文档内容
26.1.1 反比例函数 导学案
学习目标
1.理解反比例函数的概念；
2.根据题目条件会求对应量的值，能用待定系数法求反比例函数的关系式.
3.能利用反比例函数的意义分析简单的问题.
重点难点突破
★知识点1： 反比例函数的概念：
k
一般地，形如y= （k为常数，且k≠0）的函数，叫做反比例函数，其中x是自变量，y是函数.
x
★知识点2： 利用待定系数法求反比例函数解析式的方法：
k
1)设出含“未知系数”的函数解析式，如y= ;
x
2)根据已知条件列出含“未知系数”的方程；
3)解这个方程，求出未知系数 ;
4)将求出的未知系数的值代入所设的解析式中.
核心知识
一、 反比例函数的概念：
一般地，形如y= _______________（_____________）的函数，叫做反比例函数，其中_____是
自变量，___是函数.
★知识点2： 利用待定系数法求反比例函数解析式的方法：
1)设出含“未知系数”的函数解析式，如_________；
2)根据已知条件列出含“__________系数”的方程；
3)解这个方程，求出__________；
4)将求出的______________代入所设的解析式中
思维导图课前回顾
【提问一】什么是正比例函数？
【提问二】什么是一次函数？
【提问三】什么是二次函数？
新知探究
下列问题中两个变量间具有函数关系吗？如果有，请直接写出解析式．
[情景一]京沪线铁路全程为1463 km，某次列车的平均速度v（单位：km/h）随此次列车的全程运行时间t
（单位：h）的变化而变化．
[情景二]某住宅小区要种植一块面积为1000 m2的矩形草坪，草坪的长 y（单位：m）随宽 x（单位：m）
的变化而变化．
[情景三]已知北京市的总面积为 1.68×104 km2 ，人均占有面积 S（单位： km2 /人）随全市总人口 n（单
位：人）的变化而变化．
【问题一】观察以上三个解析式，你发现了什么？
反比例函数的概念：典例分析与针对训练
例1 判断下列函数是不是反比例函数，如果是请指出比例系数.
【针对训练】
1.下列函数中哪些是反比例函数？哪些是一次函数？
3 −1 x
①y=3x-1 ②y = 2x ③y= ④ y= ⑤ y= ⑥-xy=2 ⑦y=6x-1
2x x 2
|a|−2
2. 已知反比例函数的解析式为y= ，则a的取值范围是( )
x
A．a≠2 B．a≠−2 C．a≠±2 D．a=±2
例2 若函数𝑦＝（m+1）x|m|﹣2是反比例函数，则𝑚＝（ ）
A．±1 B．±3 C．﹣1 D．1
【针对训练】
1．函数y=（m﹣1） 是反比例函数，求m的值.
xm2−m−1
例3 已知y是x的反比例函数，当x=2时，y=6.
1）写出y与x的函数关系式；
2）求当x=4时，y的值.
【针对训练】
1. 已知y与x2 成反比例，且当x=3时，y=4．
1）写出y关于x的函数解析式；2）当x=1.5时，求y的值；
3）当y= 6时，求x的值.
2. y是x的反比例函数，下表给出了x与y的一些值
1）写出这个反比例函数的解析式.
2）根据函数表达式完成上表.
【问题二】简述利用待定系数法求反比例函数解析式的具体方法？
例4 矩形的面积一定，则它的长和宽的关系是（ ）
A．正比例函数 B．一次函数 C．反比例函数 D．二次函数
【针对训练】
1. 直角三角形两直角边的长分别为 x，y，它的面积为 3，则y与x之间的函数关系式为_________.
2. 已知菱形的面积是 12cm2，菱形的两条对角线长分别为 x和 y，则 y与x之间的函数关系是
________________．
3.某蓄水池的排水管的平均排水量为每小时 8立方米，6小时可以将满池水全部排空．现在排水量为平均
每小时Q立方米，那么将满池水排空所需要的时间为t（小时），写出时间t（小时）与Q之间的函数表达
式_____．
k+1
例5 反比例函数y＝ 的图象经过点(﹣1，2)，则k＝_____．
x
【针对训练】
k
1 已知反比例函数 y= （k 为常数，且 k≠0）的图象经过点（3，4），则该函数图象必不经过点
x
（ ）
A．（2，6） B．（-1，-12） C．（0.5，24） D．（-3，8）能力提升
❑√2k−1
1. 已知反比例函数的解析式为y= ，则最小整数k＝______．
x
2. 当m为何值时，函数y=（m﹣3）x2﹣|m｜是反比例函数？当m为何值时，此函数是正比例函数？
感受中考
2
1．（2020·广西贺州·统考中考真题）在反比例函数y= 中，当x=−1时，y的值为（ ）
x
1 1
A．2 B．−2 C． D．−
2 2
4
2．（2023·重庆·统考中考真题）反比例函数y=− 的图象一定经过的点是（ ）
x
A．(1，4) B．(−1，−4) C．(−2，2) D．(2，2)
6
3．（2022·黑龙江哈尔滨·统考中考真题）已知反比例函数y=− 的图象经过点(4,a)，则a的值为
x
．
课堂小结
1.通过本节课的学习，你学会了哪些知识？
2.你知道反比例函数的三种形式吗？
3.简述利用待定系数法求反比例函数解析式的具体方法？
【参考答案】
课前回顾
【提问一】什么是正比例函数？
一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数.
【提问二】什么是一次函数？一般地，形如y=kx+b(k,b是常数，k≠0）的函数叫做一次函数.
【提问三】什么是二次函数？
一般地，形如y=ax²+bx+c(其中a,b,c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数.
新知探究
下列问题中两个变量间具有函数关系吗？如果有，请直接写出解析式．
[情景一]京沪线铁路全程为1463 km，某次列车的平均速度v（单位：km/h）随此次列车的全程运行时间t
（单位：h）的变化而变化．
1463
v=
t
[情景二]某住宅小区要种植一块面积为1000 m2的矩形草坪，草坪的长 y（单位：m）随宽 x（单位：m）
的变化而变化．
1000
y=
x
[情景三]已知北京市的总面积为 1.68×104 km2 ，人均占有面积 S（单位： km2 /人）随全市总人口 n（单
位：人）的变化而变化．
1.68×104
S=
n
【问题一】观察以上三个解析式，你发现了什么？
常量
这三个解析式结构都是：变量=
变量
k
反比例函数的概念：一般地，形如y= （k为常数，且k≠0）的函数，叫做反比例函数，其中x是自变量，
x
y是函数.
典例分析与针对训练
例1 判断下列函数是不是反比例函数，如果是请指出比例系数.
【针对训练】1.下列函数中哪些是反比例函数？哪些是一次函数？
3 −1 x
①y=3x-1 ②y = 2x ③y= ④ y= ⑤ y= ⑥-xy=2 ⑦y=6x-1
2x x 2
反比例函数：③④⑥⑦
一次函数： ①②⑤
|a|−2
2. 已知反比例函数的解析式为y= ，则a的取值范围是( C )
x
A．a≠2 B．a≠−2 C．a≠±2 D．a=±2
例2 若函数𝑦＝（m+1）x|m|﹣2是反比例函数，则𝑚＝（ D ）
A．±1 B．±3 C．﹣1 D．1
【针对训练】
1．函数y=（m﹣1） 是反比例函数，求m的值.
xm2−m−1
【详解】解：由题意得：{ m−1≠0 解得
m=0．
m2−m−1=−1.
例3 已知y是x的反比例函数，当x=2时，y=6.
1）写出y与x的函数关系式；
2）求当x=4时，y的值.
k
1）解：设y与x的函数关系式y= ，
x
k
当x=2，y=6时，反比例关系式为6= ，
2
12
解得k=12，则y=
x
12 12
2）把x=4带入y= ，得y= ，因此y= 3
x 4
【针对训练】
1. 已知y与x2 成反比例，且当x=3时，y=4．
1）写出y关于x的函数解析式；
2）当x=1.5时，求y的值；
3）当y= 6时，求x的值.
k
1）解：设y与x的函数关系式y= ，
x2k
当x=3，y=4时，反比例关系式为4= ，
9
36
解得k=36，则y=
x2
36 36
2）把x=1.5带入y= ，得y= ，因此y= 16
x2 2.25
36 36
3）把y=6 带入y= ，得x2= ，因此x= ±❑√6
x2 6
2. y是x的反比例函数，下表给出了x与y的一些值
1）写出这个反比例函数的解析式.
2）根据函数表达式完成上表.
k
解 ∵ y是x的反比例函数， ∴y=
x
k
把x=-0.5，y=4代入上式得4=
−0.5
−2
解得k=-2，则y=
x
【问题二】简述利用待定系数法求反比例函数解析式的具体方法？
k
1)设出含“未知系数”的函数解析式，如y= ;
x
2)根据已知条件列出含“未知系数”的方程；
3)解这个方程，求出未知系数 ;
4)将求出的未知系数的值代入所设的解析式中.
例4 矩形的面积一定，则它的长和宽的关系是（ C ）
A．正比例函数 B．一次函数 C．反比例函数 D．二次函数
【针对训练】
6
1. 直角三角形两直角边的长分别为 x，y，它的面积为 3，则y与x之间的函数关系式为_____
y=
x
____.
2. 已知菱形的面积是 12cm2，菱形的两条对角线长分别为 和 ，则 与 之间的函数关系是______
x y y x24
y=
x
__________．
3.某蓄水池的排水管的平均排水量为每小时 8立方米，6小时可以将满池水全部排空．现在排水量为平均
每小时Q立方米，那么将满池水排空所需要的时间为t（小时），写出时间t（小时）与Q之间的函数表达
48
式___
t=
__．
Q
k+1
例5 反比例函数y＝ 的图象经过点(﹣1，2)，则k＝___-3__．
x
【针对训练】
k
1 已知反比例函数y= （k为常数，且k≠0）的图象经过点（3，4），则该函数图象必不经过点（ D
x
）
A．（2，6） B．（-1，-12） C．（0.5，24） D．（-3，8）
能力提升
❑√2k−1
1. 已知反比例函数的解析式为y= ，则最小整数k＝___1___．
x
2. 当m为何值时，函数y=（m﹣3）x2﹣|m｜是反比例函数？当m为何值时，此函数是正比例函数？
【详解】根据反比例函数的定义知2﹣|m|=﹣1且m﹣3≠0，解得：m=﹣3；
根据正比例函数的定义知2﹣|m|=1且m﹣3≠0，解得：m=±1．
感受中考
2
1．（2020·广西贺州·统考中考真题）在反比例函数y= 中，当x=−1时，y的值为（ B ）
x
1 1
A．2 B．−2 C． D．−
2 2
4
2．（2023·重庆·统考中考真题）反比例函数y=− 的图象一定经过的点是（ C ）
x
A．(1，4) B．(−1，−4) C．(−2，2) D．(2，2)
6
3．（2022·黑龙江哈尔滨·统考中考真题）已知反比例函数y=− 的图象经过点(4,a)，则a的值为
x3
− ．
2
