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专题 02 高等数学背景下的创新问题
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题型01 泰勒公式与帕德近似
题型02 罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、微积分
题型03 行列式与矩阵
题型04 初等数论
题型05 平面几何
题型 01 泰勒公式与帕德近似
【解题规律·提分快招】
1、泰勒公式有如下特殊形式：当 在 处的 阶导数都存在时，
．注： 表示 的2阶导数，即
为 的导数， 表示 的 阶导数，该公式也称麦克劳林公式．
2、【极值点第二充分条件】已知函数 在 处二阶可导，且
（1）若 ，则 在 处取得极小值；
（2）若 ，则 在 处取得极大值.
3、帕德近似是法国数学家亨利．帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法．给定两个正整数m，
n，函数 在 处的 阶帕德近似定义为： ，且满足： ，
， ，…， ．（注： ， ，
， ，…； 为 的导数）.
【典例训练】
一、解答题
1．（2024高三下·全国·专题练习）英国数学家泰勒发现了如下公式： ，
，其中 ．这些公式被编入计算工具，计算工具计算足够多的项就可以确保显示值的精确性．
(1)用前三项计算 ；
(2)已知 ， ， ，试证明： ．
2．（24-25高三上·四川自贡·期中）新信息题型是目前高考的热点题型.这类题要求答题者在有限的时间
内，阅读并理解题目所给予的信息，根据获取的信息解答问题.请同学们根据以下信息回答问题：
(1)在高等数学中，我们将 在 处可以用一个多项式函数近似表示，具体形式为：
，（其中 表示 的
次导数 ， ），以上公式我们称为函数 在 处的泰勒展开式，当 时泰勒展开式也
称为麦克劳林公式，比如 在 处的麦克劳林公式为： ，由此当
时，可以非常容易得到不等式 ， ， ， ，请利用上述公
式和所学知识写出 在 处的泰勒展开式；（写出展开式的前三项即可）
(2)设 为正整数，数列 ， ， ， 是公差不为0的等差数列，若从中删去两项 和 后剩
余的 项可被平均分为 组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列 ， ， ， 是
一可分数列.请写出所有的 ， ，使数列 ， ， ， 是 —可分数列.
3．（24-25高三上·重庆·阶段练习）给定两个正整数 ， ，函数 在 处的 阶帕德近似定
义为： ，且满足： ， ，
.已知 在 处的 阶帕德近似 注：
， ， ， ，…
(1)求 ， ， 的值；
(2)比较 的大小，并说明理由；
(3)求不等式 的解集，其中
4．（23-24高三下·安徽滁州·期末）1715年英国数学家泰勒发现了如下公式：
（其中 ， 为自然对数的底数， ）.已知.
(1)证明： ；
(2)设 ，证明： ；
(3)若 ， 恒成立，求 的取值范围.
5．（23-24高三下·四川成都·期中）帕德近似是法国数学家亨利帕德发明的用有理多项式近似特定函数的
方法.给定两个正整数m，n，函数 在 处的 阶帕德近似定义为：
，且满足： ， ， ，…， .（注：
， ， ， ，…； 为 的导
数）.
(1)求函数 在 处的 阶帕德近似函数 ；
(2)在（1）的条件下，试比较 与 的大小；
(3)在（1）的条件下，若 在 上存在极值，求m的取值范围.
题型 02 罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、微积分
【解题规律·提分快招】
1、拉格朗日中值定理又称拉氏定理：如果函数 在 上连续，且在 上可导，则必有
，使得 .
2、罗尔定理描述如下：如果 上的函数 满足以下条件： 在闭区间 上连续， 在开区间
内可导， ，则至少存在一个 ，使得① ． ②
3、微积分
③
知识卡片1：一般地，如果函数 在区间 上连续，用分点 将
区
间 等分成 个小区间，在每个小区间 上任取一点 ，作和式
（其中 为小区间长度），当 时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数 在区间 上的定积分，记作 即 .这里， 与
分别叫做积分下限与积分上限，区间 叫做积分区间，函数 叫做被积函数， 叫做积分变量，
叫做被积式.从几何上看，如果在区间 上函数 连续且恒有 ，那么定积分
表示由直线 和曲线 所围成的曲边梯形的面积.
知识卡片2：一般地；如果 是区间 上的连续函数，并且 ，那么
.这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿-莱布尼茨公式.
【典例训练】
一、解答题
1．（23-24高三下·吉林松原·期末）罗尔 中值定理是微分学中的一条重要定理，根据它可以推出
拉格朗日 中值定理和柯西 中值定理，它们被称为微分学的三大中值定理. 罗尔中值定
理的描述如下：如果函数 满足三个条件 在闭区间 上的图象是连续不断的， 在开区间
内是可导函数， ，那么在① 内至少存在一点 ，使得等②式 成
立.
③
(1)设方程 有一个正根 ，证明：方程 必
有一个小于 的正根.
(2)设函数 是定义在 上的连续且可导函数，且 .证明：对于 ，方程
在 内至少有两个不同的解.
(3)设函数 .证明：函数 在区间 内至少存在一个零
点.
2．（2024·安徽六安·模拟预测）罗尔中值定理是微分学中一条重要的定理，是三大微分中值定理之一，
其他两个分别为：拉格朗日中值定理、柯西中值定理．罗尔定理描述如下：如果 上的函数 满足以
下条件： 在闭区间 上连续， 在开区间 内可导， ，则至少存在一个
，使得 ① ．据此，解决以下问②题： ③
(1)证明方程 在 内至少有一个实根，其中 ；
(2)已知函数 在区间 内有零点，求 的取值范围．
3．（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）已知函数 ， .(1)当 时，求函数 在区间 上的最小值；
(2)若函数 在区间 上单调递减，求a的取值范围；
(3)若函数 的图象上存在两点 ， ，且 ，使得 ，则
称 为“拉格朗日中值函数”，并称线段 的中点为函数的一个“拉格朗日平均值点”.试判断函数
是否为“拉格朗日中值函数”，若是，判断函数 的“拉格朗日平均值点”的个数；若不是，说明理
由.
4．（24-25高三上·江西鹰潭·阶段练习）法国数学家拉格朗日于1797年在其著作《解析函数论》中给出
了一个定理，具体如下:如果函数 满足如下条件： 在闭区间 上的图象是连续的； 在开区
① ②
间 上可导，则在开区间 上至少存在一个实数 ，使得 成立，人们称此定理
为“拉格朗日中值定理”.
(1)已知 且 ，
（i）若 恒成立，求实数 的取值范围；
（ii）当 时，求证： .
(2)已知函数 有两个零点，记作 ，若 ，证明：
5．（2024·广西来宾·模拟预测）已知： 定积分的定义：
设 为定义在 上的连续非负函①数，为求 轴围成的曲边梯形的面积，可采
取如下方法：
将区间 分为 个小区间，每个小区间长度为 ，每个区间即可表示为
，再分别过每个区间的左右端点作 轴的垂线与 图象相
交，即可得到一个小的曲边梯形.如图，当 时，每个小曲边梯形可近似看作矩形，矩形的宽即为每个小区间的长度，长可由每个小区间内
的任一点的函数值近似代替（一般用区间端点的函数值），将这样无穷多个小矩形的面积相加，所得之和
即为所求的由 轴围成的曲边梯形的面积，即 ，上式
也记为 ，即对 在 上求定积分.
定积分的计算： 其中 .
根据以上信息，回答以下问题：
②
(1)已知 ，求证： .
(2)将 轴围成的图形面积分别表示为定积分的形式与面积和的极限形式，并求其值；
(3)试证明： .
题型 03 行列式与矩阵
【解题规律·提分快招】
线性代数中处理新定义问题时，首要任务是准确理解新定义的本质。方法技巧上，可以采取以下步骤：
一、深入剖析新定义，明确其内涵与外延，把握关键要素。
二、尝试将新定义与已知概念、定理或性质建立联系，利用已有知识体系进行推理。
三、在解题过程中，灵活运用矩阵运算、线性变换、特征值与特征向量等工具，以及适当的代数或
几何方法。
四、注重验证结果的正确性，确保解题步骤和答案无误。
总结时，应强调新定义在解题中的关键作用，回顾解题过程中用到的关键知识点和技巧。同时，总
结新定义问题的常见类型和解题思路，以便在遇到类似问题时能迅速找到解决方法。通过不断练习和总
结，可以逐渐提高解决线性代数新定义问题的能力，加深对线性代数学科的理解和掌握。
【典例训练】
一、解答题
1．（24-25高三上·青海西宁·期中）定义：二阶行列式 ；三阶行列式，D的某一元素 的余子式 指的是在D中划去 所在的行和列后所余下的元素按
原来的顺序组成的二阶行列式．现有三阶行列式 ．
(1)若元素1的余子式 ，求x的值；
(2)记元素2的余子式 为函数 ，求 的单调减区间．
2．（24-25高三上·山东潍坊·阶段练习）设数阵 ，其中 .设
，其中 且 .定义变换 为“对于数阵的每一
列，若其中有 或 ，则将这一列中所有数均保持不变；若其中没有 且没有 ，则这一列中每个数都乘
以 ”， 表示“将 经过 变换得到 ，再将 经过 变换得到 ，以
此类推，最后将 经过 变换得到 ”.记数阵 中四个数的和为 .
(1)若 ，写出 经过 变换后得到的数阵 ，并求 的值；
(2)若 ，求所有 取值的和；
(3)对任意确定的一个数阵 ，证明：所有 取值的和不大于 ；
(4)如果 ，其他条件不变，你研究（1）后得出什么结论？
3．（24-25高三上·北京顺义·期末）已知 行 列 的数表 的分量
都是非零整数．若数表 满足如下两个性质，则称数表 为规范表：
对任意 ， ， ，…， 中有 个 ，1个1；
①存在 ，使得 ， ，…， 都是正整数．
②
(1)分别判断数表 ， 是否为规范表；（直接写出结论）(2)当 时，是否存在规范表 满足 ？若存在，请写出一个；若
不存在，请说明理由；
(3)当 时，是否存在规范表 满足 ？若存在，求出 的最小值；
若不存在，请说明理由．
题型 04 初等数论
【解题规律·提分快招】
数论中，新定义往往源于对数的性质、运算规律及数列模式的深入探索。方法上，我们强调逻辑推
理的严密性，运用归纳法、反证法等技巧解决复杂问题。同时，注重数与形的结合，通过图形直观展示
数论概念，降低理解难度。
【典例训练】
一、解答题
1．（23-24高三下·广西柳州·阶段练习） 表示正整数a，b的最大公约数.若
，且 ，则将k的最大值记为
，例如：
(1)求 ;
(2)设 ，数列 的前n项和为 证明：
2．（23-24高三下·湖北·阶段练习）设 ，我们常用 来表示不超过 的最大整数.如：
.
(1)求证： ；
(2)解方程： ；
(3)已知 ，若对 ，使不等式
成立，求实数 的取值范围.
3．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）小学我们都学过质数与合数，每一个合数都能分解为若干个质数
的积，比如 ， 等等，分解出来的质数称为这个合数的质因子，如2，3都是6的
质因子．在研究某两个整数的关系时，我们称它们是互质的，如果它们没有相同的质因子．例如25的质
因子只有5，而36的质因子只有2，3，所以25，36是互质的．为方便表示，对于任意的正整数 ，我们
将比 小且与 互质的正整数的个数记为 ．例如，小于10且与10互质的数有1，3，7，9，所以，同理有 ．
(1)求 ， ；
(2)求所有 ， ，使得 是奇数；
(3)若正整数 ，其中 表示互不相同的质数．证明：
.
题型 05 平面几何
【解题规律·提分快招】
平面几何中，新定义关注图形的性质、变换及相互关系。方法上，我们运用公理化体系，从基本性
质出发推导出复杂结论。此外，注重图形的构造与变换，通过旋转、平移等操作揭示几何规律。
【典例训练】
一、解答题
1．（23-24高三上·浙江宁波·开学考试）（1）如图，已知在 中， ， 为内心， 分
别在边 上，且 过 ， ， ， ，求 的长；
（2）如图，已知在等腰 中， 是边 上一点， ， 是 上一点， ，
延长线交 于点 ，求 的值.
2．（24-25高三上·上海·期中）世界上除了圆形的轮子之外，还有一些好事之徒制作了不少形状的多边形
轮子.(1)如图，平面直角坐标系内有一个边长为1的正方形 ，其初始位置为 ， ， ，
.
将整个正方形 绕点 顺时针旋转，使点 首次旋转到 轴正半轴上停止：
①再将整个正方形 绕点 顺时针旋转，使点 首次选择到 轴正半轴上停止；
②再将整个正方形 绕点 顺时针旋转，使点 首次选择到 轴正半轴上停止；
③再将整个正方形 绕点 顺时针旋转，使点 首次选择到 轴正半轴上停止.
④我们将上述四个步骤依次操作一遍，称为将正方形 “滚动”一周.
为使点 向 轴正方向移动100个单位长度，需要将正方形 “滚动”______周，在这个过程中，点
经过的路径总长度为______个单位长度；
(2)如果制造一个正 边形的“轮子”，该正 边形的中心到任意一个顶点的距离为1，并将该正 边形的“轮
子”滚动一周，求点 经过的路径总长度；
(3)根据（2）中结果猜想：半径为1的圆形轮子在平地上滚动一周，则圆周上任意一点经过的路径总长度
是多少？（不必说明理由）
3．（24-25高三上·福建厦门·阶段练习）阅读材料：
折纸几何学是指从数学的角度对折叠过程加以研究，如欧几里德为平面几何设计了公理一样，现代数学家
藤田文章（Humiaki Huzita）和羽鸟公士郎（Koshiro Hatori）设计了一套完整的公理体系来描述折纸操作
——Huzita-Hatori公理，假定所有折纸操作均在理想的平面上进行，并且所有折痕都是直线，这些公理描
述了通过折叠纸张可能达成的所有操作，其中的第六条公理叙述如下：
·给定两个点， ， 和两条相交直线 ， ，存在一个折叠，可以使 落在 上，同时 落在 上．
（如图1）
不同于尺规作图，折纸操作在折叠过程借用了三维空间，翻转了“平面”，借助这些公理，可解决一些尺规
作图无法解决的作图问题．（ⅰ）倍立方体问题：作出体积是给定正方体两倍的正方体棱长
如图19-2，首先将正方形ABCD三等分，
将B折到线段AD上，同时将M折到线段PQ上，
①
②
则 点将AD分成两段，其长度之比恰为所求．
③
（ⅱ）三等分锐角问题：（如图19-3）
在矩形纸ABCD上折出锐角
在AD上标注点M，对折AM，折痕记为NQ；
①
折叠纸张，使得点M落到AE上，点A落到NQ上，
②
把M、N、A落地点分别记为P、H、G，折痕记为RF；AH、AG就是 的三等分线
③
④
结合阅读材料解决以下问题：
(1)在平面直角坐标系中，已知 ， ，若能通过折叠使A，B分别落在x轴，y轴上，求折痕
所在直线l的方程；
(2)求证：在倍立方体问题中， ；
(3)如图4，直线 的倾斜角为 ，若直线n过原点，且倾斜角为 ，请结合三等分锐角的案例，
设计折出直线n的步骤，并加以证明．
一、解答题
1．（23-24高三上·福建泉州·阶段练习）如图， 内接于 ， 是 的内心，过 作 的垂线交 于点 ，交 于点 ， 是 的中点，连接 ，过 作 于点 .证明：
(1) ；
(2) 、 、 、 四点共圆.
2．（23-24高三下·北京海淀·开学考试）已知x为实数，用 表示不超过x的最大整数．例如 ，
， ．若对于函数 ，存在实数 且 ，使得 ，则称函数
是 函数．
(1)直接写出下列式子的值： ； ； ；
(2)分别判断函数 ， 是否是 函数；（只需写出结论）
(3)已知 ，请写出一个a的值，使得 是 函数，并给出证明；
(4)定义：对于函数 ，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，
都成立，那么就把 叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期．如果
在所有的周期中存在一个最小的正数，就把它叫做 的最小正周期．设函数 是定义在R上的
周期函数．其最小正周期为T，若 不是 函数．求T的最小值
3．（2024高三上·全国·竞赛）在锐角 中， 为 延长线上一点，过 分别作 ， 平行线
， ，若 ， ，且 的外接圆与 交于点 ，证明：
(1) ；
(2) ．
4．（2024·湖南·二模）罗尔定理是高等代数中微积分的三大定理之一，它与导数和函数的零点有关，是
由法国数学家米歇尔·罗尔于1691年提出的．它的表达如下：如果函数 满足在闭区间 连续，在
开区间 内可导，且 ，那么在区间 内至少存在一点 ，使得 ．
(1)运用罗尔定理证明：若函数 在区间 连续，在区间 上可导，则存在 ，使得．
(2)已知函数 ，若对于区间 内任意两个不相等的实数 ，都有
成立，求实数 的取值范围．
(3)证明：当 时，有 ．
5．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）在平面直角坐标系中，若点 满足 都是整数，则称
点 为格点.
(1)指出椭圆 上的所有格点；
(2)设 是抛物线 上的两个不同的格点，且线段 的长度是正整数.求直线 的斜率的所有可能
值；
(3)设 且 项的数列 满足：点 是函数 的图象上的格点
.则是否存在正整数 ，使得数列 为常数列；若存在，请求出正整数 的取值范围；
若不存在，请说明理由.
6．（24-25高三上·广东·阶段练习）定理：如果函数 在闭区间 上的图象是连续不断的曲线，在
开区间 内每一点存在导数，且 ，那么在区间 内至少存在一点c，使得 ，
这是以法国数学家米歇尔•罗尔的名字命名的一个重要定理，称之为罗尔定理，其在数学和物理上有着广
泛的应
用.
(1)设 ，记 的导数为 ，试用上述定理，说明方程 根的个
数，并指出它们所在的区间；
(2)如果 在闭区间 上的图象是连续不断的曲线，且在开区间 内每一点存在导数，记 的
导数为 ，试用上述定理证明：在开区间 内至少存在一点c，使得 ；
(3)利用（2）中的结论，证明：当 时， （ 为自然对数的底数）.
7．（2024·浙江温州·模拟预测）复平面是人类漫漫数学历史中的一副佳作，他以虚无缥缈的数字展示了
人类数学最纯粹的浪漫．欧拉公式可以说是这座数学王座上最璀璨的明珠，相关的内容是，欧拉公式:
，其中 表示虚数单位， 是自然对数的底数．数学家泰勒对此也提出了相关公式:其中的感叹号!表示阶乘 ，试回答下列问题：
(1)试证明欧拉公式．
(2)利用欧拉公式，求出以下方程的所有复数解．
； ；
①(3)求出角度②的 倍角公式(用 表示， )．
8．（24-25高三上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）行列式在数学中，是一个函数，其定义域为 的矩阵
A，取值为一个标量，写作 或 ．无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换
元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用．将形如 的符号称二阶行列式，
并规定二阶的行列式计算如下： ，设函数 ．
(1)求 的对称轴方程；
(2)在 中，若 ， ， ，对任意实数t恒有 ，求 面积
的最大值；
(3)在 中，若 ，点I为内心，且满足 ，求 的最大值．
9．（2024·湖北·二模）微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展和广泛应用开创了向近代数学过
渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段．对于函数 在区间 上
的图像
连续不断，从几何上看，定积分 便是由直线 和曲线 所围成的区域（称为曲边
梯形 ）的面积，根据微积分基本定理可得 ，因为曲边梯形 的面积小于梯形
的面积，即 ，代入数据，进一步可以推导出不等式： ．
(1)请仿照这种根据面积关系证明不等式的方法，证明： ；(2)已知函数 ，其中 ．
证明：对任意两个不相等的正数 ，曲线 在 和 处的切线均不重合；
①当 时，若不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
②
10．（2024·山西·三模）微分中值定理是微积分学中的重要定理，它是研究区间上函数值变化规律的有效
工具，其中拉格朗日中值定理是核心，它的内容如下:
如果函数 在闭区间 上连续，在开区间 可导，导数为 ，那么在开区间 内至少存在
一点 ，使得 ，其中 叫做 在 上的“拉格朗日中值点”.已知函数
.
(1)若 ，求函数 在 上的“拉格朗日中值点” ；
(2)若 ，求证:函数 在区间 图象上任意两点 ， 连线的斜率不大于 ；
(3)若 ，且 ，求证: .
11．（24-25高三上·安徽·阶段练习）法国著名数学家拉格朗日给出一个结论：若函数 在闭区间
上的图象是一条连续不断的曲线，在开区间 上都有导数，则在区间 上存在实数 ，使得
，这就是拉格朗日中值定理，其中 称为 在区间 上的“拉格朗日中值”.
已知函数 .
(1)利用拉格朗日中值定理求函数 在 上的“拉格朗日中值”；
(2)利用拉格朗日中值定理证明：函数 上任意两点连线的斜率不小于 ；
(3)针对函数 ，请证明拉格朗日中值定理成立.
12．（24-25高三上·湖北·开学考试）已知函数 .
(1)当 时，求 的单调区间；
(2)若 在 上恒成立，求实数 的取值范围；
(3)帕德近似（Pade approximation）是数学中常用的一种将三角函数､指数函数､对数函数等“超越函数”在
一定范围内用“有理函数”近似表示的方法，比如在 附近，可以用 近似表示 .
（i）当 且 时，试比较 与 的大小；（ii）当 时，求证： .
13．（2024·湖南湘西·模拟预测）帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理函数近似特定函数的方
法．给定自然数m，n，我们定义函数 在 处的 阶帕德近似为 ，该
函数满足 ．
注： ．
设函数 在 处的 阶帕德近似为 ．
(1)求 的解析式；
(2)证明：当 时， ；
(3)设函数 ，若 是 的极大值点，求k的取值范围．
14．（2024·贵州遵义·三模）英国数学家泰勒（B．Taylor，1685—1731）发现了：当函数 在定义域
内n阶可导，则有如下公式：
以上公式称为函数
的泰勒展开式，简称为泰勒公式．其中， ， 表示 的n阶导数，即 连
续求n次导数．根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题：
(1)写出 的泰勒展开式（至少有5项）；
(2)设 ，若 是 的极小值点，求实数a的取值范围；
(3)若 ，k为正整数，求k的值．
15．（24-25高三上·全国·阶段练习）如果 和 除以 所得余数相同，则称 对模 同余，记作
，
若集合 ，集合 ，现从集合 中的 个数中可以抽出 个数，
（ ）且 ，使这 个数平均分为 组，若存在一组数对 (三者不相等）且满足 恰好
能被 整除， 对模 同余，则 为“灵魂莲华集合”， 为“灵魂莲华数对”
(1)判断 为“灵魂莲华集合”
(2)若 ，判断有多少组数对 为灵魂莲华数对
(3)现从素数集合 中任取三个不同的数 ，若 构成公差为8的等差数列，求证：无论且 为任何集合，最多有一对满足条件的 为灵魂莲华数对．
