文档内容
专题 02 一元二次方程的解法（配方法）（3 个知识点 7 种题型
2 个易错点中考 4 种考法）
【目录】
倍速学习五种方法
【方法一】 脉络梳理法
知识点1：直接配平方法（重点）
知识点2：配方法（重点）
知识点3：配方法的应用（难点）
【方法二】 实例探索法
题型1：用直接开平方法解一元二次方程
题型2：用配方法解一元二次方程
题型3：用配方法求字母的值
题型4：用用配方法求代数式的最大（最小）值
题型5：直接开平方法在实际生活中的应用
题型6：用配方法判断三角形的形状
题型7：利用换元法解方程
【方法三】 差异对比法
易错点1混淆方程配方与代数式配方
易错点2 配方时，没有进行恒等式变形而导致错误
【方法四】 仿真实战法
考法1．解一元二次方程-直接开平方法
考法2：解一元二次方程-配方法
考法3：换元法解一元二次方程
考法4：配方法的应用
【方法五】 成果评定法【知识导图】
【倍速学习五种方法】
【方法一】脉络梳理法
知识点1：直接配平方法
形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝± ；
如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝± ．
注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数．
②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程．
③方法是根据平方根的意义开平方．
例1.（2022秋•江都区校级期末）方程x2＝4的解是（ ）
A．x ＝x ＝2 B．x ＝x ＝﹣2 C．x ＝2，x ＝﹣2 D．x ＝4，x ＝﹣4
1 2 1 2 1 2 1 2
知识点2：配方法
（1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫
配方法．
（2）用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方
程无实数解．
要点诠释：
（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；
（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方.
a2 2abb2 (ab)2
（3）配方法的理论依据是完全平方公式 ．
例2．用配方法解一元二次方程
x2 +2x−4=0
.
例3.如何用配方法解方程
2x2 +2x−4=0
知识点3：配方法的应用
1．用于比较大小：
在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出
大小.
2．用于求待定字母的值：
配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字
母的取值．
3．用于求最值：
“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值．
4．用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着
广泛的应用．
要点诠释：
“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系
的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学好．
【方法二】实例探索法
题型1：用直接开平方法解一元二次方程
例4.解方程(x-3)2=49．
例5．（2022秋•江都区期中）解方程：
（1）4x2＝49； （2）（2x﹣1）2﹣25＝0．
例6.解关于 的方程： ．
例7.解关于 的方程： ．
例8.解关于 的方程： ．例9.解关于 的方程： ．
例10.解关于 的方程： ．
例11.解关于 的方程： ．
题型2：用配方法解一元二次方程
例12.用配方法解方程： ．
例13.用配方法解方程： ．例14.用配方法解方程： ．
例15.用配方法解方程： ．
例16.用配方法解方程： ．
例17.用配方法解方程： ．
例18.用配方法解关于x的方程： ．
题型3：用配方法求字母的值例19.若把代数式 化为 的形式，其中m、k为常数，则 ．
例20.已知 ，求 的值．
题型4：用用配方法求代数式的最大（最小）值
例21.用配方法说明： 代数式 x2+8x+17的值总大于0.
例22求代数式 x2+8x+17的最小值
题型5：直接开平方法在实际生活中的应用
例23.某工厂今年 月份产品数是 万件，要求 月份达到 万件，求这个工厂 月份和 月份的月平均
增长率．
题型6：用配方法判断三角形的形状
例24.已知△ABC的一边长为4，另外两边长是关于x的方程 的两根，当k为何值时，
△ABC是等腰三角形？
7：利用换元法解方程
题型例25.用配方法解方程： （要求用整体法的思想求解）．
【方法三】差异对比法
易错点1混淆方程配方与代数式配方
若把代数式 化为 的形式，其中m、k为常数，则 ．
易错点2 配方时，没有进行恒等式变形而导致错误
如何用配方法解方程
2x2 +2x−4=0
解：
2x2 +2x=4
移常数项
x2 +x=2
方程两边同除以二次项系数
1 1
x2 +x+( ) 2 =2+( ) 2
2 2
两边配上一次项系数一半的平方
1 5
(x+ ) 2 =
2 2 (x+m) 2 =n
转化为 的形式
1 √10 1 √10
x+ = 或x+ =−
2 2 2 2
开平方
√10 1 √10 1
x= − 或x=− −
2 2 2 2
解得 求解
√10 1 √10 1
x = − ,x =− −
2 2 2 2 2 2
所以原方程的根是 .
【方法四】 仿真实战法
考法1．解一元二次方程-直接开平方法1．（2020•扬州）方程（x+1）2＝9的根是 ．
考法2：解一元二次方程-配方法
2．（2019•南通）用配方法解方程x2+8x+9＝0，变形后的结果正确的是（ ）
A．（x+4）2＝﹣7 B．（x+4）2＝﹣9 C．（x+4）2＝7 D．（x+4）2＝25
考法3：换元法解一元二次方程
3．（2002•南京）用换元法解方程：（x2﹣x）2﹣5（x2﹣x）+6＝0，如果设x2﹣x＝y，那么原方程变为
．
考法4：配方法的应用
4．（2018•泰州）已知3x﹣y＝3a2﹣6a+9，x+y＝a2+6a﹣9，若x≤y，则实数a的值为 ．
【方法五】成功评定法
一、单选题
1．（2023秋·河北保定·九年级统考期末）小明解方程 的过程如图所示，他在解答过程中开
始出错的步骤是（ ）
解： ……①
……②
……③
， …④
A．① B．② C．③ D．④
2．（2022秋·辽宁丹东·九年级统考期末）将方程 配方成 的形式为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
3．（2023·山东聊城·统考一模）将一元二次方程 化成 （a，b 为常数）的形式，则ab＝_____．
4．（2023·四川内江·校考一模）已知x，y，z为实数，满足 ，那么 的最小值是
___________
5．（2022·江西萍乡·校考模拟预测）如图，在矩形 中， ， ，点P在矩形 上
或其对角线 上运动， ，则 长为________．
三、解答题
6．（2022秋·青海西宁·九年级校考期中） （配方法）
7．（2023·广西贵港·统考一模）解方程： ．
8．（2022秋·陕西西安·九年级校考阶段练习）用配方法证明： 的最小值是 ．9．（2023·江苏宿迁·统考一模）先化简，再求值： ，其中满足a满足
．
10．（2023·全国·九年级专题练习）已知实数x满足 ，求 的值．
11．（2022秋·河南开封·九年级校考阶段练习）用配方法求解下列问题．
(1)求代数式 的最小值．
(2)求代数式 的最大值．
12．（2022秋·四川达州·九年级校联考期末）配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式
子或将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用
到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决问题．
定义：若一个整数能表示成 （a，b为整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为 ，所以5是“完美数”．
解决问题：
(1)已知29是“完美数”，请将它写成 （a，b为整数）的形式；
(2)若 可配方成 （m，n为常数），求mn的值；
(3)已知 （x，y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出k值．
13．（2023秋·福建泉州·九年级统考期末）请阅读下列材料：
形如 的式子的化简，我们只要找到两个正数a，b，使 ，即
，那么便有 ．
例如：化简 ．
解：首先把 化为 ，这里 ，
由于 ，即 ，
所以 ．请根据材料解答下列问题：
(1)填空： __________．
(2)化简： （请写出计算过程）．
14．（2023秋·北京东城·九年级统考期末）下面是小聪同学用配方法解方程： 的过
程，请仔细阅读后，解答下面的问题．
解：移项，得： ．①
二次项系数化为1，得： ．②
配方，得 ．③
即 .
∵ ，
∴ ．④
∴ ， ．⑤
(1)第②步二次项系数化为1的依据是什么？
(2)整个解答过程是否正确？若不正确，说出从第几步开始出现的错误，并直接写出此方程的解．
15．（2022秋·山东枣庄·九年级校考阶段练习）“ ”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式，例如： ，∵ ，∴ ，∴
．试利用“配方法”解决下列问题：
(1)填空：因为 ＋______，所以当 ______时，代数式 有最______（填
“大”或“小”）值，这个最值为______；
(2)比较代数式 与 的大小．
16．（2023秋·云南昆明·九年级统考期末）【材料阅读】
先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：
我们知道 ，所以代数式 的最小值为0，可以用公式 来求一些多项式的最小值．
例题：求代数式 的最小值．
解： ．
∴代数式 的最小值为4．
请应用上述思想方法，解决下列问题：
(1)【类比探究】
的最小值为______；
(2)【举一反三】
代数式 有最______（填“大”或“小”）值为______；
(3)【灵活运用】某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为 ），另
外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为 的矩形．已知栅栏的总长度为 ，则可设较小
矩形的宽为 ，较大矩形的宽为 （如图）．当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？
17．（2023·全国·九年级专题练习）∵ ，∴我们把形如 的式子称为完全
平方式．请解决下列问题：
(1)代数式 中，当 时，代数式为完全平方式；
(2)代数式 中，当 时，代数式为完全平方式；
(3)代数式 为完全平方式，求m的值．
18．（2023·全国·九年级专题练习）阅读以下材料：
利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问题，如∵ ，
∴ ，
因此，代数式 有最小值
根据以上材料，解决下列问题：
(1)代数式 的最小值为 ；
(2)试比较 与 的大小关系，并说明理由；
(3)已知： ，求代数式 的值．
19．（2023秋·广西防城港·九年级统考期末）【阅读理解】我们知道 ，所以代数式 的最小值为0，
可以用公式 来求一些多项式的最小值．
例如：求 的最小值问题
解：∵
∵ ，∴ ，
∴ 的最小值为-8．
【类比应用】请应用上述思想方法，解决下列问题：
(1)类比： 的最小值为_______．
(2)探究：代数式 有最______（填“大”或“小”）值为______．
(3)拓展：如图，长方形花圃一面靠墙（墙足够长）另外三面所围成的棚栏的总长是20米，设垂直墙面的棚栏围x米，则当x为多长时花圃面积最大，最大面积是多少？
20．（2022秋·河南许昌·九年级校考阶段练习）阅读下面的材料并解答后面的问题：
小力：能求出 的最小值吗？如果能，其最小值是多少？
小强：能，求解过程如下：
因为
，
而 ，
所以 的最小值是 ．
问题：你能否求出 的最小值？如果能，请仿照上例写出你的求解过程．21．（2022秋·甘肃武威·九年级校联考阶段练习）“ ”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将
代数式配成完全平方式，例如： ，∵ ，∴ ，
∴ ．即： 的最小值是1．试利用“配方法”解决下列问题：
(1)求代数式 最值；
(2)已知 ，求 的值；
(3)比较代数式 与 的大小．
22．（2022秋·江苏盐城·九年级统考期中）【项目学习】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将
一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数
式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．
例如，把二次三项式 进行配方．
解： ．
我们定义：一个整数能表示成 （a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完
美数”．理由：因为 ．再如， （x，y是整数），所以M也是
“完美数”．
(1)【问题解决】请你再写一个小于10的“完美数” ；并判断40是否为“完美数” ；
(2)【问题解决】若二次三项式 （x是整数）是“完美数”，可配方成 （m，n为常
数），则 的值为 ；
(3)【问题探究】已知“完美数” （x，y是整数）的值为0，则 的值为 ；(4)【问题探究】已知 （x，y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出
符合条件的k值．
(5)【问题拓展】已知实数x，y满足 ，求 的最小值．
23．（2023春·重庆云阳·九年级校考阶段练习）相传，大禹治水时，洛水中出现了一个“神龟背上有妙的
图案，史称“洛书”，用现在的数字翻译出来，就是三级幻方．三阶幻方是最简单的幻方，又叫九宫格，
它是由九个数字组成的一个三行三列的矩阵其对角线、横行、纵向的数字之和均相等，这个和叫做幻和，
正中间那个数叫中心数．如图1，是由1、2、3、4、5、6、7、8、9所组成的一个三阶幻方，其幻和为
15，中心数为5．
(1)如图2也是由1、2、3、4、5、6、7、8、9所组成的一个三阶幻方，则x的值为______．
(2)由1、2、3、4、5、6、7、8、9生成的幻方称为基本三阶幻方，在此基础上各数再加或减一个相同的数，
可组成新三阶幻方，新三阶幻方的幻和也随之变化，如图3，是由基本三阶幻方中各数加上m后生成的新
三阶幻方，该新三阶幻方的幻和为 的4倍，且 ，求 的值．
(3)由1、2、3、4、5、6、7、8、9生成的基本三阶幻方中每个数都乘以或除以一个不为0的数也可组成一
个新三阶幻方，如图4，是由基本三阶幻方中各数乘以p再减2后生成的新三阶幻方，其中 为9个数中
的最大数，且满足 求P及 的值．
