文档内容
27.1 图形的相似 导学案
学习目标
1 了解相似图形和相似多边形的概念.
2 会根据条件判断两个多边形是否为相似多边形.
3 掌握相似多边形的性质，能根据相似比进行相关的计算.
重点难点突破
★知识点1： 相似图形的概念：
数学上，我们把具有相同形状的图形称为相似形.
★知识点2：相似多边形的概念：
如果两个边数相同的多边形对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形.
★知识点3： 相似多边形的性质：
相似多边形的对应角相等、对应边成比例.
★知识点4： 相似比的概念：
相似多边形对应边的比叫做相似比.
★知识点5： 比例线段的概念：
对于四条线段 a,b,c,d，如果其中两条线段的比（即它们长度的比）与另两条线段的比相等，如
a:b=c:d(即ad=bc)，我们就称四条线段是成比例线段，简称比例线段.
核心知识
1. 相似图形的概念：
数学上，我们把具有_____________的图形称为相似形.
2. 相似多边形的概念：
如果两个_________相同的多边形____________相等、________________的两个多边形叫做相似多边形.
3. 相似多边形的性质：
相似多边形的_____________、对应边_______________.
4. 相似比的概念：
相似多边形___________________叫做相似比.
5. 比例线段的概念：
对于四条线段 a,b,c,d，如果其中__________________________________相等，如____________(即
_________)，我们就称四条线段是成比例线段，简称比例线段.思维导图
复习巩固
【提问1】简述全等图形概念
【提问2】简述全等图形的性质？
新知探究
观察下列实例，你发现它们有什么相同点和不同点？
【提问1】根据全等图形和相似图形的概念，你发现它们之间有什么关系吗？
【提问2】如果两个图形相似，这两个图形有什么关系呢？【提问3】如果图形Ａ与图形Ｂ相似，图形Ｂ与图形Ｃ相似，那么图形A与图形C有什么关系呢？
典例分析
例1 下列说法中，正确的是（ ） （请说明选项错误原因）
A．所有的等腰三角形都相似
B．所有的菱形都相似
C．所有的矩形都相似
D．所有的等腰直角三角形都相似
【针对训练】
1. 如图，将图形用放大镜放大，应该属于( )．
A．平移变换 B．相似变换
C．旋转变换 D．对称变换
2. 下列结论中，正确的有：（ ）
①所有的菱形都相似； ②放大镜下的图形与原图形不一定相似；
③等边三角形都相似； ④有一个角为110度的两个等腰三角形相似；
⑤所有的矩形不一定相似．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3. 观察下列图形，哪些是相似图形？
新知探究
下图中两个三角形相似，它们的对应角有什么关系？对应边的比有什么关系？多边形ABCDEF 是由多边形ABCDEF放大后得到，
1 1 1 1 1 1
【问题一】这两个多边形有什么关系？
【问题二】观察这两个图形，它们的对应角有什么关系？对应边呢？
【提问4】根据相似多边形的定义，你知道如何判断相似多边形吗？
【提问5】若两个相似多边形的相似比为1时，则这两个多边形有什么关系？
【探究】回答以下问题
1）任意两个等边三角形相似吗？
2）任意两个正方形相似吗？
3) 任意两个正五边形相似吗？
4) 你发现了什么？典例分析
例2 如图，四边形ABCD和EFGH相似，求角α，β的大小和EH的长度x
【针对训练】
1. 如图所示的两个四边形相似，则α的度数是( )
A．60° B．75° C．87° D．120°
2. 一个多边形的边长为2，3，4，5，6，另一个和它相似的多边形的最长边为18，则这个多边形的最短边
长为（ ）
A．6 B．8 C．12 D．10
3. 一个四边形的边长分别是4，5，6，7，另一个与它形状相同的四边形最短边长为8，则另一个四边形的
周长是________．
例3 如图矩形草坪长20m，宽10m，沿草坪四周有1m宽的环形小路，小路内外边缘所构成的矩形EFGH和矩
形ABCD是否相似？
【针对训练】
1.右图是两个相似的矩形， 则x= .2. 如图，在长为8cm，宽为4cm的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形(图中阴影部分)与原矩形相似，
则留下矩形的面积是( )
A．2 cm2 B．4 cm2 C．8 cm2 D．16 cm2
3．已知矩形ABCD中，AD=3，AB=1．若EF把矩形分成两个小的矩形，如图所示，其中矩形ABEF与矩形
ABCD相似，求AF∶AD的值．
例4 下列四组长度的线段中，是成比例线段的是（ ）
A．4cm，5cm，6cm，7cm B．3cm，4cm，5cm，8cm
C．5cm，15cm，3cm，9cm D．8cm，4cm，1cm，3cm
【针对训练】
1．已知3、4、5、x成比例，则x的值为（ ）
12 15 20
A． B． C． D．6
5 4 3
2．若线段a，b，c，d是成比例线段，且a=1cm，b=4cm，c=2cm，则d=（ ）
A．8cm B．0.5cm C．2cm D．3cm
能力提升
1. 如图，矩形ABCD的对称轴交AB于点E，交CD于点F．若矩形AEFD与矩形DABC相似，则AB:BC
的值为 ．2. 如图，把一个矩形ABCD划分成三个全等的小矩形．
(1)若原矩形ABCD的长AB=6，宽BC=4．问：每个小矩形与原矩形相似吗？请说明理由．
(2)若原矩形的长AB=a，宽BC=b，且每个小矩形与原矩形相似，求矩形长a与宽b应满足的关系式．
课堂小结
1. 通过本节课的学习，你学会了哪些知识？
2. 你还记得相似多边形的概念和性质吗？
【参考答案】
新知探究
观察下列实例，你发现它们有什么相同点和不同点？
形状相同，大小不同
【提问1】根据全等图形和相似图形的概念，你发现它们之间有什么关系吗？
全等图形是相似图形的一种特殊形式
【提问2】如果两个图形相似，这两个图形有什么关系呢？
两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到.
【提问3】如果图形Ａ与图形Ｂ相似，图形Ｂ与图形Ｃ相似，那么图形A与图形C有什么关系呢？相似的图形具有传递性：如果图形Ａ与图形Ｂ相似，图形Ｂ与图形Ｃ相似， 那么图形Ａ与图形Ｃ相似.
典例分析
例1 下列说法中，正确的是（ C ） （请说明选项错误原因）
A．所有的等腰三角形都相似
B．所有的菱形都相似
C．所有的矩形都相似
D．所有的等腰直角三角形都相似
【针对训练】
1. 如图，将图形用放大镜放大，应该属于( B )．
A．平移变换 B．相似变换
C．旋转变换 D．对称变换
2. 下列结论中，正确的有：（ C ）
①所有的菱形都相似； ②放大镜下的图形与原图形不一定相似；
③等边三角形都相似； ④有一个角为110度的两个等腰三角形相似；
⑤所有的矩形不一定相似．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3. 观察下列图形，哪些是相似图形？
新知探究
下图中两个三角形相似，它们的对应角有什么关系？对应边的比有什么关系？对应角相等\对应边的比相等
多边形ABCDEF 是由多边形ABCDEF放大后得到，
1 1 1 1 1 1
【问题一】这两个多边形有什么关系？两个多边形相似
【问题二】观察这两个图形，它们的对应角有什么关系？对应边呢？
对应角相等\对应边的比相等
【提问4】根据相似多边形的定义，你知道如何判断相似多边形吗？
1)边数相同；
2)对应角相等；
3)对应边成比例．
【注意】以上这三个判定条件缺一不可．
【提问5】若两个相似多边形的相似比为1时，则这两个多边形有什么关系？
这两个多边形是全等多边形
【探究】回答以下问题
1）任意两个等边三角形相似吗？相似
2）任意两个正方形相似吗？相似
3) 任意两个正五边形相似吗？相似
4) 你发现了什么？
任意两个边数相等的正多边形都相似.
典例分析
例2 如图，四边形ABCD和EFGH相似，求角α，β的大小和EH的长度x解：因为四边形ABCD和EFGH相似，
所以它们的对应角相等.
由此可得∠α＝∠C＝83°，∠A＝∠E＝118°
在四边形ABCD中，∠β＝360°-（78°+83°+118°）＝
81°
因为四边形ABCD和EFGH相似，
所以它们的对应边的比相等．
EH EF x 24
由此可得 = ，即 =
AD AB 21 18
解得x＝28
【针对训练】
1. 如图所示的两个四边形相似，则α的度数是( C )
A．60° B．75° C．87° D．120°
2. 一个多边形的边长为2，3，4，5，6，另一个和它相似的多边形的最长边为18，则这个多边形的最短边
长为（ A ）
A．6 B．8 C．12 D．10
3. 一个四边形的边长分别是4，5，6，7，另一个与它形状相同的四边形最短边长为8，则另一个四边形的
周长是___44_____．
例3 如图矩形草坪长20m，宽10m，沿草坪四周有1m宽的环形小路，小路内外边缘所构成的矩形EFGH和矩
形ABCD是否相似？
解：由题意得，EF=10 ,EH=20,AB=12,AD=22
AD AB
∵ ≠
EH EF
∴小路内外边缘所构成的矩形EFGH和矩形ABCD不相似【针对训练】
1.右图是两个相似的矩形， 则x= 22.5 .
2. 如图，在长为8cm，宽为4cm的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形(图中阴影部分)与原矩形相似，
则留下矩形的面积是( C )
A．2 cm2 B．4 cm2 C．8 cm2 D．16 cm2
3．已知矩形ABCD中，AD=3，AB=1．若EF把矩形分成两个小的矩形，如图所示，其中矩形ABEF与矩形
ABCD相似，求AF∶AD的值．
【详解】设AF=x，
∵矩形ABEF与矩形ABCD相似，且AD=3，AB=1，
AB AF 1 x 1
∴对应边成比例，即 = ，即 = ，解得x= ，
AD CD 3 1 3
1
∴AF∶AD= ∶3=1∶9．
3
例4 下列四组长度的线段中，是成比例线段的是（ C ）
A．4cm，5cm，6cm，7cm B．3cm，4cm，5cm，8cm
C．5cm，15cm，3cm，9cm D．8cm，4cm，1cm，3cm
【针对训练】
1．已知3、4、5、x成比例，则x的值为（ C ）
12 15 20
A． B． C． D．6
5 4 3
2．若线段a，b，c，d是成比例线段，且a=1cm，b=4cm，c=2cm，则d=（ A ）
A．8cm B．0.5cm C．2cm D．3cm
能力提升
1. 如图，矩形ABCD的对称轴交AB于点E，交CD于点F．若矩形AEFD与矩形DABC相似，则AB:BC
的值为 ❑√2 ．2. 如图，把一个矩形ABCD划分成三个全等的小矩形．
(1)若原矩形ABCD的长AB=6，宽BC=4．问：每个小矩形与原矩形相似吗？请说明理由．
(2)若原矩形的长AB=a，宽BC=b，且每个小矩形与原矩形相似，求矩形长a与宽b应满足的关系式．
（1）解：不相似．理由如下：
∵原矩形ABCD的长AB=6，宽BC=4，
∴划分后小矩形的长为AD=4，宽为AE=6÷3=2，
AB 6 4 AD
又∵ = ≠ =
BC 4 2 AE
即原矩形与每个小矩形的边不成比例，
∴每个小矩形与原矩形不相似．
（2）∵原矩形的长AB=a，宽BC=b，
a
∴划分后小矩形的长为AD=b，宽为AE= ，
3
又∵每个小矩形与原矩形相似，
