2.5 一元一次不等式与一次函数
课堂知识梳理
y=kx+b
一次函数 的图像在x轴上方的部分所对应的自变量x的取值范围就是不等式
kx+b>0
的解集；一次函数
y=kx+b
的图像在x轴下方的部分所对应的自变量x的取值
范围就是不等式
kx+b<0
的解集
课后培优练
培优第一阶——基础过关练
1．（2022秋·安徽六安·八年级统考期中）函数y=kx+b(k≠0，k，b为常数）的图象如图
所示，则关于x的不等式kx+b>0的解集是（ ）
A．x>3 B．x<3 C．x>2 D．x<2
【答案】B
【详解】解：一次函数y=kx+b，当y>0时，图象在x轴上方，
∴函数图象与x轴交于(3,0)点，
∴不等式kx+b>0的解集为x<3，
故选：B．
2．已知一次函数y=kx+b的图象如图，当−2≤x≤0时，y对应的取值范围是（ ）
A．0≤ y≤4 B．4≤ y≤8 C．0≤ y≤8 D．−4≤ y≤0
【答案】B
【详解】解：由图象可得，
1一次函数y=kx+b的图象y随x的增大而增大，当x=−2时，y=4，当x=0时，y=8，
故当−2≤x≤0时，y对应的取值范围是4≤ y≤8，
故选：B．
3．（2022秋·广西梧州·八年级校考期中）一次函数y =mx+n与y =kx+a的图像如图所
1 2
示，则mx+n＞kx+a的解集为（ ）
A．x＜2 B．x＞2 C．x＞1 D．x＜1
【答案】A
【详解】∵y =mx+n与y =kx+a的图像交点为(2,1)，且mx+n＞kx+a，
1 2
∴x＜2．
故选A．
1
4．如图，直线 y =ax(a≠0) 与 y = x+b 交于点 P，有四个结论：① a<0；②
1 2 2
b<0；③当 x>0 时，y >0；④当 x<−2 时，y >y ，其中正确的是 （ ）
1 1 2
A．①② B．①③ C．①④ D．②④
【答案】C
【详解】∵正比例函数y =ax经过二、四象限，
1
∴a<0，①正确，
1
∵y = x+b，与y轴交于正半轴，则b>0，②错误；
2 2
由图象可得：当x>0时，y <0，③错误；
1
当x<−2时，y >y ，④正确；
1 2
综上分析可知，正确的有①④，故C正确．
故选：C．
5．（2022秋·安徽安庆·八年级统考期中）直线y =−x+1与直线y =2x−2相交于点P，
1 2
2它们与轴分别交于点A、B．
(1)画出图象；
(2)观察图象，分别求出x为何值时，y = y ；y ≥ y ？
1 2 1 2
(3)求△ABP的面积．
【答案】(1)画图象见解析
(2)当x=1时，y = y ；当x≤1时，y ≥ y
1 2 1 2
3
(3)△ABP的面积是
2
【详解】（1）解：∵当x=0时，y =1，y =0时，x=1，
1 1
∴直线y =−x+1经过点(0,1)，(1,0)，
1
同理，y =2x−2经过点(0,−2)，(1,0)，
2
则其图象如图所示：
3；
（2）解：由（1）中的两直线图象知，这两个函数图象的交点坐标是(1,0)；
由图中的两直线图象知，当x=1时，y = y ；当x≤1时，y ≥ y ；
1 2 1 2
（3）解：由（1）中图可知：A(0,1)，P(1,0)，B(0,−2)，
∴ AB=3，OP=1，
1 1 3
∴ △ABP的面积是： AB⋅OP= ×3×1= ．
2 2 2
6．如图，在平面直角坐标系中，直线l ：y=ax+4与x轴，y轴分别交于点B，A，且与直
1
线l ：y=kx相交于点C(2,2)．
2
(1)求a和k的值．
(2)直线l ，l 与x轴围成的三角形面积为___________．
1 2
(3)kx≥ax+4≥0的解集为___________．
【答案】(1)a=−1,k=1；(2)4；(3)2≤x≤4
【详解】（1）解:把C(2,2)代入y=ax+4得
2a+4=2,
解得：a=−1
4把C(2,2)代入y=kx得，
2k=2
解得k=1
∴a=−1,k=1
（2）解：由（1）可得直线l 的解析式为y=−x+4，直线l 的解析式为y=x
1 2
当y=0时, y=−x+4=0
解得x=4,
∴B点坐标为(4,0)
1
∴直线l 与l 与x轴围成的三角形面积为： ×4×2=4
1 2 2
（3）解：结合图象, kx≥ax+4≥0的解集为2≤x≤4
1
7．如图，函数y=−2x+3与y=− x+m的图象交于点P(n，−2)．
2
(1)求出m，n的值．
1
(2)直接写出− x+m≤−2x+3的解集．
2
(3)求出△ABP的面积．
5 3 5 75
【答案】(1)n= ，m=− ；(2)x≤ ；(3)△ABP的面积为 ．
2 4 2 16
【详解】（1）解：将P(n，−2)代入y=−2x+3得，−2=−2n+3，
5
解得n= ，
2
(5 ) 1 1 5
将P ，−2 代入y=− x+m得，−2=− × +m，
2 2 2 2
3
解得m=− ，
4
3 5
∴m，n的值分别为− ， ；
4 2
(5 )
（2）解：∵P ，−2 ，
2
55
∴由图象知，不等式的解集为x≤ ；
2
1 1 4 4
（3）解：令x=0，则y=−2×0+3=3，y=− x+m=− ×0− =− ，
2 2 3 3
( 3)
∴A(0，3)，B 0，− ，
4
( 3) 15
∴AB=3− − = ，
4 4
1 1 15 5 75
∴△ABP的面积为 AB×x = × × = ．
2 P 2 4 2 16
培优第二阶——拓展培优练
8．（2022秋·安徽安庆·八年级统考期中）如图，一次函数y =x+b与一次函数y =kx+4
1 2
的图象交于点P（1，3），则关于x的不等式(k−1)x−b+4<0的解集是（ ）
A．x>−2 B．x>0 C．x>1 D．x<1
【答案】C
【详解】解： 由图象可知当x>1时，kx+4<x+b，
则kx+4−x−b<0，
即(k−1)x−b+4<0，
∴关于x的不等式(k−1)x−b+4<0的解集是x>1．
故选：C．
9.在平面直角坐标系中，一次函数y ＝m（x+3）−1（m≠0） 和
1
y ＝a（x−1）+2（a≠0） ，无论x 取何值，始终有y ＞y ，m 的取值范围为
2 2 1
（ ）
3 3 3 3
A．m≥ B．m> C．m≤ 且m≠0 D．m< 且m≠0
4 4 4 4
【答案】D
6【详解】由题意可知：∵一次函数y =m(x+3)−1(m≠0) 的图象过定点(−3，−1) ，
1
一次函数y =a(x−1)+2(a≠0) 过定点(1，2) ，
2
∵①a<0时，m=a ，两直线平行时，始终有y >y ，
2 1
∴m<0 ．
②当a>0 时，设经过点(−3，−1)，(1，2) 的直线为y =kx+b ，有
3
¿ ，
解得： ¿
3 5
∴y = x+
3 4 4
∵一次函数y =m(x+3)−1(m≠0) 的图象过定点(−3，−1) ，
1
不论x 取何值，始终有y >y ，
2 1
3
∴0<m<
4
3
∴综上解得：m<0 或0<m< ．
4
3
即：m< 且m≠0
4
故选：D
10．（2022秋·江苏苏州·八年级校考阶段练习）如图，直线y =kx+b与直线y =mx交于
1 2
点P，点P的横坐标为1，且直线y =kx+b过点A(0,2)，下列说法：①对于函数y =kx+b
1 1
来说，y随x的增大而减小；②函数y=mx+b的图象不经过第三象限；③不等式
kx+b<mx的解集是x>1；④m=k+2．其中正确的是（ ）
7A．①② B．①③ C．①③④ D．①②③④
【答案】C
【详解】解：观察图象得：对于函数y =kx+b来说，y随x的增大而减小，故①正确；
1
∵直线y =kx+b过点A(0,2)，
1
∴b=2>0，
观察图象得：直线y =mx经过第一，三象限，
2
∴m>0，
∴函数y=mx+b的图象经过第一，二，三象限，故②错误；
观察图象得：当x>1时，直线y =kx+b位于直线y =mx的下方，
1 2
∴不等式kx+b<mx的解集是x>1，故③正确；
∵直线y =kx+b与直线y =mx交于点P，点P的横坐标为1，
1 2
∴m=k+b=k+2，故④正确；
故选：C
11．（2022秋·浙江宁波·九年级校考期中）定义符号min{a,b}的含义为：当a≥b时，
min{a,b}=b；当a<b时，min{a,b}=a．如：min{1,−3}=−3，min{−4,−2}=−4．已
知一种关于x的新函数y=min{x+1,−x+m}，且m>−1，则关于y的函数下面说法错误
的是（ ）
A．若m=1，则当y≤−2时，则x≤−3或x≥3
( 1) ( 1 3)
B．当函数图象经过 0, 时，该函数图象的最高点的坐标为 − ,
2 4 4
(m ) (m+1 )
C． ,y ， ,y 是函数图象上的两点，则y >y
2 1 2 2 1 2
D．当1≤x≤2时，函数y的最大值为3，则m=3或5
【答案】D
m−1
【详解】解：当x+1≥−x+m时，即x≥ 时，y=−x+m，
2
m+1
当x+1<−x+m时，即x< 时，y=x+1，
2
∴y=¿，
A．若m=1，y=¿，
8当x≥0时，y=−x+1，y≤−2，即−x+1≤−2，解得x≥3；
当x<0时，y=x+1，y≤−2，即x+1≤−2，解得x≤−3；
∴当y≤−2时，则x≤−3或x≥3，故选项A正确；
( 1) ( 1)
B．当函数图象经过 0， 时，将 0， 代入y=¿，
2 2
m−1 ( 1)
显然只有x≥ 时，函数图象才能经过 0， ，
2 2
1 1 m−1 1
∴ =−0+m，即m= ， =− ，
2 2 2 4
∴y=¿，
1( 1)
∵当y=−x+ x≥− 时，y随x的增大而减少，
2 4
( 1)
∴当y=x+1 x<− 时，y随x的增大而增大，
4
1 1 3
∴当−x+ =x+1时，即x=− 时，函数取得最大值，此时y= ，
2 4 4
( 1 3)
∴该函数图象的最高点的坐标为 − ， ，故选项B正确；
4 4
m m−1 1 m m−1
C．∵ − = >0，∴ > ，
2 2 2 2 2
m m m
∴当x= 时，y =− +m= ，
2 1 2 2
m+1 m−1 m+1 m−1
− =1>0，∴ > ，
2 2 2 2
m+1 m+1 m−1
∴当x= 时，y =− +m= ，
2 2 2 2
m−1 m 1
∵y −y = − =− <0，
2 1 2 2 2
∴y >y ，故选项C正确；
1 2
m−1
D．当 ≥1时，即x≥1，m≥3时，y=−x+m，
2
此时，y随x的增大而减少，
∴在1≤x≤2内，当x=1时，y最大，
∴−1+m=3，解得m=4，符合要求；
m−1
当 ≤2时，即x≤2，m≤5时，y=x+1，
2
此时，y随x的增大而增大，
∴在1≤x≤2内，当x=2时，y最大，
9∴2+1=3，等式成立；
综上，当1≤x≤2时，函数y的最大值为3，m=4或−1<m≤5，故选项D不正确；
故选：D．
12．如图，直线y =kx+b与直线y =−x+5交于点(1,m)，则不等式y <y 中，x的取值
1 2 2 1
范围是 __．
【答案】x>1
【详解】解：∵直线y =kx+b与直线y =−x+5交于点(1,m)，
1 2
∴当x>1时，不等式y <y ．
2 1
故答案为：x>1．
13．要研究使x，y满足x+1−y≥0的范围问题时，我们可以借助观察y=x+1的图象解决．
如图，阴影部分为满足x+1−y≥0的区域，若x，y满足条件¿，令M=2x−5 y，则M的
取值范围为 _____．
【答案】−3≤M≤4##4≥M≥−3
【详解】解：由题意得，下图阴影部分（△OAB所在的区域）为x，y满足题设条件的区域，
联立¿，
解得：¿，即点B(1，1)，
对于x+ y−2=0，令y=0，则x=2，故点A(2，0)，
2 1
由M=2x−5 y得：y= x− M，
5 5
101 2 1
则 M为直线y= x− M与y轴交点的纵坐标，
5 5 5
2 1 1
如图，当直线：y= x− M过点A时，此时− M最小，即M最大，
5 5 5
2 1
将点A坐标代入上式得：0= ×2− M，解得：M=4，
5 5
2 1 1
同理当直线：y= x− M过点B时，此时− M最大，即M最小，
5 5 5
2 1
即1= ×1− M，解得：M=−3，
5 5
故−3≤M≤4．
故答案为：−3≤M≤4．
14．（2022春·湖南岳阳·八年级统考期末）如甲、乙两家草莓采摘园的草莓品质相同，销
售价格也相同。“五一期间”，两家均推出了优惠方案，甲采摘园的优惠方案是：游客进
园需购买60元的门票，采摘的草莓六折优惠；乙果摘园的优惠方案是：游客进园不需购买
门票，采摘园的草莓超过一定数量后，超过部分打折优惠。优惠期间，设某游客的草莓采
摘量为x（千克），在甲采摘园所需总费用为y （元），在乙采摘园所需总费用为y
1 2
（元），图中折线OAB表示y 与x之间的函数关系．
2
(1)甲、乙两采摘园优惠前的草莓销售价格是每千克___________元；
(2)求y 、y 与x的函数表达式；
1 2
(3)在图中画出y 与x的函数图象，并写出选择甲采摘园所需总费用较少时，草莓采摘量x
1
的范围．
【答案】(1)30
(2)y =18x+60，y =¿
1 2
(3)草莓采摘量5<x<30时，选择甲采摘园所需总费用较少
【详解】
（1）
解：观察所给图象可知，优惠前10千克草莓300元，
300÷10=30（元）
因此甲、乙两采摘园优惠前的草莓销售价格是每千克30元．
故答案为：30；
11（2）
解：由（1）知甲、乙两采摘园优惠前的草莓销售价格是每千克30元．
因此y 与x的函数表达式为：y =60+30×0.6x=18x+60．
1 1
由所给图象可知，
300
当0≤x<10时，y 与x的函数表达式为：y = x=30x；
2 2 10
当x≥10时，设y 与x的函数表达式为y=kx+b，
2
由x=10时，y=300，x=20时，y=450，
可得¿，
解得¿，
因此x≥10时，y 与x的函数表达式为：y=15x+150，
2
综上可知，y 与x的函数表达式为：y =¿．
2 2
（3）
解：函数y 的图象如图所示，y 的图象与OA段交点为F，与AB段交点为E，
1 1
将y 、y 与x的函数表达式联立，
1 2
解方程组¿，
得¿，
因此点F的坐标为(5,150)；
解方程组¿，
得¿，
因此点E的坐标为(30,600)；
观察图象可知，EF段y 函数图象在y 函数图象的下方，
1 2
即草莓采摘量5<x<30时，选择甲采摘园所需总费用较少．
15．为促进复工复产，调动消费积极性，两个商场分别推出了如下促销活动．
甲商场：所有商品按标价9折出售．
乙商场：一次购买商品总额不超过300元的按原价付费，超过300元的部分打8折．
设需要购买商品的原价总额为x元，去甲商场购买应付y 元，去乙商场购买应付y 元，其
1 2
函数图象如图所示．
12(1)分别求y 、y 与x的函数关系式．
1 2
(2)两图象交于点E，请求出E点坐标，并说明点E的实际意义．
(3)黄老师准备去商场购物，请你建议黄老师选择去哪个商场购物更划算．
【答案】(1)y =0.9x，y =¿
1 2
(2)E点坐标为(600,540)，E点的实际意义：当购买商品的为600元时，甲乙两个商场优惠
后所需要的费用是相等的，均为540元；
(3)建议如下：当x＜600时，去甲商场购物更划算；当x=600时，两家商场购物所需费用一
样；当x＞600时，去乙商场购物更划算
【详解】（1）根据题意有：
去甲商场购买：y =0.9x，
1
去乙商场购买：
当0≤x≤300时，y =x；
2
当x＞300时，y =300+(x−300)×0.8=0.8x+60，
2
则有：y =¿；
2
（2）由图可知，E点的横坐标大于300，
则令0.9x=0.8x+60，
解得x=600，
当x=600时，有y =0.9×600=540=0.8x+60= y ，
1 2
即E点坐标为(600,540)，
由图可知，E点的实际意义：当购买商品的为600元时，甲乙两个商场优惠后所需要的费
用是相等的，均为540元；
（3）根据（2）中所求得E的坐标为(600,540)，
由结合图象可知：
当x＜600时，y ＜y ，去甲商场购物更划算；
1 2
当x=600时，y = y ，两家商场购物所需费用一样；
1 2
当x＞600时，y ＞y ，去乙商场购物更划算．
1 2
则建议如下：
13当x＜600时，去甲商场购物更划算；
当x=600时，两家商场购物所需费用一样；
当x＞600时，去乙商场购物更划算．
16．（2023秋·河北保定·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分
别为(3,0)，(1,3)，直线l的表达式为：y=kx+6−5k(k≠0)．
(1)当k=2时，直线l与x轴的交点的坐标是__________；
(2)嘉嘉发现：直线l恒过一点，请你通过计算找出这点；
(3)若线段AB与直线l有交点，请直接写出k的取值范围．
3
【答案】(1)(2,0)；(2)(5,6)；(3) ≤k≤3
4
【详解】（1）解：当k=2，直线l的表达式为：y=2x−4，
当y=0时，得0=2x−4，
解得x=2，
∴直线l与x轴的交点的坐标是(2,0)，
故答案为：(2,0)；
（2）∵y=kx+6−5k(k≠0)，
∴y=k(x−5)+6，
当x=5时，y=6，
∴直线l恒过点(5,6)；
（3）∵线段AB与直线l有交点
∴直线l过点A和B时，得k的取值范围；
如下图所示，
14当直线l过点C(5,6)和A(3,0)时，得3k+6−5k=0
∴k=3
当直线l过点C(5,6)和B(1,3)时，得k+6−5k=3
3
∴k=
4
3
∴当 ≤k≤3时，线段AB与直线l有交点．
4
培优第三阶——中考沙场点兵
17．（2021·福建·统考中考真题）如图，一次函数y=kx+b(k>0)的图象过点(−1,0)，则
不等式k(x−1)+b>0的解集是（ ）
A．x>−2 B．x>−1 C．x>0 D．x>1
【答案】C
【详解】解：如图所示，将直线y=kx+b(k>0)向右平移1个单位得到
y=k(x−1)+b(k>0)，该图像经过原点，
由图像可知，在y轴右侧，直线位于x轴上方，即y>0，
因此，当x>0时，k(x−1)+b>0，
15故选：C．
18．（2022·江苏南通·统考中考真题）根据图像，可得关于x的不等式kx>−x+3的解集是
（ ）
A．x<2 B．x>2 C．x<1 D．x>1
【答案】D
【详解】解：根据图象可得：不等式kx＞−x＋3的解集为：x＞1．
故选：D．
19．（2022·山东济宁·统考中考真题）已知直线y＝x－1与y＝kx＋b相交于点（2，1）．
1 2
请写出b值____（写出一个即可），使x＞2时，y＞y．
1 2
【答案】2（答案不唯一）
【详解】解：∵直线y＝x－1与y＝kx＋b相交于点（2，1），
1 2
∴点（2，1）代入y＝kx＋b，
2
得2k+b=1，
1−b
解得k=
,
2
∵直线y＝x－1，y随x的增大而增大，
1
又 x＞2时，y＞y，
1 2
∴ k<1，
∴1−b<2，
解得b>−1，
故答案为：2（答案不唯一）
1620．（2022·江苏扬州·统考中考真题）如图，函数y=kx+b(k<0)的图像经过点P，则关于
x的不等式kx+b>3的解集为________．
【答案】x<−1
【详解】由一次函数图像得，当y>3时，x<−1，
则y=kx+b>3的解集是x<−1．
21．（2022·江苏泰州·统考中考真题）一次函数y=ax+2的图像经过点(1，0)．当y>0时，
x的取值范围是__________．
【答案】x<1
【详解】解：把(1，0)代入一次函数y=ax+2，得
a+2=0，
解得：a=-2，
∴y=-2x+2，
当y>0时，即-2x+2>0，
解得：x<1．
故答案为：x<1．
22．（2022·江苏泰州·统考中考真题）定义：对于一次函数y =ax+b、y =cx+d ，我
1 2
们称函数y=m(ax+b)+n(cx+d)(ma+nc≠0)为函数y 、y 的“组合函数”.
1 2
(1)若m=3，n=1，试判断函数y=5x+2是否为函数y =x+1,y =2x−1的“组合函数”，
1 2
并说明理由;
(2)设函数y =x−p−2与y =−x+3p的图像相交于点P.
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①若m+n>1，点P在函数y 、y 的“组合函数”图像的上方，求p的取值范围；
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②若p≠1，函数y 、y 的“组合函数”图像经过点P.是否存在大小确定的m值，对于不等
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于1的任意实数p，都有“组合函数”图像与x轴交点Q的位置不变?若存在，请求出m的
值及此时点Q的坐标;若不存在，请说明理由.
【答案】(1)y=5x+2是函数y =x+1,y =2x−1的“组合函数”
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(2)①p<1；②存在，见详解
17【详解】（1）解：y=5x+2是函数y =x+1,y =2x−1的“组合函数”，
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理由：由函数y =x+1,y =2x−1的“组合函数”为：y=m(x+1)+n(2x−1)，
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把m=3，n=1代入上式，得y=3(x+1)+(2x−1)=5x+2，
∴函数y=5x+2是函数y =x+1,y =2x−1的“组合函数”；
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（2）解：①解方程组¿得¿，
∵ 函数y =x−p−2与y =−x+3p的图像相交于点P，
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∴点P的坐标为(2p+1,p−1)，
∵y 、y 的“组合函数”为y=m(x−p−2)+n(−x+3p)，
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∴y=(m−n)x+3pn−mp−2m，
∵m+n>1，点P在函数y 、y 的“组合函数”图像的上方，
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∴p−1＞(m−n)(2p+1)+3pn−mp−2m，整理，得p−1＞(m+n)(p−1)，
∴p−1<0，p<1，
∴ p的取值范围为p<1；
②存在，理由如下：
∵函数y 、y 的“组合函数”图像经过点P．
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∴将点P的坐标(2p+1,p−1)代入“组合函数”y=(m−n)x+3pn−mp−2m，得
p−1=(m−n)(2p+1)+3pn−mp−2m，
∴ p−1=(m+n)(p−1)，
∵p≠1，
∴m+n=1，n=1−m，
将n=1−m代入y=(m−n)x+3pn−mp−2m=(2m−1)x+3p−4 pm−2m，
把y=0代入y=(2m−1)x+3p−4 pm−2m，得(2m−1)x+3p−4 pm−2m=0
p(−3+4m)+2m
解得：x= ，
2m−1
3
设−3+4m=0，则m= ，
4
3
2×
4
∴x= =3
3
2× −1
4
∴Q(3,0)，
∴对于不等于1的任意实数p，存在“组合函数”图像与x轴交点Q的位置不变．
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