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一元二次方程（易错必刷 30 题 9 种题型专项训练）
➢一元二次方程的定义 ➢解一元二次方程解法
➢一元二次方程的一般形式 ➢根的判别式
➢一元二次方程的解 ➢根与系数的关系
➢解一元二次方程-配方法 ➢一元二次方程的应用
➢
配方法的应用
一．一元二次方程的定义（共2小题）
1．若关于x的方程（m﹣1）x2+mx﹣1＝0是一元二次方程，则m的取值范围是（ ）
A．m≠1 B．m＝1 C．m＞1 D．m≠0
2．如果关于 x 的不等式组 有且仅有三个整数解，且关于 y 的方程（m﹣2）y2+my+1＝0 是一元
二次方程，则符合条件的所有整数m之和为 ．
二．一元二次方程的一般形式（共 2小题）
3．一元二次方程3x2+1＝5x的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．3，5，1 B．3，1，5 C．3，﹣5，1 D．3，1，﹣5
4．把一元二次方程x2﹣9＝8x化成一般形式后，一次项系数的一半为（ ）
A．8 B．4 C．﹣8 D．﹣4
三．一元二次方程的解（共1小题）
5．若m是一元二次方程x2+2x﹣1＝0的一个实数根，则2019﹣m2﹣2m的值是 ．
四．解一元二次方程-配方法（共3小题）
6．用配方法解方程x2+6x﹣1＝0，变形后结果正确的是（ ）
A．（x+3）2＝10 B．（x+3）2＝7 C．（x﹣3）2＝10 D．（x﹣3）2＝7
7．某数学兴趣小组四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责完成一个步骤．如图所示，老师
看后，发现有一位同学所负责的步骤是错误的，则这位同学是（ ）
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
8．若将一元二次方程x2﹣6x﹣1＝0化成（x+m）2＝n（m，n为常数）的形式，则m+n的值是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
五．解一元二次方程-因式分解法（共 1小题）
9．解下列方程：
（1） ； （2）x2﹣4x﹣5＝0．
六．根的判别式（共 2小题）
10．关于x的一元二次方程2x2+x﹣k＝0没有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜﹣ B．k≤﹣ C．k＞﹣ D．k≥﹣
11．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3m2＝0．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根分别为α，β，且α+2β＝5，求m的值．
七．根与系数的关系（共4小题）
12．已知x1 ，x2 是关于x的一元二次方程x2﹣2（t+1）x+t2+5＝0的两个实数根，若 + ＝36，则t的值
是（ ）
A．﹣7或3 B．﹣7 C．3 D．﹣3或7
13．已知m，n是方程x2﹣x﹣2＝0的两个根，则代数式2m2﹣3m﹣n的值等于 ．
14．已知 x1 、x2 是关于 x 的一元二次方程 x2﹣2（m+1）x+m2﹣3＝0的两个实数根．若 x1 2+x2 2﹣x1x2 ＝33，
则m＝ ．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司15．已知：关于x的方程x2+（8﹣4m）x+4m2＝0．
（1）若方程有两个相等的实数根，求m的值，并求出这时方程的根．
（2）问：是否存在正数 m，使方程的两个实数根的平方和等于 136？若存在，请求出满足条件的 m 值；
若不存在，请说明理由．
八．一元二次方程的应用（共 10小题）
16．某超市一月份的营业额为 5 万元，第一季度的营业额共 60 万元，如果平均每月增长率为 x，则所列方
程为（ ）
A．5（1+x）2＝60 B．5（1+2x）2＝60
C．5（1+2x）＝60 D．5[1+（1+x）+（1+x）2]＝60
17．要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7
天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请 队参赛．
18．如图，某小区规划在一个长为 24m、宽为 10m的矩形场地 ABCD上修建三条同样宽的小路，使其中两
条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草．若草坪部分的总面积为160m2，则小路的宽度为 m．
19．某商场计划购进甲、乙两种商品共80件进行销售，已知甲种商品的进价为120元/件，乙种商品的进价
为80元/件，甲种商品的销售单价为150元/件，乙种商品的销售单价y（元/件）与购进乙种商品的数量
x（件）之间的函数关系如图所示．
（1）求y（元/件）关于x（件）的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；
（2）当购进乙种商品30件时，求销售完80件甲、乙两种商品获得的总利润；
（3）实际经营时，因原材料价格上涨，甲、乙两种商品的进价均提高了10%，为保证销售完后总利润不
变，商场决定将这两种商品的销售单价均提高m元，且m不超过乙种商品原销售单价的9%，求m的最
大值．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司20．如图，甲地、乙地分别是馨雨和馨望两家的自留地，他们两家都用来种西瓜，两块地的四周都是宽度相
同的田埂，甲地的面积是240m2．
（1）若馨望家地的面积比馨雨家的多了50%，则馨望家地的面积是 m2；
（2）在（1）的条件下，求田埂的宽度；
（3）若馨雨家今年收获了1200 斤西瓜，种西瓜的成本是0.5元/斤，若以2元/斤进行销售，每可销售40
斤西瓜，经调查发现：每斤西瓜降价0.1元，每天就可多销售10斤西瓜，为了每天获利90元，且售价不
得低于1.5元/斤，问售完所有的西瓜馨雨家能赚多少元？
21．某区各街道居民积极响应“创文明社区”活动，据了解，某街道居民人口共有7.5万人，街道划分为A，
B两个社区，B社区居民人口数量不超过A社区居民人口数量的2倍．
（1）求A社区居民人口至少有多少万人？
（2）街道工作人员调查 A，B 两个社区居民对“社会主义核心价值观”知晓情况发现：A 社区有 1.2 万
人知晓，B社区有1万人知晓，为了提高知晓率，街道工作人员用了两个月的时间加强宣传，A社区的知
晓人数平均月增长率为m%，B社区的知晓人数第一个月增长了m%，第二个月增长了2m%，两个月后，
街道居民的知晓率达到76%，求m的值．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司22．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：
例题：解一元二次不等式x2﹣4＞0
解：∵x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）
∴x2﹣4＞0可化为
（x+2）（x﹣2）＞0
由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得
解不等式组①，得x＞2，
解不等式组②，得x＜﹣2，
∴（x+2）（x﹣2）＞0的解集为x＞2或x＜﹣2，
即一元二次不等式x2﹣4＞0的解集为x＞2或x＜﹣2．
（1）一元二次不等式x2﹣16＞0的解集为 ；
（2）分式不等式 的解集为 ；
（3）解一元二次不等式2x2﹣3x＜0．
23．庆阳市是传统的中药材生产区，拥有丰富的中药材资源，素有“天然药库”“中药之乡”的美称．优越
的地理气候条件形成了较独特的资源禀赋，孕育了丰富的中药植物资源和优良品种．某种植户2016年投
资20万元种植中药材，到2018年三年共累计投资95万元，若在这两年内每年投资的增长率相同．
（1）求该种植户每年投资的增长率；
（2）按这样的投资增长率，请你预测2019年该种植户投资多少元种植中药材．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司24．某商店购进一批家电，单价40元，第一周以每个52元的价格售出180个．商店为了适当增加销量，第
二个周决定降价销售．根据市场调研，售价每降1元，一周可比原来多售出10个，已知商店两周共获利
4160元，问第二个周每个小家电的售价降了多少元？
25．某社区决定把一块长 50m，宽 30m 的矩形空地建成居民健身广场，设计方案如图，阴影区域为绿化区
（四块绿化区为大小、形状都相同的矩形），空白区域为活动区，且四周的4个出口宽度相同，当绿化区
较长边x为何值时，活动区的面积达到1344m2？
26．水果店张阿姨以每千克 4 元的价格购进某种水果若干千克，然后以每千克 6 元的价格出售，每天售出
100千克．通过调查发现，这种水果每千克的售价每降低 0.1 元，每天可多售出 20 千克，为了保证每天
至少售出240千克，张阿姨决定降价销售．
（1）若售价降低0.8元，则每天的销售量为 千克、销售利润为 元；
（2）若将这种水果每千克降价x元，则每天的销售量是 千克（用含x的代数式表示）；
（3）销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨应将每千克的销售价降至多少元？
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司九．配方法的应用（共 4小题）
27．阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式x2+bx+c变形为（x+m）2+n的形式，然后由（x+m）2≥
0就可求出多项式x2+bx+c的最小值．
例题：求x2﹣12x+37的最小值；
解：x2﹣12x+37＝x2﹣2x•6+62﹣62+37＝（x﹣6）2+1；
因为不论x取何值，（x﹣6）总是非负数，即（x﹣6）2≥0；
所以（x﹣6）2+1≥1；
所以当x＝6时，x2﹣12x+37有最小值，最小值是1．
根据上述材料，解答下列问题：
（1）填空：
x2﹣8x+18＝x2﹣8x+16+ ＝（x﹣ ）2+2；
（2）将x2+16x﹣5变形为（x+m）2+n的形式，并求出x2+16x﹣5最小值；
（3）如图所示的第一个长方形边长分别是 2a+5、3a+2，面积为 S1 ；如图所示的第二个长方形边长分别
是5a、a+5，面积为S2 ，试比较S1 与S2 的大小，并说明理由．
28．把代数式通过配方等手段得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方
法叫做配方法．配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有广泛的应用．如利用配方法求最小值，
求a2+6a+8的最小值．
解：a2+6a+8＝a2+6a+32﹣32+8＝（a+3）2﹣1，因为不论a取何值，（a+3）2总是非负数，即（a+3）2≥
0．
所以（a+3）2﹣1≥﹣1，所以当a＝﹣3时，a2+6a+8有最小值﹣1．
根据上述材料，解答下列问题：
（1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a2+14a+ ；
（2）将x2﹣10x+27变形为（x﹣m）2+n的形式，并求出x2﹣10x+27的最小值；
（3）若代数式N＝﹣a2+8a+1，试求N的最大值；
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司29．丽丽在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：关于x的多项式x2﹣4x+7，由于x2﹣4x+7＝（x
﹣2）2+3所以当x﹣2取任意一对互为相反数的数时，多项式x2﹣4x+7的值是相等的，例如，当x﹣2＝
±1，即 x＝3或1 时，x2﹣4x+7 的值均为4：当x﹣2＝±2，即x＝4 或0时，x2﹣4x+7的值均为 7，于
是丽丽给出一个定义：关于x的多项式，若当x﹣m取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，
就称该多项式关于x＝m对称，例如x2﹣4x+7关于x＝2对称．
请结合丽丽的思考过程，运用此定义解决下列问题：
（1）多项式x2﹣2x+5关于x＝ 对称；
（2）若关于x的多项式x2+2nx+3关于x＝5对称，求n的值；
（3）若整式（x2+6x+9）（x2﹣4x+4）关于x＝a对称，求实数a的值．
30．先阅读下面的内容，再解答问题．
【阅读】例题：求多项式m2+2mn+2n2﹣6n+13的最小值．
解：m2+2mn+2n2﹣6n+13＝（m2+2mn+n2）+（n2﹣6n+9）+4＝（m+n）2+（n﹣3）2+4，
∵（m+n）2≥0，（n﹣3）2≥0，
∴（m+n）2+（n﹣3）2+4≥4
∴多项式m2+2mn+2n2﹣6n+13的最小值是4．
【解答问题】
（1）请写出例题解答过程中因式分解运用的公式是 ；
（2）已知a、b、c是△ABC的三边，且满足a2+b2＝10a+8b﹣41，求第三边c的取值范围；
（3）求多项式﹣2x2+4xy﹣3y2﹣6y+7的最大值．
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