一元二次方程章节（12知识点回顾+27题型练习）（原卷版）_🌲一元二次方程专项26年

一元二次方程（12 知识点回顾+27 题型练习）
题型汇聚
题型一 一元二次方程的定义 题型十五 换元法解一元二次方程
题型二 化成一元二次方程的一般式 题型十六 一元二次方程的根与系数的关系
题型三 判断是否是一元二次方程 题型十七 传播问题(一元二次方程的应用)
题型四 由一元二次方程的定义求参数 题型十八 增长率问题(一元二次方程的应用)
题型五 判断是否是一元二次方程的解 题型十九 与图形有关的问题(一元二次方程的应用)
题型六 由一元二次方程的解求参数 题型二十 数字问题(一元二次方程的应用)
题型七 一元二次方程的解的估算 题型二十一 营销问题(一元二次方程的应用)
题型八 解一元二次方程——直接开平方法 题型二十二 动态几何问题(一元二次方程的应用)
题型九 解一元二次方程——配方法 题型二十三 工程问题(一元二次方程的应用)
题型十 配方法的应用 题型二十四 行程问题(一元二次方程的应用)
题型十一 根据判别式判断一元二次方程根的情况 题型二十五 图表信息题(一元二次方程的应用)
题型十二 根据一元二次方程根的情况求参数 题型二十六 其他问题(一元二次方程的应用)
题型十三 公式法解一元二次方程 题型二十七 握手、循环赛问题（一元二次方程的应用）
题型十四 因式分解法解一元二次方程
知识清单
知识点 1．一元二次方程的定义
（1）一元二次方程的定义：
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
1
学科网（北京）股份有限公司（2）概念解析：
一元二次方程必须同时满足三个条件：
①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数是2．
（3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是
2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
知识点 2．一元二次方程的一般形式
（1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元
二次方程的一般形式．
其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二
次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了．
（2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．
知识点 3．一元二次方程的解
（1）一元二次方程的解（根）的意义：
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个
方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x ，x 是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数
1 2
根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．
ax 2+bx +c＝0（a≠0），ax 2+bx +c＝0（a≠0）．
1 1 2 2
知识点 4．解一元二次方程-直接开平方法
形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝± ；
如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝± ．
2
学科网（北京）股份有限公司注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数．
②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程．
③方法是根据平方根的意义开平方．
知识点 5．解一元二次方程-配方法
（1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
（2）用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
知识点 6．配方法的应用
1、用配方法解一元二次方程．
配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2＝（a±b）2
配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方．
2、利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值．
关键是：二次三项式是完全平方式，则常数项是一次项系数一半的平方．
3、配方法的综合应用．
知识点 7．解一元二次方程-公式法
（1）把x＝ （b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式．
（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．
（3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为：
3
学科网（北京）股份有限公司①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；
②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）；
③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．
注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．
知识点 8．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
知识点 9．解一元二次方程-因式分解法
（1）因式分解法解一元二次方程的意义
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就
都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一
次方程的问题了（数学转化思想）．
（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一
元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
知识点 10．根与系数的关系
（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x ，x 是方程x2+px+q＝0的两根时，x +x ＝﹣p，x x ＝q，反过来可得p＝﹣
1 2 1 2 1 2
（x +x ），q＝x x ，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
1 2 1 2
4
学科网（北京）股份有限公司（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x ，x 是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x +x ＝ ，x x
1 2 1 2 1 2
＝ ，反过来也成立，即 ＝﹣（x +x ）， ＝x x ．
1 2 1 2
（3）常用根与系数的关系解决以下问题：
①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不
解方程求关于根的式子的值，如求，x 2+x 2等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，
1 2
确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．
知识点 11．由实际问题抽象出一元二次方程
在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等
关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．
知识点 12．一元二次方程的应用
1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．
2、列一元二次方程解应用题中常见问题：
（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a
（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数．
（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆
的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内
项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．
（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直
角三角形的性质列方程求解．
【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”
1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．
2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．
5
学科网（北京）股份有限公司4．解：准确求出方程的解．
5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．
6．答：写出答案．
题型练习
题型一 一元二次方程的定义
1．下列一元二次方程中，一次项系数为3的是（ ）
A．x2+3=0 B．x2+3x=0 C．x2-3x=0 D．3x2+x-1=0
2．若xm+1-2=0是关于x的一元二次方程，则m的值是 ．
题型二 化成一元二次方程的一般式
3．方程x2-3x=2的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ）
A．1，-3，2 B．1，-3，-2 C．1，3，2 D．0，3，-2
题型三 判断是否是一元二次方程
4．下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
1
A．2x+1=0 B．x2+3x=1 C． +x2 =2 D．2x+y=3
x2
题型四 由一元二次方程的定义求参数
5．方程(x+1)2 =-2x+3化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．1，-2，3 B．1，4，-2 C．1，-4，-2 D．1，2，3
6．若关于x的一元二次方程3x2+x-2=ax(x-2)化成一般形式后，其二次项系数为1，常数项为-2 ，则该方程中的
一次项系数为 ．
题型五 判断是否是一元二次方程的解
7．已知a是方程x2-2x-8=0的一个根，则代数式2a2-4a-8的值为 .
6
学科网（北京）股份有限公司题型六 由一元二次方程的解求参数
8．已知x =-2是关于x的一元二次方程x2-2x-4n=0的一个根，则n的值为（）
1
A．-4 B．-2 C．2 D．4
9．若m是方程2x2-3x-1=0的一个根，则6m2-9m-2的值 ．
题型七 一元二次方程的解的估算
10．我们可以通过不断缩小范围的方法求一元二次方程的近似解，即找出使方程成立的一个初始范围，在该范围内提
高精确度，得到一个新的范围，再对新的范围进行操作．例如在求x-10x-20=140时，根据以下表格，可知道其
中一个解的大致范围是（ ）
x 20 22.5 25 26.25 27.5 28.78 30
x-10x-20 0 31.25 75 101.5625 131.25 164.0625 200
A．20< x < 22.5 B．26.25< x < 27.5
C．27.5< x < 28.75 D．28.75< x <30
题型八 解一元二次方程——直接开平方法
11．方程x2 - 9 = 0的根为 ．
12．用适当的方法解方程：x2-6x+9=(3-2x)2．
7
学科网（北京）股份有限公司题型九 解一元二次方程——配方法
13．一元二次方程x2-4x-5=0配方可变形为（ ）
A．(x-2)2 =9 B．(x-2)2 =5 C．(x+2)2 =9 D．(x+2)2 =5
14．解方程：x2-8x+6=0．
题型十 配方法的应用
15．把x2-4x+1化成x-h2+k（其中h，k是常数）形式的结果为（ ）
A．x-22-3 B．x-42 -15
C．x-22+3 D．x-22+15
16．阅读材料：
3x+6
解分式不等式 <0
x-1
解：根据实数的除法法则：同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，因此，原不等式可转化为
ì3x+6<0 ì3x+6>0
í ①或í ②
îx-1>0 îx-1<0
解①得：无解，解②得：-2<x<1
所以原不等式的解集是-2<x<1
x2-2x+11
请运用上述方法，解分式不等式： ³2
x2-2x+4
8
学科网（北京）股份有限公司题型十一 根据判别式判断一元二次方程根的情况
17．一元二次方程x2+4x+1=0中，该方程的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．不能确定
18．定义新运算“a*b”：对于任意实数a，b，都有a*b=ab+3，例：3*4=3´4+3=15，若关于x的方程
x*x-2=0，则此方程 （填“有两个不相等”“有两个相等”“没有”）实数根．
题型十二 根据一元二次方程根的情况求参数
19．已知关于x的一元二次方程x2+2x-m+3=0有实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m>2 B．m<2 C．m≥2 D．m£2
20．已知x,x 是关于x的一元二次方程x2-2(k+1)x+k2-3=0的两实根．
1 2
(1)求k的取值范围；
(2)若x=-1是方程的根，求k的值．
题型十三 公式法解一元二次方程
21．一元二次方程ax2+bx+c=0(a¹0)有实数根，其根为 （用a，b，c表示）
22．按指定方法解一元二次方程
(1)x2+3x-4=0（配方法）
(2)3x2-x-1=0（公式法）
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学科网（北京）股份有限公司题型十四 因式分解法解一元二次方程
23．方程x2 =2x的根是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．0或2
24．解方程：
(1)x(x-1)=2x-2；
(2)2x2+1=3x．
题型十五 换元法解一元二次方程
25．若关于x的一元二次方程ax2+bx-1=0a¹0有一根为x=2021，则一元二次方程ax-22+bx-2b=1必有一根
为（ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
26．如果让你去解方程y2-5y+4=0，相信你一定可以很容易地完成，那么对于方程(x2-1)2-5(x2-1)+4=0，我们
应该如何去解呢？我们不防将x2-1看成一个整体，设x2-1= y，则原方程可化为y2-5y+4=0．①
解得y =1,y =4．
1 2
当y=1时，x2-1=1，x2 =2，x=± 2．
当y=4时，x2-1=4，x2 =5，x=± 5．
即该方程的根为x = 2,x =- 2,x = 5,x =- 5．
1 2 3 4
问题：
(1)在由原方程得到①的过程中，利用 达到降次的目的，表现了 的数学思想；
(2)解方程  x2+x  x2+x-2  =-1．
10
学科网（北京）股份有限公司题型十六 一元二次方程的根与系数的关系
1 1
27．已知一元二次方程x2-3x+2=0的两个根为x、x ，则 + 的值为（ ）
1 2 x x
1 2
2 3
A．-3 B．- C．1 D．
3 2
28．（1）解方程：x2-3x-10=0
（2）已知一元二次方程2x2-2x-3=0的两根分别为x，x ，
1 2
求：①x +x 的值，
1 2
②x ×x 的值．
1 2
题型十七 传播问题(一元二次方程的应用)
29．有一个人患了某种传染病，经过两轮传染后共有81人患病．
(1)每轮平均1个人会感染几人？
(2)若病毒得不到有效控制，三轮感染后，患病的人数会不会超过700人？
题型十八 增长率问题(一元二次方程的应用)
30．竹溪梅子贡茶是一种著名的中国绿茶．某茶园从2022年到2024年茶叶产量从1500kg增长到1815kg，则茶叶产量从
2022年到2024年平均每年增长率为 ．
11
学科网（北京）股份有限公司题型十九 与图形有关的问题(一元二次方程的应用)
31．新能源汽车如今已成为越来越多人购车的首选．某停车场为了解决充电难的问题，现将长为140米，宽为90米的
矩形停车场进行改造．如图，将矩形停车场的AB边和AD边分别减少相等的长度，减少的这部分区域用于修建充电桩，
剩余停车场的面积为8400平方米，求AB和AD减少的长度是多少？
题型二十 数字问题(一元二次方程的应用)
32．如图是2024年11月的月历表，用一个方框在表中圈出六个数（如图所示），若圈出的六个数中，最小的数与最
大的数的乘积为112，求这个最大的数（ ）
A．6 B．7 C．14 D．16
12
学科网（北京）股份有限公司题型二十一 营销问题(一元二次方程的应用)
33．商场将进货价为30元/个的台灯以40元/个的价格销售，每月能售出600个，调查表明：这种台灯的销售单价每上
涨1元，其月销售量就会减少10个．规定该台灯的销售单价不得低于40元且不得超过60元．为了实现这种台灯的月
销售利润为10000元，则销售单价应定为多少元？
题型二十二 动态几何问题(一元二次方程的应用)
34．如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC =12cm，点P从点A开始以1cm/s的速度沿AB边向B移动，点Q从点B
开始以2cm/s的速度沿BC边向点C移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，设移动的时间为t． 求：
(1)当t为多少时，△PQD的面积等于8cm2？
(2)当t为多少时，△PQD是以PD为斜边的直角三角形？
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学科网（北京）股份有限公司题型二十三 工程问题(一元二次方程的应用)
35．某工程队采用A、B两种设备同时对长度为4800米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型
设备的2倍多30米，则32小时恰好完成改造任务．
(1)求A型设备每小时铺设的路面长度；
(2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况
下，时间比原计划增加了m+25小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了3m米，而使用时间增加了m
小时，求m的值．
题型二十四 行程问题(一元二次方程的应用)
36．今年年初一美丽的白鹅潭江而进行了以“活力湾区，新彩广州”为主题的烟花汇演，甲、乙两人从各自家前往最佳
观赏点之一的洲头咀公园观看烟花汇演，由于当晚该公园附近路段实施了交通管制，甲先将车开到距离自己家20千米
的停车场后，再步行2千米到达目的地，共花了1小时．此期间，已知甲开车的平均速度是甲步行平均速度的10倍．
(1)求甲开车的平均速度及步行的平均速度分别是多少？
(2)乙是骑车前往与他家相距8千米的目的地，若乙骑车的平均速度比甲步行的平均速度快8a千米/小时（a>0），乙
骑车时间比甲开车时间多a小时，求a的值．
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学科网（北京）股份有限公司题型二十五 图表信息题(一元二次方程的应用)
37．一名跳水运动员进行10m跳台跳水训练，在正常情况下，运动员必须在距水面5m以前完成规定的翻腾动作，并且
调整好入水姿势，否则就容易出现失误．假设运动员起跳后的运动时间ts和运动员距离水面的高度hm满足关系：
h=10+2.5t-5t2，那么他最多有多长时间完成规定动作？(结果保留根号)
题型二十六 其他问题(一元二次方程的应用)
38．团体操是集体表演的体操项目，它和音乐、舞蹈、美术有密切的联系，打破学科壁垒，加强协同育人，全面提升
学生素质．某校团体操表演队伍有6行8列，后又增加了51人，若增加的行、列数相同，则增加了多少行?
题型二十七 握手、循环赛问题（一元二次方程的应用）
39．我国的乒乓球“梦之队”在巴黎奥运赛场上大放异彩，奥运会乒乓球比赛的第一阶段是团体赛，赛制为单循环赛（每
两队之间都赛一场）．共安排28场比赛，设邀请x个球队参加比赛，可列方程得（ ）
A．xx+1=28 B．xx-1=28
1 1
C． xx+1=28 D． xx-1=28
2 2
40．某校九年级若干个班级组织一次足球比赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需
安排36场比赛，则九年级参赛的班级个数为 ．
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