文档内容
二次函数导学案
26.1 二次函数及其图像
26.1.1 二次函数
九年级下册 编号01
【学习目标】
1. 了解二次函数的有关概念．
2. 会确定二次函数关系式中各项的系数。
3. 确定实际问题中二次函数的关系式。
【学法指导】
类比一次函数，反比例函数来学习二次函数，注意知识结构的建立。
【学习过程】
一、知识链接：
1.若在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值， y都有唯一的值与它对应，那么就说
y是x的 ，x叫做 。
2. 形如 的函数是一次函数，当 时，它是 函数；形如
的函数是反比例函数。
二、自主学习：
1．用16m长的篱笆围成长方形圈养小兔，圈的面积y(㎡)与长方形的长x(m)之间的函数关系式为
。
分析：在这个问题中，可设长方形生物园的长为 米，则宽为 米，如果将面积记为 平方米，
那么 与 之间的函数关系式为 = ，整理为 = .
2.n支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛．写出比赛的场次数 m与球队数n之间的关系式
_______________________．
3.用一根长为40 的铁丝围成一个半径为 的扇形，求扇形的面积 与它的半径 之间的函数关系式是
。
4.观察上述函数函数关系有哪些共同之处？
。
5.归纳：一般地，形如 ，（ ）的函数为二次函数。其中 是自
变量， 是__________，b是___________，c是_____________．
三、合作交流：
（1）二次项系数 为什么不等于0？
答： 。（2）一次项系数 和常数项 可以为0吗？
答： .
四、跟踪练习
1．观察：① ；② ；③ y＝200x2＋400x＋200；④ ；⑤
；⑥ ．这六个式子中二次函数有 。（只填序号）
2. 是二次函数，则m的值为______________．
3.若物体运动的路段（s 米）与时间（t 秒）之间的关系为 ，则当t＝4秒时，该物体所经过的路
程为 。
4.二次函数 ．当x＝2时，y＝3，则这个二次函数解析式为 ．
5.为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m）的空地上修
建一个矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围 B A
住（如图）．若设绿化带的BC边长为x m，绿化带的面积为y m2．求y与x
之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
25m
C D
26.1.2二次函数 的图象
九年级下册 编号02
【学习目标】
1．知道二次函数的图象是一条抛物线；2．会画二次函数y＝ax2的图象；
3．掌握二次函数y＝ax2的性质，并会灵活应用．（重点）
【学法指导】
数形结合是学习函数图象的精髓所在，一定要善于从图象上学习认识函数.
【学习过程】
一、知识链接：
1.画一个函数图象的一般过程是① ；② ；③ 。
2.一次函数图象的形状是 ；反比例函数图象的形状是 .
二、自主学习
（一）画二次函数y＝x2的图象．
列表：
x … －3 －2 －1 0 1 2 3 …
y＝x2 … …
在图（3）中描点，并连线
y
y y
8
10 10
9 9 7
8 8 6
7 7
5
6 6
4
5 5
4 4 3
3 3 2
2 2 1 x
1 x 1 x
432 1 1 O 1 2 3 4 432 1 1 O 1 2 3 4 432 1 1 O 1 2 3 4
2
2 2
（1） （2）
（3）
1.思考：图（1）和图（2）中的连线正确吗？为什么？连线中我们应该注意什么？
答：
2.归纳：
① 由图象可知二次函数 的图象是一条曲线，它的形状类似于投篮球时球在空中所经过的路线，
即抛出物体所经过的路线，所以这条曲线叫做 线；
②抛物线 是轴对称图形，对称轴是 ；
③ 的图象开口_______；
④ 与 的交点叫做抛物线的顶点。抛物线 的顶点坐标是 ；
它是抛物线的最 点（填“高”或“低”），即当x=0时，y有最 值等于0.
⑤在对称轴的左侧，图象从左往右呈 趋势，在对称轴的右侧，图象从左往右呈 趋势；即
<0时， 随 的增大而 ， >0时， 随 的增大而 。（二）例1在图（4）中，画出函数 ， ， 的图象．
解：列表：
x … －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 …
… …
x … －2 -1.5 －1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 …
… …
y
10
归纳：抛物线 ， ， 的图象的
9
8
形状都是 ；顶点都是__________；对称轴都是
7
_________；二次项系数 _______0；开口都 ；顶点都
6
5 是抛物线的最_________点（填“高”或“低”） ．
4
3
2 归纳：抛物线 ， ， 的
1 x
5432 1
1
O 1 2 3 4 5 的
__
图
__
象
__
的
__
形
_；
状
二
都
次
是
项 系 数 _
；
__
顶
__
点
__
都
0；
是
开
__
口
__
都
__ _ _ _ _ ； 对 称
；顶
轴
点
都
都
是
2
3
是抛物线的最_________点（填“高”或“低”） ．
4
例 2 请在图（4）中画出函数 ， ，
5
6
7 的图象．
8
9 列表：
x
10…
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 …
（4）
… …
x … －3 －2 －1 0 1 2 3 …
… …三
x … －2 -1.5 －1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 …
合
作
… …
交
流：
归纳：
抛物线 的性质
对称 开口方 有最高或
图象（草图） 顶点 最值
轴 向 最低点
当x＝____时，y
＞0 有最_______值，
是______．
当x＝____时，y
＜0 有最_______值，
是______．
2.当 ＞0时，在对称轴的左侧，即 0时， 随 的增大而 ；在对称轴的右侧，即
0时 随 的增大而 。
3．在前面图（4）中，关于 轴对称的抛物线有 对，它们分别是哪些？
答： 。由此可知和抛物线 关于
轴对称的抛物线是 。
4．当 ＞0时， 越大，抛物线的开口越___________；当 ＜0时， 越大，抛
物线的开口越_________；因此， 越大，抛物线的开口越________。
四、课堂训练
1．函数 的图象顶点是__________，对称轴是________，开口向_______，当x＝___________时，
有最_________值是_________．
2. 函数 的图象顶点是__________，对称轴是________，开口向_______，当x＝___________
时，有最_________值是_________．
3. 二次函数 的图象开口向下，则m___________．
4. 二次函数y＝mx 有最高点，则m＝___________．
5. 二次函数y＝(k＋1)x2的图象如图所示，则k的取值范围为___________．
6．若二次函数 的图象过点（1，－2），则 的值是___________．
7．如图，抛物线① ② ③ ④ 开口从小到大排列是
___________________________________；（只填序号）其中关于 轴对称的两条抛物线是 和
。1
8．点A（ ，b）是抛物线 上的一点，则b= ；过点A作x轴的平行线交抛物线另一点B的
2
坐标是 。
9．如图，A、B分别为 上两点，且线段AB⊥y轴于点（0,6），若AB=6，则该抛物线的表达式为
。
10. 当m= 时，抛物线 开口向下．
11.二次函数 与直线 交于点P（1，b）．
（1）求a、b的值；
（2）写出二次函数的关系式，并指出x取何值时，该函数的y随x的增大而减小．
26.1.3 二次函数 的图象（一）
九年级下册 编号03
【学习目标】
1．知道二次函数 与 的联系．
2.掌握二次函数 的性质，并会应用；
【学法指导】
类比一次函数的平移和二次函数 的性质学习，要构建一个知识体系。
【学习过程】
一、知识链接：直线 可以看做是由直线 得到的。
练：若一个一次函数的图象是由 平移得到，并且过点（-1,3），求这个函数的解析式。
解：
由此你能推测二次函数 与 的图象之间又有何关系吗？
猜想： 。
二、自主学习
－ － －
x … 0 1 2 3 …
3 2 1
… …
… …（一）在同一直角坐标系中，画出二次函数 ， ， 的图象．
2．可以发现，把抛物线 向______平移______个单位，就得到抛物线 ；把抛物线
向_______平移______个单位，就得到抛物线 .
3．抛物线 ， ， 的形状_____________．开口大小相同。
三、知识梳理：（一）抛物线 特点：
1.当 时，开口向 ；当 时，开口 ；
y 2. 顶点坐标是 ；
3. 对称轴是 。
y = x2
（二）抛物线 与 形状相同，位置不同，
1.填表： 开口方 对称 有最高
顶点 增减性
向 轴 （低）点
x
O
1
是由
平移得到的。（填上下或左右）
二次函数图象的平移规律：上 下 。
（三） 的正负决定开口的 ； 决定开口的 ，即 不变，则抛物线的形状 。因
为平移没有改变抛物线的开口方向和形状，所以平移前后的两条抛物线 值 。
三、跟踪练习：
1.抛物线 向上平移3个单位，就得到抛物线__________________；
抛物线 向下平移4个单位，就得到抛物线__________________．
2．抛物线 向上平移3个单位后的解析式为 ，它们的形状__________，当 =
时， 有最 值是 。
3．由抛物线 平移，且经过（1,7）点的抛物线的解析式是 ，是把原抛物线向
平移 个单位得到的。
4. 写出一个顶点坐标为（0，－3），开口方向与抛物线 的方向相反，形状相同的抛物线解析式
____________________________．
5. 抛物线 关于x轴对称的抛物线解析式为______________________．
6.二次函数 的经过点A（1，-1）、B（2，5）.⑴求该函数的表达式；
⑵若点C(-2， ),D（ ，7）也在函数的上，求 、 的值。
26.1.3 二次函数 的图象（二）
九年级下册 编号04
【学习目标】
1．会画二次函数 的图象；
2.知道二次函数 与 的联系．
3.掌握二次函数 的性质，并会应用；
【学习过程】
一、知识链接：
1.将二次函数 的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为 。
2.将抛物线 的图象向下平移3个单位后的抛物线的解析式为 。
二、自主学习
画出二次函数 ， 的图象；先列表：
… －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 …
… …
… …
y 归纳：（1） 的开口向 ，对称轴是
10
9 直线 ，顶点坐标是 。
y = x2
8 图象有最 点，即 = 时， 有最
7
值是 ；
6
在对称轴的左侧，即 时， 随 的增大而
5
；在对称轴的右侧，即 时 随 的增大而
4
3 。
2
可以看作由 向 平移
1
x
–7–6–5–4–3–2–1O 11 2 3 4 5 6 7 8 个单位形成的。
–1
–2
（2） 的开口向 ，对称轴是直线
，顶点坐标是 ， 图象有最 点，即 = 时， 有最 值是 ；在对称轴的左侧，即 时， 随 的增大而 ；在对称轴的右侧，即 时
随 的增大而 。
可以看作由 向 平移 个单位形成的。
三、知识梳理
（一）抛物线 特点：
1.当 时，开口向 ；当 时，开口 ；
2. 顶点坐标是 ；3. 对称轴是直线 。
（二）抛物线 与 形状相同，位置不同， 是由
平移得到的。（填上下或左右）
结合学案和课本第8页可知二次函数图象的平移规律：左 右 ，上 下 。
（三） 的正负决定开口的 ； 决定开口的 ，即 不变，则抛物线的形状 。因为平移没有
改变抛物线的开口方向和形状，所以平移前后的两条抛物线 值 。
四、课堂训练
1．抛物线 的开口_______；顶点坐标为_________；对称轴是直线_______；当 时，
随 的增大而减小；当 时， 随 的增大而增大。
2. 抛物线 的开口_______；顶点坐标为_________；对称轴是直线_______；当
时， 随 的增大而减小；当 时， 随 的增大而增大。
3. 抛物线 的开口_______；顶点坐标为_________；对称轴是_______；
4.抛物线 向右平移4个单位后，得到的抛物线的表达式为______________．
5. 抛物线 向左平移3个单位后，得到的抛物线的表达式为______________．
6．将抛物线 向右平移1个单位后，得到的抛物线解析式为__________．
7．抛物线 与y轴的交点坐标是_______，与x轴的交点坐标为________．
8. 写出一个顶点是（5，0），形状、开口方向与抛物线 都相同的二次函数解析式
_______________．26.1.3二次函数 的图象（三）
九年级下册 编号05
【学习目标】1．会画二次函数的顶点式 的图象；
2．掌握二次函数 的性质；
【学习过程】
一、知识链接：
1.将二次函数 的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为 。
2.将抛物线 的图象向左平移3个单位后的抛物线的
y
解析式为 。 10
二、自主学习 9
y = x2
8
在右图中做出 的图象：
7
6
观察：1. 抛物线 开口向 ；
5
4
顶点坐标是 ；对称轴是直线 。
3
2. 抛物线 和 的形状 ，位置 2
1 x
。（填“相同”或“不同”）
O
3. 抛物线 是由 如何平移得到的？
432 1
1
1 2 3 4 5
2
答： 3
。
三、合作交流
平移前后的两条抛物线 值变化吗？为什么？
答： 。
四、知识梳理
结合上图和课本第9页例3归纳：
（一）抛物线 的特点：
1.当 时，开口向 ；当 时，开口 ；
2. 顶点坐标是 ；3. 对称轴是直线 。
（二）抛物线 与 形状 ，位置不同， 是由平移得到的。
二次函数图象的平移规律：左 右 ，上 下 。
（三）平移前后的两条抛物线 值 。
五、跟踪训练
1 1
1.二次函数y (x1)2 2的图象可由y x2 的图象（ ）
2 2
A.向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到
B.向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到
C.向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到
D.向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到
2.抛物线 开口 ，顶点坐标是 ，对称轴是 ，当x＝
时，y有最 值为 。
3.填表：
4.
函
开口方向 数
顶点
对称轴
的图象可由函数 的图象沿x轴向 平移 个单位，再沿y轴向
平移 个单位得到。
5.若把函数 的图象分别向下、向左移动 2个单位，则得到的函数解析式为
。
6. 顶点坐标为（－2，3），开口方向和大小与抛物线 相同的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
7.一条抛物线的形状、开口方向与抛物线 相同，对称轴和抛物线 相同，且顶点纵坐
标为0，求此抛物线的解析式.26.1.3二次函数 的图象（四）
九年级下册 编号06
【学习目标】
会用二次函数 的性质解决问题；
【学习过程】
一、知识链接：
1.抛物线 开口向 ，顶点坐标是 ，对称轴是 ，当x＝
时，y有最 值为 。当 时， 随 的增大而增大.
2. 抛物线 是由 如何平移得到的？答：
。
二、自主学习
1.抛物线的顶点坐标为（2，-3），且经过点（3,2）求该函数的解析式？
分析：如何设函数解析式？写出完整的解题过程。
2.仔细阅读课本第10页例4：
y B
分析：由题意可知：池中心是 ，水管是 ，点 是喷头，
3
线段 的长度是1米，线段 的长度是3米。 A
由已知条件可设抛物线的解析式为 。抛物线的解 2
析式中有一个待定系数，所以只需再确定 个点的坐标即可，这个点
1
是 。 D C x
求水管的长就是通过求点 的 坐标。 1 O 1 2 3
1
二、跟踪练习：
如图，某隧道横截面的上下轮廓线分别由抛物线对称的一部分和矩形的一部分构成，最大高度为6
米，底部宽度为12米. AO= 3米，现以O点为原点，OM所在直线为
y
x轴建立直角坐标系.
P
(1) 直接写出点A及抛物线顶点P的坐标；
A B
(2) 求出这条抛物线的函数解析式；
y
x
三、能力拓展 O M
A O B x
D
C1.知识准备
如图抛物线 与 轴交于A,B两点，交 轴于点D，抛物线的顶点为点C
（1） 求△ABD的面积。
（2） 求△ABC的面积。
（3） 点P是抛物线上一动点，当△ABP的面积为4时，求所有符合条件的点P的坐标。
（4） 点P是抛物线上一动点，当△ABP的面积为8时，求所有符合条件的点P的坐标。
（5） 点P是抛物线上一动点，当△ABP的面积为10时，求所有符合条件的点P的坐标。
2.如图，在平面直角坐标系中，圆M经过原点O，且与 轴、 轴分别相交于 两
点．
（1）求出直线AB的函数解析式；
（2）若有一抛物线的对称轴平行于 轴且经过点M，顶点C在⊙M上，开口向下，且经过点B，求此
抛物线的函数解析式；
（3）设（2）中的抛物线交 轴于D、E两点，在抛物线上是否存在
点P，使得 ？若存在，请求出点P的坐标；若
不存在，请说明理由．
（2）
26.1.4二次函数 的图象
九年级下册 编号07
【学习目标】1.能通过配方把二次函数 化成 的形式，从而确定开口方向、对称
轴和顶点坐标。
2．熟记二次函数 的顶点坐标公式；
3．会画二次函数一般式 的图象．
【学习过程】
一、知识链接：
1.抛物线 的顶点坐标是 ；对称轴是直线 ；当 = 时 有最
值是 ；当 时， 随 的增大而增大；当 时， 随 的增大而减小。
2. 二次函数解析式 中，很容易确定抛物线的顶点坐标为 ，所以这种形式
被称作二次函数的顶点式。
二、自主学习：
（一）、问题：（1）你能直接说出函数 的图像的对称轴和顶点坐标吗？
（2）你有办法解决问题（1）吗？
解：
的顶点坐标是 ，对称轴是 .
（3）像这样我们可以把一个一般形式的二次函数用 的方法转化为 式从而直接得到它的
图像性质.
（4）用配方法把下列二次函数化成顶点式：
① ② ③
（5）归纳：二次函数的一般形式 可以用配方法转化成顶点式：
，因此抛物线 的顶点坐标是 ；对称轴是 ，
（6）用顶点坐标和对称轴公式也可以直接求出抛物线的顶点坐标和对称轴，这种方法叫做公式法。
用公式法写出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标。
① ② ③（二）、用描点法画出 的图像.
（1）顶点坐标为 ；
（2）列表：顶点坐标填在 ；（列表时一般以对称轴为中心，对称取值．）
… …
…
（3
）描点，并连线：x k b 1 .c o m
y （4）观察：①图象有最 点，即 =
6 时， 有最 值是 ；
② 时， 随 的增大而增大；
5
时 随 的增大而减小。
4
③该抛物线与 轴交于点 。
3
④该抛物线与 轴有 个交点.
2
三、 合作交流
1 x
求 出 顶 点 的 横 坐 标
O
7 6 5 4 3 2 1 1 2 3
1
后，可以用哪些方法计算顶点的纵
2
坐 标？计算并比较。
3
4 26.1.5用待定系数法求二次函数的解析
式
九年级下册 编号08
【学习目标】
1.能根据已知条件选择合适的二次函数解析式；
2.会用待定系数法求二次函数的解析式。
【学习过程】
一、知识链接：
已知抛物线的顶点坐标为（-1，2），且经过点（0,4）求该函数的解析式.
解：二、自主学习
1.一次函数 经过点A(-1,2)和点B(2,5),求该一次函数的解析式。
分析：要求出函数解析式，需求出 的值，因为有两个待定系数，所以需要知道两个点的坐标，列出关
于 的二元一次方程组即可。
解：
2. 已知一个二次函数的图象过（1，5）、（ ）、（2，11）三点，求这个二次函数的解析式。
分析：如何设函数解析式？顶点式还是一般式？答： ；所设解析式中有
个待定系数，它们分别是 ，所以一般需要 个点的坐标；请你写出完整的解题过程。
解：
三、知识梳理
用待定系数法求二次函数的解析式通常用以下2种方法：设顶点式 和一般式
y ax2 bxc
。
1．已知抛物线过三点，通常设函数解析式为 ；
2．已知抛物线顶点坐标及其余一点，通常设函数解析式为 。
四、跟踪练习：
1．已知二次函数的图象的顶点坐标为（－2，－3），且图像过点（－3，－1），求这个二次函数的解析式．
2.已知二次函数 的图象过点（1，2），则 的值为________________．
3.一个二次函数的图象过（0，1）、（1,0）、（2，3）三点，求这个二次函数的解析式。
k
4. 已知双曲线y 与抛物线y ax2 bxc交于A(2,3)、B( ,2)、c(－3, )三点.
xy
(1)求双曲线与抛物线的解析式;
(2)在平面直角坐标系中描出点A、点B、点C,并求出△ABC
4
3
的面积,
2
1 x
O
4 3 2 1 1 2 3
1
2
3
4
5.如图，直线 交 轴于点A，交 轴于点B，过A,B两点的抛物线交 轴于另一点C（3,0），
（1）求该抛物线的解析式；
⑵ 在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形？若 y
存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由.
B
x
A C
26.2用函数观点看一元二次方程（一）
O
九年级下册 编号09
【学习目标】
1、 体会二次函数与方程之间的联系。
2、 理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，
【学习过程】
一、知识链接：
1.直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 。
2.一元二次方程 ，当Δ 时，方程有两个不相等的实数根；当Δ 时，方程
有两个相等的实数根；当Δ 时，方程没有实数根；
二、自主学习
1.解下列方程
（1） （2） （3）2.观察二次函数的图象，写出它们与 轴的交点坐标：
函
数
图 y=x2-2x-3 y 7 6 5 4 y 1 1 1 0 9 8 y=x2-6x+9 y=x2-2x y +1 1 1 0 9 8 7 3
3 7 6
象 2 6 5
1 5 4
-2 O 2 4 x 4 3
- - - 1 2 3 3 2 1 -2 O - 2 1 1 2 4 x
-4 O 2 4 6 x8
-5
交 与 轴交点坐标是 与 轴交点坐标是 与 轴交点坐标是
点
3.对比第1题各方程的解，你发现什么？
三、知识梳理：
⑴一元二次方程 的实数根就是对应的二次函数 与 轴交点的
.（即把 代入 ）
⑵二次函数与一元二次方程的关系如下：（一元二次方程的实数根记为 ）
二次函数 与 一元二次方程
y
0，方程有 的实
与 轴有 个交点
( , ) ( , ) 数根
O x
y
( , )
O x 与 轴有 个交点；这个交点是 0，方程有
点 实数根
y
O x
与 轴有 个交点 0，方程 实数根.
⑶二次函数 与 轴交点坐标是 .
四、跟踪练习
1. 二次函数 ，当 ＝1时， ＝______；当 ＝0时， ＝______．
2．抛物线 与 轴的交点坐标是 ，与 轴的交点坐标是 ；
3.二次函数 ，当 ＝________时， ＝3．（4） （5）
4.如图，一元二次方程 的解为 。
5.如图，一元二次方程 的解为 。
6. 已知抛物线 的顶点在x轴上，则 ＝____________．
7．已知抛物线 与 轴有两个交点，则 的取值范围是_________．
26.2用函数观点看一元二次方程（二）
九年级下册 编号10
【学习目标】
1. 能根据图象判断二次函数 的符号；
2.能根据图象判断一些特殊方程或不等式是否成立。
【学习过程】
一、知识链接：
根据 的图象和性质填表：（ 的实数根记为 ）
（1）抛物线 与 轴有两个交点 0；
（2）抛物线 与 轴有一个交点 0；
（3）抛物线 与 轴没有交点 0.
二、自主学习：
1.抛物线 和抛物线 与 轴的交点坐标分别是
和 。
抛物线 与 轴的交点坐标分别是 .
2.
抛物线
① 开口向上，所以可以判断 。
② 对称轴是直线 = ，由图象可知对称轴在 轴的右侧，则
>0，即 >0，已知 0，所以可以判定 0.
③ 因为抛物线与 轴交于正半轴，所以 0.
④ 抛物线 与 轴有两个交点，所以 0；三、知识梳理：
⑴ 的符号由 决定：
①开口向 0；②开口向 0.
⑵ 的符号由 决定：
① 在 轴的左侧 ；
② 在 轴的右侧 ；
③ 是 轴 0.
⑶ 的符号由 决定：
①点（0， ）在 轴正半轴 0；
②点（0， ）在原点 0；
③点（0， ）在 轴负半轴 0.
⑷ 的符号由 决定：
①抛物线与 轴有 交点 0 方程有 实数根；
②抛物线与 轴有 交点 0 方程有 实数根；
③抛物线与 轴有 交点 0 方程 实数根；
④特别的，当抛物线与x轴只有一个交点时，这个交点就是抛物线的 点.
四、典型例题：
抛物线 如图所示：看图填空：
（1） _____0；（2） 0；（3） 0;
（4） 0 ;(5) ______0；
（6） ；（7） ；
（8） ；（9）
五、跟踪练习：
1.利用抛物线图象求解一元二次方程及二次不等式
（1）方程 的根为___________；
（2）方程 的根为__________；
（3）方程 的根为__________；
（4）不等式 的解集为________；
（5）不等式 的解集为____ _ ___；2.根据图象填空：（1） _____0；（2） 0；（3） 0;
（4） 0 ;(5) ______0；
（6） ；（7） ；
相似导学案
27.1图形的相似（第1课时）
【学习目标】
1. 经历探究图形的形状、大小，图形的边、角之间的关系，掌握相似多边形的定义以及相似比，并能根据
定义判断两个多边形是否是相似多边形．
2. 掌握相似多边形的定义、表示法，并能根据定义判断两个多边形是否相似．
3．能根据相似比进行有关计算．
【自学指导】第一节
1．相似三角形的定义及记法
三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形．如△ABC与△DEF相似，记作
△ABC∽△DEF。
D
注意：其中对应顶点要写在对应位置，如A与D， A
B与E，C与F相对应．AB∶DE等于相似比．
2．想一想
B C E F
如果△ABC∽△DEF，那么哪些角是对应角？哪些边是对应边？对应角有什么关系？对应边呢？
3．议一议
（1）两个全等三角形一定相似吗？为什么？
（2）两个直角三角形一定相似吗？两个等腰直角三角形呢？为什么？
（3）两个等腰三角形一定相似吗？两个等边三角形呢？为什么？
归纳：
【典例分析】
例1：有一块呈三角形形状的草坪，其中一边的长是20m，在这个草坪的图纸上，这条边长5cm，其他两边
的长都是3.5cm，求该草坪其他两边的实际长度．（14m）例2：如图，已知△ABC∽△ADE，AE＝50cm，EC＝30cm，BC＝70cm，∠BAC＝45°，
∠ACB＝40°，求（1）∠AED和∠ADE的度数；（2）DE的长．
5．想一想：在例2的条件下，图中有哪些线段成比例？
练习：等腰直角三角形ABC与等腰直角三角形A´B´C´相似，相似比为3∶1，已知斜边AB＝5cm，求△A´B
´C´斜边A´B´上的高．
（第2课时）
【自学指导】第二节
1、 相似多边形的定义：
两个多边形大小不等，但各角 ，各边 这样的两个相似多边形叫做相似多边
形。
注意：与相似三角形的定义的不同点。
2、 叫做相似比。
3、判断：
（1）各角都对应相等的两个多边形是相似多边形。（ ）
（2）各边对应成比例的两个多边形是相似多边形。（ ）
思考：要判断两个相似多边形相似需要满足的条件 。
4、观察下列图形，它们之间是否相似？【尝试练习】
5、判断：
（1）所有的正三角形都相似。 ( )
（2）所有正方形都相似。 ( )
（3）所有正五边形都相似。 ( )
（4）所有正多边形都相似。 ( )
思考：所有的正n边形都相似吗？
【巩固训练】
1、 已知菱形ABCD与菱形A′B′C′D′,若使菱形ABCD∽菱形A′B′C′D′,可添加一个条件
2、 如图，一个长3米，宽1.5米的矩形黑板，其外围的木质边匡宽75厘米。边框内外边缘所成的矩形相
似吗？为什么？
3、 四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，∠A′=75°，∠B=85°，∠D′=118°,AD=18, A′D′=8,
A′B′=12.求∠C′的度数和AB的长度。
C
D
C′
D
′
A B A′
【达标测试】 B′
如上图，已知四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，∠A=70°，∠B′=60°，
∠D=125° ,AD=7, A′D′=4.2,BC=8,求∠C的度数和B′C′的长度。【开拓思维 】
在相似多边形中，对应对角线的比与相似比有何关系？怎样证明？
C
D
C′
D
′
A B A′
B′
27.2相似三角形（第3课时）
【学习目标】
1、掌握相似三角形的判定方法，理解相似三角形的性质，
2、能对三角形的性质与判定进行简单的运用
【自学指导】判定
1、相似三角形的判定方法
⑴、平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.
⑵、三边对应成比例，两三角形相似.
⑶、两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似.
⑷、两角对应相等，两三角形相似。
【尝试练习】
⑴、如图，△ABC与△ADE都是等腰三角形，AD=AE，AB=AC，∠DAB=∠CAE。
求证：△ABC∽△ADE。
⑵、如图ABCD是正方形，E是CD上一点，F是BC延长线上一点，且CE=CF，BE延长线交DF于G。求证：
△BGF∽△DGE。RtABC
⑶、如图已知点D为 斜边BA上的点，点E为AC的中点，分别延长ED和CB交于F。
求证：△CDF∽△DBF。
⑷、如图△ABC中，∠C，∠B的平分线相交于O，过O作AO的垂线与边AB、AC分别交于D、E，
求证：△BDO∽△BOC∽△OEC。
⑸、如图AD为△ABC的∠A的平分线，由D向∠C的外角平分线作垂线与AC的延长线交于F点，由D
作∠B的平分线的垂线与AB交于E，
求证：△ADE∽△AFD。
反思：两个直角三角形要相似，除了一个直角外，还需要那些条件就可以。
【思维拓展】：
要做两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边的长分别为4、5、6，另一个三角形的一边
长为2，怎样选料可使这两个三角形相似？（第4课时）
【自学指导】性质
1、两个三角形已知相似，可推出：
⑴、相似三角形对应边、对应中线，对应高线、对应角平分线的比等于相似比
⑵、相似三角形周长的比等于相似比
⑶、相似三角形面积的比等于相似比的平方
【尝试练习】
1、如图，在 和 中， ， ， ， 的周长是24，面积
是48，求 的周长和面积.
解：在 和 中，
，
又
∽ ，相似比为 .wwW .x kB 1.c Om
的周长为 ， 的面积是 .
建议：记住上面的解题格式，规范你的步骤。
2、如图，已知 中， ， ， ， ，点 在 上，(与点 不重
合)， 点在 上.
（1） 当的面积与四边形 的面积相等时，求 的长.
（2） 当 的周长与四边形 的周长相等时，求 的长.
（3）在 上是否存在点 ，使得为 等腰直角三角形？
要不存在，请说明理由；若存在，请求 出 的长.
归纳：相似三角形的常见图形及其变换：【巩固练
A
习】
1．如图 ：AD⊥BC，∠BAC=90°，那么△ABC∽ ∽
B D C
2．下列条件中,判断△ABC与△A´B´C´是否相似？并说明理由.
⑴∠C=∠C´=90°,∠B=∠B´=50°.( )理由 .
⑵AB=AC,A´B´=A´C´,∠B=∠B´. ( )理由 .
AB BC
⑶∠B=∠B´, . ( )理由 .
A'B' B'C'
AB BC
⑷∠A=∠A´, . ( )理由 .
A'B' B'C' A
3．如图，要使△AEF∽△ACB，已具备的条件是 ， E
F
还需补充的条件是 或 或 .
B C
4．点P是△ABC边AB上一点，且AB垂直AC,过点P作直线截△ABC，使截得三角形与△ABC相似，满足这
样条件得直线有（ ）条。
A、1 B、2 C、3 D、4
5．如图：已知△ABC与△ADE的边BC、AD相交于点O，且∠1=∠2=∠3。
求证：（1）△ABO∽△CDO；（2）△ABC∽△ADE
A
1
2
B
O
3
D E
C6．如图,AD、BC交于点O,BA、DC的延长线交于点P, PA·PB=PC·PD.
试说明：①△PBC∽△PDA; ②△AOB∽△COD.
P
C
A
O
B D
7、 △ABC的三边之比为3：5：6，与其相似的△DEF的最长边是24cm,那么它的周长是 。
8、如右图，∠ABD=∠C，AB=5，AD=3.5，则AC=（ ）
B
7 50 20 3
A B C D
50 7 3 20
9、如图,B、C在△ADE的边AD、AE上，且AC=6,AB=5,EC=4,DB=7,则BC:DE= . A
C D
E
C
10、如果两个相似三角形的相似比是1:2，那么它们的周长D的 A
B
比是( )，高之比是（ ），面积比是（ ）
A、 1:2 B、2:4 C、1:4 D、2:1
11、在△ABC中，∠C＝900，CD是高。
（1）、写出图中所有与△ABC相似的三角形。 （2）、试证明：CD2 AD BD
A
D
B
C
12、有一块三角形的土地，它的底边BC＝100米，高AH＝80米。某单位要沿着地边BC修一座底面是矩形
DEFG的大楼，D、G分别在边AB、AC上。若大楼的宽是40米（即DE＝40米），求这个矩形的面积。
A
M
D G
C
B E H F27.3 位似（第5课时）
【学习目标】
1、了解位似图形的定义，知道位似图形的性质，并能判断哪些图形是位似图形；
2、能利用坐标变换作位似图形，并利用作位似图形的方法将一个图形放大或缩小。
【自学指导】
1、请写出位似图形的定义
2、位似图形的性质
① 位似图形的对应点和位似中心在一条直线上；
② 位似图形的任意一对对应顶点到位似中心的距离之比等于位似比；
③ 位似一定相似，相似不一定位似；
④ 位似图形的对应线段平行或在一条直线上。
【典例分析】
例1：如图，D，E分别AB，AC上的点.
（1）如果DE∥BC，那么∆ADE和 ∆ABC是位似图形吗？为什么？
（2）如果∆ADE和 ∆ABC是位似图形，那么DE∥BC吗？为什么？
A
D E
B C
归纳：具备什么条件就能判断两个图形位似。
①、相似；②、各对应顶点的连线所在的直线交于一点；③、对应线段平行或在同一条直线上。
3、如何做位似图形
第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心。即选点
第二步：将位似中心与各关键点连线。即连线
第三步：在连线所在的直线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例。做对应点
第四步：顺次连接截取点。即连线，最后，下结论。例2：将△ABC作下列变化，请画出相应的图形，并指出三个顶点的坐标所发生的变化。
（1）向上平移4个单位；
（2）关于y轴对称（画图后写出每一个对应点的坐
标）；
（3）以A点为位似中心，相似比为2。
【尝试练习】
1.一般室外放映的电影胶片上每一个图片的规格是
3.5cm 3.5cm ，放映的荧屏为2m 2m，若放映机
的光源距胶片20cm，问荧屏应该拉在离镜头多远的
地方，放映的图象刚好布满整个荧屏？
自测一（第6课时）
一、填空题
1．如图1，点 是四边形 与 的位似中心，则 ________＝________＝
________； ________， ________．
2．如图2， ，则 与 的位似比是________．
3．把一个正多边形放大到原来的2.5倍，则原图与新图的相似比为________．
4．两个相似多边形，如果它们对应顶点所在的直线________，那么这样的两个图形叫做位似图形．
5．位似图形的相似比也叫做________．
6．位似图形上任意一对对应点到________的距离之比等于位似比．
二、解答题7．画出下列图形的位似中心．
8．将四边形 放大2倍．
要求：（1）对称中心在两个图形的中间，但不在图形的内部．
（2）对称中心在两个图形的同侧．
（3）对称中心在两个图形的内部．
9．如图3，四边形 和四边形 ′位似，位似比 ，四边形 和四边形
位似，位似比 ．四边形 和四边形 是位似图形吗？位似比是多
少？
10．请把如图4所示的图形放大2倍．
11．请把如图5所示的图形缩小2倍．单元自我检测（第7课时）
一.填空题(每3分,共30分)
1.已知 ,则
2、电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体，若舞台AB长为20m，试计算主
持人应走到离A点至少 m处？（结果精确到
0.1）
3.把一矩形纸片对折,如果对折后的矩形与原矩形相似,则原矩形纸片的长与宽之比为 .
4.如图,⊿ABC中,D,E分别是AB,AC上的点(DE BC),当 或 或 时,⊿ADE与
⊿ABC相似.
（第4题图） （第5题图） （第6题图）
5、如图，AD=DF=FB，DE∥FG∥BC，则S ∶S ∶S = .
Ⅰ Ⅱ Ⅲ
6、如图，正方形ABCD的边长为2，AE=EB，MN=1，线段MN的两端在CB、CD上滑动，当CM= 时，ΔAED
与N，M，C为顶点的三角形相似.
7.已知三个数1、2、 ，请你再添上一个数，使它们构成一个比例式，则这个数是 。
8、如图，ΔABC中，BC=a.
(1)若AD= AB，AE= AC，则DE= ；
1 1 1 1
(2)若DD= DB，EE= EC，则DE= ；……
1 2 1 1 2 1 2 2
(4)若D D= D B，E E= E C，则DE= .
n-1 n n-1 n-1 n n-1 nn
二．选择题(每小题3分,共30分)
9.在比例尺为1:5000的地图上,量得甲,乙两地的距离为25cm,则甲,乙两地的实际距离是( )
A.1250km B.125km C.12.5km D.1.25km10.已知 ,则 的值为( )
A. B. C.2 D.
11.如图,AB是斜靠在墙上的长梯,梯脚B距墙脚1.6m,梯上点D距墙1.4m,BD长0.55m,则梯子的长为(
)
A.3.85m B.4.00m C.4.40m D.4.50m
12.如图,∠ACB=∠ADC=90°,BC=a,AC=b,AB=c,要使⊿ABC∽⊿CAD,只要CD等于( )
A. B. C. D.
(第5题图)
（第4题图）
13.一个钢筋三角架三 长分别为20cm,50cm,60cm,现要再做一个与其相似的钢筋三角架,而只有长为
30cm和50cm的两根钢筋,要求以其中的一根为一边,从另一根截下两段(允许有余料)作为另两边,则不
同的截法有( )
A.一种 B.两种 C.三种 D.四种
14、如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是（ ）
① ② ③ ④
A.①和② B.②和③ C.①和③ D.②和④
15.如图，ΔADE绕正方形ABCD的顶点A顺时针旋转90°，得ΔABF，连结EF交AB于H，则下列结论错误
的是（ ）
(A)AE⊥AF (B)EF∶AF= ∶1 (C)AF2=FH•FE (D)FB∶FC=HB∶EC
16、如图是圆桌正上方的灯泡O发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影(圆形)的示意图.已知桌面的
直径为1.2m，桌面距离地面1m，若灯泡O距离地面3m，则地面上阴影部分的面积为（ ）
A.0.36πm2 B.0.81πm2 C.2πm2 D.3.24πm2
17、如图，三个正六边形全等，其中成位似图形关系的有（ ）
A.4对 B.1对 C.2对 D.3对(第7题图) (第8题图) (第9题图) (第10题图)
18、平面直角坐标系中，有一条“鱼，它有六个顶点”，则（ ）
A.将各点横坐标乘以2，纵坐标不变，得到的鱼与原来的鱼位似
B.将各点纵坐标乘以2，横坐标不变，得到的鱼与原来的鱼位似
C.将各点横、纵坐标都乘以2，得到的鱼与原来的鱼位似
D.将各点横坐标乘以2，纵坐标乘以 ，得到的鱼与原来的鱼位似
三．计算题（每题6分，共24分）
19、如图，ΔABC中，BD是角平分线，过D作DE∥AB交BC于点E，AB=5cm，BE=3cm，求EC的长.
20.如图，DE∥BC，S ∶S =4∶9，求AD∶BD.
ΔDOE ΔCOB
21.小颖测得2m高的标杆在太阳下的影长为1.2m,同时又测得一棵树的影长为3.6m,请你帮助小颖计算
出这棵树的高度.
22.如图，在梯形ABCD中，AD//BC，∠BAD=90°，对角线BD⊥DC.
(1)ΔABD与ΔDCB相似吗？请说明理由.
(2)如果AD=4，BC=9，求BD的长.四.探索题（每题8分，共16分）
23、已知：如图，ΔABC中，∠B=∠C=30°.请你设计三种不同的分法，将ΔABC分割成四个三角形，使得其
中两个是全等三角形，而另外两个是相似三角形但不全等的直角三角形.请画出分割线段，标出能够说明
分法的所得三角形的顶点和内角度数或记号，并在各种分法的空格线上填空.(画图工具不限，不要求写
出画法，不要求说明理由).
分法一 分法二 分法三
分法一：分割后所得的四个三角形中，Δ ≌Δ ，RtΔ ∽RtΔ .
分法二：分割后所得的四个三角形中，Δ ≌Δ ，RtΔ ∽RtΔ .
分法三：分割后所得的四个三角形中，Δ ≌Δ ，RtΔ ∽RtΔ .
24.如图，在RtΔABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3.
(1)如图(1)，四边形DEFG为ABC的内接正方形，求正方形的边长.
(2)如图(2)，三角形内有并排的两个相等的正方形，它们组成的矩形内接于ΔABC，求正方形的边长.
(3)如图(3)，三角形内有并排的三个相等的正方形，它们组成的矩形内接于ΔABC，求正方形的边长.
(4) 如图(4)，三角形内有并排的n个相等的正方形，它们组成的矩形内接于ΔABC，请写出正方形的边
长
课题：28．1锐角三角函数（1）
目标导航：
【学习目标】
⑴: 经历当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定（即正弦值不变）这一事实 。⑵: 能根据正弦概念正确进行计算
【学习重点】
理解正弦（sinA）概念，知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值这一事实．
【学习难点】
当直角三角形的锐角固定时，，它的对边与斜边的比值是固定值的事实。 B
【导学过程】
新| 课|标| 第|一|网
一、自学提纲：
1、如图在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=10m，求AB
A C
B
2、如图在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=20m，求BC
二、合作交流：
A C
问题： 为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，
对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使出水口的高度为35m，那么需要
准备多长的水管？
思考1：如果使出水口的高度为50m，那么需要准备多长的水管？ ； 如果使出水口的
高度为a m，那么需要准备多长的水管？ ；
结论：直角三角形中，30°角的对边与斜边的比值
B
思考2：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，∠A对边与斜边
的比值是一个定值吗？如果是，是多少？
A C
结论：直角三角形中，45°角的对边与斜边的比值
三、教师点拨：
从上面这两个问题的结论中可知，在一个Rt△ABC中，∠C=90°，当∠A=30°时，∠A的对边与斜边的
1 2
比都等于 ，是一个固定值；当∠A=45°时，∠A的对边与斜边的比都等于 ，也是一个固定值．这就
2 2
引发我们产生这样一个疑问：当∠A取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定
值？
探究：任意画Rt△ABC和Rt△A′B′C′，使得∠C=∠C′=90°，
BC B'C'
∠A=∠A′=a，那么 与 有什么关系．你能解释一下吗？
AB A'B'结论：这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边
的比
B
正弦函数概念：
斜边c
规定：在Rt△BC中，∠C=90， 对边a
∠A的对边记作a，∠B的对边记作b，∠C的对边记作c． A b C
在Rt△BC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做
∠A的正弦，
a
记作sinA，即sinA= = ． sinA＝
c
例如，当∠A=30°时，我们有sinA=sin30°= ；
当∠A=45°时，我们有sinA=sin45°= ．
四、学生展示： B B
例1 如图，在Rt△ABC中， 13
3 3 5
∠C=90°，求sinA和sinB的值．
A 4 C C A
(1) (2)
随堂练习 （1）： 做课本第79页练习．
随堂练习 （2）：
1．三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则sinα的值是﹙ ﹚
A． B． C． D．
2．如图，在直角△ABC中，∠C＝90o，若AB＝5，AC＝4，则sinA＝（ ）
A． B． C． D．
3． 在△ABC中，∠C=90°，BC=2，sinA=，则边AC的长是( )
A． B．3 C． D．
4．如图，已知点P的坐标是（a，b），则sinα等于（ ）
a b a b
D.
b a a2 b2 a2 b2
A． B． C．
五、课堂小结：
在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比都是 ．
在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的 ，记作 ，
六、作业设置：
课本 第85页 习题28．1复习巩固第1题、第2题．（只做与正弦函数有关的部分）
七、自我反思：
本节课我的收获: 。
课题：28．1锐角三角函数（2）
【学习目标】
⑴: 感知当直角三角形的锐角固定时，它的邻边与斜边、对边与邻边的比值也都固定这一事实。
⑵:逐步培养学生观察、比较、分析、概括的思维能力。
重点：难点：
【学习重点】
理解余弦、正切的概念。
【学习难点】
熟练运用锐角三角函数的概念进行有关计算。
【导学过程】
一、自学提纲：
1、我们是怎样定义直角三角形中一个锐角的正弦的？
C
2、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D。
已知AC=，BC=2，那么sin∠ACD＝（ ）
A
D B
C
A． B． C． D．
E
3、如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上， A O · B
且AB＝5，BC＝3．则sin∠BAC= ；sin∠ADC= ．
D
4、在Rt△ABC中，∠C=90°，当锐角A确定时，
B
∠A的对边与斜边的比是 ， 斜边c
∠A的对边a
现在我们要问：
A C
∠A的邻边b
∠A的邻边与斜边的比呢？
∠A的对边与邻边的比呢？
为什么？
二、合作交流：
探究：
一般地，当∠A取其他一定度数的锐角时，它的邻边与斜边的比是否也是一个固定值？如图：Rt△ABC与Rt△A`B`C`，∠C=∠C` =90o，∠B=∠B`=α，
那么 与 有什么关系？
B
三、教师点拨： 斜边c
对边a
类似于正弦的情况，
A b C
如图在Rt△BC中，∠C=90°，当锐角A的大小确定时，∠A的邻边
与斜边的比、∠A的对边与邻边的比也分别是确定的．我们
A的邻边 a
把∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cosA= = ；
斜边 c
A的对边 a
把∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即tanA= = ．
A的邻边 b
例如，当∠A=30°时，我们有cosA=cos30°= ；
当∠A=45°时，我们有tanA=tan45°= ．
（教师讲解并板书）：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．
对于锐角A的每一个确定的值，sinA有唯一确定的值与它对应，所以sinA是A的函数．同样地，
cosA，tanA也是A的函数．
3
例2：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6 ，sinA= ，求cosA、tanB的
5
B
值．
6
A
C四、学生展示：
练习一：完成课本P81 练习1、2、3
练习二：
1.在 中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边，则有（）
A． B． C． D．
2. 在 中，∠C＝90°，如果cos A=那么 的值为（）
A．B．C．D．
3、如图：P是∠ 的边OA上一点，且P
点的坐标为（3，4），
则cosα＝_____________.
五、课堂小结：
在Rt△BC中，∠C=90°，我们把
锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，
a
记作sinA，即sinA= = ． sinA＝
c
把∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，
记作 ，即
把∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，
记作 ，即
六、作业设置：课本 第85页 习题28．1复习巩固第1题、第2题．（只做与余弦、正切有关的部分）
七、自我反思：
本节课我的收获: 。
课题：28．1锐角三角函数（3）
⑴: 能推导并熟记30°、45°、60°角的三角函数值，并能根据这些值说出对应锐角度数。
⑵: 能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式
【学习重点】
熟记30°、45°、60°角的三角函数值，能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式
【学习难点】
30°、45°、60°角的三角函数值的推导过程
【导学过程】
一、自学提纲：
一个直角三角形中，
一个锐角正弦是怎么定义的？
一个锐角余弦是怎么定义的？
一个锐角正切是怎么定义的？
二、合作交流：
思考：www .Xkb1.coM
两块三角尺中有几个不同的锐角？
是多少度？
你能分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值码？．
三、教师点拨：
归纳结果
30° 45° 60°
siaA
cosA
tanA
例3：求下列各式的值．
cos45
（1）cos260°+sin260°． （2） -tan45°．
sin456 3
例4：（1）如图（1），在Rt△ABC中，∠C=90，AB= ，BC= ，求∠A的度数．
3
（2）如图（2），已知圆锥的高AO等于圆锥的底面半径OB的 倍，求a．
四、学生展示：
一、课本83页 第1 题
课本83页 第 2题
二、选择题．
1．已知：Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=，AB=15，则AC的长是（ ）．
A．3 B．6 C．9 D．12
2．下列各式中不正确的是（ ）．
A．sin260°+cos260°=1 B．sin30°+cos30°=1
C．sin35°=cos55° D．tan45°>sin45°
3．计算2sin30°-2cos60°+tan45°的结果是（ ）．
3 2
A．2 B． C． D．1
4．已知∠A为锐角，且cosA≤，那么（ ）
A．0°<∠A≤60°B．60°≤∠A<90° C．0°<∠A≤30°D．30°≤∠A<90°
5．在△ABC中，∠A、∠B都是锐角，且sinA=，
cosB=，则△ABC的形状是（ ）
A．直角三角形 B．钝角三角形C．锐角三角形 D．不能确定
6．如图Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，BC=3，AC=4，设∠BCD=a，则tana
的值为（ ）．
3 4 3 4
4 3 5 5
A． B． C． D．
7．当锐角a>60°时，cosa的值（ ）．
A．小于 B．大于 C．大于 D．大于1
3
8．在△ABC中，三边之比为a：b：c=1： ：2，则sinA+tanA等于（ ）．
32 3 1 3 3 31
B. 3 C. D.
6 2 2 2
A．
3
9．已知梯形ABCD中，腰BC长为2，梯形对角线BD垂直平分AC，若梯形的高是 ，则∠CAB等于（ ）A．30° B．60° C．45° D．以上都不对
10．sin272°+sin218°的值是（ ）．
A．1 B．0 C． D．
11．若（tanA-3）2+│2cosB-│=0，则△ABC（ ）．
A．是直角三角形 B．是等边三角形
C．是含有60°的任意三角形 D．是顶角为钝角的等腰三角形
三、填空题．
12．设α、β均为锐角，且sinα-cosβ=0，则α+β=_______．
cos45sin30
1
cos60 tan45
2
13． 的值是_______．
14．已知，等腰△ABC的腰长为4，底为30°，则底边上的高为______，周长为______．
15．在Rt△ABC中，∠C=90°，已知tanB=，则cosA=________．
五、课堂小结：要牢记下表：
30° 45° 60°
siaA
cosA
tanA
六、作业设置：
课本 第85页 习题28．1复习巩固第3题
七、自我反思：
本节课我的收获: 。
课题：28．1锐角三角函数（4）
【学习目标】
让学生熟识计算器一些功能键的使用
【学习重点】
运用计算器处理三角函数中的值或角的问题
【学习难点】
知道值求角的处理
【导学过程】
求下列各式的值．
（1）sin30°·cos45°+cos60°; （2）2sin60°-2cos30°·sin45°
2cos60 sin45cos30
（3） ; （4） -sin60°（1-sin30°）．
2sin302 32cos60（5）tan45°·sin60°-4sin30°·cos45°+ 6 ·tan30°
sin45
（6） +cos45°·cos30°
tan30tan60
合作交流：
学生去完成课本83 84页
学生展示：
用计算器求锐角的正弦、余弦、正切值
学生去完成课本83 86页的题目
自我反思：
本节课我的收获: 。
课题：28．2解直角三角形（1）
【学习目标】
⑴: 使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三
角函数解直角三角形
⑵: 通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生
分析问题、解决问题的能力．
⑶: 渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯．
【学习重点】
直角三角形的解法．
【学习难点】
三角函数在解直角三角形中的灵活运用
【导学过程】
一、自学提纲：
1．在三角形中共有几个元素？
2．直角三角形ABC中，∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量关系呢？
(1)边角之间关系
a b a b
sin A ;cosA ;tanA ;cotA
c c b a
b a b a
sinB ;cosB ;tanB ;cotB
c c a b
如果用 表示直角三角形的一个锐角，那上述式子就可以写成.
的对边 的邻边 的对边 的邻边
sin ；cos ；tan ；cot
斜边 斜边 的邻边 的对边
(2)三边之间关系 (3)锐角之间关系∠A+∠B=90°．
a2 +b2 =c2 (勾股定理) 以上三点正是解直角三角形的依据．
二、合作交流：
要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端.梯子与地面所成的角 一
般要满足 ， (如图).现有一个长6m的梯子，问:(1)使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙(精确到0. 1 m)
(2)当梯子底端距离墙面2.4 m时，梯子与地面所成的角 等于多少(精确到1o) 这时人是否能够安全使用
这个梯子
三、教师点拨：
例1在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且b= ，
a= ，解这个三角形．
例2在Rt△ABC中， ∠B =35o，b=20，解这个三角形．
四、学生展示：
完成课本91页练习
补充题
1．根据直角三角形的__________元素（至少有一个边），求出________其它所有元素的过程，即解直角
三角形．
2、在Rt△ABC中，a=104.0，b=20.49，解这个三角形．
3、 在△ABC中，∠C为直角，AC=6， 的平分线AD=4 ，解此直角三角形。
4
4、Rt△ABC中，若sinA= ，AB=10，那么BC=_____，tanB=______．
5
5、在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，那么sinA=________．
3
6、在△ABC中，∠C=90°，sinA= ，则cosA的值是（ ）
5
3 4 9 16
A． B． C． D.
5 5 25 25
五、课堂小结：
小结“已知一边一角，如何解直角三角形？”六、作业设置：
课本 第96页 习题28．2复习巩固第1题、第2题．
七、自我反思：
本节课我的收获: 。
课题：28．2解直角三角形（2）
【学习目标】
⑴: 使学生了解仰角、俯角的概念，使学生根据直角三角形的知识解决实际问题．
⑵: 逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．
⑶: 渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，培养学生用数学的意识
【学习重点】
将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决．
【学习难点】
实际问题转化成数学模型
【导学过程】
一、自学提纲：
1．解直角三角形指什么？
2．解直角三角形主要依据什么？
(1)勾股定理：
(2)锐角之间的关系：
(3)边角之间的关系：
A的对边 A的邻边 A的对边
tanA
sin A cosA
= 斜边 斜边 A的邻边
二、合作交流：
仰角、俯角
当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的
角叫做俯角．
三、教师点拨：例3 2003年10月15日“神舟”5号载人航天飞船发射成功.当飞船完成变轨后，就在离地球表面
350km的圆形轨道上运行.如图,当飞船运行到地球表面上P点的正上方时，从飞船上最远能直接看到的
地球上的点在什么位置?这样的最远点与P点的距离是多少?(地球半径约为6 400 km，结果精确到0. 1
km)
例4热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30o，看这栋离楼底部的俯角为60o，热气
球与高楼的水平距离为120 m.这栋高楼有多高(结果精确到0.1m)?
新课标 第一网
四、学生展示：
一、课本93页 练习 第1 、2题
五、课堂小结：
六、作业设置：
课本 第96页 习题28．2复习巩固第3、4题
七、自我反思：
本节课我的收获: 。
课题：28．2解直角三角形（3）
【学习目标】
⑴: 使学生了解方位角的命名特点，能准确把握所指的方位角是指哪一个角
⑵: 逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；渗透数形结合的数学思想和方法．
⑶: 巩固用三角函数有关知识解决问题，学会解决方位角问题．
【学习重点】用三角函数有关知识解决方位角问题
【学习难点】
学会准确分析问题并将实际问题转化成数学模型
【导学过程】
一、自学提纲：
坡度与坡角
l
坡面的铅直高度h和水平宽度 的比叫做坡度（或叫做坡比），
一般用i表示。即ｉ＝ ，常写成i=1：m的形式如i=1:2.5
把坡面与水平面的夹角α叫做坡角．
结合图形思考，坡度i与坡角α之间具有什么关系？
这一关系在实际问题中经常用到。
二、教师点拨：
例5如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65 方向，距离
灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到
达位于灯塔P的南偏东34 方向上的B处.这时，海轮所在的B处距离灯塔P 有
多远？
例6同学们，如果你是修建三峡大坝的工程师，现在有这样一个问题请你解决：如图6-33
水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，
求斜坡AB的坡面角α，坝底宽AD和斜坡AB的长(精确到0.1m)四、学生展示：
完成课本91页练习
补充练习
(1)一段坡面的坡角为60°，则坡度i=______；
______，
坡角 ______度．
2、利用土埂修筑一条渠道，在埂中间挖去深为0.6米的一块(图阴影部分是挖去部分)，已知渠道内坡度为
1∶1.5，渠道底面宽BC为0.5米，求：
①横断面(等腰梯形)ABCD的面积；
②修一条长为100米的渠道要挖去的土方数．
五、课堂小结：
六、作业设置：
课本 第96页 习题28．2复习巩固第5、6、7题
七、自我反思：
本节课我的收获: 。
课题：锐角三角函数定义检测
学习要求
理解一个锐角的正弦、余弦、正切的定义．能依据锐角三角函数的定义，求给定锐角的三角函数值．
课堂学习检测
一、填空题
1．如图所示，B、B′是∠MAN的AN边上的任意两点，BC⊥AM于C点，B′C′⊥AM于C′点，则
△B'AC′∽______，从而 ，又可得
① ______，即在Rt△ABC中(∠C＝90°)，当∠A确定时，它的______与______的比是一
个______值；② ______，即在Rt△ABC中(∠C＝90°)，当∠A确定时，它的______与______的比也是
一个______；
③ ______，即在Rt△ABC中(∠C＝90°)，当∠A确定时，它的______与______的比还是
一个______．
第1题图
2．如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°．
第2题图
① ＝______， ＝______；
② ＝______， ＝______；
③ ＝______， ＝______．
3．因为对于锐角的每一个确定的值，sin、cos、tan分别都有____________与它______，所
以sin、cos、tan都是____________．又称为的____________．
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若a＝9，b＝12，则c＝______，
sinA＝______，cosA＝______，tanA＝______，
sinB＝______，cosB＝______，tanB＝______．
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若a＝1，b＝3，则c＝______，
sinA＝______，cosA＝______，tanA＝______，
sinB＝______，cosB＝______，tanB＝______．
6．在Rt△ABC中，∠B＝90°，若a＝16，c＝30，则b＝______，
sinA＝______，cosA＝______，tanA＝______，sinC＝______，cosC＝______，tanC＝______．
7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若∠A＝30°，则∠B＝______，
sinA＝______，cosA＝______，tanA＝______，
sinB＝______，cosB＝______，tanB＝______．
二、解答题
8．已知：如图，Rt△TNM中，∠TMN＝90°，MR⊥TN于R点，TN＝4，MN＝3．
求：sin∠TMR、cos∠TMR、tan∠TMR．
9．已知Rt△ABC中， 求AC、AB和cosB．
综合、运用、诊断
10．已知：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°．D是AC边上一点，DE⊥AB于E点．
DE∶AE＝1∶2．
求：sinB、cosB、tanB．
11．已知：如图，⊙O的半径OA＝16cm，OC⊥AB于C点，
求：AB及OC的长．12．已知：⊙O中，OC⊥AB于C点，AB＝16cm，
(1)求⊙O的半径OA的长及弦心距OC；
(2)求cos∠AOC及tan∠AOC．
13．已知：如图，△ABC中，AC＝12cm，AB＝16cm，
(1)求AB边上的高CD；
(2)求△ABC的面积S；
(3)求tanB．
14．已知：如图，△ABC中，AB＝9，BC＝6，△ABC的面积等于9，求sinB．
拓展、探究、思考15．已知：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，按要求填空：
(1)
∴ ______；
(2)
∴b＝______，c＝______；
(3)
∴a＝______，b＝______；
(4) ∴ ______， ______；
(5) ∴ ______， ______；
(6)∵ 3，∴ ______， ______．
课题：特殊锐角三角函数定义检测
学习要求
1．掌握特殊角(30°，45°，60°)的正弦、余弦、正切三角函数值，会利用计算器求一个锐角的三角函数
值以及由三角函数值求相应的锐角．
2．初步了解锐角三角函数的一些性质．
课堂学习检测
一、填空题
1．填表．
锐角 30° 45° 60°
sin
cos
tan
二、解答题
2．求下列各式的值．
(1)(2)tan30°－sin60°·sin30°
(3)cos45°＋3tan30°＋cos30°＋2sin60°－2tan45°
(4)
3．求适合下列条件的锐角．
(1) (2)
(3) (4)
4．用计算器求三角函数值(精确到0.001)．
(1)sin23°＝______； (2)tan54°53′40″＝______．
5．用计算器求锐角(精确到1″)．
(1)若cos＝0.6536，则＝______；
(2)若tan(2＋10°31′7″)＝1.7515，则＝______．
综合、运用、诊断
6．已知：如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB于E，BE＝16cm，
求此菱形的周长．7．已知：如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝10，AC＝5．
求：sin∠ACB的值．
8．已知：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，延长CA至D点，使AD＝AB．求：
(1)∠D及∠DBC；
(2)tanD及tan∠DBC；
(3)请用类似的方法，求tan22.5°．
9．已知：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°， ，作∠DAC＝30°，AD交CB于D点，求：
(1)∠BAD；(2)sin∠BAD、cos∠BAD和tan∠BAD．
10．已知：如图△ABC中，D为BC中点，且∠BAD＝90°， ，求：sin∠CAD、cos∠CAD、
tan∠CAD．
拓展、探究、思考
11．已知：如图，∠AOB＝90°，AO＝OB，C、D是 上的两点，∠AOD＞∠AOC，求证：
(1)0＜sin∠AOC＜sin∠AOD＜1；
(2)1＞cos∠AOC＞cos∠AOD＞0；
(3)锐角的正弦函数值随角度的增大而______；
(4)锐角的余弦函数值随角度的增大而______．
Xk b 1.Com
12．已知：如图，CA⊥AO，E、F是AC上的两点，∠AOF＞∠AOE．(1)求证：tan∠AOF＞tan∠AOE；
(2)锐角的21世纪教育网值随角度的增大而______．
13．已知：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，求证：
(1)sin2A＋cos2A＝1；
(2)
课题：解直角三角形(一)检测
学习要求
理解解直角三角形的意义，掌握解直角三角形的四种基本类型．
课堂学习检测
一、填空题
1．在解直角三角形的过程中，一般要用的主要关系如下(如图所示)：
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝b，BC＝a，AB＝c，
第1题图
①三边之间的等量关系：
__________________________________．
②两锐角之间的关系：
__________________________________．
③边与角之间的关系：
______； _______；
_____； ______．④直角三角形中成比例的线段(如图所示)．
第④小题图
在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB于D．
CD2＝_________；AC2＝_________；
BC2＝_________；AC·BC＝_________．
⑤直角三角形的主要线段(如图所示)．
第⑤小题图
直角三角形斜边上的中线等于斜边的_________，斜边的中点是_________．
若r是Rt△ABC(∠C＝90°)的内切圆半径，则r＝_________＝_________．
⑥直角三角形的面积公式．
在Rt△ABC中，∠C＝90°，
S ＝_________．(答案不唯一)
△ABC
2．关于直角三角形的可解条件，在直角三角形的六个元素中，除直角外，只要再知道_________(其中
至少_________)，这个三角形的形状、大小就可以确定下来．解直角三角形的基本类型可分为已
知两条边(两条_________或斜边和_________)及已知一边和一个锐角(_________和一个锐角或
_________和一个锐角)
3．填写下表：
已知条件 解法
一条边和 斜边c和锐角∠A ∠B＝______，a＝______，b＝______
一个锐角 直角边a和锐角∠A ∠B＝______，b＝______，c＝______
两条直角边a和b c＝______，由______求∠A，∠B＝______
两条边
直角边a和斜边c b＝______，由______求∠A，∠B＝______
二、解答题
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°．
(1)已知：a＝35， ，求∠A、∠B，b；(2)已知： ， ，求∠A、∠B，c；
(3)已知： ， ，求a、b；
(4)已知： 求a、c；
(5)已知：∠A＝60°，△ABC的面积 求a、b、c及∠B．
综合、运用、诊断
5．已知：如图，在半径为R的⊙O中，∠AOB＝2，OC⊥AB于C点．
(1)求弦AB的长及弦心距；
(2)求⊙O的内接正n边形的边长a 及边心距r．
n n
6．如图所示，图①中，一栋旧楼房由于防火设施较差，想要在侧面墙外修建一外部楼梯，由地面到
二楼，再从二楼到三楼，共两段(图②中AB、BC两段)，其中CC′＝
BB′＝3.2m．结合图中所给的信息，求两段楼梯AB与BC的长度之和(结果保留到0.1m)．(参考
数据：sin30°＝0.50，cos30°≈0.87，sin35°≈0.57，cos35°≈0.82)7．如图所示，某公司入口处原有三级台阶，每级台阶高为20cm，台阶面的宽为30cm，为了方便残疾
人士，拟将台阶改为坡角为12°的斜坡，设原台阶的起点为A，斜坡的起点为C，求AC的长度(精
确到1cm)．
拓展、探究、思考
8．如图所示，甲楼在乙楼的西面，它们的设计高度是若干层，每层高均为3m，冬天太阳光与水平面
的夹角为30°．
(1)若要求甲楼和乙楼的设计高度均为6层，且冬天甲楼的影子不能落在乙楼上，那么建筑时两
楼之间的距离BD至少为多少米?(保留根号)
(2)由于受空间的限制，甲楼和乙楼的距离BD＝21m，若仍要求冬天甲楼的影子不能落在乙楼上，
那么设计甲楼时，最高应建几层?
9．王英同学从A地沿北偏西60°方向走100m到B地，再从B地向正南方向走200m到C地，此时王
英同学离A地多少距离?10．已知：如图，在高2m，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要多少米?(保留整数)
、
课题：解直角三角形(二)检测
能将解斜三角形的问题转化为解直角三角形．
课堂学习检测
1．已知：如图，△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，AC＝10cm．
求AB及BC的长．
2．已知：如图，Rt△ABC中，∠D＝90°，∠B＝45°，∠ACD＝60°．BC＝10cm．求AD的长．
3．已知：如图，△ABC中，∠A＝30°，∠B＝135°，AC＝10cm．
求AB及BC的长．4．已知：如图，Rt△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，∠BDC＝60°，BC＝6cm．求AD的长．
综合、运用、诊断
5．已知：如图，河旁有一座小山，从山顶A处测得河对岸点C的俯角为30°，测得岸边点D的俯角为45°，
又知河宽CD为50m．现需从山顶A到河对岸点C拉一条笔直的缆绳AC，求山的高度及缆绳AC的
长(答案可带根号)．
6．已知：如图，一艘货轮向正北方向航行，在点A处测得灯塔M在北偏西30°，货轮以每小时20海里的速
度航行，1小时后到达B处，测得灯塔M在北偏西45°，问该货轮继续向北航行时，与灯塔M之间的
最短距离是多少?(精确到0.1海里， )www .Xkb1.coM7．已知：如图，在两面墙之间有一个底端在A点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B点；当它
靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在D点．已知∠BAC＝60°，∠DAE＝45°．点D到地面的垂直距离
，求点B到地面的垂直距离BC．
8．已知：如图，小明准备测量学校旗杆AB的高度，当他发现斜坡正对着太阳时，旗杆AB的影子恰好落在
水平地面和斜坡的坡面上，测得水平地面上的影长BC＝20m，斜坡坡面上的影长CD＝8m，太阳光线
AD与水平地面成26°角，斜坡CD与水平地面所成的锐角为30°，求旗杆AB的高度(精确到1m)．
9．已知：如图，在某旅游地一名游客由山脚A沿坡角为30°的山坡AB行走400m，到达一个景点B，再由B地沿山坡BC行走320米到达山顶C，如果在山顶C处观测到景点B的俯角为60°．求山高CD(精确
到0.01米)．
10．已知：如图，小明准备用如下方法测量路灯的高度：他走到路灯旁的一个地方，竖起一根2m长的竹竿
测得竹竿影长为1m，他沿着影子的方向，又向远处走出两根竹竿的长度，他又竖起竹竿，测得影长
正好为2m．问路灯高度为多少米?
11．已知：如图，在一次越野比赛中，运动员从营地A出发，沿北偏东60°方向走了500 到达B点，然
后再沿北偏西30°方向走了500m，到达目的地C点．求
(1)A、C两地之间的距离；
(2)确定目的地C在营地A的什么方向?
12．已知：如图，在1998年特大洪水时期，要加固全长为10000m的河堤．大堤高5m，坝顶宽4m，迎水坡
和背水坡都是坡度为1∶1的等腰梯形．现要将大堤加高1m，背水坡坡度改为1∶1.5．已知坝顶宽不
变，求大坝横截面面积增加了多少平方米，完成工程需多少立方米的土石?29.1投影（第一课时）
【学习目标】
（一）知识技能：1、了解投影的有关概念，能根据光线的方向辨认物体的投影。
2、了解平行投影和中心投影的区别。
3、了解物体正投影的含义，能根据正投影的性质画出简单平面图形的正投影。
（二）数学思考：在探究物体与其投影关系的活动中，体会立体图形与平面图形的相互转化关系，发展学
生的空间观念。
（三）解决问题：通过对物体投影的学习，使学生学会关注生活中有关投影的数学问题，提高数学的应用
意识。
（四）情感态度：通过学习，培养学生积极主动参与数学活动的意识，增强学好数学的信心。
【学习重点】
了解正投影的含义，能根据正投影的性质画出简单平面图形的正投影。
【学习难点】
归纳正投影的性质，正确画出简单平面图形的正投影。
【学习准备】手电筒、三角尺、作图工具等。
【学习过程】
【情境引入】
活动1
设问：你注意观察过周围物体在日光或灯光下的影子吗？影子与物体有着怎样的联系呢？教师展示实物
及图片，学生观察、思考，感知物体与投影之间的关系。
学生讨论、发表观点；教师归纳。
总结出投影、投影线、投影面的概念。
总结：一般地，用光线照射物体，在 上，得到的 叫做物体的投影，
叫做投影线，投影所在的 叫做投影面。
【自主探究】
活动2教师给学生展示一组阳光下的投影图片，设问：下列投影中，投影线、投影面分别是什么？这些投影线有
何共同特征？学生观察、思考、归纳，教师指导。
归纳总结：由 形成的投影叫做平行投影。
试举出平行投影在生活中的应用实例。 。
活动3
出示一组灯光下的投影，学生观察投影线、投影面分别是什么？这些投影线有何共同特征？学生分析、
回答。
归纳总结：由 发出的光线形成的投影叫做中心投影。
试举出中心投影在生活中的应用实例。 。
活动4
出示教材101页练习：将物体与它们的投影用线连接起来。【合作探究】
活动5：
问题1
出示两幅图，观察中心投影与平行投影的区别与联系。
联系： 。
区别： 。
问题2
图中三角板的投影各是什么投影？它们的投影线与投影面的位置关系有什么区别？ 学生观察、思考、
互相交流。
联系：图中的投影都是 投影。
区别：
总结出正投影的概念： 。
【巩固练习】
一、填空题
1．物体在光线照射下，在地面或墙壁上留下的影子叫做它的_________．
2．手电筒、路灯的光线可以看成是从_________发出的，它们所形成的投影是_________投影，而太
阳光线所形成的投影是_________投影．
3．将一个三角形放在太阳光下，它所形成的投影的形状是__________________．
二、选择题
4．小明从正面观察下图所示的两个物体，看到的是( )5．物体的影子在正北方，则太阳在物体的( )
A．正北 B．正南 C．正西 D．正东
6．小明在操场上练习双杠时，发现两横杠在地上的影子( )
A．相交 B．平行 C．垂直 D．无法确定
7．一只小狗在平面镜前欣赏自己(如图所示)，它所看到的全身像是( )
8．确定图中路灯灯泡的位置，并画出小赵在灯光下的影子．
二、选择题
10．晚上，人在马路上走过一盏路灯的过程中，其影子长度的变化情况是( )
A．先变短后变长 B．先变长后变短 C．逐渐变短 D．逐渐变长
11．下面是一天中四个不同时刻两个建筑物的影子：将它们按时间先后顺序进行排列，正确的是(
)
A．③④②① B．②④③① C．③④①② D．③①②④
12．如图是圆桌正上方的灯泡(看作一个点)发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影(圆形)的示意
图．已知桌面的直径是1.2m，桌面距离地面1m，若灯泡距离地面3m，则地面上阴影部分的面积
是( )
A．0.36m2 B．0.81m2
C．2m2 D．3.24m2
29.1投影（第二课时）
【学习目标】
（一）知识技能：
1、进一步了解投影的有关概念。2、能根据正投影的性质画出简单平面图形的正投影。
（二）数学思考：在探究物体与其投影关系的活动中，体会立体图形与平面图形的相互转化关系，发展学
生的空间观念。
（三）解决问题：通过对物体投影的学习，使学生学会关注生活中有关投影的数学问题，提高数学的应用
意识。
（四）情感态度：通过学习，培养学生积极主动参与数学活动的意识，增强学好数学的信心。
【学习重点】
能根据正投影的性质画出简单平面图形的正投影。
【学习难点】
归纳正投影的性质，正确画出简单平面图形的正投影。
【学习准备】手电筒、三角尺、作图工具等。
【学习过程】
【知识回顾】Xk b 1.Com
正投影的概念：投影线 于投影面产生的投影叫正投影。
【自主探究】
活动1
出示探究1
如图29.1—7中，把一根直的细铁丝（记为线段AB）放在三个不同位置：
（1） 铁丝平行于投影面；
（2） 铁丝倾斜于投影面：
（3） 铁丝垂直于投影面（铁丝不一定要与投影面有公共点）。
三种情形下铁丝的正投影各是什么形状？BB
AA
AA
BB
AA
BB
AA**((BB**))
AA** BB** AA** BB**
PP
通过观察、讨论可知：
（1）当线段AB平行于投影面P时，它的正投影是线段 AB,线段与它的投影的大小关系为 AB
1 1
AB
1 1；
（2）当线段AB倾斜于投影面P时，它的正投影是线段 AB,线段与它的投影的大小关系为 AB
2 2
AB
2 2；
（3）当线段AB垂直于投影面P时，它的正投影是 。
设计意图：用细铁丝表示一条线段，通过实验观察，分析它的正投影简单直观，易于发现结论。
活动2
如图，把一块正方形硬纸板P（记为正方形ABCD）放在三个不同位置：
(1) 纸板平行于投影面；
(2) 纸板倾斜于投影面；
(3) 纸板垂直于投影面。
三种情形下纸板的正投影各是什么形状？
x
通过观察、讨论可知：
(1)当纸板P平行于投影面时，P的正投影与纸板P的 一样;
(2)当纸板P倾斜于投影面时，P的正投影与纸板P的 ;
(3)当纸板P垂直于投影面时，P的正投影成为 。归纳总结：通过活动1、活动2你发现了什么？
正投影的性质： 。
活动3
按照图中所示的投影方向，画出矩形和三角形的正投影。
活动4
出示例题：例 画出如图摆放的正方体在投影面P上的正投影。
（1）正方体的一个面ABCD平行于投影面P；
（2）正方体的一个面ABCD倾斜于投影面P,上底面ADEF垂直于投影面P，并且上底面的对角线AE垂
直于投影面P.
【巩固练习】
1、小明在操场上练习双杠时，在练习的过程中他发现在地上双杠的两横杠的影子 （ ）
A. 相交 B. 平行 C. 垂直 D. 无法确定
2、球的正投影是( )
(A)圆面．(B)椭圆面． (C)点．(D)圆环.
3、正方形在太阳光的投影下得到的几何图形一定是( )
(A)正方形． (B)平行四边形或一条线段． (C)矩形． (D)菱形．
4、如图所示，右面水杯的杯口与投影面平行，投影线的方向如箭头所示，它的正投影图是( )5、将一个三角形放在太阳光下，它所形成的投影是 ；
6、在同一时刻，身高1.6m的小强的影长是1.2m，旗杆的影长是15m，则旗杆高为 （ ）
A、 16m B、 18m C、 20m D、 22m
7、地面上直立一根标杆AB如图，杆长为2cm。
①当阳光垂直照射地面时，标杆在地面上的投影是什么图形？
②当阳光与地面的倾斜角为60°时，标杆在地面上的投影是什么图形？并画出投影示意图；
【总结提高】
（一）师生小结
你的收获（ ）
你的不足（ ）
【布置作业】
作业：教科书105页练习题
教科书106页第4题、第5题。
29.2三视图（第一课时）
【学习目标】
（一）知识技能：
1.会从投影角度理解视图的概念。
2.会画简单几何体的三视图。
（二）数学思考：通过具体活动，积累观察，想象物体投影的经验。
（三）解决问题：会画实际生活中简单物体的三视图。
（四）情感态度：
1.培养学生自主学习与合作学习相结合的学习方式，使学生体会从生活中发现数学。
2.在应用数学解决生活中问题的过程中，品尝成功的喜悦，激发学生应用数学的热情。
【学习重点】
1. 从投影的角度加深对三视图概念的理解。
2. 会画简单几何体的三视图。
【学习难点】
1. 对三视图概念理解的升华。2. 正确画出三棱柱的三视图和小零件的三视图。
【学习过程】
【情境引入】
活动一
如图，直三棱柱的侧棱与水平投影面垂直。请与同伴一起探讨下面的问题：
（1） 以水平投影面为投影面，在正投影下，这个直棱柱的三条侧棱的投影是什么图形？
（2） 画出直三棱柱在水平投影面的正投影，得到的投影是什么图形？它与直三棱柱的底面有什么关
系？
（3）这个水平投影能完全反映这个物体的形状和大小吗？如不能，那么还需哪些投影面？
【自主探究】
活动二
学生观察思考：（1）三个视图位置上的关系。
（2）三个视图除了位置上的关系，在大小尺寸上，彼此之
间又存在什么关系？
小结：
1.三视图位置有规定，主视图要在 ，俯视
图应在 ，
左视图要在 。
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2.三视图中各视图的大小也有关系。主视图与俯视图表示同一物
体的 ，主视图与左视图表示同一物体的 ，左视 图与俯
视图表示同一物体的 。因此三视图的大小是互相
联系的。画三视图时，三个视图要放在正确的位置，并且使主视 图与俯视图的 ，主视图与左视图的 ，左视图与俯视图的 。
活动三
例1 画出下图2所示的一些基本几何体的三视图.
题后小结:
画这些基本几何体的三视图时，要注意从 个方面观察它们.具体画法为:
1.确定 视图的位置，画出 视图;
2.在 视图正下方画出 视图，注意与主视图“ ”。
3.在 视图正右方画出 视图.注意与主视图“ ”，与俯视图“ ”.
【巩固练习】
1.画出图中的几何体的三视图。
题后小结：
画三视图时，看得见的轮廓线通常画成_______，看不见的部分通常画成_______。
2、你能画出下图中 几何体的三视图吗 ？（二）方法汇总
画基本几何体的三视图时，要注意从 个方面观察它们.具体画法为:
1.确定 视图的位置，画出 视图;
2.在 视图正下方画出 视图，注意与主视图“ ”。
3.在 视图正右方画出 视图.注意与主视图“ ”，与俯视图“ ”.
4.看得见的轮廓线通常画成_______，看不见的部分通常画成_______。
【布置作业】
作业：教科书116页习题29.2复习巩固1、2、3题。
29.2三视图（第二课时）
【学习目标】
（一）知识技能：
会画简单几何体的三视图。
（二）数学思考：通过具体活动，积累观察，体会立体图形的三视图与立体图形的密切关系。
（三）解决问题：会画实际生活中简单物体的三视图。
（四）情感态度：
1.培养学生自主学习与合作学习相结合的学习方式，使学生体会从生活中发现数学。
2.在应用数学解决生活中问题的过程中，品尝成功的喜悦，激发学生应用数学的热情。
【学习重点】
会画简单几何体的三视图。
【学习难点】
1.对三视图概念理解的升华。
2.正确画出实际生活中物体的三视图。
【学习过程】
【知识回顾】
活动一
1．圆柱对应的主视图是（ ）。
（A） （B） （C） （D）
2.主视图、左视图、俯视图都是圆的几何体是（ ）。
（A）圆锥（B）圆柱 （C）球 （D）空心圆柱
3.画出下列几何体的三视图
题后小结：画一个立体图形的三视图时要注意什么？
【自主探究】
活动二
出示例2
画出如图所示的支架(一种小零件)的三视图. 支架的两个台阶的高度和宽度都是同一长度。
题后小结：
画组合体的三视图时，构成组合体的各个部分的视图也要注意“ ， ，
。”
出示例3新|
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例3下图是一根钢管的直观图，画出它的三视图温馨提示：钢管有内外壁，从一定角度看它时，看不见内壁.为全面地反映立体图形的形状，画图时规定：
看得见部分的轮廓线画成实线，因被其他那分遮挡而看不见部分的轮廓线画成虚线.
题后小结：画钢管的主视图与俯视图时，分别是从两个方向观察钢管后画出来的，这时只能见到钢管
，见不到 ，所以 画为虚线。图中虚线与相邻实线的距离即钢管 ，它等于左
视图中两圆 。
【巩固练习】
1. 画出下列几何体的三视图
2. 画出下列几何体的三视图。3．一个透明的玻璃正方体内镶嵌了一条铁丝(如图所示的粗线)，请画出该正方体的三视图。
【拔高训练】
1． 如图，粗线表示嵌在玻璃正方体内的一根铁丝，请画出该正方体的三视图。
【总结提高】
方法汇总
画组合体的三视图时，构成组合体的各个部分的视图也要注意“ ， ，
。”
【布置作业】
作业：教科书154页习题8、929．2三视图（第三课时）
【学习内容】教材P112-113
【学习目标】
1、学会根据物体的三视图描述出几何体的基本形状或实物原型。
2、经历探索简单的几何体的三视图的还原，进一步发展空间想象能力。
【学习重点】根据三视图描述基本几何体和实物原型。
【学习难点】根据三视图想象基本几何体实物原型。
【学习过程】
【复习引入】
前面我们讨论了由立体图形（实物）画出三视图，那么由三视图能否也想象出立体图形（实物）呢？
【合作探究】
1.完成课本例4：根据下面的三视图说出立体图形的名称.
分析:由三视图想象立体图形时，要先分别根据主视图、俯视图和左视图想象立体图形的前面、上面和左
侧面，然后再综合起来考虑整体图形.
(1)从三个方向看立体图形，图象都是矩形，可以想象出:整体是 ，如图(1)所示;
(2)从正面、侧面看立体图形，图象都是等腰三角形;从上面看，图象是圆;可以想象出:整体是 ，
如图(2)所示.
2.完成课本例5根据物体的三视图，如下图（1），描述物体的形状.
分析.由主视图可知，物体正面是正五边形，由俯视图可知，由上向下看物体是矩形的，且有一条棱(中间
的实线)可见到。两条棱(虚线)被遮挡，由左视图知,物体的侧面是矩形的.且有一条棱〔中间的实线)可
见到,综合各视图可知，物体是 形状的，如上图（2）所示.
3.画出符合下列三视图的小立方块构成的几何体。分析：首先应由三种视图从三个方向确定分别有几层，每层有几个，每个小正方体的具体位置在哪儿？
画出之后再看一是否和所给三视图保持一致
【自主探究】
完成课本121页练习
【归纳总结】
1、一个视图不能确定物体的空间形状，根据三视图要描述几何体或实物原型时，必须将各视图对照起来
看.
2、一个摆好的几何体的视图是唯一的，但从视图反过来考虑几何体时，它有多种可能性。例如：正方体的
主视图是正方形，但主视图是正方形的几何体有直三棱柱、长方体、圆柱等.
3、对于较复杂的物体，由三视图想象出物体的原型，应搞清三个视图之间的前后、左右、上下的对应关系.
【布置作业】
教材习题29.2 必做题: 4，5
29．2三视图（第四课时）
【学习内容】教材P114-115
【学习目标】
1、学会根据物体的三视图描述出几何体的基本形状或实物原型。
2、经历探索简单的几何体的三视图的还原，进一步发展空间想象能力。
3、了解将三视图转换成立体图形在生产中的作用，使学生体会到所学知识有重要的实用价值。
【学习重点】根据三视图描述基本几何体和实物原型及三视图在生产中的作用。
【学习难点】根据三视图想象基本几何体实物原型。
【学习过程】
【问题情境】让学生欣赏事先准备好的机械制图中三视图与对应的立体图片，借助图片信息，让学生体会
本章知识的价值。并借此可以讲述一下现在一些中专、中技甚至大学开设的模具和机械制图专业的课程
都需要这方面的知识，激发学生学习兴趣，导入本课。
【自主探究】根据下列几何体三视图，画出它们的表面展开图：（1
解：（1）该物体是： （2）该物体是：
画出它的展开图是： 画出它的展开图是：
【合作探究】例6某工厂要加工一批密封罐，设计者给出了密封罐的三视图，请你按照三视图确定制作每
个密封罐所需钢板的面积。
问题：要想救出每个密封罐所需钢板的面积，应先解决哪些问
题？
小组讨论
结论：1、应先由三视图想象出物体的 ；
2、画出物体的 ;
解：该物体是：
画出它的展开图是：
它的表面积是：
变式训练：如图，上下底面为全等的正六边形的礼盒，其主视图与左视图均由矩形构成，主视图中大矩形
的边长如图所示，左视图中包含两个全等的矩形。如果用彩色胶带如图包扎礼盒，所需胶带长度至少为（
）
A、120cm B、395.24cm C、431.76cm D、480cm【归纳总结】物体的形状、物体的三视图、物体的展开图三者相互联系、相互转化，我们可以由三构造几何
原型，进而画出它的展开图，还可求表面积和体积等。
【学以致用】
1、在一仓库里堆放着若干相同的正方体货箱，仓库管理员将这堆货箱的三视图画了出来。如图所示，则
这堆正方体货箱共有 箱。
2、如图是一个由若干个棱长相等的正方体构成的几何体的三视图。
（1）请写出构成这个几何体的正方体的个数；Xk b 1.Com
（2）请根据图中所示的尺寸，计算这个几何体的表面积。
【布置作业】教材P126 6、7题
29．2三视图（第五课时）
【学习内容】教材P114-115
【学习目标】
1、学会根据物体的三视图描述出几何体的基本形状或实物原型。
2、经历探索简单的几何体的三视图的还原，进一步发展空间想象能力。
3、了解将三视图转换成立体图形在生产中的作用，使学生体会到所学知识有重要的实用价值。
【学习重点】根据三视图描述基本几何体和实物原型及三视图在生产中的作用。
【学习难点】根据三视图想象基本几何体实物原型。
【学习过程】
【温故知新】如图是一个包装盒的三视图，则这个包装盒的体积是（ ）
A、1000πcm3 B、1500πcm3 C、2000πcm3 D、4000πcm3【合作探究】如图，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的三角形，俯视图是一个圆，那么这
个几何体的侧面积是（ ）
A、 π B、 π C、 π D、 π
变式训练：如图是一个几何体的三视图：
（1） 写出这个几何体的名称；
（2） 根据所示数据计算这个几何体的表面积；
（3） 如果一只蚂蚁要从这个几何体中点B出发，沿表面爬行到AC的中点D，请求出这个路线的最
短路程。
【归纳总结】根据物体的三视图想象物体的形状一般是由俯
视图确定物体在平面上的形状.然后再根据左视图、主视图
嫁接出它在空间里的形状，从而确定物体的形状.
【学以致用】
（1）一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体的侧面
积是（ ）
A、4π B、6π C、8π D、12π（2）一个几何体的三视图如图所示（其中标注的a、b、c为相应的边长），则这个几何体的体积是（ ）
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【布置作业】教材P127 8
第29投影与视图复习
【学习目标】
知识技能：
1、进一步了解平行投影和中心投影的区别。
2、进一步了解物体正投影的含义，能根据正投影的性质画出简单平面图形的正投影
3、会画简单几何体的三视图。。
4、能根据三视图说出画出立体图形的名称，并能进行简单计算。
【学习重点】
复习已学知识，并能灵活运用知识解决问题。
【学习难点】
掌握知识，解决问题。
【学习过程】
活动一
1、物体在光线照射下，在地面或墙壁上留下的影子叫做它的_________．
2、手电筒、路灯的光线可以看成是从_________发出的，它们所形成的投影是_________投影，而太阳光
线所形成的投影是_________投影．
3、将一个三角形放在太阳光下，它所形成的投影的形状是__________________．
4、小明从正面观察下图所示的两个物体，看到的是( )
5、物体的影子在正北方，则太阳在物体的( )
A．正北 B．正南 C．正西 D．正东题后小结：
（1）一般地，用光线照射物体，在 上，得到的 叫做物体的投影， 叫
做投影线，投影所在的 叫做投影面。
（2）由 形成的投影叫做平行投影。
（3）由 发出的光线形成的投影叫做中心投影。
（4） 垂直于 产生的投影叫做正投影。
6、两个物体的主视图都是圆，则这两个物体可能是( )
A．圆柱体、圆锥体 B．圆柱体、正方体
C．圆柱体、球 D．圆锥体、球
7、请画出六棱柱的三视图．
8、画出下面几何体的三视图
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9、有一实物如图，那么它的主视图是( )
题后小结：
（1）我们常说的三种视图分别是指______、______、______．
（2）三视图位置有规定，主视图要在 ，俯视图应在 ，
左视图要在 。
（3）三视图中各视图的大小也有关系。主视图与俯视图表示同一物体的 ，主视图与左视图表示同一物体的 ，左视图与俯视图表示同一物体的 。因此三视图的大小是互相联系的。画
三视图时，三个视图要放在正确的位置，并且使主视图与俯视图的 ，主视图与左视图的
，左视图与俯视图的 。
10、如下图为一个几何体的三视图，那么这个几何体是____________．
11、某糖果厂想要为儿童设计一种新型的装糖果的不倒翁，请你根据包装厂设计好的三视图的尺寸计算
其表面积和体积．
【巩固练习】
1、下列四幅图形中，表示两颗小树在同一时刻阳光下的影子的图形可能是( )
A
B C D
2、小军晚上到乌当广场去玩，他发现有两人的影子一个向东，一个向西，于是他肯定的说：“广场上的大
灯泡一定位于两人 ”；
3、下图中①表示的是组合在一起的模块，那么这个模块的俯视图的是( )A．② B．③ C．④ D．⑤
4、一种机器上有一个进行传动的零件叫燕尾槽(如图)，为了准确车出这个零件，请画出它的三视图．
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【拔高训练】
1、下图是由一些相同的小正方体构成的几何体的三视图，在这个几何体中，小正方体的个数是______．
29．3课题学习 制作立体模型
【学习内容】教材P120-121
【学习目标】
1、通过根据三视图制作主体模型的实践活动，体验平面图形向立体图形转化的过程。体会用三视图表示
立体图形的作用，进一步感受立体图形与平面图形之间的联系。
2、通过自主探索、合作探究讨论，使学生加深以投影和视图的认识。
3、通过动手实践，培养学生创新精神与创造发明的意识。
【学习重点】让学生亲身经历发现规律，深入研究、应用所学知识的过程。
【学习难点】学生通过手工制作，实现理论与实践的结合；在探索解决实际问题的过程中培养科学的研究
态度。
【学习准备】刻度尺、剪刀、胶水、胶带、硬纸板、马铃薯（或萝卜）等。
【学习过程】
【创设情境 提出任务】
情境1、以硬纸板为主要材料，分别做出下面的两组视图所示的立体模型。活动形式：学生小组交流物体的形状，然后动手制作。
情境2、按照下面给出的两组视图，用马铃薯（或萝卜）做出相应的实物模型。wwW .x kB 1.c Om
活动方式：小组交流三视图所表示的物体是什么形状的，然后动手制作。
【创设情境 研究问题】
下面的每一组平面图形都是由四个等边三角形组成的。
（1） 指出其中哪些可以折叠成多面体，把上面的图纸描在纸上，剪下来，叠一叠，验证你的答案；
（2） 画出上面图形能折叠成多面体的三视图，并指出三视图中是怎样体现“长对正，高平齐，宽相
等”的；
（3） 如果上图中小三角形的边长为1，那么对应的多面体的表面积各是多少？
活动方式：学生动
手操作。]
【课堂小结 反思
收获】
1、 物体的三视图、展开图、立体图形之间是相互联系的，三者可以互相转化。
2、 物体的三视图、展开图在生产当中应用庄广泛，学习本章内容为我们以后的生产实践奠定基础。3、 从技能上说，认识平面图形与立体图形的联系，有助于根据需要实现它们之间的相互转化，即学会
画三视图玫由三视图得出立体图形，从能力上说，认识平面图形与立体图形的联系对于培养空间想
象能力上非常重要。
【课题拓展 布置作业】
三视图和展开图都是与立体图形有关的平面图形，了解有关生产实际，具体例子写一篇短文，介绍三视
图、展开图的应用。
29．4 数学活动
【学习内容】教材P122-123
【学习目标】
1、通过“我画图，你看图”，培养学生由三视图想象几何图形的能力；
2、通过“我画图，你制作”，培养学生由三视图制作出原图形的能力；
3、通过“自主构思，画图设计，动手制作”，强化对三视图、展开图和立体图形之间联系与转化关系的认
识。
【学习重点】通过三视图还原几何模型。
【学习难点】制作几何模型。
【学习准备】常见的几何体、刻度尺、剪刀、胶水、胶带、硬纸板、马铃薯（或萝卜）等。
【学习过程】
活动1 观察物体，画出三视图
选择你熟悉的一些物体，从不同角度观察它们，画出它们的三视图，然后请同学根据画出的视图说物体
的形状，看他们能否说对，如果说不对，请你考虑是否需要改进你画的图。
活动方式：各小组画出事先准备好的几何体的三视图小组交换，观察，说出原几何体的形状，每说对一个
给该小组加一分，三视图错误的，每个给原小组减一分。评选出优胜小组。
活动2 设计几何体，制作模型
（1） 每个同学设计一个几何体，画出三视图；
（2） 同学之间交换图纸，按照手中的三视图制作几何体模型；
（3） 进行交流，看一看，做出的模型与设计者的想法一致吗？
活动方式：每个同学设计一个几何体，画出三视图，组内交换，制作几何体模型，组内交流，看制作出的模
型与设计者的想法是否一致，哪些地方需要改进。
活动3 设计并制作笔筒
设计你所喜欢的笔筒，画出三视图和展开图，制作笔筒模型，体会设计制作过程中三视图，展开图，实物
（即立体模型）之间的关系。
活动方式：每个同学都设计出一个自己喜欢的笔筒，小组间开展竟赛，看哪个小组制作的快，数量多，外形美观，评选出优胜小组。www .Xkb1.coM
【归纳总结】通过学习这节活动课，对我们本章所学的三视图的知识进行了下验收，并检验同学们将所学
知识运用到生活实践中去的能力。
【布置作业】归纳第二十九章 投影与视图 一章的知识点，绘制成一个表格
复习第二十九章 投影与视图
【学习内容】教材P100-124
【学习目标】
1、通过本节复习，使学生对本章知识点有一个系统的认识。
2、通过习题演练，达到灵活运用知识点的目的。
3、认识本节内容与生活实际的紧密联系。
【学习重点】掌握本章知识点。
【学习难点】灵活运用本章知识点。
【学习准备】常见的几何体、刻度尺、剪刀、胶水、胶带、硬纸板、马铃薯（或萝卜）等。
【学习过程】
【知识梳理】
师生共同勾勒出本章知识框架图：
【知识运用】
1、李刚同学拿一个矩形木框在阳光下摆弄，矩形木框在地面上形成的投影不可能是（ ）2、学校里旗杆的影子整个白天的变化情况是（ ）
A、不变 B、先变短后变长 C、一直在变短 D、一直在变长
3、晚上，人在马路上走过一盏灯的过程，其影子的长度变化情况是（ ）
A、先变短后变长 B、先变长后变短 C、逐渐变短 D、逐渐变长
4、如图是由一些相同的小正方体构成的几何体的三视图，则构成这个几何体的小正方体的个数是
（ ）
A、5 B、6 C、7 D、8
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5、如图，上体育课时，甲、
乙两名同学分别站在C、D的位置时，乙的影子顶端恰好和甲的影子顶端重合，已
知甲、乙同学相距1米，甲身高1.8米，乙身高1.5米，则甲的影长是
米。
6、一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是 。
8、画出下列几何体的三视图：
新课标 第一网9、（1）一木杆按如图1所示的方式直立在地面上，请在图中画它在阳光下的影子（用线段CD表示）
（2）图2是两根标杆及它们在灯光下的影子。请在图中画出光源的位置（用点P表示）并在图中画出人在
此光源下的影子（用线段EF表示）
【知识晋级】
1、 数学兴趣小组测量一棵树的高度，要阳光下，一名同学测
得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米。同时另一名同学
测量一棵树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有
一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图，其影长为1.2米，
落在地面上的影长为2.4米，则树高为 米。
变式训练：小亮想利用太阳光下的影子测量校园内一棵大树的
高，小亮发现大树的影子恰好落在斜坡CD和地面BC上，如图所示。经测量，CD=4m，BC=10m，
∠BCD=150°。
（1） 如果没有斜坡，请你在图中画出大树在地面上的影子；
（2） 若此时1m高的标杆的影长恰好为2m，请你求出这棵大树AB的高度。
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2、 一个圆柱的轴截面平行于投影面，圆柱的正投影是边长为4的正方形。（1） 画出圆柱的三视图。
（2） 画出圆柱的展开图。
（3） 求圆柱的体积与表面积。
