24.1.4圆周角（第1课时）（导学案）-（人教版）_初中数学_九年级数学上册（人教版）_导学案

24.1.4 圆周角（第一课时） 导学案 学习目标 1 理解圆周角的定义. 2 掌握圆周角定理及推论. 3 结合圆周角定理的探索与证明的过程，进一步体会分类讨论、化归的思想方法． 重点难点突破 ★知识点1： 圆周角定义：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角. ★知识点2： 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． ★知识点3： 圆周角定理推论： 1）同弧或等弧所对的圆周角相等. 2）直径(或半圆)所对的圆周角是直角； 90°的圆周角所对的弦是直径，所对的弧是半圆. 核心知识 一、圆周角定义：顶点在________，两边都和圆________的角叫做圆周角. 二、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的________________． 三、 圆周角定理推论： 1）________________________所对的圆周角相等. 2）________________所对的圆周角是________________； ________的圆周角所对的弦是________，所对的弧是________. 思维导图 引入新课【提问】简述圆心角的定义？说出圆心角的判断方法？ 新知探究 如图，把圆心角∠AOB的顶点O拉到圆上，得到∠ACB. C 【问题一】∠ACB有什么特征？它与∠AOB有何异同？ O 【问题二】你能仿照圆心角的定义给∠ACB取一个名字并下定义吗？ A B 典例分析 例1 下列四个图中，∠x是圆周角的是( ) 【针对训练】 1.你能指出右图中的圆周角吗？ 新知探究 【提问一】在纸上画出一个圆，并截取任意一条圆弧画出其所对的圆心角和圆周角，测量它们的度数，你 发现了什么？【提问二】在圆上任取 ⏜ ，画出圆心角∠BOC和圆周角∠BAC，圆心角与圆周角有几种位置关系？ BC 【探究】尝试分以下三种情况验证：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半？ 典例分析 例 2．如图，⊙O 中弦 BC 与半径 OA 相交于点 D，连接 AB，OC，若∠A=60°， ∠ADC=85°，则∠C的度数是（ ） A．25° B．27.5° C．30° D．35° 【针对训练】 1.如图，AB是⊙O直径，若∠AOC＝140°，则∠D的度数是（ ） A．20° B．30° C．40° D．70°2．如图，AB为⊙O直径，点C，D为⊙O上两点，若∠C+∠AOD=145∘，则∠C的大小是（ ） A．30° B．35° C．40° D．45° 3.如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，交⊙O于点C，连接OA，OB，BC，若∠ABC＝20°，则∠AOB的度数是（ ） A．40° B．50° C．70° D．80° 4．如图，已知△ACD和△ABE都内接于同一个圆，则∠ADC+∠AEB+∠BAC=( ) A．90° B．180° C．270° D．360° 5．如图，ΔABC内接于⊙O，∠BAC=30°，BC=6，则⊙O的直径等于多少？ 探究新知 【提问一】回顾同圆和等圆中，圆心角、弧、弦之间的关系吗？ 【提问二】想一想圆周角、弧、弦之间的关系吗？ 【探究一】在同圆或等圆中，同弧所对应的圆周角有什么关系？如图，在⊙O中， ⏜ ∠BAC与∠BDC同BC，∠BAC与∠BDC有什么关系？ 【探究二】在同圆或等圆中，两条弧相等，则他们所对应的圆周角有什么关系？ 如图，在⊙O中 ⏜ = ⏜ ，则∠BDC与∠CAE有什么关系？ BC CE 【提问】你能归纳出圆周角的第一条推论吗？ 【探究三】回答下面问题： 1.如图1，AB为⊙O的直径，它所对的圆心角是多少？ 2.如图1，AB为⊙O的直径，它所对的圆周角是多少？ 3.如图2，AB为⊙O的直径，若改变点C的位置，它所对的圆 周角度数会改变吗？ 4.如图1，在⊙O中若∠C=90°，弦AB经过圆心吗？为什么？ 【提问】你能归纳出圆周角的第二条推论吗？ 典例分析 例3 如图，⊙O的直径AB为10 cm，弦AC为 6 cm，ACB 的平分线交⊙O 于点 D，求 BC，AD，BD 的长．【针对训练】 1.（2019滨州市中考）如图，AB为⊙O的直径，C,D为⊙O上两点，若∠BCD＝40°，则∠ABD的 大小为（ ）． A．60° B．50° C．40° D．20° 2.如图，在⊙O中弦AB、CD相交于点P，若∠A＝20°，∠APD＝70°，则∠B等于（ ） A．30° B．35° C．40° D．50° 3.如图，AB为⊙O直径，CD为⊙O的弦，∠ACD=25°，∠BAD的度数为_______． 4. 如图，AB是⊙O的直径，C，D是圆上两点，连接AC，BC，AD，CD．若∠CAB=55°，则∠ADC的度数为 （ ） A．55° B．45° C．35° D．25° 5．如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，∠ADC＝106°，则∠CAB等于（ ） A．10° B．14° C．16° D．26°6.如图，在⊙A中，已知弦BC=8 DE=6，∠BAC+∠EAD=180°，则⊙A的半径长为（ ） A．10 B．6 C．5 D．8 7.如图，⊙O的直径AB与弦CD垂直，且∠BAC=40°，则∠BOD= 8. 有一个圆形模具，现在只有一个直角三角板，请你找出它的圆心？ 能力提升 1．如图，BC为半圆O的直径，点F是弧BC上一动点（点F不与B、C重合），A是弧BF上的中点，设 ∠FBC=α，∠ACB=β． 当 时，求 的度数． (1) α=50∘ β (2)猜想α与β之间的关系，并给与证明． 感受中考 1．（2023·云南中考真题）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点．若∠BOC=66°，则∠A= （ ）A．66° B．33° C．24° D．30° 2．（2023·四川宜宾中考真题）如图，已知点 在 上， 为 ⏜ 的中点．若 ， A、B、C ⊙O C ∠BAC=35° AB 则∠AOB等于（ ） A．140° B．120° C．110° D．70° 3．（2023·湖南·统考中考真题）如图，点A，B，C在半径为2的⊙O上，∠ACB=60°，OD⊥AB， 垂足为E，交⊙O于点D，连接OA，则OE的长度为 ． 4．（2023·四川南充中考真题）如图，AB是⊙O的直径，点 D，M 分别是弦AC，弧AC的中点， AC=12,BC=5，则MD的长是 ． 课堂小结 1.圆周角的概念？2.圆周角定理？ 3.圆周角定理推论？ 【参考答案】 新知探究 如图，把圆心角∠AOB的顶点O拉到圆上，得到∠ACB. C 【问题一】∠ACB有什么特征？它与∠AOB有何异同？ 特征：顶点在圆上，两边都与圆相交. O A B 【问题二】你能仿照圆心角的定义给∠ACB取一个名字并下定义吗？ 顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角. 典例分析 例1 下列四个图中，∠x是圆周角的是( C ) 【针对训练】 1.你能指出右图中的圆周角吗？ ∠ADB、 ∠ACB、 ∠AEB、 ∠DAE、 ∠DBE、 ∠DAC、 ∠CAE、 ∠CBD、 ∠CBE、 新知探究 【提问一】在纸上画出一个圆，并截取任意一条圆弧画出其所对的圆心角和圆周 角，测量它们的度数，你发现了什么？ 1 经过测量∠BDC= ∠BAC 2 【提问二】在圆上任取 ⏜ ，画出圆心角∠BOC和圆周角∠BAC，圆心角与圆周角 BC有几种位置关系？ 三种 【探究】尝试分以下三种情况验证：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半？ 典例分析 例 2．如图，⊙O 中弦 BC 与半径 OA 相交于点 D，连接 AB，OC，若∠A=60°， ∠ADC=85°，则∠C的度数是（ D ） A．25° B．27.5° C．30° D．35° 【针对训练】 1.如图，AB是⊙O直径，若∠AOC＝140°，则∠D的度数是（ A ） A．20° B．30° C．40° D．70°2．如图，AB为⊙O直径，点C，D为⊙O上两点，若∠C+∠AOD=145∘，则∠C的大小是（B ） A．30° B．35° C．40° D．45° 3.如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，交⊙O于点C，连接OA，OB，BC，若∠ABC＝20°，则∠AOB的度数是（ D ） A．40° B．50° C．70° D．80° 4．如图，已知△ACD和△ABE都内接于同一个圆，则∠ADC+∠AEB+∠BAC=( B ) A．90° B．180° C．270° D．360° 5．如图，ΔABC内接于⊙O，∠BAC=30°，BC=6，则⊙O的直径等于多少？ 【详解】解：连接OB、OC，如图， ∵∠BOC＝2∠BAC＝2×30°＝60°而OB＝OC， ∴△OBC为等边三角形， ∴OB＝BC＝6， ∴⊙O的直径等于12．探究新知 【提问一】回顾同圆和等圆中，圆心角、弧、弦之间的关系吗？ 在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等． 【提问二】想一想圆周角、弧、弦之间的关系吗？ 1）同弧或等弧所对的圆周角相等. 2）直径(或半圆)所对的圆周角是直角； 90°的圆周角所对的弦是直径，所对的弧是半圆. 【探究一】在同圆或等圆中，同弧所对应的圆周角有什么关系？ 如图，在⊙O中， ⏜ ∠BAC与∠BDC同BC，∠BAC与∠BDC有什么关系？ 1 1 证明：根据圆周角定理可知，∠BAC= ∠BOC,∠BDC= ∠BOC 2 2 ∴∠BAC=∠BDC 【探究二】在同圆或等圆中，两条弧相等，则他们所对应的圆周角有什么关系？ 如图，在⊙O中 ⏜ = ⏜ ，则∠BDC与∠CAE有什么关系？ BC CE 如图，作出两弧所对应的圆心角. 1 1 根据圆周角定理可知，∠BDC= ∠BOC,∠CAE= ∠COE 2 2 又由 ⏜ = ⏜ 可知，∠BOC=∠COE. BC CE ∴∠BDC=∠CAE 【提问】你能归纳出圆周角的第一条推论吗？ 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等 【探究三】回答下面问题： 1.如图1，AB为⊙O的直径，它所对的圆心角是多少？90° 2.如图1，AB为⊙O的直径，它所对的圆周角是多少？180° 3.如图2，AB为⊙O的直径，若改变点C的位置，它所对的圆 周角度数会改变吗？不变 4.如图1，在⊙O中若∠C=90°，弦AB经过圆心吗？为什么？ ∵∠ACB=90°∴∠AOB=180°∴弦AB过圆心 【提问】你能归纳出圆周角的第二条推论吗？ 推论2：直径(或半圆)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径，所对的弧是半圆. 典例分析 例3 如图，⊙O的直径AB为10 cm，弦AC为 6 cm，ACB 的平分线交⊙O 于点 D，求 BC，AD，BD 的长． 解：连接 OD. ∵ AB 是⊙O 的直径， ∴ ACB=ADB=90°． 在 Rt△ABC 中， BCAB2AC210262（8cm）. ∵ CD 平分ACB，∴ ACD=BCD， ∴ AOD=BOD ．∴ AD=BD． 在Rt△ABD 中，AD2+BD2=AB2 ， ❑√2 ∴ AD=BD= AB=5❑√2 cm 2 【针对训练】 1.（2019滨州市中考）如图，AB为⊙O的直径，C,D为⊙O上两点，若∠BCD＝40°，则∠ABD的 大小为（ B ）． A．60° B．50° C．40° D．20° 2.如图，在⊙O中弦AB、CD相交于点P，若∠A＝20°，∠APD＝70°，则∠B等于（ D ） A．30° B．35° C．40° D．50° 3.如图，AB为⊙O直径，CD为⊙O的弦，∠ACD=25°，∠BAD的度数为__65°_____． 4. 如图，AB是⊙O的直径，C，D是圆上两点，连接AC，BC，AD，CD．若∠CAB=55°，则∠ADC的度数为（ C ） A．55° B．45° C．35° D．25° 5．如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，∠ADC＝106°，则∠CAB等于（ C ） A．10° B．14° C．16° D．26° 6.如图，在⊙A中，已知弦BC=8 DE=6，∠BAC+∠EAD=180°，则⊙A的半径长为（ C ） A．10 B．6 C．5 D．8 7.如图，⊙O的直径AB与弦CD垂直，且∠BAC=40°，则∠BOD=80° 8. 有一个圆形模具，现在只有一个直角三角板，请你找出它的圆心？ 能力提升 1．如图，BC为半圆O的直径，点F是弧BC上一动点（点F不与B、C重合），A是弧BF上的中点，设 ∠FBC=α，∠ACB=β． 当 时，求 的度数． (1) α=50∘ β(2)猜想α与β之间的关系，并给与证明． 感受中考 1．（2023·云南中考真题）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点．若∠BOC=66°，则∠A= （ B ） A．66° B．33° C．24° D．30° 2．（2023·四川宜宾中考真题）如图，已知点 在 上， 为 ⏜ 的中点．若 ， A、B、C ⊙O C ∠BAC=35° AB 则∠AOB等于（ A ） A．140° B．120° C．110° D．70° 3．（2023·湖南·统考中考真题）如图，点A，B，C在半径为2的⊙O上，∠ACB=60°，OD⊥AB， 垂足为E，交⊙O于点D，连接OA，则OE的长度为 1 ．4．（2023·四川南充中考真题）如图，AB是⊙O的直径，点 D，M 分别是弦AC，弧AC的中点， AC=12,BC=5，则MD的长是 4 ．