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一元二次方程
（易错/拔尖必刷 55 题 18 种题型专项训练）
【易错题型】
➢ 一．识别一元二次方程（共2小题） ➢ 十．一元二次方程与实际问题（共 4小题）
➢ 二．根据一元二次方程的定义求参数值或取值 ➢ 解一元二次方程中的错解复原问题（共2小题）
【拔尖题型】
范围（共 2小题）
十二．利用配方法求最值问题（共 2小题）
➢ 三．一元二次方程的一般形式（共 3小题）
十三．利用一元二次方程的解法解特殊方程（共 5
➢ 四．已知一元二次方程的解求参数值或代数式
小题）
的值（共 3小题）
十四．一元二次方程根与系数有关的阅读理解问题
➢ 五．选用合适的方法解一元二次方程（共 2 小
（共3小题）
题）
十五．根的判别式与根与系数关系的综合（共 4 小
➢ 六．根据判别式判断一元二次方程根的情况（共
题）
4小题）
十六．一元二次方程与规律探究问题（共3小题）
➢ 七．根据一元二次方程根的情况求参数（共 3
十七．一元二次方程与新定义问题（共3小题）
小题）
十八．一元二次方程与动点问题（共 4小题）
➢ 八．换元法解一元二次方程（共2小题）
➢ 九．一元二次方程根与系数的关系（共4小题）
一．识别一元二次方程（共2小题）
1．（2023上·北京昌平·九年级校考期中）下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．2𝑥+𝑦 =2 B．𝑥+𝑦2 =0 C．𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐 =0 D．2𝑥−𝑥2 =1
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，
然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
【详解】解：A、该方程含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项错误；
B、该方程含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项错误；
C、该方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐 =0中，当𝑎 =0时，没有二次项，不是一元二次方程，故本选项错误；
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司D、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项正确．
故选：D．
2．（2021上·山东聊城·九年级统考期末）下面关于x的方程中：①ax2＋bx＋c＝0；②3（x﹣9）2﹣（x＋1）
2＝1；③x2＋
1
＋5＝0；④x2＋5x3﹣6＝0；⑤3x2＝3（x﹣2）2；⑥12x﹣10＝0，是一元二次方程个数是（ ）
𝑥
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】根据一元二次方程的定义即可解答．
【详解】解：①ax2+bx+c=0当a=0不是一元二次方程；
②3（x-9）2-（x+1）2=1是一元二次方程；
1
③x2＋ ＋5＝0是分式方程；
𝑥
④x2＋5x3﹣6＝0是一元三次方程；
⑤3x2=3（x-2）2是一元一次方程；
⑥12x-10=0是一元一次方程．
故选：A．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式
方程叫一元二次方程是解答此题的关键．
二．根据一元二次方程的定义求参数值或取值范围（共2小题）
3．（2022上·四川雅安·九年级统考期末）要使方程(𝑎−2)𝑥2+3𝑥−1=0是关于𝑥的一元二次方程，则（ ）
A．𝑎 ≠0 B．𝑎 ≠2 C．𝑎 =2 D．𝑎 ≠3
【答案】B
【分析】利用一元二次方程的定义，可找出关于𝑎的一元一次不等式，解之即可求出𝑎的取值范围．
【详解】解：∵方程(𝑎−2)𝑥2+3𝑥−1=0是关于𝑥的一元二次方程，
∴𝑎−2≠0，
∴𝑎 ≠2．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，牢记一元二次方程的定义是解题的关键．
4．（2023下·山东济宁·八年级统考期中）若(𝑚−2)𝑥𝑚2−2−𝑚𝑥+1=0是一元二次方程，则m的值为（ ）
A．2 B．−2 C．√2 D．−√2
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【答案】B
【分析】根据一元二次方程中未知数的最高次数为2，可得𝑚2−2=2，根据二次项的系数不能为0，可得
𝑚−2≠0，由此可解．
【详解】解：由题意知{
𝑚2−2=2
，
𝑚−2≠0
解𝑚2−2=2，得𝑚 =±2，
解𝑚−2≠0，得𝑚 ≠2，
因此m的值为𝑚=−2，
故选：B．
【点睛】本题考查一元二次方程的定义、解一元二次方程，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．一元
二次方程通过化简后，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．
三．一元二次方程的一般形式（共 3小题）
5．（2023上·湖南益阳·九年级校考期末）一元二次方程3𝑥2+𝑥−2=0的二次项系数、一次项系数和常数项
分别是（ ）
A．3，1，2 B．3，1,−2 C．3，0，−2 D．3，0，2
【答案】B
【分析】一元二次方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+𝑐 =0(𝑎 ≠0)的二次项系数、一次项系数和常数项分别是𝑎，𝑏，𝑐，由此
即可完成解答．
【详解】解：一元二次方程3𝑥2+𝑥−2=0的二次项系数、一次项系数和常数项分别是3，1,−2；
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的各项系数，理解一元二次方程的概念是解题的关键．
6．（2022上·河南南阳·九年级南阳市第十三中学校校考阶段练习）用求根公式解一元二次方程5𝑥2−1−4𝑥 =
0时a，b，c的值是（ ）
A． 𝑎 =5，𝑏 =−1，𝑐 =−4 B．𝑎 =5，𝑏 =−4，𝑐 =1
C． 𝑎 = 5，𝑏 =−4，𝑐 =−1 D．𝑎 =5，𝑏 =4，𝑐 =1
【答案】C
【分析】将方程化为一般形式即可得到a，b，c的值．
【详解】解：∵5𝑥2−1−4𝑥 =0，
∴5𝑥2−4𝑥−1=0，
则𝑎 =5，𝑏 =−4，𝑐 =−1，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司故选：C．
【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式：𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+𝑐 =0，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解
题的关键．
7．（2023下·安徽淮北·八年级统考期末）若关于x的一元二次方程𝑥2−4𝑥+𝑚𝑥+2𝑚 =0的常数项是6，则
一次项是（ ）
A．−𝑥 B．−1 C．x D．1
【答案】A
【分析】根据2𝑚 =6可得𝑚 =3，由此即可得．
【详解】解：由题意得：2𝑚 =6，解得：𝑚 =3，
则一次项是：−4𝑥+3𝑥 =−𝑥，
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的一般形式：一元二
次方程的一般形式是𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+𝑐 =0(𝑎 ≠0)，其中，𝑎𝑥2是二次项，𝑏𝑥是一次项，𝑐是常数项．
四．已知一元二次方程的解求参数值或代数式的值（共3小题）
8．（2019上·山东菏泽·九年级阶段练习）关于𝑥的一元二次方程(𝑎−2)𝑥2+𝑥+𝑎2−4=0的一个根是0，则
𝑎的值为（ ）
A．2 B．−2 C．2或−2 D．0
【答案】B
【分析】由一元二次方程的定义，可知𝑎−2≠0；一根是0，代入(𝑎−2)𝑥2+𝑥+𝑎2−4= 0可得𝑎2−4=
0．𝑎的值可求．
【详解】解：∵(𝑎−2)𝑥2+𝑥+𝑎2−4=0是关于𝑥的一元二次方程，∴𝑎−2≠0，即𝑎 ≠2①
由一个根是0，代入(𝑎−2)𝑥2+𝑥+𝑎2−4=0，可得𝑎2−4=0，解之得𝑎 =±2；②
由①②得𝑎 =−2．
故选B．
【点睛】本题考查一元二次方程的定义和一元二次方程的解，二次项系数不为0．解题时须注意，此为易错
点．否则选C就错了．
9．（2023下·吉林长春·八年级校考期末）如果关于𝑥的一元二次方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥+2=0的一个解是𝑥 =1，则
代数式2023−𝑎−𝑏的值为（ ）
A．−2021 B．2021 C．−2025 D．2025
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【答案】D
【分析】根据一元二次方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+2=0的一个解是𝑥 =1，得到𝑎+𝑏+2=0即𝑎+𝑏 =−2，代入计算
即可．
【详解】∵一元二次方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥+2=0的一个解是𝑥 =1，
∴𝑎+𝑏+2=0，
∴𝑎+𝑏 =−2，
∴2023−𝑎−𝑏 =2023+2=2025，
故选D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根，熟练掌握定义是解题的关键．
10．（2023下·安徽合肥·八年级统考期末）若𝑎为方程2𝑥2+𝑥−4= 0的解，则6𝑎2+3𝑎−9的值为（ ）
A．2 B．3 C．−4 D．−9
【答案】B
【分析】把𝑥 =𝑎代入方程求得2𝑎2+𝑎 =4，然后根据6𝑎2+3𝑎−9=3(2𝑎2+𝑎)−9即可求解．
【详解】解：把𝑥 =𝑎代入方程得：2𝑎2+𝑎−4=0，
则2𝑎2+𝑎 =4，
则6𝑎2+3𝑎−9= 3(2𝑎2+𝑎)−9=12−9=3．
故选：B．
【点睛】本题考查了方程的解的定义，方程的解是能使方程左右两边相等的未知数的值．
五．选用合适的方法解一元二次方程（共2小题）
11．（2023·全国·九年级专题练习）利用公式法求解可得一元二次方程式3𝑥2−11𝑥−1=0 的两解为𝑎、𝑏，
且𝑎 >𝑏，求a值为何（ ）
A．
−11+√109
B．
−11+√133
C．
11+√109
D．
11+√133
6 6 6 6
【答案】D
【分析】利用公式法即可求解．
【详解】解：3𝑥2−11𝑥−1=0，
这里𝑎 =3，𝑏 =−11，𝑐 =−1，
∴△=(−11)2−4×3×(−1)=133 >0，
∴𝑥 =
11±√133
=
11±√133
，
2×3 6
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司∵一元二次方程式3𝑥2−11𝑥−1=0 的两解为𝑎、𝑏，且𝑎 >𝑏，
∴𝑎的值为
11+√133
．
6
故选：D．
【点睛】本题考查了解一元二次方程−公式法，能熟练运用公式法解答方程是解此题的关键．
12．（2020上·江苏南京·九年级统考期中）解方程：
(1)𝑥2+4𝑥−1=0；
(2)(𝑥−1)(𝑥+3)=5(𝑥−1)．
【答案】(1)𝑥 =−2+√5，𝑥 =−2−√5；
1 2
(2)𝑥 =1，𝑥 =2．
1 2
【分析】此题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握配方法、因式分解法等方法与步骤是解题的关键．
（1）利用配方法解此一元二次方程即可；
（2）利用因式分解法求解一元二次方程．
【详解】（1）解：𝑥2+4𝑥−1=0，
配方得𝑥2+4𝑥+4=5，
即(𝑥+2)2 =5，
即𝑥+2=√5，
∴𝑥 =−2+√5，𝑥 =−2−√5．
1 2
（2）解：(𝑥−1)(𝑥+3) =5(𝑥−1)，
移项、变形得：(𝑥−1)(𝑥+3)−5(𝑥−1)=0，
提取公因式(𝑥−1)得：(𝑥−1)(𝑥−2)=0，
∴𝑥−1=0或𝑥−2=0，
∴𝑥 =1，𝑥 =2．
1 2
六．根据判别式判断一元二次方程根的情况（共 4小题）
13．（2023上·湖南长沙·九年级统考期末）一元二次方程𝑥2 +4𝑥+8=0根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
【答案】C
【分析】计算判别式Δ=42−4×8＜0，判断即可．
【详解】∵一元二次方程𝑥2+4𝑥+8=0，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司∴Δ=42−4×8＜0，
故方程无实数根．
故选C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握计算根的判别式是解题的关键．
14．（2022上·湖南衡阳·九年级统考期末）下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）
A．𝑥2−2𝑥 =0 B．𝑥2 +4𝑥−1=0 C．3𝑥2−5𝑥+2= 0 D．2𝑥2−4𝑥+3=0
【答案】D
【分析】求出一元二次方程根的判别式，根据符号即可得到结论．
【详解】解：A、Δ=(−2)2−4×1×0=4> 0，故有两个不相等的实数根，不合题意；
B、Δ=42−4×1×(−1)=20>0，故有两个不相等的实数根，不合题意；
C、Δ=(−5)2−4×3×2=1>0，故有两个不相等的实数根，不合题意；
D、Δ=(−4)2−4×2×3=−8<0，故没有实数根，符合题意；
故选：D．
【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式与方程解的情况之间的
关系是解决问题的关键．
15．（2021上·上海青浦·八年级校考期末）关于𝑥的一元二次方程𝑥2−𝑚𝑥−1=0的根的情况（ ）
A．有两个实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．由𝑚的取值确定
【答案】B
【分析】根据该一元二次方程根的判别式，即可解答．
【详解】解：根据题意可得：𝑎 =1,𝑏 =−𝑚,𝑐 =−1，
∴Δ=𝑏2−4𝑎𝑐 =(−𝑚)2−4×1×(−1)=𝑚2+4，
∵𝑚2 ≥0，
∴Δ=𝑚2+4>0，
∴该方程有两个不相等的实数根，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了已知一元二次方程根的情况求参数的取值范围，解题的关键是熟练掌握当𝑏2−
4𝑎𝑐 >0时，方程有两个不相等的实数根；当𝑏2−4𝑎𝑐 =0时，方程有两个相等的实数根；当𝑏2−4𝑎𝑐 <0时，
方程没有实数根．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司16．（2023下·陕西西安·八年级高新一中校考期末）当𝑎+𝑏 =2时，关于x的一元二次方程𝑎𝑥2 −𝑏𝑥−1= 0
的根的情况为（ ）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法确定
【答案】C
【分析】根据𝑎+𝑏 =2得𝑎 =2−𝑏，根据一元二次方程根的判别式和配方法得Δ=𝑏2−4𝑎 =(𝑏−2)2+4>
0，即可得．
【详解】解：∵𝑎+𝑏 =2，
∴𝑎 =2−𝑏，
∵Δ=𝑏2−4𝑎 =𝑏2−(2−𝑏)=𝑏2−4𝑏+8=(𝑏−2)2+4>0，
∴方程𝑎𝑥2−𝑏𝑥−1=0有两个不相等的实数根，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，配方法，解题的关键是掌握这些知识点．
七．根据一元二次方程根的情况求参数（共3小题）
17．（2023上·云南红河·九年级统考期末）一元二次方程(𝑚−2)𝑥2−4𝑚𝑥+2𝑚−6=0有两个相等的实数
根，则m等于（ ）
A．−6或1 B．1 C．−6 D．4或1
【答案】A
【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根△=0列式求解即可得到答案；
【详解】解：∵一元二次方程(𝑚−2)𝑥2−4𝑚𝑥+2𝑚−6=0有两个相等的实数根，
∴16𝑚2−4(𝑚−2)(2𝑚−6)=0且𝑚−2≠0，解得：𝑚 =−6，𝑚 =1，
1 2
故选：A；
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
18．（2021上·湖南永州·九年级统考期末）若关于𝑥的一元二次方程(𝑘−1)𝑥2−2𝑘𝑥+𝑘−3=0有实数根，
则𝑘的取值范围为（ ）
3 3
A．𝑘 ≥ B．𝑘 ≥ 且𝑘 ≠1 C．𝑘 ≥0 D．𝑘 ≥0且𝑘 ≠1
4 4
【答案】B
【分析】根据方程根的情况可以判定其根的判别式的取值范围，进而可以得到关于 k 的不等式，同时还应
注意二次项系数不能为0．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【详解】解：∵关于x的一元二次方程(𝑘−1)𝑥2−2𝑘𝑥+𝑘−3=0有实数根，
∴Δ=𝑏2−4𝑎𝑐 =(−2𝑘)2−4(𝑘−1)(𝑘+3) =16𝑘−12≥0且𝑘−1≠0，
3
解得：𝑘 ≥ 且𝑘 ≠1，
4
3
则k的取值范围是𝑘 ≥ 且𝑘 ≠1，
4
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一
隐含条件．
19．（2023上·北京海淀·九年级北京市师达中学校考阶段练习）若关于𝑥的一元二次方程𝑥2−4𝑥+𝑚=0有
两个相等的实数根，则实数𝑚的值为（ ）
A．4 B．−4 C．±4 D．2
【答案】A
【分析】利用一元二次方程根的判别式即可求解．
【详解】解：由题意得：Δ=(−4)2−4𝑚 =0，
解得：𝑚 =4，
故选A．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握其公式是解题的关键．
八．换元法解一元二次方程（共2小题）
20．（2022上·黑龙江双鸭山·九年级统考期末）解方程：(𝑥2−1)2−5(𝑥2−1)+4=0，利用整体思想和换
元法可设𝑥2−1=𝑦，则原方程可化为： .
【答案】𝑦2−5𝑦+4=0
【分析】根据换元法，设𝑥2−1=𝑦，代入原方程即可求解．
【详解】解：设𝑥2−1=𝑦，则原方程可化为：𝑦2−5𝑦+4=0，
故答案为：𝑦2−5𝑦+4=0．
【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程，整体代入是解题的关键．
21．（2023上·重庆渝中·九年级统考期末）阅读材料，解答问题．
解方程：(4𝑥−1)2−10(4𝑥−1)+24=0．
解：把4𝑥−1视为一个整体，设4𝑥−1=𝑦，
则原方程可化为𝑦2−10𝑦+24 =0．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司解得𝑦 =6，𝑦 =4．
1 2
∴4𝑥−1=6或4𝑥−1=4．
7 5
∴𝑥 = ，𝑥 = ．
1 4 2 4
以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想．
请仿照材料解下列方程：
(1)(3𝑥−5)2+4(3𝑥−5)+3=0；
(2)𝑥4−𝑥2−6=0．
2 4
【答案】(1)𝑥 = ，𝑥 =
1 3 2 3
(2)𝑥 =√3，𝑥 =−√3
1 2
【分析】（1）把3𝑥−5看做一个整体，设3𝑥−5=𝑦，则原方程可化为𝑦2+4𝑦+3=0，𝑥 = 2 𝑥 = 4 ．
1 3 2 3
（2）把𝑥2看做整体，设𝑥2 = 𝑦，则原方程可化为𝑦2−𝑦−6=0，解得𝑥 =√3，𝑥 =−√3．
1 2
【详解】（1）解：(3𝑥−5)2+4(3𝑥−5)+3=0
把3𝑥−5看做一个整体，设3𝑥−5=𝑦
则原方程可化为𝑦2+4𝑦+3=0
解得𝑦 =−3，𝑦 =−1
1 2
∴3𝑥−5=−3或者3𝑥−5=−1
2 4
∴𝑥 = ，𝑥 =
1 3 2 3
（2）解：𝑥4−𝑥2−6=0
把𝑥2看做整体，设𝑥2 =𝑦
则原方程可化为𝑦2−𝑦−6=0
解得𝑦 =3，𝑦 =−2
1 2
∴𝑥 =√3，𝑥 =−√3
1 2
【点睛】本题考查了换元法解二元一次方程的方法，熟练运用换元法将次是解题的关键．
九．一元二次方程根与系数的关系（共4小题）
22．（2023上·江苏常州·九年级统考期末）若𝑥 =−2是一元二次方程𝑥2+2𝑥+𝑚 =0的一个根，则方程的另
一个根是（ ）
A． −2 B． −1 C．0 D．2
【答案】C
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司𝑏
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可知𝑥 +𝑥 =− ，即可得出答案．
1 2 𝑎
【详解】解：∵𝑥 =−2是一元二次方程𝑥2+2𝑥+𝑚=0的一个根，
𝑏
∴𝑥 +𝑥 =− ，即−2+𝑥 =−2，
1 2 𝑎 2
解得：𝑥 =0，
2
∴方程的另一个根是0，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟知关于𝑥的一元二次方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐 = 0(𝑎 ≠0)：
𝑏 𝑐
𝑥 +𝑥 =− ，𝑥 𝑥 = 是解本题的关键．
1 2 𝑎 1 2 𝑎
23．（2022上·四川雅安·九年级统考期末）若方程𝑥2 −4𝑥−1=0的两根分别是𝑥 ，𝑥 ，则𝑥2+𝑥2的值为（ ）
1 2 1 2
A．6 B．8 C．18 D．−18
【答案】C
【分析】根据根与系数的关系可得𝑥 +𝑥 =4，𝑥 ⋅𝑥 = −1，所求的代数式=(𝑥 +𝑥 )2−2𝑥 ⋅𝑥 ，最后
1 2 1 2 1 2 1 2
整体代入可得结果．
【详解】解：∵方程𝑥2−4𝑥−1=0的两根为𝑥 ，𝑥 ，
1 2
∴𝑥 +𝑥 =4，𝑥 ⋅𝑥 =−1，
1 2 1 2
∴𝑥2+𝑥2 =(𝑥 +𝑥 )2−2𝑥 ⋅𝑥 =42−2×(−1)=18．
1 2 1 2 1 2
故选：C．
【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，完全平方公式等知识，解题的关键是学会利用整体代
入的思想解决问题．
24．（2023上·重庆沙坪坝·九年级重庆南开中学校考开学考试）已知关于𝑥的一元二次方程𝑥2+4𝑥+3=0的
1 1
两根分别为𝑎、𝑏，则 + 的值为（ ）
𝑎 𝑏
4 2 2 4
A． B． C．− D．−
3 3 3 3
【答案】D
1 1 𝑎+𝑏
【分析】先根与系数的关系得𝑎+𝑏 =−4，𝑎𝑏 =3，再利用通分得到 + = ，然后利用整体代入的方法
𝑎 𝑏 𝑎𝑏
计算．
【详解】解：根据根与系数的关系得：𝑎+𝑏 =−4，𝑎𝑏 =3，
1 1 𝑎+𝑏 4
∴ + = =− ．
𝑎 𝑏 𝑎𝑏 3
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司故选：D．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若𝑥 ，𝑥 是一元二次方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐 =0(𝑎 ≠0)的两根时，𝑥 +𝑥 =
1 2 1 2
𝑏 𝑐
− ，𝑥 𝑥 = ．
𝑎 1 2 𝑎
25．（2022上·重庆梁平·九年级统考期末）一元二次方程𝑥2 −3𝑥+2=0的两根为𝑥 ，𝑥 ，则下列结论错误
1 2
的是（ ）
A．𝑥 +𝑥 =3 B．𝑥 ⋅𝑥 =2 C．(𝑥 −𝑥 )2 =1 D．𝑥2+𝑥2 =6
1 2 1 2 1 2 1 2
【答案】D
−3 2
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得𝑥 +𝑥 =− =3，𝑥 ⋅𝑥 = =2，即可判定选项 A、B；
1 2 1 1 2 1
再结合完全平方公式分析判断选项C、D即可．
【详解】解：∵一元二次方程𝑥2−3𝑥+2=0的两根为𝑥 ，𝑥 ，
1 2
−3 2
∴根据一元二次方程根与系数的关系，可得𝑥 +𝑥 =− =3，𝑥 ⋅𝑥 = =2，
1 2 1 1 2 1
∴(𝑥 −𝑥 )2 =(𝑥 +𝑥 )2−4𝑥 𝑥 =1，𝑥2 +𝑥2 =(𝑥 +𝑥 )2−2𝑥 𝑥 =5，
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
故选项A、B、C正确，
选项D错误，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系以及运用完全平方公式进行运算，理解并掌握相关
知识是解题关键．
十．一元二次方程与实际问题（共 4小题）
26．（2023下·重庆沙坪坝·八年级重庆八中校考期末）有一个人患流感，经过两轮传染后共有64个人患流感，
每轮传染中平均一个人传染几个人？设每轮传染中平均一个人传染𝑥个人，可列方程为（ ）
A．1+2𝑥 =64 B．1+𝑥2 =64 C．1+𝑥+𝑥2 =64 D．(1+𝑥)2 =64
【答案】D
【分析】根据平均一个人传染𝑥个人，有一个人患流感，第一轮有(𝑥+1)人患流感，第二轮共有𝑥+1+
(𝑥+1)𝑥人，即64人患流感，由此列出方程求解即可．
【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染𝑥个人，第一轮有(𝑥+1)人患流感，第二轮共有𝑥+1+(𝑥+1)𝑥
人，根据题意可得：𝑥+1+(𝑥+1)𝑥 =64，
整理得：(1+𝑥)2 =64，
故选：D．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，解题关键是得到两轮传染数量关系，从而可列出方程求解．
27．（2023上·广东惠州·九年级统考期末）参加一次活动的每个人都和其他人各握了一次手，所有人共握手
10次，有多少人参加活动？设有𝑥人参加活动，可列方程为（ ）
1 1
A． 𝑥(𝑥−1) =10 B．𝑥(𝑥−1) =10 C．𝑥(𝑥+1) =10 D． 𝑥(𝑥+1)=10
2 2
【答案】A
【分析】设有𝑥人参加活动，每个人与其他人握手的次数均为(𝑥−1)次，并且每个人与其他人握手均重复一
次，由此列出方程即可．
【详解】解：设有 x 人参加活动，每个人与其他人握手的次数均为(𝑥−1)次，并且每个人与其他人握手均
𝑥(𝑥−1)
重复一次，由此可得： =10，
2
故选：A．
【点睛】题目主要考查一元二次方程的应用，理解题意，列出方程是解题关键．
28．（2022上·河北张家口·九年级统考期末）2023年是我国全面推进乡村振兴开局之年．为了解某县助推乡
村振兴的投资收益情况，现对投资项目的收益进行统计，结果显示收益从2020年的1000万元，增加到2022
年的1960万元，则该县平均每年的收益增长率为（ ）
A．10% B．20% C．30% D．40%
【答案】D
【分析】设平均每年的收益增长率是x，根据2020年及2022年该投资项目的收益，即可得出关于x的一元
二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
【详解】解：设平均每年的收益增长率是x，
根据题意，得：1000(1+𝑥)2 =1960，解得𝑥 =0.4=20%，𝑥 =−2.4（不符合题意，舍去）
1 2
答：该县平均每年的收益增长率为40%．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程．
29．（2020上·广东广州·九年级统考期末）两个相邻自然数的积是132．则这两个数中，较大的数是（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
【答案】B
【分析】设这两个数中较大的数为x，则较小的数为（x﹣1），根据两数之积为132，即可得出关于x的一元
二次方程，解之取其正值即可得出结论．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【详解】解：设这两个数中较大的数为x，则较小的数为（x﹣1），
依题意，得：x（x﹣1）＝132，
解得：x1＝12，x2＝﹣11（不合题意，舍去）．
故选：B．
【点睛】本题考查的知识点是一元二次方程的应用，找准题目中的等量关系式是解此题的关键．
十一．解一元二次方程中的错解复原问题（共2小题）
30．（2023上·山西大同·九年级统考期末）（1）解方程：𝑥2−6𝑥+5=0；
（2）下面是小敏同学解方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
3(𝑥−3) =(𝑥−3)2
解：3(𝑥−3)−(𝑥−3)2 =0……第一步
(𝑥−3)(3−𝑥−3) =0……第二步
则𝑥−3=0或3−𝑥−3=0……第三步
解得𝑥 =3,𝑥 =0……第四步
1 2
任务一：填空：①以上解题过程中，第一步变形的名称是_______；②第______步开始出现错误，错误的
原因是_________；
任务二：请直接写出该方程的正确解．
【答案】（1）𝑥 =5,𝑥 =1；（2）任务一：①移项；②二，括号前面是负号，去括号时没有改变符号；任
1 2
务二：𝑥 =3,𝑥 =6
1 2
【分析】（1）根据配方法解答即可；
（2）任务一：根据解方程的步骤即可解答；任务二：根据因式分解法求解一元二次方程即可．
【详解】解：（1）𝑥2−6𝑥 =−5．
𝑥2−6𝑥+9=−5+9．
(𝑥−3)2 =4．
∴𝑥−3=2或𝑥−3=−2．
∴𝑥 =5,𝑥 = 1．
1 2
（2）任务一：①以上解题过程中，第一步变形的名称是移项；②第二步开始出现错误，错误的原因是括
号前面是负号，去括号时没有改变符号；
胡答案为：①移项；②二；括号前面是负号，去括号时没有改变符号；
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司任务二：
解：3(𝑥−3)−(𝑥−3)2 =0
(𝑥−3)(3−𝑥+3) =0
则𝑥−3=0或3−𝑥+3=0
解得𝑥 =3,𝑥 =6．
1 2
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
31．（2023上·河南许昌·九年级许昌市第一中学校联考期末）下面是小明同学解一元二次方程2𝑥2−2=3𝑥的
过程，请认真阅读并完成相应的任务．
2𝑥2−2=3𝑥．
解：二次项系数化为1，得𝑥2−1= 3 𝑥，第一步
2
移项，得𝑥2− 3 𝑥 =1，第二步
2
配方，得𝑥2− 3 𝑥+ 9 =1，第三步
2 4
2
3
变形，得(𝑥− ) =1，第四步
2
3
开方，得𝑥− =±1，第五步
2
1 5
解得𝑥 = ，𝑥 = ，第六步
1 2
2 2
(1)上面小明同学的解法中运用“配方法”将一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，体现的数学思想是
______，其中“配方法”依据的一个数学公式是______；
(2)上述解题过程，从第______步开始出现错误，请写出正确的解答过程．
【答案】(1)转化思想，完全平方公式
(2)三，解答过程见详解
【分析】（1）根据解答过程判断依据即可；
（2）根据配方法判断即可．
【详解】（1）解法中运用“配方法”将一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，体现的数学思想是转化思想，
其中“配方法”依据的一个数学公式是完全平方公式；
（2）解题过程，从第三步开始出现错误，正确的解答过程如下：
解：2𝑥2−2=3𝑥
𝑥2−1= 3 𝑥，
2
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司𝑥2− 3 𝑥 =1，
2
𝑥2− 3 𝑥+ 9 =1+ 9 ，
2 4 4
2
3 13
(𝑥− ) = ，
2 4
𝑥−
3
=±
√13
，
2 2
解得𝑥 =
3+√13
，𝑥 =
3−√13
．
1 2 2 2
【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的几种常见解法：直接开平方法、配方法、
因式分解法、公式法，结合方程的特点选择合适的解法是解题的关键．
十二．利用配方法求最值问题（共 2小题）
32．（2023下·陕西咸阳·八年级统考期末）先阅读下面的内容，再解答问题．
【阅读】例题：求多项式𝑚2+2𝑚𝑛+𝑛2+4的最小值．
解：𝑚2+2𝑚𝑛+𝑛2+4=(𝑚2+2𝑚𝑛+𝑛2)+4= (𝑚+𝑛)2+4，
∵(𝑚+𝑛)2 ≥ 0，∴(𝑚+𝑛)2+4≥4
∴多项式𝑚2+2𝑚𝑛+𝑛2+4的最小值是4
(1)请写出例题解答过程中把一个三项二次式转化为一个二项式的平方运用的公式是______；
(2)求多项式−2𝑥2+4𝑥𝑦−2𝑦2+30的最大值．
【答案】(1)完全平方公式
(2)30
【分析】（1）根据完全平方公式的含义可得答案；
（2）把原式化为−2(𝑥−𝑦)2+30，再利用非负数的性质可得答案．
【详解】（1）解：公式为：𝑎2+2𝑎𝑏+𝑏2 =(𝑎+𝑏)2，即：完全平方公式，
故答案为：完全平方公式；
（2）−2𝑥2+4𝑥𝑦−2𝑦2+30
=−2(𝑥2−2𝑥𝑦+𝑦2)+30
=−2(𝑥−𝑦)2+30；
∵−2(𝑥−𝑦)2 ≤0，
∴−2(𝑥−𝑦)2+30≤30，
∴−2𝑥2+4𝑥𝑦−2𝑦2+30的最大值是30．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【点睛】本题考查的是利用完全平方公式分解因式，非负数的性质，掌握利用完全平方公式求解代数式的
最值是解本题的关键．
33．（2023上·河南信阳·八年级统考期末）教材中这样写道：“我们把多项式𝑎2+2𝑎𝑏+𝑏2及𝑎2−2𝑎𝑏+𝑏2叫
做完全平方式”，如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的
项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一
种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数
有关的问题或求代数式最大值，最小值等．
例如：分解因式𝑥2+2𝑥−3．
原式=(𝑥2 +2𝑥+1)−4=(𝑥+1)2−4=(𝑥+1+2)(𝑥+1−2)=(𝑥+3)(𝑥−1)；；
例如：求代数式𝑥2+4𝑥+6的最小值．
原式=𝑥2+4𝑥+4+2=(𝑥+2)2+2．
∵(𝑥+2)2 ≥0，
∴当𝑥 =−2时，𝑥2+4𝑥+6有最小值是2．
根据阅读材料用配方法解决下列问题：
(1)分解因式：𝑚2−4𝑚−5= ；
(2)求代数式𝑥2−6𝑥+12的最小值；
(3)若𝑦 =−𝑥2−2𝑥当x＝ 时，y有最 值（填“大”或“小”），这个值是 ．
【答案】(1)(𝑚+1)(𝑚−5)
(2)3
(3)−1；大；1
【分析】（1）凑完全平方公式，再用平方差公式进行因式分解；
（2）凑成完全平方加一个数值的形式；
（3）和（2）类似，凑成完全平方加一个数值的形式；
【详解】（1）解：𝑚2−4𝑚−5
=𝑚2−4𝑚+4−4−5
=(𝑚−2)2−9
=(𝑚−2+3)(𝑚−2−3)
=(𝑚+1)(𝑚−5)．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司（2）解：𝑥2−6𝑥+12
=𝑥2−6𝑥+9+3
=(𝑥−3)2+3；
∵(𝑥−3)2 ≥0
∴当𝑥 =3时，𝑥2−6𝑥+12的最小值是3；
（3）解：𝑦 =−𝑥2−2𝑥 =−𝑥2−2𝑥−1+1=−(𝑥2+2𝑥+1)+1=−(𝑥+1)2+1，
∵(𝑥+1)2 ≥0，
∴−(𝑥+1)2 ≤0，
∴当𝑥=−1的时候，𝑦有最大值1．
【点睛】此题考查了因式分解的应用，配方法的应用以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题
的关键．
十三．利用一元二次方程的解法解特殊方程（共 5小题）
34．（2022上·重庆云阳·九年级统考期末）阅读材料：求解一元一次方程，需要根据等式的基本性质，把方
程转化为x=a的形式；求解二元一次方程组，需要通过消元把她转化为一元一次方程来解，求解三元一次方
程组，需要把它转化为二元一次方程组来解：求一元二次方程，需要把它转化为两个一元一次方程来解；
求解分式方程，需要通过去分母把它转化为整式方程来解，各类方程的解法不尽相同，但是它们都用到一
种共同的基本数学思想——“转化”，即把未知转化为已知来求解．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些
新的方程．
例如，解一元三次方程𝑥3−3𝑥2−𝑥 =0，通过因式分解把它转化为𝑥(𝑥2 −3𝑥−1) =0，通过解方程x=0和
𝑥2−3𝑥−1=0，可得原方程𝑥3−3𝑥2−𝑥 =0的解．
再例如，解根号下含有未知数的方程：√2𝑥+3=𝑥，通过两边同时平方转化为2𝑥+3=𝑥2，解得：𝑥 =−1，
1
𝑥 =3，∵2𝑥+3≥0且𝑥 ≥0，∴𝑥=−1不是原方程的解，∴原方程的解为𝑥 = 3．
2
请仔细阅读材料，解下列方程：
(1)解方程：2𝑥3+5𝑥2+3𝑥 =0
(2)解方程：√3𝑥2+5𝑥−1=𝑥+1
3
【答案】(1)𝑥 =0，𝑥 =−1，𝑥 =−
1 2 3 2
1
(2)𝑥 =
2
【分析】（1）等号右边为0，将左边分解因式，即可得𝑥 =0或2𝑥2+5𝑥+3=0，从而求出方程的解；
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司（2）将两边平方，化为整式方程即可求解，再检验可得原方程的解．
【详解】（1）解：2𝑥3+5𝑥2+3𝑥 =0，
∴𝑥(2𝑥2+5𝑥+3)= 0，
∴𝑥 =0或2𝑥2+5𝑥+3=0，
3
解得：𝑥 =0，𝑥 =−1，𝑥 =− ；
1 2 3 2
（2）√3𝑥2+5𝑥−1=𝑥+1，
∴3𝑥2+5𝑥−1=(𝑥+1)2，
整理得：2𝑥2+3𝑥−2=0，
1
解得：𝑥 =−2，𝑥 = ，
1 2 2
1
经检验：𝑥 = 是原方程的解，𝑥 =−2是增根，
2 2 1
1
∴𝑥 = ．
2
【点睛】本题考查解高次方程和无理方程，解题的关键是读懂阅读材料，把未知转化为已知，注意解无理
方程必须检验．
35．（2022上·湖南永州·九年级统考期末）阅读下面的材料：某数学兴趣小组探究下面的方程解答方法，为
解方程：(𝑥2 −1)2−5(𝑥2−1)+4=0，可以将(𝑥2−1)看作一个整体，然后设𝑥2−1=𝑡，则原方程可化
为𝑡2−5𝑡+4=0，解得𝑡 =1，𝑡 =4．
1 2
当𝑡 =1时，𝑥2−1=1，即𝑥2 =2，则𝑥 =±√2；
当𝑡 =4时，𝑥2−1=4，即𝑥2 =5，则𝑥 =±√5．
故原方程的解为：𝑥 =√2，𝑥 =−√2，𝑥 =√5，𝑥 =−√5．
1 2 3 4
上述解题方法，我们称之为换元法，请利用换元法解以下方程：2𝑥−5√𝑥+2=0．
1
【答案】𝑥 =4，𝑥 =
1 2 4
【分析】设√𝑥 =𝑚，按照题意，将√𝑥 =𝑚代入方程得2𝑚2−5𝑚+2=0，求出m的值，再求出x即可．
【详解】解：设√𝑥 =𝑚．
原方程化为：2𝑚2−5𝑚+2= 0，
1
解得：𝑚 =2，𝑚 = ．
1 2 2
当𝑚 =2时，√𝑥 =2，解得：𝑥 =4；
1
1 1 1
当𝑚 = 时，√𝑥 = ，解得：𝑥 = ．
2 2 2 4
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是正确理解题意，会根据题目所描述的换元法求解
方程．
36．（2022上·山东聊城·九年级统考期末）阅读材料：各类方程的解法
求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为𝑥 =𝑎的形式．求解二元一次方程组，把它转化为
一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组，求解一元二次方程，
把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，
因此解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，把未
知转化为已知．
用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程，例如，一元三次方程𝑥3+𝑥2−2𝑥 =0，可以通过因式
分解把它转化为𝑥(𝑥2+𝑥−2)=0，解方程𝑥 = 0和𝑥2+𝑥−2=0，可得方程𝑥3 +𝑥2−2𝑥 =0的解．
(1)请解方程𝑥3+𝑥2−2𝑥 =0；
(2)拓展：用“转化”思想求方程√2𝑥+3=𝑥的解．
【答案】(1)𝑥 =0，𝑥 =−2，𝑥 =1
1 2 3
(2)𝑥 =3
1
【分析】（1）方程左边分解因式即可完成求解；
（2）方程两边分别平方，转化为整式方程，解整式方程即可．
【详解】（1）因式分解得：𝑥(𝑥2+𝑥−2)=0
即𝑥 =0或𝑥2+𝑥−2=0
解𝑥2+𝑥−2=0得：x=−2或x=1
故原方程的解为：𝑥 =0，𝑥 =−2，𝑥 =1
1 2 3
（2）方程√2𝑥+3=𝑥两边平方得：(2𝑥+3)=𝑥2
即𝑥2−2𝑥−3=0
配方得：(𝑥−1)2 =4
∴𝑥 =3，𝑥 =−1
1 2
当x=-1时，不满足方程，故应舍去
∴原方程的解为x=3
【点睛】本题是材料阅读题，考查了运用转化思想解方程，读懂材料是解题的关键．含有二次根式的方程
要检验．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司37．（2022上·广东·九年级统考期末）例：解方程(𝑥−1)4−8(𝑥−1)2+15=0
解：设𝑡 =(𝑥−1)2，则𝑡2−8𝑡+15=0
解得𝑡 =3或𝑡 =5
当𝑡 =3时有(𝑥−1)2 =3，解得𝑥 =1±√3
当𝑡 =5时有(𝑥−1)2 =5，解得𝑥 =1±√5
∴原方程的解为𝑥 =1±√3或𝑥 =1±√5
认真阅读例题的解法，体会解法中蕴含的数学思想，并使用例题的解法及相关知识解方程(2𝑥+1)6−
7(2𝑥+1)3−8=0
1
【答案】𝑥 =−1，𝑥 =
1 2 2
【分析】利用题中给出的方法先把(2x+1)3当成一个整体t来计算，求出t的值，再解一元二次方程．
【详解】解：设𝑡 =(2𝑥+1)3，则𝑡2−7𝑡−8=0，解得：𝑡 =−1或𝑡 =8，
当𝑡 =−1时有(2𝑥+1)3 =−1，解得𝑥 =−1，
当𝑡 =8时有(2𝑥+1)3 =8，解得𝑥 = 1 ，
2
1
∴原方程的解为𝑥 =−1，𝑥 = ．
1 2 2
【点睛】本题考查了一元二次方程-换元法，看懂题例理解换元法是关键．换元法的一般步骤有：设元、换
元、解元、还原几步．
38．（2019上·重庆南川·九年级重庆市南川中学校校考期末）阅读下面的例题：
解方程：𝑥2−|𝑥|−2=0
当𝑥 ≥0时，原方程化为𝑥2−𝑥−2=0 解得：𝑥 =2或𝑥 =−1（不合题意舍去）
1 2
当𝑥 ≤0时，原方程化为𝑥2+𝑥−2=0 解得：𝑥 =−2或𝑥 =1（不合题意舍去）
1 2
所以，原方程的根是𝑥 =2或𝑥 =−2．
1 2
请参照例题解方程：
（1）𝑥2−|𝑥|−6=0 （2）𝑥2−|𝑥−5|−5=0
【答案】（1）x1＝3，x2＝﹣3；（2）x1＝
−1+√41
，x2＝
−1−√41
2 2
【分析】（1）参照例题分类讨论：当x≥0时，原方程化为：x2﹣3x+2＝0；当𝑥 ≤ 0时，原方程化为：x2-3x+2
＝0，然后分别利用因式分解法解两个一元二次方程即可．
（2）参照例题分类讨论：当x≥5，原方程化为x2﹣x＝0，当𝑥 ≤5时，原方程化为x2+x﹣10＝0，然后分别
利用公式法解两个一元二次方程即可．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【详解】解：（1）当x≥0时，原方程化为：x2﹣x﹣6＝0，解得x1＝3，x2＝﹣2（舍去），
当x＜0时，原方程化为：x2+x﹣6＝0，解得x1＝﹣3，x2＝2（舍去）
所以，原方程的根是x1＝3，x2＝﹣3；
（2）当x﹣5≥0即 x≥5时，原方程化为x2﹣（x﹣5）﹣5＝0 即x2﹣x＝0，
解得x1＝0，x2＝1，不合题意舍去；
当𝑥-5≤0即𝑥 ≤5时，原方程化为x2+（x﹣5）﹣5＝0 即x2+x﹣10＝0，
解得x1＝
−1+√41
，x2＝
−1−√41
，
2 2
∴原方程的根为x1＝
−1+√41
，x2＝
−1−√41
．
2 2
【点睛】此题考查了解一元二次方程，弄清题意阅读材料中的例题的解法是解本题的关键．
十四．一元二次方程根与系数有关的阅读理解问题（共3小题）
39．（2023上·辽宁葫芦岛·九年级统考期末）阅读材料，若关于𝑥的一元二次方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+𝑐 =0(𝑎 ≠0)的
−𝑏+√𝑏2−4𝑎𝑐 −𝑏−√𝑏2−4𝑎𝑐
两根为𝑥 ，𝑥 ，则根据求根公式可知，𝑥 = ，𝑥 = ．
1 2 1 2𝑎 2 2𝑎
−𝑏+√𝑏2−4𝑎𝑐 −𝑏−√𝑏2−4𝑎𝑐 −2𝑏 𝑏
由此可得，𝑥 +𝑥 = + = =− ，
1 2 2𝑎 2𝑎 2𝑎 𝑎
−𝑏+√𝑏2−4𝑎𝑐 −𝑏−√𝑏2−4𝑎𝑐 (−𝑏)2−(𝑏2−4𝑎𝑐) 𝑐
𝑥 𝑥 = ⋅ = = ．
1 2 2𝑎 2𝑎 4𝑎2 𝑎
根据上述材料，结合自己所学知识，解决如下问题：
(1)一元二次方程𝑥2−2𝑥−3=0的两根为𝑥 ，𝑥 ，则𝑥 +𝑥 =________，𝑥 𝑥 =________；
1 2 1 2 1 2
(2)一元二次方程𝑥2+3𝑥−1=0的两根为𝑥 ，𝑥 ，则𝑥 𝑥 −𝑥 −𝑥 =________；
1 2 1 2 1 2
(3)若𝑚，𝑛满足𝑚2+3𝑚−1=0，𝑛2+3𝑛−1=0，且𝑚 ≠𝑛．求 𝑛 + 𝑚 的值．
𝑚 𝑛
【答案】(1)2，−3
(2)2
(3)−11
【分析】（1）根据一元二次方程的根与系数的关系即可得；
（2）根据一元二次方程的根与系数的关系求出𝑥 +𝑥 ，𝑥 𝑥 的值，由此即可得；
1 2 1 2
（3）先得出𝑚,𝑛是一元二次方程𝑥2+3𝑥−1=0的两个不相等的根，再根据一元二次方程的根与系数的关
系求出𝑚+𝑛，𝑚𝑛的值，然后利用完全平方公式求解即可得．
【详解】（1）解：∵一元二次方程𝑥2−2𝑥−3=0的两根为𝑥 ，𝑥 ，且方程中的𝑎 =1,𝑏 =−2,𝑐 =−3，
1 2
−2 −3
∴𝑥 +𝑥 =− =2，𝑥 𝑥 = =−3，
1 2 1 1 2 1
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司故答案为：2，−3．
（2）解：∵一元二次方程𝑥2+3𝑥−1=0的两根为𝑥 ，𝑥 ，且方程中的𝑎 =1,𝑏 =3,𝑐 =−1，
1 2
3 −1
∴𝑥 +𝑥 =− =−3，𝑥 𝑥 = =−1，
1 2 1 1 2 1
∴𝑥 𝑥 −𝑥 −𝑥 =𝑥 𝑥 −(𝑥 +𝑥 )=−1−(−3) =2，
1 2 1 2 1 2 1 2
故答案为：2．
（3）解：∵𝑚,𝑛满足𝑚2+3𝑚−1=0，𝑛2+3𝑛−1=0，且𝑚 ≠𝑛，
∴𝑚,𝑛是一元二次方程𝑥2+3𝑥−1=0的两个不相等的根，
3 −1
∴𝑚+𝑛=− =−3，𝑚𝑛 = =−1，
1 1
𝑛 𝑚 𝑛2 𝑚2
∴ + = +
𝑚 𝑛 𝑚𝑛 𝑚𝑛
𝑚2+𝑛2
=
𝑚𝑛
(𝑚+𝑛)2−2𝑚𝑛
=
𝑚𝑛
(𝑚+𝑛)2
= −2
𝑚𝑛
(−3)2
= −2
−1
=−11．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解
题关键．
40．（2023下·安徽阜阳·八年级统考期末）阅读材料：
材料1：若关于x的一元二次方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐 =0(𝑎 ≠0)的两个根为𝑥 ，𝑥 ，则有𝑥 +𝑥 =− 𝑏 ，𝑥 ⋅𝑥 = 𝑐 ．
1 2 1 2 1 2
𝑎 𝑎
材料2：已知一元二次方程𝑥2−𝑥−1=0的两个实数根分别为m，n．求𝑚2+𝑛2的值．
解：∵方程𝑥2−𝑥−1= 0的两个实数根分别为m，n，则𝑚+𝑛=1，𝑚𝑛 =−1，
∴𝑚2+𝑛2 =(𝑚+𝑛)2−2𝑚𝑛 =12−2×(−1)=3．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
(1)材料理解：若一元二次方程2𝑥2−3𝑥−1=0的两个实数根分别为．𝑥 ，𝑥 ，则𝑥 +𝑥 =______，𝑥 ⋅
1 2 1 2 1
𝑥 =______．
2
(2)类比应用：已知一元二次方程2𝑥2−3𝑥−1=0的两个实数根分别为m，n，求𝑚2𝑛+𝑚𝑛2的值．
(3)思维拓展：已知实数m，n满足2𝑚2−3𝑚−1=0，2𝑛2−3𝑛−1=0，且𝑚 ≠𝑛，求 1 + 1 的值．
𝑚 𝑛
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司3 1
【答案】(1) ，− ；
2 2
3
(2)− ；
4
(3)3．
【分析】（1）根据根与系数的关系进行求解即可；
3 1
（2）根据根与系数的关系可得：𝑚+𝑛 = ，𝑚𝑛 =− ，再利用因式分解的方法进行运算即可；
2 2
（3）根据题意可把𝑚与𝑛看作是方程2𝑥2−3𝑥−1=0的两个实数根，，则有𝑚+𝑛 = 3 ，𝑚𝑛 =− 1 ，再利用
2 2
分式的化简求值的方法进行运算即可．
【详解】（1）解：∵一元二次方程2𝑥2−3𝑥−1=0的两个实数根分别为．𝑥 ，𝑥 ，
1 2
−3 3 −1 1
∴𝑥 +𝑥 =− = ，𝑥 𝑥 = =− ，
1 2 2 2 1 2 2 2
3 1
故答案为： ，− ．
2 2
（2）解：∵一元二次方程2𝑥2−3𝑥−1=0的两个实数根分别为m，n，
3 1
∴𝑚+𝑛 = ，𝑚𝑛 =− ，
2 2
∴𝑚2𝑛+𝑚𝑛2 = 𝑚𝑛(𝑚+𝑛)=− 1 × 3 =− 3 ；
2 2 4
（3）解：∵实数𝑚、𝑛满足2𝑚2−3𝑚−1=0，2𝑛2−3𝑛−1=0，
∴𝑚与𝑛看作是方程2𝑥2−3𝑥−1=0的两个实数根，
3 1
∴𝑚+𝑛 = ，𝑚𝑛 =− ，
2 2
3
1 1 𝑚+𝑛
∴ + = = 2 =−3．
𝑚 𝑛 𝑚𝑛 − 1
2
【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数关系的应用，读懂材料，理解一元二次方程的根与系数的关
系是解题的关键．
41．（2023上·贵州遵义·九年级统考期末）阅读材料，解答问题
材料一：已知实数𝑎，𝑏(𝑎 ≠𝑏)，满足𝑎2+5𝑎−1=0，𝑏2+5𝑏−1=0，则可将𝑎，𝑏看作一元二次方程𝑥2+
5𝑥−1=0的两个不等实数根
材料二：已知𝑥2+5𝑥−2=0，求𝑥− 2 的值
𝑥
某同学解答思路如下：
由𝑥2+5𝑥−2=0可得𝑥+5− 2 =0
𝑥
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司2
所以𝑥− =−5
𝑥
(1)直接应用：已知实数𝑎，𝑏(𝑎 ≠𝑏)满足𝑎2−7𝑎−2=0，𝑏2−7𝑏−2=0，求𝑎+𝑏−𝑎𝑏的值
(2)间接运用：已知实数𝑚，𝑛满足3𝑚2−7𝑚−2=0，2𝑛2+7𝑛−3=0．且𝑚𝑛 ≠1，求 𝑚𝑛+1 的值．
𝑚𝑛+𝑚+1
【答案】(1)9
7
(2)
5
【分析】（1）根据题意可得𝑎+𝑏 =7，𝑎𝑏 =−2，由此即可得到答案；
（2）根据题意可得𝑚， 1 是一元二次方程3𝑥2−7𝑥−2=0的两个不相等的实数根，则𝑚+ 1 = 7 ， 𝑚 =− 2 ，
𝑛 𝑛 3 𝑛 3
1
𝑚𝑛+1 𝑚+
再根据 = 𝑛 进行求解即可．
𝑚𝑛+𝑚+1 𝑚+ 𝑚 + 1
𝑛 𝑛
【详解】（1）解：∵实数𝑎，𝑏(𝑎 ≠𝑏)满足𝑎2−7𝑎−2=0，𝑏2−7𝑏−2=0，
∴实数𝑎，𝑏(𝑎 ≠𝑏)是一元二次方程𝑥2−7𝑥−2=0的两个不相等的实数根，
∴𝑎+𝑏 =7，𝑎𝑏 =−2，
∴𝑎+𝑏−𝑎𝑏 =7−(−2)=9；
（2）解：∵2𝑛2+7𝑛−3=0，
∴当𝑛 ≠0，
7 3
∴2+ − =0，
𝑛 𝑛2
2
1 1
∴3( ) −7⋅ −2=0，
𝑛 𝑛
又∵3𝑚2−7𝑚−2=0，𝑚𝑛 ≠1，即𝑚≠ 1 ，
𝑛
∴𝑚， 1 是一元二次方程3𝑥2−7𝑥−2=0的两个不相等的实数根，
𝑛
1 7 𝑚 2
∴𝑚+ = ， =− ，
𝑛 3 𝑛 3
1 7
𝑚𝑛+1 𝑚+ 7
∴ = 𝑛 = 3 = ．
𝑚𝑛+𝑚+1 𝑚+ 𝑚 + 1 7 − 2 5
𝑛 𝑛 3 3
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+𝑐 =0(𝑎 ≠0)，若𝑥 ，
1
𝑏 𝑐
𝑥 是该方程的两个实数根，则𝑥 +𝑥 =− ，𝑥 𝑥 = ．
2 1 2 𝑎 1 2 𝑎
十五．根的判别式与根与系数关系的综合（共4小题）
42．（2022上·广东清远·九年级统考期末）已知关于x的一元二次方程𝑥2+2𝑥+𝑘−3=0有两个实数根．
(1)求实数k的取值范围；
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司(2)若其两根x ，x 满足𝑥 2+𝑥 2 =18，求k的值．
1 2 1 2
【答案】(1)𝑘 ≤4
(2)−4
【分析】（1）根据一元二次方程𝑥2+2𝑥+𝑘−3=0有实数根，可知Δ≥0，即可求得𝑘的取值范围；
（2）根据根与系数的关系和𝑥 2+𝑥 2 =18，可以求得𝑘的值．
1 2
【详解】（1）解：∵关于𝑥的一元二次方程𝑥2+2𝑥+𝑘−3=0有两个实数根，
∴ Δ=22−4×1×(𝑘−3)≥0，
解得𝑘 ≤4，
即𝑘的取值范围是𝑘 ≤ 4；
（2）∵方程𝑥2+2𝑥+𝑘−3=0的两个实数根分别为𝑥 ，𝑥 ，
1 2
∴𝑥 +𝑥 =−2，𝑥 𝑥 =𝑘−3，
1 2 1 2
∵𝑥 2+𝑥 2 =18，
1 2
∴𝑥 2+𝑥 2 =(𝑥 +𝑥 )2−2𝑥 𝑥 =(−2)2−2(𝑘−3)=−2𝑘+10，
1 2 1 2 1 2
即，−2𝑘+10=18，解得，𝑘 =−4，
故𝑘的值为：−4．
【点睛】本题考查根与系数的关系、根的判别式，解答本题的关键是明确一元二次方程有根时Δ≥0，以及
根与系数的关系．
43．（2015上·江苏南通·九年级阶段练习）已知关于x的一元二次方程(𝑥−𝑚)2+6𝑥 =4𝑚−3有实数根．
(1)求𝑚的取值范围；
(2)设方程的两实根分别为𝑥 与𝑥 ，若𝑥 𝑥 −𝑥 2−𝑥 2 =−7，求𝑚的值．
1 2 1 2 1 2
【答案】(1)𝑚≤3
(2)2
【分析】（1）先把方程化为一般式,再根据判别式的意义得到Δ=8𝑚+24≥0,然后解不等式即可;
（2）根据根与系数的关系得到𝑥 +𝑥 =2𝑚−6，𝑥 𝑥 = 𝑚2−4𝑚+3，再由𝑥 𝑥 −𝑥 2−𝑥 2 =−7得
1 2 1 2 1 2 1 2
到3𝑥 𝑥 −(𝑥 2+𝑥 2)=−7，则3(𝑚2−4𝑚+3)−(2𝑚−6)2 =−7，然后解方程可得到满足条件的𝑚的
1 2 1 2
值；
【详解】（1）解：方程化为𝑥2+(6−2𝑚)𝑥+𝑚2−4𝑚+3=0，
根据题意得Δ=𝑏2−4𝑎𝑐 =(6−2𝑚)2−4(𝑚2−4𝑚+3) =−8𝑚+24 ≥0，
解得𝑚 ≤3；
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司（2）由根与系数的关系得，𝑥 +𝑥 =2𝑚−6，𝑥 𝑥 = 𝑚2−4𝑚+3，
1 2 1 2
∵𝑥 𝑥 −𝑥 2−𝑥 2 =−7，
1 2 1 2
∴𝑥 𝑥 −(𝑥 2+𝑥 2)+2𝑥 𝑥 =−7，
1 2 1 2 1 2
∴3𝑥 𝑥 −(𝑥 2+𝑥 2)=−7，
1 2 1 2
∴3(𝑚2−4𝑚+3)−(2𝑚−6)2 =−7，
化简得𝑚2−12𝑚+20=0，解得𝑚 =2，𝑚 =10，
1 2
∵𝑚 ≤3，
∴𝑚 =2．
【点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，熟练掌握根的判别式以及根与系数的关系式是解题
的关键．
44．（2023下·浙江嘉兴·八年级统考期末）在学习一元二次方程的根与系数关系一课时，老师出示了这样一
个问题：已知关于x的一元二次方程𝑥2−𝑚𝑥+2𝑚−1=0的两个实数根𝑥 ，𝑥 的平方和为23，求m的值．某
1 2
同学的解答如下框：请判断该同学的解答是否完整？若完整，请在框内打“√”；若不完整，请你把解答过程
补充完整．
由题意得：𝑥 +𝑥 =𝑚，𝑥 ⋅𝑥 =2𝑚−1，
1 2 1 2
𝑥2+𝑥2 =(𝑥 +𝑥 )2−2𝑥 𝑥 =𝑚2−2(2𝑚−1)，
1 2 1 2 1 2
∴𝑚2−2(2𝑚−1)=23，解得：𝑚 =7或𝑚= −3，
∴m的值为7或−3．
【答案】该同学的解法不正确．正确解答见解析
【分析】该同学的解法没有考虑根的判别式的意义，所以他的解法不正确．把两个实数根的平方和变形为
两根之积或两根之和的形式，根据这两种情况确定m的值即可．
【详解】解：该同学的解法不正确．
正确解法为：
∵𝑥2−𝑚𝑥+2𝑚−1=0有两个实数根，
设原方程的两个实数根为a、b，则𝑎+𝑏 =𝑚，𝑎𝑏 =2𝑚−1，
∴𝑎2+𝑏2 =(𝑎+𝑏)2−2𝑎𝑏 =𝑚2−2(2𝑚−1)=𝑚2−4𝑚+2，
又∵𝑎2+𝑏2 =23，
∴𝑚2−4𝑚+2=23，
解得：𝑚 =7或𝑚= −3，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司当𝑚 =−3时，Δ=𝑚2−4(2𝑚−1)=37 >0，符合题意，
当𝑚 =7时，Δ=𝑚2−4(2𝑚−1)=−3<0，不符合题意，
∴𝑚 =−3．
【点睛】此题考查了一元二次方程根与系数的关系以及完全平方式的应用．此题难度不大，解题的关键是
掌握：若二次项系数为1，常用以下关系：𝑥 ，𝑥 是方程𝑥2+𝑝𝑥+𝑞 =0的两根时，𝑥 +𝑥 =−𝑝，𝑥 𝑥 =𝑞
1 2 1 2 1 2
性质的应用．
45．（2023下·山东威海·八年级校联考期末）关于𝑥的一元二次方程𝑘𝑥2 +(𝑘+2)𝑥+ 𝑘 =0是否存在𝑘，使方
4
程求出的两根，一根加5，另一根减3，得到的两数互为相反数？如果有，求出𝑘，如果没有说明理由．
【答案】存在，2
𝑘+2
【分析】设方程的两个实数根分别为𝑥 ，𝑥 ，利用根与系数的关系得到𝑥 +𝑥 =− ，再根据两个根一根
1 2 1 2 𝑘
加 5，另一根减 3，得到的两数互为相反数列出方程，解之得 k，再根据一元二次方程的定义和根的判别式
验证即可．
【详解】解：设方程的两个实数根分别为𝑥 ，𝑥 ，
1 2
𝑘+2
∴𝑥 +𝑥 =− ，
1 2 𝑘
又∵𝑥 +5+𝑥 −3=0，
1 2
𝑘+2
∴− +2=0，
𝑘
解得：𝑘 =2，
𝑘+2
检验：𝑘 =2是方程− +2=0的解，
𝑘
𝑘 ≠0
又{ Δ=(𝑘+2)2−4×𝑘× 𝑘 >0 ，解得：{ 𝑘
𝑘
>
≠
−
0
1 ，
4
∴存在，k的值为2．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是根据根与系数的关系结合𝑥 +5+𝑥 −
1 2
3=0求出k．
十六．一元二次方程与规律探究问题（共3小题）
46．（2023·山东济宁·统考二模）某天，张老师带领同学们利用棋子构图研究数字规律．将一些棋子按如图
所示的规律摆放，若第𝑛个图中共有115个棋子，则𝑛的值是 ．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【答案】10
【分析】根据给定的图找出其中的规律，列一元二次方程，求解即可．
【详解】解：第1个图有 7个棋子，第 2个图有11个棋子，第3个图有17个棋子，第4个图有25个棋子，
第5个图有35个棋子，……第𝑛个图有𝑛(𝑛+1)+5=(𝑛2+𝑛+5)个棋子，
依题意：𝑛2+𝑛+5=115，
解得：𝑛 =10,𝑛 =−11（舍去），
1 2
故答案为：10．
【点睛】本题考查了图形类规律，解一元二次方程，找到规律，列出方程是解题的关键．
47．（2022·山东泰安·统考模拟预测）观察下列图形规律，当图形中的“○”的个数和“．”个数差为2022时，n
的值为 ．
【答案】不存在
【分析】首先根据n=1、2、3、4时，“•”的个数分别是3、6、9、12，判断出第n个图形中“•”的个数是3n；
𝑛(𝑛+1)
然后根据n=1、2、3、4，“○”的个数分别是1、3、6、10，判断出第n个“○”的个数是 ；最后根据图形
2
中的“○”的个数和“．”个数差为2022，列出方程，解方程即可求出n的值是多少即可．
【详解】解：∵n=1时，“•”的个数是3=3×1；
n=2时，“•”的个数是6=3×2；
n=3时，“•”的个数是9=3×3；
n=4时，“•”的个数是12=3×4；
……
∴第n个图形中“•”的个数是3n；
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司1×(1+1)
又∵n=1时，“○”的个数是1= ；
2
2×(2+1)
n=2时，“○”的个数是3= ，
2
3×(3+1)
n=3时，“○”的个数是6= ，
2
4×(4+1)
n=4时，“○”的个数是10= ，
2
……
𝑛(𝑛+1)
∴第n个“○”的个数是 ，
2
由图形中的“○”的个数和“．”个数差为2022
𝑛(𝑛+1) 𝑛(𝑛+1)
∴3𝑛− =2022①， −3𝑛=2022②
2 2
解①得：无解
解②得：𝑛 =
5+√16201
,𝑛 =
5−√16201
1 2 2 2
故答案为：不存在
【点睛】本题考查了图形类规律，解一元二次方程，找到规律是解题的关键．
2 6 12
48．（2022上·安徽芜湖·八年级统考期末）观察下列方程：①x+ =3；②x+ =5；③x+ =7，可以发现它们的
𝑥 𝑥 𝑥
解分别是①x=1或2；②x=2或3；③x=3或4．利用上述材料所反映出来的规律，可知关于x的方程
𝑛2+𝑛
x+ =2n+4(n为正整数)的解x= ．
𝑥−3
【答案】n+3或n+4
【分析】分别对三个方程式变形，并求三个方程式的解，根据方程的解发现规律即可求解.
【详解】分别对三个方程式变形，并求三个方程式的解：
2 1×2
①x+ = x+ =1+2，在等式两边同时乘以x，
𝑥 𝑥
移项得x2- 3x+2=0，即(x- 2)(x- 3)=0，故解得x = 1或x=2；
6 2×3
②x+ = x+ =2+3，同理解得x = 2或x =3；
𝑥 𝑥
12 3×4
③x+ = x+ =3+4，同理解得x =3或x =4；
𝑥 𝑥
𝑛2+𝑛 𝑛(𝑛+1)
以此类推，第n个方程为：x+ = x+ =2𝑛+1=𝑛+(𝑛+1)，
𝑥 𝑥
且解为：x =n或x =n+1；
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司𝑛2+𝑛 𝑛2+𝑛
将方程x+ =2n+4两边同时减3，得（x-3）+ =2n+1，
𝑥−3 𝑥−3
根据规律得：x-3 =n或x -3=n+1，即x =n+3或x =n+4.
故答案为：n+3或n+4.
【点睛】此题考查数字的规律，分别对三个方程式变形，并求三个方程式的解发现规律是解答此题的关键.
十七．一元二次方程与新定义问题（共3小题）
49．（2023上·河南许昌·九年级许昌市第一中学校联考期末）对于实数a，b，定义新运算：𝑎※𝑏 =𝑎𝑏2−𝑏，
若关于x的方程1※𝑥 =𝑘有两个相等的实数根，则k的值是（ ）
1 1
A．4 B．−4 C． D．−
4 4
【答案】D
【分析】根据新定义得到𝑥2−𝑥−𝑘 =0，再把方程化为一般式，然后根据根的判别式的意义得到Δ=(−1)2−
4×1×(−𝑘)=1+4𝑘 =0，再解方程即可．
【详解】解：∵𝑎※𝑏 =𝑎𝑏2−𝑏，
∴1※𝑥 =𝑥2−𝑥 =𝑘，
整理得𝑥2−𝑥−𝑘 =0，
而关于x的方程1※𝑥 =𝑘有两个相等的实数根，
∴Δ=(−1)2−4×1×(−𝑘) =1+4𝑘 =0，解得𝑘 =− 1 ．
4
故选D．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+𝑐 =0(𝑎 ≠0)的根与Δ =𝑏2−4𝑎𝑐有如下关系：
当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ =0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数
根．
50．（2022上·海南海口·九年级校联考期末）新定义运算：𝑎※𝑏 =𝑎2−𝑎𝑏+𝑏，例如2※1=22−2×1+1=3，
则方程𝑥※3=5的根的情况为（ ）
A．没有实数根 B．只有一个实数根
C．有两个不相等的实数根 D．有两个相等的实数根
【答案】C
【分析】根据运算※的定义将方程𝑥※3=5转化为一般式，由根的判别式Δ>0，即可得出该方程有两个不
相等的实数根．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【详解】解：∵𝑎※𝑏 =𝑎2−𝑎𝑏+𝑏，
∴𝑥※3=𝑥2−3𝑥+3=5，
∴𝑥2−3𝑥−2=0，
∵Δ=(−3)2−4×1×(−2)= 17>0，
∴方程𝑥※3=5有两个不相等的实数根．
故选：C．
【点睛】本题考查了根的判别式和实数的运算，牢记“当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根”是解决问题
的关键．
51．（2022上·云南昆明·九年级统考期末）对于实数a、b，定义新运算“&”如下：𝑎&𝑏 =𝑎2−𝑎𝑏．例如：
5&3=52−5×3=10，若(𝑥+1)&2= 3，则x的值为（ ）
A．𝑥 =2，𝑥 =−2 B．𝑥 =𝑥 =−2
1 2 1 2
C．𝑥 =1，𝑥 =−1 D．𝑥 =0，𝑥 =−4
1 2 1 2
【答案】A
【分析】根据题意列出方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：(𝑥+1)&2=3，
由题意得：(𝑥+1)2−2(𝑥+1)=3，
整理得：𝑥2 =4，解得：𝑥 = 2，𝑥 = −2．
1 2
故选：A．
【点睛】本题是一道基于一元二次方程的新定义题，主要考查一元二次方程的解法，根据题意正确得到方
程是解题的关键．
十八．一元二次方程与动点问题（共 4小题）
52．（2023上·湖南长沙·九年级统考期末）如图，△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶 =90°，𝐴𝐶 =8cm，𝐵𝐶 =4cm，动点𝑃从点
𝐶开始沿边𝐶𝐵向点𝐵以1cm/s的速度移动，动点𝑄从点𝐴开始沿边𝐴𝐶向点𝐶以2cm/s的速度移动．如果𝑃、𝑄两
点分别从𝐶、𝐴两点同时出发，移动时间为𝑡（单位：s）．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司(1)求△𝑃𝐶𝑄的面积𝑆关于𝑡的函数解析式；
1
(2)若△𝑃𝐶𝑄的面积是△𝐴𝐵𝐶面积的 ，求𝑡的值；
4
(3)问：△𝑃𝐶𝑄的面积能否为△𝐴𝐵𝐶面积的一半？若能，请求出𝑡的值；若不能，请说明理由．
【答案】(1)𝑆= −𝑡2+4𝑡
(2)2
(3)不可能，见解析
【分析】（1）分别用函数𝑡的式子表示出𝐴𝑄,𝐶𝑄的长，根据三角形的面积计算公式即可求解；
（2）当运动时间为𝑡s时，𝐶𝑃 =𝑡cm，𝐴𝑄 =2𝑡cm，𝐶𝑄 =(8−2𝑡)cm，根据三角形的面积计算公式即可求解；
（3）根据题意，列式为𝑡2−4𝑡+8=0，根据一元二次方程方程根据的判别式可知此方程无实数解，由此
即可求解．
【详解】（1）解：根据题意得：𝐶𝑃 =𝑡，𝐴𝑄 =2𝑡，
∴𝐶𝑄 =8−2𝑡
∴𝑆 = 1 ×𝐶𝑃×𝐶𝑄 = 1 ×𝑡×(8−2𝑡)=−𝑡2+4𝑡．
2 2
（2）解：当运动时间为𝑡s时，𝐶𝑃 =𝑡cm，𝐴𝑄 =2𝑡cm，𝐶𝑄 =(8−2𝑡)cm，
1 1 1 1 1 1
根据题意得： 𝐶𝑃·𝐶𝑄 = × 𝐵𝐶·𝐴𝐶，即 𝑡(8−2𝑡)= × ×4×8，
2 4 2 2 4 2
整理得：𝑡2−4𝑡+4=0，解得：𝑡 =𝑡 =2，
1 2
∴𝑡的值为2．
（3）解：△𝑃𝐶𝑄的面积不可能是△𝐴𝐵𝐶面积的一半，理由如下：
1 1 1 1 1 1
根据题意得： = × 𝐵𝐶·𝐴𝐶，即 𝑡(8−2𝑡)= × ×4×8，
2 2 2 2 2 2
整理得：𝑡2−4𝑡+8=0，
∵△=(−4)2−4×1×8=−16<0，
∴该方程没有实数根，
∴△𝑃𝐶𝑄的面积不可能是△𝐴𝐵𝐶面积的一半．
【点睛】本题主要考查动点与几何图形的综合，掌握动点运动的规律与线段的长度的关系，几何图形面积
的计算方法，一元二次方程根的判别式的知识是解题的关键．
53．（2022下·安徽合肥·八年级统考期末）如图，在Rt△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵 =6cm，𝐵𝐶 =8cm．点𝑃从点𝐴出发，
沿𝐴𝐵边以1cm/s的速度向点𝐵移动；点𝑄从点𝐵同时出发，沿𝐵𝐶边以2cm/s的速度向点𝐶移动．规定其中一个
动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．问经过几秒后，𝑃,𝑄两点的距离是4√2cm？
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司2
【答案】 秒或2秒
5
【分析】点𝑃的速度1cm/s，点𝑄的速度2cm/s，设经过𝑡秒，由此可用含𝑡的式子表示𝑃𝐵,𝐵𝑄，在Rt△𝑃𝐵𝑄中
根据勾股定理即可求解．
【详解】解：点𝑃的速度1cm/s，点𝑄的速度2cm/s，𝐴𝐵= 6cm，𝐵𝐶 =8cm，
∴点𝑃到点𝐵的时间为6÷1=6(s)，点𝑄到点𝐶的时间为8÷2=4(s)，
∵其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，
∴设经过𝑡秒后，𝑃,𝑄两点的距离是4√2cm，且0≤𝑡 ≤4，
根据题意，𝑃𝐵 =6−𝑡，𝐵𝑄 =2𝑡，在Rt△𝑃𝐵𝑄中，𝑃𝐵2+𝐵𝑄2 =𝑃𝑄2，
∴(2𝑡)2+(6−𝑡)2 = (4√2) 2 ，整理得(5𝑡−2)(𝑡−2)=0，解得𝑡 = 2 ，𝑡 =2，
1 5 2
当𝑡 =2时，2𝑡 =2×2=4<8，符合题意，
2
∴ 秒或2秒，𝑃,𝑄两点的距离是4√2cm．
5
【点睛】本题主要考查动点，勾股定理，解一元二次方程，理解动点的运动与线段的关系，掌握直角三角
形的勾股定理，解一元二次方程是解题的关键．
54．（2022下·八年级课时练习）如图，在矩形𝐴𝐵𝐶𝐷中，点𝐸是𝐶𝐷的中点，𝐴𝐵 =16cm，𝐵𝐶 =8cm，动点P
从点A出发，以3cm/s的速度向点B运动，到达点B时停止运动；动点Q同时从点C出发，以2cm/s的速
度向点D运动．设运动的时间为t s．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司(1)当𝑡 =______s时，以𝐴，𝑃，𝑄，𝐸为顶点的四边形是平行四边形；
(2)当t为何值时，点P和点Q之间的距离为10cm．
8
【答案】(1)
5
22
(2)𝑡 =2或𝑡 =
5
【分析】（1）利用平行四边形的性质得出当𝐴𝑃 =𝐸𝑄时，四边形𝐴𝑃𝑄𝐸为平行四边形求出即可；
（2）设当𝑡秒时𝑃𝑄 =10cm，利用勾股定理得出即可；
【详解】（1）解：如图，
当四边形𝐴𝑃𝑄𝐸为平行四边形时，则𝐴𝑃=𝐸𝑄，
∵𝐴𝑃=3𝑡，𝐸𝑄 =8−2𝑡
∴3𝑡 =8−2𝑡
8
解得𝑡 =
5
8
∴当𝑡 = s时，以𝐴，𝑃，𝑄，𝐸为顶点的四边形𝐴𝑃𝑄𝐸是平行四边形；
5
（2）解：设运动时间为𝑡s，由题意得𝐴𝑃 =3𝑡，𝐶𝑄 =2𝑡．
①如图1，当点P在点Q的上方时，过点P作𝑃𝑀 ⊥𝐶𝐷于点M．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司在Rt△𝑃𝑀𝑄中，𝑃𝑀 =8，𝑀𝑄 =16−3𝑡−2𝑡 =16−5𝑡，𝑃𝑄 =10，
由勾股定理得𝑃𝑀2+𝑀𝑄2 =𝑃𝑄2，即82+(16−5𝑡)2 =102，解得𝑡 =2．
②如图2，当点P在点Q的下方时，过点P作𝑃𝑁 ⊥𝐶𝐷于点N．
在Rt△𝑃𝑁𝑄中，𝑃𝑁 =8，𝑁𝑄 =2𝑡−(16−3𝑡)=5𝑡−16，𝑃𝑄 =10．
由勾股定理得𝑃𝑁2+𝑁𝑄2 = 𝑃𝑄2，即82+(5𝑡−16)2 =102，解得𝑡 = 22 ．
5
22 16 22
由 < 得𝑡 = 符合题意．
5 3 5
22
综上得𝑡 =2或𝑡 = ．
5
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质及勾股定理和一元二次方程的应用等知识，熟练应用平行四边
形的性质是解题关键．
55．（2023上·天津河西·九年级校考期末）如图所示，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵 =90°，𝐴𝐵 =5cm，𝐵𝐶 =7cm，点𝑃从
点A开始沿𝐴𝐵边向点𝐵以1cm/s的速度运动，点𝑄从点𝐵开始沿𝐵𝐶边向点𝐶以2cm/s的速度运动．𝑃、𝑄分别
从A、𝐵同时出发，当𝑃、𝑄两点中有一点停止运动时，则另一点也停止运动．设运动的时间为𝑡s．(𝑡 ≥0)
(1)当𝑡为何值时，𝑃𝑄的长度等于5cm；
(2)求出𝑆 关于𝑡的函数解析式，计算𝑃、𝑄出发几秒时，𝑆 有最大值，并求出这个最大面积？
Δ𝐵𝑃𝑄 Δ𝐵𝑃𝑄
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【答案】(1)当𝑡为2秒时，𝑃𝑄的长度等于5cm．
(2)𝑆 =−𝑡2+5𝑡；𝑃、𝑄出发 5 秒时，𝑆 有最大值，这个最大面积为 25 𝑐𝑚2．
△𝐵𝑃𝑄 2 Δ𝐵𝑃𝑄 4
【分析】（1）由题意得：𝐴𝑃 =𝑡cm，𝐵𝑄=2𝑡cm，根据𝐴𝐵 =5cm得𝑃𝐵 =𝐴𝐵−𝐴𝑃 = (5−𝑡)cm，在Rt△𝑃𝐵𝑄
中，根据勾股定理得，𝑃𝐵2+𝐵𝑄2 =𝑃𝑄2，进行计算得𝑡 =2，即可得；
由（1）知：𝐴𝑃 =𝑡cm，𝐵𝑄=2𝑡cm，
（2）根据当𝑃、𝑄两点中有一点停止运动时，则另一点也停止运动得{
0≤𝑡 ≤5
，即可得0≤𝑡 ≤
7
，则𝑆 =
0≤2𝑡 ≤7 2 △𝐵𝑃𝑄
1 𝑃𝐵·𝑃𝑄 = 1 ×(5−𝑡)·2𝑡 =−𝑡2+5𝑡，𝑆 =−𝑡2+5𝑡 =−(𝑡− 5 )2+ 25 ，根据二次函数的性质即可得．
2 2 △𝐵𝑃𝑄 2 4
【详解】（1）解：由题意得：𝐴𝑃 =𝑡cm，𝐵𝑄=2𝑡cm，
∵𝐴𝐵 =5cm，
∴𝑃𝐵 = 𝐴𝐵−𝐴𝑃=(5−𝑡)𝑐𝑚，
在Rt△𝑃𝐵𝑄中，根据勾股定理得，𝑃𝐵2+𝐵𝑄2 =𝑃𝑄2，
∴(5−𝑡)2+(2𝑡)2 = 52，
25−10𝑡+𝑡2+4𝑡2 =25
5𝑡2−10𝑡 =0
5𝑡(𝑡−2)=0
解得：𝑡 =2或𝑡 =0（不合题意，舍去），
∴𝑡 =2．
答：当𝑡为2秒时，𝑃𝑄的长度等于5cm．
（2）解：由（1）知：𝐴𝑃=𝑡cm，𝐵𝑄 =2𝑡cm，
∵当𝑃、𝑄两点中有一点停止运动时，则另一点也停止运动，
∴{
0≤ 𝑡 ≤5
，
0≤2𝑡 ≤ 7
7
∴0≤𝑡 ≤ ，
2
∴𝑆 = 1 𝑃𝐵·𝑃𝑄 = 1 ×(5−𝑡)·2𝑡 =−𝑡2+5𝑡，
△𝐵𝑃𝑄 2 2
∴𝑆 关于𝑡的函数解析式为𝑆 =−𝑡2+5𝑡，
△𝐵𝑃𝑄 △𝐵𝑃𝑄
∴𝑆 =−𝑡2+5𝑡 =−(𝑡− 5 )2+ 25
△𝐵𝑃𝑄 2 4
∵−1< 0，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司5 25
∴当𝑡 = 秒时，𝑆 有最大值，最大值为 ．
2 Δ𝐵𝑃𝑄 4
即𝑃、𝑄出发 5 秒时，𝑆 有最大值，这个最大面积为 25 cm2．
Δ𝐵𝑃𝑄
2 4
【点睛】本题考查了勾股定理，一元一次不等式组，二次函数的性质，解题的关键是理解题意，掌握这些
知识点．
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