；理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间
的关系，会应用多边形和圆的有关知识画多边形．
复习正多边形概念，让学生尽可能讲出生活中的多边形为引题引入正多边形和圆这一
节的内容．
重点
讲清正多边形和圆的关系，正多边形半径、中心角、弦心距、边长之间的关系．
难点
通过例题使学生理解四者：正多边形半径、中心角、弦心距、边长之间的关系．
一、复习引入
请同学们口答下面两个问题．
1．什么叫正多边形？
2．从你身边举出两三个正多边形的实例，正多边形具有轴对称、中心对称吗？其对称
轴有几条，对称中心是哪一点？
老师点评：1.各边相等，各角也相等的多边形是正多边形．
2．实例略．正多边形是轴对称图形，对称轴有很多条，但不一定是中心对称图形，正
三角形、正五边形就不是中心对称图形．
二、探索新知
如果我们以正多边形对应顶点的交点作为圆心，以点到顶点的连线为半径，能够作一
个圆，很明显，这个正多边形的各个顶点都在这个圆上，如图，正六边形ABCDEF，连接
AD，CF交于一点，以O为圆心，OA为半径作圆，那么B，C，D，E，F肯定都在这个圆
上．
因此，正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出
这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆．
我们以圆内接正六边形为例证明．
如图所示的圆，把⊙O分成相等的6段弧，依次连接各分点得到六边ABCDEF，下面
证明，它是正六边形．
∵AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝AF，
∴AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝AF，
又∴∠A＝BCF的度数＝(BC＋CD＋DE＋EF)的度数＝2BC的度数，
∠B＝CDA的度数＝(CD＋DE＋EF＋FA)的度数＝2CD的度数，∴∠A＝∠B，
同理可证：∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝∠F＝∠A，
又六边形ABCDEF的顶点都在⊙O上，
∴根据正多边形的定义，各边相等、各角相等，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边
形，⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆．
为了今后学习和应用的方便，我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个多边形的
中心．
外接圆的半径叫做正多边形的半径．
正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．
中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
例1 已知正六边形ABCDEF，如图所示，其外接圆的半径是a，求正六边形的周长和
面积．
分析：要求正六边形的周长，只要求AB的长，已知条件是外接圆半径，因此自然而然，
边长应与半径挂上钩，很自然应连接OA，过O点作OM⊥AB垂足为M，在Rt△AOM中
便可求得AM，又应用垂径定理可求得AB的长．正六边形的面积是由六块正三角形面积组
成的．
解：如图所示，由于ABCDEF是正六边形，所以它的中心角等于＝60°，△OBC是等
边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径．
因此，所求的正六边形的周长为6a
在Rt△OAM中，OA＝a，AM＝AB＝a
利用勾股定理，可得边心距
OM＝a2－(a)2＝a
∴所求正六边形的面积＝6××AB×OM＝6××a×a＝a2
现在我们利用正多边形的概念和性质来画正多边形．
例2 利用你手中的工具画一个边长为3 cm的正五边形．
分析：要画正五边形，首先要画一个圆，然后对圆五等分，因此，应该先求边长为3的
正五边形的半径．
解：正五边形的中心角∠AOB＝＝72°，
如图，∠AOM＝36°，OA＝AB÷sin36°＝1.5÷sin36°≈2.55(cm)
画法：(1)以O为圆心，OA＝2.55 cm为半径画圆；
(2)在⊙O上顺次截取边长为3 cm的AB，BC，CD，DE，EA.
(3)分别连接AB，BC，CD，DE，EA.
则正五边形ABCDE就是所要画的正五边形，如图．
三、巩固练习教材第108页 习题1，2，3
四、课堂小结
(学生小结，老师点评)
本节课应掌握：
1．正多边形和圆的有关概念：正多边形的中心，正多边形的半径，正多边形的中心角，
正多边的边心距．
2．正多边形的半径、正多边形的中心角、边长、正多边形的边心距之间的关系．
3．画正多边形的方法．
4．运用以上的知识解决实际问题．
五、作业布置
教材第108－109页 习题4，6，8.
24．4 弧长和扇形面积(2课时)
第1课时 弧长和扇形面积公式
1．理解弧长与圆周长的关系，能用比例的方法推导弧长公式，并能利用弧长公式进行
相关计算．
2．类比推导弧长公式的方法推导扇形面积公式，并能利用扇形面积公式进行相关计算．
重点
弧长和扇形面积公式的推导过程以及公式的应用．
难点
类比弧长公式的推导来获得扇形面积公式的推导过程．
活动1 创设情境
这是章前图中的车轮的一部分，如果一只蚂蚁从点O出发，爬到A处，再沿弧AB爬
到B处，最后回到点O处，若车轮半径OA长60 cm，∠AOB＝108°，你能算出蚂蚁所走
的路程吗？这就涉及到计算弧长的问题，也是本节课要研究的第一问题．
活动2 探究新知
思考：1.弧是圆的一部分，想一想，如何计算圆周长？
2．圆周长可以看作多少度的圆心角所对的弧长？
3．1°的圆心角所对的弧长是多少？2°的圆心角所对的弧长是多少？3°的圆心角所对的
弧长是多少？n°的圆心角所对的弧长又是多少呢？
4．推导出弧长公式l＝，强调n表示1°的圆心角的倍数，n不带单位，180也如此．
5．对于公式l＝，当R一定时，你能从函数的角度来理解弧长l和圆心角n的关系吗？
活动3 达标检测1
1．学生运用公式计算活动1中的问题．2．解决教材第111页的例1.
3．完成教材第113页的练习第1，2题．
4．在半径为12的⊙O中，60°圆心角所对的弧长是( )
A．6π B．4π C．2π D．π
答案：4.B
活动4 自主探究
1．观察问题1中蚂蚁所围成的图形是什么？请学生独立阅读教材第112页第1自然段．
2．我们知道弧是圆的一部分，所以我们把弧长的问题转化为圆周长的问题来解决．那
么扇形呢？你能类比弧长的推导方式求出扇形的面积公式吗？
3．比较弧长公式和扇形面积公式，请推导出扇形面积和对应弧长的关系．
活动5 反馈新知
1．已知扇形的半径为3 cm，面积为3π cm2，则扇形的圆心角是________°，扇形的弧
长是________cm.(结果保留π)(答案：120，2π)
2．师生共同完成教材第112页例2.
3．完成教材第113页练习第3题．
4．如图，已知扇形的圆心角是直角，半径是2，则图中阴影部分的面积是________．
(结果不计算近似值)(答案：π－2)
5．方法小结：
问题1：求一个图形的面积，而这个图形是未知图形时，我
们应该把未知图形化为什么图形呢？
问题2：通过以前的学习，我们又是通过什么方式把未知图形化为已知图形的呢？
活动6 达标检测2
1．120°的圆心角所对的弧长是12π cm，则此弧所在的圆的半径是________．
2．如图，在4×4的方格中(共有16个方格)，每个小方格都是边长为1的正方形．O，
A，B分别是小正方形的顶点，则扇形OAB的弧长等于________．(结果保留根号及π)
3．如图，矩形ABCD中，AB＝1，AD＝，以AD的长为半径的⊙A交BC边于点E，
则图中阴影部分的面积为________．
答案：1.18 cm；2.π；3.－－π.
活动7 课堂小结与作业布置课堂小结
1．弧长公式是什么？扇形的面积公式呢？是怎样推导出来的？如何理解这两个公式？
这两个公式有什么作用？这两个公式有什么联系？
2．在解决部分与整体关系的问题时，我们应学会用什么方法去解决？
3．解决不规则图形的面积问题时，我们应用什么数学思想去添加辅助线？
作业布置
教材第115页 习题24.4第1题的(1)，(2)题，第2～8题．
第2课时 圆锥的侧面积和全面积
了解圆锥母线的概念，理解圆锥侧面积计算公式，理解圆锥全面积的计算方法，并会
应用公式解决问题．
通过创设情境和复习扇形面积的计算方法探索圆锥侧面积和全面积的计算公式以及应
用它解决现实生活中的一些实际问题．
重点
圆锥侧面积和全面积的计算公式．
难点
探索两个公式的由来．
一、复习引入
1．什么是n°的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式，并请讲讲它们的异同点．
2．问题1：一种太空囊的示意图如图所示，太空囊的外表面须作特别处理，以承受重
返地球大气层时与空气摩擦后产生的高热，那么该太空囊要接受防高热处理的面积应由几
部分组成的．
老师点评：(1)n°圆心角所对弧长：l＝，S ＝，公式中没有n°，而是n；弧长公式中是
扇形
R，分母是180；而扇形面积公式中是R2，分母是360，两者要记清，不能混淆．
(2)太空囊要接受热处理的面积应由三部分组成；圆锥的侧面积，圆柱的侧面积和底圆
的面积．这三部分中，第二部分和第三部分我们已经学过，会求出其面积，但圆锥的侧面
积，到目前为止，如何求，我们是无能为力，下面我们来探究它．
二、探索新知
我们学过圆柱的侧面积是沿着它的母线展开成长方形，同样道理，我们也把连接圆锥
顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线．
(学生分组讨论，提问两三位同学)
问题2：与圆柱的侧面积求法一样，沿母锥一条母线将圆锥侧面剪开并展平，容易得到，
圆锥的侧面展开图是一个扇形，设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，如图所示，那么
这个扇形的半径为________，扇形的弧长为________，因此圆锥的侧面积为________，圆
锥的全面积为________．老师点评：很显然，扇形的半径就是圆锥的母线，扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长．
因此，要求圆锥的侧面积就是求展开图扇形面积S＝，其中n可由2πr＝求得：n＝，∴扇形
面积S＝＝πrl；全面积是由侧面积和底面圆的面积组成的，所以全面积＝πrl＋πr2.
例1 圣诞节将近，某家商店正在制作圣诞节的圆锥形纸帽，已知纸帽的底面周长为
58 cm，高为20 cm，要制作20顶这样的纸帽至少要用多少纸？(结果精确到0.1 cm2)
分析：要计算制作20顶这样的纸帽至少要用多少纸，只要计算纸帽的侧面积即可．
解：设纸帽的底面半径为r cm，母线长为l cm，则
r＝，
l＝≈22.03，
S ＝πrl≈×58×22.03＝638.87(cm)，
纸帽侧
638．87×20＝12777.4(cm2)，
所以，至少需要12777.4 cm2的纸．
例2 已知扇形的圆心角为120°，面积为300π cm2.
(1)求扇形的弧长；
(2)若将此扇形卷成一个圆锥，则这个圆锥的轴截面面积为多少？
分析：(1)由S ＝求出R，再代入l＝求得．(2)若将此扇形卷成一个圆锥，扇形的弧长
扇形
就是圆锥底面圆的周长，就可求圆的半径，其截面是一个以直径为底，圆锥母线为腰的等
腰三角形．
解：(1)如图所示：
∵300π＝，
∴R＝30，
∴弧长l＝＝20π(cm)，
(2)如图所示：
∵20π＝2πr，
∴r＝10，R＝30，
AD＝＝20，
∴S ＝×BC×AD
轴截面
＝×2×10×20＝200(cm2)，
因此，扇形的弧长是20π cm，卷成圆锥的轴截面是200 cm2.
三、巩固练习教材第114页 练习1，2.
四、课堂小结
(学生归纳，老师点评)
本节课应掌握：
1．什么叫圆锥的母线．
2．会推导圆锥的侧面积和全面积公式并能灵活应用它们解决问题．
五、作业布置
教材第115～116页 习题6，8，10.第二十五章 概率初步
25．1 随机事件与概率
25．1.1 随机事件
了解必然发生的事件、不可能发生的事件、随机事件的特点．
了解随机事件发生的可能性是有大有小的，不同的随机事件发生的可能性的大小不同．
重点
随机事件的特点．
难点
判断现实生活中哪些事件是随机事件．
一、情境引入
分析说明下列事件能否一定发生：
①今天不上课；②煮熟的鸭子飞了；③明天地球还在转动；④木材燃烧会放出热量；⑤掷
一枚硬币，出现正面朝上．
二、自主探究
1．提出问题
教师事先准备的三个袋子中分别装有10个白色的乒乓球；5个白色的乒乓球和5个黄
色的乒乓球；10个黄色的乒乓球，分组讨论从这三个袋子里摸出黄色乒乓球的情况．
学生积极参加，通过操作和观察，归纳猜测出在第1个袋子中摸出黄色球是不可能的，
在第2个袋子中能否摸出黄色球是不确定的，在第3个袋子中摸出黄色球是必然的．
2．概念得出
从上面的事件可看出，对于任何事件发生的可能性有三种情况：
(1)必然事件：在一定条件下必然要发生的事件；
(2)不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件；
(3)随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件．
3．随机事件发生的可能性有大小
袋子中有4个黑球，2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的
情况下，随机地从袋子中摸出一个球．
(1)是白球还是黑球？
(2)经过多次试验，摸出的黑球和白球哪个次数多？说明了什么问题？
结论：一般地，随机事件发生的可能性有大小，不同的随机事件发生的可能性的大小
有可能不同．
三、巩固练习
教材第128页 练习
四、课堂小结
(学生归纳，老师点评)
本节课应掌握：
(1)必然事件，不可能事件，随机事件的概念．
(2)一般地，随机事件发生的可能性是有大小的，不同的随机事件发生的可能性的大小
有可能不同．
五、作业布置教材第129页 练习1，2.
25．1.2 概 率
1．在具体情境中了解概率的意义，体会事件发生的可能性大小与概率的值的关系．
2．理解概率的定义及计算公式P(A)＝，明确概率的取值范围，能求简单的等可能性
事件的概率．
重点
在具体情境中了解概率的意义，理解概率定义及计算公式P(A)＝.
难点
了解概率的定义，理解概率计算的两个前提条件．
活动1 创设情境
(1)事件可以分为哪几类？什么是随机事件？随机事件发生的可能性一样吗？
(2)在同样的条件下，某一随机事件可能发生也可能不发生，那么它发生的可能性究竟
有多大？能否用数值进行刻画呢？
这节课我们就来研究这个问题．
活动2 试验活动
试验1：每位学生拿出课前准备好的分别标有1，2，3，4，5号的5根纸签，从中随机
地抽取一根，观察上面的数字，看看有几种可能．(如此多次重复)
试验2：教师随意抛掷一枚质地均匀的骰子，请学生观察骰子向上一面的点数，看看有
几种不同的可能．(如此可重复多次)
(1)试验1中共出现了几种可能的结果？你认为这些结果出现的可能性大小相等吗？如
果相等，你认为它们的可能性各为多少？
(2)试验2中共出现了几种可能的结果？你认为这些结果出现的可能性大小相等吗？如
果相等，你认为它们的可能性各为多少？
活动3 引出概率
1．从数量上刻画一个随机事件A发生的可能性的大小，我们把它叫做这个随机事件A
的概率，记为P(A)．
2．概率计算必须满足的两个前提条件：
(1)每一次试验中，可能出现的结果只有有限个；
(2)每一次试验中，各种结果出现的可能性相等．
3．一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，
事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率P(A)＝________.
4．随机事件A发生的概率的取值范围是________，如果A是必然发生的事件，那么
P(A)＝________，如果A是不可能发生的事件，那么P(A)＝________.
活动4 精讲例题
例1 下列事件中哪些是等可能性事件，哪些不是？
(1)运动员射击一次中靶心与不中靶心；
(2)随意抛掷一枚硬币反面向上与正面向上；
(3)随意抛掷一只可乐纸杯杯口朝上，或杯底朝上，或横卧；
(4)分别从写有1，3，5，7，9中一个数的五张卡片中任抽1张结果是1，或3，或5，或7，或9.
答案：(1)不是等可能事件；(2)是等可能事件；(3)不是等可能事件；(4)是等可能事件．
例2 学生自己阅读教材第131页～132页例1及解答过程．
例3 教师引导学生分析讲解教材第132页例2.想一想：把此题(1)和(3)两问及答案联系
起来，你有什么发现？
例4 教师引导学生分析讲解教材第133页例3.
活动5 过关练习
教材第133页 练习第1～3题．
补充：1.袋子中装有5个红球3个绿球，这些球除了颜色外都相同．从袋子中随机地摸
出一个球，它是红色与它是绿色的可能性相等吗？两者的概率分别是多少？
2．一个质地均匀的小正方体骰子，六个面分别标有数字1，2，2，3，4，4，掷骰子
后，观察向上一面的数字．
(1)出现数字1的概率是多少？
(2)出现的数字是偶数的概率是多少？
(3)哪两个数字出现的概率相等？分别是多少？
答案：1.摸到红色球与摸到绿色球的可能性不相等，P(摸到红球)＝，P(摸到绿球)＝；2.
(1)；(2)；(3)数字1和3出现的概率相同，都是，数字2和4出现的概率相同，都是.
活动6 课堂小结与作业布置
课堂小结
1．随机事件概率的意义，等可能性事件的概率计算公式P(A)＝.
2．概率计算的两个前提条件：可能出现的结果只有有限个；各种结果出现的可能性相
同．
作业布置
教材第134页～135页 习题第3～6题.25.2 用列举法求概率(2课时)
第1课时 用列举法和列表法求概率
1．会用列举法和列表法求简单事件的概率．
2．能利用概率知识解决计算涉及两个因素的一个事件概率的简单实际问题．
重点
正确理解和区分一次试验中涉及两个因素与所包含的两步试验．
难点
当可能出现的结果很多时，会用列表法列出所有可能的结果．
活动1 创设情境
我们在日常生活中经常会做一些游戏，游戏规则制定是否公平，对游戏者来说非常重
要，其实这就是一个游戏双方获胜概率大小的问题．
下面我们来做一个小游戏，规则如下：
老师向空中抛掷两枚同样的一元硬币，如果落地后一正一反，老师赢；如果落地后两
面一样，你们赢．请问：你们觉得这个游戏公平吗？
学生思考计算后回答问题：把其所能产生的结果全部列出来，应该是正正、正反、反正、
反反，共有四种可能，并且每种结果出现的可能性相同．
(1)记满足两枚硬币一正一反的事件为A，则P(A)＝＝；(2)记满足两枚硬币两面一样的事件为B，则P(B)＝＝.
由此可知，双方获胜的概率一样，所以游戏是公平的．
当一次试验涉及两个因素，并且可能出现的结果数目比较少时，我们看到结果很容易
被全部列出来；若出现结果的数目较多时，要想不重不漏地列出所有可能的结果，还有什
么更好的方法呢？我们来看下面的这个问题．
活动2 探索交流
例1 为活跃联欢晚会的气氛，组织者设计了以下转盘游戏：A，B两个带指针的转盘
分别被分成三个面积相等的扇形，转盘A上的数字分别是1，6，8，转盘B上的数字分别
是4，5，7(两个转盘除表面数字不同外，其他完全相同)．每次选择2名同学分别拨动A，B
两个转盘上的指针，使之产生旋转，指针停止后所指数字较大的一方为获胜者，负者则表
演一个节目(若箭头恰好停留在分界线上，则重转一次)．作为游戏者，你会选择哪个装置呢？
并请说明理由．
在这个环节里，首先可以让学生自己用列举法列出所有的情况，很多学生会发现列出
所有的情况会有困难，会漏掉一些情况．这个时候可以要求学生分组讨论，探索交流，然
后引导学生将实际问题转化为数学问题，即“停止转动后，哪个转盘指针所指数字较大的
可能性更大呢？”
由于事件的随机性，我们必须考虑事件发生概率的大小．此时，首先引导学生观看转
盘动画，同学们会发现这个游戏涉及A，B两个转盘，即涉及两个因素，与上节课所讲授
单转盘概率问题相比，可能产生的结果数目增多了，变复杂了，列举时很容易造成重复或
遗漏．怎样避免这个问题呢？
实际上，可以将这个游戏分两步进行，教师指导学生构造下列表格：
B
A 4 5 7
1
6
8
分析：首先考虑转动A盘：指针可能指向1，6，8三个数字中的任意一个，可能出
现的结果就会有3个；接着考虑转动B盘：当A盘指针指向1时，B盘指针可能指向4，5，7
三个数字中的任意一个．当A盘指针指向6或8时，B盘指针同样可能指向4，5，7三个数
字中的任意一个，这样一共会产生9种不同的结果．
学生独立填写表格，通过观察与计算，得出结论(即列表法)．
B
A 4 5 7
1 (1，4) (1，5) (1，7)
6 (6，4) (6，5) (6，7)
8 (8，4) (8，5) (8，7)
从表中可以发现：A盘数字大于B盘数字的结果共有5种，而B盘数字大于A盘数字的结果共有4种．
∴P(A数较大)＝，P(B数较大)＝，∴P(A数较大)＞P(B数较大)，∴选择A装置的获胜
可能性较大．
在学生填写表格过程中，注意向学生强调数对的有序性．
由于游戏是分两步进行的，我们也可用其他的方法来列举．即先转动B盘，可能出现
4，5，7三种结果；第二步考虑转动A盘，可能出现1，6，8三种情况．
活动3 例题精讲
通过上面例1的分析，学生对用列表法求概率有了初步的了解，为了帮助学生熟练掌
握这种方法，教师引导学生分析解决教材第136页例2.然后引导学生进行题后小结：
当一个事件要涉及两个因素并且可能出现的结果数目较多时，通常采用列表法．运用
列表法求概率的步骤如下：
(1)列表；
(2)通过表格计数，确定公式P(A)＝中的m和n的值；
(3)利用公式P(A)＝计算事件发生的概率．
活动4 过关练习
教材第138页 练习第1～2题．
活动5 课堂小结与作业布置
课堂小结
引导学生从知识、方法、情感三方面来谈一谈这节课的收获，要求每个学生在组内交流，
派小组代表发言．
作业布置
教材第139页～140页 习题第1～3题和第5题．第2课时 用树状图求概率
1．理解并掌握用树状图求概率的方法，并利用它们解决问题．
2．正确认识在什么条件下使用列表法，在什么条件下使用树状图法．
重点
理解树状图的应用方法及条件，用画树状图的方法求概率．
难点
用树状图列举各种可能的结果，求实际问题中的概率．
一、复习引入
用列举法求概率的方法．
(1)总共有几种可能，即求出n；
(2)每个事件中有几种可能的结果，即求出m，从而求出概率．
什么时候用列表法？
列举所有可能的结果的方法有哪些？
二、探索新知
画树状图求概率
例1 甲口袋中装有2个相同的球，它们分别写有字母A和B；乙口袋中3个相同的球，
它们分别写有字母C，D和E；丙口袋中2个相同的球，它们分别写有字母H和I.从三个口
袋中各随机地取出1个球．
(1)取出的三个球上恰好有1个、2个和3个元音字母的概率分别为多少？(2)取出的三个球上全是辅音字母的概率是多少？
例1与上节课的例题比较，有所不同：要从三个袋子里摸球，即涉及到三个因素．此时
同学们会发现用列表法就不太方便，可以尝试树状图法．
本游戏可分三步进行．分步画图和分类排列相关的结论是解题的关键．
从图形上可以看出所有可能出现的结果共有12个，即：
A A A A A A B B B B B B
C C D D E E C C D D E E
H I H I H I H I H I H I
(幻灯片上用颜色区分)
这些结果出现的可能性相等．
(1)只有一个元音字母的结果(黄色)有5个，即ACH，ADH，BCI，BDI，BEH，所以
P(1个元音)＝；
有两个元音的结果(白色)有4个，即ACI，ADI，AEH，BEI，所以P(2个元音)＝＝；
全部为元音字母的结果(绿色)只有1个，即AEI，所以P(3个元音)＝.
(2)全是辅音字母的结果(红色)共有2个，即BCH，BDH，所以P(3个辅音)＝＝.
通过例1的解答，很容易得出题后小结：
当一次试验要涉及3个或更多的因素时，通常采用“画树形图”．
运用树状图法求概率的步骤如下：(幻灯片)
①画树状图；
②列出结果，确定公式P(A)＝中m和n的值；
③利用公式P(A)＝计算．
三、巩固练习
教材第139页 练习
四、课堂小结
本节课应掌握：
1．利用树状图法求概率．
2．什么时候用列表法，什么时候用树状图法，各自的应用特点：有两个元素且情况较
多时用列表法，当有三个或三个以上元素时用树状图法．
五、作业布置
教材第140页 习题6，9.25.3 用频率估计概率
1．当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用统计频
率的方法来估计概率．
2．会设计模拟试验，能应用模拟试验求概率．
重点
对利用频率估计概率的理解和应用．难点
对利用频率估计概率的理解．
一、情境引入
某篮球运动员在最近的几场大赛中罚球投篮的结果如下：
投篮次数n 8 10 12 9 16 10
进球次数m 6 8 9 7 12 7
进球频率
(1)计算表中各次比赛进球的频率；
(2)这位运动员投篮一次，进球的概率约为多少？
解答：(1)0.75，0.8，0.75，0.78，0.75，0.7；
(2)0.75.
二、自主探究
利用频率估计概率
1．试验要求：
(1)把全班分成10或12组，每组中有一名学生投掷硬币，另一名同学做记录，其余同
学观察试验，计算结果，各组必须在同样条件下进行．
(2)明确任务，每组掷币50次，认真统计“正面朝上”的频数，算出“正面朝上”的
频率，整理试验的数据，并记录下来．
2．各组汇报试验结果：
把各组试验数据汇报给教师，教师积累后填入表格，板书，学生计算出累加后的频率．
(由于试验次数较小，有可能有些组的最后结果和自己的猜想有出入)
3．根据列表填在教材第142页图中，观察频率变化情况，小组交流后阐述所得结论．
4．思考：教材第143页“思考”．
5．问题1：教材第144页问题1.
分析：幼树的成活率是实际问题中的概率，在这个实验过程中，移植总数无限，每一
棵小苗成活的可能性不相等，所以不能用列举法求概率，只能用频率估计概率．
解：教师引导学生完成
方法总结：(1)先计算出每次试验的频率；
(2)观察频率活动情况，选择最接近且围绕波动的频率数作为概率．
用频率估计概率的应用
教材第145页问题2
分析：学生阅读表25－6提供的信息：
(1)估测出损坏率．(实质也是概率问题)
(2)算出完好柑橘的质量．
(3)计算出实际成本，再确定定价．
三、巩固练习
教材第147页 练习．
四、课堂小结
(1)利用频率估计概率，建立在大量重复试验的基础上．
(2)利用频率估计概率，得到的概率是近似值．
五、作业布置
教材第147～148页 习题1，2，5.
