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一元二次方程（易错必刷 30 题 9 种题型专项训练）
➢一元二次方程的定义 ➢解一元二次方程解法
➢一元二次方程的一般形式 ➢根的判别式
➢一元二次方程的解 ➢根与系数的关系
➢解一元二次方程-配方法 ➢一元二次方程的应用
➢
配方法的应用
一．一元二次方程的定义（共2小题）
1．若关于x的方程（m﹣1）x2+mx﹣1＝0是一元二次方程，则m的取值范围是（ ）
A．m≠1 B．m＝1 C．m＞1 D．m≠0
【答案】A
【解答】解：∵关于x的方程（m﹣1）x2+mx﹣1＝0是一元二次方程，
∴m﹣1≠0，
解得：m≠1．
故选：A．
2．如果关于 x 的不等式组 有且仅有三个整数解，且关于 y 的方程（m﹣2）y2+my+1＝0 是一元
二次方程，则符合条件的所有整数m之和为 8 ．
【答案】8．
【解答】解： ，
由①得x＜ ﹣1，
由②得x＞﹣ ．
∵不等式组有且只有3个整数解，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司∴﹣ ＜x＜ ﹣1，
即x可取﹣3、﹣2、﹣1．
∴﹣1＜ ﹣1≤0，
∴0＜m≤4．
∵关于y的方程（m﹣2）y2+my+1＝0是一元二次方程，
∴m﹣2≠0，
解得m≠2，
∴0＜m≤4且m≠2，
∴整数m的取值为1，3，4，
∴所有整数m的和为1+3+4＝8．
故答案为：8．
二．一元二次方程的一般形式（共 2小题）
3．一元二次方程3x2+1＝5x的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．3，5，1 B．3，1，5 C．3，﹣5，1 D．3，1，﹣5
【答案】C
【解答】解：∵3x2+1＝5x，
∴3x2﹣5x+1＝0，
∴一元二次方程3x2﹣5x+1＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是3，﹣5，1，
故选：C．
4．把一元二次方程x2﹣9＝8x化成一般形式后，一次项系数的一半为（ ）
A．8 B．4 C．﹣8 D．﹣4
【答案】D
【解答】解：一元二次方程x2﹣9＝8x的一般形式x2﹣8x﹣9＝0，
其一次项系数﹣8，
所以一次项系数的一半为﹣4．
故选：D．
三．一元二次方程的解（共1小题）
5．若m是一元二次方程x2+2x﹣1＝0的一个实数根，则2019﹣m2﹣2m的值是 ．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【答案】2018．
【解答】解：由题意得：
把x＝m代入方程x2+2x﹣1＝0中得：m2+2m﹣1＝0，
∴m2+2m＝1，
∴2019﹣m2﹣2m＝2019﹣（m2+2m）＝2019﹣1＝2018，
故答案为：2018．
四．解一元二次方程-配方法（共3小题）
6．用配方法解方程x2+6x﹣1＝0，变形后结果正确的是（ ）
A．（x+3）2＝10 B．（x+3）2＝7 C．（x﹣3）2＝10 D．（x﹣3）2＝7
【答案】A
【解答】解：x2+6x﹣1＝0，
x2+6x＝1，
x2+6x+9＝1+9，
（x+3）2＝10，
故选：A．
7．某数学兴趣小组四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责完成一个步骤．如图所示，老师
看后，发现有一位同学所负责的步骤是错误的，则这位同学是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】B
【解答】解：2x2+4x﹣1＝0，
2x2+4x＝1，
x2+2x＝ ，
x2+2x+1＝ +1，
（x+1）2＝ ，
x+1＝± ，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司x+1＝ 或x+1＝﹣ ，
x1 ＝﹣1+ ，x2 ＝﹣1﹣ ，
所以，这位同学是乙，
故选：B．
8．若将一元二次方程x2﹣6x﹣1＝0化成（x+m）2＝n（m，n为常数）的形式，则m+n的值是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】B
【解答】解：x2﹣6x﹣1＝0，
x2﹣6x＝1，
x2﹣6x+9＝1+9，
（x﹣3）2＝10，
∵将一元二次方程x2﹣6x﹣1＝0化成（x+m）2＝n（m，n为常数）的形式，
∴m＝﹣3，n＝10，
∴m+n＝﹣3+10＝7，
故选：B．
五．解一元二次方程-因式分解法（共 1小题）
9．解下列方程：
（1） ；
（2）x2﹣4x﹣5＝0．
【答案】（1）x1 ＝9，x2 ＝﹣3；
（2）x1 ＝5，x2 ＝﹣1．
【解答】解：（1） ，
（x﹣3）2＝36，
x﹣3＝±6，
x﹣3＝6或x﹣3＝﹣6，
x1 ＝9，x2 ＝﹣3；
（2）x2﹣4x﹣5＝0，
（x﹣5）（x+1）＝0，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司x﹣5＝0或x+1＝0，
x1 ＝5，x2 ＝﹣1．
六．根的判别式（共 2小题）
10．关于x的一元二次方程2x2+x﹣k＝0没有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜﹣ B．k≤﹣ C．k＞﹣ D．k≥﹣
【答案】A
【解答】解：∵关于x的一元二次方程2x2+x﹣k＝0没有实数根，
∴Δ＜0，
∴12﹣4×2×（﹣k）＜0，
∴1+8k＜0，
∴k＜﹣ ．
故选A．
11．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3m2＝0．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根分别为α，β，且α+2β＝5，求m的值．
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）m的值为±1．
【解答】（1）证明：∵a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3m2，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1•（﹣3m2）
＝4+12m2＞0，
∴方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：由题意得：
，解得： ，
∵αβ＝﹣3m2，
∴﹣3m2＝﹣3，
∴m＝±1，
∴m的值为±1．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司七．根与系数的关系（共4小题）
12．已知x1 ，x2 是关于x的一元二次方程x2﹣2（t+1）x+t2+5＝0的两个实数根，若 + ＝36，则t的值
是（ ）
A．﹣7或3 B．﹣7 C．3 D．﹣3或7
【答案】C
【解答】解：∵x1 ，x2 是关于x的一元二次方程x2﹣2（t+1）x+t2+5＝0的两个实数根，
∴x1+x2 ＝2（t+1）＝2t+2，x1x2 ＝t2+5，
Δ＝[﹣2（t+1）]2﹣4（t2+5）≥0，
解得：t≥2，
∵ + ＝36，
∴（x1+x2 ）2﹣2x1x2 ＝36，
（2t+2）2﹣2（t2+5）＝36，
解得：t＝3或t＝﹣7，
故t的值只能为3．
故选：C．
13．已知m，n是方程x2﹣x﹣2＝0的两个根，则代数式2m2﹣3m﹣n的值等于 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵m，n是方程x2﹣x﹣2＝0的两个根，
∴m+n＝1，m2﹣m＝2，
则原式＝2（m2﹣m）﹣（m+n）＝2×2﹣1＝4﹣1＝3，
故答案为：3
14．已知 x1 、x2 是关于 x 的一元二次方程 x2﹣2（m+1）x+m2﹣3＝0的两个实数根．若 x1 2+x2 2﹣x1x2 ＝33，
则m＝ ．
【答案】2．
【解答】解：∵x1 、x2 是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2﹣3＝0的两个实数根，
∴x1+x2 ＝2（m+1），x1x2 ＝m2﹣3，
∵x1 2+x2 2﹣x1x2 ＝33，即（x1+x2 ）2﹣3x1x2 ＝33，
∴[2（m+1）]2﹣3（m2﹣3）＝33，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司∴m2+8m﹣20＝0，
解得：m＝﹣10或m＝2，
当m＝﹣10时，方程为x2+18x+97＝0，
Δ＝182﹣4×1×97＝324﹣388＝﹣64＜0，原方程无解，
∴m＝2．
故答案为：2．
15．已知：关于x的方程x2+（8﹣4m）x+4m2＝0．
（1）若方程有两个相等的实数根，求m的值，并求出这时方程的根．
（2）问：是否存在正数 m，使方程的两个实数根的平方和等于 136？若存在，请求出满足条件的 m 值；
若不存在，请说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）若方程有两个相等的实数根，
则有Δ＝b2﹣4ac＝（8﹣4m）2﹣16m2＝64﹣64m＝0，
解得m＝1，
当m＝1时，原方程为x2+4x+4＝0，
∴x1 ＝x2 ＝﹣2；
（2）不存在．
假设存在，则有x1 2+x2 2＝136．
∵x1+x2 ＝4m﹣8，
x1x2 ＝4m2，
∴（x1+x2 ）2﹣2x1x2 ＝136．
即（4m﹣8）2﹣2×4m2＝136，
∴m2﹣8m﹣9＝0，
（m﹣9）（m+1）＝0，
∴m1 ＝9，m2 ＝﹣1．
∵Δ＝（8﹣4m）2﹣16m2＝64﹣64m≥0，
∴0＜m≤1，
∴m1 ＝9，m2 ＝﹣1都不符合题意，
∴不存在正数m，使方程的两个实数根的平方和等于136．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司八．一元二次方程的应用（共 12小题）
16．某超市一月份的营业额为 5 万元，第一季度的营业额共 60 万元，如果平均每月增长率为 x，则所列方
程为（ ）
A．5（1+x）2＝60 B．5（1+2x）2＝60
C．5（1+2x）＝60 D．5[1+（1+x）+（1+x）2]＝60
【答案】D
【解答】解：设2、3两月的营业额的月平均增长率为x，
依题意，得：5+5（1+x）+5（1+x）2＝60．
即：5[1+（1+x）+（1+x）2]＝60，
故选：D．
17．要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7
天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请 队参赛．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，
∴共7×4＝28场比赛．
设比赛组织者应邀请x队参赛，
则由题意可列方程为： ＝28．
解得：x1 ＝8，x2 ＝﹣7（舍去），
所以比赛组织者应邀请8队参赛．
故答案为：8．
18．如图，某小区规划在一个长为 24m、宽为 10m的矩形场地 ABCD上修建三条同样宽的小路，使其中两
条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草．若草坪部分的总面积为160m2，则小路的宽度为 m．
【答案】2．
【解答】解：如图，设修建的小路宽应为x米，
则新的草坪面积等于矩形DEFG的面积，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司即得到方程：（24﹣2x）×（10﹣x）＝160，
整理得：x2﹣22x+40＝0，解得x＝20或x＝2．
但x＝20不合题意，舍去，
所以修建的小路宽应为2米．
故答案为：2．
19．某商场计划购进甲、乙两种商品共80件进行销售，已知甲种商品的进价为120元/件，乙种商品的进价
为80元/件，甲种商品的销售单价为150元/件，乙种商品的销售单价y（元/件）与购进乙种商品的数量
x（件）之间的函数关系如图所示．
（1）求y（元/件）关于x（件）的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；
（2）当购进乙种商品30件时，求销售完80件甲、乙两种商品获得的总利润；
（3）实际经营时，因原材料价格上涨，甲、乙两种商品的进价均提高了10%，为保证销售完后总利润不
变，商场决定将这两种商品的销售单价均提高m元，且m不超过乙种商品原销售单价的9%，求m的最
大值．
【答案】（1）y＝﹣ x+130；
（2）2550元；
（3）9．
【解答】解：（1）设y关于x的函数关系式为 y＝kx+b．
将（20，120）和（60，100）代入y＝kx+b，得： ，解得 ．
∴y关于x的函数关系式为y＝﹣ x+130．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司（2）当购进乙种商品30件时，则购进甲种商品80﹣30＝50（件）．
当x＝30时，y＝﹣ ×30+130＝115．
根据题意，销售完80件甲、乙两种商品获得的总利润为30×（115﹣80）+50×（150﹣120）＝2550（元）．
（3）根据题意，甲种商品进价为120×（1+10%）＝132（元/件），
乙种商品的进价是80×（1+10%）＝88（元/件）．
设购进乙种商品a件，那么购进甲种商品（80﹣a）件．
根据销售完后总利润不变，
有（﹣ a+130+m﹣88）a+（150+m﹣132）（80﹣a）＝（﹣ a+130﹣80）a+（150﹣120）（80﹣a），
整理得：a＝﹣20m+240．
∵m不超过乙种商品原销售单价的9%，
∴m≤（﹣ a+130）×9%，即m≤[﹣ （﹣20m+240）+130]×9%，
整理得m≤（10m+10）×9%，解得m≤9．
∴m的最大值为9．
20．如图，甲地、乙地分别是馨雨和馨望两家的自留地，他们两家都用来种西瓜，两块地的四周都是宽度相
同的田埂，甲地的面积是240m2．
（1）若馨望家地的面积比馨雨家的多了50%，则馨望家地的面积是 m2；
（2）在（1）的条件下，求田埂的宽度；
（3）若馨雨家今年收获了1200 斤西瓜，种西瓜的成本是0.5元/斤，若以2元/斤进行销售，每可销售40
斤西瓜，经调查发现：每斤西瓜降价0.1元，每天就可多销售10斤西瓜，为了每天获利90元，且售价不
得低于1.5元/斤，问售完所有的西瓜馨雨家能赚多少元？
【答案】（1）360；
（2）田埂的宽度是2m；
（3）售完所有的西瓜馨雨家能赚4800元．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【解答】解：（1）240×（1+50%）＝240×1.5＝360．
答：馨望家地的面积是360m2，
故答案为：360；
（2）设田埂的宽度为x m，
根据题意得：（33﹣3x）（22﹣2x）＝360+240，
即：（11﹣x）2＝100，
解得：x1 ＝1，x2 ＝21（舍去），
答：田埂的宽度是2m；
（3）设每斤西瓜降价x元，
根据题意得：（2﹣x﹣0.5）（40+ ）＝90，
解得：x1 ＝0，x2 ＝0.9，
当x＝0.9时，2﹣0.9＝1.1＜1.5（不合题意，舍去），
即：售价为2元/斤，
1200×（2﹣0.5）＝4800．
答：售完所有的西瓜馨雨家能赚4800元．
21．某区各街道居民积极响应“创文明社区”活动，据了解，某街道居民人口共有7.5万人，街道划分为A，
B两个社区，B社区居民人口数量不超过A社区居民人口数量的2倍．
（1）求A社区居民人口至少有多少万人？
（2）街道工作人员调查 A，B 两个社区居民对“社会主义核心价值观”知晓情况发现：A 社区有 1.2 万
人知晓，B社区有1万人知晓，为了提高知晓率，街道工作人员用了两个月的时间加强宣传，A社区的知
晓人数平均月增长率为m%，B社区的知晓人数第一个月增长了m%，第二个月增长了2m%，两个月后，
街道居民的知晓率达到76%，求m的值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设A社区居民人口有x万人，则B社区有（7.5﹣x）万人，
依题意得：7.5﹣x≤2x，
解得x≥2.5．
即A社区居民人口至少有2.5万人；
（2）依题意得：1.2（1+m%）2+1×（1+m%）×（1+2m%）＝7.5×76%
设m%＝a，方程可化为：1.2（1+a）2+（1+a）（1+2a）＝5.7
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司化简得：32a2+54a﹣35＝0
解得a＝0.5或a＝﹣ （舍）
∴m＝50
答：m的值为50．
22．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：
例题：解一元二次不等式x2﹣4＞0
解：∵x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）
∴x2﹣4＞0可化为
（x+2）（x﹣2）＞0
由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得
解不等式组①，得x＞2，
解不等式组②，得x＜﹣2，
∴（x+2）（x﹣2）＞0的解集为x＞2或x＜﹣2，
即一元二次不等式x2﹣4＞0的解集为x＞2或x＜﹣2．
（1）一元二次不等式x2﹣16＞0的解集为 ；
（2）分式不等式 的解集为 ；
（3）解一元二次不等式2x2﹣3x＜0．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵x2﹣16＝（x+4）（x﹣4）
∴x2﹣16＞0可化为 ：（x+4）（x﹣4）＞0
由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得：
解不等式组①，得x＞4，
解不等式组②，得x＜﹣4，
∴（x+4）（x﹣4）＞0的解集为x＞4或x＜﹣4，
即一元二次不等式x2﹣16＞0的解集为x＞4或x＜﹣4．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司（2）∵
∴ 或
解得：x＞3或x＜1
（3）∵2x2﹣3x＝x（2x﹣3）
∴2x2﹣3x＜0可化为
x（2x﹣3）＜0
由有理数的乘法法则“两数相乘，异号得负”，得： 或
解不等式组①，得0＜x＜ ，
解不等式组②，无解，
∴不等式2x2﹣3x＜0的解集为0＜x＜ ．
23．庆阳市是传统的中药材生产区，拥有丰富的中药材资源，素有“天然药库”“中药之乡”的美称．优越
的地理气候条件形成了较独特的资源禀赋，孕育了丰富的中药植物资源和优良品种．某种植户2016年投
资20万元种植中药材，到2018年三年共累计投资95万元，若在这两年内每年投资的增长率相同．
（1）求该种植户每年投资的增长率；
（2）按这样的投资增长率，请你预测2019年该种植户投资多少元种植中药材．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设这两年该种植户每年投资的年平均增长率为x，则2017年种植投资为 20（1+x）万
元，2018年种植投资为20（1+x）2万元，
根题意得：20+20（1+x）+20（1+x）2＝95，解得：x＝﹣3.5（舍去）或x＝0.5＝50%．
∴该种植户每年投资的增长率为50%；
（2）2019年该种植户投资额为：20（1+50%）3＝67.5（万元）．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司24．某商店购进一批家电，单价40元，第一周以每个52元的价格售出180个．商店为了适当增加销量，第
二个周决定降价销售．根据市场调研，售价每降1元，一周可比原来多售出10个，已知商店两周共获利
4160元，问第二个周每个小家电的售价降了多少元？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：设第二周每个小家电的售价降了x元，则由题意得：
（180+10x）（52﹣x﹣40）+180（52﹣40）＝4160
化简得x2+6x﹣16＝0
解得x1 ＝2，x2 ＝﹣8（不符题意，舍去）
答：第二周每个小家电降价2元
25．某社区决定把一块长 50m，宽 30m 的矩形空地建成居民健身广场，设计方案如图，阴影区域为绿化区
（四块绿化区为大小、形状都相同的矩形），空白区域为活动区，且四周的4个出口宽度相同，当绿化区
较长边x为何值时，活动区的面积达到1344m2？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：根据题意，绿化区的宽为：[30﹣（50﹣2x）]÷2＝x﹣10
∴50×30﹣4x（x﹣10）＝1344
﹣4x2+40x+1500＝1344，
4x2﹣40x﹣156＝0
x2﹣10x﹣39＝0
x＝13或﹣3（不符合题意，舍去）
答：当绿化区较长边x为13m时，活动区的面积达到1344m2．
26．水果店张阿姨以每千克 4 元的价格购进某种水果若干千克，然后以每千克 6 元的价格出售，每天售出
100千克．通过调查发现，这种水果每千克的售价每降低 0.1 元，每天可多售出 20 千克，为了保证每天
至少售出240千克，张阿姨决定降价销售．
（1）若售价降低0.8元，则每天的销售量为 千克、销售利润为 元；
（2）若将这种水果每千克降价x元，则每天的销售量是 千克（用含x的代数式表示）；
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司（3）销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨应将每千克的销售价降至多少元？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）销售量：100+20× ＝100+160＝260，
利润：（100+160）（6﹣4﹣0.8）＝312，
则每天的销售量为260千克、销售利润为312元；
故答案为：260，312；
（2）将这种水果每千克降低x元，则每天的销售量是100+ ×20＝100+200x（千克）；
故答案为：（100+200x）；
（3）设这种水果每千克降价x元，
根据题意得：（6﹣4﹣x）（100+200x）＝300，
2x2﹣3x+1＝0，
解得：x＝0.5或x＝1，
当x＝0.5时，销售量是100+200×0.5＝200＜240；
当x＝1时，销售量是100+200＝300＞240．
∵每天至少售出240千克，
∴x＝1．
6﹣1＝5，
答：张阿姨应将每千克的销售价降至5元．
九．配方法的应用（共 4小题）
27．阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式x2+bx+c变形为（x+m）2+n的形式，然后由（x+m）2≥
0就可求出多项式x2+bx+c的最小值．
例题：求x2﹣12x+37的最小值；
解：x2﹣12x+37＝x2﹣2x•6+62﹣62+37＝（x﹣6）2+1；
因为不论x取何值，（x﹣6）总是非负数，即（x﹣6）2≥0；
所以（x﹣6）2+1≥1；
所以当x＝6时，x2﹣12x+37有最小值，最小值是1．
根据上述材料，解答下列问题：
（1）填空：x2﹣8x+18＝x2﹣8x+16+ ＝（x﹣ ）2+2；
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司（2）将x2+16x﹣5变形为（x+m）2+n的形式，并求出x2+16x﹣5最小值；
（3）如图所示的第一个长方形边长分别是 2a+5、3a+2，面积为 S1 ；如图所示的第二个长方形边长分别
是5a、a+5，面积为S2 ，试比较S1 与S2 的大小，并说明理由．
【答案】（1）2；4；（2）﹣69；（3）S1 ＞S2 ；理由略．
【解答】解：（1）由题意得：x2﹣8x+18＝x2﹣8x+16+2＝（x﹣4）2+2．
故答案为：2；4．
（2）由题意得，x2+16x﹣5＝x2+16x+64﹣69＝（x+8）2﹣69．
∵（x+8）2≥0，
∴（x+8）2﹣69≥﹣69．
∴x2+16x﹣5≥﹣69．
∴x2+16x﹣5的最小值为﹣69．
（3）由题意得：S1 ＝（2a+5）（3a+2）＝6a2+4a+15a+10＝6a2+19a+10，S2 ＝5a（a+5）＝5a2+25a，
∴S1 ﹣S2 ＝6a2+19a+10﹣5a2﹣25a＝a2﹣6a+10＝a2﹣6a+9+1＝（a﹣3）2+1．
∵（a﹣3）2≥0，
∴（a﹣3）2+1≥1＞0．
∴S1 ﹣S2 ＞0．
∴S1 ＞S2 ．
28．把代数式通过配方等手段得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方
法叫做配方法．配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有广泛的应用．如利用配方法求最小值，
求a2+6a+8的最小值．
解：a2+6a+8＝a2+6a+32﹣32+8＝（a+3）2﹣1，因为不论a取何值，（a+3）2总是非负数，即（a+3）2≥
0．
所以（a+3）2﹣1≥﹣1，所以当a＝﹣3时，a2+6a+8有最小值﹣1．
根据上述材料，解答下列问题：
（1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a2+14a+ ；
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司（2）将x2﹣10x+27变形为（x﹣m）2+n的形式，并求出x2﹣10x+27的最小值；
（3）若代数式N＝﹣a2+8a+1，试求N的最大值；
【答案】（1）49；（2）2；（3）17．
【解答】解：（1）依据完全平方公式：a2+2ab+b2＝（a+b）2，
∴a2+14a+49是完全平方式．
故答案为：49．
（2）x2﹣10x+27＝x2﹣10x+25+2＝（x﹣5）2+2．
∵（x﹣5）2≥0，
∴（x﹣5）2+2≥2．
∴x2﹣10x+27的最小值是2．
（3）∵N＝﹣a2+8a+1＝﹣（a2﹣8a）+1＝﹣（a2﹣8a+16﹣16）+1＝﹣（a﹣4）2+17，
又（a﹣4）2≥0，
∴﹣（a﹣4）2≤0．
∴﹣（a﹣4）2+17≤17．
∴﹣a2+8a+1的最大值是17．
29．丽丽在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：关于x的多项式x2﹣4x+7，由于x2﹣4x+7＝（x
﹣2）2+3所以当x﹣2取任意一对互为相反数的数时，多项式x2﹣4x+7的值是相等的，例如，当x﹣2＝
±1，即 x＝3或1 时，x2﹣4x+7 的值均为4：当x﹣2＝±2，即x＝4 或0时，x2﹣4x+7的值均为 7，于
是丽丽给出一个定义：关于x的多项式，若当x﹣m取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，
就称该多项式关于x＝m对称，例如x2﹣4x+7关于x＝2对称．
请结合丽丽的思考过程，运用此定义解决下列问题：
（1）多项式x2﹣2x+5关于x＝ 对称；
（2）若关于x的多项式x2+2nx+3关于x＝5对称，求n的值；
（3）若整式（x2+6x+9）（x2﹣4x+4）关于x＝a对称，求实数a的值．
【答案】（1）1；（2）n＝﹣5；（3）a＝﹣ ．
【解答】解：（1）由题意，∵x2﹣2x+5＝（x﹣1）2+4，
∴多项式x2﹣2x+5关于x＝1对称．
故答案为：1．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司（2）由题意，多项式x2+2nx+3＝（x+n）2﹣n2+3，
∴多项式x2+2nx+3关于x＝﹣n对称．
又多项式x2+2nx+3关于x＝5对称，
∴﹣n＝5．
∴n＝﹣5．
（3）由题意，（x2+6x+9）（x2﹣4x+4）＝（x+3）2（x﹣2）2＝[（x+3）（x﹣2）]2＝[x2+x﹣6]2＝[（x+ ）
2﹣ ]2，
∴（x2+6x+9）（x2﹣4x+4）关于x＝﹣ 对称．
又（x2+6x+9）（x2﹣4x+4）关于x＝a对称，
∴a＝﹣ ．
30．先阅读下面的内容，再解答问题．
【阅读】例题：求多项式m2+2mn+2n2﹣6n+13的最小值．
解：m2+2mn+2n2﹣6n+13＝（m2+2mn+n2）+（n2﹣6n+9）+4＝（m+n）2+（n﹣3）2+4，
∵（m+n）2≥0，（n﹣3）2≥0，
∴（m+n）2+（n﹣3）2+4≥4
∴多项式m2+2mn+2n2﹣6n+13的最小值是4．
【解答问题】
（1）请写出例题解答过程中因式分解运用的公式是 ；
（2）已知a、b、c是△ABC的三边，且满足a2+b2＝10a+8b﹣41，求第三边c的取值范围；
（3）求多项式﹣2x2+4xy﹣3y2﹣6y+7的最大值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）例题解答过程中因式分解运用的公式是完全平方公式，
故答案为：完全平方公式；
（2）a2+b2＝10a+8b﹣41，
a2﹣10a+25+b2﹣8b+16＝0，
（a﹣5）2+（b﹣4）2＝0．
∵（a﹣5）2≥0，（b﹣4）2≥0，
∴a﹣5＝0，b﹣4＝0，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司∴a＝5，b＝4，
∴5﹣4＜c＜5+4，即1＜c＜9；
（3）原式＝﹣2x2+4xy﹣2y2﹣y2﹣6y﹣9+16＝﹣2（x﹣y）2﹣（y+3）2+16，
∵﹣2（x﹣y）2≤0，﹣（y+3）2≤0，
∴多项式﹣2x2+4xy﹣3y2﹣6y+7的最大值是16．
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