文档内容
24.1 圆的有关性质
24.1.4 圆周角
教学目标：
1、理解圆周角的概念．
2、掌握圆周角定理及其推论．
3、理解圆内接四边形的性质，探究四点不共圆的性质．
教学重难点：圆的性质的综合应用．
知识点一：圆周角的定义
圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．
例题.下列四个图中，∠x是圆周角的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】M5：圆周角定理．
【分析】由圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角，即可求得答案．
【解答】解：根据圆周角定义：
即可得∠x是圆周角的有：C，不是圆周角的有：A，B，D．
故选C．
【点评】此题考查了圆周角定义．此题比较简单，解题的关键是理解圆周角的定义．
变式.下列图形中，是圆周角的是（ ）A． B． C． D．
【考点】M5：圆周角定理．
【分析】根据圆周角的定义对各选项进行判断．
【解答】解：A图中的角为圆内角，B图中的角为圆周角，C图中的角为圆心角，D图中的角为弦切角．
故选B．
【点评】本题考查了圆周角：顶点在圆周上，且两边与圆相交的角叫圆周角．
知识点二：圆周角定理
圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
例题1．如图，点A、B、C都在⊙O上，且点C在弦AB所对的优弧上，如果∠AOB=64°，那么∠ACB的
度数是（ ）
A．26° B．30° C．32° D．64°
【分析】根据圆周角定理可得∠ACB= ∠AOB，即可求出∠ACB的度数．
【解答】解：∵∠ACB= ∠AOB，
而∠AOB=64°，
∴∠ACB= ×64°=32°．即∠ACB的度数是32°．
故选C．
【点评】本题考查了圆周角定理．在同圆或等圆中，同弧和等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角
是它所对的圆心角的一半．
例题2．如图，在⊙O中，AB是直径，AC是弦，连接OC，若∠ACO=30°，则∠BOC的度数是（ ）
A．30° B．45° C．55° D．60°
【分析】由等腰三角形的性质得出∠A=∠ACO=30°，再由圆周角定理即可得出答案．
【解答】解：∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO=30°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠BOC=2∠A=2×30°=60°．
故选D．
【点评】此题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质．熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键．
变式 1．已知，如图，AB 是⊙O 的直径，点 D，C 在⊙O 上，连接 AD、BD、DC、AC，如果
∠BAD=25°，那么∠C的度数是（ ）A．75° B．65° C．60° D．50°
【分析】根据直径所对的圆周角是直角得到∠ADB=90°，再根据直角三角形的两个锐角互余求得
∠B=65°，再根据同弧所对的圆周角相等进行求解．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°．
又∠BAD=25°，
∴∠B=65°．
∴∠C=65°．
故选B．
【点评】此题主要是考查了圆周角定理的推论的运用．
变式2．如图，在⊙O中，弦AB∥CD，若∠ABC=40°，则∠BOD=（ ）
A．80° B．50° C．40° D．20°
【分析】先根据平行线的性质得∠BCD=∠ABC=40°，然后根据圆周角定理求解．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠BCD=∠ABC=40°，∴∠BOD=2∠BCD=80°．
故选A．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的
圆心角的一半．也考查了平行线的性质．
变式3．如图，△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的直径，∠A=35°，则∠BCD的度数是（ ）
A．55° B．65° C．70° D．75°
【分析】根据圆周角定理求出∠DBC、∠D的度数，根据三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：连接BD，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠DBC=90°，
∵∠A=35°，
∴∠D=∠A=35°，
则∠BCD=90°﹣∠A=55°．
故选：A．
【点评】本题考查的是圆周角定理，掌握直径所对的圆周角是直角、同弧所对的圆周角相等是解题的关键．变式4．如图，已知AB、AD是⊙O的弦，∠B=20°，∠D=15°，则∠BAD的度数是（ ）
A．30° B．45° C．20° D．35°
【分析】连接OA，根据等腰三角形的性质求出∠DAO与∠BAO的度数，进而可得出结论．
【解答】解：连接OA，
∵OA=OD，OB=OA，
∴∠DAO=∠D=15°，∠BAO=∠B=20°，
∴∠BAD=∠DAO+∠BAO=15°+20°=35°．
故选D．
【点评】本题考查的是圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出等腰三角形是解答此题的关键．
知识点三：圆周角定理的推论
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（1）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌
握．
（2）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”---圆心角转化．③定理成立的条件是“同
一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一
条弧所对的圆周角和圆心角．
例题1．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，弦BD平分∠ABC，则下列结论错误的是（ ）
A．AD=DC B． C．∠ADB=∠ACB D．∠DAB=∠CBA
【分析】根据圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：∵弦BD平分∠ABC，∴∠DBC=∠ABD，∴ = ，AD=DC，故A、B正确；
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=∠ACB=90°，故C正确；
∵无法确定∠DAB=∠CBA，故D错误，符合题意．
故选D．
【点评】本题考查的是圆周角定理及圆心角、弧、弦的关系，熟知直径所对的圆周角是直角是解答此题的
关键．
例题2．如图，OA是⊙O的半径，弦BC⊥OA，D是⊙O上一点，若∠ADB=28°，则∠AOC的度数为（
）A．14° B．28° C．56° D．84°
【分析】先根据垂径定理得到 = ，然后根据圆周角定理求解．
【解答】解：∵BC⊥OA，
∴ = ，
∴∠AOC=2∠ADB=2×28°=56°．
故选：C．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的
圆心角的一半．也考查了垂径定理．
变式1．如图，AB是⊙O的直径，C、D、E是⊙O上的点，则∠1+∠2等于（ ）
A．90° B．45° C．180° D．60°
【分析】求出∠AOB=180°，根据圆周角定理得出∠1+∠2= ∠AOB，代入求出即可．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠AOB=180°，
∵由圆周角定理得：∠1+∠2= ∠AOB=90°，
故选A．
【点评】本题考查了圆周角定理的应用，解此题的关键是推出∠1+∠2= ∠AOB．
变式2．如图，C、D是以AB为直径的⊙O上的两个点，∠ACD=15°，则∠BAD的度数为（ ）
A．15° B．30° C．60° D．75°
【分析】由AB为⊙O的直径，根据半圆（或直径）所对的圆周角是直角，即可得∠ADB=90°，又由在同
圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得∠ACB的度数，然后根据直角三角形中两锐角互余，
求得∠BAD的度数．
【解答】解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵∠ABD=∠ACD=15°，
∴∠BAD=90°﹣∠ABD=75°．
故选D．
【点评】此题考查了圆周角定理与直角三角形的性质．此题比较简单，解题的关键是掌握半圆（或直径）
所对的圆周角是直角与在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等定理的应用．变式3．如图，AB是半圆O的直径，C、D、E是半圆的四等分点，CH⊥AB于H，连接BD、
EC相交于F点，连接AC、EH，下列结论：
①CE=2CH；②∠ACH=∠CEH；③∠CFD=2∠ACH，
其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．只有①② C．只有①③ D．只有③
【分析】连结OC、BC、OD，OD交CE于G，如图，由于C、D、E是半圆的四等分点，根据垂径定理得
到 OD⊥CE，CE=2CG，根据圆心角、弧、弦的关系得到∠AOC=∠COD=45°，根据圆周角定理得
∠BCE=∠ABC，再证明四边形 CHOG为正方形，则CH=CG，所以CE=2CH；利用等角的余角相等得
∠ACH=∠ABC，而∠CEH所对的弧大于AC弧，则∠CEH＞∠ABC，所以∠ACH＜∠CEH；利用CE∥AB
得到∠CFD=∠ABD，而∠ABD=2∠ABC=2∠ACH，于是有∠CFD=2∠ACH．
【解答】解：连结OC、BC、OD，OD交CE于G，如图，
∵C、D、E是半圆的四等分点，
∴OD⊥CE，∠AOC=∠COD=45°，∠BCE=∠ABC，
∴CE=2CG，CE∥AB
∵CH⊥AB，
∴四边形CHOG为正方形，
∴CH=CG，
∴CE=2CH，所以①正确；
∵AB为直径，∴∠ACB=90°，
∴∠ACH=∠ABC，
而∠CEH所对的弧大于AC弧，
∴∠CEH＞∠ABC，
∴∠ACH＜∠CEH，所以②错误；
∵CE∥AB，
∴∠CFD=∠ABD，
∵弧AC=弧CD，
∴∠ACB=∠CBD，
∴∠ABD=2∠ABC=2∠ACH，
∴∠CFD=2∠ACH，所以③正确．
故选C．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的
圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了圆心
角、弧、弦的关系．
知识点四：圆内接多边形及圆内接四边形的性质
四个顶点都在圆上的四边形叫圆内接四边形，且圆内接四边形对角互补
例题．如图，点 A，B，C，D 在⊙O 上，O 点在∠D 的内部，四边形 OABC 为平行四边形，则∠OAD+∠OCD等于（ ）
A．105° B．90° C．75° D．60°
【分析】首先连接OD，由四边形OABC为平行四边形，可得∠B=∠AOC，然后由圆的内接四边新的性质
以及圆周角定理，可得∠B+∠ADC=180°，∠AOC=2∠ADC，则可求得∠ADC的度数，继而求得答案．
【解答】解：连接OD，
∵四边形OABC为平行四边形，
∴∠B=∠AOC，
∵∠B+∠ADC=180°，∠AOC=2∠ADC，
∴3∠ADC=180°，
∴∠ADC=60°，
∵OA=OD=OC，
∴∠OAD=∠ODA，∠OCD=∠ODC，
∴∠OAD+∠OCD=∠ODA+∠ODC=∠ADC=60°．
故选D．【点评】此题考查了圆周角定理、平行四边形的性质以及圆的内接四边形的性质．此题难度适中，注意掌
握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
变式1．如图，点A、B、C、D都在⊙O上，且四边形OABC是平行四边形，则∠D的度数为（ ）
A．45° B．60° C．75° D．不能确定
【分析】根据圆周角定理得到∠D= ∠AOC，根据平行四边形的性质，得到∠B=∠AOC，根据圆内接四边
形的性质，得到∠B+∠D=180°，得到答案．
【解答】解：∠D= ∠AOC，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴∠B=∠AOC，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠B+∠D=180°，
3∠D=180°，∴∠D=60°，
故选：B．
【点评】本题考查的是圆周角定理的应用，掌握圆周角定理、圆内接四边形的性质和平行四边形的性质是
解题的关键．
变式2．如图，AB是⊙O的直径，D为 的中点，∠B=40°，则∠C的度数为（ ）
A．80° B．100° C．110° D．140°
【分析】首先连接AC，根据圆周角定理可得∠ACB=90°，根据圆内接四边形对角互补可得∠D=140°，再
根据在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等可得 AD=CD，进而可得
∠DCA=20°，然后可得答案．
【解答】解：连接AC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠B=40°，
∴∠D=140°，
∵D为 的中点，
∴AD=CD，
∴∠DCA=20°，
∴∠DCB=90°+20°=110°，故选：C．
【点评】此题主要考查了圆周角定理，以及圆心角、弧、弦的关系，关键是掌握在同圆和等圆中，相等的
圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
变式3．如图，以AC为斜边在异侧作Rt△ABC和Rt△ADC，∠ABC=∠ADC=90°，∠BCD=45°，BD=4，
则AC的长度为（ ）
A．8 B．4 C．6 D．
【分析】取AC的中点O，连接OD、OB，根据题意得到A、B、C、D四点共圆，根据圆周角定理和等腰
直角三角形的性质解答即可．
【解答】解：取AC的中点O，连接OD、OB，
由Rt△ABC和Rt△ADC可知，A、B、C、D四点共圆，AC为圆的直径，
∵∠BCD=45°，
∴∠BOD=90°，又BD=4，
∴OD=OB=2 ，
∴AC=4 ，故选：B．
【点评】本题考查的是圆周角定理、等腰直角三角形的性质，掌握 90°的圆周角所对的弦是直径是解题的
关键．
拓展点一：与圆周角有关的计算
例题1．如图，已知点A，B，C，D均在⊙O上，CD为∠ACE的角平分线．
（1）求证：△ABD为等腰三角形；
（2）若∠DCE=45°，BD=6，求⊙O的半径．
【分析】（1）欲证明△ABD为等腰三角形，只要证明∠DBA=∠DAB即可．
（2）如图2中，只要证明AB是直径即可解决问题．
【解答】解：（1）如图1中，∵CD平分∠EAC，
∴∠ECD=∠DCA，
∵∠ECD=∠DAB，∠DCA=∠DBA，
∴∠DBA=∠DAB，
∴DB=DA．
∵△DBA是等腰三角形．
（2）如图2中，
∵∠DCE=∠DCA=45°，
∴∠ECA=∠ACB=90°，
∴AB是直径，
∴∠BDA=90°，
∵BD=AD=6，
∴AB= = =6 ．
∴⊙O的半径为3
【点评】本题考查圆周角、圆内接四边形的性质、等腰三角形的判定、直角三角形的判定、勾股定理等知
识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于基础题，中考常考题型．例题2．如图，BE是⊙O的直径，半径OA⊥弦BC，点D为垂足，连AE，EC．
（1）若∠AEC=28°，求∠AOB的度数；
（2）若∠BEA=∠B，BC=6，求⊙O的半径．
【分析】（1）根据垂径定理得到 = ，根据圆周角定理解答；
（2）根据圆周角定理得到∠C=90°，根据等腰三角形的性质得到∠B=30°，根据余弦的定义求出BE即可．
【解答】解：（1）∵OA⊥BC，
∴ = ，
∴∠AEB=∠AEC=28°，
由圆周角定理得，∠AOB=2∠AEB=56°；
（2）∵BE是⊙O的直径，
∴∠C=90°，
∴∠CEB+∠B=90°，
∵∠BEA=∠B，∠AEB=∠AEC，
∴∠B=30°，
∴BE= =4 ，∴⊙O的半径为2 ．
【点评】本题考查的是垂径定理和圆周角定理的应用，掌握垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的
两条弧、同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．
变式1．如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E．
（1）若∠B=80°，求∠CAD的度数；
（2）若AB=8，AC=6，求DE的长．
【分析】（1）根据平行线的性质求出∠AOD，根据等腰三角形的性质求出∠OAD，根据圆周角定理求出
∠CAB，计算即可；
（2）根据勾股定理求出BC，根据三角形中位线定理求出OE，结合图形计算．
【解答】解：（1）∵OD∥BC，
∴∠AOD=∠B=80°，
∴∠OAD=∠ODA=50°，
∵AB是半圆O的直径，
∴∠C=90°，
∴∠CAB=10°，
∴∠CAD=50°﹣10°=40°；
（2）∵∠C=90°，AB=8，AC=6，∴BC= =2 ，
∵OD∥BC，OA=OB，
∴OE= BC= ，
∴DE=4﹣ ．
【点评】本题考查的是圆周角定理、三角形中位线定理的应用，掌握直径所对的圆周角是直角、灵活运用
勾股定理是解题的关键．
变式 2．如图，△ABC 内接于⊙O，AB 为直径，点 D 是 上一点，且∠DAC=∠DBA，过点 D 作
DE⊥AB，垂足为点E，连结AD．
（1）求证：DB平分∠CBA；
（2）连接CD，若CD=5，BD=12，求⊙O的半径．
【分析】（1）根据圆周角定理即可得到结论；
（2）连接CD，由∠CBD=∠DBA，得到CD=AD，根据AB为直径，得到∠ADB=90°，根据勾股定理即可
得到结论．
【解答】（1）证明：∵∠DAC=∠DBC，∠DAC=∠DBA，
∴∠DBA=∠CBD，∴DB平分∠CBA；
（2）解：连接CD，
∵∠CBD=∠DBA，
∴ = ，
∴CD=AD，
∵CD﹦5，
∴AD=5，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∵BD=12，
∴AB= =13，
故⊙O的半径为6.5．
【点评】此题主要考查了圆周角定理和勾股定理，熟练利用圆周角定理得出各等量关系是解题关键．
拓展点二：与圆周角有关的证明
例题1．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是弧AC上任意一点，延长AG，与DC的延长线
交于点F，连接AD，GD，CG．（1）求证：∠AGD=∠FGC；
（2）若AG•AF=48，CD=4 ，求⊙O的半径．
【分析】（1）由 AB⊥CD，推出 EC=ED，推出 AC=AD，推出∠3=∠ADC，由∠1+∠AGC=180°，
∠AGC+∠ADC=180°，推出∠1=∠ADC，由∠2=∠3，即可证明∠1=∠2；
（2）由△CAG∽△FAC，推出 = ，推出 AC2=AG•AF=48，推出 AC=4 ，在 Rt△ACE 中，由
∠AEC=90°，AC=4 ，CE=2 ，推出AE= =6，由△ACE∽△ABC，可得AC2=AE•AB，推出
AB=8即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵AB⊥CD，
∴EC=ED，
∴AC=AD，
∴∠3=∠ADC，
∵∠1+∠AGC=180°，∠AGC+∠ADC=180°，
∴∠1=∠ADC，
∵∠2=∠3，
∴∠1=∠2，即：∠AGD=∠FGC；
（2）解：∵∠FCG+∠DCG=180°，∠DCG+∠DAG=180°，∴∠FCG=∠DAG，∵∠1=∠2，
∴∠ADG=∠F，
∵∠ADG=∠ACG，
∴∠ACG=∠F，∵∠CAG=∠CAF，
∴△CAG∽△FAC，
∴ = ，
∴AC2=AG•AF=48，
∴AC=4 ，
在Rt△ACE中，∵∠AEC=90°，AC=4 ，CE=2 ，
∴AE= =6，
易知△ACE∽△ABC，
∴AC2=AE•AB，
∴AB=8，
∴⊙O的半径为4．
【点评】本题考查圆周角定理、垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定和性质、圆内接四边形的性质等
知识，教育的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考常考题型．例题2．如图，已知⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC=∠CPB=60°
（1）当点P位于 的什么位置时，四边形APBC的面积最大？并求出最大面积；
（2）试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论．
【分析】（1）过点P作PE⊥AB，垂足为E，过点C作CF⊥AB，垂足为F，把四边形的面积转化为两个三
角形的面积进行计算，当点P为 的中点时，PE+CF=PC从而得出最大面积；
（2）在PC上截取PD=AP，则△APD是等边三角形，然后证明△APB≌△ADC，证明BP=CD，即可证得．
【解答】解：（1）当点P为 的中点时，四边形APBC的面积最大．
理由如下，如图2，过点P作PE⊥AB，垂足为E．
过点C作CF⊥AB，垂足为F．
∵S = AB•PE，S = AB•CF，
△APB △ABC
∴S = AB•（PE+CF），
四边形APBC
当点P为 的中点时，PE+CF=PC，PC为⊙O的直径，
∴此时四边形APBC的面积最大．
又∵⊙O的半径为1，∴其内接正三角形的边长AB= ，
∴S = ×2× = ；
四边形APBC
（2）在PC上截取PD=AP，如图1，
又∵∠APC=60°，
∴△APD是等边三角形，
∴AD=AP=PD，∠ADP=60°，即∠ADC=120°．
又∵∠APB=∠APC+∠BPC=120°，
∴∠ADC=∠APB，
在△APB和△ADC中，
，
∴△APB≌△ADC（AAS），
∴BP=CD，
又∵PD=AP，
∴CP=BP+AP．【点评】本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定、三角形的面积公式以及三角形的全等的判定与性质，
正确作出辅助线，证明△APB≌△ADC是关键．
变式1．如图，AB是⊙O的直径，弦BC长为 ，弦AC长为2，∠ACB的平分线交⊙O于点D．
（1）求AD的长．
（2）求CD的长．
【分析】（1）由 AB是⊙O的直径，可得∠ACB=∠ADB=90°，然后由勾股定理求得 AB的长，又由
∠ACB的平分线交⊙O于点D，易得△ABD是等腰直角三角形，则可求得答案；
（2）过点 D 分别作 DM⊥CA 于 M，DN⊥CB 于 N，可证 DM=DN，再证 Rt△DAM≌Rt△DBN，得
AM=BN，易证正方形DMCB，故CM=CN，然后设AM=x，可得方程 ，继而求得答案．
【解答】解：（1）∵AB是直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
在Rt△ABC中，∴ ，
∵∠ACB的平分线交⊙O于点D，
∴∠DCA=∠BCD，
∴ = ，
∴AD=BD= ，
（2）过点D分别作DM⊥CA于M，DN⊥CB于N，
∵∠ACB的平分线交⊙O于点D，
∴DM=DN，
在Rt△DAM和Rt△DBN中，
，
∴Rt△DAM≌Rt△DBN（HL）），
∴AM=BN，
∴四边形BDMC是正方形DMCB，
∴CM=CN，
设AM=x，
则 ，
解得： ，
∴ ．【点评】此题考查了圆周角定理、勾股定理、全等三角形的判定与性质以及正方形的判定与性质．注意准
确作出辅助线是解此题的关键．
变式2．如图，A、P、B、C是⊙O上的四点，∠APC=∠BPC=60°，AB与PC交于点Q；
（1）判断△ABC的形状，并证明你的结论；
（2）若∠ABP=15°，△ABC的面积为4 ，求PC的长．
【分析】（1）由圆周角定理知，∠BAC=∠BPC=∠APC=∠BPC=60°，即可证明△ABC是等边三角形；
（2）通过作辅助线，构造等腰直角三角形求解．
【解答】（1）解：△ABC是等边三角形．
证明：∵∠ABC=∠APC=60°，∠BAC=∠BPC=60°，
∴∠ACB=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=60°，
∴△ABC是等边三角形；
（2）解：设正△ABC的高为h，则h=BC•sin60°．∵ BC•h=4 ，
即 BC•BC•sin60°=4 ，
解得BC=4，
如图1，连接OB，OC，OP，作OE⊥BC于E，
由△ABC是正三角形知∠BOC=120°，从而得∠OCE=30°，
∴OC= = ，
由∠ABP=15°得∠PBC=∠ABC+∠ABP=75°，
于是∠POC=2∠PBC=150°，
∴∠PCO=（180°﹣150°）÷2=15°，
如图2，作等腰直角△RMN，在直角边RM上取点G，使∠GNM=15°，则∠RNG=30°，
作GH⊥RN，垂足为H．
设GH=1，则cos∠GNM=cos15°= ．
在Rt△GHN中，
NH=GN•cos30°，GH=GN•sin30°，
∴RH=GH，MN=RN•sin45°，
∴cos15°= ．
在图中，作OF⊥PC于F，
∴PC=2CF=2OC•cos15°=2 + ．【点评】本题考查的是圆周角定理，等边三角形的判定和性质，锐角三角函数的概念，三角形的面积公式，
等腰直角三角形的性质，通过作辅助线，构造相似三角形和等腰直角三角形求解，有很强的综合性．
拓展点三：与圆内四边形性质相关的证明题
例题1．如图，⊙O的直径AB=10m，C为直径AB下方半圆上一点，∠ACB的平分线交⊙O于点D，连接
AD、BD．
（1）判断△ABD的形状，并说明理由；
（2）若弦AC=6cm，求BC的长．
【分析】（1）根据圆周角定理得到∠ADB=90°，根据圆心角、弧、弦之间的关系得到AD=BD，可以判断
△ABD的形状；
（2）根据圆周角定理得到∠ACB=90°，运用勾股定理计算即可．【解答】解：（1）△ABD是等腰直角三角形，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵CD是∠ACB的平分线，
∴ = ，
∴AD=BD，
∴△ABD是等腰直角三角形；
（2）∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴BC= =8cm．
【点评】本题考查的是圆周角定理的应用、等腰直角三角形的判定，掌握直径所对的圆周角是直角、理解
等腰直角三角形的判定定理是解题的关键．
例题2．已知：A、B、C、D四点均在⊙O上，点E在CD的延长线上，AB=AC．求证：DA平分∠BDE．
【分析】根据圆周角定理和圆内接四边形的性质得到∠ADE=∠ABC，∠ADB=∠ACB，由等腰三角形的性
质得到∠ACB=∠ABC，等量代换得到∠ADE=∠ADB，于是得到结论．
【解答】证明：∵A，B，C，D四点共圆，∴∠ADE=∠ABC，∠ADB=∠ACB，
∵AC=BA，
∴∠ACB=∠ABC，
∴∠ADE=∠ADB，
∴DA平分∠BDE．
【点评】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，角平分线的判定，熟练掌握圆周角定理是解题的
关键．
变式1．已知点A、B、C、D四点在O上；
（1）若∠ABC=∠ADB，求证：AB=AC；
（2）若∠CAD=∠ACD，求证：BD平分∠ABC．
【分析】（1）由∠ABC=∠ADB，根据圆周角与弧的关系，可证得 = ，又由弧与弦的关系，即可证得
结论；
（2）由圆周角定理可证得：∠CAD=∠CBD，∠ACD=∠ABD，又由∠CAD=∠ACD，即可证得结论．
【解答】证明：（1）∵∠ABC=∠ADB，
∴ = ，
∴AB=AC；（2）∵∠CAD=∠CBD，∠ACD=∠ABD，
又∵∠CAD=∠ACD，
∴∠ABD=∠CBD，
∴BD平分∠ABC．
【点评】此题考查了圆周角定理以及弧与弦的关系．注意在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．
变式2．如图，AB是⊙O的直径，弦BC长为 ，弦AC长为2，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求AB
和AD的长．
【分析】由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得∠ACB=∠ADB=90°，然后由勾股定
理求得AB的长，又由CD平分∠ACB，可得△ABD是等腰直角三角形，继而求得答案．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
∵弦BC长为 ，弦AC长为2，
∴AB= =6；
∵CD平分∠ACB，
∴ = ，∴AD=BD，
∴∠BAD=45°，
∴AD=AB•cos45°= ．
【点评】此题考查了圆周角定理、等腰直角三角形的性质以及勾股定理．注意直径所对的圆周角是直角定
理的应用是解此题的关键．
拓展点四：与圆内接四边形性质相关的计算题
例题1．如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A、C、D，与BC相交于点E，连接AC、AE．若
∠D=78°，则∠EAC= 2 7 °．
【分析】根据菱形的性质得到∠ACB= ∠DCB= （180°﹣∠D）=51°，根据圆内接四边形的性质得到
∠AEB=∠D=78°，由三角形的外角的性质即可得到结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠D=78°，
∴∠ACB= ∠DCB= （180°﹣∠D）=51°，
∵四边形AECD是圆内接四边形，
∴∠AEB=∠D=78°，
∴∠EAC=∠AEB﹣∠ACE=27°，
故答案为：27．
【点评】本题考查了菱形的性质，三角形的外角的性质，圆内接四边形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
例题2．如图，已知A、B、C是⊙O上的三个点，∠ACB=110°，则∠AOB= 140 ° ．
【分析】在优弧 上取点D，连接AD、BD，根据圆内接四边形的性质，求出∠ADB的度数，根据圆周
角定理求出∠AOB．
【解答】解：如图，在优弧 上取点D，连接AD、BD，
根据圆内接四边形的性质可知，
∠ACB+∠ADB=180°，又∠ACB=110°，
∴∠ADB=70°，
∠AOB=2∠ADB=140°，
故答案为：140°．
【点评】本题考查的是圆周角定理和圆内接四边形的性质，掌握一条弧所对的圆周角是这条弧所对的圆心
角的一半是解题的关键．变式1．如图，已知AB是⊙O的直径，BC为弦，过圆心O作OD⊥BC交弧BC于点D，连接DC，若
∠DCB=32°，则∠BAC= 64 ° ．
【分析】由圆周角定理可知，∠BOD=2∠BCD=64°，由 AB 为直径可知，AC⊥BC，又 OD⊥BC，可知
AC∥OD，利用平行线的性质可求∠BAC．
【解答】解：∵∠BOD与∠BCD为 所对的圆心角和圆周角，
∴∠BOD=2∠BCD=64°，
∵AB为直径，∴AC⊥BC，
又∵OD⊥BC，∴AC∥OD，
∴∠BAC=∠BOD=64°，
故答案为：64°．
【点评】本题考查了圆周角定理，平行线的判定与性质．关键是利用圆周角定理求圆心角，利用平行线的
判定与性质求解．
变式2．如图，点A、B、C、D在同一个圆上，DB=DC，DA、CB的延长线相交于点E，若∠BDC=a，则
∠EAB= 90°﹣ α （用含a的式子表示）【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠C的度数，再由圆内接四边形的性质即可得出结论．
【解答】解：∵DB=DC，∠BDC=α，
∴∠C= =90°﹣ α．
∵四边形ABCD内接是圆内接四边形，、
∴∠EAB=∠C=90°﹣ α．
故答案为：90°﹣ α．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键．
拓展点五：圆有关性质的综合应用
易错点：在求弦所对的圆周角的角度时，容易漏解
例题．△ABC为⊙O的内接三角形，若∠AOC=160°，则∠ABC的度数是（ ）
A．80° B．80°或100° C．100° D．160°或20°
【分析】根据圆周角性质，圆内接四边形，可得答案．
【解答】解：如图
，
∠ABC= ∠AOC=160°=80°，
∠ABC+∠AB′C=180°，∠AB′C=100°，
故选：B．
【点评】本题考查了圆周角定理，利用圆周角定理是解题关键．
变式1．若圆的一条弦把圆分成度数比为1：4的两段弧，则弦所对的圆周角等于（ ）
A．36° B．72° C．36°或144° D．72°或108°
【分析】圆的一条弦把圆分成度数之比为1：4的两条弧，则所分的劣弧的度数是72°，当圆周角的顶点在
优弧上时，这条弦所对的圆周角等于 36°，当这条弦所对的圆周角的顶点在劣弧上时，这条弦所对的圆周
角等于144°；即可得出结果．
【解答】解：如图所示，弦AB将⊙O分成了度数比为1：4两条弧．
连接OA、OB；
则∠AOB= ×360°=72°；
①当所求的圆周角顶点位于D点时，
这条弦所对的圆周角∠ADB= ∠AOB=36°；
②当所求的圆周角顶点位于C点时，
这条弦所对的圆周角∠ACB=180°﹣∠ADB=144°．
故选：C．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系及圆周角定理；在解答此类问题时要注意是在“同圆或等圆
中”才适用，这是此类问题的易错点．
变式2．∠AOB=100°，点C在⊙O上，且点C不与点A，B重合，则∠ACB的度数为（ ）
A．50° B．80°或50° C．130° D．50°或130°
【分析】由于点C的位置不能确定，故应分点C在优弧AB上和在劣弧AB上两种情况讨论．
【解答】解：当点C 所示时，
1
∵∠AC B与∠AOB是同弧所对的圆周角与圆心角，
1
∴∠AC B= ∠AOB= ×100°=50°；
1
当点C 所示时，
2
∵∠AC B=50°，
1
∴∠AC B=180°﹣50°=130°．
2
故选D．
【点评】本题考查的是圆周角定理，解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．
变式3．∠AOB=100°，点C在⊙O上，且点C不与点A，B重合，则∠ACB的度数为（ ）
A．50° B．80°或50° C．130° D．50°或130°
【分析】由于点C的位置不能确定，故应分点C在优弧AB上和在劣弧AB上两种情况讨论．
【解答】解：当点C 所示时，
1
∵∠AC B与∠AOB是同弧所对的圆周角与圆心角，
1∴∠AC B= ∠AOB= ×100°=50°；
1
当点C 所示时，
2
∵∠AC B=50°，
1
∴∠AC B=180°﹣50°=130°．
2
故选D．
【点评】本题考查的是圆周角定理，解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．
