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一元二次方程
（易错/拔尖必刷 55 题 18 种题型专项训练）
【易错题型】
➢ 一．识别一元二次方程（共2小题） ➢ 十．一元二次方程与实际问题（共 4小题）
➢ 二．根据一元二次方程的定义求参数值或取值 ➢ 解一元二次方程中的错解复原问题（共2小题）
【拔尖题型】
范围（共 2小题）
十二．利用配方法求最值问题（共 2小题）
➢ 三．一元二次方程的一般形式（共 3小题）
十三．利用一元二次方程的解法解特殊方程（共 5
➢ 四．已知一元二次方程的解求参数值或代数式
小题）
的值（共 3小题）
十四．一元二次方程根与系数有关的阅读理解问题
➢ 五．选用合适的方法解一元二次方程（共 2 小
（共3小题）
题）
十五．根的判别式与根与系数关系的综合（共 4 小
➢ 六．根据判别式判断一元二次方程根的情况（共
题）
4小题）
十六．一元二次方程与规律探究问题（共3小题）
➢ 七．根据一元二次方程根的情况求参数（共 3
十七．一元二次方程与新定义问题（共3小题）
小题）
十八．一元二次方程与动点问题（共 4小题）
➢ 八．换元法解一元二次方程（共2小题）
➢ 九．一元二次方程根与系数的关系（共4小题）
一．识别一元二次方程（共2小题）
1．（2023上·北京昌平·九年级校考期中）下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．2𝑥+𝑦 =2 B．𝑥+𝑦2 =0 C．𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐 =0 D．2𝑥−𝑥2 =1
2．（2021上·山东聊城·九年级统考期末）下面关于x的方程中：①ax2＋bx＋c＝0；②3（x﹣9）2﹣（x＋1）
2＝1；③x2＋
1
＋5＝0；④x2＋5x3﹣6＝0；⑤3x2＝3（x﹣2）2；⑥12x﹣10＝0，是一元二次方程个数是（ ）
𝑥
A．1 B．2 C．3 D．4
二．根据一元二次方程的定义求参数值或取值范围（共2小题）
3．（2022上·四川雅安·九年级统考期末）要使方程(𝑎−2)𝑥2+3𝑥−1=0是关于𝑥的一元二次方程，则（ ）
A．𝑎 ≠0 B．𝑎 ≠2 C．𝑎 =2 D．𝑎 ≠3
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司4．（2023下·山东济宁·八年级统考期中）若(𝑚−2)𝑥𝑚2−2−𝑚𝑥+1=0是一元二次方程，则m的值为（ ）
A．2 B．−2 C．√2 D．−√2
三．一元二次方程的一般形式（共 3小题）
5．（2023上·湖南益阳·九年级校考期末）一元二次方程3𝑥2+𝑥−2=0的二次项系数、一次项系数和常数项
分别是（ ）
A．3，1，2 B．3，1,−2 C．3，0，−2 D．3，0，2
6．（2022上·河南南阳·九年级南阳市第十三中学校校考阶段练习）用求根公式解一元二次方程5𝑥2−1−4𝑥 =
0时a，b，c的值是（ ）
A． 𝑎 =5，𝑏 =−1，𝑐 =−4 B．𝑎 =5，𝑏 =−4，𝑐 =1
C． 𝑎 = 5，𝑏 =−4，𝑐 =−1 D．𝑎 =5，𝑏 =4，𝑐 =1
7．（2023下·安徽淮北·八年级统考期末）若关于x的一元二次方程𝑥2−4𝑥+𝑚𝑥+2𝑚 =0的常数项是6，则
一次项是（ ）
A．−𝑥 B．−1 C．x D．1
四．已知一元二次方程的解求参数值或代数式的值（共3小题）
8．（2019上·山东菏泽·九年级阶段练习）关于𝑥的一元二次方程(𝑎−2)𝑥2+𝑥+𝑎2−4=0的一个根是0，则
𝑎的值为（ ）
A．2 B．−2 C．2或−2 D．0
9．（2023下·吉林长春·八年级校考期末）如果关于𝑥的一元二次方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥+2=0的一个解是𝑥 =1，则
代数式2023−𝑎−𝑏的值为（ ）
A．−2021 B．2021 C．−2025 D．2025
10．（2023下·安徽合肥·八年级统考期末）若𝑎为方程2𝑥2+𝑥−4= 0的解，则6𝑎2+3𝑎−9的值为（ ）
A．2 B．3 C．−4 D．−9
五．选用合适的方法解一元二次方程（共2小题）
11．（2023·全国·九年级专题练习）利用公式法求解可得一元二次方程式3𝑥2−11𝑥−1=0 的两解为𝑎、𝑏，
且𝑎 >𝑏，求a值为何（ ）
A．
−11+√109
B．
−11+√133
C．
11+√109
D．
11+√133
6 6 6 6
12．（2020上·江苏南京·九年级统考期中）解方程：
(1)𝑥2+4𝑥−1=0；
(2)(𝑥−1)(𝑥+3)=5(𝑥−1)．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司六．根据判别式判断一元二次方程根的情况（共 4小题）
13．（2023上·湖南长沙·九年级统考期末）一元二次方程𝑥2 +4𝑥+8=0根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
14．（2022上·湖南衡阳·九年级统考期末）下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）
A．𝑥2−2𝑥 =0 B．𝑥2 +4𝑥−1=0 C．3𝑥2−5𝑥+2= 0 D．2𝑥2−4𝑥+3=0
15．（2021上·上海青浦·八年级校考期末）关于𝑥的一元二次方程𝑥2−𝑚𝑥−1=0的根的情况（ ）
A．有两个实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．由𝑚的取值确定
16．（2023下·陕西西安·八年级高新一中校考期末）当𝑎+𝑏 =2时，关于x的一元二次方程𝑎𝑥2 −𝑏𝑥−1= 0
的根的情况为（ ）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法确定
七．根据一元二次方程根的情况求参数（共3小题）
17．（2023上·云南红河·九年级统考期末）一元二次方程(𝑚−2)𝑥2−4𝑚𝑥+2𝑚−6=0有两个相等的实数
根，则m等于（ ）
A．−6或1 B．1 C．−6 D．4或1
18．（2021上·湖南永州·九年级统考期末）若关于𝑥的一元二次方程(𝑘−1)𝑥2−2𝑘𝑥+𝑘−3=0有实数根，
则𝑘的取值范围为（ ）
3 3
A．𝑘 ≥ B．𝑘 ≥ 且𝑘 ≠1 C．𝑘 ≥0 D．𝑘 ≥0且𝑘 ≠1
4 4
19．（2023上·北京海淀·九年级北京市师达中学校考阶段练习）若关于𝑥的一元二次方程𝑥2−4𝑥+𝑚=0有
两个相等的实数根，则实数𝑚的值为（ ）
A．4 B．−4 C．±4 D．2
八．换元法解一元二次方程（共2小题）
20．（2022上·黑龙江双鸭山·九年级统考期末）解方程：(𝑥2−1)2−5(𝑥2−1)+4=0，利用整体思想和换
元法可设𝑥2−1=𝑦，则原方程可化为： .
21．（2023上·重庆渝中·九年级统考期末）阅读材料，解答问题．
解方程：(4𝑥−1)2−10(4𝑥−1)+24=0．
解：把4𝑥−1视为一个整体，设4𝑥−1=𝑦，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司则原方程可化为𝑦2−10𝑦+24 =0．
解得𝑦 =6，𝑦 =4．
1 2
∴4𝑥−1=6或4𝑥−1=4．
7 5
∴𝑥 = ，𝑥 = ．
1 4 2 4
以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想．
请仿照材料解下列方程：
(1)(3𝑥−5)2+4(3𝑥−5)+3=0；
(2)𝑥4−𝑥2−6=0．
九．一元二次方程根与系数的关系（共4小题）
22．（2023上·江苏常州·九年级统考期末）若𝑥 =−2是一元二次方程𝑥2+2𝑥+𝑚 =0的一个根，则方程的另
一个根是（ ）
A． −2 B． −1 C．0 D．2
23．（2022上·四川雅安·九年级统考期末）若方程𝑥2 −4𝑥−1=0的两根分别是𝑥 ，𝑥 ，则𝑥2+𝑥2的值为（ ）
1 2 1 2
A．6 B．8 C．18 D．−18
24．（2023上·重庆沙坪坝·九年级重庆南开中学校考开学考试）已知关于𝑥的一元二次方程𝑥2+4𝑥+3=0的
1 1
两根分别为𝑎、𝑏，则 + 的值为（ ）
𝑎 𝑏
4 2 2 4
A． B． C．− D．−
3 3 3 3
25．（2022上·重庆梁平·九年级统考期末）一元二次方程𝑥2 −3𝑥+2=0的两根为𝑥 ，𝑥 ，则下列结论错误
1 2
的是（ ）
A．𝑥 +𝑥 =3 B．𝑥 ⋅𝑥 =2 C．(𝑥 −𝑥 )2 =1 D．𝑥2+𝑥2 =6
1 2 1 2 1 2 1 2
十．一元二次方程与实际问题（共 4小题）
26．（2023下·重庆沙坪坝·八年级重庆八中校考期末）有一个人患流感，经过两轮传染后共有64个人患流感，
每轮传染中平均一个人传染几个人？设每轮传染中平均一个人传染𝑥个人，可列方程为（ ）
A．1+2𝑥 =64 B．1+𝑥2 =64 C．1+𝑥+𝑥2 =64 D．(1+𝑥)2 =64
27．（2023上·广东惠州·九年级统考期末）参加一次活动的每个人都和其他人各握了一次手，所有人共握手
10次，有多少人参加活动？设有𝑥人参加活动，可列方程为（ ）
1 1
A． 𝑥(𝑥−1) =10 B．𝑥(𝑥−1) =10 C．𝑥(𝑥+1) =10 D． 𝑥(𝑥+1)=10
2 2
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司28．（2022上·河北张家口·九年级统考期末）2023年是我国全面推进乡村振兴开局之年．为了解某县助推乡
村振兴的投资收益情况，现对投资项目的收益进行统计，结果显示收益从2020年的1000万元，增加到2022
年的1960万元，则该县平均每年的收益增长率为（ ）
A．10% B．20% C．30% D．40%
29．（2020上·广东广州·九年级统考期末）两个相邻自然数的积是132．则这两个数中，较大的数是（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
十一．解一元二次方程中的错解复原问题（共2小题）
30．（2023上·山西大同·九年级统考期末）（1）解方程：𝑥2−6𝑥+5=0；
（2）下面是小敏同学解方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
3(𝑥−3) =(𝑥−3)2
解：3(𝑥−3)−(𝑥−3)2 =0……第一步
(𝑥−3)(3−𝑥−3) =0……第二步
则𝑥−3=0或3−𝑥−3=0……第三步
解得𝑥 =3,𝑥 =0……第四步
1 2
任务一：填空：①以上解题过程中，第一步变形的名称是_______；②第______步开始出现错误，错误的
原因是_________；
任务二：请直接写出该方程的正确解．
31．（2023上·河南许昌·九年级许昌市第一中学校联考期末）下面是小明同学解一元二次方程2𝑥2−2=3𝑥的
过程，请认真阅读并完成相应的任务．
2𝑥2−2=3𝑥．
解：二次项系数化为1，得𝑥2−1= 3 𝑥，第一步
2
移项，得𝑥2− 3 𝑥 =1，第二步
2
配方，得𝑥2− 3 𝑥+ 9 =1，第三步
2 4
2
3
变形，得(𝑥− ) =1，第四步
2
3
开方，得𝑥− =±1，第五步
2
1 5
解得𝑥 = ，𝑥 = ，第六步
1 2
2 2
(1)上面小明同学的解法中运用“配方法”将一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，体现的数学思想是
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司______，其中“配方法”依据的一个数学公式是______；
(2)上述解题过程，从第______步开始出现错误，请写出正确的解答过程．
十二．利用配方法求最值问题（共 2小题）
32．（2023下·陕西咸阳·八年级统考期末）先阅读下面的内容，再解答问题．
【阅读】例题：求多项式𝑚2+2𝑚𝑛+𝑛2+4的最小值．
解：𝑚2+2𝑚𝑛+𝑛2+4=(𝑚2+2𝑚𝑛+𝑛2)+4= (𝑚+𝑛)2+4，
∵(𝑚+𝑛)2 ≥ 0，∴(𝑚+𝑛)2+4≥4
∴多项式𝑚2+2𝑚𝑛+𝑛2+4的最小值是4
(1)请写出例题解答过程中把一个三项二次式转化为一个二项式的平方运用的公式是______；
(2)求多项式−2𝑥2+4𝑥𝑦−2𝑦2+30的最大值．
33．（2023上·河南信阳·八年级统考期末）教材中这样写道：“我们把多项式𝑎2+2𝑎𝑏+𝑏2及𝑎2−2𝑎𝑏+𝑏2叫
做完全平方式”，如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的
项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一
种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数
有关的问题或求代数式最大值，最小值等．
例如：分解因式𝑥2+2𝑥−3．
原式=(𝑥2 +2𝑥+1)−4=(𝑥+1)2−4=(𝑥+1+2)(𝑥+1−2)=(𝑥+3)(𝑥−1)；；
例如：求代数式𝑥2+4𝑥+6的最小值．
原式=𝑥2+4𝑥+4+2=(𝑥+2)2+2．
∵(𝑥+2)2 ≥0，
∴当𝑥 =−2时，𝑥2+4𝑥+6有最小值是2．
根据阅读材料用配方法解决下列问题：
(1)分解因式：𝑚2−4𝑚−5= ；
(2)求代数式𝑥2−6𝑥+12的最小值；
(3)若𝑦 =−𝑥2−2𝑥当x＝ 时，y有最 值（填“大”或“小”），这个值是 ．
十三．利用一元二次方程的解法解特殊方程（共 5小题）
34．（2022上·重庆云阳·九年级统考期末）阅读材料：求解一元一次方程，需要根据等式的基本性质，把方
程转化为x=a的形式；求解二元一次方程组，需要通过消元把她转化为一元一次方程来解，求解三元一次方
程组，需要把它转化为二元一次方程组来解：求一元二次方程，需要把它转化为两个一元一次方程来解；
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司求解分式方程，需要通过去分母把它转化为整式方程来解，各类方程的解法不尽相同，但是它们都用到一
种共同的基本数学思想——“转化”，即把未知转化为已知来求解．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些
新的方程．
例如，解一元三次方程𝑥3−3𝑥2−𝑥 =0，通过因式分解把它转化为𝑥(𝑥2 −3𝑥−1) =0，通过解方程x=0和
𝑥2−3𝑥−1=0，可得原方程𝑥3−3𝑥2−𝑥 =0的解．
再例如，解根号下含有未知数的方程：√2𝑥+3=𝑥，通过两边同时平方转化为2𝑥+3=𝑥2，解得：𝑥 =−1，
1
𝑥 =3，∵2𝑥+3≥0且𝑥 ≥0，∴𝑥=−1不是原方程的解，∴原方程的解为𝑥 = 3．
2
请仔细阅读材料，解下列方程：
(1)解方程：2𝑥3+5𝑥2+3𝑥 =0
(2)解方程：√3𝑥2+5𝑥−1=𝑥+1
35．（2022上·湖南永州·九年级统考期末）阅读下面的材料：某数学兴趣小组探究下面的方程解答方法，为
解方程：(𝑥2 −1)2−5(𝑥2−1)+4=0，可以将(𝑥2−1)看作一个整体，然后设𝑥2−1=𝑡，则原方程可化
为𝑡2−5𝑡+4=0，解得𝑡 =1，𝑡 =4．
1 2
当𝑡 =1时，𝑥2−1=1，即𝑥2 =2，则𝑥 =±√2；
当𝑡 =4时，𝑥2−1=4，即𝑥2 =5，则𝑥 =±√5．
故原方程的解为：𝑥 =√2，𝑥 =−√2，𝑥 =√5，𝑥 =−√5．
1 2 3 4
上述解题方法，我们称之为换元法，请利用换元法解以下方程：2𝑥−5√𝑥+2=0．
36．（2022上·山东聊城·九年级统考期末）阅读材料：各类方程的解法
求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为𝑥 =𝑎的形式．求解二元一次方程组，把它转化为
一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组，求解一元二次方程，
把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，
因此解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，把未
知转化为已知．
用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程，例如，一元三次方程𝑥3+𝑥2−2𝑥 =0，可以通过因式
分解把它转化为𝑥(𝑥2+𝑥−2)=0，解方程𝑥 = 0和𝑥2+𝑥−2=0，可得方程𝑥3 +𝑥2−2𝑥 =0的解．
(1)请解方程𝑥3+𝑥2−2𝑥 =0；
(2)拓展：用“转化”思想求方程√2𝑥+3=𝑥的解．
37．（2022上·广东·九年级统考期末）例：解方程(𝑥−1)4−8(𝑥−1)2+15=0
解：设𝑡 =(𝑥−1)2，则𝑡2−8𝑡+15=0
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司解得𝑡 =3或𝑡 =5
当𝑡 =3时有(𝑥−1)2 =3，解得𝑥 =1±√3
当𝑡 =5时有(𝑥−1)2 =5，解得𝑥 =1±√5
∴原方程的解为𝑥 =1±√3或𝑥 =1±√5
认真阅读例题的解法，体会解法中蕴含的数学思想，并使用例题的解法及相关知识解方程(2𝑥+1)6−
7(2𝑥+1)3−8=0
38．（2019上·重庆南川·九年级重庆市南川中学校校考期末）阅读下面的例题：
解方程：𝑥2−|𝑥|−2=0
当𝑥 ≥0时，原方程化为𝑥2−𝑥−2=0 解得：𝑥 =2或𝑥 =−1（不合题意舍去）
1 2
当𝑥 ≤0时，原方程化为𝑥2+𝑥−2=0 解得：𝑥 =−2或𝑥 =1（不合题意舍去）
1 2
所以，原方程的根是𝑥 =2或𝑥 =−2．
1 2
请参照例题解方程：
（1）𝑥2−|𝑥|−6=0 （2）𝑥2−|𝑥−5|−5=0
十四．一元二次方程根与系数有关的阅读理解问题（共3小题）
39．（2023上·辽宁葫芦岛·九年级统考期末）阅读材料，若关于𝑥的一元二次方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+𝑐 =0(𝑎 ≠0)的
−𝑏+√𝑏2−4𝑎𝑐 −𝑏−√𝑏2−4𝑎𝑐
两根为𝑥 ，𝑥 ，则根据求根公式可知，𝑥 = ，𝑥 = ．
1 2 1 2𝑎 2 2𝑎
−𝑏+√𝑏2−4𝑎𝑐 −𝑏−√𝑏2−4𝑎𝑐 −2𝑏 𝑏
由此可得，𝑥 +𝑥 = + = =− ，
1 2 2𝑎 2𝑎 2𝑎 𝑎
−𝑏+√𝑏2−4𝑎𝑐 −𝑏−√𝑏2−4𝑎𝑐 (−𝑏)2−(𝑏2−4𝑎𝑐) 𝑐
𝑥 𝑥 = ⋅ = = ．
1 2 2𝑎 2𝑎 4𝑎2 𝑎
根据上述材料，结合自己所学知识，解决如下问题：
(1)一元二次方程𝑥2−2𝑥−3=0的两根为𝑥 ，𝑥 ，则𝑥 +𝑥 =________，𝑥 𝑥 =________；
1 2 1 2 1 2
(2)一元二次方程𝑥2+3𝑥−1=0的两根为𝑥 ，𝑥 ，则𝑥 𝑥 −𝑥 −𝑥 =________；
1 2 1 2 1 2
(3)若𝑚，𝑛满足𝑚2+3𝑚−1=0，𝑛2+3𝑛−1=0，且𝑚 ≠𝑛．求 𝑛 + 𝑚 的值．
𝑚 𝑛
40．（2023下·安徽阜阳·八年级统考期末）阅读材料：
材料1：若关于x的一元二次方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐 =0(𝑎 ≠0)的两个根为𝑥 ，𝑥 ，则有𝑥 +𝑥 =− 𝑏 ，𝑥 ⋅𝑥 = 𝑐 ．
1 2 1 2 𝑎 1 2 𝑎
材料2：已知一元二次方程𝑥2−𝑥−1=0的两个实数根分别为m，n．求𝑚2+𝑛2的值．
解：∵方程𝑥2−𝑥−1= 0的两个实数根分别为m，n，则𝑚+𝑛=1，𝑚𝑛 =−1，
∴𝑚2+𝑛2 =(𝑚+𝑛)2−2𝑚𝑛 =12−2×(−1)=3．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
(1)材料理解：若一元二次方程2𝑥2−3𝑥−1=0的两个实数根分别为．𝑥 ，𝑥 ，则𝑥 +𝑥 =______，𝑥 ⋅
1 2 1 2 1
𝑥 =______．
2
(2)类比应用：已知一元二次方程2𝑥2−3𝑥−1=0的两个实数根分别为m，n，求𝑚2𝑛+𝑚𝑛2的值．
(3)思维拓展：已知实数m，n满足2𝑚2−3𝑚−1=0，2𝑛2−3𝑛−1=0，且𝑚 ≠𝑛，求 1 + 1 的值．
𝑚 𝑛
41．（2023上·贵州遵义·九年级统考期末）阅读材料，解答问题
材料一：已知实数𝑎，𝑏(𝑎 ≠𝑏)，满足𝑎2+5𝑎−1=0，𝑏2+5𝑏−1=0，则可将𝑎，𝑏看作一元二次方程𝑥2+
5𝑥−1=0的两个不等实数根
材料二：已知𝑥2+5𝑥−2=0，求𝑥− 2 的值
𝑥
某同学解答思路如下：
由𝑥2+5𝑥−2=0可得𝑥+5− 2 =0
𝑥
2
所以𝑥− =−5
𝑥
(1)直接应用：已知实数𝑎，𝑏(𝑎 ≠𝑏)满足𝑎2−7𝑎−2=0，𝑏2−7𝑏−2=0，求𝑎+𝑏−𝑎𝑏的值
(2)间接运用：已知实数𝑚，𝑛满足3𝑚2−7𝑚−2=0，2𝑛2+7𝑛−3=0．且𝑚𝑛 ≠1，求 𝑚𝑛+1 的值．
𝑚𝑛+𝑚+1
十五．根的判别式与根与系数关系的综合（共4小题）
42．（2022上·广东清远·九年级统考期末）已知关于x的一元二次方程𝑥2+2𝑥+𝑘−3=0有两个实数根．
(1)求实数k的取值范围；
(2)若其两根x ，x 满足𝑥 2+𝑥 2 =18，求k的值．
1 2 1 2
43．（2015上·江苏南通·九年级阶段练习）已知关于x的一元二次方程(𝑥−𝑚)2+6𝑥 =4𝑚−3有实数根．
(1)求𝑚的取值范围；
(2)设方程的两实根分别为𝑥 与𝑥 ，若𝑥 𝑥 −𝑥 2−𝑥 2 =−7，求𝑚的值．
1 2 1 2 1 2
44．（2023下·浙江嘉兴·八年级统考期末）在学习一元二次方程的根与系数关系一课时，老师出示了这样一
个问题：已知关于x的一元二次方程𝑥2−𝑚𝑥+2𝑚−1=0的两个实数根𝑥 ，𝑥 的平方和为23，求m的值．某
1 2
同学的解答如下框：请判断该同学的解答是否完整？若完整，请在框内打“√”；若不完整，请你把解答过程
补充完整．
由题意得：𝑥 +𝑥 =𝑚，𝑥 ⋅𝑥 =2𝑚−1，
1 2 1 2
𝑥2+𝑥2 =(𝑥 +𝑥 )2−2𝑥 𝑥 =𝑚2−2(2𝑚−1)，
1 2 1 2 1 2
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司∴𝑚2−2(2𝑚−1)=23，解得：𝑚 =7或𝑚= −3，
∴m的值为7或−3．
45．（2023下·山东威海·八年级校联考期末）关于𝑥的一元二次方程𝑘𝑥2 +(𝑘+2)𝑥+ 𝑘 =0是否存在𝑘，使方
4
程求出的两根，一根加5，另一根减3，得到的两数互为相反数？如果有，求出𝑘，如果没有说明理由．
十六．一元二次方程与规律探究问题（共3小题）
46．（2023·山东济宁·统考二模）某天，张老师带领同学们利用棋子构图研究数字规律．将一些棋子按如图
所示的规律摆放，若第𝑛个图中共有115个棋子，则𝑛的值是 ．
47．（2022·山东泰安·统考模拟预测）观察下列图形规律，当图形中的“○”的个数和“．”个数差为2022时，n
的值为 ．
2 6 12
48．（2022上·安徽芜湖·八年级统考期末）观察下列方程：①x+ =3；②x+ =5；③x+ =7，可以发现它们的
𝑥 𝑥 𝑥
解分别是①x=1或2；②x=2或3；③x=3或4．利用上述材料所反映出来的规律，可知关于x的方程
𝑛2+𝑛
x+ =2n+4(n为正整数)的解x= ．
𝑥−3
十七．一元二次方程与新定义问题（共3小题）
49．（2023上·河南许昌·九年级许昌市第一中学校联考期末）对于实数a，b，定义新运算：𝑎※𝑏 =𝑎𝑏2−𝑏，
若关于x的方程1※𝑥 =𝑘有两个相等的实数根，则k的值是（ ）
1 1
A．4 B．−4 C． D．−
4 4
50．（2022上·海南海口·九年级校联考期末）新定义运算：𝑎※𝑏 =𝑎2−𝑎𝑏+𝑏，例如2※1=22−2×1+1=3，
则方程𝑥※3=5的根的情况为（ ）
A．没有实数根 B．只有一个实数根
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司C．有两个不相等的实数根 D．有两个相等的实数根
51．（2022上·云南昆明·九年级统考期末）对于实数a、b，定义新运算“&”如下：𝑎&𝑏 =𝑎2−𝑎𝑏．例如：
5&3=52−5×3=10，若(𝑥+1)&2= 3，则x的值为（ ）
A．𝑥 =2，𝑥 =−2 B．𝑥 =𝑥 =−2
1 2 1 2
C．𝑥 =1，𝑥 =−1 D．𝑥 =0，𝑥 =−4
1 2 1 2
十八．一元二次方程与动点问题（共 4小题）
52．（2023上·湖南长沙·九年级统考期末）如图，△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶 =90°，𝐴𝐶 =8cm，𝐵𝐶 =4cm，动点𝑃从点
𝐶开始沿边𝐶𝐵向点𝐵以1cm/s的速度移动，动点𝑄从点𝐴开始沿边𝐴𝐶向点𝐶以2cm/s的速度移动．如果𝑃、𝑄两
点分别从𝐶、𝐴两点同时出发，移动时间为𝑡（单位：s）．
(1)求△𝑃𝐶𝑄的面积𝑆关于𝑡的函数解析式；
1
(2)若△𝑃𝐶𝑄的面积是△𝐴𝐵𝐶面积的 ，求𝑡的值；
4
(3)问：△𝑃𝐶𝑄的面积能否为△𝐴𝐵𝐶面积的一半？若能，请求出𝑡的值；若不能，请说明理由．
53．（2022下·安徽合肥·八年级统考期末）如图，在Rt△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵 =6cm，𝐵𝐶 =8cm．点𝑃从点𝐴出发，
沿𝐴𝐵边以1cm/s的速度向点𝐵移动；点𝑄从点𝐵同时出发，沿𝐵𝐶边以2cm/s的速度向点𝐶移动．规定其中一个
动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．问经过几秒后，𝑃,𝑄两点的距离是4√2cm？
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司54．（2022下·八年级课时练习）如图，在矩形𝐴𝐵𝐶𝐷中，点𝐸是𝐶𝐷的中点，𝐴𝐵 =16cm，𝐵𝐶 =8cm，动点P
从点A出发，以3cm/s的速度向点B运动，到达点B时停止运动；动点Q同时从点C出发，以2cm/s的速
度向点D运动．设运动的时间为t s．
(1)当𝑡 =______s时，以𝐴，𝑃，𝑄，𝐸为顶点的四边形是平行四边形；
(2)当t为何值时，点P和点Q之间的距离为10cm．
55．（2023上·天津河西·九年级校考期末）如图所示，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵 =90°，𝐴𝐵 =5cm，𝐵𝐶 =7cm，点𝑃从
点A开始沿𝐴𝐵边向点𝐵以1cm/s的速度运动，点𝑄从点𝐵开始沿𝐵𝐶边向点𝐶以2cm/s的速度运动．𝑃、𝑄分别
从A、𝐵同时出发，当𝑃、𝑄两点中有一点停止运动时，则另一点也停止运动．设运动的时间为𝑡s．(𝑡 ≥0)
(1)当𝑡为何值时，𝑃𝑄的长度等于5cm；
(2)求出𝑆 关于𝑡的函数解析式，计算𝑃、𝑄出发几秒时，𝑆 有最大值，并求出这个最大面积？
Δ𝐵𝑃𝑄 Δ𝐵𝑃𝑄
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