文档内容
24.1.4 圆周角
第2课时 圆内接四边形的性质及圆周角定理的综合运用
一、教学目标
1.知道圆内接多边形和多边形的外接圆的意义，知道圆内接四边形的对角互补，
会简单运用这个结论.
2.培养演绎推理能力和识图能力.
二、教学重点和难点
1.重点：圆内接四边形的对角互补.
2.难点：结论的证明.
三、教学过程
（一）基本训练，巩固旧知 40
x
1.填空：如图，
50
x= °.
A D
2.填空：如图，∠BAC=55°，∠CAD=45°，
则∠DBC= °，∠BDC= °，
∠BCD= °.
B
3.用三角尺画出下面这个圆的圆心. C
（二）创设情境，导入新课
（师出示下面的板书）
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半.
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等.
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.
师：（指准板书）前面我们学习了圆周角定理和它的两个结论，本节课我们要
学习什么？我们要学习圆周角定理的第三个推论（板书：推论3）.
师：推论3怎么说？让我们先来看下面的问题.
（三）尝试指导，讲授新课
D
（师出示下图） A
.
O
C
B师：（指准图）这是四边形 ABCD，这个四边形有一个特点，什么特点？（稍
停）这个四边形的四个顶点，点 A，点B，点C，点D都在⊙O上，我们把这
个四边形叫做圆内接四边形（板书：四边形ABCD叫做圆内接四边形），我
们还把⊙O叫做四边形ABCD的外接圆（板书：⊙O叫做四边形ABCD的外接
圆）.
师：（出示圆内接三角形图片，并指准）这是一个三角形，这个三角形的所有
顶点都在这个圆上，我们把这个三角形叫做圆内接三角形，把这个圆叫做这
个三角形的外接圆.
师：（出示圆内接五边形图片，并指准）这是五边形，这个五边形的所有顶点
都在这个圆上，我们把这个五边形叫做圆内接五边形，把这个圆叫做这个五
边形的外接圆.
师：（出示圆内接五边形图片，并指准）一般地说，如果一个多边形的所有顶
点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形
的外接圆.
师：知道了圆内接多边形的概念，（指黑板上的圆内接四边形）现在我们还是
回来看圆内接四边形.
师：圆内接四边形有一个重要的性质，什么性质？圆内接四边形的对角互补
（板书：圆内接四边形的对角互补）.
师：圆内接四边形的对角互补，什么意思？（指准图）就是说，
∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°，（板书：∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°）.
师：用圆周角定理可以推出这个结论，怎么推？大家自己先想一想（让生思考
片刻）.
师：我们一起来证明，（指板书）先证明∠A+∠C=180°.
师：怎么证明∠A+∠C=180°？连结OB，OD（边讲边用虚线连结OB，OD）.
师：（把 描成红色，并指准）这条红弧所对的圆周角是哪个？
生：（齐答）∠C.
师：红弧所对的圆周角是∠C（边讲边用红笔标∠C），那红弧所对的圆心角是
哪个？
生：（齐答）∠BOD.
师：红弧所对的圆心角是∠BOD（边讲边用红笔标∠BOD）.
师：（把 描成黄色，并指准）这条黄弧所对的圆周角是哪个？
生：（齐答）∠A.
师：黄弧所对的圆周角是∠A（边讲边用红笔标∠A），那黄弧所对的圆心角是
哪个？
生：……
师：（指准图）黄弧所对的圆心角是这个角（边讲边用黄笔标这个角）.师：（指准图）根据圆周角定理，∠A等于这个圆心角的一半，∠C等于这个圆
心角的一半，所以∠A+∠C等于这个角加上这个角的一半.这个角加上这个角
等于360°，所以∠A+∠C等于360°的一半，等于180°.
师：同样道理可以证明∠B+∠D=180°.
师：（指板书）推论3是一个很有用的结论，下面就请同学们利用这个结论来
做几个练习.
（四）试探练习，回授调节 A
4.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠A=60°， .
D
填空： O
(1)∠BCD= °；
E
(2)∠DCE= °； B C
(3)∠B+∠D= °.
5.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形， A
∠BOD=100°，
则∠BAD= °，
O
∠BCD= °.
D
（五）尝试指导，讲授新课
B
C
师：下面我们来看一道例题.
（师出示例题）
例 求证：圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角.
（师画出图形写出已知求证，然后让生说证明思路，最后师写出证明过程，
图形、已知、求证及证明过程如下）
D
已知：如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形. A
.
求证：∠DCE=∠A. O
E
B C
证明：∵∠DCE+∠BCD=180°，
又∵∠A+∠BCD=180°，
∴∠DCE=∠A.
（六）归纳小结，布置作业
师：（指准板书）本节课我们学习了圆周角定理的推论 3，圆内接四边形的对
角互补；还学习了一个例题，利用推论 3证明了圆内接四边形的任何一个外
角都等于它的内对角.这个结论像别的定理、推论一样可以在做题的时候直接
拿来用. D
B
（作业：P 习题6.7.）
88
A
课外补充作业
C
6.如图，∠A=30°，∠ABC=50°，则∠E= °，
E
∠D= °，∠ACB= °.四、板书设计
圆周角定理…… 图 例
推论1…… 四边形ABCD叫做圆内接四边形
推论2…… ⊙O叫做四边形ABCD的外接圆
推论3…… ∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°
