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第25 章 一元二次方程·拔尖卷
【新教材人教版】
时间：120 分钟
满分：120 分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共25 题，单选10 题，填空6 题，解答9 题，满分120 分，限时120 分钟，本卷题型针对性较高，覆盖
面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！
一、选择题（本大题共10 小题，每小题3 分，满分30 分）
1．（25-26 九年级上·广东中山·期中）若关于x 的方程(𝑚+ 1)𝑥|2𝑚| +2𝑚𝑥−3 = 0是关于x 的一元二次方程，
则m 的取值是（ ）
A．任意实数
B．1 或−1
C．1
D．−1
2．（25-26 八年级上·福建福州·期末）已知代数式𝑥2 +𝑘𝑥−20的值如下表，则关于𝑥的一元二次方程𝑥2
+𝑘𝑥−20 = 0的根为( )
𝑥
−3
−2
−1
…
9
10
11
𝑥2 + 𝑘𝑥−20
13
0
−11
…
−11
0
13
A．−2
B．10
C．−2或10
D．−3或11
3．（25-26 八年级上·浙江宁波·期末）已知关于x 的方程(1−𝑘)𝑥2−2𝑥−1 = 0有实数根，则k 的取值范围是
（ ）
A．𝑘≤2且𝑘≠1
B．𝑘≤2
C．𝑘< 2且𝑘≠1
D．𝑘< 2
4．（25-26 九年级上·贵州六盘水·期中）老师设计了接力游戏，以合作的方式完成配方法求解一元二次方程，
规则：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后解出方程．过程如
图所示．接力中，自己负责的计算出现错误的是（ ）
A．只有甲
B．甲和乙
C．甲和丙
D．丙和丁
5．（25-26 八年级下·安徽合肥·期中）若实数𝑚、𝑛满足𝑚2−3𝑚+ 1 = 0，𝑛2 = 3𝑛−1且𝑚≠𝑛，则
1
𝑚+
1
𝑛的值
是（ ）
A．−3
B．3
C．1
D．−1
6．（25-26 九年级上·广东惠州·期中）如图，这是一个三角点阵，从上向下有无数行，其中第一行有1 个点，
第二行有2 个点，……，第n 行有n 个点，前n 行的点数之和不能是以下哪个结果（ ）
A．28
B．44
C．55
D．66
7．（24-25 九年级下·江西·期末）满足方程𝑥2 + 𝑦2 = 2(𝑥+ 𝑦) +𝑥𝑦的所有正整数解有：（ ）
A．一组
B．二组
C．三组
D．四组
8．（25-26 九年级上·河南南阳·月考）已知a 是方程𝑥2−2025𝑥+ 1 = 0的一个根，则代数式𝑎2−2024𝑎+
2025
𝑎2+1
的值为（ ）
A．−
1
2
B．
1
2025
C．−2025
D．2024
9．（25-26 九年级上·江苏泰州·月考）阅读理解：把数用大括号围起来，如：{2}、{−1.5,0}，我们称之为
“集”，其中大括号内的数称其为“集”的元素．如果一个“集”满足：只要其中有一个元素a，使得𝑎2 +𝑎还是这
个“集”的元素，这样的“集”我们称之为“回归集”．若“集”{2,𝑛}是“回归集”，则n 的值个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
10．（25-26 九年级上·甘肃陇南·月考）三角形两边长分别是8和6，第三边长是一元二次方程𝑥2−16𝑥+ 60 = 0
的一个实数根，则该三角形的面积是（ ）
A．24
B．24或8 5
C．48或8 5
D．8 5
二、填空题（本大题共6 小题，每小题3 分，满分18 分）
11．（25-26 八年级下·山东威海·期中）已知关于𝑥的一元二次方程(𝑚−2)𝑥2 +𝑥+ 𝑚2 +𝑚−6 = 0的一个根为
0，则𝑚的值为____．
12．（25-26 九年级上·江苏镇江·期末）若𝑥−𝑦+ 4 = 0，则𝑥𝑦的最小值为______．
13．（25-26 九年级上·浙江台州·期末）温岭市石塘镇“东海好望角”景区为提升游客体验，计划将一块靠海
的矩形观景平台扩建．原平台长为30 米，宽为20 米．计划建造三侧环抱式玻璃栈道（如图所示），玻璃
栈道的宽度相同，已知扩建后的矩形观景平台总面积达到1000 平方米，则玻璃栈道的宽度为______米．
14．（25-26 九年级上·四川成都·期中）设𝛼、𝛽是方程𝑥2−𝑥−2025 = 0的两个实数根，则𝛼3−2027𝛼−𝛽+ 1
的值为_______．
15．（25-26 八年级上·上海·期中）已知方程(𝑥−𝑎)(𝑥+ 3) = 0和方程
1
2𝑥2−
3
2𝑥+ 𝑏= 0的根完全相同，则
𝑎+ 𝑏= _____．
16．（25-26 八年级下·安徽合肥·期中）已知：𝑥2 + 𝑏2𝑥+ 𝑎= 0的两个实数根为𝑥1、𝑥2；方程𝑦2 +5𝑏𝑦+ 7 = 0
的两个实数根为𝑦1、𝑦2，且𝑥1−𝑦1 = 𝑥2−𝑦2 = 2，则𝑎−𝑏= _____．
三、解答题（本大题共9 小题，满分72 分）
17．（6 分）（24-25 八年级上·上海静安·期末）小海同学解一元二次方程4𝑥2−3 2𝑥=
1
8的过程如下：
解：𝑎= 4，𝑏= −3 2，𝑐=
1
8 ①
Δ = 𝑏2−4𝑎𝑐= (−3 2)
2
−4 × 4 ×
1
8 = 16 ②
𝑥=
−𝑏± Δ
2𝑎
=
−3 2± 16
8
③
𝑥=
−3 2+4
8
或𝑥=
−3 2−4
8
④
所以，原方程的根是𝑥1 =
−3 2+4
8
，𝑥2 =
−3 2−4
8
．⑤
(1)小海的求解过程从 步开始出现错误．
(2)请你写出这个方程正确的解题步骤，并求出方程的根．
18．（6 分）（25-26 九年级上·福建泉州·期末）已知关于x 的一元二次方程𝑎𝑥2−𝑏𝑥+ 5𝑐= 0(𝑎≠0)有实数
根．
(1)求证：𝑏2−20𝑎𝑐为非负数；
(2)若a，b，c 均为奇数，该一元二次方程是否有整数解？说明你的理由．
19．（6 分）（25-26 八年级上·吉林长春·期中）我们通常运用“𝑎2 ± 2𝑎𝑏+ 𝑏2 = (𝑎± 𝑏)2”这个公式对代数式
进行配方来解决一些数学问题．比如求代数式𝑥2−4𝑥+ 3的最小值时，可以这样做：𝑥2−4𝑥+ 3 = 𝑥2−4𝑥+
22−22 +3 = (𝑥−2)2−1．
∵(𝑥−2)2 ≥0，∴(𝑥−2)2−1 ≥−1，∴𝑥2−4𝑥+ 3的最小值是−1．
试利用“配方法”解决下列问题：
(1)代数式𝑥2 +6𝑥+ 13的最小值是______；
(2)求代数式𝑥2 + 𝑦2 +2𝑥+ 10𝑦+ 37的最小值；
(3)已知△𝐴𝐵𝐶的三边长a，b，c 都是正整数，且满足𝑎2 +2𝑏2−2𝑎𝑏= 8𝑏−16，当𝑐= 5时，△𝐴𝐵𝐶的周长
为______．
20．（8 分）（25-26 九年级上·福建漳州·期末）已知：𝑚是关于𝑥的方程𝑥2−2𝑏𝑥+ 3 = 0的一个根，
𝑛= 𝑏+
𝑏2−3．其中𝑚,𝑛,𝑏均为正整数，且这三个数互不相等．
(1)求证：𝑚+ 𝑛= 2𝑏；
(2)求𝑏的值．
21．（8 分）（25-26 九年级上·山西晋中·期末）当前，政策扶持大学生自主创新创业，王明大学毕业后和同
学创业，合伙开了一家网店，利用暑期销售原创设计的手绘图T 恤衫，已知每件T 恤衫的成本价为60 元，
当销售价为100 元时，每天能售出20 件；经过一段时间销售发现，当销售价每降低1 元时，每天就能多售
出2 件．
(1)王明希望每天获得的利润达到1050 元，同时顾客优惠最大，则每件T 恤衫的销售价应该定为多少？
(2)王明的同学想要每天获得1200 元的利润，并且保证每件T 恤衫的利润率不低于50%，请你分析能否实
现？若能实现，求出售价应定为多少；若不能，请说明理由（利润率=
利润
成本× 100%）
22．（9 分）（25-26 八年级上·上海虹口·期中）请阅读下列材料：
已知方程𝑥2 +𝑥−3 = 0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2 倍．
解：设所求方程的根为𝑦，则𝑦= 2𝑥，所以𝑥=
𝑦
2，
把𝑥=
𝑦
2代入已知方程，得
𝑦
2
2
+
𝑦
2−3 = 0，
化简，得𝑦2 +2𝑦−12 = 0，故所求方程为𝑦2 +2𝑦−12 = 0，
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．
(1)已知方程𝑥2 +𝑥−2 = 0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数．
(2)关于𝑥的一元二次方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥= 𝑐(𝑎𝑐≠0)有一个实数根为2025，则方程𝑐𝑥2 +𝑏𝑥= 𝑎一定有实数根
_______．
(3)已知关于𝑥的一元二次方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 0(𝑎≠0)的两个实数根分别为3、-2，求一元二次方程𝑎𝑦2−
(2𝑎−𝑏)𝑦+ 𝑎−𝑏+ 𝑐= 0的两根．
23．（9 分）（25-26 九年级上·河南南阳·期末）项目学习
【项目主题】利用闲置硬纸板制作长方体收纳盒收纳玩具．
【项目素材】两块长为100cm，宽为40cm的长方形硬纸板．
【任务要求】
任务一：如图1，把一块长方形硬纸板的四角各剪去一个同样大小的正方形，再沿虚线折成一个无盖的长方
体收纳盒．
任务二：如图2，把另一块长方形硬纸板的四角各剪去一个同样大小的长方形，再沿虚线折成一个有盖的长
方体收纳盒，𝐸𝐹和𝐻𝐺两边恰好重合且无重叠部分．
【问题解决】
(1)若任务一中设计的收纳盒的底面积为1600cm2，求剪去的正方形的边长为多少？
(2)若任务二中设计的收纳盒的底面积为608cm2．
①求该收纳盒的高是多少？
②判断能否把一个尺寸如图3所示的玩具车完全放入该收纳盒并盖上盖子，请简述理由．
24．（10 分）（24-25 八年级下·湖南长沙·期末）阅读下列材料：我们发现，关于x 的一元二次方程𝑎𝑥2
+𝑏𝑥+ 𝑐= 0（𝑎≠0），如果Δ = 𝑏2−4𝑎𝑐的值是一个完全平方数时，一元二次方程的根不一定都为整数，
但是如果一元二次方程的根都为整数，Δ的值一定是一个完全平方数．
定义：两根都为整数的一元二次方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 0（𝑎≠0）称为“友好方程”，代数式4𝑎𝑐−𝑏2的值为该“友
好方程”的“超强代码”，用𝑄(𝑎,𝑏,𝑐)表示，即𝑄(𝑎,𝑏,𝑐) = 4𝑎𝑐−𝑏2；若另一关于x 的一元二次方程𝑝𝑥2 +𝑞𝑥+ 𝑟= 0
（𝑝≠0）也为“友好方程”，其“超强代码”记为𝑄(𝑝,𝑞,𝑟)，当满足𝑄(𝑎,𝑏,𝑐)−𝑄(𝑝,𝑞,𝑟) = 4𝑐时，则称一元二次方
程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 0（𝑎≠0）是一元二次方程𝑝𝑥2 +𝑞𝑥+ 𝑟= 0（𝑝≠0）的“最佳搭子方程”．
(1)“友好方程”𝑥2−𝑥−6 = 0的“超强代码”是________；
(2)关于x 的一元二次方程𝑥2−(2𝑚−1)𝑥+ 𝑚2−2𝑚−3 = 0（m 为整数，且4 < 𝑚< 15）是“友好方程”，请求
出该方程的“超强代码”；
(3)若关于x 的一元二次方程𝑥2 + (1−𝑚)𝑥+ 𝑚−2 = 0是𝑥2 + (𝑛−1)𝑥−𝑛= 0（m，n 均为正整数，且𝑚≠𝑛）
的“最佳搭子方程”，且𝑥2 + (1−𝑚)𝑥+ 𝑚−2 = 0的一个根是𝑥2 + (𝑛−1)𝑥−𝑛= 0的一个根的2 倍，求m 和n
的值
25．（10 分）（24-25 八年级上·广东深圳·期中）我们发现，用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线
段长度之间的数量关系的相关问题．我国汉代数学家赵爽（公元3~4世纪）就通过一幅“弦图”，证明出勾股
定理，后人称之“赵爽弦图”．如图1，“赵爽弦图”是由4个全等的直角三角形拼成的一个大正方形，记为“正
方形𝐴𝐵𝐶𝐷”，设直角三角形较短的直角边为𝑎，较长的直角边为𝑏，面积为𝑆△．
(1)小桐用这4个直角三角
形拼出图2所示的正方形𝐸𝐹𝐺𝐻，发现：若𝑎、𝑏的值确定，则正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的面积𝑆正方形𝐴𝐵𝐶𝐷、正方形𝐸𝐹𝐺𝐻
的面积𝑆正方形𝐸𝐹𝐺𝐻、直角三角形的面积𝑆△的值都唯一确定，
当𝑎= 1，𝑏= 4时，𝑆正方形𝐴𝐵𝐶𝐷= _________，𝑆正方形𝐸𝐹𝐺𝐻= _________；
(2)小桐进一步思考，并提出问题：已知𝑆正方形𝐴𝐵𝐶𝐷、𝑆正方形𝐸𝐹𝐺𝐻、𝑆△中的任意两个量可否求出𝑎、𝑏的值？于
是给出以下条件，并进行探索：
条件(I)
条件(II)
条件(III)
𝑆正方形𝐴𝐵𝐶𝐷= 256
𝑆正方形𝐸𝐹𝐺𝐻= 4
𝑆△= 24
①选择条件(I) (II)，则𝑎= _________，𝑏= _________；
②选择条件(I) (III)，请你帮小桐计算出𝑎，𝑏的值；
③【探索发现】选择条件(II) (III)，由(II)得：𝑏−𝑎= 2，由(III)得：
1
2𝑎𝑏= 24，进而得出关于𝑎的方程：
𝑎(𝑎+ 2) = 48，小桐尝试从“形”的角度来确定𝑎的值，将𝑎(𝑎+ 2) = 48看作是长为(𝑎+ 2)，宽为𝑎的长方形，
且长方形面积为48，根据“赵爽弦图”的构图思路，小桐用4个这样的长方形构造“空心”大正方形（如图3），
则图3中大正方形的面积为：48 × 4 + 4 = 196，也可以表示为：(𝑎+ 𝑏)2 = (𝑎+ 𝑎+ 2)2，于是：
(𝑎+ 𝑎+ 2)2 = 196，因此2𝑎+ 2 =± 14，所以𝑎= 6或𝑎= −8（舍去），故𝑎= 6，𝑏= 8．这正是赵爽在
《勾股圆方图注》中记载的一类方程的几何解法．
【类比迁移】小桐继续根据以上解法求解方程𝑥(𝑥−3) = 18，请将其解答过程补充完整．第一步：利用四个
全等的长方形构造“空心”大正方形；
第二步：根据大正方形的面积可得新的方程__________________，解得原方程的一个正根为_________；
【拓展应用】一般地，对于关于x 的方程𝑥(𝑥+ 𝑚) = 𝑛可以构造图4求解．已知图4是由四个面积为5的相同
矩形构成，中间围成的正方形面积为16，那么，此方程中的𝑛= _________，求得方程的正根为_________．
