文档内容
24.1.4 圆周角（第一课时） 教学设计
一、内容和内容解析
1.内容
本节课是人教版《义务教育教科书•数学》九年级上册（以下统称“教材”）第二十四章
“圆”24.1.4 圆周角（第一课时），内容包括：圆周角概念，圆周角定理及其推论．
2.内容解析
类比圆心角的概念，让学生尝试归纳圆周角的概念.注意：圆心角的顶点在圆心，圆周角的顶点在圆
上. 圆周角定理揭示了一条弧所对的圆周角与圆心角之间的数量关系，从而把圆周角与相对应的弧、弦联
系起来．圆周角定理及其推论为与圆有关的角的计算及证明角、弧、弦相等数学问题提供了十分便捷的方
法和思路．圆周角定理的证明，采用完全归纳法．通过分类讨论，把一般问题转化为特殊情况来证明，渗
透了分类讨论和化一般为特殊的化归思想．
基于以上分析，确定本节课的教学重点是：理解与掌握圆周角定理．
二、目标和目标解析
1.目标
1）理解圆周角的定义.
2）掌握圆周角定理及推论.
3）结合圆周角定理的探索与证明的过程，进一步体会分类讨论、化归的思想方法．
2.目标解析
达成目标1）的标志是：能在具体的图形中正确识别一条弧所对的圆周角.
达成目标2）的标志是：能够应用圆周角定理或推论解决简单问题.
达成目标3）的标志是：能根据圆心与圆周角的位置关系对同弧所对的圆周角进行分类，理解证明圆
周角定理需要分三种情况的必要性；理解证明圆周角定理时，可以把圆心在圆周角的内部和外部两种情况
转化成特殊情况，从而证明定理．
三、教学问题诊断分析
对于圆周角定理的证明，因为圆心与圆周角具有三种不同的位置关系：圆心在圆周角的一边上，圆心
在圆周角的内部，圆心在圆周角的外部，所以证明要分情况讨论，学生初次探究时，可能遗漏某种情况．
本节课的教学难点是：分情况证明圆周角定理．
四、教学过程设计
（一）复习旧知，引入新课
【提问】简述圆心角的定义？说出圆心角的判断方法？师生活动：教师提出问题，学生回答．
【设计意图】先回顾圆心角的相关知识，为本节课学习圆周角做好铺垫。
（二）探究新知
C
如图，把圆心角∠AOB的顶点O拉到圆上，得到∠ACB.
【问题一】∠ACB有什么特征？它与∠AOB有何异同？
【问题二】你能仿照圆心角的定义给∠ACB取一个名字并下定义吗？ O
师生活动：教师提出问题，学生观察图形，教师引导学生结合图形认识到：
∠ACB的顶点在圆上，两边都与圆相交.进而与圆心角对比，使学生认识到：
A B
通过类比圆心角的概念，让学生尝试归纳圆周角的概念：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周
角.
【设计意图】理解圆周角的概念.
（三）典例分析与针对训练
例1 下列四个图中，∠x是圆周角的是( )
【针对训练】
1.你能指出右图中的圆周角吗？
【设计意图】考查学生对圆周角概念的理解.
（四）探究新知
【提问一】在纸上画出一个圆，并截取任意一条圆弧画出其所对的圆心角和圆周角，测量它们的度数，
你发现了什么？师生活动：教师提出问题，学生通过观察、度量、猜想∠BDC＝ ∠BAC．即一条弧所对的圆周角等于
它所对的圆心角的一半．
【提问二】在圆上任取 ⏜ ，画出圆心角∠BOC和圆周角∠BAC，圆心角与圆周角有几种位置关系？
BC
师生活动：学生动手画图、交流、思考，得到圆心与圆周角的三种位置关系：①圆心在圆周角的一边
上；②圆心在圆周角的内部；③圆心在圆周角的外部．
【设计意图】把直观操作与逻辑推理有机结合，使得推理论证成为学生观察、实验、探究得出结论的
自然延续．同时进一步明确证明的必要性和证明的方法．
【探究】尝试分以下三种情况验证：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半？
师生活动：学生结合三种位置的图形，认识到：第1种情况属于特殊情况，另外两种情况比2种情况
复杂．研究数学问题一般从特殊情况开始，再考虑其它情况能否转化成特殊情况．学生经过思考，尝试解
决，并给出证明过程，教师引导与提示，并得出：
证明：∵OA＝OC，∴∠A＝∠C
又∵∠BOC＝∠A ＋∠C
1
∴∠BAC= ∠BOC
2
教师指出：符号“=>”读作“推出”，“A =>B”表示由A条件推出结论B.
【设计意图】从特殊情况入手，证明猜想，既便于学生的学习，又为其他两种情况的证明提供了转化的方向．
师生活动：学生思考，尝试解决．如果学生有困难，教师可引导学生：能否将第2、3种情况转化成第
1种情况．根据学生的情况，师生共同完成第2、3种情况的证明．
证明：如图，连接AO并延长交⊙O于点D．
∵OA=OB，∴∠BAD=∠B．
又∵∠BOD=∠BAD+∠B，
1
∴∠BAD＝ ∠BOD
2
1
同理∠CAD＝ ∠COD
2
1
∴∠BAC=∠BAD+∠CAD= ∠BOC
2
第三种情况：
证明：如图，连接AO并延长交⊙O于点D．
∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA．
又∵∠BOD=∠OAB+∠OBA，
1
∴∠OAB＝ ∠BOD ①
2
1
同理∠CA0＝ ∠COD ②
2
1
由②−①得∠BAC= ∠BOC
2从而得到圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
【设计意图】将一般情况化为特殊情况，体现了化归的数学思想．学生通过证明三种情况，感受分类
证明的必要性，有利于逻辑推理能力的提升．
（五）典例分析与针对训练
例2．如图，⊙O中弦BC与半径OA相交于点D，连接AB，OC，若∠A=60°，∠ADC=85°，则∠C的度
数是（ ）
A．25° B．27.5° C．30° D．35°
【针对训练】
1.如图，AB是⊙O直径，若∠AOC＝140°，则∠D的度数是（ ）
A．20° B．30° C．40° D．70°
2．如图，AB为⊙O直径，点C，D为⊙O上两点，若∠C+∠AOD=145∘，则∠C的大小是（ ）
A．30° B．35° C．40° D．45°
3.如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，交⊙O于点C，连接OA，OB，BC，若∠ABC＝20°，则∠AOB的度数
是（ ）
A．40° B．50° C．70° D．80°4．如图，已知△ACD和△ABE都内接于同一个圆，则∠ADC+∠AEB+∠BAC=( )
A．90° B．180° C．270° D．360°
5．如图，ΔABC内接于⊙O，∠BAC=30°，BC=6，则⊙O的直径等于多少？
【设计意图】考查学生利用圆周角定理进行有关计算.
（六）探究新知
【提问一】回顾同圆和等圆中，圆心角、弧、弦之间的关系吗？
【提问二】想一想圆周角、弧、弦之间的关系吗？
师生活动：教师提出问题，学生回答．
【探究一】在同圆或等圆中，同弧所对应的圆周角有什么关系？
如图，在⊙O中， ⏜
∠BAC与∠BDC同BC，∠BAC与∠BDC有什么关系？
师生活动：教师提出问题，学生尝试给出证明过程. 如果学生遇到困难，教师
可根据情况适当提醒学生：结合圆周角定理尝试给出证明过程．
【探究二】在同圆或等圆中，两条弧相等，则他们所对应的圆周角有什么关系？
如图，在⊙O中 ⏜ = ⏜ ，则∠BDC与∠CAE有什么关系？
BC CE
师生活动：教师提出问题，学生尝试给出证明过程. 如果学生遇到困难，教师
可根据情况适当提醒学生：考虑圆周角与圆心角之间的关系、弧与圆心角之间的关
系．【提问】你能归纳出圆周角的第一条推论吗？
师生活动：教师提出问题，学生回答.教师归纳与总结：推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等.
【设计意图】学生经历观察、猜想、证明得出推论的探索过程，得到圆周角定理的推论．
【探究三】回答下面问题：
1.如图1，AB为⊙O的直径，它所对的圆心角是多少？
2.如图1，AB为⊙O的直径，它所对的圆周角是多少？
3.如图2，AB为⊙O的直径，若改变点C的位置，它所对
的圆周角度数会改变吗？
4.如图1，在⊙O中若∠C=90°，弦AB经过圆心吗？为什么？
师生活动：教师提出问题，学生回答.
【提问】你能归纳出圆周角的第二条推论吗？
师生活动：学生先观察、猜想，根据定理得到结论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角．教师进一步
引导学生得出：90° 的圆周角所对的弦是直径．
【设计意图】由一般到特殊进一步认识定理，加深对定理的理解，获得推论．
（七）典例分析与针对训练
例3 如图，⊙O的直径AB为10 cm，弦AC为 6 cm，ACB 的平分线交⊙O 于点 D，求 BC，AD，BD
的长．
【针对训练】
1.（2019 滨州市中考）如图，AB为⊙O的直径，C,D为⊙O上两点，若∠BCD＝40°，则
∠ABD的大小为（ ）．
A．60° B．50° C．40° D．20°2.如图，在⊙O中弦AB、CD相交于点P，若∠A＝20°，∠APD＝70°，则∠B等于（ ）
A．30° B．35° C．40° D．50°
3.如图，AB为⊙O直径，CD为⊙O的弦，∠ACD=25°，∠BAD的度数为_______．
4. 如图，AB是⊙O的直径，C，D是圆上两点，连接AC，BC，AD，CD．若∠CAB=55°，则∠ADC的度
数为（ ）
A．55° B．45° C．35° D．25°
5．如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，∠ADC＝106°，则∠CAB等于（ ）
A．10° B．14° C．16° D．26°
6.如图，在⊙A中，已知弦BC=8 DE=6，∠BAC+∠EAD=180°，则⊙A的半径长为（ ）
A．10 B．6 C．5 D．8
7.如图，⊙O的直径AB与弦CD垂直，且∠BAC=40°，则∠BOD=8. 有一个圆形模具，现在只有一个直角三角板，请你找出它的圆心？
【设计意图】考查学生利用圆周角定理推论进行有关计算.
（八）能力提升
1．如图，BC为半圆O的直径，点F是弧BC上一动点（点F不与B、C重合），A是弧BF上的中点，
设∠FBC=α，∠ACB=β．
当 时，求 的度数．
(1) α=50∘ β
(2)猜想α与β之间的关系，并给与证明．
（九）直击中考
1．（2023·云南中考真题）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点．若∠BOC=66°，则∠A=
（ ）
A．66° B．33° C．24° D．30°
2．（2023·四川宜宾中考真题）如图，已知点 在 上， 为 ⏜ 的中点．若
A、B、C ⊙O C
AB
∠BAC=35°，则∠AOB等于（ ）
A．140° B．120° C．110° D．70°3．（2023·湖南·统考中考真题）如图，点 A，B，C 在半径为 2 的⊙O上，∠ACB=60°，
OD⊥AB，垂足为E，交⊙O于点D，连接OA，则OE的长度为 ．
4．（2023·四川南充中考真题）如图，AB是⊙O的直径，点D，M分别是弦AC，弧AC的中点，
AC=12,BC=5，则MD的长是 ．
【设计意图】通过对最近几年的中考试题的训练，使学生提前感受到中考的内容，进一步了解考点.
（十）归纳小结
1.圆周角的概念？
2.圆周角定理？
3.圆周角定理推论？
（十一）布置作业
P88：练习第2题、第3题、第4题.
