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第二十六章 反比例函数
26.1 反比例函数
26.1.1 反比例函数
1．理解反比例函数的概念；(难点)
2．能判断一个给定的函数是否为反比例函数，并会用待定系数法求解析式；(重点)
3．能根据实际问题中的条件建立反比例函数模型．(重点)
一、情境导入
1．京广高铁全程为2298km，某次列车的平均速度v(单位：km/h)与此次列车的全程运行
时间t(单位：h)有什么样的等量关系？
2．冷冻一个物体，使它的温度从20℃下降到零下100℃，每分钟平均变化的温度T(单位：
℃)与冷冻时间t(单位：min)有什么样的等量关系？
问题：这些关系式有什么共同点？
二、合作探究
探究点一：反比例函数的定义
【类型一】 反比例函数的识别
下列函数中：①y＝；②3xy＝1；③y＝；④y＝.反比例函数有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解析：①y＝是反比例函数，正确；②3xy＝1可化为y＝，是反比例函数，正确；③y＝是
反比例函数，正确；④y＝是正比例函数，错误．故选C.
方法总结：判断一个函数是否是反比例函数，首先要看两个变量是否具有反比例关系，
然后根据反比例函数的定义去判断，其形式为y＝(k为常数，k≠0)，y＝kx－1(k为常数，k≠0)或
xy＝k(k为常数，k≠0)．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题
【类型二】 根据反比例函数的定义确定字母的值
已知函数y＝(2m2＋m－1)x2m2＋3m－3是反比例函数，求m的值．
解析：由反比例函数的定义可得 2m2＋3m－3＝－1，2m2＋m－1≠0，然后求解即可．
解：∵y＝(2m2＋m－1)x2m2＋3m－3是反比例函数，∴解得m＝－2.
方法总结：反比例函数也可以写成y＝kx－1(k≠0)的形式，注意x的次数为－1，系数不等
于0.
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第3题
第 1 页 共 3 页探究点二：用待定系数法确定反比例函数解析式
【类型一】 确定反比例函数解析式
已知变量y与x成反比例，且当x＝2时，y＝－6.求：
(1)y与x之间的函数解析式；
(2)当y＝2时，x的值．
解析：(1)由题意中变量y与x成反比例，设出函数的解析式，利用待定系数法进行求解．
(2)代入求得的函数解析式，解得x的值即可．
解：(1)∵变量y与x成反比例，∴设y＝(k≠0)，∵当x＝2时，y＝－6，∴k＝2×(－6)＝－
12，∴y与x之间的函数解析式是y＝－；
(2)当y＝2时，y＝－＝2，解得x＝－6.
方法总结：用待定系数法求反比例函数解析式时要注意：①设出含有待定系数的反比例
函数解析式，形如y＝(k为常数，k≠0)；②将已知条件(自变量与函数的对应值)代入解析式，
得到关于待定系数的方程；③解方程，求出待定系数；④写出解析式．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题
【类型二】 解决与正比例函数和反比例函数有关的问题
已知y＝y＋y，y 与(x－1)成正比例，y 与(x＋1)成反比例，当x＝0时，y＝－3；当x
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＝1时，y＝－1.求：
(1)y关于x的关系式；
(2)当x＝－时，y的值．
解析：根据正比例函数和反比例函数的定义得到y，y 的关系式，进而得到y的关系式，
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把所给两组数据代入即可求出相应的比例系数，也就求得了所要求的关系式．
解：(1)∵y 与(x－1)成正比例，y 与(x＋1)成反比例，∴设y ＝k(x－1)(k≠0)，y ＝
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(k≠0)，∵y＝y＋y，∴y＝k(x－1)＋.当x＝0时，y＝－3；当x＝1时，y＝－1，∴∴k＝1，k＝
2 1 2 1 1 2
－2，∴y＝x－1－；
(2)把x＝－代入(1)中函数关系式得y＝－.
方法总结：能根据题意设出y，y 的函数关系式并用待定系数法求得等量关系是解答此
1 2
题的关键．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第8题
探究点三：建立反比例函数模型及其相关问题
写出下列问题中两个变量之间的函数表达式，并判断其是否为反比例函数．
(1)底边为3cm的三角形的面积ycm2随底边上的高xcm的变化而变化；
(2)一艘轮船从相距skm的甲地驶往乙地，轮船的速度vkm/h与航行时间th的关系；
(3)在检修100m长的管道时，每天能完成10m，剩下的未检修的管道长ym随检修天数x
的变化而变化．
解析：根据题意先对每一问题列出函数关系式，再根据反比例函数的定义判断其是否为
反比例函数．
解：(1)两个变量之间的函数表达式为：y＝x，不是反比例函数；
(2)两个变量之间的函数表达式为：v＝，是反比例函数；
(3)两个变量之间的函数表达式为：y＝100－10x，不是反比例函数．
方法总结：解决本题的关键是根据实际问题中的等量关系，列出函数解析式，然后根据
解析式的特点判断是什么函数．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题
三、板书设计
第 2 页 共 3 页1．反比例函数的定义：
形如y＝(k为常数，k≠0)的函数称为反比例函数．其中x是自变量，自变量x的取值范围
是不等于0的一切实数．
2．反比例函数的形式：
(1)y＝(k为常数，k≠0)；
(2)xy＝k(k为常数，k≠0)；
(3)y＝kx－1(k为常数，k≠0)．
3．确定反比例函数的解析式：待定系数法．
4．建立反比例函数模型．
让学生从生活实际中发现数学问题，从而引入学习内容，这不仅激发了学生学习数学的
兴趣，还激起了学生自主参与的积极性和主动性，为自主探究新知创造了现实背景．因为反
比例函数这一部分内容与正比例函数相似，在教学过程中，以学生学习的正比例函数为基础，
在学生之间创设相互交流、相互合作、相互帮助的关系，让学生通过充分讨论交流后得出它
们的相同点，在此基础上来揭示反比例函数的意义.
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