文档内容
24.1.4 圆周角（第二课时） 导学案
学习目标
1 了解掌握圆内接四边形的概念，掌握圆内接四边形的性质定理．
2 结合圆内接四边形的学习，进一步培养推理论证能力．
重点难点突破
★知识点1： 圆内接四边形概念：
如果四边形的四个顶点均在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形.
★知识点2： 圆内接四边形的性质定理：
圆内接四边形的对角互补.
核心知识
一、圆内接四边形概念：如果四边形的____________均在__________圆上，这个四边形叫做圆内接四边形.
二、圆内接四边形的性质定理：圆内接四边形的对角_____________.
引入新课
【提问】简述圆周角的定义？说出圆周角定理及推论内容？
新知探究
【提问】回答下面问题
1）什么是圆内接三角形？
2）什么是圆内接四边形？
3）什么是圆内接多边形？【探究一】在纸上画出一个圆，再任意画一个圆内接四边形，测量四边形的度数，你发现了什么？
【提问】圆内接四边形中，圆心与对角线有几种位置关系？
【探究】尝试分情况验证：圆内接四边形对角互补.
典例分析
例1 如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BOD＝140°，求∠BCD的度数．
【针对训练】
1．如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，AB 为⊙O 的直径，∠ADC=130°，连接 AC，则∠BAC 的度数为
．
2．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD=140°，则它的一个外角∠DCE= ．3．若四边形ABCD是圆内接四边形，若它的内角∠A:∠C=2:3，则∠A= ．
4．如图，已知⊙O的半径为2，ΔABC内接于⊙O，∠ACB=135°，则AB= ．
5.如图，已知A，B，C，D是⊙O上的四点，延长DC，AB相交于点E，若BC=BE．
求证：△ADE是等腰三角形．
6.如图，A,P,B,C是⊙O上的四点，∠APC=∠CPB=60°，判断△ABC的形状并证明你的结论.
7．已知⊙O的半径为10，圆心O到弦AB的距离为5，则弦AB所对的圆周角的度数是（ ）
A．30° B．60° C．30°或150° D．60°或120°
感受中考
1．（2023·山东泰安中考真题）如图，AB是⊙O的直径，D，C是⊙O上的点，∠ADC=115°，则
∠BAC的度数是（ ）
A．25° B．30° C．35° D．40°2．（2023·内蒙古赤峰中考真题）如图，圆内接四边形ABCD中，∠BCD=105°，连接OB，OC，OD，
BD，∠BOC=2∠COD．则∠CBD的度数是（ ）
A．25° B．30° C．35° D．40°
课堂小结
1.圆内接多边形的概念？
2.圆内接四边形性质定理？
【参考答案】
新知探究
【提问】回答下面问题
1）什么是圆内接三角形？
如果三角形的三个顶点均在同一个圆上，这个三角形叫做圆内接三角形.
2）什么是圆内接四边形？
如果四边形的四个顶点均在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形.
3）什么是圆内接多边形？
如果多边形的所有顶点均在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形.这个圆叫做多边形的外接圆.
【探究一】在纸上画出一个圆，再任意画一个圆内接四边形，测量四边形的度数，你发现了什么？
圆内接四边形的对角互补.
【提问】圆内接四边形中，圆心与对角线有几种位置关系？
①圆心在圆内接四边形对角线上；②圆心不在圆内接四边形对角线上．
【探究】尝试分情况验证：圆内接四边形对角互补.
情况一：
证明：∵BD是⊙O的直径
∴∠C=90°，∠A=90°
则∠A+∠C=180°，而四边形内角和为360°
∴∠ABC+∠ADC =180°
情况二：
连接BO和DO
∠A所对的弧为 ⏜ ，∠C所对的弧为 ⏜
BCD BAD
又∵ ⏜ 和 ⏜ 所对圆心角的和为周角
BCD BAD
1
∴∠A+∠C= ×360°=180°
2
同理∠ABC+∠ADC =180°
即圆内接四边形的对角互补。
典例分析
例1 如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BOD＝140°，求∠BCD的度数．
【详解】
∵∠BOD＝140°，
1
∴∠A＝ ∠BOD＝70°，
2∴∠BCD＝180°﹣∠A＝110°．
【针对训练】
1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠ADC=130°，连接AC，则∠BAC的度数为 4 0 °
．
2．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD=140°，则它的一个外角∠DCE= 7 0 ° ．
3．若四边形ABCD是圆内接四边形，若它的内角∠A:∠C=2:3，则∠A= 7 2 ° ．
4．如图，已知⊙O的半径为2，ΔABC内接于⊙O，∠ACB=135°，则AB= 2❑√2 ．
5.如图，已知A，B，C，D是⊙O上的四点，延长DC，AB相交于点E，若BC=BE．
求证：△ADE是等腰三角形．
证明：∵∠A+∠BCD=180°,∠BCE+∠BCD=180°.
∴∠A=∠BCE.
∵BC=BE, ∴∠E=∠BCE,
∴∠A=∠E, ∴AD=DE,
∴△ADE是等腰三角形.
6.如图，A,P,B,C是⊙O上的四点，∠APC=∠CPB=60°，判断△ABC的形状并证明你的结
论.
解：△ABC是等边三角形.
证明：∵∠APC=∠ABC=60°，∠CPB=∠BAC=60°，∴∠ACB=180°- ∠ABC-∠BAC=60°，
∴△ABC是等边三角形.
7．已知⊙O的半径为10，圆心O到弦AB的距离为5，则弦AB所对的圆周角的度数是（ D ）
A．30° B．60° C．30°或150° D．60°或120°
感受中考
1．（2023·山东泰安中考真题）如图，AB是⊙O的直径，D，C是⊙O上的点，∠ADC=115°，则
∠BAC的度数是（ A ）
A．25° B．30° C．35° D．40°
2．（2023·内蒙古赤峰中考真题）如图，圆内接四边形ABCD中，∠BCD=105°，连接OB，OC，OD，
BD，∠BOC=2∠COD．则∠CBD的度数是（ A ）
A．25° B．30° C．35° D．40°
