文档内容
24.1 圆(第 3 课时)
教学内容
1．圆周角的概念．
2．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弦所对的
圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径及其它们的应
用．
教学目标
1．了解圆周角的概念．
2．理解圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧
所对的圆心角的一半．
3．理解圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的
弦是直径．
4．熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用．
设置情景，给出圆周角概念，探究这些圆周角与圆心角的关系，运用数学分类思想给予
逻辑证明定理，得出推导，让学生活动证明定理推论的正确性，最后运用定理及其推导解决
一些实际问题．
重难点、关键
1．重点：圆周角的定理、圆周角的定理的推导及运用它们解题．
2．难点：运用数学分类思想证明圆周角的定理．
3．关键：探究圆周角的定理的存在．
教学过程
一、复习引入
（学生活动）请同学们口答下面两个问题．
1．什么叫圆心角？
2．圆心角、弦、弧之间有什么内在联系呢？
老师点评：（1）我们把顶点在圆心的角叫圆心角．
（2）在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对
的其余各组量都分别相等．
刚才讲的，顶点在圆心上的角，有一组等量的关系，如果顶点不在圆心上，它在其它的位
置上？如在圆周上，是否还存在一些等量关系呢？这就是我们今天要探讨，要研究，要解决
的问题．
二、探索新知
问题：如图所示的⊙O，我们在射门游戏中，设E、F是球门，设球员们只能在 所在的
EF
⊙O其它位置射门，如图所示的A、B、C点．通过观察，我们可以发现像∠EAF、∠EBF、∠ECF这
样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
1现在通过圆周角的概念和度量的方法回答下面的问题．
1．一个弧上所对的圆周角的个数有多少个？
2．同弧所对的圆周角的度数是否发生变化？
3．同弧上的圆周角与圆心角有什么关系？
（学生分组讨论）提问二、三位同学代表发言．
老师点评：
1．一个弧上所对的圆周角的个数有无数多个．
2．通过度量，我们可以发现，同弧所对的圆周角是没有变化的．
3．通过度量，我们可以得出，同弧上的圆周角是圆心角的一半．
下面，我们通过逻辑证明来说明“同弧所对的圆周角的度数没有变化，并且它的度数
恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半．”
（1）设圆周角∠ABC的一边BC是⊙O的直径，如图所示
∵∠AOC是△ABO的外角
∴∠AOC=∠ABO+∠BAO A
C
∵OA=OB
∴∠ABO=∠BAO
O
∴∠AOC=∠ABO
1
B
∴∠ABC= ∠AOC
2
（2）如图，圆周角∠ABC的两边AB、AC在一条直径OD的两侧，那么
A
1
∠ABC= ∠AOC吗？请同学们独立完成这道题的说明过程．
D
2
老师点评：连结BO交⊙O于D同理∠AOD是△ABO的外角，∠COD是
△BOC 的外角，那么就有∠AOD=2∠ABO，∠DOC=2∠CBO，因此 O
C
∠AOC=2∠ABC． B
（3）如图，圆周角∠ABC的两边AB、AC在一条直径
1
OD的同侧，那么∠ABC= ∠AOC吗？请同学们独立完成证明．
2
老师点评：连结OA、OC，连结BO并延长交⊙O于D，那么∠AOD=2∠ABD，∠COD=2∠CBO，而
1 1 1
∠ABC=∠ABD-∠CBO= ∠AOD- ∠COD= ∠AOC
2 2 2
现在，我如果在画一个任意的圆周角∠AB′C，同样可证得它等于同弧上圆心角一半，
因此，同弧上的圆周角是相等的．
从（1）、（2）、（3），我们可以总结归纳出圆周角定理：
2在同圆或等圆中，同弧等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
进一步，我们还可以得到下面的推导：
半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
下面，我们通过这个定理和推论来解一些题目．
例1．如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到C，使AC=AB，BD与CD的大小有什
么关系？为什么？
分析：BD=CD，因为AB=AC，所以这个△ABC是等腰，要证明D是BC
的中点，只要连结AD证明AD是高或是∠BAC的平分线即可．
解：BD=CD
理由是：如图24-30，连接AD
∵AB是⊙O的直径
∴∠ADB=90°即AD⊥BC
又∵AC=AB
∴BD=CD
三、巩固练习
1．教材 思考题．
2．教材 练习．
四、应用拓展
例2．如图，已知△ABC内接于⊙O，∠A、∠B、∠C的对边分别设为a，b，c，⊙O半径为R，
a b c
求证： = = =2R．
sin A sinB sinC
a b c a b c
分析：要证明 = = =2R，只要证明 =2R， =2R， =2R，即
sin A sinB sinC sin A sinB sinC
a b c
sinA= ，sinB= ，sinC= ，因此，十分明显要在直角三角形中进行．
2R 2R 2R
证明：连接CO并延长交⊙O于D，连接DB
∵CD是直径
∴∠DBC=90°
又∵∠A=∠D
BC a
在Rt△DBC中，sinD= ，即2R=
DC sin A
b c
同理可证： =2R， =2R
sinB sinC
3a b c
∴ = = =2R
sin A sinB sinC
五、归纳小结（学生归纳，老师点评）
本节课应掌握：
1．圆周角的概念；
2．圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都相等这条弧所对
的圆心角的一半；
3．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
4．应用圆周角的定理及其推导解决一些具体问题．
六、布置作业
1．教材 综合运用9、10、11 拓广探索12、13．
2．选用课时作业设计．
第三课时作业设计
一、选择题
1．如图1，A、B、C三点在⊙O上，∠AOC=100°，则∠ABC等于（ ）．
A．140° B．110° C．120° D．130°
A
4
B
O
2
C
1 3
D
(1) (2) (3)
2．如图2，∠1、∠2、∠3、∠4的大小关系是（ ）
A．∠4<∠1<∠2<∠3 B．∠4<∠1=∠3<∠2
C．∠4<∠1<∠3∠2 D．∠4<∠1<∠3=∠2
3．如图3，AD是⊙O的直径，AC是弦，OB⊥AD，若OB=5，且∠CAD=30°，则BC等于（ ）．
1
A．3 B．3+ 3 C．5- 3 D．5
2
二、填空题
41．半径为2a的⊙O中，弦AB的长为2 a，则弦AB所对的圆周角的度数是________．
3
2．如图4，A、B是⊙O的直径，C、D、E都是圆上的点，则∠1+∠2=_______．
E
A B
O
2
1 D
C
(4) (5)
3．如图5，已知△ABC为⊙O内接三角形，BC=1，∠A=60°，则⊙O半径为_______．
三、综合提高题
1．如图，弦AB把圆周分成1：2的两部分，已知⊙O半径为1，求弦长AB．
O
A B
2．如图，已知AB=AC，∠APC=60°
（1）求证：△ABC是等边三角形．
（2）若BC=4cm，求⊙O的面积．
A
P
O
C
B
3．如图，⊙C经过坐标原点，且与两坐标轴分别交于点A与点B，点A的坐标为（0，4），M
是圆上一点，∠BMO=120°．
（1）求证：AB为⊙C直径．
（2）求⊙C的半径及圆心C的坐标．
y
A
C
B O x
M
答案:
5一、1．D 2．B 3．D
二、1．120°或60° 2．90° 3． 3
3
三、1． 2．（1）证明：∵∠ABC=∠APC=60°，
3
又 ，∴∠ACB=∠ABC=60°，∴△ABC为等边三角形．
AB AC
（2）解：连结OC，过点O作OD⊥BC，垂足为D，
在Rt△ODC中，DC=2，∠OCD=30°，
4
设OD=x，则OC=2x，∴4x2-x2=4，∴OC= 3
3
3．（1）略 （2）4，（-2 ，2）
3
6
