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北师大版（2024）第四章《一次函数》4.2认识一次函数（1）教学设计
学科 数学 年级 八 课型 新授课 单元 四
课题 函数 课时 1
引导学生从数到形、从静到动、从具体到抽象的认知飞跃。要求学生不仅要“学会”知识，更
课标 要学会数学，掌握数形结合这一强大的思想武器，并能用它来分析和解决问题。
要求
《一次函数》是初中数学八年级上册的重要内容。从知识内容来说,本课是对函数的进一步认
识与提升，进一步发展学生的抽象逻辑思维，渗透建模思想。函数本身是反映现实世界变化规
律的重要模型，教材在编排上充分体现了从实际生活情境中抽象数学问题，建立模型并形成概
教材 念的过程，并将正比例函数纳入一次函数的研究中，力图通过实例从代数表达式的角度认识一
分析 次函数。从教材体系来说，之前学生已经掌握了变量之间的关系，初步体会了函数概念的基础
之上的教学。通过本节课的学习可以培养学生函数思想和建模意识，为之后探究一次函数图
像、二次函数等奠定了扎实的基础。本课的知识起到了承前启后的作用，也符合学生的认知规
律。
八年级的学生好奇、好动、好表现，应尽量让学生发表自己的想法。因此本节课既要考
虑学生的认知思维特点，也要积极关注学生的已有知识储备。就现阶段的学生而言，已经掌握
学情 了两个变量的关系，能列出变量间的关系表达式，但是借助生活情境，正确将实际问题抽象为
分析 函数模型是有一定困难的，因此需要积极引导学生学习好的数学方法，进一步体会变量和函数
之间的关系 更多说课稿因此在教学过程中教师要充分借助具体情境来激发学生学习兴趣的同
时设置问题来引发学生思考，类比观察、探究规律，巧妙地建立概念。
（1）理解一次函数和正比例函数的概念，以及它们之间的关系。
（2）确定一次函数与正比例函数的解析式。
核心
（3）让学生经历观察、比较、交流等体验，进一步有条理表达的能力，培养学生发现问题、
素养
提出问题的能力。
目标
（4）通过函数与变量之间的关系的联系，一次函数与一次方程的联系，发展学生的数学思
维。
教学 理解一次函数、正比例函数意义及解析式特点｡
重点
教学 一次函数、正比例函数的解析式特点
难点
教学 课件
准备
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
一、温故 1、在某个变化过程中，有两个变量x 和y，对于变量 回顾知识 回顾知识，为新授
x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我 奠基。
们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量.
2、函数有图象、表格、关系式三种表达方式.
二、引新 一个滴水的水龙头一年的滴水量大约是多少？够一个 思考问题 问题引入，激发兴
人使用一年吗？设计一个方案估算一下。 趣。
2020 年，我国生活用水量，城镇（含公共用水）
207L/d,农村100L/d
三、探究 活动1： 从生动有趣的问题
1、学生独立
将水龙头拧到适当的位置，造成漏水现象，在水龙头 情景(漏水龙头、
思考､计算、
下放一个量杯，每隔1min记录一下量杯的水量，将记 线香燃烧时间、弹
录的数据填入下表。在坐标纸上描出v、t的对应点， 填表作图初步 簧长度、汽车油箱探究漏水量的变化规律，估算一下这个水龙头一天的 中的耗油量和剩
认识一次函数
漏水量。 余)出发,通过对一
中自变量增加
般规律的探索过
（减少），函 程,从实际问题中
数值就均匀增 抽象出一次函数和
正比例函数的概
加（减少）这
念.引导学生小组
变化规律。
交流得出一次函数
2、小组内与
与正比例函数之间
同伴交流，归 的关系。
纳一次函数、
正比例函数的
定义和它们之
间的关系。
时 间 1 2 3 4 5 6
t/min
漏 水 5.5 11 16.5 22 27.5 33
量v/L
1、描点，连线
2、思考
（1）连线后这线有什么特点？（2）写出v与Y的关系式。【v=55t】
活动2：
为了估算一根驱蚊线香可燃烧时间，小颖点燃一根
香，每隔1min测量一次线香燃烧的长度，数据如下。
时 间 1 2 3 4 5 6
t/min
可燃烧 22.4 21.9 21.4 20.9 20.4 19.9
长 度
L/cm
（1）在平面直角坐标系中描出各点。
（2）估计燃烧10min后线香可燃烧的长度。
（3）估计这根线香燃烧的时间。
（4）试写出燃烧时间（t）和可燃烧的长度L的关系
式。
从表格中可以看出每分钟燃烧长度是0.5cm,线香总长
度是22.9cm,所以10min燃烧5厘米，可燃烧长度
22.9-5=17.9cm;估计这根线香可以燃烧22.9÷0.5≈46分
钟。关系式是L=22.9-0.5t
交流讨论：
燃烧时间增加1min,可燃烧部分减少0.5cm,也就是说随
着时间的增加可燃烧长度“均匀”的减少，如何理解
“均匀”？
活动三
在弹性限度内，某弹簧的长度y(单位：厘米）与所挂
物体的重量x（单位kg)的关系如下表（1）随着挂物体重量的增加，弹簧长度是均匀的增长
吗？
（2）写出Y与x的关系式，并说明理由。
【不挂物体的时候弹簧长度是3cm,随着挂物体重量的
增加，弹簧长度是均匀的增长5cm,所以Y=3+0.5X】
活动四
某辆汽车油箱中原有油40L,汽车每行驶50km耗油4L.
(1) 完成下表：
0 4 8 12 16 24
（1)写出耗油量y与汽车行驶的路程x的关系式
（2）写出油箱剩余油量z（单位：L)与行驶的路程x
的关系式
继续探究
下列等式的结构特征有什么特点。
(1) v=5.5t (2)L=22.9-0.5t (3)y=3+0.5x，
（1）都是含有两个变量等式.其中左边是因变量，右
边是自变量；
（2）自变量的系数都不为0；
（3）自变量和因变量的次数都是一次的.
(4) 自变量增加（减少），函数值就均匀增加（减
少）
探究小结：
一次函数的定义
若两个变量 x，y
间的对应关系可以
表示成y=kx+b(k, b为常数，k≠0）的形式，则称y是x
的一次函数.
特别地，当b=0时，称y是x的正比例函数.
一次函数
关系式为：y=kx+b
(k,b为常数，k≠0）关系式为：y=kx
正比例函数
(k为常数，k≠0）
一次函数与正比例函数的关系
一次函数
正比例函数
四、典例 例1 写出下列各题中y与 x之间的关系式，并判 自学课本例题 通过例题 1 的学
精析 断：y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？ 1 习，把变量之间的
（1）汽车以60千米/时的速度匀速行驶,行驶路程为 关系用代数式的形
式表现出来，巩固
y(千米)与行驶时间x(时)之间的关系;
一次函数、正比例
解：由路程=速度×时间，得y=60x ,
函数的的概念和内
y是x的 一次函数,也是x的正比例函数.
在联系。
(2) 圆的面积y(cm2)与它的半径x(cm)之间的关系.
解：
y 不是x的一次函数,也不是x的正
比例函数.
(3) 某水池有水15cm3，现打开进水管进水，进水速度
为5cm3/h，xh后这个水池内有水ycm3。
解：这个水池每小时增加5立方厘米，xh增加5x,
y=15＋5x
y是x的一次函数,但不是x的正比例函数.
五、课堂 基础达标： 学生完成课堂 引导学生能够在课
练习 1. 判断下列函数关系式中，y是否为x一次函数？是 练习。 堂练习的完成过程
否为正比例函数？ 中对要点知识加深
巩固，有效应用。
是一次函数
的是：①、③、⑥
是正比例函数的是：①、⑥
2、写出下列一次函数关系式中的k和b.
（1）y=2x-1，k= 2 ，b= - 1 ；
（2）y=-5x， k= - 5，b= 0 ；
（3） K = ， b= 2 ;3.下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的是（
C ）
A. B. y=-3x C. y=2(x+3)
D.
4.已知函数Y=(m+5)x+m-3
1）若该函数是一次函数，则m的取值范围为
m≠5
；
（2）若该函数是正比例函数，则y与x之间的函数关
系式为: y=8 x .
5.下列说法中，不正确的是（ C ）
A.一次函数不一定是正比例函数
B.正比例函数是一次函数的特例
C.不是正比例函数就不是一次函数
D.不是一次函数就不是正比例函数
6、某种大米的单价是2.2元/千克，当购买x千克大
米时，花费为y元。y是x的一次函数吗？是正比例函
数吗？
答：y=2.2x ，y是x的一次函数，也是正比例函数。
7、 如图，甲、乙两地相距100千米，现
有 一列火车从乙地出发，以80千米/时
的速度向丙地行驶。设x（时）表示火车行驶的时
间，y（km)表示火车与甲地的距离。（1)写出y 与 x
之间的关系式，并判断y是否为x的一次函数；（2）
当x=0.5时，求y的值
答：（1） y=100+80x ，y是x的一次函数；
（2）当x=0.5时，y=100+80×0.5=140
能力提升：
8.若 是关于x的正比例函数。
则m= .若是一次函数则 m = .
-2 ≠2
9.若 是关于x正比例函数，m=
.
-2
拓展迁移：
10. 某书店开设两种租书方式：一种是零星租书，每
本收费1元，另一种是会员卡收费，卡费每月12元，
租书每本0.4元，小彬经常来该店租书，若每月租书
数量为x本.
(1)写出零星租书方式应付金额y （元）与租书数量x
（本）之间的函数关系式.
(2)写出会员卡租书方式应付金额y （元）与租书数量x（本）之间的函数关系式.
(3)小彬选择哪种租书方式更合算？为什么?
解:
(1)y =x.
(2)y =0.4x+12.
(3)由x=0.4x+12知,当x<20时，零星租书方式合算；
当x=20时，两种租书方式一样；当x>20时,会员卡租
书方式合算.
六、课堂 适时小结，兴趣延伸 引导学生对本 引导学生从知识内
总结 1、一次函数与正比例函数的概念： 课学到知识进 容、研究方法以及
2、一次函数与正比例函数的关系： 行课堂总结。 运用过程三个方面
3、依据实际问题的意义，会列出一次函数与正比例函 总结自己的收获，
让学生全面把握本
数的表达式；
节课的重点和难
点，并启发学生用
一次函数
类比或迁移的方法
学习后续课程。
正比例函数
板书设计 利用简洁的文字、
一次函数
关系式为：y=kx+b 符号、图表等呈现
本节课的新知，可
(k,b为常数，k≠0）
以帮助学生理解掌
握知识，形成完整
关系式为：y=kx
正比例函数 的知识体系。
作业设计 基础达标： (k为常数，k≠0）
（课外练 1. 下列函数关系式中，哪些是一次函数，哪些是正比例函数？
习）
（（ 12）） yy==-5xx- 2 4+ 6 y是x的一次函数，不是正比例函数.
（3）y=2πx
y不是x的一次函数，也不是正比例函数.
y是x的一次函数，也是正比例函数.
y是x的一次函数，不是正比例函数.
y是x的一次函数，不是正比例函数.
(5)y=3（x+1）
2.一次函数y=－3x+2中，k= - 3 ,b= 2 .
3.下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的为（ C ）
A B. C. D.
4.如 图，甲乙两地相距120千米，现有一列火车从乙地出发，以85千米/时
的速度驶向丙地。设 x （时）表示火车
行驶的时间，y（千 米）
表示火车与甲地的距离， 则y与x之间的关系式为 y=85x+12 0 。
5.当a ≠ 2 时，函数y=（a-2)x+5 是关于x的一次函数.
6.当k= 1 时，函数y=3x+1-k 是关于x的正比例函数.
7.当m= 4 时， 函数 是关于x的一次函数.
能力提升：
8.若函数 y=(6+3m)x+4n-4是一次函数，则m,n应该满足的条件是 m ≠－ 2, n 为任意实数
,若是正比例函数，则m,n应该满足是 m ≠－ 2,n= 1 ，
9.当k= 3 时,函 数 是关于x的一次函数 .
拓展迁移：
10．为了增强居民的节约用水意识，某市制定了新的水费标准：每户每月用水量不超过 5 t
的部分，自来水公司按每吨2元收费；超过5 t的部分，按每吨2.6元收费.设某用户月用
水量x吨，自来水公司应收的水费为y元.
（1）试写出y（元）与x（t）之间的函数关系式.
解:（1）当x≤5时，y＝2x；
当x>5时，y＝10＋（x-5）×2.6＝2.6x-3;
所以y=2.6x-3
（2）该户今年5月份的用水量为8 t，自来水公司应收水费多少元？
解：（2）因为x＝8>5 所以y＝2.6×8-3=17.8（元）
教学反思
