文档内容
24.1 圆的有关性质
24.1.4 圆周角
教学目标：
1、理解圆周角的概念．
2、掌握圆周角定理及其推论．
3、理解圆内接四边形的性质，探究四点不共圆的性质．
教学重难点：圆的性质的综合应用．
知识点一：圆周角的定义
圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．
例题.下列四个图中，∠x是圆周角的是（ ）
A． B． C． D．
变式.下列图形中，是圆周角的是（ ）
A． B． C． D．
知识点二：圆周角定理
圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
例题1．如图，点A、B、C都在⊙O上，且点C在弦AB所对的优弧上，如果∠AOB=64°，那么∠ACB的
度数是（ ）A．26° B．30° C．32° D．64°
例题2．如图，在⊙O中，AB是直径，AC是弦，连接OC，若∠ACO=30°，则∠BOC的度数是（ ）
A．30° B．45° C．55° D．60°
变式 1．已知，如图，AB 是⊙O 的直径，点 D，C 在⊙O 上，连接 AD、BD、DC、AC，如果
∠BAD=25°，那么∠C的度数是（ ）
A．75° B．65° C．60° D．50°
变式2．如图，在⊙O中，弦AB∥CD，若∠ABC=40°，则∠BOD=（ ）
A．80° B．50° C．40° D．20°
变式3．如图，△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的直径，∠A=35°，则∠BCD的度数是（ ）A．55° B．65° C．70° D．75°
变式4．如图，已知AB、AD是⊙O的弦，∠B=20°，∠D=15°，则∠BAD的度数是（ ）
A．30° B．45° C．20° D．35°
知识点三：圆周角定理的推论
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（1）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌
握．
（2）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角
的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”---圆心角转化．③定理成立的条件是“同
一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一
条弧所对的圆周角和圆心角．
例题1．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，弦BD平分∠ABC，则下列结论错误的是（ ）
A．AD=DC B． C．∠ADB=∠ACB D．∠DAB=∠CBA例题2．如图，OA是⊙O的半径，弦BC⊥OA，D是⊙O上一点，若∠ADB=28°，则∠AOC的度数为（
）
A．14° B．28° C．56° D．84°
变式2．如图，C、D是以AB为直径的⊙O上的两个点，∠ACD=15°，则∠BAD的度数为（ ）
A．15° B．30° C．60° D．75°
变式3．如图，AB是半圆O的直径，C、D、E是半圆的四等分点，CH⊥AB于H，连接BD、
EC相交于F点，连接AC、EH，下列结论：
①CE=2CH；②∠ACH=∠CEH；③∠CFD=2∠ACH，
其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．只有①② C．只有①③ D．只有③
知识点四：圆内接多边形及圆内接四边形的性质
四个顶点都在圆上的四边形叫圆内接四边形，且圆内接四边形对角互补例题．如图，点 A，B，C，D 在⊙O 上，O 点在∠D 的内部，四边形 OABC 为平行四边形，则
∠OAD+∠OCD等于（ ）
A．105° B．90° C．75° D．60°
变式1．如图，点A、B、C、D都在⊙O上，且四边形OABC是平行四边形，则∠D的度数为（ ）
A．45° B．60° C．75° D．不能确定
变式2．如图，AB是⊙O的直径，D为 的中点，∠B=40°，则∠C的度数为（ ）
A．80° B．100° C．110° D．140°
变式3．如图，以AC为斜边在异侧作Rt△ABC和Rt△ADC，∠ABC=∠ADC=90°，∠BCD=45°，BD=4，
则AC的长度为（ ）A．8 B．4 C．6 D．
拓展点一：与圆周角有关的计算
例题1．如图，已知点A，B，C，D均在⊙O上，CD为∠ACE的角平分线．
（1）求证：△ABD为等腰三角形；
（2）若∠DCE=45°，BD=6，求⊙O的半径．
例题2．如图，BE是⊙O的直径，半径OA⊥弦BC，点D为垂足，连AE，EC．
（1）若∠AEC=28°，求∠AOB的度数；
（2）若∠BEA=∠B，BC=6，求⊙O的半径．变式1．如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E．
（1）若∠B=80°，求∠CAD的度数；
（2）若AB=8，AC=6，求DE的长．
变式 2．如图，△ABC 内接于⊙O，AB 为直径，点 D 是 上一点，且∠DAC=∠DBA，过点 D 作
DE⊥AB，垂足为点E，连结AD．
（1）求证：DB平分∠CBA；
（2）连接CD，若CD=5，BD=12，求⊙O的半径．
拓展点二：与圆周角有关的证明
例题1．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是弧AC上任意一点，延长AG，与DC的延长线
交于点F，连接AD，GD，CG．（1）求证：∠AGD=∠FGC；
（2）若AG•AF=48，CD=4 ，求⊙O的半径．
例题2．如图，已知⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC=∠CPB=60°
（1）当点P位于 的什么位置时，四边形APBC的面积最大？并求出最大面积；
（2）试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论．
变式1．如图，AB是⊙O的直径，弦BC长为 ，弦AC长为2，∠ACB的平分线交⊙O于点D．
（1）求AD的长．
（2）求CD的长．变式2．如图，A、P、B、C是⊙O上的四点，∠APC=∠BPC=60°，AB与PC交于点Q；
（1）判断△ABC的形状，并证明你的结论；
（2）若∠ABP=15°，△ABC的面积为4 ，求PC的长．
拓展点三：与圆内四边形性质相关的证明题
例题1．如图，⊙O的直径AB=10m，C为直径AB下方半圆上一点，∠ACB的平分线交⊙O于点D，连接
AD、BD．
（1）判断△ABD的形状，并说明理由；
（2）若弦AC=6cm，求BC的长．
例题2．已知：A、B、C、D四点均在⊙O上，点E在CD的延长线上，AB=AC．求证：DA平分∠BDE．变式1．已知点A、B、C、D四点在O上；
（1）若∠ABC=∠ADB，求证：AB=AC；
（2）若∠CAD=∠ACD，求证：BD平分∠ABC．
变式2．如图，AB是⊙O的直径，弦BC长为 ，弦AC长为2，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求AB
和AD的长．拓展点四：与圆内接四边形性质相关的计算题
例题1．如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A、C、D，与BC相交于点E，连接AC、AE．若
∠D=78°，则∠EAC= 2 7 °．
例题2．如图，已知A、B、C是⊙O上的三个点，∠ACB=110°，则∠AOB= ．
变式1．如图，已知AB是⊙O的直径，BC为弦，过圆心O作OD⊥BC交弧BC于点D，连接DC，若
∠DCB=32°，则∠BAC= ．
变式2．如图，点A、B、C、D在同一个圆上，DB=DC，DA、CB的延长线相交于点E，若∠BDC=a，则
∠EAB= （用含a的式子表示）拓展点五：圆有关性质的综合应用
易错点：在求弦所对的圆周角的角度时，容易漏解
例题．△ABC为⊙O的内接三角形，若∠AOC=160°，则∠ABC的度数是（ ）
A．80° B．80°或100° C．100° D．160°或20°
变式1．若圆的一条弦把圆分成度数比为1：4的两段弧，则弦所对的圆周角等于（ ）
A．36° B．72° C．36°或144° D．72°或108°
变式2．∠AOB=100°，点C在⊙O上，且点C不与点A，B重合，则∠ACB的度数为（ ）
A．50° B．80°或50° C．130° D．50°或130°
