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期中重难点真题特训之易错必刷题型（92题29个考点）专练
【精选最新考试题型专训】
易错必刷题一、一元二次方程的相关概念
1．（24-25九年级上·河南焦作·阶段练习）把一元二次方程 化为一般形式，正确的是
（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25九年级上·贵州六盘水·阶段练习）若关于x的方程 是一元二次方程，则m的值
为 ．
3．（24-25九年级上·河北邯郸·阶段练习）已知一元二次方程 ．
(1)将方程化成一般形式；
(2)写出二次项系数、一次项系数和常数项．
易错必刷题二、一元二次方程的四大解法
1．（24-25八年级上·上海·阶段练习）用适当的方法解下列方程：
(1)
(2)
(3)
(4)
2．（24-25九年级上·甘肃武威·阶段练习）解下列方程：(1) ；
(2) （配方法）；
(3) ．
3．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）选择适当的方法解方程．
(1)
(2)
4．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）用适当的方法解下列方程：
(1)
(2)
5．（24-25九年级上·山东青岛·阶段练习）解方程：
(1) （公式法）
(2) （配方法）
(3)
(4) ．
6．（24-25九年级上·河南郑州·阶段练习）解下列方程：
(1) （用配方法解）
(2) （用因式法解）
(3) （用公式法解）
7．（24-25九年级上·甘肃定西·阶段练习）用适当的方法解方程
(1)(2) ．
8．（24-25九年级上·北京·阶段练习）解方程：
(1) （公式法）
(2) ．（配方法）
(3) （选用适当方法）
(4) （选用适当方法）
易错必刷题三、配方法的应用
1．（24-25九年级上·广西防城港·阶段练习）“ ”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代
数式配方，即可求出代数式的最大值或最小值．
例： ．
，
，即 ，
的最小值为1
参照以上方法，求得代数式 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25九年级上·北京·开学考试）用配方法解方程 时，可将方程变为 的形式，
则 的值为 ．
3．（24-25九年级上·山东青岛·阶段练习）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有
其它重要应用．
例如：求代数式 的最小值？解答过程如下：
解： ，， 当 时， 的值最小，最小值是0，
，
当 时， 的值最小，最小值是1，
的最小值为1．
仿照上述方法，求解代数式 的最大值．
易错必刷题四、换元法解一元二次方程
1．（2024九年级下·云南·专题练习）用换元法解方程 时，设 ，则原方程可化为关
于 的方程是（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）已知关于x的一元二次方程 的解是 ，
，则另一个方程 的解是 ．
3．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）阅读下列材料：
解方程： ．这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设 ，那么 ，于是原方程可变为 ①，
解这个方程得： ， ．
当 时， ， ；
当 时， ， ，
所以原方程有四个根： ， ， ， ．
在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想．
(1)解方程 时，若设 ，则原方程可转化为______；(2)若 ，求 ______；
(3)参照上面解题的思想方法解方程： ．
易错必刷题五、根的判别式求参
1．（24-25九年级上·山东青岛·阶段练习）关于 的一元二次方程 有两个不相等的实
数根，则实数 的值可以是（ ）
A． B．0 C．2 D．3
2．（24-25九年级上·四川自贡·阶段练习）已知关于 的一元二次方程 有实数根，则
的取值范围是 ．
3．（24-25九年级上·福建厦门·阶段练习）关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，
求 的取值范围．
易错必刷题六、一元二次方程根与系数的关系
1．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）若 是方程 的两个实数根，则 的
值为（ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
2．（24-25九年级上·江苏镇江·阶段练习）已知 ， 是方程 的两个根，则
的值为 ．
3．（24-25九年级上·福建厦门·阶段练习）已知关于 的一元二次方程 ．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若 ，且此方程的两个实数根的差为4，求 的值．
易错必刷题七、一元二次方程的实际应用之传播问题、增长率问题
1．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是157，设每个支干长出的小分支数目为x，根据题意，下面所列
方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25九年级上·山东滨州·阶段练习）有2人患了流感，经过两轮传染后，共有98人患了流，每轮传
染中平均每人传染了 个人．
3．（24-25九年级上·江西赣州·阶段练习）2023年亚运会在杭州顺利召开，亚运会吉祥物莲莲爆红．
(1)据统计某莲莲玩偶在某电商平台6月份的销售量是5万件，8月份的销售量是 万件，问月平均增长率
是多少？
(2)市场调查发现，某实体店莲莲玩偶的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价
每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售莲莲
玩偶每天获利1200元，则售价应降低多少元？
易错必刷题八、一元二次方程的实际应用之图形几何问题、图形运动问题
1．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）菱形 的一条对角线长为5，边 的长是方程
的一个根，则菱形 的周长为（ ）
A．8 B．11 C．12 D．12或8
2．（23-24八年级下·广西梧州·期中）如图， 中， ，点P从点B出发
向终点C以1个单位长度/s移动，点Q从点C出发向终点A以2个单位长度/s移动，P、Q两点同时出发，
一点先到达终点时P、Q两点同时停止，则 秒后， 的面积等于4．
3．（23-24九年级上·江苏盐城·阶段练习）问题背景
如图，在矩形 中， ， ，动点P、Q分别以 、 的速度从点A、C同时出发，沿规定路线移动.
问题探究
(1)若点P从点A沿AB向终点B移动，点Q从点C沿CD向点D移动，点Q随点P的停止而停止，问经过
多长时间P，Q两点之间的距离是 ？
(2)若点P沿着 移动，点P从点A移动到点C停止，点Q从点C沿CD向点D移动点Q随点P的
停止而停止，试探求经过多长时间 的面积为 ？
易错必刷题九、一元二次方程的实际应用之销售问题
1．（24-25七年级上·湖南邵阳·阶段练习）某专卖店销售一种机床，三月份每台售价为2万元，共销售60
台．根据市场调查知：这种机床每台售价每增加 万元，就会少售出1台．四月份该专卖店想将销售额提
高 ，则这种机床每台的售价应定为（ ）
A．3万元 B．5万元 C．8万元 D．3万元或5万元
2．（2024九年级上·北京·专题练习）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件可盈利40元．
为了扩大销售量，增加盈利，采取了降价措施，经调查发现如果每件计划降价1元，那么商场平均每天可
多售出2件．若商场平均每天要盈利1200元，则每件衬衫应降价 ．
3．（24-25九年级上·山东滨州·阶段练习）今年某村农产品喜获丰收，该村村委会在网上直播销售优质农
产品礼包，今年1月份的售该农产品礼包256包，2、3月该礼包十分畅销，销售量持续走高，在售价不变
的基础上，3月份的销售量达到400包．
(1)若2、3两个月的销售量的月平均增长率相同，求月平均增长百分率．
(2)若农产品礼包每包成本为25元，原售价为每包40元，该村在今年4月进行降价促销，经调查发现，若
该农产品礼包每包每降价2元，月销售量可增加10包，当农产品礼包每包降价多少元时，这种农产品在4
月份可获利4250元？易错必刷题十、二次函数的相关概念
1．（24-25九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）如果函数 是二次函数，那么k等于
（ ）
A．3 B．0 C．－2 D．－1
2．（24-25九年级上·重庆长寿·阶段练习）已知 是 关于 的二次函数，
．
3．（23-24九年级上·四川广安·阶段练习）已知函数 是关于 的二次函数．
(1)求满足条件的m的值；
(2)判断点 是否在该二次函数图象上．
易错必刷题十一、二次函数的图象与性质
1．（24-25九年级上·安徽蚌埠·阶段练习）若 ， ， 为二次函数 图
象上的三点，则 ， ， 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）已知二次函数 中，当 时， 的最小值
是 ．
3．（24-25九年级上·广东珠海·阶段练习）已知抛物线 ．
(1)若顶点在 轴上，则 __________；
(2)若抛物线经过原点，求此抛物线的顶点坐标．
易错必刷题十二、二次函数、一次函数的图象判断
1．（24-25九年级上·山东德州·阶段练习）在同一直角坐标系中，一次函数 和二次函数
的图象大致为（ ）A． B． C． D．
2．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）二次函数 的图象如图所示，则一次函数
的图象经过第 象限．
3．（24-25九年级上·福建厦门·阶段练习）已知抛物线 与直线 有且只有一个交点 ，求
的值以及交点 的坐标．
易错必刷题十三、二次函数图象与各系数关系
1．（23-24九年级上·江苏盐城·阶段练习）二次函数 （a，b，c是常数，a≠0）图象的对称轴
是直线 ，其图象一部分如图所示，对于下列说法：① ；② ；③ ；④当
时， ．其中正确的是（ ）A．①② B．①④ C．②③ D．②③④
2．（23-24九年级上·新疆·期中）已知二次函数 的图象如图所示，有下列5个结论：
① ；② ；③ ；④ ；⑤ ，（ 的实数）
其中正确的结论有 填序号
3．（2024·北京·模拟预测）已知 均为正整数， 交 轴于 ， 两点，其中
至原点的距离均小于1．
(1)比较： 0； 0
(2)求 的最小值，并给出一组符合要求的
易错必刷题十四、待定系数法求二次函数解析式
1．（24-25九年级上·河南洛阳·阶段练习）顶点是 ，开口方向，形状与抛物线 相同的抛物线
是（ ）
A． B．C． D．
2．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）抛物线 的图象经过 、 ，且对称轴
到 轴的距离为2，则抛物线的函数表达式是 ．
3．（24-25九年级上·广东惠州·阶段练习）已知抛物线 经过点
(1)求 的值；
(2)求该抛物线的顶点坐标．
易错必刷题十五、二次函数的平移问题
1．（24-25九年级上·河南安阳·阶段练习）在平面直角坐标系中，将二次函数 的图象向右平
移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数解析式为（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25九年级上·河南焦作·阶段练习）将抛物线 向下平移3个单位长度，再向右平移2
个单位长度后，得到的抛物线的解析式为 ，则 的值为 ．
3．（24-25九年级上·天津·阶段练习）已知一条抛物线的形状、开口方向、对称轴与抛物线 相
同，且过点 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)写出抛物线的开口方向，对称轴和顶点坐标；
(3)将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移8个单位长度，请直接写出平移后的抛物线的解析式．
易错必刷题十六、二次函数与方程、不等式的关系
1．（24-25九年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）已知二次函数 的图象与 轴有两个交点，
则 的取值范围为（ ）A． B． 且
C． D． 且
2．（24-25九年级上·湖北孝感·阶段练习）如图，已知抛物线 与直线 相交于
两点，则关于x的不等式 的解集是 ．
3．（24-25九年级上·辽宁盘锦·阶段练习）二次函数 的图象如图，根据图象解答下列
问题：
(1)直接写出方程 的两个根；
(2)直接写出y随x的增大而减小时自变量x的取值范围；
(3)直接写出关于x的不等式 的解集．
易错必刷题十七、二次函数的几何应用
1．（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，有一矩形纸片 ， ， ，将该矩
形纸片沿垂直于 的三条虚线折成一个上下无盖的长方体纸盒，则长方体纸盒的最大容积为（ ）A． B． C． D．
2．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，在 中， ， ， ，动点
由点 出发沿 方向向点 匀速移动，速度为 ，动点 由点 出发沿 方向向点 匀速移动，速
度为 ．当一个点到达终点时，另一个点也停止运动．若动点P、Q同时从A、B两点出发，
时， 的面积最大，最大面积是 ．
3．（24-25九年级上·广东惠州·阶段练习）明明的爸爸要利用家里的一面墙和铁丝网围成一个矩形菜园，
围墙足够长，其余的部分用铁丝网围成，在墙所对的边留一道 米宽的门，已知铁丝网总长是 米．如图
所示，设AB的长为 米，矩形面积为 平方米．
(1)用含 的代数式表示 ．
(2)当菜园的面积是 平方米时，求出 的值．
易错必刷题十八、二次函数中的销售问题
1．（24-25九年级上·浙江金华·开学考试）童装专卖店销售一种童装，若这种童装每天获利y（元）与销售
单价x（元）满足关系 ，若要想获得最大利润，则销售单价x为（ ）
A．25元 B．20元 C．30元 D．40元
2．（24-25九年级上·山东日照·阶段练习）某超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，
该商品每月的销售量 （件）与销售单价 （元）之间满足函数关系式 ，若要求销售单价不
得低于成本，为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为 元．
3．（24-25九年级上·河南新乡·阶段练习）怀远石榴果肉饱满，甘甜可口，享有中国国家地理标志产品的美誉．某商户从怀远购进一批石榴进行销售（只按整箱销售不零售），进价为80元/箱，当销售价为120
元/箱时，每天可售出20箱．经市场调查发现：每箱石榴每降价1元，平均每天可多售出2箱．
(1)每箱石榴降价多少元时，商家平均每天能盈利1200元？
(2)当每箱石榴降价多少元时，商家平均每天盈利最多？
易错必刷题十九、二次函数中的拱桥、喷水与投球问题
1．（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，在喷水池的中心A处竖直安装一个水管 ，水管的顶端
B处有一个喷水孔，喷出的抛物线形水柱在与池中心A的水平距离为1m处达到最高点C，高度为3m，水
柱落地点D离池中心A处4m，则水管的顶端B距水面的高度 为（ ）
A．2 B． C． D．
2．（24-25九年级上·辽宁大连·阶段练习）小明对实心球投掷训练录像进行了分析，发现实心球在行进过
程中高度 与水平距离 之间的函数图象如图所示（ 为抛物线顶点），由此可知此次投掷的成绩
是 m.
3．（2024·浙江台州·一模）图1是城市人行天桥的效果图，天桥顶部由四段完全相同的抛物线形钢架构成．
可以把天桥单侧的两段钢架抽象成如图2所示两段抛物线，并建立如图平面直角坐标系．已知天桥总长50
米，并在人行道两侧各均匀分布着6根钢柱，其中 米， 米．(1)如果抛物线经过原点O，顶点刚好落在点F．求该抛物线的解析式；
(2)在（1）的条件下求单侧6根钢柱的总长度；
(3)现需要修改钢架结构，将抛物线顶点移到EF右侧，到EF水平距离为1米，且使抛物线经过点 F，与钢
柱AB有交点，求此时顶点的纵坐标k的取值范围．
易错必刷题二十、图形的旋转
1．（23-24八年级下·四川达州·期中）如图，将 绕点 顺时针旋转，点 的对应点为点 ，点 的
对应点为点 ，当旋转角为90°， ， ， 三点在同一直线上时，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，在 中， ，将
绕点C按逆时针方向旋转得到 ，此时点 恰好在 边上，则点 与点B之间的距离为
．
3．（23-24九年级上·福建福州·期中）如图，在 中，点E在 边上， ，将线段 绕A点旋
转到 的位置，使得 ，连接 ， 与 交于点G．(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的度数．
易错必刷题二十一、中心对称
1．（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）点 与 关于原点对称，则 ．
2．（22-23九年级上·广东湛江·期中）若点 与点 关于原点对称，则 ．
3．（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）如图，在直角坐标平面内，点 的坐标为 ．
(1)图中点 点的坐标是________；点 关于原点对称的点 的坐标是________；点 关于 轴对称的点
的坐标是________；
(2)在图中画出 绕着点 逆时针旋转 后的 ；
(3)在 轴上是否存在点 ，使得 的面积等于 的面积，若存在，求出点 的坐标．
易错必刷题二十二、圆的有关概念
1．（24-25九年级上·江苏徐州·阶段练习）下列说法中，正确的个数为（ ）
①面积相等的圆是等圆；②过圆心的线段是直径；③长度相等的弧是等弧；④半径是弦；⑤直径是最长的
弦；⑥等弧所在的圆一定是等圆或同圆A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，AB是 的直径，点 在 上， 于点 ．已
知 ， ，则 的半径为 ．
3．（21-22九年级上·广东广州·期中）如图，在 中， 是直径， 是弦，延长 相交于点
P，且 ， ，连接 ，求 的度数．
易错必刷题二十三、垂径定理
1．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在 中， ， ， ，以点
C为圆心， 长为半径的圆与 交于点D，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024九年级上·浙江·专题练习）已知：如图， 是 的直径，弦 交 于E点， ，
， ，则 的长为 ．3．（23-24九年级上·福建泉州·期中）如图， ， 交 于点C，D， 是半径，且
于点F．
(1)求证： ．
(2)若 ， ，求 直径的长．
易错必刷题二十四、圆周角与圆心角
1．（23-24九年级上·福建泉州·阶段练习）如图， 是 的直径， ，若 ，则
的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图， 是 的内接四边形， 为直径， ，
则 的度数为 ．
3．（2024·甘肃金昌·三模）如图，在 中，弦 相交于点M，且 ．(1)求证： ；
(2)连接 ，若 是 的直径， ，求 的长．
易错必刷题二十五、直线与圆的位置关系
1．（24-25九年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，在 中， ， ， ， 为
的中点．以 为圆心， 为半径作 ，若 、 、 三点中只有一点在 内，则 的半径 的值不能
是（ ）
A．2.5 B．2.6 C．2.8 D．3
2．（24-25九年级上·江苏徐州·阶段练习）如图， ， 分别是 的切线， ， 为切点， 切
于 ，交 ， 于点 ， ，若 ，则 的周长是 ．
3．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，四边形 内接于 ， ，点 在 的
延长线上，且 ．(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ，当 ， 时，求 的长．
易错必刷题二十六、正多边形与圆
1．（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）苯分子的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的，随着研究的
不断深入，发现苯分子中的 个碳原子与 个氢原子均在同一平面，且所有碳碳键的键长都相等（如图 ），
组成了一个完美的六边形（正六边形），图 是其平面示意图，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24九年级下·甘肃平凉·开学考试）如图，正六边形 内接于 ，连接BD．则 的
度数是 ．
3．（23-24九年级上·广东东莞·期末）如图，正六边形 内接于 ，边长为2．(1)求 的直径 的长；
(2)求 的度数．
易错必刷题二十七、弧长
1．（2024·山西·模拟预测）如图，在 的内接四边形 中， ， ．若 的半
径为5，则弧 的长为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·湖南·模拟预测）如图，已知 的半径为2． 是 的弦，若 是等边三角形，则劣弧
的长为 ．
3．（23-24九年级下·辽宁铁岭·期中）如图，四边形 是正方形，以边CD为直径作 ，点 在
边上，连结DE交 于点 ，连结CF并延长交AB于点 ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的长．（结果保留 ）易错必刷题二十八、扇形面积
1．（2024·湖南益阳·模拟预测）如图，正五边形 的边长为5，以顶点 为圆心， 的长为半径画
圆，则圆与正五边形重叠部分（图中阴影部分）的面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·广东·模拟预测）杭州西湖十景是杭州市西湖上的十处特色风景，一游客在去西湖游玩时买了一
把印有西湖十景的折扇，打开后，如图，小扇形 的半径为 ，弧长为 ，大扇形 的半径
为 ，扇面的宽度 为 ，则扇面的面积（阴影部分）是 （结果保留 π）．
3．（23-24九年级上·江西赣州·期末）如图，一扇形纸扇完全打开后， 和 的夹角为 ， 长为
，贴纸部分的宽 为 ．
(1)求弧 的长度；
(2)求纸扇上贴纸部分的面积．
易错必刷题二十九、圆锥侧面积
1．（2024九年级下·云南昆明·专题练习）如图， 的斜边 ，一条直角边 ，现以
边所在直线为轴将这个三角形旋转一周，得到一个圆锥，则这个圆锥的侧面积为（ ）A． B． C． D．
2．（2024·湖南长沙·模拟预测）将两个底面积相同的圆锥按如图方式粘合成一个新几何体，已知原来的两
个圆锥母线长分别为 ， ，新几何体的最大横截面圆的半径 ，则新几何体的表面积为
．
3．（23-24九年级上·陕西延安·阶段练习）如图1，冰激凌的外壳（不计厚度）可近似的看作圆锥，其母线
长为12cm，底面圆直径长为8cm，当冰激凌被吃掉一部分后，其外壳仍可近似的看作圆锥，如图2，此时
其母线长为9cm，求此时冰激凌外壳的侧面积（结果保留 ）
