第05 讲一元二次方程的根与系数的关系
内容导航
01 预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向
02 教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理
03 题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型1 利用一元二次方程根与系数的关系求值
题型2 通过化简、变形利用一元二次方程根与系数的关系求值
题型3 利用一元二次方程根与系数的关系求参数
题型4 利用一元二次方程根与系数的关系分析、判断命题真假
题型5 与一元二次方程根与系数有关的解答证明题
04 过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固
关键词
学习目标导航
韦达定理、两根之和、
两根之积、对称式、判
别式前提。
1. 理解一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），能叙述两根之和、两根
之积与系数的关系。
2. 能利用求根公式推导韦达定理，体会从特殊到一般的数学思想。
3. 能运用根与系数的关系求关于两根的对称式的值（如x12 + x22、
1
�1+
1
�2 等）。
4. 能根据已知一根和系数关系，求另一根及字母系数的值。
学习重点：根与系数的关系：x1 + x2 = -
�
�，x1 x2 =
�
�（a ≠0，∆≥0）。
学习难点：运用韦达定理解决含参数的方程问题，以及构造一元二次方程；注意使用前提（判别式非
负）。
知｜识｜框｜架
知｜识｜精｜讲
知识点01 一元二次方程的根与系数的关系
如果一元二次方程
)
0
(
0
2
a
c
bx
ax
的两个实数根是
2
1
x
x ，
，那么
a
b
x
x
2
1
，
a
c
x
x
2
1
.
注意它的使用条件为a≠0，Δ≥0.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程
的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.
【易错提醒】
前提是方程有实数根（Δ≥0）且a≠0。
a
b
x
x
2
1
，
a
c
x
x
2
1
，注意分母a 与符号。
即时即练1．方程
2
3
0
x
mx
m
的两个根为
1
x ，
2x ，若
1
2
1
x
x
，则
1
2
x x
．
【答案】3
【分析】本题考查了根与系数的关系，根据
1
2
1
x
x
，可求出m 的值；再由
1
2
c
x x
a
，即可求出答案．
【详解】解：∵方程
2
3
0
x
mx
m
的两个根为
1
x ，
2x ，
∴
1
2
x
x
m
∵
1
2
1
x
x
，
∴
1
m ，
∴
2
3
0
x
x
，
∴
2
1
3
x
x
．
故答案为：3
．
2．一元二次方程
2
5
3
0
x
x
的两个根分别为
1
x 、
2x ，则
1
2
1
2
x x
x
x
．
【答案】8
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握这个关系是关键．当然本题也可直接解方程来求
解．
由一元二次方程根与系数的关系带入即可求得．
【详解】解：由根与系数的关系得：
1
2
5
x
x
；
1
2
3
x x ；
∴
1
2
1
2
1
2
1
2
(
)
3
5
8
x x
x
x
x x
x
x
故答案为：8
．
知识点02
一元二次方程的根与系数的关系的应用
(1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根；
(2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数；
(3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x1、x2 的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变
形；如：①
2
2
2
1
2
1
2
1
2
(
)
2
x
x
x
x
x x
；②
1
2
1
2
1
2
1
1
x
x
x
x
x
x
；③
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
(
)
x x
x x
x x
x
x
；
④
2
2
2
1
1
2
1
2
1
2
x
x
x
x
x
x
x x
2
1
2
1
2
1
2
(
)
2
x
x
x x
x x
；⑤
2
2
1
2
1
2
1
2
(
)
(
)
4
x
x
x
x
x x
；
⑥
1
2
(
)(
)
x
k
x
k
2
1
2
1
2
(
)
x x
k x
x
k
；⑦
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
|
|
(
)
(
)
4
x
x
x
x
x
x
x x
；
⑧
2
2
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
(
)
2
1
1
(
)
x
x
x
x
x x
x
x
x x
x x
；⑨
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
(
)
(
)
4
x
x
x
x
x
x
x x
；
⑩
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
|
|
|
|
(|
|
|
|)
+2 |
|
x
x
x
x
x
x
x
x
2
1
2
1
2
1
2
(
)
2
2 |
|
x
x
x x
x
x
．
(4) 已知方程的两根，求作一个一元二次方程；以两个数
为根的一元二次方程是
.
(5)已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围；
（6）利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号.
设一元二次方程
2
0(
0)
ax
bx
c
a
的两根为
1x 、
2x ，则
①当△≥0 且
1
2
0
x x
时，两根同号．
当△≥0 且
1
2
0
x x
，
1
2
0
x
x
时，两根同为正数；
当△≥0 且
1
2
0
x x
，
1
2
0
x
x
时，两根同为负数．
②当△＞0 且
1
2
0
x x
时，两根异号．
当△＞0 且
1
2
0
x x
，
1
2
0
x
x
时，两根异号且正根的绝对值较大；
当△＞0 且
1
2
0
x x
，
1
2
0
x
x
时，两根异号且负根的绝对值较大．
要点：
（1）利用根与系数的关系求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的．一些考试中，往往利用
这一点设置陷阱；
（2）若有理系数一元二次方程有一根a
b
，则必有一根a
b
（a ，b 为有理数）．
【易错提醒】
先验∆≥0。求x12+x22 用(x1+x2)2-2x1x2；求|x1-x2| 用
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
|
|
(
)
(
)
4
x
x
x
x
x
x
x x
。勿混
淆公式符号。
即时即练1．已知关于x 的方程
2
2
4
4
0
x
x
m
（m 为常数）．
(1)求证：不论m 取何值时，该方程总有实数根；
(2)若该方程的两个实数根
1
x 、
2x 满足
1
2
6
x x
，求m 的值．
【答案】(1)见解析
(2)
10
m
【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，解答关键是熟练掌握一元二次方程根
的判别式和根与系数的关系．
（1）根据根的判别式
0
，方程有实数根可证得结论；
（2）根据根与系数关系得到
2
1
2
4
x
x
m
，进而列方程求解即可．
【详解】（1）证明：∵
2
2
2
4
4 4
4
0
m
m
，
∴不论m 取何值时，该方程总有实数根；
（2）解：∵该方程的两个实数根
1
x 、
2x ，
∴
2
1
2
4
x
x
m
，又
1
2
6
x x
，
∴
2
4
6
m
，即
2
10
m
，
解得
10
m
．
2．已知：平行四边形ABCD 的两边AB 、BC 的长是关于x 的方程
2
1
0
2
4
m
x
mx
的两个实数根，
(1)试说明：无论m 取何值方程总有两个实数根．
(2)若AB 的长为2，那么平行四边形ABCD 的周长是多少？
【答案】(1)见解析
(2)5
【分析】本题考查了一元二次方程的相关知识，平行四边形的性质．
（1）根据根的判别式证明即可；
（2）先由AB 的长为2 求出
5
2
m
，进而可知原方程为
2
5
1
0
2
x
x
，根据根与系数的关系求出AB 、BC
的和，即可求出平行四边形的周长.
【详解】（1）证明：∵
2
2
2
1
Δ
4
2
1
1
0
2
4
m
m
m
m
m
，
∴无论m 取何值方程总有两个实数根；
（2）解：∵AB 、BC 的长是关于x 的方程
2
1
0
2
4
m
x
mx
的两个实数根，AB 的长为2，
∴
1
4
2
0
2
4
m
m
，
解得：
5
2
m
，
即
2
5
1
0
2
x
x
，
∴AB 、BC 的和
1
2
5
2
x
x
，
∵平行四边形ABCD ，
∴AB
CD
，BC
AD
，
∴平行四边形ABCD 的周长
5
2
5
2
．
题型1 利用一元二次方程根与系数的关系求值
【例1】已知
1
2
,
x x 是一元二次方程
2
2
0
x
x
的两根，且
1
2
x x
．
【答案】2
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系：若
1
x ，2x 是一元二次方程
2
0
0
ax
bx
c
a
的两根时，
1
2
b
x
x
a
，1
2
c
x x
a
．掌握一元二次方程根与系数的关键是解题的关键．直接利用根与系数的关系即可得
到答案．
【详解】解：∵
1
2
,
x x 是一元二次方程
2
2
0
x
x
的两根，
∴
1
2
2
x x
，
故答案为：2
【例2】若一元二次方程
2
5
6
0
x
x
的两根分别是
1
2
x
x
，
，则
1
2
1
2
x
x
x x
的值为
；
【答案】11
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若
1
x ，
2x 为方程
2
0(a
0)
ax
bx
c
的两个根，则
1
x ，
2x 与系数的关系式：
1
2
b
x
x
a
，
1
2
c
x x
a
．根据一元二次方程根与系数关系即可求解．
【详解】解；∵
2
5
6
0
x
x
∴
1
2
5
5
1
x
x
，
1
2
6
6
1
x
x
∴
1
2
1
2
5
6
11
x
x
x x
故答案为：11
【技巧归纳】
1. 列韦达定理：
a
b
x
x
2
1
，
a
c
x
x
2
1
。
2. 变形目标式：如
2
2
2
1
2
1
2
1
2
(
)
2
x
x
x
x
x x
，
1
2
1
2
1
2
1
1
x
x
x
x
x
x
。
3. 整体代入：代入已知值求解，注意检验判别式。
【变式1-1】若
,
m n 是方程
2
x
4x
2
的两个根，则m
n
mn
．
【答案】6
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程
2
0
0
ax
bx
c
a
，若
1
2
x
x
，
是该方程的两个实数根，则
1
2
1
2
b
c
a
x
x
x x
a
，
，据此求出m
n
mn
，
的值即可得到答案．
【详解】解：∵
,
m n 是方程
2
x
4x
2
的两个根，
∴
,
m n 是方程
2
4
2
0
x
x
的两个根，
∴
4
2
m
n
mn
，
，
∴
4
2
6
m
n
mn
，
故答案为：6
【变式3】若关于x 的方程
2
4
2
0
x
x
的两根分别是
1
x ，
2x ，则
1
2
1
2
x
x
x x
的值为
．
【答案】2
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程
2
0
0
ax
bx
c
a
，若
1
2
x
x
，
是该方程的两个实数根，则
1
2
1
2
b
c
a
x
x
x x
a
，
，由此可得
1
2
1
2
4
2
x
x
x x
，
，再代值计算即可得到
答案．
【详解】解：∵关于x 的方程
2
4
2
0
x
x
的两根分别是
1
x ，
2x ，
∴
1
2
1
2
4
2
x
x
x x
，
，
∴
1
2
1
2
4
2
2
x
x
x x
，
故答案为：2
．
题型2 通过化简、变形利用一元二次方程根与系数的关系求值
【例3】设m 、n 是方程
2
2025
0
x
x
的两个实数根，则
2
2
m
m
n
．
【答案】2024
【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程
2
0
0
ax
bx
c
a
，若
1
2
x
x
，
是该方程的两个实数根，则
1
2
1
2
b
c
a
x
x
x x
a
，
，据此得到
2
2025
1
m
m
m
n
，
，再由
2
2
2
m
m
n
m
m
m
n
进行求解即可．
【详解】解：∵m 、n 是方程
2
2025
0
x
x
的两个实数根，
∴
2
2025
0
1
m
m
m
n
，
，
∴
2
2025
1
m
m
m
n
，
，
∴
2
2
2
2025 1
2024
m
m
n
m
m
m
n
．
故答案为：2024 ．
【例4】已知m ，n 是关于x 的一元二次方程
2
2025
1
0
x
x
的两个根，则
1
1
m
n
．
【答案】2027
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系以及代数式求值，先求出根与系数的关系，将代数式变形
后代入计算即可．
【详解】解：
m
，n 是关于x 的一元二次方程
2
2025
1
0
x
x
的两个根，
2025
1
2025,
1
1
1
m
n
mn
，
1
1
1
2025 1 1
2027
m
n
m
n
mn
，
故答案为：2027 ．
【技巧归纳】
1. 非对称式对称化：将x12+2x2 用韦达定理转化，如利用x12 = -bx1-c 降次，再整体代入。
2. 构造对称式：通过加减乘除凑出x1+x2 和x1x2，整体代入求值。
【变式1-1】若,a b 是关于x 的方程
2
3
0
x
x
的两实数根，则b
a
a
b
的值为
．
【答案】
7
3
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数关系，分式的求值，完全平方公式的变形应用，熟练掌握
2
0
ax
bx
c
的两根
1
2
x
x
、
满足
1
2
1
2
b
c
a
x
x
x x
a
，
是解题的关键．
根据一元二次方程根与系数关系得到
1
a
b
，
3
ab ，然后将b
a
a
b
变形后整体代入求解即可．
【详解】解：∵a，b 是方程
2
3
0
x
x
的两个实数根，
∴
1
a
b
，
3
ab
∴
2
2
2
2
2
1
2
3
7
3
3
a
b
ab
b
a
a
b
a
b
ab
ab
．
故答案为：
7
3
．
【变式3】已知一元二次方程
2
5
3
0
x
x
的两个根为
1
2
x
x
、
，则
2
2
1
2
x
x
的值为
．
【答案】19
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的两根之和与两根之积与
系数的关系是解题的关键．将
2
2
1
2
x
x
转化为
2
1
2
1
2
(
)
2
x
x
x x
，根据一元二次方程根与系数的关系即可进行
求解．
【详解】解：∵一元二次方程
2
5
3
0
x
x
的两个根为
1
x 、
2x ，
∴
1
2
1
2
3,
5
x x
x
x
，
∴
2
2
2
1
2
1
2
1
2
25
6
19
(
)
2
x
x
x
x
x x
，
故答案为：19．
题型3 利用一元二次方程根与系数的关系求参数
【例5】设
1
x 、
2x 是方程
2
4
0
x
mx
的两个根，且
1
2
1
2
2
x
x
x x
，则m
．
【答案】6
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系．掌握一元二次方程
2
0(a
0)
ax
bx
c
根与系数的关系：
1
2
b
x
x
a
和
1
2
c
x x
a
是解题关键．根据一元二次方程根与系数的关系可知
1
2
x
x
m
，
1
2
4
x x
，再求
解即可．
【详解】解：∵
1
x 、
2x 是方程
2
4
0
x
mx
的两个根，
∴
1
2
1
m
x
m
x
，
1
2
4
4
1
x x
．
∵
1
2
1
2
2
x
x
x x
，
∴
4
2
m
，
解得：
6
m ．
故答案为：6
．
【例6】已知
1
2
,
x x 是关于x 的一元二次方程
2
3
1
0
x
x
m
的两个实数根．若
1
2
1
2
2
10
0
x
x
x x
，则m
的值为
．
【答案】3
【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟记两个关系式是解题的关键．
根据一元二次方程根与系数的关系得到
1
2
1
2
3,
1
x
x
x x
m
，代入求解即可．
【详解】解：∵一元二次方程
2
3
1
x
x
m
的两个实数根分别为
1
2
,
x x ，
1
2
1
2
3,
1
x
x
x x
m
，
1
2
1
2
2
10
0
x
x
x x
，
6
(
1)
10
0
m
，
3
m
．
故答案为：3
．
【技巧归纳】
1. 列韦达定理：
a
b
x
x
2
1
，
a
c
x
x
2
1
，代入已知条件（如x1=2x2）。
2. 联立解方程：用参数表示和与积，解方程组求参数。
3. 验判别式：确保Δ≥0，排除增根。
【变式1-1】已知关于x 的一元二次方程
2
2
2
1
0
x
x
k
有实数根．
(1)求实数k 的取值范围；
(2)设方程的两个实数根分别为
1
2
,
x x ，若
1
2
1
1
1
x
x
，求k 的值．
【答案】(1)
1
k
(2)
3
2
【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根的判别式、
根与系数的关系是解题关键．
（1）根据一元二次方程的根的判别式大于或等于0 求解即可得；
（2）先根据一元二次方程的根与系数的关系可得
1
2
2
x
x
，
1
2
2
1
x x
k
，再代入计算即可得．
【详解】（1）解：∵关于x 的一元二次方程
2
2
2
1
0
x
x
k
有实数根，
∴这个方程的根的判别式
2
2
4 2
1
0
k
，
解得
1
k ，
所以实数k 的取值范围为
1
k ．
（2）解：∵关于x 的一元二次方程
2
2
2
1
0
x
x
k
的两个实数根分别为
1
2
,
x x ，
∴
1
2
2
2
1
x
x
，
1
2
2
1
2
1
1
x
k
x
k
，
∵
1
2
1
1
1
x
x
，
∴
1
2
1
2
1
1
x x
x
x
，
∴2
1 2 1
1
k
，
解得
3
2
k
．
【变式3】已知关于x 的一元二次方程
2
4
0
x
x
m
有实数根．
(1)求m 的取值范围；
(2)若两实数根分别为
1
x 和
2x ，且
2
2
1
2
1
2
6
x
x
x x
，求m 的值．
【答案】(1)
4
m ；
(2)
10
3
m
．
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系．
（1）由一元二次方程有实数根可得
2
4
4
4
0
b
ac
m
，解不等式即可；
（2）由
1
x 和
2x 是方程
2
4
0
x
x
m
的两个实数根，根据根与系数的关系可得
1
2
4
x
x
，
1
2
x x
m
，又由
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
3
6
x
x
x x
x
x
x x
，可得方程
2
4
3
6
m
，求解方程即可．
【详解】（1）解：∵关于x 的一元二次方程
2
4
0
x
x
m
有实数根，
∴
2
4
16
4
0
b
ac
m
，
解得：
4
m ；
（2）解：∵
1
x 和
2x 是方程
2
4
0
x
x
m
的两个实数根，
∵
1
2
4
x
x
，
1
2
x x
m
，
∴
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
3
6
x
x
x x
x
x
x x
，
∴
2
4
3
6
m
，
解得：
10
3
m
．
题型4 利用一元二次方程根与系数的关系分析、判断命题真假
【例7】对于一元二次方程
2
0
0
ax
bx
c
a
（
）下列说法：
①若方程的两个根是
1
1
x 和
2
2
x
，则2
0
a
c
；
②若x
c
是方程的一个根，则一定有
1
0
ac
b
成立；
③若
0
a
b
c
，则它有一个根是
1
x ；
④若方程有一个根是
0
x
m m
（
），则方程
2
0
cx
bx
a
一定有一个实数根
1
x
m
．
其中正确的个数有（
）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、由一元二次方程的解求参数
【分析】此题考查了一元二次方程的根、根与系数关系等知识．
根据一元二次方程根的定义和根与系数关系分别进行计算即可得到答案．
【详解】解：若方程的两个根是1
和2，则
( 1)
2
2
c
a
，
∴
2
c
a
，
∴2
0
a
c
；
故①正确；
若c 是方程的一个根，则
2
1
0
ac
bc
c
c ac
b
（
）
，
∴
0
c
或
1
0
ac
b
，
故②错误；
若
0
a
b
c
，则
2
1
1
0
a
b
c
a
b
c
（
）
（
）
，
即
2
0
0
ax
bx
c
a
（
）有一个根是
1
x ；
故③正确；
若方程有一个根是
0
x
m m
（
），则
2
0
0
am
bm
c
a
（
），
当
1
x
m
时，
2
2
2
2
2
2
1
1
(
)
0
c
bm
am
am
bm
c
cx
bx
a
c
b
a
m
m
m
m
，
即若方程有一个根是
0
x
m m
（
），则方程
2
0
cx
bx
a
一定有一个实数根
1
x
m
，
故④正确；
综上可知，正确的是①③④，
故选：C．
【例8】对于两个代数式，记
3
M
x
，
1
N ，以下说法正确的个数是（
）
①若
2
2
11
M
N
MN
，则
1
x ；
②若关于x 的方程
2
1
2
9 M
N
x
m
没有实数根，则
13
4
m
；
③代数式
2
2
M
M
N
有最小值2
；
④若关于x 的方程
2
0
x
M
N
的解为p 和q，则
2
2
p
q
pq
的值为3 5
1
．
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【知识点】配方法的应用、因式分解法解一元二次方程、一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次
方程根的情况求参数
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，根据
2
2
11
M
N
MN
可得
2
9
1 3
11
x
x
，据此解方程即可判断①；根据题意可得关于x 的方程
2
1 3
1
2
9
x
x
m
没有实数根，据此利用根的判别式求解即可判断②；
2
2
2
3
1
2
M
M
N
x
，据
此可判断③；关于x 的方程
2
3
1
0
x
x
的解为p 和q，则
3
1
p
q
pq
，
，进而根据完全平方公式的变
形得到
5
p
q
，再根据
2
2
p
q
pq
p
q
p
q
pq
即可判断④．
【详解】解：∵
3
M
x
，
1
N ，
∴
3
1
3
1
3
M
N
x
M
N
x
MN
x
，
，
，
∴
2
2
2
3
1 3
1
9
1
M
M
N
M
N
x
N
x
x
，
∵
2
2
11
M
N
MN
，
∴
2
9
1 3
11
x
x
，
∴
2
3
4
0
x
x
，
解得
1
x 或
4
3
x
，故①说法错误；
∵关于x 的方程
2
1
2
9 M
N
x
m
没有实数根，
∴关于x 的方程
2
1 3
1
2
9
x
x
m
没有实数根，
∴关于x 的方程
2
3
0
x
x
m
没有实数根，
∴
2
1
4
3
0
m
，
∴
13
4
m
，故②说法正确；
2
2
M
M
N
2
3
2 3
1
x
x
2
9
6
1
x
x
2
9
6
1
2
x
x
2
3
1
2
x
，
∵
2
3
1
0
x
，
∴
2
3
1
2
2
x
，
∴代数式
2
2
M
M
N
的最小值为2
，故③正确；
∵关于x 的方程
2
0
x
M
N
的解为p 和q，
∴关于x 的方程
2
3
1
0
x
x
的解为p 和q，
∴
3
1
p
q
pq
，
，
∴
2
2
4
9
4
5
p
q
p
q
pq
，
∴
5
p
q
，
∴
2
2
p
q
pq
p
q
p
q
pq
3
1
p
q
∴
2
2
3 5
1
p
q
pq
或
2
2
3 5
1
p
q
pq
，故④错误，
故选B．
【技巧归纳】
1. 转化条件：将命题条件（如两根异号）转化为x1x2<0，再代入韦达定理。
2. 列不等式组：结合∆>0 及韦达定理符号要求（如和为正、积为负）。
3. 验证反例：特殊值法快速判断假命题。
【变式1-1】对于一元二次方程
2
0(a
0)
ax
bx
c
，有下列说法：①若
0
a
b
c
，则方程
2
0(a
0)
ax
bx
c
必有一个根为1；②若方程
2
0
ax
c
有两个不相等的实根，则方程
2
0(a
0)
ax
bx
c
必有两个不相等的实根；③若c 是方程
2
0(a
0)
ax
bx
c
的一个根，则一定有
1
0
ac
b
成立；④若
0x 是一元二次方程
2
0(a
0)
ax
bx
c
的根，则
2
2
0
4
2
b
ac
ax
b
．其中正确的
是（
）
A．只有②
B．只有②④
C．只有②③
D．只有②③④
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据判别式判断一元二次方程根的情况、根据一元二次方程
根的情况求参数
【分析】本题主要考查一元二次方程的根、一元二次方程的根的判别式、等式的性质，根据一元二次方程
的根的含义、一元二次方程的根的判别式、等式的性质、一元二次方程的求根公式，对各选项分别讨论，
即可得出答案．
【详解】解：①当
1
x 时，
2
( 1)
( 1)
0
a
b
c
a
b
c
，∴方程必有一个根为，故①错误，不符合题
意；
②方程
2
0
ax
c
有两个不相等的实根，则4
0
ac
，那么
2
4
0
b
ac
，故方程
2
0(a
0)
ax
bx
c
必有两
个不相等的实根，故②正确，符合题意；
③由c 是方程
2
0(a
0)
ax
bx
c
的一个根，得
2
0
ac
bc
c
．当
0
c
，则
1
0
ac
b
；当
0
c
，则
1
0
ac
b
不一定等于0，故③不一定正确，不符合题意；④若
0x 是一元二次方程
2
0(a
0)
ax
bx
c
的
根，可得
2
0
4
2
b
b
ac
x
a
，把
0x 的值代入
2
0
(2
)
x
b
，可得
2
2
0
4
(2
)
b
ac
ax
b
，故④正确，符合题意．
正确的结论为②④，
故选：B．
【变式3】在桥梁结构的力学分析中，工程师们用到一元二次方程
2
0(
0)
px
qx
r
p
来计算结构的受力
情况．对于这个方程，有下列说法：
①若
0
p
q
r
，则
2
4
0
q
pr
；
②若方程
2
0(
0)
px
qx
r
p
的两根之积为4 ，则
4
r
p
；
③若方程
2
0
px
r
有两个不相等的实根，则方程
2
0(
0)
px
qx
r
p
必有两个不相等的实根；
④若r 是方程
2
0(
0)
px
qx
r
p
的一个根，则一定有
1
0
pr
q
成立．
这些说法对于准确评估桥梁结构的稳定性至关重要，其中正确的有（
）
A．1个
B．2 个
C．3个
D．4 个
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据判别式判断一元二次方程根的情况
【分析】本题主要考查一元二次方程的根、一元二次方程的根的判别式、等式的性质，熟练掌握一元二次
方程的根、一元二次方程的根的判别式、等式的性质是解决本题的关键．按照方程的解的含义、一元二次
方程的实数根与判别式的关系、等式的性质等知识对各选项分别讨论，可得答案．
【详解】解：①当
1
x 时，
0
p
q
r
，
一元二次方程
2
0(
0)
px
qx
r
p
有两个相等的实数根或两个不相等的实数根，
2
4
0
q
pr
，故①错误；
②若方程
2
0(
0)
px
qx
r
p
的两根之积为4 ，则
4
r
p ，得到
4
r
p
，故②正确；
③方程
2
0
px
r
有两个不相等的实根，则
4
0
pr
，那么
2
4
0
q
pr
，故方程
2
0(
0)
px
qx
r
p
必
有两个不相等的实根，故③正确；
④由r 是方程
2
0(
0)
px
qx
r
p
的一个根，得
2
0
pr
qr
r
，即
1
0
r pr
q
．当
0
r
，则
1
0
pr
q
；当
0
r
，则
1
pr
q
不一定等于0 ，故④不一定正确．
综上所述：正确的有2 个；
故选：B．
题型5 与一元二次方程根与系数有关的解答证明题
【例9】已知：关于x 的方程
2
2
5
6
0
x
x
p
．
(1)求证：方程必有两个不相等的实数根；
(2)若
1
2
x
x
，
是该方程的根，且
2
1
1
2
4
3
x
x
x
，求p 的值．
【答案】(1)见解析；
(2)
2
p ．
【分析】本题考查了根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程．
（1）直接根据根的判别式证明即可；
（2）根据由题意得
2
2
1
1
5
6
x
x
p
，
1
2
5
x
x
，求出
2
6
5
3
p
，解方程即可．
【详解】（1）解：
2
Δ
25
4 6
p
2
1 4p
．
∵
2
1 4
0
p
，
∴方程必有两个不相等的实数根；
（2）解：由题意得
2
2
1
1
5
6
x
x
p
，
1
2
5
x
x
，
∵
2
1
1
2
4
3
x
x
x
，
∴
2
1
1
1
2
5
3
x
x
x
x
．
∴
2
6
5
3
p
．
解得
2
p ．
【例10】已知关于x 的一元二次方程
2
(
3)(
2)
0
x
x
m
．
(1)求证：无论m 为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程的两个实数根
，
满足
2
2
17
，求m 的值．
【答案】(1)见解析
(2)
2
m
【分析】本题考查了一元二次方程
2
0(a
0)
ax
bx
c
的根的判别式
2
4
b
ac
和一元二次方程的根与系
数的关系：当
0
，方程有两个不相等的实数根；当
0
，方程有两个相等的实数根；当
0
，方程没
有实数根;
（1）先把方程
2
(
3)(
2)
0
x
x
m
，变形为
2
2
5
6
0
x
x
m
，得出
2
2
25
4(6
)
1
4
0
m
m
，即可
得出答案；
（2）先把方程
2
(
3)(
2)
0
x
x
m
，变形为
2
2
5
6
0
x
x
m
，然后计算两根之和以及两根之积，代入求
值的代数式计算即可．
【详解】（1）证明：整理原方程得，
2
2
5
6
0
x
x
m
，
2
2
25
4(6
)
1 4
m
m
，
无论m 为何实数，总有
2
4
0
m
，从而
2
1 4
0
m
，
即
0
．
无论m 为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：由（1）得方程
2
(
3)(
2)
0
x
x
m
整理得
2
2
5
6
0
x
x
m
，
方程
2
(
3)(
2)
0
x
x
m
的两个实数根、，
，
5
，
2
6
m
，
2
2
2
2
2
(
)
2
25
2(6
)
13
2
17
m
m
，
解得
2
m
．
【技巧归纳】
1. 设而不求：用韦达定理表示x1+x2、x1x2。
2. 变形目标：将求证式转化为含和与积的形式。
3. 代入消元：用参数表示后化简，推导出定值或恒等式，注意∆≥0。
【变式1-1】已知关于x 的一元二次方程为
2
1
2
0
4
x
mx
m
．
(1)求证：无论m 为何值，此方程一定有实数根；
(2)若
1
x ，
2x 是该方程的两个不同的根，且满足
2
2
2
1
2
1
2
x
x
m
，求m 的值．
【答案】(1)见解析
(2)
1
0
m
，
2
2
3
m
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解一元二次方程，熟练掌握各知识点是
解题的关键．
（1）直接根据根的判别式计算即可；
（2）先根据根与系数的关系得到
1
2
2
x
x
m
，1
2
1
4
x x
m
，再根据完全平方公式变形得到关于的二元一
次方程，最后求解即可
【详解】（1）证明：
2
2
2
1
( 2 )
4
4
4
1
(2
1)
0
4
m
m
m
m
m
，
不论m 为何值，方程一定有实数根；
（2）
1
x ，
2x 是该方程的两个不同的根，
1
2
2
x
x
m
，
1
2
1
4
x x
m
，
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
1
2
4
2
4
2
x
x
x
x
x x
m
m
m
，
化简得：
2
3
2
0
m
m
，
解得：
1
0
m
，
2
2
3
m
．
【变式3】已知关于x 的一元二次方程
2
2
3
1
0
x
x
m
m
（m 为常数）．
(1)当
1
m 时，该方程根的判别式Δ _____；
(2)求证：无论m 取何值，方程总有两个不相等的实数根；
(3)若该方程有两个实数根
1
2
,
x x ，且
1
2
1
1
5
x
x
，求m 的值．
【答案】(1)13
(2)见解析
(3)
1
0
m
，
2
1
m
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义，根与系数的关系，解一元二次方程；
（1）首先得到方程，然后根据判别式求解即可；
（2）证明出
0
即可；
（3）首先由根与系数的关系得到
1
2
3
x
x
，
2
1
2
1
x x
m
m
，然后将
1
2
1
1
5
x
x
展开整体代入求
解即可．
【详解】（1）解：当
1
m 时，
2
2
3
1
1
1
0
x
x
∴
2
3
1
0
x
x
∴
2
Δ
3
4 1
1
13
；
（2）证明：
2
2
Δ
3
4 1
1
m
m
2
9
4
4
4
m
m
2
4
4
5
m
m
2
2
1
4
0
m
，
无论m 取何值，此方程总有两个不相等的实数根．
（3）解：由根与系数的关系，得
1
2
3
x
x
，
2
1
2
1
x x
m
m
．
1
2
1
1
5
x
x
，
1
2
1
2
1
5
x x
x
x
．
2
1
3 1
5
m
m
，即
2
0
m
m
．
解得
1
0
m
，
2
1
m ．
一、单选题
1．一元二次方程
2
2
3
0
x
x
的两个实数根为
1
x ，
2x ，则下列结论正确的是（
）
A．
1
2
3
x
x
B．
1
2
3
x
x
C．
1
2
2
x
x
D．
1
2
2
x
x
【答案】D
【分析】对于一元二次方程
2
0
ax
bx
c
，当方程有两个实数根时，两根之和
1
2
b
x
x
a
，据此求解即可．
【详解】解∶∵方程
2
2
3
0
x
x
中，
1,
2
a
b
，
∴
1
2
2
2
1
b
x
x
a
．
2．已知
1
2
,
x x 是一元二次方程
2
5
3
0
x
x
的两个实数根，则代数式
2
2
1
2
1
2
x
x
x x
的值为（
）
A．8
B．16
C．24
D．28
【答案】B
【分析】先根据根与系数的关系得到两根和与两根积，再将所求代数式变形后整体代入计算即可．
【详解】解：∵
1
2
,
x x 是一元二次方程
2
5
3
0
x
x
的两个实数根，
∴由根与系数的关系可得
1
2
5
x
x
，
1
2
3
x x
，
∴
1
2
2
1
2
1
2
2
2
1
2
2
1
2
1
2
1
2
2
3
x
x
x
x
x
x
x x
x
x
x x
x x
，
将
1
2
5
x
x
，
1
2
3
x x
代入上式，原式
2
5
3 3
25
9
16
，
故选B．
3．关于x 的方程
2
2
3
3
0
x
x
m
的两个根
1
2
,
x x 满足
1
2
3
1
x
x
，则m 的值为（
）
A．5
B．
5
C．
5
D．1
【答案】C
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到
1
2
3
x
x
，
2
1
2
3
x x
m
，结合
1
2
3
1
x
x
求解出两个根，
再代入
2
1
2
3
x x
m
求解．
【详解】解：∵方程
2
2
3
3
0
x
x
m
的两根为
1x ，
2x ，
∴
1
2
3
x
x
，
2
1
2
3
x x
m
，
∵
1
2
3
1
x
x
，
∴
2
2
3
1
3
x
x
，
解得
2
1
x ，
∴
1
2
3
1
2
x
x
，
代入
2
1
2
3
x x
m
得，
2
2
3
m
，
解得
5
m
．
4．已知实数m 、n 分别满足
2
2
1
0
m
m
，
2
2
1
0
n
n
，则n
m
m
n
的值为（
）
A．6
B．2
C．6
或2
D．6 或2
【答案】C
【分析】分两种情况：当m
n
时，实数m 、n 是方程
2
2
1
0
x
x
的两个解，由一元二次方程根与系数的
关系可得
2
m
n
，
1
mn ；当m
n
时，分别计算即可得出结果．
【详解】解：当m
n
时，
∵实数m 、n 分别满足
2
2
1
0
m
m
，
2
2
1
0
n
n
，
∴实数m 、n 是方程
2
2
1
0
x
x
的两个解，
∴
2
2
1
m
n
，
1
1
1
mn
，
∴n
m
m
n
2
2
n
m
mn
2
2
m
n
mn
mn
2
2
2
1
1
6
；
当m
n
时，
1 1
2
n
m
m
n
；
综上所述，n
m
m
n
的值为6
或2．
5．关于x 的一元二次方程
2
0
mx
nx
p
（m ，n ，p 为常数，且
0
m
，
0
p
），下列说法：
①若方程
2
0
mx
nx
p
有两个不相等的实数根，则方程
2
0
px
nx
m
也有两个不相等的实数根；
②若方程
2
0
mx
nx
p
的一个根为
(
)
0
x
k k
=
¹
，则
1
x
k
必为方程
2
0
px
nx
m
的一个根；
③若方程
2
0
mx
nx
p
的两根之积为1，则m
p
．其中正确的个数是（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】D
【分析】①根据一元二次方程
2
0
mx
nx
p
有两个不相等实数根，得出
2
1
Δ
4
0
n
mp
，即可得
2
2
2
1
Δ
(
)
4
4
Δ
0
n
p m
n
mp
，故方程
2
0
px
nx
m
也有两个不相等的实数根，①正确．②根
据
0
x
k k
是
2
0
mx
nx
p
的根，得出
2
0
mk
nk
p
，化简得
2
1
1
0
p
n
m
k
k
，则
1
x
k
满足
2
0
px
nx
m
，即
1
x
k
是该方程的根，②正确．③根据韦达定理，一元二次方程
2
0
mx
nx
p
的两根之积为
p
m ，则
1
p
m ，即p
m
，故③正确．
【详解】解：①∵一元二次方程
2
0
mx
nx
p
有两个不相等的实数根，
则
2
1
Δ
4
0
n
mp
，
∵
2
0
px
nx
m
是一元二次方程，
∴
2
2
2
1
Δ
(
)
4
4
Δ
0
n
p m
n
mp
，
∴方程
2
0
px
nx
m
也有两个不相等的实数根，①正确．
②∵
0
x
k k
是
2
0
mx
nx
p
的根，
∴
2
0
mk
nk
p
，
两边同除以
2
k （
0
k
），整理得：
2
0
n
p
m
k
k
，即
2
1
1
0
p
n
m
k
k
，
∴
1
x
k
满足
2
0
px
nx
m
，
∴
1
x
k
是该方程的根，②正确．
③根据韦达定理，一元二次方程
2
0
mx
nx
p
的两根之积为
p
m ，若两根之积为1，则：
1
p
m ，即p
m
，
故③正确．
综上，三个说法都正确，因此正确的个数是3．
二、填空题
6．一元二次方程
2
3
2
0
x
x
的两根为
1
x ，
2x ，则
1
2
1
2
x
x
x x
______．
【答案】1
【详解】解：∵一元二次方程
2
3
2
0
x
x
的两根为
1
x ，
2x ，
∴
1
2
1
2
3,
2
x
x
x x
，
∴
1
2
1
2
3
2
1
x
x
x x
．
7．已知菱形ABCD的两条对角线的长分别是方程
2
4
2
0
x
x
的两个根，则该菱形的面积为_____．
【答案】1
【分析】先利用根与系数的关系得到两条对角线的乘积，再代入面积公式计算即可．
【详解】解：设菱形ABCD的两条对角线的长分别为,a b ，
,a b
是一元二次方程
2
4
2
0
x
x
的两个根，
由根与系数的关系可得
2
2
1
ab
，
菱形ABCD的面积
1
1
2
1
2
2
S
ab
．
8．已知
,
是方程
2
2025
1
0
x
x
的两个实数根，则
2
2
2026
2
2026
2
的值为__________．
【答案】2023
【分析】利用一元二次方程根的定义得
2
2025
1
0
，
2
2025
1
0
，进而求得
2
2026
2
1
，
2
2026
2
1
，再结合根与系数的关系代入求值即可．
【详解】解：
，是方程
2
2025
1
0
x
x
的两个实数根
由根的定义得
2
2025
1
0
，
2
2025
1
0
∴
2
2
2026
2
2025
1
1
1
，
2
2
2026
2
2025
1
1
1
，
由根与系数的关系得
2025
，
1
原式
1
1
1
1
2025 1
2023
．
9．已知a，b 是方程
2
5
3
0
x
x
的两个根，则
b
a
b
a
a
b
的值________
【答案】
19
3
3
【分析】先根据根与系数的关系求出a
b
与ab 的值，判断,a b 的符号，再对所求二次根式进行化简，最后
整体代入计算即可．
【详解】解：
a
，b 是方程
2
5
3
0
x
x
的两个根，
由根与系数的关系得
5
a
b
，
3
ab
．
0
a
b
+
，
0
ab
，
0
a
，
0
b
．
∴
b
a
b
a
a
b
|
|
|
|
ab
ab
b
a
a
b
ab
ab
b
a
a
b
b
a
ab
a
b
2
2
a
b
ab
ab
2
2
a
b
ab
ab
2
5
2 3
3
19
3
3
19
3
．
10．定义：我们把关于x 的一元二次方程
2
0
ax
bx
c
与
2
0
0,
cx
bx
a
ac
a
c
称作一对“友好方
程”．如
2
2
7
3
0
x
x
的“友好方程”是
2
3
7
2
0
x
x
．那么一元二次方程
2
10
3
1
0
x
x
的“友好方程”
的两根之和为__________．
【答案】3
【分析】根据友好方程的定义得到目标一元二次方程，再利用根与系数的关系计算两根之和即可．
【详解】解：根据“友好方程”的定义，可得
2
10
3
1
0
x
x
的“友好方程”为
2
3
10
0
x
x
，
设该方程的两个根为
1
x ，
2x ，
∴
1
2
3
3
1
x
x
．
三、解答题
11．已知
1
x ，
2x 是关于x 的方程
2
2
3
1
0
x
x
的两个根，求下列各式的值．
(1)
1
2
1
1
x
x
；
(2)
2
2
1
2
x
x
．
【答案】(1)
3
(2)
13
4
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到
1
2
3
2
x
x
，
1
2
1
2
x x
，再将所求代数式进行变形，代入
求值即可．
【详解】（1）解：已知方程
2
2
3
1
0
x
x
，其中
2
a
，
3
b
，
1
c ，
则
2
2
Δ
4
3
4 2 ( 1)
17
0
b
ac
，
∴
1
2
3
2
x
x
，
1
2
1
2
x x
∴
1
2
1
2
1
2
3
1
1
2
3
1
2
x
x
x
x
x x
；
（2）解：
2
2
2
1
2
1
2
1
2
(
)
2
x
x
x
x
x x
，
代入
1
2
3
2
x
x
，
1
2
1
2
x x
，
则原式
2
3
1
9
13
2
1
2
2
4
4
．
12．若
1
2
,
x x 是一元二次方程
2
2
3
1
0
x
x
的两个根，求下列代数式的值．
(1)
2
1
2
x
x
；
(2)
1
2
2
1
1
1
x
x
x
x
．
【答案】(1)17
4
(2)
1
2
【分析】（1）根据根与系数的关系及完全平方公式将代数式变形后代入求解即可
（2）根据根与系数的关系，将代数式通分后代入求解即可.
【详解】（1）解：∵
1
2
,
x x 是一元二次方程
2
2
3
1
0
x
x
的两个根，
∴
1
2
1
2
3
1
,
2
2
x
x
x x
，
∴
2
2
1
2
1
2
1
2
4
x
x
x
x
x x
2
3
1
4
2
2
9
2
4
17
4
；
（2）解：∵
1
2
,
x x 是一元二次方程
2
2
3
1
0
x
x
的两个根，
∴
1
2
1
2
x x
，
∴
1
2
1
2
2
1
1
2
1
1
1
1 1
x
x
x x
x
x
x x
1
1
2
1
2
2
1
2
.
13．已知关于x 的一元二次方程
2
3
0
x
x
k
有两个不相等的实根
1x 和
2x ．
(1)求实数k 的取值范围；
(2)当
1x 和
2x 是一个矩形两邻边的长且矩形的对角线长为5 ，求k 的值．
【答案】(1)
9
4
k
(2)
2
k
【分析】（1）求出的值，根据已知得出不等式，求出即可；
（2 ）根据根与系数的关系得出
1
2
3
x
x
，
1
2
x x
k
，根据已知得出
2
2
2
1
2
( 5)
5
x
x
，变形后代入求出即
可．
【详解】（1）解：∵
2
3
0
x
x
k
，
∴
1
a ，
3
b ，c
k
，
∵方程有两个不相等的实数根，
∴根的判别式满足
2
4
0
b
ac
，
即
2
( 3)
4 1
9
4
0
k
k
，
解得：
9
4
k
；
（2）解：根据一元二次方程根与系数的关系，得：
1
2
3
x
x
，
1
2
x x
k
，
∵
1
x 、
2x 是矩形两邻边，对角线长为
5 ，
由勾股定理得：
2
2
2
1
2
( 5)
5
x
x
，
即：
2
2
2
1
2
1
2
1
2
(
)
2
x
x
x
x
x x
，
∴
23
2
5
k
，
解得
2
k
，
验证：
9
2
4
k
，符合（1）中k 的范围，且两根和、积都为正，边长为正符合题意，故
2
k
．
14．已知关于x 的方程
2
3
2
2
0
x
k
x
k
．
(1)求证：该方程总有两个实数根；
(2)若该方程的两个实数根为
1
x ，
2x ，求代数式
1
2
2
2
x
x
的值．
【答案】(1)
证明：方程
2
3
2
2
0
x
k
x
k
中
1
a ，
3
b
k
，
2
2
c
k
，
2
4
b
ac
2
[
3)]
4 1 (2
2
k
k
2
2
1
k
k
2
(
1)
0
k
所以，该方程总有两个实数根．
(2)0
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式可得
2
1
0
k
，所以方程一定有两个实数根；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系，可得：
1
2
3
x
x
k
，
1
2
2
2
x
x
k
，把
1
2
2
2
x
x
展开后整
体代入即可求出结果．
【详解】（1）略
（2）解：由题意得：
1
2
3
x
x
k
，
1
2
2
2
x
x
k
，
1
2
2
2
x
x
1
2
1
2
2
2
4
x
x
x
x
1
2
1
2
2
4
x x
x
x
2
2
2
3
4
k
k
0
．
15．已知关于x 的一元二次方程
2
4
2
5
0
x
x
m
有两个实数根．
(1)求实数m 的取值范围；
(2)若
1
x ，
2x 是该方程的两个根，且满足
2
1
2
1
2
6
x x
x
x
m
，求m 的值．
【答案】(1)
1
2
m
(2)
1
m
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式计算即可得出结果；
（2）由一元二次方程根与系数的关系可得
1
2
4
x
x
，
1
2
2
5
x x
m
，代入
2
1
2
1
2
6
x x
x
x
m
计算即可
得出结果．
【详解】（1）解：∵关于x 的一元二次方程
2
4
2
5
0
x
x
m
有两个实数根，
∴
2
4
4 1
2
5
0
m
，
解得：
1
2
m
；
（2）解：由题意可得：
1
2
4
x
x
，
1
2
2
5
x x
m
，
∵
2
1
2
1
2
6
x x
x
x
m
，
∴
2
2
5
4
6
m
m
，
∴
2
2
3
0
m
m
，
解得：
1
m 或
3
m ，
由（1）可得
1
2
m
，
∴
1
m ．
16．定义：若关于x 的一元二次方程
2
0
ax
bx
c
0
a
的两根均为整数，则称该方程为“快乐方程”．对
于“快乐方程”，定义其“快乐数”为
2
4
, ,
4
ac
b
F a b c
a
．
现探究以下问题：
(1)“快乐方程”
2
2
3
0
x
x
的“快乐数”为______；
(2)若关于x 的一元二次方程
2
2
2
1
2
3
0
x
m
x
m
m
（m 为整数，且1
6
m
）是“快乐方程”，求m 的值，
并求该方程的“快乐数”．
(3)对于“快乐方程”
2
0
x
bx
c
（b、c 为整数），若其“快乐数”
1, ,
F
b c
n
（n 为正整数），且方程的
两根
1
x ，
2x 满足
1
2
4
x
x
，求该方程的“快乐数”所有可能的值．
【答案】(1) 4
(2)
3
m
，
25
4
(3)所有可能的快乐数为1
和4
【分析】（1）根据“快乐数”的定义求解；
（2）先计算
2
4
4
13
b
ac
m
，根据“快乐方程”的定义，得到4
13
m
为平方数，根据1
6
m
，得到
17
4
13
37
m
，即可求出4
13
25
m
或36，根据m 为整数，即可求出m 的值，即可求其“快乐数”；
（3）首先表示出
2
4
1, ,
4 1
c
b
F
b c
n
，得到
2
4
4
b
c
n
，然后利用根与系数的关系得到
1
2
x
x
b
，
1
2
x x
c
，表示出
2
2
1
2
1
2
4
x
x
x
x
n
，得到
1
2
4
2
x
x
n
n
，根据题意求出
1
n 或4，进而求
解即可．
【详解】（1）解：方程
2
2
3
0
x
x
的“快乐数”为
2
4 1
3
2
1, 2, 3
4
4 1
F
；
（2）解：方程
2
2
2
1
2
3
0
x
m
x
m
m
，
∴
2
2
2
Δ
4
2
1
4 1
2
3
4
13
b
ac
m
m
m
m
，
∵1
6
m
，
∴17
4
13
37
m
，
又∵方程
2
2
2
1
2
3
0
x
m
x
m
m
是“快乐方程”，且m 为整数，
∴方程的根
2
1
2
1
4
13
2 1
2
m
m
m
x
为整数，
∴4
13
m
为完全平方数，
∴4
13
25
m
或36，
∴
3
m
，
23
4
m
（舍去），
∴方程为：
2
5
0
x
x
，
∴
2
4 1 0
5
25
1, 5,0
4 1
4
F
，
∴其“快乐数”数是
25
4
；
（3）解：根据题意得，
2
4
1, ,
4 1
c
b
F
b c
n
，
∴
2
4
4
b
c
n
，
∵方程
2
0
x
bx
c
的两根为
1
x ，
2x ，
∴
1
2
x
x
b
，
1
2
x x
c
，
∴
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
4
4
4
x
x
x
x
x
x
x x
x
x
x x
b
c
n
，
∴
1
2
4
2
x
x
n
n
，
∵
2
0
x
bx
c
是“快乐方程”，
∴
1
x ，
2x 是整数，
∴
1
2
4
2
x
x
n
n
是整数，
∵n 为正整数，
∴n 为完全平方数，
∵
1
2
4
x
x
≤，
∴
2
1
2
16
x
x
，
∴4
16
n
，
∴
4
n
，
∴
1
n 或4，
∴
1, ,
1
F
b c
n
或4
．
