第11 讲二次函数与一元二次方程
内容导航
01 预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向
02 教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理
03 题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型1 二次函数与坐标轴的交点
题型2 根据二次函数的图象确定一元二次方程的根
题型3 求x 轴与抛物线的截线长
题型4 图象法解一元二次方程的近似根
题型5 图象法解一元二次不等式
题型6 利用不等式求自变量或函数值的范围
题型7 根据交点确定不等式的解集
04 过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固
关键词
学习目标导航
交点、横坐标、判别式、
根的个数、数形结合、
近似解。
1. 理解二次函数图象与x 轴交点的横坐标即对应一元二次方程的实数根。
2. 掌握通过判别式∆= b2 - 4ac 判断抛物线与x 轴交点个数：∆>0 两个交点，
∆=0 一个交点，∆< 0 无交点。
3. 能利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解，体会数形结合思想。
4. 经历从函数视角看方程的过程，理解函数与方程的内在联系，培养转化与
综合思维能力。
学习重点:二次函数图象与x 轴交点个数与一元二次方程根的个数之间的对应关系。
学习难点:理解“交点的横坐标即方程的根”的几何意义，以及利用函数图象求方程近似解时如何确定
逼近范围。
知｜识｜框｜架
知｜识｜精｜讲
知识点01 二次函数与坐标轴的交点
二次函数与坐标轴的交点知识总结
1. 与y 轴的交点：
- 求法：令x=0，代入y=ax²+bx+c（a≠0），得y=c，交点为(0, c)。
- 特征：必过一点，横坐标恒为0，纵坐标为常数项c。
2. 与x 轴的交点：
- 求法：令y=0，解一元二次方程ax²+bx+c=0，根x₁、x₂对应交点(x₁, 0)、(x₂, 0)。
- 根的情况与交点个数：
- Δ＞0：2 个不同交点（方程有两个不等实根）；
- Δ=0：1 个交点（方程有两个相等实根，为顶点）；
- Δ＜0：无交点（方程无实根）。
3. 核心思想：
- 转化思想：将交点问题转化为解方程问题；
- 数形结合：通过函数图像直观判断交点个数与位置。
【易错提醒】
与y 轴交点即(0,c)。与x 轴交点即方程ax2+bx+c=0 的解，个数由判别式∆=b2-4ac 决定（两/一/无）。注意：
∆≥0 才有交点，勿忽略判别式。
即时即练1．二次函数
2
=
2
3
y x
x
的图象与x 轴的交点坐标是（
）．
A．
1,0 和
3,0
B．
1,0
和
3,0
C．
1,0 和
3,0
D．
1,0
和
3,0
【答案】B
【分析】本题考查二次函数与x 轴的交点，令
0
y
，解方程
2
2
3
0
x
x
即可求解．
【详解】令
0
y
，得
2
2
3
0
x
x
，
解得
3
x
或
1
x
∴二次函数
2
=
2
3
y x
x
的图象与x 轴的交点坐标是
1,0
和
3,0 ．
故选：B．
2．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线
2
4
5
y
x
x
与y 轴交于点C，则点C 的坐标为
．
【答案】
0,5
【分析】此题考查求抛物线与坐标轴的交点，求抛物线与y 轴的交点坐标，需令横坐标
0
x
，代入抛物
线方程计算纵坐标y 的值即可
【详解】解：令
0
x
，代入抛物线方程
2
4
5
y
x
x
，得：
2
0
4 0
5
5
y
，
因此，点C 的坐标为
0,5 ．
故答案为
0,5 ．
知识点02
二次函数与一元二次方程
二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c 是常数，a≠0）
1.抛物线与x 轴的交点的横坐标→一元二次方程ax2+bx+c=0 的解.
2.若已知二次函数y＝ax2+bx+c 的函数值为s，求自变量x 的值，就是解一元二次方程ax2+bx+c=s.
【易错提醒】
函数y=ax2+bx+c\) 与\(x\) 轴交点横坐标即方程ax2+bx+c=0 的实数根。∆>0 两不等根；∆=0 一重根；∆<0
无实根（无交点）。勿忽略判别式与根的关系。
即时即练1．已知抛物线
2
0
y
ax
c a
与直线y
kx
b
交于点
1,3
A
和点
5, 2
B
，则关于x 的方程
2
0
ax
kx
c
b
的解是（
）
A．
2
x
或
3
x
B．
2
x 或
3
x
C．
1
x 或
5
x
D．
1
x 或
5
x
【答案】D
【分析】本题考查二次函数图象与一次函数图象的交点问题，将
2
0
ax
kx
c
b
变形为
2
ax
c
kx
b
，
则该方程的解即为抛物线
2
y
ax
c
与直线y
kx
b
交点的横坐标．
【详解】解：∵抛物线
2
y
ax
c
与直线y
kx
b
交于点
1,3
A
和点
5, 2
B
，
∴当
1
x 或
5
x
时，
2
ax
c
kx
b
成立，
即方程
2
0
ax
kx
c
b
的解为
1
x 或
5
x
．
故选：D．
2．若二次函数
2
1
2
y
x
bx
c
的部分图象如图所示，关于x 的一元二次方程
2
1
0
2 x
bx
c
的一个解
1
3
x
，
则另一个解
2x
．
【答案】1
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据二次函数的图象与x
轴的交点关于对称轴对称，可直接求出
2x 的值．
【详解】解：二次函数
2
1
2
y
x
bx
c
的对称轴为
1
x ，关于x 的一元二次方程
2
1
0
2 x
bx
c
的一个解
1
3
x
，另一个解为
2x ，
2
1
3 1
x
，
2
1
x
，
故答案为：1
．
题型1 二次函数与坐标轴的交点
【例1】（25-26 九年级上·云南曲靖·阶段练习）二次函数
2
=
2
3
y x
x
的图象与x 轴的交点坐标为（
）
A．( 1,0)
和(3,0)
B．(1,0) 和( 3,0)
C．(0, 1)
和(0,3)
D．(0,1)和(0, 3)
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数图像和坐标轴交点．
将
0
y
代入解析式解方程即可．
【详解】解：令
0
y
，得
2
0
2
3
x
x
，
解得
1
x 或
3
x
，
所以交点坐标为( 1,0)
和(3,0) ．
故选：A．
【例2】（24-25 九年级上·广东江门·期中）二次函数
2
2
0
y
ax
ax
c a
的图象过点
3,0 ，则
2
2
0
ax
ax
c
的解为（
）
A．
1
3
x ，
2
1
x
B．
1
3
x ，
2
1
x
C．
1
3
x
，
2
1
x
D．
1
3
x
，
2
1
x
【答案】C
【分析】本题考查了抛物线与x 轴的交点问题，求抛物线对称轴，把求关于x 的一元二次方程的解转化为
求二次函数图象与x 轴的交点坐标是解题的关键．先求抛物线的对称轴，再根据二次函数的对称性得到二
次函数图象与x 轴的另外一个交点坐标，从而得到
2
2
0
ax
ax
c
的解．
【详解】解：∵二次函数
2
2
y
ax
ax
c
的对称轴为直线
2
1
2
a
x
a
，且函数图象与x 轴交于点
3,0 ，
∴二次函数图象与x 轴的另一个交点为横坐标
2x 满足
2
3
1
2
x
，解得
2
1
x ，
∴方程
2
2
0
ax
ax
c
的解为
1
3
x
，
2
1
x ，
故选：C．
【技巧归纳】
与y 轴交点：(0,c)。与x 轴交点：解方程ax²+bx+c=0，根即为横坐标，个数由Δ决定。当Δ=0 时一个交点
（顶点在x 轴）；Δ>0 两交点；Δ<0 无交点。代入即可。
【变式1-1】（25-26 九年级上·上海·期中）二次函数
2
2
3
y
x
x
的图像与x 轴的交点坐标是
．
【答案】
0,0 和3 ,0
2
【分析】此题考查了抛物线与x 轴的交点，要求二次函数与x 轴的交点，即要
0
y
，得到关于x 的方程来求
解．
令二次函数解析式中
0
y
，得到关于x 的一元二次方程，求出方程的解可得出二次函数与x 轴的交点坐标．
【详解】令
0
y
代入
2
2
3
y
x
x
，得方程
2
2
3
0
x
x
，
因式分解得：
2
3
0
x
x
，
0
x
或
3
2
x
，
二次函数
2
2
3
y
x
x
的图像与x 轴的交点坐标是
0,0 和3 ,0
2
．
故答案是：
0,0 和3 ,0
2
．
【变式1-2】（25-26 九年级上·山东滨州·阶段练习）抛物线
2
y
x
bx
c
的部分图像如图所示，则关于x 的
方程
2
0
x
bx
c
的解是
．
【答案】
1
2
1,
3
x
x
【分析】本题考查二次函数与一元二次方程，
根据抛物线的对称轴为直线
1
x 与x 轴的交点为
1,0 ，利用抛物线的对称性即可求得．
【详解】解：抛物线的对称轴为直线
1
x 与x 轴的交点为
1,0 ，
设另一个交点为
,0
a
1
1
2
a
，
解得：
3
a ，
故另一个交点为
3,0
，
关于x 的方程
2
0
x
bx
c
的解是：
1
2
1,
3
x
x
，
故答案为;
1
2
1,
3
x
x
．
题型2 根据二次函数的图象确定一元二次方程的根
【例3】（25-26 九年级上·广东汕尾·月考）已知二次函数
2
2
y
x
x
m
的部分图像如图所示，则关于x
的一元二次方程
2
2
0
x
x
m
的正数解为（
）
A．1
B．3
C．2
D．0
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，二次函数与一元二次方程的关系，解决本题的关键是求解出
二次函数与x 轴正半轴的交点．
根据二次函数的图像可知对称轴为
1
x ，则可得二次函数与x 轴正半轴的交点，由此可得一元二次方程
2
2
0
x
x
m
的正数解．
【详解】解：∵二次函数的对称轴为
1
x ，且与x 轴负半轴的交点为
3,0
，
∴二次函数与x 轴正半轴的交点为
1,0 ，
∴关于x 的一元二次方程
2
2
0
x
x
m
的正数解为1．
故选：A ．
【例4】（24-25 九年级上·浙江温州·开学考试）如图，抛物线
2
y
ax
与直线y
kx
b
的两个交点坐标分别
为
( 1,1), (3,9)
A
B
，则方程
2
ax
kx
b
的解是（
）
A．
1
2
1,
1
x
x
B．
1
2
1,
3
x
x
C．
1
2
1,
9
x
x
D．
1
2
3,
9
x
x
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数与一次函数图象和性质，掌握二次函数与一次函数的交点的含义是解题关
键．根据题意可知方程的解即为抛物线和直线的交点的横坐标，即可得解．
【详解】解：抛物线
2
y
ax
与直线y
kx
b
的两个交点坐标分别为
( 1,1), (3,9)
A
B
，
方程
2
ax
kx
b
的解是
1
2
1,
3
x
x
，
故选：B．
【技巧归纳】
一元二次方程ax²+bx+c=0 的根即抛物线y=ax²+bx+c 与x 轴交点的横坐标。图象与x 轴有几个交点，方程
就有几个实根。交点横坐标即为根，可用对称轴和顶点辅助判断根的情况。
【变式2-1】（25-26 九年级上·吉林·期中）如图，抛物线
2
y
ax
bx
c
的部分图象如图所示，则关于x 的
一元二次方程
2
0
ax
bx
c
的解为
．
【答案】
1
3
x ，
2
1
x
【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握抛物线的对称轴性质以及抛物线与x 轴
交点和一元二次方程解的关系是解题的关键．
先根据抛物线的对称轴找到已知交点的对称点，再根据抛物线与x 轴交点的横坐标就是方程的解来解题．
【详解】解：∵抛物线
2
y
ax
bx
c
的对称轴为直线
1
x ，且抛物线与x 轴的一个交点为
1,0 ，
设抛物线与x 轴的另一个交点为
,0
x
，
则
1
1
2
x
，
解得
3
x ，
∴关于x 的一元二次方程
2
0
ax
bx
c
的解为
1
3
x ，
2
1
x ，
故答案为：
1
3
x ，
2
1
x ．
【变式2-2】（25-26 九年级上·甘肃临夏·期中）已知二次函数
2
0
y
ax
bx
c a
的图象如图所示，回答
下列问题：
(1)方程
2
0
ax
bx
c
的根是______；
(2)当
0
y
时，x 的取值范围是______；
(3)若点
1
2
2,
, 3,
y
y
均在二次函数的图象上，直接写出
1y 、
2y 的大小关系．
【答案】(1)
1
2
1,
3
x
x
；
(2)
1
x 或
3
x
；
(3)
1
2
y
y
．
【分析】题目主要考查二次函数与一元二次方程的关系，二次函数的性质，理解题意，结合图象求解是解
题关键．
（1）根据函数图象即可直接得出结果；
（2）结合函数图象求解即可；
（3）根据题意得出函数的对称轴为
1
3
1
2
，确定距离对称轴越远，函数值越小，即可求解．
【详解】（1）解：根据函数图象得：当
0
y
时，
1
x 或
3
x
，
∴方程
2
0
ax
bx
c
的根是
1
2
1,
3
x
x
，
故答案为：
1
2
1,
3
x
x
；
（2）由图象得：当
0
y
时，x 的取值范围是
1
x 或
3
x
，
故答案为：
1
x 或
3
x
；
（3）∵方程的两个根为
1
2
1,
3
x
x
，
∴函数的对称轴为
1 3
1
2
，
∵开口向下，
∴距离对称轴越远，函数值越小，
∵
1
2
3 1
，
∴
1
2
y
y
．
题型3 求x 轴与抛物线的截线长
【例5】（25-26 九年级上·新疆喀什·期中）二次函数
2
2
3
y
x
x
的图象与x 轴交于A，B 两点，则线段AB
的长度为（
）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数与x 轴的交点问题，通过求解二次方程得到与x 轴的交点坐标，然后计算两点
间的距离，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：∵二次函数
2
2
3
y
x
x
的图象与x 轴交于A，B 两点，
∴令
0
y
，则
2
2
3
0
x
x
，
解得：
1
1
x ，
2
3
x
，
∴线段AB 的长度为
3
1
3
1
4
，
故选：C．
【例6】（2025·四川眉山·二模）已知：抛物线
2
3
y
x
mx
与x 轴交于A、B 两点，且
4
AB
，则m 的值
为（
）
A．2
B．2
C．2
D．4
【答案】C
【分析】设A、B 两点的横坐标为
1
x 、
2x ，由题意知
1
2
4
AB
x
x
，
1
2
x
x
m
，
2
1
3
x
x
，由
2
2
1
2
1
2
1
2
4
x
x
x
x
x
x
，可得
2
2
4
3
4
m
，计算求解即可．
【详解】解：设A、B 两点的横坐标为
1
x 、
2x ，
由题意知：
1
2
4
AB
x
x
，
1
2
x
x
m
，
2
1
3
x
x
，
∵
2
2
1
2
1
2
1
2
4
x
x
x
x
x
x
，
∴
2
2
4
3
4
m
，
解得：
2
m ，
故选：C．
【技巧归纳】
先解ax²+bx+c=0 得两交点x₁ 、x₂ ，截线长=|x₁ -x₂ | = √[(x₁ +x₂ )²-4x₁ x₂ ] = √[(b²-4ac)/a²] (a≠0)。
也可用公式：Δ≥0 时，长=√Δ/|a|。需确保两交点存在。
【变式3-1】（24-25 九年级上·安徽合肥·月考）已知二次函数
2
4
8
0
y
ax
ax
a
的图象与x 轴交于A，
B 两点．若
6
AB
，则a
．
【答案】
8
5
【分析】设方程
2
4
8
0
ax
ax
的两根分别为
1
x ，
2x ，可得
1
2
4
x
x
，
1
2
8
x x
a
，利用
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
4
6
AB
x
x
x
x
x
x
x x
，再解方程即可．
【详解】解：当
0
y
，则
2
4
8
0
ax
ax
，
设方程
2
4
8
0
ax
ax
的两根分别为
1
x ，
2x ，
∴
1
2
4
x
x
，
1
2
8
x x
a
，
∵
6
AB
，
∴
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
4
6
AB
x
x
x
x
x
x
x x
，
∴
2
32
4
6
a
，
∴
32
16
36
a
，
∴
8
5
a
，经检验符合题意；
故答案为：
8
5
【变式3-2】（24-25 九年级上·河南新乡·阶段练习）如图，二次函数
2
y
x
x
2
的图象与x 轴交于A ，B
两点（点A 在点B 的左侧）．
(1)若
2,
P
m
为二次函数
2
y
x
x
2
的图象上一点，求m 的值；
(2)求AB 的长．
【答案】(1) 4
(2)3
【分析】（1）将
2,
P
m
代入二次函数解析式，即可求解；
（2）令
0
y
，可求出
1,0
A
，
2,0
B
，即可求解．
【详解】（1）解：当
2
x 时，
2
2
2
2
m
4
m
；
（2）解：当
0
y
时，
2
2
0
x
x
，
解得：
1
1
x ，
2
2
x
，
1,0
A
，
2,0
B
，
2
1
3
AB
．
题型4 图象法解一元二次方程的近似根
【例7】（25-26 九年级上·安徽·阶段练习）二次函数
2
y
ax
bx
c
的图象如图所示，
2.18,
0.51
A
，
2.68,0.54
B
为图象上的两点，则方程
2
0
ax
bx
c
的一个解可能是（
）
A．2.18
B．2.68
C．0.51
D．2.45
【答案】D
【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似值，根据自变量两个取值所对应的函数值是0.51
和0.54 ，
可得当函数值为0 时，x 的取值应在所给的自变量两个值之间，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵图象上有两点分别为
2.18,
0.51
A
，
2.68,0.54
B
，
∴当
2.18
x
时，
0.51
y
；
2.68
x
时，
0.54
y
，
∴当
0
y
时，2.18
2.68
x
，只有选项D 符合，
故选：D ．
【例8】（25-26 九年级上·安徽宣城·期中）已知二次函数
2
2
y
ax
ax
c
中部分x 和y 的值如下表所示：
x
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
y
0.89
0.56
0.25
0.04
0.31
则方程
2
2
0
ax
ax
c
的一个较大的根的范围是（
）
A．0.5
0.4
x
B．0.6
0.5
x
C．2.4
2.5
x
D．2.5
2.6
x
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次函数的性质、图象法确定一元二次方程的近似根，掌握数形结合思想成为解
题的关键．
先求得对称轴为直线
1
x ，再根据表格数据得
2
2
0
ax
ax
c
的较小的根的范围为
1
0.5
0.4
x
，再根据
对称轴计算较大根的范围．
【详解】解：二次函数
2
2
y
ax
ax
c
的对称轴为
2
1
2
a
x
a
，
由表可知，当
0.5
x
时，
0.25
0
y
；当
0.4
x
时，
0.04
0
y
，
方程
2
2
0
ax
ax
c
的一个较小根
1
x 满足
1
0.5
0.4
x
。
根关于对称轴
1
x 对称，设较大根为
2x ，则
1
2
1
2
x
x
，
2
1
2
x
x
。
当
1
0.5
x
时，
2
2
0.5
2.5
x
；
当
1
0.4
x
时，
2
2
0.4
2.4
x
；
2
2.4
2.5
x
，
故选：C．
【技巧归纳】
画出抛物线y=ax²+bx+c，观察与x 轴交点横坐标。在交点附近取x 值，计算函数值，用二分法逐步逼近使
y≈0 的x。也可用网格纸估读，精确到小数点后一位或两位。注意端点函数值异号。
【变式4-1】（25-26 九年级上·广东广州·期中）下表是一组二次函数
2
3
5
y
x
x
的自变量x 与函数值y
的对应值，那么方程
2
3
5
0
x
x
的一个近似根的取值范围是
．
x
1
1.1
1.2
1.3
1.4
y
1
0.49
0.04
0.59
1.16
【答案】1.1
1.2
x
【分析】本题考查了二次函数与求一元二次方程的近似值．观察表格确定函数值正负的自变量的值，结合
二次函数的性质即可求解．
【详解】解：由表格数据，当
1.1
x
时，
0.49
0
y
，
当
1.2
x
时，
0.04
0
y
，
∴方程
2
3
5
0
x
x
的一个近似根的取值范围是1.1
1.2
x
．
故答案为：1.1
1.2
x
．
【变式4-2】（2025·吉林长春·模拟预测）如图是抛物线
2
2
3
y
x
x
的图象，结合图象，可知方程
2
1
2
3
x
x
x
有
个实数根．
【答案】3
【分析】本题考查函数与方程的关系，根据函数图象交点的个数即为两解析式联立方程的解得个数解答即
可．
【详解】解：在同一平面直角坐标系中作出
2
2
3
y
x
x
与
1
y
x
的图象，结合图像可得有三个交点，
∴方程
2
1
2
3
x
x
x
有3 个实数根．
故答案为：3．
题型5 图象法解一元二次不等式
【例9】（25-26 九年级上·北京·期中）如图，抛物线
2
y
ax
bx
c
的部分图象如图所示，若
2
3
ax
bx
c
，
则x 的取值范围是（
）
A．
0
x
B．
0
x
C．2
0
x
D．
2
x 或
0
x
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的对称性，二次函数与不等式，掌握数形结合思想的应用是解题的关键．
由函数图象得对称轴为
1
x ，然后可得点
0,3 关于
1
x 的对称点的坐标，进而可得答案．
【详解】解：由函数图象得：二次函数
2
y
ax
bx
c
的对称轴为直线
1
x ，
∴点
0,3 关于直线
1
x 的对称点的坐标为
2,3
，
∴关于x 的不等式
2
3
ax
bx
c
的解集是2
0
x
故选：C．
【例10】（25-26 九年级上·黑龙江·阶段练习）如图是二次函数
2
0
y
ax
bx
c a
的图象，下列说法错
误的是（
）
A．y 的最大值是4
B．当3
1
x
时，函数值
0
y
C．当
1
x 时，y 随x 的增大而增大
D．函数的图象关于直线
1
x 对称
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的图象以及二次函数的性质，解题的关键是根据二次函数的性质逐条分析四
个选项．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，结合函数图象以及二次函数的性质找出最值、
增减性区间、对称轴等是关键．
根据二次函数的图象结合二次函数的性质即可得出
0
a
、二次函数对称轴为
1
x 、与x 轴的一个交点坐
标为
1,0 以及二次函数的顶点坐标，再逐项分析四个选项即可得出结论．
【详解】解：观察二次函数图象，发现：
开口向下，则
0
a
，抛物线的顶点坐标为
1,4
，对称轴为直线
1
x ，与x 轴的一个交点为
1,0 ．
A、∵开口向下，抛物线的顶点坐标为
1,4
，
∴二次函数y 的最大值为顶点的纵坐标，即函数y 的最大值是4，故此选项正确，不合题意；
B、∵二次函数的图象关于直线
1
x 对称，且函数图象与x 轴有一个交点
1,0 ，
∴二次函数与x 轴的另一个交点为
3,0
．
∴当3
1
x
时，函数值
0
y
，故此选项错误，符合题意．
C、当
1
x 时，y 随x 的增大而增大，故此选项正确，不合题意；
D、∵二次函数的对称轴为直线
1
x ，
∴函数的图象关于直线
1
x 对称，故此选项正确，不合题意；
故选：B．
【技巧归纳】
画抛物线草图，根据开口方向与x 轴交点，确定函数值正负区间。不等式>0 取x 轴上方的x 范围，<0 取下
方。若开口向下则相反。注意等号时包含交点，用实心点表示。无交点时全正或全负。
【变式5-1】（24-25 九年级下·江苏宿迁·月考）已知二次函数
2
0
y
ax
bx
c a
的图像如图所示，则一
元二次不等式
2
0
ax
bx
c
的解集是
．
【答案】
1
x 或
3
x
【分析】本题考查了抛物线与不等式的解集，熟练掌握二者的关系是解题的关键．
利用数形结合思想求解，符合条件的取值在x 轴下方．
【详解】根据题意，得一元二次不等式
2
0
ax
bx
c
的解集是：
1
x 或
3
x
，
故答案为：
1
x 或
3
x
．
【变式5-2】（25-26 九年级上·广东惠州·期中）如图是二次函数
2
y
ax
bx
c
的部分图象，则不等式
2
0
ax
bx
c
的解集是
．
【答案】<
4
x
或
2
x
【分析】本题考查了利用二次函数图象解不等式，会利用二次函数图象解不等式是解题的关键．
由二次函数的图象的对称性得抛物线与x 轴的一个交点为
4,0
，由x 轴的下方的图象对应的函数值小于0 ，
即可求解．
【详解】解：由图像得，对称轴为直线
1
x ，抛物线与x 轴的一个交点为
2,0 ，
∴抛物线与x 轴的一个交点为
4,0
，
∴x 轴的下方的图像对应的函数值小于0 ，
∴当<
4
x
或
2
x
时，
0
y
；
∴不等式
2
0
ax
bx
c
的解集是<
4
x
或
2
x
，
故答案为：<
4
x
或
2
x
．
题型6 利用不等式求自变量或函数值的范围
【例11】（2025·四川南充·二模）已知抛物线
2
1
2
y
x
bx
b
与直线
2
3
y
x
在4
4
x
之间有2 个公共
点，则b 的取值范围是（
）
A．
1
b
B．
13
5
b
C．
13
1
5
b
D．13
1
5
b
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数与一次函数的交点问题，利用不等式求自变量或函数值的范围，掌握知识点
的应用是解题的关键．
先根据题意画出图象，通过抛物线
2
1
2
y
x
bx
b
与直线
2
3
y
x
在4
4
x
之间有2 个公共点，则
2
2
1
4
4
5
2
1
4
4
11
2
b
b
b
b
，最后解出不等式组即可．
【详解】解：如图，
由直线
2
3
y
x
得，当
4
x 时，
11
y
，当
4
x
时，
5
y
，
∵抛物线
2
1
2
y
x
bx
b
与直线
2
3
y
x
在4
4
x
之间有2 个公共点，
∴
2
2
1
4
4
5
2
1
4
4
11
2
b
b
b
b
，
解得：
13
1
5
b
，
故选：C ．
【例12】（2025·辽宁铁岭·二模）已知点
1
1
,
A x y
在直线
3
y
x
上，点
2
2
,
B x
y
，
3
3
,
C x y
在抛物线
2
3
y
x
x
上，若
1
2
3
y
y
y
且
1
2
3
x
x
x
，则
1
2
3
x
x
x
的取值范围是（
）
A．
1
2
3
0
3
x
x
x
B．
1
2
3
15
4
4
x
x
x
C．
1
2
3
4
6
x
x
x
D．
1
2
3
6
x
x
x
【答案】B
【分析】求得直线与抛物线的交点的横坐标，把抛物线的顶点纵坐标代入直线解析式，求得对应的
1
x 值，
即可求得
1
x 取值范围，根据抛物线与方程的关系，从而求得
2
3
x
x
的取值范围，解答即可．
【详解】解：∵
2
3
3
y
x
x
y
x
，
解得
1
2
x
y
或
3
0
x
y
，
∵点
2
2
,
B x
y
，
3
3
,
C x
y
在抛物线
2
3
y
x
x
上，且
2
3
y
y
，
∴
2
3
,
x x 是方程
2
3
0
x
x
的两个根，
∴
2
3
3
x
x
，
∵
1
2
3
x
x
x
，
∴
1
1
x
；
∵
2
2
3
9
3
2
4
y
x
x
x
，
∴当
9
4
y
时，
9
3
4
x
，
∴
3
4
x
，
∵
1
2
3
x
x
x
，
∴
1
3
1
4
x
；
∴
1
2
3
3
3
1 3
4
x
x
x
；
∴
1
2
3
15
4
4
x
x
x
，
故选：B．
【技巧归纳】
根据函数图象或增减性列不等式。已知y 范围求x：先解方程求边界，结合图象写出对应x 区间。已知x 范
围求y：代入端点求边界，注意开口方向决定最值在顶点或端点。分类讨论。
【变式6-1】（2025·贵州遵义·模拟预测）如图，二次函数
2
y
ax
bx
c
的部分图象与x 轴交于点(
)
3,0
-
，
对称轴为直线
1
x ，则当函数值
0
y
时，自变量x 的取值范围是
；
【答案】3
1
x
【分析】本题考查了二次函数的性质，观察图像可知二次函数
2
y
ax
bx
c
有两个根，抛物线的两个根关
于对称轴对称，正确利用数形结合分析是解题关键．直接利用二次函数的对称性得出抛物线与x 轴的另一个
交点，进而得出答案．
【详解】解：二次函数
2
y
ax
bx
c
的抛物线与x 轴交于(
)
3,0
-
，对称轴是直线
1
x ，
抛物线与x 轴的另一个交点为：
1,0 ，
故当函数值
0
y
时，自变量x 的取值范围是：3
1
x
．
故答案为：3
1
x
．
【变式6-2】（24-25 八年级下·湖南长沙·阶段练习）已知二次函数
2
1
4
3
3
y
x
x
，
2
a
x
a
时函数y 的
最大值是1，则a
．
【答案】1
或3
【分析】本题主要考查二次函数的最值，由函数解析式可知当
2
x
时，函数有最大值为4
3 ，且当
2
x
时，
y 随x 增大而增大，当
2
x
时，y 随x 增大而减小，根据x 的值满足
2
a
x
a
时，与其对应的函数值y
的最大值为1，可分情况讨论a 的值．
【详解】解：∵
2
2
1
4
1
4
2
3
3
3
3
y
x
x
x
，
∴函数图象开口方向向下，对称轴为直线
2
x
，顶点为
4
2, 3
，
∴当
2
x
时，y 随x 增大而增大，当
2
x
时，y 随x 增大而减小，
∴当
1
y 时，
2
1
4
1
3
3
x
x
，
解得，
1
1
x ，
2
3
x
，
在
2
x
时，当
2
1
a
时，y 最大值为1，此时
1
a ；
在
2
x
时，当
3
a
时，y 最大值为1，
综上，a 的值为1
或3，
故答案为：1
或3．
题型7 根据交点确定不等式的解集
【例13】（25-26 九年级上·广东广州·期中）二次函数
2
2
3
y
x
x
的图象如图所示，则函数值
0
y
时，x
的取值范围是（
）
A．1
3
x
B．
1
x
C．
3
x
D．
1
x 或
3
x
【答案】A
【分析】本题考查二次函数与x 轴的交点，利用交点求不等式的解集．先观察图象确定抛物线
2
2
3
y
x
x
的图象与x 轴的交点，然后根据
0
y
时，所对应的自变量x 的变化范围．
【详解】解：∵二次函数
2
2
3
y
x
x
的图象如图所示．
∴图象与x 轴交在
1,0
，
3,0 ，
∴当
0
y
时，即图象在x 轴下方的部分，此时x 的取值范围是：1
3
x
．
故选：A．
【例14】（25-26 九年级上·黑龙江佳木斯·月考）如图，已知抛物线
2
y
ax
c
与直线y
kx
b
交于
1
3,
A
y
，
2
1,
B
y
两点，则关于x 的不等式
2
ax
c
kx
b
的解集是（
）
A．
3
x 或
1
x
B．
3
x 或
1
x
C．3
1
x
D．1
1
x
【答案】C
【分析】本题考查根据函数图象交点求不等式的解集．不等式
2
ax
c
kx
b
的解集是抛物线
2
y
ax
c
在
直线y
kx
b
上方相对应的自变量x 的取值范围，根据函数图象及其交点即可解答．
【详解】解：∵抛物线
2
y
ax
c
与直线y
kx
b
交于
1
3,
A
y
，
2
1,
B
y
两点，
∴由图象可得，不等式
2
ax
c
kx
b
的解集是3
1
x
．
故选：C．
【技巧归纳】
先求出两函数交点横坐标，将数轴分成若干区间。在每个区间内比较两函数值大小（通过图象上下位置）。
图象在上方则函数值大。再结合不等式方向写出对应x 的范围，注意等号取交点。
【变式7-1】（25-26 九年级上·四川泸州·期中）如图，已知二次函数
2
1y
ax
bx
c
（
0
a
）与一次函数
2y
kx
m
（
0
k
）的图象交于点，
1,3
A
，
6,1
B
，则不等式
2
0
ax
b
k x
c
m
的解集是
．
【答案】1
6
x
【分析】本题主要考查二次函数与一次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数与一次函数的图象与性质是
解题的关键；由不等式
2
0
ax
b
k x
c
m
可变形为
2
ax
bx
c
kx
m
，然后根据图象可进行求解．
【详解】解：由不等式
2
0
ax
b
k x
c
m
可变形为
2
ax
bx
c
kx
m
，
∴由图象可知：不等式
2
0
ax
b
k x
c
m
的解集是1
6
x
；
故答案为1
6
x
．
【变式7-2】（25-26 九年级上·广东珠海·期中）已知二次函数
2
2
8
6
y
x
x
．
(1)该函数的顶点坐标是，与x 轴的交点坐标是．
(2)根据图象回答：0
3
x
时，y 的取值范围是．
(3)根据图象回答：当
0
y
时，x 的取值范围是．
【答案】(1)
2, 2
；
1,0 ，(
)
3,0
(2) 2
6
y
(3)
1
x 或
3
x
【分析】本题考查的是把抛物线化为顶点式，顶点坐标，抛物线与x 轴的交点坐标，抛物线的性质，掌握
以上基础知识是解本题的关键．
（1）先把抛物线化为顶点式可得坐标，再令函数值
0
y
，可得
2
2
8
6
0
x
x
，可得抛物线与x 轴的交点
坐标；
（2）根据函数的图象得到当0
3
x
时，y 的最大值与最小值即可得到答案；
（3）根据函数的图象得到当
0
y
时, x 的取值范围为x 轴上方自变量的取值范围，即可求解．
【详解】（1）解：∵
2
2
2
8
6
2
2
2
y
x
x
x
，
∴顶点坐标为：
2, 2
，
令
0
y
，则
2
2
8
6
0
x
x
，
∴
2
1
3
0
x
x
，
解得：
1
1
x ，
2
3
x
，
∴抛物线与x 轴的交点坐标为：
1,0 ，(
)
3,0 ．
故答案为：
2, 2
；
1,0 ，(
)
3,0 ．
（2）根据图象可得当0
3
x
时，最小值为2
，
当
0
x
时，
6
y
，
∴2
6
y
．
（3）∵抛物线与x 轴的交点坐标为：
1,0 ，(
)
3,0 ．
∴根据图象可知，当
0
y
时，x 的取值范围是
1
x 或
3
x
．
一、单选题
1．二次函数
2
4
3
y
x
x
的图象与x 轴的交点个数为（
）
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
【答案】C
【分析】令
0
y
，求出x 的值即可．
【详解】解：令
0
y
，得
2
4
3
0
x
x
，
解得
1
1
x ，
2
3
x
，
∴与x 轴有2 个交点．
2．若抛物线
2
3
y
x
x
m
与x 轴没有交点，则m 的取值范围是（
）
A．
9
4
m
B．
9
4
m
C．
9
4
m
D．
9
4
m
【答案】A
【分析】抛物线与x 轴没有交点等价于对应一元二次方程无实数根，利用根的判别式
0
列不等式求解即
可．
【详解】解：∵抛物线
2
3
y
x
x
m
与x 轴没有交点，
∴一元二次方程
2
3
0
x
x
m
没有实数根，
根据一元二次方程根的判别式性质，得
2
4
0
b
ac
，
即
2
3
4 1
0
m
，
解得
9
4
m
．
3．下列表格中是二次函数
2
0
y
ax
bx
c a
的自变量x 与函数y 的一些对应值，可以判断一元二次方程
2
0
0
ax
bx
c
a
的一个近似根是（
）
x
6.7
6.8
6.9
7.0
2
y
ax
bx
c
0.3
0.1
0.2
0.6
A．6.7
B．6.8
C．6.9
D．7.0
【答案】B
【分析】一元二次方程
2
0
ax
bx
c
的根对应二次函数
2
y
ax
bx
c
与x 轴交点的横坐标，先观察表格中
函数值的正负变化，找到函数值由负变正的区间6.8
6.9
x
，再结合区间内函数值与0 的接近程度，判断
近似根更靠近6.8．
【详解】解：一元二次方程
2
0
ax
bx
c
的根，就是二次函数
2
y
ax
bx
c
中函数值
0
y
时对应的自变
量x ，
观察表格：
当
6.8
x
时，
0.1
y
，最接近0 ；
当
6.9
x
时，
0.2
y
，距离0 比0.1
更远；
又∵y 在
6.8
x
到
6.9
x
之间由负变正，说明
0
y
的根在6.8和6.9 之间，
∴
6.8
x
对应的函数值更接近0 ，
∴一元二次方程的一个近似根是6.8．
4．已知抛物线
2
(
)
4
0
y
ax
x
c a
的对称轴为直线
2
x ，当4
1
x
≤≤
时，抛物线与x 轴有且只有一个
交点，则c 的取值范围为（
）
A．0
3
c
B．3
0
c
C．3
0
c
D．
4
c 或3
0
c
【答案】D
【分析】先根据抛物线对称轴公式求出a 的值，得到抛物线解析式，再根据抛物线与x 轴只有一个交点或两
个交点两种情况进行讨论，再通过端点函数值的符号，结合端点情况判断c 的取值范围。
【详解】对于抛物线
2
4
0
y
ax
x
c a
，对称轴公式为
2
b
x
a
∵
4
b ，对称轴为
2
x
∴
4
2
2a
，解得
1
a
∴抛物线解析式为
2
2
2
4
4
4
4
2
4
y
x
x
c
x
x
c
x
c
，
开口向下，对称轴
2
x 顶点坐标为
2,4
c
，在4
1
x
内
当
4
x 时，
2
( 4)
4
4
y
c
c
当
1
x 时，
2
( 1)
4
1
3
y
c
c
①当抛物线与x 轴有且只有一个交点，则：
2
4
4
0
c
解得
4
c ，
此时
2
2
4
4
2
y
x
x
x
，
当
0
y
解得：
2
x 满足在4
1
x
这个范围内只有一个交点时，
则
4
c 可取
②当抛物线与x 轴有两个交点，此时满足
2
4
4
0
c
解得：
4
c ，
但在4
1
x
这个范围内只有一个交点时，则
4 ·
1
0
y
y
，即
3
0
c
c
，解得3
0
c
当
0
c
时，解方程
2
4
0
x
x
得根
4
x 和
0
x
，只有
4
x 在4
1
x
内，符合条件，
0
c
可取
当
3
c 时，解方程
2
4
3
0
x
x
得根
1
x 和
3
x ，两个根都在区间内，不符合条件，
3
c 不可取
综上，c 的取值范围是
4
c 或3
0
c
．
5．已知二次函数
2
y
ax
bx
c
的图象如图所示，对称轴为直线
1
x ，则下列结论正确的是（
）．
A．
0
ac
B．方程
2
0
ax
bx
c
的两根是
1
1
x ，
2
3
x
C．不等式
2
0
ax
bx
c
的解集是1
3
x
D．当
0
x
时，y 随x 的增大而减小
【答案】B
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据开口方向和与y 轴的交点得到
0
ac
，故A 选项错误；根据
对称轴和一个与x 轴的交点可得另一个与x 轴的交点，即可得到B 选项正确；根据图象可得不等式
2
0
ax
bx
c
的解集是
1
x 或
3
x
，当0
1
x
时，y 随x 的增大而增大，故C 、D 选项错误．
【详解】解：根据二次函数的图象和性质，逐一分析各选项，
A 选项：∵抛物线的开口向下，
∴
0
a
，
∵抛物线与y 轴的交点在y 轴正半轴，
∴
0
c
，
∴
0
ac
，故A 选项错误；
B 选项：∵抛物线的对称轴为
1
x ，与x 轴的一个交点是(
)
3,0 ，
∴抛物线与x 轴的另一个交点的横坐标为1 2
3
1
，即另一个交点坐标是(
)
1,0
-
，
∴方程
2
0
ax
bx
c
的两根是
1
1
x ，
2
3
x
，故B 选项正确；
C 选项：∵由图象可知当
1
x 或
3
x
时，抛物线在x 轴的下方，
∴不等式
2
0
ax
bx
c
的解集是
1
x 或
3
x
，故C 选项错误；
D 选项：由图象可知，当0
1
x
时，y 随x 的增大而增大，故D 选项错误．
二、填空题
6．若抛物线
2
2
y
x
x
m
与x 轴没有交点，则m 的值可以是_______．（写出一个即可）
【答案】
2 （答案不唯一）
【分析】由抛物线与x 轴没有交点，可知对应一元二次方程无实数根，即根的判别式小于0 ，求出m 的取值
范围，任写一个范围内的值即可．
【详解】解：抛物线
2
2
y
x
x
m
与x 轴没有交点，
方程
2
2
0
x
x
m
没有实数根，
2
Δ
( 2)
4 1
0
m
，
解得：
1
m ，
实数m 的值可以是2 （答案不唯一）．
7．填空：
（1）抛物线
2
3
2
y
x
x
与y 轴的交点坐标是________，与x 轴的交点坐标是________；
（2）抛物线
2
2
5
3
y
x
x
与y 轴的交点坐标是________，与x 轴的交点坐标是________．
【答案】
0,2
1,0 , 2,0
0, 3
3
1,0 ,
,0
2
【分析】根据坐标轴上点的坐标特征，y 轴上点的横坐标为0，x 轴上点的纵坐标为0，将对应值代入抛物
线解析式，计算得到对应坐标即可.
【详解】解：（1）对于抛物线
2
3
2
y
x
x
，
令
0
x
，
2
0
3 0
2
2
y
，因此抛物线与y 轴交点坐标为
0,2 ；
令
0
y
，得方程
2
3
2
0
x
x
，因式分解得
1
2
0
x
x
，
解得
1
1
x ，
2
2
x
，
因此抛物线与x 轴交点坐标为
1,0 , 2,0
；
（2）对于抛物线
2
2
5
3
y
x
x
，
令
0
x
，
2
2 0
5 0
3
3
y
，因此抛物线与y 轴交点坐标为
0, 3
；
令
0
y
，得方程
2
2
5
3
0
x
x
，
整理得
2
2
5
3
0
x
x
，因式分解得
1
2
3
0
x
x
，
解得
1
1
x ，
2
3
2
x
，
因此抛物线与x 轴交点坐标为
3
1,0 ,
,0
2
.
8．如图，抛物线
2
y
ax
与直线y
bx
c
的两个交点坐标分别为
( 3,9)
A
，(1,1)
B
．则不等式
2
ax
bx
c
的解
是________．
【答案】
1
x 或
3
x
【分析】利用图象找到抛物线在直线上方时的x 的取值范围，即可得解．
【详解】解：抛物线
2
y
ax
与直线y
bx
c
的两个交点坐标分别为
( 3,9)
A
，
(1,1)
B
，
由图象可知，抛物线在直线上方时的x 的取值范围为
1
x 或
3
x ，
即不等式
2
ax
bx
c
的解是
1
x 或
3
x ．
9．已知二次函数
2
2
y
x
bx
c
= -
+
+
的图象与x 轴的两个交点的距离为6 ，则该函数图象的顶点的纵坐标为
______．
【答案】18
【分析】设二次函数对应一元二次方程
2
2
0
x
bx
c
的两根为
1
2
,
x x ，由抛物线与x 轴两交点距离为6 可
得
1
2
6
x
x
，利用恒等式
2
2
1
2
1
2
1
2
)
(
4
(
)
x
x
x
x
x x
结合韦达定理推导出
2
8
144
b
c
，再代入顶点纵坐标
公式
2
4
4
ac
b
y
a
，整体代换求值得到顶点纵坐标．
【详解】解：令
0
y
，得
2
2
0
x
bx
c
，
设方程的两个根为
1
2
,
x x ，
由根与系数的关系可得
1
2
2
b
x
x
，
1
2
2
c
x x
，
由题意得二次函数图象与x 轴两个交点的距离为6 ，
因此
1
2
6
x
x
，
两边平方得
2
1
2
(
)
36
x
x
，
由完全平方公式变形得
2
2
1
2
1
2
1
2
)
(
4
(
)
x
x
x
x
x x
，
代入得
2
4
36
2
2
b
c
，
整理得
2
2
36
4
b
c
，即
2
8
144
b
c
，
二次函数顶点纵坐标公式为
2
4
4
ac
b
y
a
，
将
2
a 代入得
2
2
2
4
2
8
8
4
2
8
8
c
b
c
b
b
c
y
，
将
2
8
144
b
c
代入得
144
18
8
y
．
故答案为：18．
10．如图为二次函数
2
2
y
ax
ax
c
的图象，该图象与x 轴的两个交点分别为
4,0
A
，B．下列说法正确
的是_________（写出所有正确结果的序号）．
①对称轴为直线
1
x ；②当
0
x＜时，y 随x 的增大而增大；③
2
4
4
0
a
ac
＞；④8
0
a
c
．
【答案】①③④
【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，二次函数图象与系数之间的关系．
根据二次函数对称轴公式以及二次函数增减性可以判断说法①、②；根据二次函数与x 轴交点个数，结合
二次函数与一元二次方程的关系可以判断说法③；根据点A，点B 关于对称轴对称，结合点A 坐标，求出
点B 坐标，最后将点B 坐标代入二次函数解析式中，即可判断说法④．
【详解】解：对于说法①：∵二次函数
2
2
y
ax
ax
c
，
∴对称轴为直线
2
1
2
a
x
a
，
∴①正确，符合题意；
对于说法②：∵二次函数
2
2
y
ax
ax
c
开口向下，对称轴为直线
1
x ，
∴当
1
x 时，y 随x 的增大而减小；当
1
x 时，y 随x 的增大而增大，
∴②错误，不符合题意；
对于说法③：∵二次函数的图象与x 轴有两个交点，
∴
2
4
0
b
ac
，
∵二次函数
2
2
y
ax
ax
c
，
∴
2
b
a
，
∴
2
4
0
b
ac
即
2
4
4
0
a
ac
，
∴③正确，符合题意；
对于说法④：∵该二次函数图象与x 轴的两个交点分别为
4,0
A
，B，
∴点
4,0
A
与点B 关于对称轴对称，
∵该二次函数的对称轴为直线
1
x ，
∴点
2,0
B
，
将点
2,0
B
代入二次函数
2
2
y
ax
ax
c
中，得：
2
2
2 2
8
0
y
a
a
c
a
c
，
即8
0
a
c
，
∴④正确，符合题意．
综上，说法正确的是：①③④．
三、解答题
11．已知函数
2
2
y
x
mx
m
．
(1)求证：不论m 为何实数，此二次函数的图象与x 轴都有两个不同的交点；
(2)若
2
m
，求函数与x 轴的交点坐标．
【答案】(1)证明：令
0
y
，则有
2
2
0
x
mx
m
，
2
2
2
Δ
4
4
2
2
4
0
b
ac
m
m
m
，
∴该方程有两个不相等的实数根，
∴不论m 为何实数，二次函数的图象与x 轴都有两个不同的交点．
(2)
0,0 ，
2,0
【分析】（1）由题意可令
0
y
，则有
2
2
0
x
mx
m
，然后根据一元二次方程根的判别式可进行求解；
（2）把
2
m
代入二次函数解析式进行求解即可．
【详解】（1）略
（2）解：当
2
m
时，则有
2
2
y
x
x
，
∴令
0
y
，则有
2
2
0
x
x
，
解得
1
2
0,
2
x
x
，
∴二次函数与x 轴的交点坐标为
0,0 ，
2,0 ．
12．二次函数的部分图象如图所示，对称轴是直线
1
x ，与y 轴的交点为
0,3 ，与x 轴的一个交点为
1,0 ．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)求该图象与x 轴的另一个交点坐标；
(3)观察图象，当4
0
x
时，直接写出y 的取值范围．
【答案】(1)
2
2
1
4
2
3
y
x
x
x
(2)
3,0
(3) 5
4
y
【分析】（1）根据题意，设该二次函数的表达式为
2
1
y
a x
k
，把
0,3 ，
1,0 分别代入解析式，转
化为方程组解答即可．
（2）设该图象与x 轴的另一个交点坐标为
0,0
x
，根据
0
1
1
2
x
，解答即可．
（３）根据抛物线的对称轴，开口方向，确定4
0
x
时，二次函数的最大值与最小值，再确定范围即可．
【详解】（1）解：根据题意，设该二次函数的表达式为
2
1
y
a x
k
．
把
0,3 ，
1,0 分别代入解析式，得
3
4
0
a
k
a
k
，
解得
1
4
a
k
，
该二次函数的表达式为
2
2
1
4
2
3
y
x
x
x
．
（2）解：设该图象与x 轴的另一个交点坐标为
0,0
x
，
根据题意，得
0
1
1
2
x
，
解得
0
3
x ．
（3）解：∵
2
1
4
y
x
，
∴抛物线开口向下，当
1
x 时，函数有最大值4 ，
且抛物线上的点与对称轴的距离越大，函数值越小，
∵4
0
x
，
∴
1
x 在这个范围内，
∴二次函数的最大值为４,
∵
4
1
3
0
1
1
＞
，
∴当
4
x 时，取得最小值，且最小值为
2
4
1
4
5
y
，
故y 的取值范围为5
4
y
．
【点睛】熟练掌握增减性和最值确定方法，是解题的关键．
13．如图，在平面直角坐标系中，二次函数
2
4
0
y
ax
bx
a
的图象与x 轴交于A、B 两点，与y 轴交
于点C，且
4
OA
OC
OB
．
(1)填空：
①点A 的坐标为______；
②点B 的坐标为______；
③直线CA 的表达式为______；
(2)求该二次函数的解析式；
(3)当1
x
m
时，二次函数的最大值与最小值的差是一个定值，请直接写出m 的取值范围．
【答案】(1)①
4,0 ；②
1,0
；③
4
y
x
(2)
2
3
4
y
x
x
(3) 3
4
2
m
【分析】（1）①求出OC 的长，再求OA的长，即可求A 点坐标；
②由OC 的长，求出OB 的长，即可求B 点坐标；
③用待定系数法求直线的解析式即可；
（2）用待定系数法求二次函数的解析式即可；
（3）分三种情况讨论：①当
3
1
2
m
时，
1
x ，y 有最大值0；x
m
，y 有最小值
2
3
4
m
m
，此时不
符合题意；②当3
4
2
m
时，
3
2
x
，y 有最小值
25
4
；
1
x ，y 有最大值0；此时符合题意；③当
4
m
时，
3
2
x
，y 有最小值
25
4
；x
m
，y 有最大值
2
3
4
m
m
；此时不符合题意．
【详解】（1）解：①令
0
x
，则
4
y ，
∴
0, 4
C
，
∴
4
OC
，
∵OA
OC
，
∴
4
AO
，
∴
4,0
A
；
②∵
4
OC
OB
，
∴
1
OB ，
∴
1,0
B
；
③设直线CA 的解析式为y
kx
b
，
∴
4
0
4
k
b
b
，
解得
1
4
k
b
，
∴
4
y
x
；
（2）解：将
4,0
A
，
1,0
B
代入
2
4
y
ax
bx
，
∴
16
4
4
0.
4
0
a
b
a
b
，
解得
1
3
a
b
，
∴
2
3
4
y
x
x
；
（3）解：∵
2
2
3
25
3
4
2
4
y
x
x
x
，
∴抛物线的对称轴为直线
3
2
x
，
①当
3
1
2
m
时，
1
x ，y 有最大值0；x
m
，y 有最小值
2
3
4
m
m
，
∴
2
2
0
3
4
3
4
m
m
m
m
，此时二次函数的最大值与最小值的差随m 的变化而变化；
②当3
4
2
m
时，
3
2
x
，y 有最小值
25
4
；
1
x ，y 有最大值0；
∴
25
25
0
4
4
，此时二次函数的最大值与最小值的差是一个定值；
③当
4
m
时，
3
2
x
，y 有最小值
25
4
；x
m
，y 有最大值
2
3
4
m
m
；
∴
2
2
25
9
3
4
3
4
4
m
m
m
m
，此时二次函数的最大值与最小值的差随m 的变化而变化；
综上所述：3
4
2
m
时，二次函数的最大值与最小值的差是一个定值．
14．已知二次函数
2
1
3
y
a x
x
a
（a 为常数，
0
a
），顶点坐标为
,
m n ．
(1)当
0
n
时，a ；
(2)当
0
a
时，
①求证：二次函数的图像与x 轴总有两个公共点；
②若二次函数图像与x 轴的交点都在y 轴的右侧，则n 的取值范围为．
【答案】(1)
1
a
(2)①证明：由（1）可得
2
2
4
3
y
ax
ax
a
a
，
令
0
y
，即
2
2
0
4
3
ax
ax
a
a
，
2
2
2
4
4
3
4
1
a
a
a
a
a
a
，
∵
0
a
，
∴1
0
a
，
2
4a
0
，
∴
2
4
1
0
a
a
，
∴方程
2
2
0
4
3
ax
ax
a
a
有两个不相等的实数解，
∴二次函数的图像与x 轴总有两个公共点．
②0
12
n
．
【分析】（1）先将函数解析式化成顶点式可知
2
0
a
a
，然后解关于a 的方程即可；
（2）①先把函数解析式化成一般式，令
0
y
，得到关于x 的方程，再证明方程根的判别式大于零即可证明
结论；②当
0
y
，即
2
2
0
4
3
ax
ax
a
a
，由题意可知该方程的都是大于零的实数，解（1）的解答过程
可得
2
2
2
a x
a
a
，再根据等式的性质、直接开平方法解关于x 的方程，然后让解的最小值大于零，据
此列不等式求得a 的取值范围；由（1）可知
2
2
1
1
2
4
n
a
a
a
，再根据二次函数的性质确定n 的取值
范围即可．
【详解】（1）解：
2
1
3
y
a x
x
a
2
2
4
3
a x
x
a
2
2
4
3
ax
ax
a
a
2
2
4
3
a x
x
a
a
2
2
2
a x
a
a
，
∴抛物线的顶点坐标为：(
)
2
2,a
a
，
∵抛物线顶点坐标为
,
m n ，
0
n
，
∴
2
0
a
a
，解得：
1
a 或
0
a
，
∵
0
a
，
∴
1
a ．
（2）①证明：略；
②解：当
0
y
，即
2
2
0
4
3
ax
ax
a
a
，由题意可知该方程的根都是大于零的实数，
∴
2
2
0
2
a x
a
a
，即
2
2
2
a x
a
a
，
∵
0
a
，
∴
2
2
1
x
a
，
∴
2
1
x
a
，即
1
x
a
，
∴方程的最小解为
1
x
a
，
∴
1
0
a
，解得：
3
a ，
∴3
0
a
；
由（1）可得：
2
2
1
1
2
4
n
a
a
a
，
∴抛物线开口方向向上，对称轴为
1
2
a
，
∴当
1
2
a
时，n 随a 的增大而减小，
∴当3
0
a
，n 随a 的增大而减小，
∵当
3
a 时，n 有最大值
2
3
3
12
n
；当
0
a
时，n 有最小值
2
0
0
0
n
；
∴n 的取值范围为0
12
n
．
